Простейшие приемы решения задач на переливание

ГУО «Средняя школа №16 г. Орши»
Выполнила ученица 6 «А» класса
Башкова Мария
Руководитель Сергеева И.В.
учитель математики
Орша 2012
Оглавление
1.
Введение.
2.
Глава I «Простейшие приемы решения задач на переливание»
3.
Глава II « Типы и примеры решений задач на переливание»
4.
Глава III «Применение метода бильярда»
5.
Глава IV «Метод трилинейных координат»
6.
Глава V «Условие разрешимости задач»
7.
Заключение.
8.
Литература.
Введение.
2
Тема данной работы была выбрана в связи с тем, что, изучая
дополнительный материал по математике, довольно часто можно встретить
задачи на переливание жидкости, которые решаются однообразно методом
подбора. Мне стало интересно, смогу ли я в литературе найти еще какие-то
способы решения таких задач. И сколько таких способов я найду. Смогу ли я
найти самый легкий способ для решения большинства задач.
Целью данной работы является нахождение наиболее рационального
способа решения задач на переливание жидкости.
Достижение указанной цели предполагает решение следующих
задач:
 выявить, какие существуют способы решения подобных задач;
 научиться ими пользоваться;
 найти условие разрешимости задач.
Новизна данной работы заключается в том, что изучаемые мной способы
решения задач на переливание жидкости не рассматриваются достаточно
широко.
Объект исследования – задачи, в которых требуется разделить жидкость
на определенные пропорции .
Предмет исследования –способы решения таких задач.
Метод исследования – анализ литературы, сравнение, эксперимент.
Актуальность работы - так как я всегда участвую в олимпиадах по
математике, то для меня очень важно знать наиболее легкий способ
решения логических задач.
Глава I.
3
«Простейшие приемы решения задач на переливание»
Простейший прием решения задач этого класса состоит в переборе
возможных вариантов. Понятно, что такой метод решения не совсем
удачный, в нем трудно выделить какой-либо общий подход к решению
других подобных задач.
Более систематический подход к решению задач "на переливание"
заключается в использовании определённой последовательности действий.
Суть этого метода состоит в следующем: сначала выделяются операции,
которые позволяют нам точно отмерять жидкость, затем устанавливается
последовательность выполнения выделенных операций. При этом обычно
заполняют отдельную таблицу, в которую заносят количество жидкости в
каждом из имеющихся сосудов после каждого шага.
Если последовательность этих действий не прерывать, то на
определенном шаге состояния сосудов начнут повторяться. Если же при
решении задачи до повторения состояний сосудов мы не получили требуемое
количество жидкости, то задача не имеет решений.
Каждую задачу на переливание таким методом можно решать двумя
способами: начать переливания с большего сосуда; начать переливания с
меньшего сосуда.
Какой из способов более рационален (т.е. каким способом мы быстрее
получим нужное количество жидкости) зависит от условий задачи.
Изначально это определить нельзя.
Глава II
«Типы и примеры решений задач на переливание»
Большинство логических задач на переливание можно разделить на два
основных типа.
Первый тип логических задач на переливание «Водолей».
Имеется: 2 сосуда различных емкостей, неограниченный источник жидкости
и место, куда жидкость можно сливать.
Требуется: получить определенное количество жидкости в каком-нибудь из
этих сосудов.
4
Второй тип логических задач на переливание «Переливашка».
Имеется: 1 сосуд, заполненный жидкостью, 2 пустых сосуда различных
емкостей.
Требуется: используя только эти 3 сосуда, получить определенное
количество жидкости в одном из пустых сосудов или разделить пополам
жидкость в заполненном сосуде.
Рассмотрим решение задачи типа «Водолей».
Задача 1. Имеются два сосуда. Емкость одного из них 9 л, а другого 4 л. Как с
помощью этих сосудов набрать из бака 6 л некоторой жидкости? (Жидкость
можно сливать обратно в бак.)
Теперь рассмотрим решение задачи типа «Переливашка», например, «задачи
Пуассона».
Задача 2 («задача Пуассона»). Некто имеет двенадцать пинт вина и хочет
подарить из него половину, но у него нет сосуда в шесть пинт. У него два
сосуда, один в 8, другой в 5 пинт. Спрашивается: каким образом налить
шесть пинт в сосуд в восемь пинт?
5
Решение задач на переливание двух основных типов можно осуществить с
помощью компьютерной программы “Vodoley”.
6
Глава III
«Применение метода бильярдного стола»
Как ни странно, но головоломки на переливание жидкостей можно
очень легко решать, вычерчивая бильярдную траекторию шара,
отражающегося от бортов ромбического стола. Границы таких столов
удобнее всего рисовать на бумаге, на которую нанесена сетка из одинаковых
равносторонних треугольников.
Суть метода заключается в представлении последовательности переливаний аналогично движению бильярдного шарика по столу особой
конструкции с размерами, соответствующими объемам первоначально
пустых сосудов. Нарисовав на клетчатой бумаге исходную конфигурацию,
необходимо проследить возможные движения шарика в соответствии с
законом «угол падения равен углу отражения» и попадание им в
требуемые точки по условию задачи. Задачи на переливание жидкостей
можно очень легко решать, вычерчивая бильярдную траекторию шара,
отражающегося от бортов стола, имеющего форму параллелограмма.
Рассмотрим задачу: как с помощью сосудов объемом 7 и 11 литров и
бочкой с водой отмерить 2 литра воды.
рис.1
Таблица 1
По горизонтали отложено количество воды в 11-литровом сосуде в
любой момент времени, а по вертикали — та же величина для 7-литрового
сосуда.
7
Как же пользоваться диаграммой? Представим себе, что шар находится
в левой нижней вершине в точке 0. Он будет перемещаться вдоль нижнего
основания до тех пор, пока не достигнет правой боковой стороны в точке 11.
Это означает, что 11-литровый сосуд наполнен до краев, а 7-литровый пуст.
Отразившись упруго от правого борта, шар покатится вверх и влево и
ударится о верхний борт в точке с координатами 4 по горизонтали и 7 по
вертикали. Это означает, что в 11-литровом сосуде осталось всего 4 литра
воды, а 7 литров из него перелили в меньший сосуд.
Прослеживая дальнейший путь шара и записывая все этапы его
движения до тех пор, пока он не попадет в точку 2 верхнего борта, мы
получим ответ и узнаем, в какой последовательности необходимо
производить переливания, чтобы отмерить 2 литра воды. Все 18 переливаний
изображены схематически на рис. 1. Наклонные стрелки говорят о том, что
вода переливается из одного сосуда в другой, а вертикальные означают, что
либо вода целиком выливается из меньшего сосуда обратно в бочку, либо
больший сосуд надо наполнить водой до краев.
Является ли это решение самым коротким? Нет, существует второй
путь, когда воду сначала наливают в 7-литровый сосуд. На диаграмме (рис. 2)
это соответствует тому, что шар из точки 0 катится вверх вдоль левого борта
до тех пор, пока не ударится в верхний борт. Нарисовав траекторию
бильярдного шара, убедимся в том, что точка 2 достигается на этот раз за 14
отражений от борта. Полученное решение с 14 переливаниями уже является
самым коротким.
рис.2
Таблица 2
№
1
11 литров
0
7 литров
7
2
7
0
3
7
7
4
11
3
5
0
3
6
3
0
7
3
7
8
10
0
9
10
7
10
11
6
11
0
6
12
6
0
13
6
7
14
11
2
8
Приведем типичные задачи на переливание.
Задача 1. Имеются три сосуда вместимостью 8, 5 и 3 литра.
Наибольший сосуд полон молока. Как разделить это молоко на две равные
части, используя остальные сосуды?
По сути, в данных задачах реализуются два алгоритма.
Первый: последовательно из большего сосуда наполняется меньший
сосуд, из него жидкость сливается в сосуд промежуточного объема, эти два
действия повторяются до полного наполнения сосуда промежуточного
объема, после чего жидкость из него сливается в самый большой. Процедура
повторяется несколько раз до тех пор, пока два меньших сосуда будут
пустыми, а вся жидкость окажется в большом сосуде. Таким образом, будут
реализованы все возможные варианты наполнения сосудов.
рис.3
№
1
2
3
4
5
6
7
8
5 литров 0
5
2
2
0
5
4
4
3 литра
0
0
3
0
2
2
3
0
8 литров 8
3
3
6
6
1
1
4
Второй алгоритм соответствует действиям первого, записанным в
обратном порядке, т.е. с конца. Сначала из большего сосуда наполняется
сосуд промежуточного объема. Из него жидкость переливается в самый
маленький, а из наименьшего - в наибольший. Два последних действия
повторяются до тех пор, пока сосуд промежуточного объема не станет
пустым. Тогда он наполняется жидкостью из самого большого сосуда. Эта
процедура повторяется до возвращения к исходному состоянию.
Решение задачи можно получить и по первому и по второму алгоритму,
выбирается более короткий вариант.
9
Глава IV
«Метод трилинейных координат»
Рассмотрим применение этого метода к решению задач, в которых
требуется разделить жидкость на определенные пропорции с помощью
инструментов, казалось бы, непригодных для этого. Для решения нам
понадобятся так называемые трилинейные координаты.
Обычно для нанесения точек с заданными координатами пользуются
миллиметровой бумагой. Для наших целей лучше использовать бумагу, на
которой проведены три системы параллельных линий, разбивающих ее на
маленькие равносторонние треугольники. Нарисуем на такой бумаге
большой равносторонний треугольник АВС со сторонами, проходящими по
линиям сетки. Тройку чисел (x, y, z) будем называть трилинейными
координатами точки Р относительно треугольника АВС. Заметим, что для
точек, лежащих внутри треугольника АВС, все три координаты
положительны.
Трилинейные координаты очень удобны для описания ситуации, в которой
участвуют три переменные величины, имеющие постоянную сумму. Если
одна из этих величин x, y или z остается постоянной, а две другие
изменяются, то точка (x, y, z) движется по прямой, параллельной одной из
сторон треугольника АВС.
Именно такая ситуация возникает в том случае, когда h литров жидкости
разлито по трем сосудом: в первом x литров, во втором – y литров и в третьем
– z литров. Постепенному переливанию жидкости из второго сосуда в третий
соответствует движение точки с трилинейными координатами (x, y, z)
относительно треугольника АВС в направлении, соответствующем
уменьшению y и увеличению z. Если каждый сосуд может вмещать h литров,
то каждая из координат x, y, z может принимать любое значение от 0 до h, и
множество точек, в которые можно попасть, как-то переливая жидкость из
одного сосуда в другой совпадает со всем треугольником АВС.
Рассмотрим, как на практике можно применить данный способ решения
задач.
10
Задача: «Имеются три бочонка: 16, 11 и 6 - ведёрные. 16 - ведёрный
бочонок полон, 11 и 6 - ведёрные пусты. Требуется разделить квас поровну,
используя только эти бочонки».
Так как по условию задачи у нас имеется 16 л кваса, 3 бочонка емкостью 16
л, 11 л и 6 л и первый бочонок полон, то чертим трилинейную координатную
сетку, а именно: равносторонний треугольник с вершинами А, В, С,
координаты которых равны А(16, 0, 0), В(0, 16, 0), С(0, 0, 16).
Определяем область операций: 0  x  16, 0  y  11, 0  z  6.
Соответственно областью операций является пятиугольник, ограниченный
прямыми x = 0 и x = 16, y = 0 и y = 11, z = 0 и z = 6. Получили пятиугольник
с вершинами, координаты которых (16, 0, 0), (10, 0, 6), (0, 10, 6), (0, 11, 5),
(5, 11, 0). Определяем 2 точки: начало операций в точке (16, 0, 0) и конец
операций в точке (8, 8, 0) – так как по условию задачи 16 л кваса находятся в
16-ти литровом бочонке, а два других пусты; и требуется разделить 16 л
пополам.
11
Используя данную схему, нужно пройти определенный путь, чтобы из
точки (16, 0, 0) оказаться в точке (8, 8, 0), а именно: (16, 0, 0)  (10, 0, 6) 
(10, 6, 0)  (4, 6, 6)  (4, 11, 1)  (15, 0, 1)  (15, 1, 0)  (9, 1, 6)  (9, 7, 0)
 (3, 7, 6)  (3, 11, 2)  (14, 0, 2)  (14, 2, 0)  (8, 2, 6)  (8, 8, 0).
Можно сделать вывод, что для выполнения поставленного в задаче условия
необходимо сделать 14 переливаний, чтобы разделить при помощи данных
сосудов имеющиеся 16 л кваса пополам.
Если бы эту задачу решали методом подбора, то на нахождение данного
решения ушло бы очень много времени. А применение системы
трилинейных координат является более рациональным способом.
12
Глава V
«Условие разрешимости задач»
Если объемы двух меньших сосудов не имеют общего делителя (т. е.
взаимно просты), а объем третьего сосуда больше или равен сумме объемов
двух меньших, то с помощью этих трех сосудов можно отмерить любое
целое число литров, начиная с 1 литра и кончая объемом среднего сосуда.
Имея, например, сосуды вместимостью 15, 16 и 31 литр, мы сумеем
отмерить любое количество воды от 1 до 16 литров. Такая процедура
невозможна, если объемы двух меньших сосудов имеют общий делитель.
Когда объем большего сосуда меньше суммы объемов двух других,
возникают новые ограничения. Если, например, объемы сосудов равны 7, 9 и
12 литрам, то у ромбического стола надо отсечь верхний правый угол. Тогда
шар
сможет попасть в любую точку от 1 до 9, за исключением точки 6.
Несмотря на то, что 7 и 9 взаимно просты, отмерить 6 литров воды
оказывается невозможным из-за того, что самый большой сосуд имеет
слишком маленький объем.
13
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной работе рассмотрены различные способы решения задач на
переливание.
Для задач на переливание жидкости самый быстрый способ решения –
метод бильярдного стола. Этот способ является еще и очень интересным.
Метод трилинейных координат для меня несколько сложнее, хотя при
правильном подходе он переходит в метод бильярдного стола.
Рассматриваемые задачи традиционно встречаются на олимпиадах по
математике различного уровня, и, несомненно, данная работа будет
отличным подспорьем, для желающих научится решать данные задачи.
Цель данной работы достигнута. Гипотеза нашла свое подтверждение.
В ходе работы я сделала для себя вывод, что способы решения задач
на переливание жидкости можно использовать для решения задач на смеси,
задач на справедливый дележ имущества, а также на обмен имуществом.
Работа дополнена приложениями, в которых имеются задачи, решаемые
рассмотренными методами.
Литература
1. Гальперин Г.А., Математические бильярды [текст]/ Земляков А.Н.,
Гальперин Г.А — М.: Наука,- 1990.- 290с.
2. Борахеостов В., Бильярды [текст]/ Борахеостов В. // Наука и жизнь. 1966.
№№ 2-4, 6, 11.
3.
Гальперин Г.А., Бильярды [текст] / Гальперин Г.А. //Квант. 1981. №4.
4.
Земляков А.Н., Математика бильярда [текст]/ Земляков А.Н. // Квант.
1976. № 5.
5.
Земляков А.Н., Арифметика и геометрия столкновений [текст]/ Земляков
А.Н. // Квант. 1978. №4.
6.
Земляков А.Н., Бильярды и поверхности [текст]/ Земляков А. Н. // Квант.
1979. № 9.
7.
Гальперин Г.А., Периодические движения бильярдного шара [текст]/
Гальперин Г.А., Степин А. М.// Квант. 1989. № 3.
8.
Я.И.Перельман.,Занимательная геометрия М.: ГИФМЛ, 1959, с.238
14
В задачах на переливания требуется указать последовательность действий,
при которой осуществляется требуемое переливание и выполнены все
условия задачи. Если не сказано ничего другого, считается, что
- все сосуды без делений
- нельзя переливать жидкости "на глаз"
- невозможно ниоткуда добавлять жидкости и никуда сливать
Мы можем точно сказать, сколько жидкости в сосуде, только в следующих
случаях.
1) знаем, что сосуд пуст,
2) знаем, что сосуд полон, а в задаче дана его вместимость,
3) в задаче дано, сколько жидкости в сосуде, а переливания с использованием
этого сосуда не проводились
4) в переливании участвовали два сосуда, в каждом из которых известно,
сколько было жидкости, и после переливания вся жидкость поместилась в
один из них
5) в переливании участвовали два сосуда, в каждом из которых известно,
сколько было жидкости, известна вместимость того сосуда, в который
переливали, и известно, что вся жидкость в него не поместилась: мы можем
найти, сколько ее осталось в другом сосуде
Примеры решения задач.
Задача 1. Имеются три сосуда вместимостью 8, 5 и 3 литра. Наибольший
сосуд полон молока. Как разделить это молоко на две равные части,
используя остальные сосуды?
Решение.В таблице указан объем молока в литрах после каждого
переливания.
8-литровый
5-литровый
3-литровый
сосуд
сосуд
сосуд
8
0
0
3
5
0
3
2
3
6
2
0
6
0
2
1
5
2
1
4
3
4
4
0
После переливания оказалось по 4 л молока в 8-литровом и 5-литровом
сосудах, а это и требовалось.
15
Задача 2. В бочке не менее 10 л бензина. Как отлить из неё 6 л с помощью
девятилитрового ведра и пятилитрового бидона?
Решение.
бочка
не менее 10
не менее 5
не менее 5
не менее 0
не менее 0
не менее 9
не менее 9
не менее 4
не менее 4
ведро
0
0
5
5
9
0
1
1
6
бидон
0
5
0
5
1
1
0
5
0
Задача 3. Имеется три сосуда без делений объемами 4 л, 5 л, 6 л, кран с
водой, раковина и 4 л сиропа в самом маленьком сосуде. Можно ли с
помощью переливаний получить 8 л смеси воды с сиропом, так чтобы в
каждом сосуде воды и сиропа было поровну?
4-литровый
сосуд
4 л сиропа
0
4 л воды
0
4 л воды
2 л воды
2 л воды
2 л воды, 2 л
сиропа
2 л воды, 2 л
сиропа
0
2 л сиропа
2 л воды, 2 л
сиропа
5-литровый
сосуд
0
4 л сиропа
4 л сиропа
4 л сиропа
4 л сиропа
4 л сиропа
4 л сиропа
2 л сиропа
6-литровый
сосуд
0
0
0
4 л воды
4 л воды
6 л воды
0
0
0
2 л сиропа
2 л воды, 2 л
сиропа
2 л воды, 2 л
сиропа
2 л воды, 2 л
сиропа
2 л сиропа
0
0
16
Задача состоит в том, чтобы разделить 8 л воды, находящейся в 8 л ведре,
пополам, т. е. по 4 л с помощью пустых дополнительных ведер - по 3 л и 5 л.
Эта задача решается за 7 ходов. Сразу придумать это решение не так просто.
Но можно переформулировать задачу и расширить ее границы сложности.
Попробуем найти решение для получения и других количеств воды - 1 л, 2 л,
7 л. Мы увидим, что получение некоторых количеств (3 л, 5 л) находятся за
одно действие, другие - за два, а деление по 4 л - окажется самой трудной
задачей. Пусть количество переливаний - стоимость решения задачи, ее
сложность. Таким образом, из исходной задачи, для заданных объемов
сосудов мы получим восемь задач сложностью в 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7 условных
баллов.
Задавая различные объемы сосудов, различные требуемые количества
жидкости, можно получить большой набор задач разного уровня сложности.
Приведем первый набор условий задач. Здесь объемы всех сосудов конечны.
I. Задачи на деление некоторого количества жидкости с помощью двух
дополнительных пустых сосудов за наименьшее число переливаний
Решение необходимо представить в виде таблицы переливаний
1. Две группы альпинистов готовятся к восхождению. Для приготовления
еды они используют примусы, которые заправляют бензином. В
альплагере имеется 10-литровая канистра бензина. Имеются еще
пустые сосуды в 7 и 2 литров. Как разлить бензин в два сосуда по 5
литров в каждом?
2. Как разделить поровну между двумя семьями 12 литров хлебного
кваса, находящегося в двенадцатилитровом сосуде, воспользовавшись
для этого двумя пустыми сосудами: 8-литровым и 3-литровым? [1]
3. У Карлсона есть ведро варенья, оно вмещает 7 литров. У него есть 2
пустых ведерка - 4-литровое и 3-литровое. Помогите Карлсону отлить 1
литр варенья к чаю в меньшее (3-литровое) ведерко, оставив 6 литров в
большом (7-литровом) ведре.
4. Летом Винни Пух сделал запас меда на зиму и решил разделить его
пополам, чтобы съесть половину до Нового Года, а другую половину после Нового года . Весь мед находится в ведре, которое вмещает 6
литров, у него есть 2 пустые банки - 5-литровая и 1-литровая. Может
ли он разделить мед так, как задумал?
5. На другой год Винни Пух запасся 10 литрами меда. Под руками у него
два ведра - 7-литровое и 4-литровое. Как ему разделить мед пополам?
6. (Пересыпашка) Разбойники раздобыли 10 унций (1 унция - примерно
30 см3) золотого песка. У них имеется две пустые коробки, емкостью 6
и 4 унции. Как им разделить песок пополам? Если на одно пересыпание
17
требуется 1 минута, то сколько времени они будут делить свою
добычу?
7. Некто имеет полный бочонок сока емкостью 12 пинт (пинта - 0,57
литра) и хочет подарить половину своему другу. Но у него нет сосуда в
6 пинт, а есть два сосуда в 8 пинт и 5 пинт. Каким образом можно
налить 6 пинт в сосуд емкостью 8 пинт? [1]
8. Белоснежка ждет в гости гномов. Зима выдалась морозной и снежной,
и Белоснежка не знает наверняка, сколько гномов решатся отправиться
в далекое путешествие в гости, однако знает, что их будет не более 12.
В ее хозяйстве есть кастрюлька на 12 чашек, она наполнена водой, и
две пустых - на 9 чашек и на 5. Можно ли приготовить кофе для
любого количества гостей, если угощать каждого одной чашкой
напитка?
9. Разрешима ли предыдущая задача, если в хозяйстве у Белоснежки
имеются кастрюлька с водой на 12 чашек и пустые кастрюльки на 9 и 7
чашек?
10.Для путешествия по морю необходим запас пресной воды. В плавании
вода расходуется со скоростью 1 бочка в сутки. В некоторый момент
времени запас воды на берегу составлял 8 бочек, и вода находилась в
баке, заполненном до краев. На яхте имеется такой же бак, объемом 8
бочек, но пустой. На сколько дней можно планировать путешествие,
если с собой нельзя брать лишнюю воду, а в распоряжении имеется
еще две пустых емкости объемом 3 и 6 бочек и их можно использовать
для переливания воды?
II. Задачи на получение некоторого количества жидкости из большого
или бесконечного по объему сосуда, водоема или источника с помощью
двух пустых сосудов
(при переливании можно сливать жидкость в исходный сосуд или водоем)
1. Для разведения картофельного пюре быстрого приготовления "Зеленый
великан" требуется 1 л воды. Как, имея два сосуда емкостью 5 и 9
литров, налить 1 литр воды из водопроводного крана?
2. Для марш-броска по пустыне путешественнику необходимо иметь 4
литра воды. Больше он взять не может. На базе, где имеется источник
воды, выдают только 5-литровые фляги, а также имеются 3-литровые
банки. Как с помощью одной фляги и одной банки набрать 4 литра во
флягу?
3. В походе приготовили ведро компота. Как, имея банки, вмещающие
500г и 900г воды, отливать компот порциями по 300 г?
4. Нефтяники пробурили скважину нефти. Необходимо доставить в
лабораторию на экспертизу 6 литров нефти. В распоряжении имеется
9-литровый и 4-литровый сосуды. Как с помощью этих сосудов
набрать 6 литров?
18
5. Как решить предыдущую задачу, если на экспертизу необходимо
доставить 5 литров нефти, а емкости сосудов составляют
соответственно 7 литров и 3 литра?
6. Как с помощью двух бидонов емкостью 17 литров и 5 литров отлить из
молочной цистерны 13 литров молока?
7. Современный вариант старинной задачи .
К продавцу, стоящему у бочки с квасом, подходят два веселых приятеля и
просят налить им по литру кваса каждому. Продавец замечает, что у него
есть лишь две емкости в 3 л и 5 л, и поэтому он не может выполнить их
просьбу. Приятели продолжают настаивать и дают продавцу 100 рублей
(сумма зависит от финансово-экономической ситуации в стране и
соответственно варьируется) с одним условием, что они получат свои порции
одновременно. После некоторого размышления продавец сумел это сделать.
Каким образом?
Для решения приведенных задач требуется 4, 6, 8 и более ходов. Приведем
решения без полного возможного набора ходов. Объем жидкости в условном
сосуде А будет соответствовать объему слитой жидкости, объемы Б и В заданным объемам по условию задачи. Действие, обозначенное одной
буквой, например, Б, означает наполнение сосуда из источника (водоема,
исходного сосуда).
1. Задача имеет решение за 4 хода.
N Действие
0
А Б(9л)
В(5л)
0
0
1 В
0 0
5
2 В-Б
0 5
0
3 В
0 5
5
4 В-Б
0 9
1
2. Задача решается за 6 ходов. Лишнюю воду сливаем в водоем.
N Действие
0
А Б(5л)
0
В(3л)
0
19
1
Б
0
5
0
2
Б-В
0
2
3
3
В-А
3
2
0
4
Б-В
3
0
2
5
Б
3
5
2
6
Б-В
3
4
3
3. Для решения требуется 8 ходов. Компот сливаем в ведро.
N Действие
А
0
Б(900г)
В(500г)
0
0
1 Б
0
900
0
2 Б-В
0
400
500
3 В-А
500
400
0
4 Б-В
500
0
400
5 Б
500
900
400
6 Б-В
500
800
500
7 В-А
1000 800
0
8 Б-В
1000 300
500
4. Решение достигается за 8 ходов. Нефть из сосуда В два раза выливается.
N Действие
А Б(9л)
0
1
Б
0
В(4л)
0
0
9
0
20
2
Б-В
0
5
4
3
В-А
4
5
0
4
Б-В
4
1
4
5
В-А
8
1
0
6
Б-В
8
0
1
7
Б
8
9
1
8
Б-В
8
6
4
5. Задача также решается за 8 ходов, аналогично предыдущей.
N Действие
А Б(7л)
0
В(3л)
0
0
1
Б
0
7
0
2
Б-В
0
4
3
3
В-А
3
4
0
4
Б-В
3
1
3
5
В-А
6
1
0
6
Б-В
6
0
1
7
Б
6
7
1
8
Б-В
6
5
3
6. Задача имеет решение за 14 переливаний. Молоко из 17-литрового бидона
сливается в цистерну.
21
N
Действие
А
0
Б(17л)
В(5л)
0
0
1
В
0
0
5
2
В-Б
0
5
0
3
В
0
5
5
4
В-Б
0
10
0
5
В
0
10
5
6
В-Б
0
15
0
7
В
0
15
5
8
В-Б
0
17
3
9
Б-А
17 0
3
10 В-Б
17 3
0
11 В
17 3
5
12 В-Б
17 8
0
13 В
17 8
5
14 В-Б
17 13
0
22
Задачи, решаемые методом трилинейных координат
Задача1: «Имеются три бочонка: 16, 11 и 6 - ведёрные. 16 - ведёрный
бочонок полон, 11 и 6 - ведёрные пусты. Требуется разделить квас поровну,
используя только эти бочонки».
Так как по условию задачи у нас имеется 16 л кваса, 3 бочонка емкостью 16
л, 11 л и 6 л и первый бочонок полон, то чертим трилинейную координатную
сетку, а именно: равносторонний треугольник с вершинами А, В, С,
координаты которых равны А(16, 0, 0), В(0, 16, 0), С(0, 0, 16). Получили
пятиугольник с вершинами, координаты которых (16, 0, 0), (10, 0, 6), (0, 10,
6), (0, 11, 5), (5, 11, 0). Определяем 2 точки: начало операций в точке (16, 0, 0)
и конец операций в точке (8, 8, 0) – так как по условию задачи 16 л кваса
находятся в 16-ти литровом бочонке, а два других пусты; и требуется
разделить 16 л пополам.
Используя данную схему, нужно пройти определенный путь, чтобы из
точки (16, 0, 0) оказаться в точке (8, 8, 0), а именно: (16, 0, 0)  (10, 0, 6) 
(10, 6, 0)  (4, 6, 6)  (4, 11, 1)  (15, 0, 1)  (15, 1, 0)  (9, 1, 6) 
23
(9, 7, 0) (3, 7, 6)  (3, 11, 2)  (14, 0, 2)  (14, 2, 0)  (8, 2, 6)  (8, 0, 0).
Можно сделать вывод, что для выполнения поставленного в задаче условия
необходимо сделать 14 переливаний, чтобы разделить при помощи данных
сосудов имеющиеся 16 л кваса пополам.
Если бы эту задачу решали методом подбора, то на нахождение данного
решения ушло бы очень много времени. А применение системы
трилинейных координат является более рациональным способом.
Задача 2
24
Рассмотрим случай [10; 8, 6, 4] – четное число литров жидкости разлито по
сосудам с четными емкостями. Здесь область операций – прямоугольник. Из
рисунка видно, что если первоначально в каждом из сосудов было по
четному числу литров, то есть исходная точка – с четными координатами
(например, (6, 2, 2)), то мы никогда не сможем отмерить нечетное число
литров жидкости.
На рисунках показаны два решения задачи, соответствующей случаю [8; 8,
5, 3] с исходным распределением жидкости (8, 0, 0); требуется отмерить 4
литра жидкости. Иными словами, два человека, имея сосуд, наполненный
восемью литрами жидкости, и два пустых сосуда емкостью 5 литров и 3
литров, хотят разделить эти 8 литров жидкости поровну.
Первое, что нужно сделать, – это наполнить сосуд емкостью 5 литров, как
на рисунке 5, либо сосуд емкостью 3 литра, как на рисунке 6. После этого
всякий раз, когда ломаная попадает на одну из сторон нашего
параллелограмма – прямые y = = 0, y = 5, z = 0, z = 3, – мы рассматриваем
эту сторону как зеркало. (Правило зеркальных отражений объясняется тем,
что каждый отрезок ломаной, параллельной стороне исходного треугольника,
соответствует операции переливания жидкости из одного сосуда в другой, а
третий сосуд в это время не трогают.) Таким образом, мы получаем решение
(8, 0, 0)  (3, 5, 0)  (3, 2, 3)   (6, 2, 0)  (6, 0, 2)  (1, 5, 2)  (1, 4, 3)
 (4, 4, 0) и решение (8, 0, 0)  (5, 0, 3)  (5, 3, 0)  (2, 3, 3)  (2, 5, 1) 
(7, 0, 1)  (7, 1, 0)  (4, 1, 3)  (4, 4, 0).
Ясно, что отмерить любое целое число литров жидкости в ситуации h = a =
b + c можно лишь в том случае, когда числа a и b взаимно просты.
25
Решение задачи методом бильярдного стола
Задача 1 Разделить 8 л воды, находящейся в 8 л ведре, пополам, т. е. по 4 л с
помощью пустых дополнительных ведер - по 3 л и 5 л.
Для задачи по делению 8 л по 4 л нас интересует одна точка на схеме: 4 л в
сосуде Б и 0 л в сосуде В. В этот момент остальные 4 л - в сосуде А. Это
точка на горизонтальной оси с координатой - 4 единицы. В эту точку можно
попасть за 7 ходов, если начать переливания в 5 л ведро (начальное движение
шарика по горизонтальной оси), и за 8 ходов, если начать переливания в 3 л
ведро (начальное движение шарика по наклонной оси). Для итогового
решения выбираем меньшее количество переливаний - 7.
Задачи, решаемые методом бильярдного стола
1. Две группы туристов готовятся к походу. Для приготовления еды они
используют примусы, которые заправляют бензином. В лагере имеется
10- литровая канистра бензина. Имеются еще пустые сосуды в 7 и 2
литров. Как разлить бензин в два сосуда по 5 литров в каждом?
2. Как разделить поровну между двумя семьями 12 литров хлебного
кваса, находящегося в двенадцатилитровом сосуде, воспользовавшись
для этого двумя пустыми сосудами: 8-литровым и 3-литровым?
3. У Карлсона есть ведро варенья, оно вмещает 7 литров. У него есть 2
пустых ведерка – 4-литровое и 3-литровое. Помогите Карлсону отлить
1 литр варенья к чаю в меньшее (3-литровое) ведерко, оставив 6 литров
в большом (7-литровом) ведре.
4. Летом Вини-Пух сделал запас меда на зиму и решил разделить его
пополам, чтобы съесть половину до Нового Года, а другую половину –
после Нового года. Весь мед находится в ведре, которое вмещает
6 литров, у него есть 2 пустые банки – 5-литровая и 1-литровая.
Может ли он разделить мед так, как задумал?
26
5. На другой год Вини-Пух запасся 10 литрами меда. Под руками у него
два ведра – 7-литровое и 4-литровое. Как ему разделить мед пополам?
6. (Пересыпашка) Разбойники раздобыли 10 унций (1 унция – примерно
303 см ) золотого песка. У них имеется две пустые коробки, емкостью 6
и 4 унции. Как им разделить песок пополам? Если на одно
пересыпание требуется 1 минута, то сколько времени они будут делить
свою добычу?
7. Некто имеет полный бочонок сока емкостью 12 пинт (пинта – 0,57
литра) и хочет подарить половину своему другу. Но у него нет сосуда
в 6 пинт, а есть два сосуда в 8 пинт и 5 пинт. Каким образом можно
налить 6 пинт в сосуд емкостью 8 пинт?
8. Белоснежка ждет в гости гномов. Зима выдалась морозной и снежной,
и Белоснежка не знает наверняка, сколько гномов решатся
отправиться в далекое путешествие в гости, однако знает, что их
будет не более 12. В ее хозяйстве есть кастрюлька на 12 чашек, она
наполнена водой, и две пустых – на 9 чашек и на 5. Можно ли
приготовить кофе для любого количе ства гостей, если угощать
каждого одной чашкой напитка?
9. Разрешима ли предыдущая задача, если в хозяйстве у Белоснежки
имеются кастрюлька с водой на 12 чашек и пустые кастрюльки на 9 и 7
чашек?
10.Для путешествия по морю необходим запас пресной воды. В
плавании вода расходуется со скоростью 1 бочка в сутки. В
некоторый момент времени запас воды на берегу составлял 8 бочек, и
вода находилась в баке, заполненном до краев. На яхте имеется такой
же бак, объемом 8 бочек, но пустой. На сколько дней можно
планировать путешествие, если с собой нельзя брать лишнюю воду,
а в распоряжении имеется еще две пустых емкости объемом 3 и 6
бочек и их можно использовать для переливания воды?
11.Для разведения картофельного пюре быстрого приготовления
«Зеленый великан» требуется 1 л воды. Как, имея два сосуда емкостью
5 и 9 литров, налить 1 литр воды из водопроводного крана.
12.Для марш-броска по пустыне путешественнику необходимо иметь 4
литра воды. Больше он взять не может. На базе, где имеется источник
воды, выдают только 5-литровые фляги, а также имеются 3литровые банки. Как с помощью одной фляги и одной банки набрать 4
литра во флягу?
13. В походе приготовили ведро компота. Как, имея банки, вмещающие
500 г и 900 г воды, отливать компот порциями по 300 г?
14.Нефтяники пробурили скважину нефти. Необходимо доставить в
лабораторию на экспертизу 6 литров нефти. В распоряжении
имеется 9- литровый и 4-литровый сосуды. Как с помощью этих
сосудов набрать 6 литров?
27
15.Как решить предыдущую задачу, если на экспертизу необходимо
доставить 5 литров нефти, а емкости сосудов составляют
соответственно 7 литров и 3 литра?
16.Как с помощью двух бидонов емкостью 17 литров и 5 литров отлить из
молочной цистерны 13 литров молока?
17.К продавцу, стоящему у бочки с квасом, подходят два веселых
приятеля и просят налить им по литру кваса каждому. Продавец
замечает, что у него есть лишь две емкости в 3 л и 5 л, и поэтому он не
может выполнить их просьбу. Приятели продолжают настаивать и
дают продавцу 100 рублей (сумма зависит от финансовоэкономической ситуации в стране и соответственно варьируется) с
одним условием, что они получат свои порции одновременно. После
некоторого размышления продавец сумел это сделать. Каким
образом?
28