Вычисление пределов, когда предел числителя и

Вычисление пределов, когда предел числителя и
предел знаменателя равны нулю
Если при нахождении предела
f (x) и
являются бесконечно малыми величинами при
т.е.
и
,
,
то говорят, что имеет место неопределенность вида
(отношение не имеет
смысла). В этом случае требуются дальнейшие преобразования функций.
П р а в и л о 1. Пусть требуется вычислить предел дробно-рациональной функции
,
(4.23)
когда при
числитель и знаменатель дроби имеет пределы, равные нулю. В
этом случае надо числитель и знаменатель дроби разделить на (x - a) и перейти к
пределу.
Пример 1.
Пример 2.
.
.
Решение. Разделим числитель и знаменатель на (x - 3):
;
.
Пример 3.
.
Решение. Разделим числитель и знаменатель на (x-2).
.
П р а в и л о 2. Чтобы найти предел дроби, содержащий иррациональные
выражения в случае, когда пределы числителя и знаменателя равны нулю, надо
перенести иррациональность из числителя в знаменатель, или наоборот. После
этого следует сделать преобразования и перейти к пределу, используя известные
формулы:
a2- b2 = (a - b)(a + b), a3- b3 = (a - b)(a2 +ab + b2) .
Пример 4.
.
Решение. Домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное
иррациональное выражение с учетом
(а - b) ( а + b) = a2 - b2 ;
;
.
Пример 5.
.
Решение. Домножим числитель и знаменатель дроби на неполный квадрат суммы
(а - b) ( а2 + a b + b2) = a3 - b3 ;
;
Пример 6.
.
Решение. Перенесем иррациональность числителя в знаменатель, а
иррациональность знаменателя в числитель:
(а - b) ( а2 + a b + b2) = a3 - b3 ;
;
(а - b) ( а + b) = a2 - b2 ;
;
4.8. Эквивалентные бесконечно малые величины
Пусть даны две бесконечно малые величины
и
при
и
,
.
Чтобы сравнить две бесконечно малые величины, нужно найти предел их
отношения.
О п р е д е л е н и е. Бесконечно малые величины
и
называются
эквивалентными, если предел их отношения равен единице:
.
Обозначается
Пример 1.
Действительно,
при
.
.
, где
,
.
,
, т. е.
Т е о р е м а. Предел отношения двух бесконечно малых величин равен пределу
отношения эквивалентных им бесконечно малых величин.
Данная теорема используется при раскрытии неопределенности вида
Эквивалентные бесконечно малые величины приведены в табл. 4,
где
.
.
Таблица 4
Эквивалентные бесконечно малые величины
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Пример 2.
,
так как
Пример 3.
.
,
так как
.
Пример 4.
,
так как
4.9. Раскрытие неопределенностей
.
и
П р а в и л о 1. Если при вычислении предела, представляющего собой разность
двух функций, получим неопределенность
, то чтобы избавиться от
неопределенности, надо, или привести функции к общему знаменателю, или, при
наличии иррациональности, перенести ее из числителя в знаменатель.
Пример 1.
Решение. Разделим числитель и знаменатель на (x + 2):
;
.
Пример 2.
П р а в и л о 2. При вычислении пределов дробно-рациональной функции
при
(4.24)
возможны следующие случаи:
1) если n < m, то
;
(4.25)
2) если n > m, то
;
(4.26)
3) если n = m, то
Пример 3.
.
(4.27)
.
Решение. Вынесем из числителя и знаменателя х в наибольшей степени, т.е.
перейдем от бесконечно больших величин к бесконечно малым, воспользовавшись
формулами связи бесконечно малых и бесконечно больших величин:
, но
, поэтому
.
Пример 4.
Пример 5.
Пример 6.
4.10. Непрерывность функции
О п р е д е л е н и е 1. Функция y = f (x) называется непрерывной в точке x = x0,
если предел функции в точке x0 существует и равен значению функции в этой
точке:
.
(4.28)
Непрерывность функции в точке означает одновременно выполнение следующих
условий:
1. функция y = f (x) должна быть определена в точке x0;
2. для функции y = f (x) должен существовать предел в точке x0;
3. предел функции в точке x0
должен совпадать со значением функции в этой точке.
Пример. Функция y = x2 определена в каждой точке
. Для любой
точки
. Пусть
в каждой точке числовой оси.
и f (2) = 4, т.е. функция y = x2 непрерывна
О п р е д е л е н и е 2. Если функция непрерывна в каждой точке интервала (a, b),
то она называется непрерывной на этом интервале (a, b). До сих пор мы
рассматривали предел функции в точке, полагая, что он не зависит от того, с
какой стороны мы подходим к точке x0. Существует, однако, много пределов, в
которых это является существенным.
О п е р е д е л е н и е 3. Пусть х стремится к x0
, оставаясь меньше x0,
т.е. слева. Если при этом значение функции стремится к пределу, то он
называется пределом слева:
.
(4.29)
О п р е д е л е н и е 4. Пусть х стремится к x0
, оставаясь больше x0, т.е.
справа. Если при этом значение функции стремится к пределу, то он называется
пределом справа:
.
(4.30)
О п р е д е л е н и е 5. Функция y = f (x) называется непрерывной в точке x0, если
выполняются три условия:
1. она определена в этой точке, т.е. существует значение функции f (x0);
2. существуют односторонние пределы:
и
;
3. односторонние пределы равны между собой и равны значению
функции в точке x0:
.
(4.31)
О п р е д е л е н и е 6. Если в какой-либо точке x0 функция не является
непрерывной, то точка x0 называется точкой разрыва функции, а сама функция
называется разрывной в этой точке.
4.11. Классификация точек разрыва
О п р е д е л е н и е 1. Точкой разрыва первого рода функции y = f (x) называется
такая точка x0, в которой функция имеет левый и правый пределы, неравные
между собой (рис. 69).
(4.32)
Рис. 69
О п р е д е л е н и е 2. Точка x0 (рис. 70) называется точкой разрыва второго рода
функции y = f (x), если хотя бы один из односторонних пределов не существует
или равен бесконечности:
и
.
(4.33)
Рис. 70
Рис. 71
Рис. 72
О п р е д е л е н и е 3. Точка x0 (рис. 71) называется точкой устранимого
разрыва y = f (x), если функция в точке неопределена, но односторонние пределы
существуют и равны между собой:
, но
.
(4.34)
Такой разрыв можно устранить, доопределив функцию в точке
разрыва x0 значением ее предела А:
Пример. Исследовать функцию на непрерывность, выявить точки разрыва и
определить их типы:
1)
;
2)
;
3)
.
Решение:
1)
. Данная функция определена на всей числовой оси за исключением
точки x = 3.
, т.е. x = 3 является точкой разрыва. Определим тип разрыва:
,
,
т.е.
, но
. Таким образом, имеет место точка
устранимого разрыва. Чтобы устранить разрыв, положим значение функции в
точке x = -3 равным значению односторонних пределов:
- функция является непрерывной.
2)
. Область определения
Исследуем на тип разрыва:
, x = 0 - точка разрыва.
,
.
точка разрыва 2-го рода (рис. 73).
Найдем
.
3)
. Область определения
Исследуем на тип разрыва:
Рис. 73
, x = 4- точка разрыва.
,
;
x = 4 - точка разрыва 2-го типа
(рис. 74).
Найдем
.
Рис. 74
Задание 1.
Пример 1
Вычислить предел
.
Пример 2
Вычислить предел
.
Пример 3
Вычислить предел
.
Пример 4
Вычислить предел
.
Воспользуйтесь формулами сокращенного умножения
Пример 5
Вычислить предел
.
Пример 6
Вычислить предел
.
Пример 7
Найти предел
.
Решение.
Для вычисления предела избавимся от иррациональностей в числителе и
знаменателе, умножив их на соответствующие сопряженные выражения.
Пример 8
Найти предел
.
Разделите числитель и знаменатель на x30 (x в наивысшей степени).
Пример 9
Найти предел
.
Используйте формулы
Пример 10
Найти предел
.
Пример 11
Найти предел
.
Пример 12
Найти предел
.
Используйте тригонометрическое тождество
Задание 2.
1)
2)
4)
5)
7)
8)
11)
6)
9)
12)
15)
3)
10)
13)
16)
14)
17)
18)
Задание 3.
3x 2  1
1) lim 2
x  5 x  4 x  5
5 x3  4 x 2  1
2) lim
x 
3x 2  1
2x2  1
3) lim 3
x  x  9 x  4
8)
4 
 1
4) lim 
 2

x2 x  2
x 4

5) lim
x2
x2  4
x2
x2  5  3
x2
x2
x 2  5x  6
7) lim
x 3
x3
6) lim
10)
9)
11)
12)