Практическое занятие №2

Практическое занятие №2
Тема: Отношения. Свойства отношений. Функции.
1. Прямое произведение множеств
Прямым (декартовым) произведением множеств А1, …, Аn называют множество,
А1…Аn = {<a1, …, an> | ai  Ai, i = 1, … n}.
Если Аi = А, то А1…Аn = An называется прямой степенью множества А.
2. Отношения
Бинарным отношением между элементами множеств А и В называется любое
подмножество R множества АВ. Вместо <x, y>  R часто пишут xRy.
Областью определения бинарного отношения R называется множество
R = {x | существует y такое, что <x, y>  R}.
Областью значений бинарного отношения R называется множество
R = {x | существует y такое, что <y, x>  R}.
Обратным отношением для бинарного отношения R называется множество
R-1 = {<x, y> | <y, x>  R}.
Образом множества Х относительно R называется множество
R(X) = {y | существует х  Х такое, что <x, y>  R},
прообразом Х относительно R называется R-1(X).
Произведением подмножеств R1  АВ и R2  BC называется отношение
R1R2 = {<x, y> | существует z такое, что <x, z>  R1, <z, y>  R2}.
Свойства отношений
Бинарное отношение R на множестве А называется
рефлексивным, если <x, х>  R для всех x  А;
симметричным, если <x, у>  R  <y, x>  R;
антисимметричным, если <x, у>  R и <y, x>  R  х = у;
транзитивным, если <x, у>  R и <y, z>  R  <x, z>  R.
Рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение на множестве А называется
эквивалентностью на А. Классом эквивалентности (смежным классом) элемента х по
эквивалентности R называется множество
[x]R = x/R = {y | <x, у>  R}.
Множество классов эквивалентности элементов множества А по эквивалентности R
называется фактор-множеством А по R и обозначается А/R.
Бинарное отношение на множестве А называется предпорядком на А, если оно
рефлексивно и транзитивно. Рефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение на
множестве А называется частичным порядком на А ().
Частичный порядок  на множестве А называется полным на А, если каждое непустое
подмножество А имеет наименьший элемент. Тогда А называется вполне упорядоченным.
3. Функции
Отношение f называется функцией из А в В (из а на В), если f = A, f  В (f = В) и для
всех x, y1, y2 из <x, y1>  f и <x, y2>  f следует y1 = y2. Обозначение f: A  B. Пишем y = f(x)
вместо <x, y>  f и называем y значением функции f при значении аргумента х.
Функция f: A  B осуществляет взаимно однозначное соответствие межу А и В, если
f = A, f = В и из того, что y = f(x1), y = f(x2) следует х1 = х2.
Пусть А и В – частично упорядоченные множества и f – функция из А в В. f называется
монотонным отображением, если из х1  х2 следует f(x1)  f(x2) для всех x1, x2  А.
1
Задания
1. Доказать
2. Найти R, R, R-1, RR, RR-1, R-1R для отношений
3. Построить бинарное отношение
Вариант 1.
1. Существуют А, В, такие, что АВ  ВА;
2. (АВ)(СD) = (АC)(ВD);
3. R1R2 = R1-1(R1R2);
4. R  R = R  R = R;
5. Если R1  R2 , то QR1  QR2;
6. Если f: A  В – взаимно однозначное соответствие, то f-1 - взаимно однозначное
соответствие между В и А;
7. f(AВ) = f(A)f(В);
8. Если отношения R1 и R2 рефлексивны, то рефлексивны и R1  R2, R1  R2, R1-1,
R1 R2 ;
9. Если R – эквивалентность, то x  [x]R.
2.
R = {<x, y> | x, y  Nat и х делит у}
3.
Рефлексивное, симметричное, не транзитивное;
1.
Вариант 2.
1.
2.
3.
1. Существуют А, В, С такие, что А(ВС)  (АВ)С;
2. (АВ)(CD)  (АC)(ВD);
3. R-1 = R, R-1 = R;
4. (R1  R2)-1 = R1-1  R2-1;
5. Если R1  R2, то R1Q  R2Q;
6. Если f: A  В – взаимно однозначное соответствие, то f -1f = iB(x) = x, x  B.
7. f(AВ)  f(A)f(В);
8. Если отношения R1 и R2 симметричны, то симметричны R1R2, R1R2, R1-1, R1R1-1;
9. Если R – эквивалентность, то R-1 – эквивалентность.
R = {<x, y> | x, y  Nat и у делит х}
Рефлексивное, антисимметричное, не транзитивное;
Вариант 3.
1. Если А, В, С, D не пусты, то А  В и С  D  АC  BD;
2. (АВ)C = (AC)(ВC);
3. R1R2 = R2(R1R2);
4. (R1  R2)-1 = R1-1  R2-1;
5. Если R1  R2 , то R1-1  R2-1;
6. Если f: A  В – взаимно однозначное соответствие, то f f -1 = iA(x) = x, x  A.
7. f(A) \ f(B)  f(A \ В);
8. Если отношения R1 и R2 симметричны, то R1R2 симметрично тогда и только тогда,
когда R1R2 = R2R1;
9. Если R – эквивалентность, то <x, y>  R  [x]R = [y]R.
2.
R = {<x, y> | x, y  [-/2, /2] и у  sin(x)}
3.
Рефлексивное, транзитивное, не симметричное;
1.
2