№1 Доказать равенства, используя свойства операций над множествами и определения операций. Проиллюстрировать при помощи диаграмм ЭйлераВенна. а) (A\C) \ (B\C) = (A\B)\C б) (A B) (C D)=(A C) (B D). Решение: A \ C \ B \ C A \ B \ C A \ C \ B \ C A \ C B \ C A C B C A C B C A C B A B C A B \ C A \ B \ C A C B C A C B C C A C B (A B) (C D)=(A C) (B D) x A x A y C x (A x , y A C x B x, y (A C D y C D x , y B D y C x B y D y D x , y A C B D Следовало нарисовать еще и правую часть тождества. №2 Даны два конечных множества: А={a,b,c}, B={1,2,3,4}; бинарные отношения P1 A B, P2 B2. Изобразить P1, P2 графически. Найти P=(P2◦P1)–1. Выписать области определения и области значений всех трех отношений: P1, P2, Р. Построить матрицу [P2], проверить с ее помощью, является ли отношение P2 рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным. P1 = {(a,1),(a,2),(a,4),(b,1),(b,4),(c,3)}; P2 = {(1,1),(2,4),(2,1),(3,3),(4,2),(4,1)}. Решение: Графическое представление отношения P1 ( P2 ) изображено на рис. 1 (2). 1 2 1 a 2 1 b 4 4 c 3 Рис.1 4 2 3 3 Рис.2 Суперпозицией бинарных отношений R и S называется множество: R S x, y | z : xSz zRy . Исходя из этого определения, P2 P1 a,1, a,4, a,2, b,1, b,2, c,3. Инверсией бинарного отношения R называется множество: R1 x, y | y, x R . Исходя из этого определения, 1 P P2 P1 1, a , 4, a , 2, a , 1, b , 2, b , 3, c . Областью определения отношения R называется множество: Dom R x | y : x, y R . Областью значений отношения R называется Im R y | x : x, y R множество: . Исходя из этого определения, DomP1 a, b, c ; Im P1 1, 2,3, 4 DomP2 1, 2,3, 4 ; Im P2 1, 2,3, 4 DomP 1, 2,3, 4 ; Im P a, b, c Матрица 1 1 P2 0 1 P2 бинарного отношения 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 P2 : Отношение P2 не рефлексивное, так как на главной диагонали матрицы P2 есть нулевой элемент. T P P 2 2 Отношение будет симметричным, если , однако: P2 T 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 P2 0 1 0 1 0 0 поэтому отношение P2 не симметричное. Отношение будет антисимметричным, если поэлементное произведение T P2 P2 E , где Е - единичная матрица. P2 P2 T 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 Неверно перемножено. Произведение ПОЭЛЕМЕНТНОЕ, логическое. Условие не выполнено, поэтому отношение P2 не антисимметричное. Отношение P2 не транзитивное, так как не выполняется соотношение P2 P2 P2 : 1 0 0 1 0 0 P2 P2 0 0 1 1 1 0 P2 P2 4,4 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Остальное верно. №5 Бригада из десяти взломщиков одновременно выходит на грабеж трех разных магазинов. Сколькими способами они могут разделиться, если в каждой группе должно быть не менее двух человек? Сколькими способами их после задержания могут рассадить по четырем одинаковым камерам (не менее чем по одному в каждую)? 1) Распределение 10-ти взломщиков для грабежа 3-х разных магазинов – это задача размещения 10-ти предметов по 3-м различным ящикам так, что в каждом ящике будет хотя бы два предмета. Вообще-то гораздо разумнее решать задачу через разбиения. Разместить m предметов по n ящикам так, чтобы в каждом ящике было не менее одного предмета, можно N s m, n способами, n s m, n 1 k 1 nk Cnk k m - число Стирлинга 1-го рода. Разместить 10 предметов по 3 ящикам так, чтобы в r ящиках было по 1 предмету, а в остальных 3 r ящиках было не менее одного предмета, можно N r C 3r C10r r! s 10 r ,3 r способами, так как r ящиков из 4-х можно выбрать C 4r способами и выбрать r предметов из 10-ти можно C10r способами; разложить r предметов по r ящикам можно r ! способами. По формуле включений и исключений получаем, что число распределений, при котором в каждом ящике оказывается не менее двух предметов, равно 1 N 0 N N 1 N 2 s 10,3 C31C10 1! s 9,2 C32C102 2! s 8,1 s 10,3 1 C31 110 1 C32 210 1 C33 310 3 3 210 310 55980 2 1 0 s 9,2 1 C21 19 1 C22 2 9 2 2 9 510; s8,1 1 1 0 10 взломщиков могут разделится для грабежа 3-х разных магазинов (в каждой группе не менее двух человек) числом способов N 0 55980 3 10 510 3 45 2 1 40950 . 2) Распределение 10-ти взломщиков по 4-м одинаковым камерам (не менее чем по одному в каждую) – это разбиение множества из 10-ти предметов на 4 блока. Число способов такого распределения – это число Стирлинга 2-го 1 n nk k m рода: S m, n 1 Cn k . n ! k 1 S 10,4 1 4 1k C4k k 10 1 11 C41 110 12 C42 210 13 C43 310 14 C44 410 4! k 1 24 1 4 6 210 4 310 410 34105 24 Ответы верные, хотя решение сильно не оптимальное. №10 Взвешенный граф задан матрицей длин дуг. Нарисовать граф. Найти: а) остовное дерево минимального веса; б) кратчайшее расстояние от вершины v2 до остальных вершин графа, используя алгоритм Дейкстры. Решение: Нарисуем граф: а) Найдем остовное дерево минимального веса. Этап 1: Этап 2: Этап 1: включаем в остовное дерево все рёбра с наименьшим весом 1, так как включение каждого последующего ребра не приводит к образованию цикла. Этап 2: включаем в остовное дерево все рёбра с весом 2, кроме ребра между вершинами 2 и 6, так как включение каждого последующего ребра не приводит к образованию цикла. Поскольку все вершины соединены, то построение остовного дерева закончено. вес дерева?