Краткое изложение материала

ОТЧЕТ
о подготовке материалов для написания учебного пособия для студентов и
аспирантов факультета ВМК МГУ
«Хаотическая динамика нелинейных диссипативных систем
обыкновенных дифференциальных уравнений».
В выполненной работе рассмотрены различные классические сложные
нелинейные
диссипативные
динамические
системы,
описываемые
обыкновенными дифференциальными уравнениями. Показано, что все они
обладают одним универсальным сценарием перехода к динамическому хаосу
через каскад бифуркаций удвоения периода устойчивых предельных циклов,
затем через субгармонический каскад бифуркаций рождения устойчивых
предельных циклов любого периода вплоть до цикла периода три, и затем через
гомоклинический каскад бифуркаций устойчивых циклов, сходящихся к
гомоклиническим петлям сепаратрис особых точек.
Дано определение сингулярного (хаотического) аттрактора сложной
нелинейной
системы
обыкновенных дифференциальных
уравнений.
Разработаны новые аналитические и численные методы исследования
сингулярных аттракторов. Предложены новые оригинальные методы
управления
сложными
нелинейными
динамическими
системами,
описываемыми
обыкновенными
дифференциальными
уравнениями,
заключающиеся в локализации и стабилизации их неустойчивых
периодических траекторий, вплетенных в кружево траекторий сингулярных
хаотических аттракторов.
Краткое изложение подготовленного материала выполнено на 40
страницах и содержит 17 иллюстраций.
Исполнитель:
Зав. лаб. ИСА РАН, д.ф.-м.н., проф.
Москва 2006
Магницкий Н.А.
2
Краткое изложение материалов, подготовленных для написания
учебного пособия для студентов и аспирантов ВМК МГУ
«Хаотическая динамика нелинейных диссипативных систем
обыкновенных дифференциальных уравнений».
Введение.
Изучение сложных нелинейных динамических систем проводилось до
последнего времени с применением единого геометрического подхода,
позволяющего рассматривать с общих позиций нелинейные системы,
описываемые как дискретными отображениями, так и обыкновенными
дифференциальными уравнениями и уравнениями в частных производных.
Интенсивное применение геометрического подхода к анализу динамических
систем началось со знаменитой работы американского математика С. Смейла,
предложившего конструкцию отображения, которое впоследствии получило
название подкова Смейла. Было показано, что устойчивым предельным
множеством (аттрактором) дискретной динамической системы может быть
вовсе не гладкое многообразие целой размерности, какими являются,
например,
устойчивый предельный цикл или тор, а всюду дырявое,
самоподобное фрактальное множество дробной размерности. Кроме того,
было показано, что поведение траекторий динамической системы на таком
«странном» в терминологии Д. Рюэля и Ф. Такенса аттракторе является
довольно сложным, сочетая в себе глобальную устойчивость (траектория не
уходит из некоторой области фазового пространства) с локальной
неустойчивостью
отдельных
близких
траекторий,
экспоненциально
разбегающихся со временем.
В дальнейшем были найдены и другие
хаотические
динамические
системы,
описываемые
дискретными
отображениями и обладающие странными аттракторами, такие, например, как
логистическое отображение, отображение Хенона, соленоид Смейла-Вильямса
и др.
Так как анализ свойств непрерывных динамических систем, описываемых
дифференциальными уравнениями, может быть сведен к анализу свойств
некоторого отображения - отображения Пуанкаре, то обнаруженное в
непрерывных динамических системах нерегулярное, хаотическое поведение
траекторий, стали связывать с наличием в системе странного аттрактора.
Однако доказательство этого факта непосредственно для знаменитой системы
трех обыкновенных дифференциальных уравнений Лоренца, в которой впервые
было обнаружено нерегулярное поведение траекторий, столкнулось со
значительными трудностями. Более того, задача показать, совпадает ли
3
поведение решений системы Лоренца с динамикой геометрического аттрактора
Лоренца была сформулирована С.Смейлом как одна из 18 наиболее
значительных математических проблем XXI века [1]. А результаты недавних
работ [2-3] позволили определенно утверждать, что геометрический подход,
развитый для дискретных отображений, является не совсем адекватным
применительно к непрерывным динамическим системам, описываемым
дифференциальными уравнениями.
В настоящей работе для анализа и управления сложными нелинейными
динамическими системами применен новый подход, предложенный впервые в
[2-4]. Этот подход позволил в некоторых случаях показать ошибочность
традиционных подходов, в других – дополнить их новыми идеями, примерами
и интересными гипотезами. Он позволил показать, что переход к хаосу при
изменении значений системного параметра в широком классе трехмерных
автономных
нелинейных
диссипативных
систем
обыкновенных
дифференциальных уравнений, включающем и все классические хаотические
системы уравнений, осуществляется в соответствии с одним единственным
сценарием перехода к хаосу, начинающимся каскадом бифуркаций удвоения
периода устойчивых циклов и продолжающимся затем субгармоническим
каскадом бифуркаций рождения устойчивых циклов любого периода и, при
наличии в системе петли сепаратрисы седло-фокуса, - гомоклиническим
каскадом бифуркаций устойчивых циклов, сходящихся к гомоклиническому
контуру.
Новый подход позволил также осуществить классификацию нерегулярных
аттракторов по сценариям их возникновения и решить задачу управления
сложными нелинейными динамическими системами, описываемыми как
обыкновенными дифференциальными уравнениями, так и дискретными
отображениями. То есть дать ответ на вопрос, как из окрестности неустойчивой
периодической траектории, находящейся вблизи хаотического аттрактора,
приблизиться к ней на сколь угодно малое расстояние и находиться вблизи нее
сколь угодно большое время. Решение этой задачи сводится к локализации
(обнаружению) и стабилизации неустойчивых периодических траекторий (в
частности, стационарных состояний) хаотических динамических систем (в том
числе и хаотических отображений). Область применения метода оказалась
чрезвычайно широкой: хаотические отображения, хаотические динамические
системы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями,
распределенные хаотические динамические системы, динамические системы с
запаздывающим аргументом.
Все приведенные в отчете аналитические результаты подтверждены
соответствующими
примерами
нелинейных
динамических
систем,
численными расчетами и многочисленными иллюстрациями.
4
2. Аттракторы системы Лоренца.
В работе [2] авторами было показано, что почти все утверждения
классического сценария (см. [3-5]) перехода к хаосу в системе уравнений
Лоренца [6]
x   ( y  x), y  x(r  z)  y, z  xy  bz
(2.1)
при изменении параметра r и фиксированных значениях двух других
параметров =10 и b =8/3 не соответствуют действительности. Так, например,
в результате бифуркации гомоклинической бабочки при r = r1  13,926
происходит рождение не двух седловых циклов L1 и L2 вокруг устойчивых
неподвижных точек O1 и O2, а одного цикла C0 , охватывающего восьмеркой
обе эти точки. Рождение же седловых циклов L1 и L 2 происходит в результате
бифуркации образования гетероклинической структуры "точка-цикл" при r = r2
 24,058. Обе эти бифуркации, вопреки утверждению классического сценария,
не имеют отношения к возникновению аттрактора Лоренца. Более того,
аттрактор существует даже в области ra < r < r2 где ra некоторое минимальное
значение параметра r , ниже которого в системе наступает метастабильный
хаос. Затем при уменьшении r странный аттрактор последовательно
разрушается в результате воздействия двух факторов: а) естественного
уменьшения области аттрактора при удалении r от точки r*, при которой
аттрактор занимает максимальную область фазового пространства и имеет,
соответственно, минимальные "глаза", и б) увеличения областей устойчивости
точек O1 и O2 при r < r3  24,74. А так как для r < r2 увеличение областей
устойчивости точек O1 и O2 с уменьшением r идет быстрее, чем уменьшение
области, занимаемой аттрактором, то при r1 < r <ra происходит пересечение
этих областей, что является причиной возникновения метастабильного хаоса:
траектория, двигаясь по аттрактору, неминуемо попадает в область
устойчивости одной из точек O1 или O2 и притягивается к ней. Ниже мы еще
вернемся к этому вопросу, а теперь подробнее остановимся на сценарии
рождения хаотического аттрактора Лоренца и на его структуре, так как эти
вопросы имеют принципиальное значение.
Авторами работы [2] также было показано, что аттрактор Лоренца
рождается при уменьшении параметра r от значения r  313, при котором
система Лоренца имеет единственное периодическое решение - устойчивый
предельный цикл C0, до некоторого значения r = r*, через неполный двойной
гомоклинический каскад бифуркаций.
Определение 1. Полным (неполным) гомоклиническим каскадом
бифуркаций в системах нелинейных дифференциальных уравнений назовем
каскад бифуркаций возникновения устойчивых предельных циклов,
порожденных единственным устойчивым предельным циклом при изменении
5
значений бифуркационного параметра вдоль прямой, проходящей в
пространстве параметров через точку (вблизи точки) существования
гомоклинического контура.
Определение 2. Замыкание множества всех предельных циклов,
родившихся устойчивыми, а затем ставших неустойчивыми в результате
полного (неполного) гомоклинического каскада бифуркаций, назовем полным
(неполным) гомоклиническим аттрактором.
Если прямая, соответствующая изменению значений бифуркационного
параметра проходит в пространстве параметров через точку (вблизи точки)
одновременного существования двух гомоклинических контуров, то
образующийся каскад бифуркаций устойчивых циклов назовем полным
(неполным) двойным гомоклиническим каскадом, а рождающийся в результате
такого каскада аттрактор назовем полным (неполным) двойным
гомоклиническим аттрактором.
Систему (2.1) удобно переписать в координатах u, v, z , связанных с
координатами x, y, z невырожденным линейным преобразованием
x = u + v,
где
 (y - x) = 1u + 2v,
z = z,
  1 (  1) 2
  1 (  1) 2
1  

  (r  1)  0, 2  

  (r  1)  0 .
2
4
2
4
При этом
u  1u 
(u  v)(1u  2 v)
z(u  v)
z(u  v)
, v  2 v 
, z  bz  (u  v) 2 
. (2.2)
2  1
2  1

В рассматриваемом диапазоне параметров ( b=8/3, =10, r > r*  31,115
система (2.2) имеет три неустойчивые неподвижные точки: начало координат
O(0,0,0), а также точки O1(u, -v, z) и O2(-u, v, z), где
u
2 b(r  1)
 b(r  1)
, v 1
, z  r 1.
2  1
2  1
В работе [2] показано, что все неустойчивые циклы, составляющие
аттрактор Лоренца, лежат на одномерном неустойчивом неинвариантном
многообразии Vu точки O, которое определяется следующим образом:
0  z  r  1, u ( z ) 
2  2 ( z ) ~
 ( z )  1 ~
v ( z ), v( z )  2
v ( z ),
2  1
2  1
(2.3)
6
где
v~ ( z )  
bz
 1
(  1) 2
, 1 ( z )  

  (r  z  1)  0
  2 ( z )
2
4
 1
(  1) 2
2 ( z )  

  (r  z  1)  0.
2
4
Таким образом, интегрируя систему (2.2) методом Рунге-Кутта 4-го порядка
с начальными условиями (2.3), можно с любой степенью точности вычислить
любой неустойчивый цикл аттрактора методом возвращения на одномерное
многообразие Vu.
Устойчивые же циклы, рожденные в результате полного (или неполного)
двойного гомоклинического каскада бифуркаций, до того, как стать
неустойчивыми и оказаться на многообразии Vu, лежат в некоторой
окрестности этого многообразия, расположенной выше по оси z. В силу
малости этой окрестности для нахождения устойчивых циклов также можно
использовать решение системы (2.2) с начальными условиями (2.3).
При значениях параметра r > 313 в системе существует единственный
предельный цикл C0, охватывающий оба состояния равновесия O1 и O2. Он
же является неустойчивым циклом системы (2.1) при 13.926 < r < 313, исчезая в
результате бифуркации гомоклинической бабочки (рис.2.1). При значении r 
313 цикл C0, становясь неустойчивым, порождает два устойчивых цикла C0+ и
C0, также охватывающих состояния равновесия O1 и O2, но имеющих прогибы
в направлении своих половин неустойчивого многообразия Vu точки O (рис.
2.2). Здесь, собственно, и начинается двойной гомоклинический каскад
бифуркаций. В случае неполного каскада он состоит из конечного числа
стадий возникновения устойчивых циклов Ck , k=0, 1, ..., l , и бесконечного
числа их дальнейших бифуркаций.
7
Рис. 2.1. Проекции на плоскость (u,v) фазового портрета цикла C0 при
значениях r = 14 (слева) и r = 350 (справа).
Рис. 2.2. Проекции фазового портрета цикла C0 (слева) и C0+ (справа) при
значении параметра r = 300.
В случае же полного каскада число стадий бесконечно и в пределе при l  
циклы стремятся к гомоклиническим контурам точек O1 и O2 соответственно.
Цикл Ck+ совершает k полных оборотов вокруг точки O1 в полупространстве,
содержащем эту точку, и один неполный оборот вокруг точки O2. Цикл Ck,
напротив, делает k полных оборотов вокруг точки O2 в полупространстве,
содержащем эту точку, и один неполный оборот вокруг точки O1.
На
k-ой стадии гомоклиническогоо каскада бифуркаций изначально
устойчивые циклы Ck претерпевают субгармонический каскад бифуркаций,
образуя два аттрактора, имеющие вид лент и состоящие из бесконечного числа
неустойчивых предельных циклов, лежащих в своих областях неустойчивого
многообразия Vu точки O. Затем эти две ленты сливаются, образуя единый
аттрактор вокруг обеих точек O1 и O2 и давая начало каскаду бифуркаций
циклов самоорганизации, рождающихся после слияния лент и совершающих
обороты как вокруг точек O1 и O2 по отдельности, так и вокруг обеих точек
одновременно. Каскад бифуркаций самоорганизации циклов, рождающихся
после слияния лент, хотя и характеризуется упрощением структуры циклов, т.е.
рождением при уменьшении r новых устойчивых циклов с меньшим числом
8
оборотов вокруг точек O1 и O2, но не имеет ничего общего с обратным
каскадом бифуркаций, описанным в [3]. Каждый цикл каскада бифуркаций
самоорганизации претерпевает свой субгармонический каскад бифуркаций,
после чего все циклы, образующиеся в результате бесконечного числа
бифуркаций всех субгармонических каскадов и каскадов бифуркаций
самоорганизации циклов, становятся неустойчивыми и ложатся своими
лентами в свои области многообразия Vu, создавая таким образом некоторое
множество Bk . В результате неполного гомоклинического каскада бифуркаций
образуется множество B =  Bk, которое состоит из бесконечного числа всех
возможных неустойчивых циклов, возникающих на всех l стадиях каскада.
Множество B , представляющее замыкание множества B , и является
аттрактором Лоренца.
Рис. 2.3. Проекции на плоскость (u,v) фазового портрета цикла C0 (слева) и
C0+ (справа) периода 3 при значении r = 209.
Опишем более подробно первую стадию двойного гомоклинического
каскада. Каждый из циклов C0+ и C0 претерпевает субгармонический каскад
бифуркаций, состоящий из появления в окрестности исходного цикла
устойчивых циклов любого периода и дальнейшего каскада удвоения периодов
этих циклов. Например, при r = 222 наблюдаются циклы C0+ и C0 удвоенного
периода, при r = 216 - циклы учетверенного периода, при r = 214 - циклы
периода 6, при r = 209 - циклы периода 3 (рис. 2.3) и т.д. При r  203 по
окончании субгармонического каскада бифуркаций возникают два устойчивых
множества (два аттрактора), каждое из которых состоит из бесконечного числа
неустойчивых циклов, образовавшихся вследствие бифуркаций из C0+ (C0) и
лежащих на многообразии Vu . Внешне эти множества выглядят как две
широкие ленты (рис.2.4). При r < 203 два аттрактора, образованные циклами
C0+ и C0, сливаются в один аттрактор, который находится на некотором
9
расстоянии от оси z, и поэтому пока не имеет "глаз" (рис. 2.5). После слияния
появляется возможность образования устойчивых циклов, делающих обороты
вокруг обеих точек O1 и O2, причем количество витков в таких циклах
уменьшается с уменьшением r (рис. 2.6) - начинается каскад бифуркаций
самоорганизации циклов. При дальнейшем уменьшении r и, следовательно,
при приближении циклов, образующих аттрактор, к оси z , траектории
системы начинают закручиваться вокруг точек O1 и O2, и при r  197,6 у
аттрактора образуются "глаза".
Рис. 2.4. Проекции фазового портрета
значении r = 203,1.
хаотического аттрактора при
10
Рис. 2.5. Вид хаотического аттрактора в системе Лоренца при r = 202,5.
Появляется возможность образования устойчивых циклов типа
Ckm ,
делающих обороты как вокруг каждой из точек O1 и O2 по отдельности, так и
вокруг обеих точек сразу. И циклы каскада самоорганизации возникают парами
в огромном количестве в интервале 170 < r <197,6. Все они последовательно
претерпевают субгармонические каскады бифуркаций, также образуя свои
более узкие ленты, и также ложатся на многообразие Vu, теряя при этом
устойчивость.
Рис. 2.6. Проекции на плоскость (u,v) фазового портрета устойчивых циклов,
рождающихся в результате бифуркации самоорганизации при r = 202,384
(слева) и r = 198,986 (справа).
Рис. 2.7. Проекции фазового портрета цикла C6 (слева) и C6+ (справа) при
значении r = 45,1.
11
При r  170 возникает устойчивый цикл C11, с которым происходят все те
же бифуркации, что и с исходным циклом C0, но в интервале 100,795 < r < 170.
На этом заканчивается первая стадия двойного гомоклинического каскада
бифуркаций, и при r  100,795 рождается пара устойчивых циклов C1 . При r 
71,52 с рождения пары устойчивых циклов C2 начинается третья стадия,
которая длится до значения r  59,25, когда происходит рождение пары
устойчивых циклов C3 и т.д. На рис 2.7 для примера показаны циклы C6 и C6+
при значении r = 45,1. Весь неполный гомоклинический каскад заканчивается
при значении r*  31,115, уточненным по сравнению с работой [2], которое
соответствует максимальному количеству витков гомоклинического каскада.
Вместе с тем в работе показано, что в системе Лоренца при значениях =10,5 и
b =8/3 осуществим также и полный двойной гомоклинический каскад
бифуркаций, ведущий к возникновению при r = r*  33,2189 полного двойного
гомоклинического аттрактора (рис 2.8).
Рис. 2.8. Проекции аттрактора Лоренца при =10, b =8/3, r = 28 (слева) и
полного двойного гомоклинического аттрактора при =10,5, b =8/3, r =
33,2189 (справа).
При значениях r, меньших r*, в системе Лоренца, как принято считать,
существует единственное устойчивое предельное множество B - аттрактор
12
Лоренца. Вопрос о том, является ли множество B фракталом и имеет ли оно
дробную размерность, остается пока открытым. Ответ на этот вопрос
непосредственно связан с ответом на вопрос, какую структуру имеет
множество всех неустойчивых предельных циклов, порождающих аттрактор,
на кривой Vu: является ли оно всюду плотным на Vu или имеет структуру
канторова множества? В первом случае аттрактор не может быть фракталом и
вряд ли имеет дробную размерность. Проведенные многочисленные
вычислительные эксперименты показывают, что вероятнее всего имеет место
первый случай, то есть циклы, составляющие каждую ленту гомоклинического
каскада, лежат всюду плотно в своей области многообразия
Vu и,
следовательно, пересечение аттрактора с Vu представляет собой отрезок. Мы
не обнаружили никаких оснований считать, что аттрактор Лоренца является
фракталом и что он имеет дробную размерность. Кроме того, как следует из
описания каскада бифуркаций циклов C0+ и C0, никаких обратных каскадов
бифуркаций в смысле [3] в интервале 197,4 < r < 214,364 не обнаружено.
Более того, последние исследования полного двойного гомоклинического
аттрактора в системе Лоренца при  = 10, b = 0.5 дают основания сомневаться
также и в том, что классический аттрактор Лоренца B (при  = 10, b = 8/3)
явяляется структурно устойчивым при всех r  (ra , r*). Действительно, в случае
 = 10, b = 0.5 неподвижные точки O1 и O2 теряют устойчивость при
критическом значении r3  15.882, а полный двойной гомоклинический
аттрактор формируется при значении r*  234,177. При значениях r < r* в
системе Лоренца появляются особенности, отличные от сценария с
классическим набором параметров. Так с уменьшением
параметра
r
наблюдается обратный двойной гомоклинический каскад, т.е. происходит
сброс витков у устойчивых циклов Cn и Cnn. Отметим, что при классическом
наборе параметров это не наблюдается. При значении r  212.32 в системе
существует устойчивый цикл C44, который ранее наблюдался также
устойчивым при r  265.4, большем чем r* (рис. 2.9).
13
Рис. 2.9. Проекции на плоскость (u,v) фазового портрета устойчивого цикла
C44 при r =265.4 (слева) и при r =212.32 (справа).
Полученные результаты дают основание утверждать, что по всей видимости,
в любой окрестности значений r* параметра r существуют системы с
устойчивыми предельными циклами, которые мы не можем наблюдать
исключительно
по
причине
вычислительных
ошибок
вследствие
некорректности решаемой задачи.
Отметим также, что при фиксированных значениях параметров  = 10, b =
0.5 наблюдаются устойчивые циклы C0 в интервале 19 < r < 38.5, а при
дальнейшем уменьшении r начинает формироваться очередной двойной
гомоклинический каскад бифуркаций, начинающийся каскадом удвоения
периода и продолжающийся субгармоническим каскадом бифуркаций. Так,
например, при r  18.1 отмечаются устойчивые циклы C0  периода четыре, а
при r  17.76 циклы периода три.
При r< 16.2 можно отметить еще одну интересную особенность возникновение устойчивого цикла C22, который существует до значения r 
15.1, где он начинает двоиться. Следовательно, при r < r3  15.882 в системе
имеются три аттрактора: два устойчивых фокуса O1 и O2 и устойчивый цикл.
Таким образом, в отличие от классического сценария, в момент потери
устойчивости точками O1 и O2, мы в качестве устойчивого предельного
множества имеем предельный цикл, а не хаотический аттрактор. При
дальнейшем уменьшении значений параметра r удалось найти устойчивые
циклы C2 при r  13.07, C33 при r  12.95 и некоторые другие устойчивые
циклы вплоть до значений r  12.29. При r < ra  11.78 в системе уже
наблюдается метастабильный хаос.
Таким образом, хаотический аттрактор, если и существует, то только в
интервале изменения параметра 11.78 < r < 12.29 . Хотя более правдоподобной
выглядит гипотеза о том, что и в этом интервале изменения значений
бифуркационного параметра устойчивые циклы существуют почти всюду за
исключением точек накопления значений параметра r (предельных значений
отдельных каскадов бифуркаций).
При переходе r через значение ra система переходит в состояние
метастабильного хаоса. При r=r2  10.103 в системе происходит бифуркация
"точка-цикл". Траектории, выходящие из окрестности нуля не стремятся к
точкам O1 и O2 , а наматываются на границы их областей притяжения. Однако в
классическом случае траектория, соскочив с границы и не попав в устойчивую
точку, будет вечно двигаться по аттрактору (ra  23.9 < r2  24.06 при b=8/3 и
=10). В рассматриваемом случае траектория, не попав в устойчивую точку
сразу, все равно рано или поздно стянется в O1 или O2, так как их области
устойчивости достаточно велики, а в системе продолжается метастабильный
хаос (r2  10.103 < ra  11.78 при b=0.5 и =10). Таким образом, это отличие от
14
классического сценария еще раз подтверждает вывод работы [2] том, что точка
r2 не имеет никакого отношения к образованию аттрактора Лоренца.
Метастабильный хаос в системе продолжается до r = r1  6.493, при котором
бифуркация гомоклинической бабочки полностью разрушает остатки
аттрактора, уничтожая последние из составляющих его неустойчивых циклов.
При 1< r <r1 траектории стягиваются к ближайшей устойчивой точке O1 или
O2.
Таким образом, уже не вызывает никаких сомнений тот факт, что вопреки
традиционному сценарию классический (и любой другой) аттрактор системы
уравнений Лоренца рождается из устойчивых предельных множеств (циклов) в
результате субгармонического и гомоклинического каскадов мягких
бифуркаций. Остаются пока открытыми проблемы структурной устойчивости и
размерности хаотического аттрактора. Является ли аттрактор Лоренца неким
новым образованием, не описываемом в терминах решений систем
дифференциальных уравнений, или же при любом наборе параметров мы
всегда имеем дело либо с устойчивым периодическим решением (циклом),
либо с устойчивой непериодической траекторией, всюду плотной в некоторой
двумерной области фазового пространства?
3. Сценарии перехода к хаосу
В классической литературе по нелинейным динамическим системам [3 - 5]
рассматриваются три сценария возникновения хаотических режимов
поведения, которым соответствуют три различных каскада бифуркаций: а)
сценарий Фейгенбаума и соответствующий ему каскад бифуркаций удвоения
периода; б) сценарий Помо-Манневиля перехода к хаосу через
перемежаемость; в) сценарий Рюэля-Такенса, которому соответствует каскад
трех последовательных бифуркаций Андронова-Хопфа с последующим
разрушением возникающего при этом трехмерного тора.
Сценарий Фейгенбаума, действительно, является уникальным сценарием
перехода к хаосу в нелинейных динамических системах. Он служит начальной
стадией субгармонического каскада бифуркаций рождения устойчивых циклов
любого периода в соответствии с порядком, установленным Шарковским [8].
Именно субгармонический каскад бифуркаций ведет к возникновению
аттрактора логистического отображения [3], аттрактора Ресслера [9], аттрактора
Мэкки-Гласса в дифференциальном уравнении с запаздывающим аргументом
[10, 11], аттрактора Магницкого в системе дифференциальных уравнений для
экономических макропоказателей [12] и многих других аттракторов. Этот же
каскад определяет начальную стадию двойного гомоклинического каскада
бифуркаций, ведущих к возникновению аттрактора Лоренца (см. п. 2).
Основной характерной чертой субгармонического каскада бифуркаций
является рождение устойчивого цикла периода три.
15
Явление перемежаемости, обнаруженное в модели Лоренца Помо и
Манневилем [3] не имеет строгого формального определения. Сущность его
состоит в том, что устойчивое периодическое решение системы, исчезая при
изменении параметра, тем не менее оставляет "память" о себе, так что
траектории системы начинают совершать колебания, почти соответствующие
колебаниям исчезнувшей устойчивой периодической траектории, но
прерываемые время от времени аномальными хаотическими флуктуациями.
Возможность существования такого явления иллюстрируется математически
только на примерах простейших одномерных отображений.
Так, согласно Помо и Манневилю, в системе Лоренца явление
перемежаемости наблюдается при значении параметра r = 166,1 [3] (при
фиксированных значениях параметров  = 10 и b = 8/3). Утверждается, что
устойчивый цикл, существующий в системе Лоренца для 148,5 < r < 166,07 при
увеличении r исчезает, и система входит в интервал "перемежаемости", когда
движение в окрестности бывшего цикла прерывается нерегулярными
хаотическими всплесками. Система, якобы, "помнит" о существовавшем в ней
цикле. При дальнейшем увеличении r в системе возникает хаос.
Действительно, хаотический всплеск имеет место в системе Лоренца при
r = 166,1, если принять при интегрировании системы методом Рунге-Кутта 4-го
порядка шаг интегрирования h  10-310-5. Если же взять h = 210-2, то никаких
хаотических всплесков не наблюдается ни при r = 166,1, ни даже при r = 166,8.
Более того, нетрудно видеть, что в системе существует устойчивый
предельный цикл вплоть до значения r  170, если взять h = 310-2. Это тот же
самый цикл C11, что наблюдается и при значении r < 166,07 и продолжает
оставаться устойчивым (рис. 3.1). Таким образом, в системе Лоренца нет ни
перемежаемости, ни перехода к хаосу через перемежаемость. Этот эффект
связан исключительно с численными ошибками, возникающими вследствие
некорректности задачи вычисления производной в окрестности оси
z.
Вследствие погрешностей в вычислениях имеет место перескок траектории с
16
Рис. 3.1. Проекции на плоскость (u,v) фазового портрета цикла С11 слева
при r=166,1, h = 0,003 и справа при r = 170, h = 0,03.
одного фрагмента устойчивого цикла на другой его фрагмент, близко к нему
расположенный в фазовом пространстве. Поэтому гипотеза о возможности
возникновения через перемежаемость хаотических режимов поведения в
сложных
нелинейных
динамических
системах,
описываемых
дифференциальными уравнениями, выглядит весьма малоубедительной.
Дополнительным основанием для такого вывода является тот факт, что
мультипликаторы цикла при r = 166,06, когда еще нет перемежаемости, имеют
следующие значения (1; 0,91; 0) и показывают, что данное значение параметра
r находится еще достаточно далеко от границы области рождения цикла.
Сценарий Рюэля-Такенса перехода к хаосу, как, впрочем, и сценарий Ландау,
основанный на бесконечной последовательности бифуркаций Хопфа, является
скорее теоретически возможным, иллюстрацией чего служат различные
модельные примеры, использующие, как правило, итерации двумерных
отображений. На наш взгляд естественным кажется предположить, что в
реальных системах, описываемых дифференциальными уравнениями, после
возникновения устойчивого двумерного тора T 2 дальнейший переход к хаосу
может осуществляться по некоторому третьему сценарию, отличному и от
сценария Ландау, и от сценария Рюэля-Такенса. Действительно,
такой
сценарий перехода к хаосу через субгармонический (по одной частоте) каскад
бифуркаций двумерных торов, был обнаружен в пятимерной системе
комплексных уравнений Лоренца [13]. Как уже отмечалось выше, характерной
чертой такого каскада должно быть появление устойчивого двумерного тора
периода три, понимаемого как прямое произведение простого цикла на цикл
утроенного периода.
Рассмотрим комплексную систему уравнений Лоренца
X  X  Y , Y   XZ  rX  aY , Z  bZ  ( X *Y  XY * ) / 2 ,
(3.1)
содержащую две комплексные переменные X и Y, одну вещественную
переменную Z и имеющую вещественные , b и комплексные параметры r =r1
+ir2, a = 1 - ie. [14]. Вводя новые вещественные переменные x1 = Re X, x2 = Im
X, y1 = Re Y, y2 = Im Y , и полагая e = 0, систему (3.1) можно переписать в виде
пятимерной системы вещественных обыкновенных
дифференциальных
уравнений:
x1  x1  y1 , x 2  x2  y 2 ,
y1   x1 z  r1 x1  y1  r2 x2 , y 2   x2 z  r1 x2  y 2  r2 x1 , z  x1 y1  x2 y 2  bz,
(3.2)
17
где  >0, b> 0, r1 > 0, r2 > 0. Система (3.2) имеет единственное положение
равновесия - начало координат, устойчивость которого определяется
собственными значениями якобиана J(0) в данной точке


 0
J (0)   r1

 r2
 0

0

 r2
r1
0

0 

0 
0 
1 0
0 .

0 1 0 
0
0  b 
0
В характеристическом уравнении
( + b)(4 + a1 3 + a2 2 +a3+ a4 = 0,
где a1 =2( +1), a2 = ( + 1)2 + 2(1 - r1), a3 = 2( + 1)(1 - r1 ) + 2 r2, a4 = 2((1
- r1)2 + r22), одно собственное значение  = - b отрицательно. Поэтому
устойчивость положения равновесия зависит от корней полинома четвертого
порядка. Условия Рауса-Гурвица
a1 >0, a1a2 - a3 > 0,
a1 (a2a3 - a1a4) - a32 > 0, a4 > 0,
определяющие устойчивость этого полинома, равносильны системе из двух
неравенств
a1a2 - a3 > 0,
a1(a2a3 -a1a4) - a32 >0.
Подставляя в эту систему приведенные выше выражения для коэффициентов
полинома, получаем, что неподвижная точка теряет устойчивость при условии
(r1 - 1)( + 1)2 + r22 > 0,
(3.3)
и в системе (3.2) рождается предельный цикл. Покажем, что этот предельный
цикл имеет вид
x1(t) = R cost,
x2(t) = R sint.
(3.4)
Действительно, подставляя (3.4) в (3.2), найдем, что
y1(t) = - R  -1 sint + R cost
y2 (t) = R  -1 cost + R sint
18
Следовательно,
y1 (t )   R 2 1 cos t  R sin t  (r1  z) R cos t  r2 R sin t  R 1 sin t  R cos t
при  R 2 1  (r1  z  1) R
и R  r2 R  R 1 . Аналогично вычисляем
y 2 (t )   R 2 1 sin t  R cos t  (r1  z) R sin t  r2 R cos t  R 1 cos t  R sin t
опять же при
  r2 /(  1),
 R 2 1  (r1  z  1) R
z   2 1  r1  1  z 0 .
и R  r2 R  R 1 . Отсюда
Для нахождения амплитуды R воспользуемся пятым уравнением системы
(3.2), положив в нем z = z0:
bz 0   R 2 1 sin t cos t  R 2 cos 2 t  R 2 1 sin t cos t  R 2 sin 2 t  R 2 .
Следовательно, R2 = bz0 = b(21 + r1 – 1) > 0 в силу неравенства (3.3). При r2 =
0 пятимерное пространство решений системы (3.2) разбивается на трехмерные
пространства Лоренца, задаваемые фиксированными начальными значениями
углов  и :
tg = x2 (0)/x1(0) и tg = y2 (0)/y1(0). Со временем траектория
затягивается в одно из пространств Лоренца и остается там навсегда.
Например, при tg = tg = 1 траектория не выходит из пространства Лоренца
x2 = x1, y2 = y1, что нетрудно видеть, вычитая из первого уравнения системы
(3.2) второе уравнение, а из третьего уравнения - четвертое уравнение,
учитывая при этом, что r2 =0. При x2(0) = y2(0) = 0 траектория также не выходит
из трехмерного пространства Лоренца, описываемого переменными x1, y1, z.
Таким образом, можно считать, что при r2 = 0 динамика системы (3.2)
эквивалентна динамике трехмерной системы уравнений Лоренца
x1  x1  y1 , y1   x1 z  r1 x1  y1 , z  x1 y1  bz .
(3.5)
Ранее нами установлено, что при значениях параметров  = 10,5, b=8/3 и r1*
 33,2189 система уравнений (3.5) имеет наиболее сложный полный двойной
гомоклинический аттрактор, переход к которому осуществляется через полный
двойной гомоклинический каскад бифуркаций при уменьшении параметра r1 от
r1 = 350 до r1*  33,2189. Поэтому, наиболее интересным нам представляется
изучение перехода к хаосу в пятимерной системе уравнений (3.2) при r2 
0 и при фиксированных значениях остальных параметров системы:  = 10,5, b
= 8/3, r1 = 33,2189. Ниже мы покажем, что такой переход осуществляется через
субгармонический каскад бифуркаций двумерных торов.
19
Как следует из изложенного выше, условием существования предельного
цикла системы (3.2) является
выполнение неравенства (3.3), которое
автоматически удовлетворяется в случае рассматриваемых нами значений
параметров , r1, r2. Поэтому при всех r2, превышающих некоторое значение
r2*, единственным устойчивым предельным множеством системы (3.2) является
цикл (3.4). При r2 = r2*  1,93 из цикла (3.4) в результате бифуркации
Андронова-Хопфа рождается устойчивый тор T 2, после чего в системе (3.2)
возникают двухчастотные колебательные режимы. Мультипликаторы i, i=
1,…, 5, цикла (3.4), измеренные для системы (3.2) при значениях r2 =2,00, r2
=1.95 и r2 =1.93 соответственно равны: (0, 0, 1, 0.683  0.635i) с 4 = 5 =
0.932, (0, 0, 1, -0.166 0.966i) с 4 = 5 = 0.971 и (0, 0, 1, -0.5700.812i) с
4 = 5 = 0.992, и подтверждают классический переход двух
комплексно сопряженных мультипликаторов через окружность единичного
радиуса при бифуркации образования тора, которая в нашем случае имеет
место при уменьшении параметра r2. Родившийся при этом тор T 2 и все
дальнейшие его превращения, обусловленные
соответствующими
бифуркациями, удобно анализировать, исследуя проекции пересечения тора
с четырехмерным подпространством x2 =0 на плоскости (x1, y1) и (x1, z ).
Рис. 3.2. Проекция двумерного тора из пространства x2 = 0 на плоскости (x1, y1)
и (x1, z) при r1 = 33.2189 и r2 = 1.001.
На рис. 3.2 изображены соответствующие проекции, полученные при
значении параметра r2 =1.001. Каждая проекция представляет собой проекцию
пары замкнутых кривых, по которым тор T 2 пересекается с четырехмерным
подпространством x2 = 0.
20
Рис. 3.3. Проекция двумерного тора из пространства x2 = 0 на плоскости (x1, y1)
и (x1, z) при r1 = 33.2189 и r2 = .07.
Устойчивый тор T 2 существует в системе (3.2) при значениях параметра
0.7925 < r2 < 1.93. При r2  0.7925 в системе (3.2) происходит бифуркация
удвоения периода замкнутых кривых, по которым тор пересекает
подпространство x2 = 0 (рис. 3.3). При этом тор остается двумерным, но имеет
периода два, что соответствует удвоению площади его поверхности внутри
ограниченного объема фазового пятимерного пространства.
При дальнейшем уменьшении значений параметра r2 в системе (3.2)
наблюдается субгармонический каскад бифуркаций замкнутых кривых,
являющихся пересечением тора с подпространством x2 =0, что отражает
рождение новых устойчивых двумерных торов различных периодов со все
более увеличивающейся площадью поверхности внутри ограниченного объема
фазового пространства. Так при 0.418 < r2 <0.421 в системе (3.2) наблюдается
устойчивый двумерный тор периода пять, а при 0.349 < r2 <0.352 - устойчивый
двумерный тор периода три (рис. 3.4). Последний факт говорит о том, что
при r2 <0.349 в системе (3.2) уже имеется бесконечное число неустойчивых
двумерных торов всех периодов в соответствии с порядком Шарковского.
Рис. 3.4. Проекция двумерного тора из пространства x2 = 0 на плоскости (x1,
y1) и (x1, z) при r1 = 33.2189 и r2 = 0.42.
21
Рис.3.5. Проекция субгармонического аттрактора из пространства x2 = 0 на
плоскости (x1, y1) и (x1, z) при r1 = 33.2189 и r2 = 0.25.
Таким образом, при значениях параметра r2 < 0.349 в результате описанного
субгармонического каскада бифуркаций в системе (3.2) возникает аттрактор,
являющийся замыканием множества обмоток всех неустойчивых двумерных
торов, родившихся изначально устойчивыми в результате описанного выше
субгармонического каскада бифуркаций (рис. 3.5).
Вопрос о размерности аттрактора остается пока открытым. Наша гипотеза
состоит в том, что возникший таким образом аттрактор не является фракталом
и имеет целую размерность, равную трем. Это согласуется с гипотезой,
высказанной в работе [2], что аттрактор трехмерной вещественной системы
Лоренца имеет целую размерность, равную двум, так как множество циклов,
участвующих в его образовании, предположительно всюду
плотно на
некотором одномерном неустойчивом неинвариантном многообразии начала
координат. В соответствии с высказанной гипотезой пересечение аттрактора с
четырехмерным подпространством должно иметь размерность, равную двум, а
его проекции из трехмерного подпространства x2 = 0, z = r1 - 1 на плоскости
(x1, y1), (x1, y2) и (y2, y1 ) должны быть одномерными кривыми, что хорошо
подтверждается результатами проведенных нами численных экспериментов
(рис. 3.6). Заметим, что множество, являющееся пересечением аттрактора с
подпространством x2 = 0, при r2  0 стремится к предположительно
двумерному полному гомоклиническому аттрактору системы Лоренца,
лежащему в трехмерном пространстве (x1, y1, z).
Рис. 3.6. Проекция субгармонического аттрактора из пространства x2 = 0, z =
r1 –1 на плоскости (x1, y1), (x1, y2) и (y2, y1) при r1 = 31.892 и r2 = 0.25.
Таким образом, в сложных нелинейных динамических диссипативных
системах, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями,
переход к хаосу может происходить в соответствии с тремя сценариями,
22
которым соответствуют три различных каскада мягких бифуркаций: а)
субгармонический каскад бифуркаций устойчивых циклов, начальной стадией
которого является каскад бифуркаций удвоения периода Фейгенбаума; б)
гомоклинический (полный или неполный) каскад бифуркаций устойчивых
циклов; в) субгармонический каскад бифуркаций устойчивых двумерных торов.
Существуют ли другие сценарии перехода к хаосу в системах обыкновенных
дифференциальных уравнений и может ли в них реализоваться сценарий
перехода к хаосу Рюэля-Такенса через три последовательных бифуркации
Андронова-Хопфа, пока неизвестно. Попытки построить пример такой
системы, а также пример системы, реализующей гомоклинический каскад
бифуркаций устойчивых двумерных торов к успеху не привели.
Список использованной литературы
1. Смейл С. Математические проблемы следующего столетия. // Симо К.,
Смейл С., Шенсине А. и др. / Современные проблемы хаоса и нелинейности.
Сборник. Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002, 304 с.
2. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Новый взгляд на аттрактор Лоренца. //
Дифференциальные уравнения. 2001, т. 37, № 11, с. 1494 - 1506.
3. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. М.: Меркурий Пресс, 2000,
с. 271-272, 339-350.
4. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику. М.: Наука, 1990. С.
122-127.
5. Шустер Г. Детерминированный хаос: введение. М.: Мир, 1989. С. 197-204.
6. Lorenz E. N. Deterministic Nonperiodic Flow. J. Atmos. Sci. 1963. V. 20. P. 130141.
7. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Переход к хаосу в системе Лоренца через
полный двойной гомоклинический каскад бифуркаций // Нелинейная
динамика и управление. Сборник статей / Под ред. Емельянова С.В.,
Коровина С.К. М.: Физматлит, 2002, Вып. 2. с. 179-194
8. Шарковский А.Н. Сосуществование циклов непрерывного преобразования
прямой в себя. Укр. мат. журн., 1964, № 1, с. 61--71.
9. Rossler O.E. Phys. Letters, 1976, v. 57A, p. 397.
10.Mackey M., Glass L. Oscillations and chaos in physiological control systems,
Science. 1977, v. 197 p. 287—289.
11.Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Стабилизация неустойчивых периодических
решений в уравнениях с запаздыванием // Дифференциальные уравнения.
2000. т. 35, № 11, с. 1488-- 1492.
12.Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Распределенная модель саморазвивающейся
рыночной экономики // Нелинейная динамика и управление. Сборник статей
23
/ Под ред. Емельянова С.В., Коровина С.К. М.: Физматлит, 2002, Вып. 2, с.
243-262.
13.Магницкий Н.А., Сидоров С.В. О переходе к хаосу в нелинейных
динамических системах через субгармонический каскад бифуркаций
двумерных торов. // Дифференциальные уравнения. 2002, т. 38, № 12, с.
1606 - 1610.
14.Гиббон Дж. Дисперсионные неустойчивости в нелинейных системах:
вещественные и комплексные уравнения Лоренца // Синергетика, М,: Мир,
1984, с. 164-179.
15.Ott E., Grebogi C., Yorke J.A. Controlling chaos Phys. Rev. Lett. V.4, 1990, p.
1196 - 1199.
16.Shinbort T., Grebogi C., Yorke J.A. UsinG small perturbations to control chaos.
Nature. 1993, V. 363 № 3, p. 411 - 417.
17.Zhao H., Wang Y. Controlling time-dependent chaotic dynamical systems.
Dynamical Systems and Chaos. 1994,V. 2, p. 363 - 366.
18.Лоскутов А.Ю., Прохоров A.Л., Рыбалко С.Д., Фомина Ю.С.
Параметрические возмущения и управление поведением динамических
систем. Сборник / Под ред. Емельянова С.В., Коровина С.К. М.: Физматлит,
2002, Вып. 2. с. 77-98.
19.Chen G., Dong X. From Chaos to Order. World Scientific, 1998, 698 p.
20.Sepulchre J., Baboyantz A. Controlling chaos in a network of oscillators Physical
Rev. V. E48(2) 1994, p. 119-125.
21.Magnitskij N.A., Sidorov S.V. Stabilization of Unstable Periodic Orbits of Сhaotic
dynamical systems, -Nonlinear Dynamics on the Life and Social Science. IOS
Press, NATO Science Series. Ser. A. Life Science, 2001, v.320, p. 33-44.