Бифуркации Андронова-Хопфа (двухмерная

Бифуркации Андронова-Хопфа (двухмерная динамическая система)
Слово бифуркация в переводе с латыни означает раздвоение. Термин бифуркация
используется в различных разделах естественных наук, но точное определение понятия
бифуркации может зависеть от класса исследуемых проблем. Часто исследование состояний
равновесия некоторой системы в зависимости от параметра может быть сведено к решению
уравнения
f  x,    0 , причем f  0,    0 . Говорят, что  0 − бифуркационное значение
параметра, если в любой окрестности точки  0 уравнение f  x,    0 решения, отличные от
тривиального, и стремящиеся к нулю при    0 .
Иначе определяется бифуркации в теории динамических систем, описывающих развитие
процесса во времени. Пусть динамическая система описывается автономной системой
дифференциальных уравнений, содержащей числовой параметр
dx
 f  x,   , f  0,    0
dt
(1.1)
Будем предполагать, что функция f  x,   имеет частные производные всех порядков в
некоторой окрестности точки  0,  0  . Предположим, что x=0 изолированное положение
равновесия.
Замкнутым фазовым траекториям соответствуют периодические решения. Изолированная
замкнутая фазовая траектория называется предельным циклом. Предельный цикл  устойчив,
если для любой окрестности O1    существует такая окрестность O2     O1    , что все
интегральные кривые x  t  , пересекающие O2    при t=t1 остаются в окрестности O1    при
t  t1 . Если
  x  t  ,    min   x  t  , y   0 при t   ,
(1.2)
y
то предельный цикл асимптотически устойчив.
Теорема Пуанкаре-Бендиксона. Любая фазовая траектория, лежащая внутри
компакта, либо замкнута, либо асимптотически стремится при t  + к положению
равновесия или предельному циклу.
Значение параметра  *   0, 0  , бифуркационное, если при переходе через это
значение параметра фазовые картинки в окрестности положения равновесия x=0 качественно
различны (не могут быть получены одна из другой при помощи непрерывного и взаимно
однозначного отображения).


Бифуркации, возникающие, когда матрица f x 0,  * имеет пару чисто мнимых
собственных значений, называют бифуркациями Андронова-Хопфа.
Начнем с простого, но принципиально важного примера
dx1
  x2   x1   x1  x12  x22  ,
dt
dx2
 x1   x2   x2  x12  x22  .
dt
(1)
Матрица линеаризированной системы
  1
A    
.
1  
Матрица A    имеет собственные значения   i . При   0 положение равновесия
x=0 линеаризировааной системы, будет устойчивым фокусом, а при  >0 неустойчивым
фокусом, при   0 центром.
Умножая первое уравнение на x1 , а второе уравнение на x2 и складывая результат,
получаем, что
2
2
4
1 d  x1  x2 
   x12  x22     x12  x22 
2
dt
(2)
Умножая второе уравнение (1) на x1 первое на x2 и вычитая результат, получаем, что
x1
dx2
dx
 x2 1  x12  x22
dt
dt
(3)
Перейдем в уравнениях (2.3) к полярным координатам
x1  r cos  , x2  r sin 
Уравнения (2) и (3) запишутся в виде
1 dr
 r  r 3  0,
 dt
(4)
d
 1.
dt
Уравнение (4) имеет следующие решения
r=0,r  2, r 
r0
r02  1  r02  e
2  t t0 
.
Получаем следующие решения системы уравнений (1)
Положение равновесия x1  0, x2  0
x1  0, x2  0 ;
Предельный цикл
x1  cos  t  t0  , x2  sin  t  t0 
Семейство траекторий
x
r0 cos  t  t0 
r02  1  r02  e
2  t t0 
, y
r0 cos  t  t0 
r02  1  r02  e
(5)
2  t t0 
Из формул (5) следует, что при   0 устойчиво положение равновесия и неустойчив
предельный цикл. При   0 положение равновесия неустойчиво, а предельный цикл устойчив.
При переходе через бифуркационное значения параметра   0 происходит бифуркация
Андронова-Хопфа.
Заметим еще, что систему уравнений (1) можно записать в комплексном виде. Полагая
x1  ix2  z,   i   ,
получаем уравнение
dz
2
 z  z z
dt
(6)
В системе (1) нелинейные члены обращались в ноль при   0 . Система
dx1
   x2   x1  x1  x12  x22  ,
dt
dx2
  x1   x2  x2  x12  x22 
dt
(7)
сводится к системе (1) при помощи замены x1  y1  , x2  y2  . В фазовой плоскости
 y1, y2  предельный цикл является окружностью радиуса 1, а в фазовой плоскости  x1 , x2 
предельный цикл является окружность радиуса
 .
Важность примеров (1) и (7) обусловлена тем, что они описывают типичную ситуацию
бифуркации Хопфа в системах второго порядка.
Пусть (1.1) есть система второго порядка. Запишем ее в следующем виде
dx
 Ax  f  x  ,
dt
a12 
a
A   11
 , f  0   0, f x  0   0 .
 a21 a22 
(8)
Характеристическое уравнение для матрицы A
a
a
1
 a11    a22     a12 a21   2  2  d  0,    SpA   11  22 ,
2
2
2
d  det A .
Предполагается, что характеристическое уравнение имеет комплексные собственные
значения. Для этого необходимо, чтобы a12 a21  0 .
Предполагается, что d   2 . Собственнoe числo и собственный вектор матрицы A
    i ,   d   2 , h   a12 ,   a11 
(9)
Возьмем в качестве базисных вектора h, h .
x   h   h , f  x   F   ,   h  F  ,   h
Подставляя эти выражения в уравнение (8), получаем
 h   h   h   h  F  ,   h  F  ,   h
    F  ,   ,     F  ,  
(10)
Если первоначальный базис был  e1 , e2  , то
x  x1e1  x2e2  h  h     a12e1 ,   a11e2     a12e1 ,   a11e2 
Откуда следует, что
x1  a12     , x2      a11       a11 
   x1
   i    a11 
  a11
  a11  i
1
i
i
 x2
i
x1 
x2 
x1 
x2
 
2 a12
2
2 a12
2
a12     
F   
   i    a11 
f1 a12     ,     a11       a11  
2  a12


i

f 2 a12     ,     a11       a11 
2
(11)

(12)

Без ограниченя общности можно считать, что   1 Итак, система уравнений приводится к
комплексной форме
dz
  z  f  z, z ,   ,
dt

k
    i, f  z, z ,     f k  z, z , f k  z, z    ak m, k    z
k 2
(13)
k m
z
m
m 0
Приведение системы к нормальному виду. Рассмотрим замену
2 n 1
k
k 2
j 0
z       ,      k  ,  , k  ,     ck  j , j k  j j .
(14)
Потребуем, чтобы в результате такой замены уравнение принимало следующий вид
      ,       2 k 1 k 1 k  O  2 n  2  при   0,
n
(15)
k 1
Подставляя выражения (14) и (15) в уравнение (13), получаем, что
z
z

   z  f  z, z ,   ,


(16)
  

             f    ,    
1 
       

  
(17)
 




    
    
  f    ,    



 

 
(18)
Из формулы (14)следует, что
n
k
 


    
     k  j  1   j   k  j j ck  j , j  O  2 n  2 
 k 2 j 0
 

 
Неизвестные коэффициенты находятся из уравнения (18) после сравнения коэффициентов
при одинаковых степенях  k 
m
Рассмотрим число
  k  j 1   j    k  j     k  2 j  1
Мнимая часть этого числа обращается в ноль при к  2 j  1 . Чтобы избежать проблемы
малых коэффициентов положим с j 1, j  0 .
При k  2 приравниваем соответствующие квадратичные формы
c20  2  c11  c02  2     2   20 2  11   02 2 ,
c20 
 20
 02

, c11  11 , c02 


2  
(19)
Приравниваем формы третьего порядка
2 с30 3  2 c12 2   3    c03   3 2   30 3   21 2  12 2   30 3 
  2 20  11
 c
 2  c11  c02
20
2
  
  2 02
11
 c
 2  c11  c02 2 
20
Из этого равенства определяются неизвестные коэффициенты
c30   2 
1
c12   2 
1
 30  2 20c20  11c02  , 3   21  a11c20  2a20c11  a11c11  2 02c02 ,
12  a11c11  2 20c02  11c20  2a02c11  , c03   3     03  11c02  2 02c02  .
1
Аналогично определяются остальные коэффициенты. Так как выкладки громоздкие, то их
можно проводить на компьютере при помощи программ символьных вычислений.
Уравнение в нормальной форме
      2 k 1 k 1 k  O  2 n  2  ,     i ,     0
n
k 1
В полярных координатах
n
   re , r  ir   r    k  2 k 1r 2 k 1   n 1r 2 n  2  r ,  
i
(20)
k 2
В формуле (20)   r ,   гладкая 2 - периодическая функция. Отделяя действительную и
мнимую части, получаем систему уравнений
n
r   r   r 3 Re 3    k r 2 k 1 Re  2 k 1   n 1r 2 n  2 1  r ,  
(20)
k 2
n
  1   r 2 Im 3    k r 2 k Im  2 k 1   n 1r 2 n 1 2  r ,  
(21)
k 2
При малых значениях параметра и при ограниченных значениях r в качестве независимой
переменной можно принять полярный угол  . Получаем систему уравнений
n
dr
  r   a3r 3    k r 2 k 1ak  n 1r 2 n  2 3  r ,   , a3  Im  3  Re  3
d
k 2
n
dt
 1   r 2 Im 3    k bk r 2 k   n 1r 2 n 1 4  r ,  

k 2
(22)
(23)
Предполагается, что a3   . Поэтому без ограничения общности можно считать a3  1 .
Уравнение (22) решается независимо от уравнения (23). Если функция r  ,   найдена, то
функция t  ,   находится из уравнения (23).
Полагая в уравнении (22)    , получаем уравнение
n
dr
 r  r 3    k 1r 2 k 1ak  n r 2 n  2 3  r ,  1 
d
k 2
(24)
Будем искать приближенное решение уравнения (22) в следующем виде
n
Rn  ,    a      k rk   .
(25)
k 1
Подставляя выражение (25) в уравнение (24) и приравнивая коэффициенты при
одинаковых степенях параметра, получаем рекуррентную систему уравнений. При   0
получаем уравнение
da
1
 a  a 3 , a   
  
d
1 e  0
(26)
Функция a   строго возрастает и отображает расширенную прямую R   ,   на
 
отрезок  0, 1 . Рассмотрим множество С R функций непрерывных на R и удовлетворяющих
 
условию f    c  f  a 2   . Множество С R будет банаховым пространством с нормой

f  sup a  
 R
f  
2

(27)
 
Заметим, что функция a    C R . Для определения функций rk   получаем
рекуррентную систему уравнений
drk
 rk  3a 2 rk   k  a, r1 ,
d
rk 1  , k  2.
Многочлены  k  a, r1 ,
(28)
rk 1  не содержат свободного члена и линейных членов и
неотрицательны, если их аргументы неотрицательны.
 
Лемма 1. Если функция g    C R и g    0 то уравнение
dr
 r  3a 2 r  g  
d
(29)
 
имеет единственное неотрицательное решение в пространстве C R , причем r  2 g .
Доказательство. Однородное уравнение (29) имеет частное решение
a    a    a3   . Это решение положительно и не принадлежит пространству C  R  .
Покажем, что частное решение неоднородного уравнения
g s
ds  0
a  s 


r    a   
(30)
 
принадлежит пространству C R . Так как g  s   a 2  s  g , то
0  r    a  



 a   g
g a2  s 
ds  a   g
a  s 
a  s 


ds  a   g
2




2
a  s 
a  s  ds
 1  a  s  
1  a  s  
a s
 a  s  1  a  s   g
 2a  s  g .
1 a  s
2

a 2  s  a  s 
2
2
ds 


2
Покажем, что функция r   имеет конечный предел при   
(31)

lim r    lim
 
g s
 a  s  ds

 
1/ a  
g   a  
g   a  
1
  lim
  lim
 g    (32)
  a   a  
  a   1  3a  

 2
2
Утверждение леммы следует из неравенства (31) и равенства (32). Лемма доказана.
Из леммы 1 следует, что все уравнения (28) могут быть последовательно разрешены в
 
пространстве C R .
Теорема. Найдется такое число  0  0 , что при 0     0 уравнение (24) имеет
ограниченное r  ,   решение на интервале      и
r  ,    Rn  ,    C  n  a 2    n 1 .
Доказательство. Пусть С  R  пространство ограниченных и непрерывных функций с
конечной нормой (27). Будем рассматривать уравнение (24) как уравнение вида Ar  F  r ,    0
в пространстве ограниченный и непрерывных функций С  R  , полагая
Ar 
n
dr
 r , F  r ,    r 3    k 1r 2 k 1ak  n r 2 n  2 3  r ,  1 
d
k 2
(33)
В силу наложенных ограничений оператор F действует в пространстве С  R  и имеет и на
любом отрезке имеет производную Фреше, удовлетворяющую условию Липшица с константой
Липшица l . Возьмем в качестве начального приближения функцию
Rn  ,   . Оператор
A  F   Rn ,   имеет ограниченный обратный оператор при достаточно малых значениях
параметра  . Действительно, при   0 оператор
 A  F   R  , 0  , 0   r  ddr  3a
n
2
  r
Имеет ограниченный обратный в силу леммы 1. Так как оператор A  F   Rn ,   отличается от


оператора A  F  Rn  , 0 ,0 на ограниченный линейный оператор, норма которого имеет
порядок  , то оператор A  F   Rn ,   также имеет ограниченный обратный при достаточно
малых значениях параметра  и   A  F   Rn   c0 . В силу определения функции Rn  ,  
невязка
ARn  F  Rn ,         c  n   n 1
Но тогда для достаточно малых значений параметра 2l 2  1 и силу известной теоремы
функционального анализа (см. модифицированный метод Ньютона решеия функциональных
уравнений )уравнение Ar  F  r ,    0 имеет решение, причем r     Rn      n 1 , что и
требовалось доказать.
Обратимся к решению уравнения (25). Положим
  t     ,
n
d
  2 r 2    k  2 k r 2 k   n 1r 2 n 1 4  r ,  1  ,
d
k 2


n

2
2k 
  0     2 r  s     k 1 2 k r  s  ds   n 1  r 2 n 1  s  4  r  s  ,  1s ds
k 2

 

Лемма 2. Асимптотика при   
         n1  ,   ,

n

    0     2 2 r2       k 2 k rk     ,   C  n 

2
k 2
2k

Доказательство. Получается применением правила Лопиталя.