Содержание 1. Качественная теория (11) 1.1. Элементы топологии (13) Топологическая структура | Гомеоморфизм | Что изучает топология? | Топологические свойства | Топологическое многообразие | Край | Лист Мебиуса | Ручки, дырки, пленки | Бутылка Клейна | Топологическая классификация | Гипотеза Пуанкаре | Дифференцируемое многообразие | Связность | Касательное расслоение | Индекс кривой 1.2. Элементы теории дифференциальных уравнений (25) Основные понятия | Типичные фазовые кривые на плоскости | Касательное пространство | Производная отображения | Действие диффеоморфизма на векторное поле | Основная теорема теории обыкновенных дифференциальных уравнений | Производная по направлению векторного поля | Первые интегралы | Потенциал 1.3. Линейная теория (33) Решение линейного дифференциального уравнения | Линейные дифференциальные уравнения на прямой | Случай кратных собственных чисел | Глобальная качественная картина | Понятие эквивалентности | Эквивалентность линейных систем | Устойчивость положений равновесия | Проблема Рауса-Гурвица | Чисто мнимые собственные числа | Неоднородные уравнения | Резонанс | Влияние диссипации на резонанс 1.4. Гамильтоновские системы (44) Фазовый объем | Определение гамильтоновских систем | Уравнение непрерывности | Простейшая гамильтоновская система | Эллиптические и гиперболические особые точки | Переменные действие-угол | Спектр нелинейных колебаний | Нелинейный маятник и появление солитонов | Метод усреднения | Вихревой дрейф | Адиабатические инварианты | Нелинейный резонанс | Аналогия с нелинейным маятником | Фазовый портрет нелинейного резонанса | Условия и свойства нелинейного резонанса | Теория Колмогорова-Арнольда-Мозера (КАМтеория) | Теорема о сохранении инвариантных торов | Качественная перестройка фазового портрета | Диффузия Арнольда | Практическая значимость 1.5. Диссипативные системы (63) Отличие от консервативных систем на макроуровне | Структура фазового пространства | Эволюция меры в фазовом пространстве | Мезоскопическое описание | Кинетический (вероятностный) подход | Понятие аттрактора | Размерность аттрактора 1.6. Библиография и комментарии (68) 2. Особенности (70) 2.1. Дифференцируемые отображения (71) 2.2. Особенности функций (76) 2.3. Особенности отображений (79) 2.4. Теория Уитни (82) 2.5. Особенности в задачах управления (91) 3. Бифуркации (101) 3.1. Общий подход: струи и ростки (101) Версальные деформации | Случаи общего положения | Особые (вырожденные) случаи | Коразмерность вырождения | Пространство струй | Росток отображения 3.2. Трансверсальность (107) Определение трансверсальности | Слабая теорема трансверсальности | Теорема трансверсальности Тома | Распадение сложных особых точек векторного поля 3.3. Версальные деформации матриц (110) Версальные и миниверсальные деформации | Бифуркационные диаграммы | Однопараметрические семейства | Двухпараметрические семейства | Трехпараметрические семейства 3.4. Бифуркации особых точек (113) Бифуркации особых точек векторного поля | Бифуркационные значения параметра | Бифуркации векторных полей на прямой | Тангенциальная бифуркация | Бифуркация смены устойчивости | Бифуркация удвоения ("вилка") | Неустранимые бифуркации векторных полей на прямой | Бифуркации многомерных векторных полей | Бифуркация "седло-узел" 3.5. Бифуркации периодических режимов (121) Бифуркации периодических решений | Уравнение Льенара | Бифуркация Пуанкаре-АндроноваХопфа | Мягкая потеря устойчивости | Жесткая потеря устойчивости | Теорема ПуанкареАндронова | Бифуркация Пуанкаре-Андронова-Хопфа 3.6. Бифуркации в дискретных системах (127) Открытие каскадов удвоения | Точки равновесия | Предельные циклы | Универсальная константа Фейгенбаума | Бифуркации утроения периода 3.7. Бифуркации комплексных систем (132) Множества Жюлиа | Множество Мандельброта | Границы алгоритма Ньютона | Решение проблемы Кэли для полиномов второго порядка | Решение проблемы Кэли для полиномов третьего порядка | Структурная устойчивость множества Мандельброта | Дискретизация непрерывных систем 3.8. Бифуркации градиентных систем (141) Теорема Тома о семи элементарных катастрофах | Гипотезы Тома | Однопараметрические семейства | Двухпараметрические семейства | Трехпараметрические семейства | Многопараметрические семейства 3.9. Перестройки фазовых портретов (148) Бифуркации и локальная качественная теория | Топологически версальные деформации | Версальные деформации однопараметрических фазовых портретов | Версальные деформации многопараметрических семейств | Вырождения в однопараметрических семействах | Потеря устойчивости автоколебаний | Отображение Пуанкаре | Оператор монодромии и мультипликаторы | Замкнутые фазовые кривые общего положения | Вырождения в однопараметрических семействах | Бифуркация рождения цикла | Бифуркация удвоения цикла 3.10. Библиография и комментарии (158) 4. Катастрофы (161) 4.1. Элементарная теория катастроф (162) Множество катастроф | Разбиение множества критических точек | Росток катастрофы | Эквивалентность отображений | Классификация катастроф | Элементарные (4-параметрические) катастрофы: складка, сборка, ласточкин хвост, эллиптическая омбилика, «падающая волна», бабочка, гриб | 5-параметрические катастрофы | Сложные катастрофы 4.2. Катастрофические изменения градиентных систем (169) Принцип максимального промедления | Принцип Максвелла 4.3. Приложения теории катастроф (170) Качественный сценарий эволюции структуры | Схема использования теории катастроф | Применение теории Уитни | Модель творческой личности | Распределение вещества во Вселенной | Философия теории катастроф 4.4. Библиография и комментарии (176) 5. Хаос (177) 5.1. Структурная устойчивость систем (178) Устойчивость по Ляпунову | Орбитная устойчивость | Структурная устойчивость математической модели | Понятие структурной устойчивости | Виды эквивалентности | Определение структурной устойчивости | Автоморфизм тора (пример У-системы) | Теорема Аносова | У-системы | У-потоки | Гиперболические множества | Применение У-систем | Пример Смейла 5.2. Фрактальные структуры (189) Хаусдорфова размерность | Ляпуновская размерность | Энтропийная размерность | Определение фрактала | Кривая Коха | Канторово множество | Ковер Серпиньского | Броуновское движение 5.3. Странные аттракторы (194) Аттрактор Лоренца | Гиперболические множества и гидродинамика | Странные аттракторы и турбулентность 5.4. Причины хаотизации динамики (196) Эргодичность | Перемешивание | Локальная неустойчивость | К-системы | Энтропия Колмогорова-Синая | Роль неустойчивости | Регулярность и стохастичность хаоса 5.5. Кинетический анализ хаоса (202) Кинетическое уравнение | Уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова | Кинетика гамильтоновских систем | Уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова для К-систем | Стохастический нагрев | Два типа диффузионности | Кинетика диссипативных систем 5.6. Сценарии хаоса (208) Начало хаотизации: потеря устойчивости | Сценарий Ландау-Хопфа | Сценарий Рюэля-Такенса | Сценарий Фейгенбаума | Сценарий Помо-Манневиля | Другие сценарии хаоса 5.7. Геометрические структуры хаоса (214) Стохастическая паутина | Кантор-торы | Фрактальные структуры хаоса 5.8. Библиография и комментарии (223) 6. Волны (227) 6.1. Нелинейные волны (228) Бегущие волны | Опрокидывание фронта волны | Уравнение Бюргерса | Ударная волна | Уравнение Кортевега-де Фриза | Периодические волны | Солитоны | Аналог числа Рейнольдса | Уравнение Клейна-Гордона | Кинки 6.2. Система Лоренца (238) Тепловая конвекция | Число Рэлея | Модель Лоренца | Качественная картина | Последовательность бифуркаций | Аттрактор Лоренца | Конвективная турбулентность 6.3. Конвекция Рэлея -Бенара (242) Модель конвекции | Конвекция Рэлея | Конвекция Бенара | Развитие неустойчивостей и усложнение структур | Пространственный хаос 6.4. Турбулентность (246) Гидродинамическая турбулентность | Спектр турбулентности | Теория Колмогорова | Слабая и сильная турбулентность | Ленгмюровская турбулентность | Солитонная турбулентность | Универсальные черты турбулентности 6.5. Кинетика квазичастиц (251) Гамильтоновское описание волн | Основное кинетическое уравнение | Кинетические моменты | Кинетика фононов | Слабая турбулентность 6.6. Кинетика нелинейных волн (255) Возникновение стохастичности | Развитие стохастичности | Кинетическое уравнение | Определение коэффициентов диффузии | Коэффициенты диффузии для типичных нелинейных волн | Рост энергии волны 6.7. Библиография и комментарии (259) 7. Активные среды (262) 7.1. Типы активных сред (262) Типы активных элементов | Математические модели активных элементов | Типы волн в активных средах 7.2. Бистабильная среда (265) Модель бистабильного элемента | Эволюционное уравнение бистабильной среды | Волна переключения | Механическая аналогия | Скорость волны переключения | Общие свойства структур в бистабильных средах | Метастабильность фаз | Критический росток метастабильной фазы 7.3. Возбудимые среды (270) Эволюционные уравнения возбудимой среды | Реакция Белоусова-Жаботинского | Ведущие центры | Горение | Бегущий импульс | Расчет уединенного бегущего импульса | Закон дисперсии нелинейных периодических волн 7.4. Возбудимая сеть клеточных автоматов (274) Клеточный автомат | Топология клеточного автомата | Простейшие клеточные автоматы | Сеть клеточных автоматов | Игра "Воспроизведение" | Игра "Жизнь" | Модель Винера-Розенблюта | Обобщенная модель Винера-Розенблюта 7.5. Спиральные волны (286) Расчет спиральной волны в двухмерной возбудимой среде | Трехмерные возбудимые среды 7.6. Осциллирующие среды (288) Синхронные автоколебания | Осцилляции однородной активной среды | Эволюционное уравнение фазовой динамики осциллирующих сред | λ-ω модель осциллирующей среды | Обобщенная модель Гинсбурга-Ландау | Синхронизация и турбулентность | Фазовые волны | Пейсмекер | Аналогия с уравнением Шредингера | Рождение пейсмекера | Спиральные волны 7.7. Диссипативные структуры (295) Различие локального и глобального | Двухкомпонентные среды с диффузией | Диссипативные структуры в бистабильной среде | Диссипативные структуры в возбудимой среде | Диссипативные структуры в осциллирующей среде | Осциллирующие диссипативные структуры 7.8. Библиография и комментарии (298) 8. Синергетика (300) 8.1. Самоорганизация (301) Базовая модель | Устойчивость термодинамической ветви | Бифуркация термодинамической ветви | Фазовый переход второго рода | Фазовые переходы первого рода | Равновесные структуры | Самоорганизация в неравновесных системах | Термодинамический порог самоорганизации | Диссипативные структуры | Учет внутренних флуктуации | Синергетический подход | Самоорганизация — новый тип эволюции | Детерминированность и стохастичность | Закономерность и случайность | S-теорема | Негэнтропия | Сложное поведение | Компоненты сложного поведения | Алгоритмическая сложность | Эволюция структуры | Структура и сложность 8.2. Термодинамика (309) Термодинамическое равновесие | Условие детального равновесия | Неравновесные фазовые переходы | Начала термодинамики | Второе начало термодинамики | Энтропия | Изолированные системы | Производство энтропии | Понижение энтропии | Связь с устойчивостью | Критерий минимума производства энтропии | Понятие структуры в термодинамике | Локальная и глобальная структура | Диссипативные структуры 8.3. Экология (317) Эволюционное уравнение популяции | Типы локальной динамики | Волны в логистической популяции | Волна в популяции типа Олли | Автомодельность | Учет таксиса | Волны в системах "ресурс-потребитель" | Устойчивость популяционных волн | Нерегулярные волны | Волновые пакеты | Возникновение диссипативных структур | Влияние формы ареала | Катастрофы | Циклы и хаос | Стохастические модели | Популяции со случайной структурой | Метод квазипотенциала | Общественное поведение | Роль случайности в общественной организации | Социальные системы | Стратификация общества. 8.4. Этногенез (339) Этнос | Этнос — природный феномен | Структура этнических систем | Уточнение определения этноса | Суперэтнос | Начала и концы | Влияние флуктуации | Этническое поле | Раскол этнического поля | Пассионарность | Пассионарные толчки | Признаки пассионарных толчков | Этногенез | Пассионарное напряжение | Историческое время | Фазы этногенеза | График этногенеза | Синергетические эффекты этногенеза 8.5. Микроструктура мира (351) Клеточные автоматы | Клеточно-автоматная модель физической вселенной | "Воображаемая физика" | "Информационная действительность" | Уровень Зенона и абсолютный эфир | Пикоуровень | Физический вакуум | Смена парадигмы | Типы решений взаимной синхронизации | Микро-уровень и квантовая механика | Макро-уровень и обычная физика | Исходная дискретная модель | Непрерывная аппроксимация | Пространство-время в непрерывной модели | Эволюционное уравнение синхронизации | Решение диффузионного типа | Сингулярный источник | Биполярный источник | Решение типа спиральной волны | Скорость света | Антимир | Генерация материи | Величины характеристик цифровой сети 8.6. Библиография и комментарии (364) 9. Синергетический подход (371) 9.1. Методология нелинейного анализа (371) Роль нелинейной интуиции | От частиц к полям | От поля к частицам | Солитоны и квазичастицы | Иерархия моделей 9.2. Моделирование (375) Непрерывное и дискретное | Уровни моделирования | Имитационные "монстры" | Влияние катастроф и хаоса | Моделирование сложного поведения | Моделирование сложных систем | Качественное моделирование | Реконструкция сложной динамики 9.3. Эволюционные модели (381) Детерминированная эволюционная модель | Учет взаимодействия структур | Учет мутаций 9.4. Распознавание образов (384) Ассоциативная память | Модель Хопфилда | Обучение в модели Хопфилда | Модель Хопфилда для непрерывных систем | Альтернативный подход 9.5. Обучение (387) Алгоритм обучения Хебба | Перцептрон 9.6. Оптимизация (390) Алгоритмы оптимизации | Метод имитации отжига для комбинаторной оптимизации | Метод имитации отжига для непрерывной оптимизации | Двухуровневая стратегия оптимизации | Эволюционный метод оптимизации 9.7. Управление (394) Управление по конечному результату | Управление пучком траекторий | Интервальное управление | Управление изнутри | Изменчивость цели управления | Согласование нашей цели управления и цели функционирования системы | Резонансное управление | Иерархичность и распределенность управления 9.8. Компьютер (396) Традиционная схема компьютера | Матричный процессор | Вычислительные сети | Аналоговая обработка информации | Нейрокомпьютер | Молекулярный компьютер | "Зеленая" технология. 9.9. Библиография и комментарии (400)