Замечательные точки и линии

Замечательные линии и точки треугольника
Трошева Наталья, 9 класса
Тезисы
Геометрия является самым
могущественным средством для
изощрения наших умственных
способностей и дает нам возможность
правильно мыслить и рассуждать
Г.Галилей.
Геометрия - удивительная наука. Ее история насчитывает не одно тысячелетие,
но каждая встреча с ней способна одарить и обогатить волнующей новизной
маленького открытия, изумляющей радостью творчества. Действительно, любая
задача элементарной геометрии является, по существу, теоремой, а ее решение –
скромной математической победой.
Объект исследования – изучение замечательных точек и линий треугольника.
Предмет исследования – замечательные точки и линии треугольника.
Цель исследования – изучить пересечение биссектрис, медиан, высот,
серединных перпендикуляров в произвольных треугольниках.
Методы исследования: анализ, синтез, сравнение, обобщение.
Работа имеет практическое применение. Ее могут использовать школьники и
взрослые при решении реальных ситуаций; учителя, как при проведении уроков по
математике, так и на факультативных курсах и дополнительных занятий на
повторение.
Данное исследование будет полезным для учащихся при самостоятельной
подготовке к выпускным и вступительным экзаменам. А также будет полезно и для
учеников, целью которых стали высокие места на городских олимпиадах.
Замечательные точки и линии треугольника
Точка пересечения биссектрис Биссектрисой треугольника называется отрезок
биссектрисы любого угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с
точкой противоположной стороны. Любой треугольник имеет три биссектрисы.
Теорема: Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Доказательство: Обозначим буквой О точку пересечения биссектрис АА1 и ВВ1
треугольника ABC и проведем из этой точки перпендикуляры OK, OL и ОМ
соответственно к прямым АВ, ВС и СА. По теореме каждая точка биссектрисы
неразвернутого угла равноудалена от его сторон, значит ОК=ОМ и OK=OL. Поэтому
ОМ = OL, т. е. точка О равноудалена от сторон угла АСВ и, значит, лежит на
биссектрисе CС1 этого угла. Следовательно, все три биссектрисы треугольника ABC
пересекаются в точке О, что и требовалось доказать.
Точка пересечения высот. Высотой называют перпендикуляр, проведенный из
вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
Теорема: Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
Точка пересечения медиан. Медианой называется отрезок, соединяющий
вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Теорема: медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит
каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Точка пересечения серединных перпендикуляров. Серединным перпендикуляром
называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная
к нему.
Теорема: серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в
одной точке.
Пусть дан треугольник ABC. Точкой Торричелли этого треугольника называется
такая точка О внутри треугольника, из которой стороны данного треугольника видны
под углом 120° , то есть углы АОВ, АОС и ВОС равны 120°.
Пусть в треугольнике АВС Н - точка пересечения высот треугольника; точки A1,
B1, C1 обозначают основания высот; А2, В2, С2 — середины соответствующих сторон; А3,
В3, С3 — середины отрезков АН, ВН и СН. Тогда точки А1, В1, С1, А2, В2, С2, А3, В3, С3
лежат на одной окружности, называемой окружностью девяти точек или
окружностью Эйлера.
В треугольнике центр описанной окружности, точка пересечения медиан, точка
пересечения высот и центр окружности девяти точек лежат на одной прямой,
называемой прямой Эйлера.
«Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой
геометрический период. Все вокруг - геометрия». Эти слова, сказанные великим
французским архитектором Ле Корбюзье в начале XX века, очень точно
характеризуют и наше время. Мир, в котором мы живем, наполнен геометрией домов
и улиц, гор и полей, творениями природы и человека.
В результате выполнения данной работы у меня расширились знания по математике. Я
узнала, что кроме известных мне замечательных точек пересечения высот, медиан,
биссектрис и серединных перпендикуляров существуют еще замечательные точки и линии
треугольника.
Полученные знания по данной теме смогу использовать в своей учебной
деятельности, самостоятельно применять теоремы к определенным задачам,
применять изученные теоремы в реальной ситуации.
Считаю, что применение замечательных точек и линий треугольника в изучении
математики является эффективным. Знание их значительно ускоряет решение многих
заданий. Предложенный материал можно использовать как на уроках математики, так
и во внеклассных занятиях учащимися 5-9-х классов. Учителям - с целью подготовки
учащихся к решению олимпиадных задач, интеллектуальным конкурсам «Марафон
знаний», региональному конкурсу «Кенгуру».
В дальнейшем предполагаю продолжить работу над изучением замечательных
точек и линий треугольника, для решения этих проблем ставлю следующие задачи:
 более глубокое изучение литературы по теме «замечательные точки и
линии треугольника».
 подбор задач, решаемых с помощью теорем о замечательных точках и
линиях треугольника.
Я изложила эту работу доступным языком, чтобы каждый ученик, которому это
интересно, мог взять мой реферат и самостоятельно получить дополнительные знания по
замечательным точкам и линиям треугольника.