Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации
Управление образования и науки Кудымкарского муниципального района
МОУ «Кувинская средняя общеобразовательная школа»
Конкурс учебной – исследовательских работ учащихся
Секция математики
Замечательные линии и точки
треугольника
Тезисы
Автор: Трошева Наталья,
ученица 9-ого класса.
Руководитель:
Копытова Н.Г.,
учитель математики
2010г.
Содержание
Введение…………………………………………...…………………………………3
Из истории……………………………………………………………………………4
1. Замечательные точки:
1.1 Точка пересечения биссектрис……………………………………………….5
1.2 Точка пересечения высот……………………………………………………..6
1.3 Точка пересечения медиан…………………………………………………7-8
1.4 Точка пересечения серединных перпендикуляров…………….…...……….9
1.5 Точка Торричелли………………………...……………………..……….10-11
1.6 Окружность девяти точек…………………………………...………………12
1.7 Прямая Эйлера……………………………………………………………….13
2. Задачи, решаемые данными теоремами……………………………………..…14
Заключение…………………………………………………………...…………15-16
Библиографический список………………………………………………………..17
2
Введение.
Геометрия является самым
могущественным средством для
изощрения наших умственных
способностей и дает нам возможность
правильно мыслить и рассуждать
Г.Галилей.
Геометрия - удивительная наука. Ее история насчитывает не одно
тысячелетие, но каждая встреча с ней способна
одарить и обогатить
волнующей новизной маленького открытия, изумляющей радостью творчества.
Действительно, любая задача элементарной геометрии является, по существу,
теоремой, а ее решение – скромной математической победой.
Объект исследования – изучение замечательных точек и линий
треугольника.
Предмет исследования – замечательные точки и линии треугольника.
Цель исследования – изучить пересечение биссектрис, медиан, высот,
серединных перпендикуляров в произвольных треугольниках.
Методы исследования: анализ, синтез, сравнение, обобщение.
Работа имеет практическое применение. Ее могут использовать
школьники и взрослые при решении реальных ситуаций; учителя, как при
проведении уроков по математике, так и на факультативных курсах и
дополнительных занятий на повторение.
Данное исследование будет полезным для учащихся при самостоятельной
подготовке к выпускным и вступительным экзаменам. А также будет полезно
и для учеников, целью которых стали высокие места на городских
олимпиадах.
3
Из истории
В четвертой книге "Начал" Евклид решает задачу: "Вписать круг в данный
треугольник". Из решения вытекает, что три биссектрисы внутренних углов
треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанного круга. Из
решения
другой
задачи
Евклида
вытекает,
что
перпендикуляры,
восстановленные к сторонам треугольника в их серединах, тоже пересекаются в
одной точке - центре описанного круга. В "Началах" не говорится о том, что и
три
высоты
треугольника
пересекаются
в
одной
точке,
называемой
ортоцентром (греческое слово "ортос" означает "прямой", "правильный"). Это
предложение было, однако, известно Архимеду. Четвертой особенной точкой
треугольника является точка пересечения медиан. Архимед доказал, что она
является центром тяжести (барицентром) треугольника.
На вышеназванные четыре точки было обращено особое внимание, и
начиная с XVIII века, они были названы "замечательными" или "особенными"
точками треугольника. Исследование свойств треугольника, связанных с этими
и
другими точками,
послужило
началом
для
создания
новой
ветви
элементарной математики - "геометрии треугольника" или "новой геометрии
треугольника», одним из родоначальников которой стал Леонард Эйлер.
В 1765 году Эйлер доказал, что в любом треугольнике ортоцентр,
барицентр и центр описанной окружности лежат на одной прямой, названной
позже "прямой Эйлера". В двадцатых годах XIX века французские математики
Ж. Понселе, Ш. Брианшон и другие установили независимо друг от друга
следующую теорему: основания медиан, основания высот и середины отрезков
высот, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника, лежат на одной и
той же окружности. К. Фейербах установил, что центр этой окружности лежит
на прямой Эйлера. Эта окружность называется "окружностью девяти точек",
или "окружностью Фейербаха", или "окружностью Эйлера".
4
Замечательные точки и линии треугольника
Точка пересечения биссектрис
Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы любого угла
треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной
стороны. Любой треугольник имеет три биссектрисы.
Теорема: Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Доказательство: Обозначим буквой О точку пересечения биссектрис АА1
и ВВ1 треугольника ABC и проведем из этой точки перпендикуляры OK, OL и
ОМ соответственно к прямым АВ, ВС и СА (рис. 1).
Рис. 1.
По теореме каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от
его сторон, значит ОК=ОМ и OK=OL.
Поэтому ОМ = OL, т. е. точка О
равноудалена от сторон угла АСВ и, значит, лежит на биссектрисе CС1 этого
угла. Следовательно, все три биссектрисы треугольника ABC пересекаются в
точке О, что и требовалось доказать.
5
Точка пересечения высот
Высотой
называют
перпендикуляр,
проведенный
из
вершины
треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
Теорема: Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в
одной точке.
Доказательство: Рассмотрим произвольный треугольник ABC и докажем,
что прямые АА1, ВВ1 и СС1, содержащие его высоты, пересекаются в одной
точке (рис. 2).
Рис. 2
Проведем
через
каждую
вершину
треугольника
ABC
прямую,
параллельную противоположной стороне. Получим треугольник А2В2С2. Точки
А, В и С являются серединами сторон этого треугольника. Действительно,
AB=A2C и АВ=СВ2 как противоположные стороны параллелограммов АВА2С и
АВСВ2, поэтому А2С = СВ2. Аналогично С2А=АВ2 и С2В=ВА2. Кроме того, как
следует из построения, СС1
┴
А2В2, АА1 ┴ В2С2 и BB1
┴
A2C2. Таким образом,
прямые АА1, BB1 и CC1 являются серединными перпендикулярами к сторонам
треугольника А2В2С2. Следовательно, они пересекаются в одной точке.
6
Точка пересечения медиан
Медианой называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с
серединой противоположной стороны.
Теорема: медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая
делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Доказательство: Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Обозначим
буквой О точку пересечения его медиан AA1 и ВВ1 и проведем среднюю линию
А1В1 этого треугольника (рис. 3).
с
Рис.3
Отрезок А1В1 параллелен стороне АВ, поэтому углы 1 и 2, а также углы 3 и 4
равны как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и
А1В1 секущими
AA1 и ВВ1. Следовательно, треугольники АОВ и А1ОВ1
подобен по двум углам, и, значит, их стороны пропорциональны:
АО ВО
АВ


А1О В1О А1 В1
Но АВ = 2А1В1 поэтому AO = 2А1O и ВО = 2В1О. Таким образом, точка О
пересечения медиан АА1 и BB1 делит каждую из них в отношении 2:1, считая
от вершины.
7
Аналогично доказывается, что точка пересечения медиан BB1 и CC1 делит
каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины, и, следовательно,
совпадает с точкой О.
Итак, все три медианы треугольника ABC пересекаются в точке О и
делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.
8
Точка пересечения серединных перпендикуляров
Серединным перпендикуляром называется прямая, проходящая через
середину данного отрезка и перпендикулярная к нему.
Теорема:
серединные
перпендикуляры
к
сторонам
треугольника
пересекаются в одной точке.
Доказательство: Для доказательства этого утверждения рассмотрим
серединные перпендикуляры т и п к сторонам АВ и ВС треугольника ABC
(рис.4).
Рис.4
Эти прямые пересекаются в некоторой точке О. Если предположить противное,
т. е. что т \ \ п, то прямая В А, будучи перпендикулярной к прямой т, была бы
перпендикулярна и к параллельной ей прямой п, а тогда через точку В проходили
бы две прямые ВА и ВС, перпендикулярные к прямой п, что невозможно.
По теореме ОВ = О А и ОВ=ОС (Каждая точка серединного перпендикуляра к
отрезку равноудалена от концов этого отрезка). Поэтому ОА=ОС, т. е. точка О
равноудалена от концов отрезка АС и, значит, лежит на серединном
перпендикуляре р к этому отрезку. Следовательно, все три серединных
перпендикуляра т, п и р к сторонам треугольника ABC пересекаются в точке О.
9
Точка Торричелли
Пусть дан треугольник ABC. Точкой Торричелли этого треугольника
называется такая точка О внутри треугольника, из которой стороны данного
треугольника видны под углом 120° (рис. 5), то есть углы АОВ, АОС и ВОС
равны 120°.
Рис.5
Докажем, что в случае, если все углы треугольника меньше 120°, точка
Торричелли существует.
На стороне АВ треугольника ABC построим равносторонний треугольник
ABC' (рис. 6,а) и опишем около него окружность. Отрезок АВ стягивает дугу
этой окружности величиной 120°. Следовательно, точки этой дуги, отличные от
А и В, обладают тем свойством, что отрезок АВ виден из них под углом 120°.
Аналогичным
образом
на
стороне
ВС
треугольника
ABC
построим
равносторонний треугольник ВCА' (см. рис. 6,а) и опишем около него
окружность. Точки соответствующей дуги, отличные от В и С, обладают тем
свойством, что отрезок ВС виден из них под углом 120°. В случае, когда углы
треугольника меньше 120°, эти дуги пересекаются в некоторой внутренней
точке О. В этом случае угол AOB = 120°, угол AOC = 120°. Следовательно, и
угол BOC = 120°. Поэтому точка О является искомой.
В случае, когда один из углов треугольника, например ABC, равен 120°,
точкой касания дуг окружностей будет точка В (рис. 6,б). В этом случае точки
10
Торричелли не существует, так как нельзя говорить об углах, под которыми
видны из этой точки стороны АВ и ВС.
В случае, когда один из углов треугольника, например ABC, больше 120°
(рис. 6,в), соответствующие дуги окружностей не пересекаются и точки
Торричелли не существует.
Рис. 6
11
Окружность девяти точек
Пусть в треугольнике АВС (рис. 7) Н -
точка пересечения высот
треугольника; точки A1, B1, C1 обозначают основания высот; А2, В2, С2 —
середины соответствующих сторон; А3, В3, С3 — середины отрезков АН, ВН и СН.
Тогда точки А1, В1, С1, А2, В2, С2, А3, В3, С3 лежат на одной окружности,
называемой окружностью девяти точек или окружностью Эйлера.
Рис. 7
Действительно, А3В2 — средняя линия треугольника АНС, следовательно, А3В2
|| СС1. В2А2 — средняя линия треугольника ABC, следовательно, В2 А2 || АВ.
Так как CС1
┴
АВ, то угол A3B2A2 = 90°. Аналогично, угол A3C2A2 = 90°.
Поэтому точки А2, В2, С2, А3 лежат на одной окружности с диаметром А2Аз. Так
как АА1 ┴ ВС, то точка А2 также принадлежит этой окружности. Таким образом,
точки А1 и А3 лежат на окружности, описанной около треугольника А2В2С2.
Аналогичным образом показывается, что точки В1 и В3, C1 и С3 лежат на этой
окружности. Значит, все девять точек лежат на одной окружности.
12
Прямая Эйлера
В треугольнике центр описанной окружности, точка пересечения медиан,
точка пересечения высот и центр окружности девяти точек лежат на одной
прямой, называемой прямой Эйлера.
При этом центр окружности девяти точек лежит посередине между центром
пересечения высот и центром описанной окружности.
Пусть в треугольнике АВС (рис.8 ) точка – центр описанной окружности; Gточка пересечения медиан; Н – точка пересечения высот. Требуется доказать,
что точки О, G, Н лежат на одной прямой и центр окружности девяти точек N
делит отрезок ОН пополам.
Рис. 8
Рассмотрим гомотетию с центром в точке С и коэффициентом 0,5. Вершины
А, В, С треугольника ABC перейдут соответственно в точки А2, В2, С2. Высоты
треугольника ABC перейдут в высоты треугольника А2В2С2, следовательно, точка
Н перейдет в точку О. Поэтому точки О, G, Н будут лежать на одной прямой.
Покажем, что середина N отрезка ОН является центром окружности девяти
точек. Действительно, С1С2 — хорда окружности девяти точек. Поэтому
серединный перпендикуляр к этой хорде является частью диаметра и
пересекает ОН в середине N. Аналогично, серединный перпендикуляр к хорде
B1 B2 является частью диаметра и пересекает ОН в той же точке N. Значит, N
— центр окружности девяти точек. Что и требовалось доказать.
13
Задачи, решаемые данными теоремами.
Задача 1. По углам А и В треугольника АВС (угол А < угла В) определите
угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины С.
Решение. Пусть СD – высота, СЕ – биссектриса, тогда угол ВСD = 900 –
угол В, угол ВСЕ = (1800 – угол А – угол В) / 2. Следовательно, угол DCE =
(угол В – угол А) / 2.
Задача 2. К какой из вершин треугольника ближе расположена точка
пересечения биссектрис?
Рис. 9
Решение. Пусть О – точка пересечения биссектрис треугольника АВС (рис.
9). Воспользуемся тем, что против большей стороны лежит больший угол. Если
АВ > ВС, то угол А < угла С и , следовательно, угол ОАD < ОСD. Поэтому
ОС < ОА, то есть центр О вписанной окружности лежит ближе к вершине,
расположенной против большей стороны.
Задача 3. Какая из высот треугольника наименьшая?
Рис. 10
Решение. Пусть О – точка пересечения высот треугольника АВС (рис. 10).
Если АС < АВ, то угол С > угла В. Окружность с диаметром ВС пройдет через
точки F и G. Учитывая, что из двух хорд меньше та, на которую опирается
меньший вписанный угол, получаем, что CG < BF, то есть меньше та высота,
которая опущена на большую сторону.
14
Заключение
«Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой
геометрический период. Все вокруг - геометрия». Эти слова, сказанные
великим французским архитектором Ле Корбюзье в начале XX века, очень
точно характеризуют и наше время. Мир, в котором мы живем, наполнен
геометрией домов и улиц, гор и полей, творениями природы и человека.
В результате выполнения данной работы у меня расширились знания по
математике. Я узнала, что кроме известных мне замечательных точек пересечения
высот, медиан, биссектрис и серединных перпендикуляров существуют еще
замечательные точки и линии треугольника.
Познакомившись с замечательными точками и линиями, считаю, что
полученные знания смогу использовать в своей учебной деятельности,
самостоятельно применять теоремы к определенным задачам, применять
изученные теоремы в реальной ситуации.
Считаю, что применение замечательных точек и линий треугольника в
изучении математики является эффективным. Знание их значительно ускоряет
решение многих заданий. Предложенный материал «Замечательные точки и
линии треугольника» можно использовать как на уроках математики, так и во
внеклассных занятиях учащимися 5-9-х классов. Учителям - с целью
подготовки учащихся к
решению олимпиадных задач, интеллектуальным
конкурсам «Марафон знаний», региональному конкурсу «Кенгуру».
В
дальнейшем
предполагаю
продолжить
работу
над
изучением
замечательных точек и линий треугольника.
Для решения этих проблем ставлю следующие задачи:

более глубокое изучение литературы по теме «замечательные точки и
линии треугольника».

подбор задач, решаемых с помощью теорем о замечательных точках и
линиях треугольника.
15
Я изложила эту работу доступным языком, чтобы каждый ученик, которому это
интересно, мог взять мой реферат и самостоятельно получить дополнительные знания
по замечательным точкам и линиям треугольника.
16
Библиографический список
1. Атанасян Л.С. Геометрия 7-9. - М.: Просвещение, 2007.
2. ЗетельС.И. Новая геометрия треугольника. – М.: Учпедгиз, 1962.
3. Коксетер Г.С. Грейтцер С.Л. Новые встречи с геометрией. – М.: Наука, 1978.
4. Понарин Я.П. Элементарная геометрия. Т.1. – М.: МЦНМО, 2004.
5. Г. И. Глейзер «История математики в школе 7 – 8 классы» Москва 1982
«Просвещение».
17