Дискретная матем. (контр. раб.) Мотина Н.В.

Федеральное агентство по образованию
Псковский государственный политехнический институт
Н.В. Мотина
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
Методические указания по выполнению контрольных
работ
для студентов заочной формы обучения специальностей
230101 «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети»,
230201 «Информационные системы и технологии»
Рекомендовано к изданию научно-методическим советом
Псковского государственного политехнического института
Псков
Издательство ППИ
2009
2
Оглавление
Порядок выполнения контрольной работы .................................. 5
Часть 1. Краткий теоретический материал ....................................... 6
1. Операции над множествами ........................................................... 6
1.1. Понятие множества .................................................................. 6
1.2. Объединение, пересечение, дополнение, разность
множеств .................................................................................. 7
1.3. Прямое произведение множеств............................................. 8
Контрольные вопросы .................................................................... 8
2. Отношения ..................................................................................... 10
2.1. Понятие бинарного отношения ............................................ 10
2.2. Обратное отношение.............................................................. 10
2.3. Композиция отношений ........................................................ 10
2.4. Векторы ................................................................................... 11
Контрольные вопросы .................................................................. 11
3. Соответствия.................................................................................. 13
Контрольные вопросы .................................................................. 14
4. Виды графов .................................................................................. 16
4.1. Понятие графа ........................................................................ 16
4.2. Связность ................................................................................ 18
4.3. Планарность ............................................................................ 20
4.4. Деревья .................................................................................... 20
Контрольные вопросы .................................................................. 21
5. Способы задания графов .............................................................. 23
5.1. Матрица смежности ............................................................... 23
5.2. Матрица инциденций............................................................. 23
Контрольные вопросы .................................................................. 24
6. Маршруты, цепи, циклы ............................................................... 25
6.1. Основные определения .......................................................... 25
6.2. Эйлеровы циклы ..................................................................... 25
6.3. Гамильтоновы циклы ............................................................. 25
Контрольные вопросы .................................................................. 26
7. Преобразование логических выражений .................................... 27
7.1. Понятие логической функции............................................... 27
7.2. Тождества булевой алгебры .................................................. 29
7.3. Правила преобразования некоторых логических
функций.................................................................................. 30
Контрольные вопросы .................................................................. 30
8. Минимизация логических функций ............................................ 32
8.1. Минимизация с помощью карт Карно ................................. 32
8.2. Метод Квайна поиска СокДНФ ............................................ 33
8.3. Метод Квайна – Мак-Класки ................................................ 36
3
8.4. Нахождение МКНФ с помощью карты Карно .................... 37
8.5. Минимизация логических функций, представленных в
конъюнктивной форме, с использованием правил,
аналогичных правилам минимизации логических
функций в дизъюнктивной форме....................................... 38
8.6. Минимизация неполностью определенных логических
функций с помощью карты Карно ...................................... 40
8.7. Минимизация неполностью определенных логических
функций без использования карты Карно .......................... 41
Контрольные вопросы .................................................................. 42
9. Свойства логических функций .................................................... 43
Контрольные вопросы .................................................................. 46
Часть 2 ................................................................................................ 47
Варианты заданий ............................................................................. 47
Задание 1. Операции над множествами ...................................... 47
Задание 2. Отношения .................................................................. 50
Задание 3. Соответствия ............................................................... 55
Задание 4. Виды графов................................................................ 60
Задание 5. Способы задания графов ........................................... 63
Задание 6. Маршруты, цепи, циклы ............................................ 68
Задание 7. Преобразование логических выражений ................. 73
Задание 8. Минимизация логических функций ......................... 75
Задание 9. Свойства логических функций ................................. 78
Пример оформления контрольной работы ..................................... 79
Рекомендуемая литература .............................................................. 85
4
Порядок выполнения контрольной работы
Контрольная работа по дисциплине «Дискретная математика»
включает 9 заданий. Первые 3 задания относятся к разделу «Теория
множеств», следующие 3 задания – к разделу «Графы» и последние 3
задания – к разделу «Логические функции».
Первая часть данного методического пособия содержит краткий
теоретический материал, необходимый для решения каждого задания,
и примеры, иллюстрирующие ход решения подобных задач. Во
второй части пособия приводятся варианты самих заданий.
Каждое задание контрольной работы представлено двадцатью
вариантами. Номер варианта для конкретного студента определяется
следующим образом:
 взять две последние цифры номера зачетной книжки;
 определить остаток от деления полученного числа на 20, величина
остатка и будет соответствовать номеру варианта;
 если остаток получился равным нулю, то взять вариант 20.
Например, пусть номер зачетной книжки 0701089. Число,
образованное двумя последними цифрами, – 89. Остаток от деления
89 на 20 равен 9 (89 = 20  4 + 9). Следовательно, студент с номером
зачетной книжки 0701089 должен решать задания варианта 9.
Пусть теперь номер зачетной книжки 0751000. В таком случае
две последние цифры дадут число 0. Остаток от деления 0 на 20
равен 0 (0 = 20  0 + 0). Значит, студент с номером зачетки 0751000
должен выполнять задания варианта 20.
Контрольная работа аккуратно выполняется в отдельной
тетради. Решение каждой задачи при этом должно содержать:
 задание согласно варианту;
 подробное описание решения или подробное обоснование ответа;
 ответ.
Пример оформления контрольной работы приведен в
соответствующем разделе.
В пособии также предлагается перечень литературы, в которой
можно найти дополнительный материал по дисциплине «Дискретная
математика».
5
« Ц ы ф и р к и н . Задача… Нашли мы
трое... на дороге… триста рублев…
Дошло дело до дележа. Смекни-тко,
по чему на брата?
М и т р о ф а н (вычисляя, шепчет).
Единожды три — три. Единожды
ноль — ноль. Единожды ноль —
ноль…
Г-жа
П р о с т а к о в а . ..Нашел
деньги, ни с кем не делись. Все себе
возьми, Митрофанушка. Не учись
этой дурацкой науке.»
Д.И.Фонвизин.
«Недоросль».
Действие третье.
Явление VII.
Часть 1. Краткий теоретический материал
1. Операции над множествами
1.1. Понятие множества
Множество – это любая определенная совокупность объектов.
Объекты, из которых составлено множество, называются его
элементами.
Если объект x является элементом множества M, то говорят, что
x принадлежит М (x  M). В противном случае говорят, что x не
принадлежит M (x  M).
Множество, не содержащее элементов, называется пустым ().
Обычно в конкретных рассуждениях элементы всех множеств
берутся из некоторого одного, достаточно широкого множества U
(своего для каждого случая), которое называется универсальным
множеством (или универсумом).
Чтобы задать множество, нужно указать, какие элементы ему
принадлежат. Это можно сделать различными способами:
 Перечислением:
M = {a1, a2, …, ak}
 Характеристическим предикатом: M ={x  P(x)}
При задании множеств перечислением обозначения элементов
обычно заключают в фигурные скобки и разделяют запятыми. Это
задание множества в явной форме.
6
Пример. M0 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Характеристический предикат – это некоторое условие,
выраженное в форме логического утверждения или процедуры,
возвращающей логическое значение. Если для данного элемента
условие выполнено, то он принадлежит определяемому множеству, в
противном случае – не принадлежит.
Пример. M0 = {n  n  N  n < 10}
(Множество M0 состоит из элементов n таких, которые
принадлежат множеству натуральных чисел и меньше 10)
1.2. Объединение, пересечение, дополнение, разность
множеств
Объединением (или суммой) множеств А и В называется
множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат
хотя бы одному из множеств А, В.
U
A  B = {x  x  A  (или) x  B}
B
A
Пересечением (или произведением) множеств А и В называется
множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые
принадлежат и А, и В.
U
A  B = {x  x  A  (и) x  B}
A
B
Разностью множеств А и В (или относительным дополнением
множества В до множества А) называется множество всех тех и только
тех элементов А, которые не содержатся в В.
U
A \ B = {x  x  A  x  B}
A
B
A
B
Симметрическая разность (или кольцевая сумма):
A  B = (А  В) \ (А  В) =
= {x  (x  A  x  B)  (x  A  x  B)}
U
Дополнением (до универсального множества) или абсолютным
дополнением
называется
множество
всех
элементов,
не
принадлежащих А.
Ā = {x  x  A}
Ā=U\A
7
Пример. Пусть А = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5}.
Определим множества D1 = (A  B) \ (A  B) и D2 = A  B.
A  B = {1, 2, 3, 4, 5}
A  B = {3}
D1 = (A  B) \ (A  B) = {1, 2, 4, 5}
D2 = A  B = {1, 2, 4, 5}
1.3. Прямое произведение множеств
Пусть А и В – два множества. Прямым (декартовым)
произведением двух множеств называется множество упорядоченных
пар, в котором первый элемент каждой пары принадлежит А, а второй
принадлежит В:
A  B = {(a, b)  a  A  b  B}
Степенью множества А называется его прямое произведение
самого на себя:
A n  A... A
n раз
Соответственно, А1 = A, A2 = A  A и вообще Аn = A n–1  A.
Пример. А = {a, b},
B = {1, 2, 3}.
A  B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}
B  A = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}
A  B  B  A (Декартово произведение не подчиняется
коммутативному закону, и A  B = B  A справедливо, если А = В)
A2 = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)}
A3 = {(a, a, a), (a, a, b), (a, b, a), (a, b, b), (b, a, a), (b, a, b), (b, b, a),
(b, b, b)}
Контрольные вопросы
1. Перечислите элементы множества
M = {x  x  Z & x2 < 100}, где Z – множество целых чисел.
2. Установите истинность или ложность следующих утверждений:
а)
{2}  {1, 2, 3, 4, 5}
б)
 = {}
в)
x  {2, a, x}
г)
3  {1, {2, 3}, 4}
3. Равны ли между собой множества А и В? Если нет, то почему?
а)
А = {2, 5, 4}, B = {5, 4, 2}
б)
A = {1, 2, 4, 2}, B = {1, 2, 4}
в)
A = {1, {2, 5}, 6}, B = {1, {5, 2}, 6}
г)
A = {1, {2, 5}, 6}, B = {1, 2, 5, 6}
8
4. Определите, какие из следующих утверждений истинны, а какие
ложны:
а)
A ∩  = A;
б)
A ∆ A = ;
в)
A \ A = A;
5. Пусть X = {0, 1}, Y = {a, b}. Найти:
а)
XY
б)
YX
в)
X2
г)
XYX
д)
X
9
2. Отношения
2.1. Понятие бинарного отношения
Бинарные (двухместные) отношения используются для
определения каких-то взаимосвязей, которыми характеризуются пары
элементов в множестве А (так, на множестве людей могут быть
заданы, например, следующие бинарные отношения: «быть моложе»,
«быть сыном» и т.п.). Тогда все пары (a, b) элементов из А, между
которыми имеет место данное отношение R, образуют подмножество,
называемое бинарным отношением R, т.е. (a, b)  R,
при этом
R  A  A. Такое отношение (где
аА
и
b  А) называют
отношением на множестве А.
Пример. M = {дед, отец, внук}
M  M = {(дед, дед), (дед, отец), (дед, внук),
(отец, дед), (отец, отец), (отец, внук),
(внук, дед), (внук, отец), (внук, внук)}
R – «быть моложе»
R = {(отец, дед), (внук, дед), (внук, отец)}
Пусть А и В – два множества. В общем случае (бинарным)
отношением R из множества А в множество В называется
подмножество пар (a, b)  R прямого произведения А и В: R  A  B.
Для бинарных отношений обычно используется инфиксная
форма записи:
a R b = (a, b)  R  A  B
Пример. Пусть на множестве M = {2, 4, 6} определено отношение R
– «быть меньше».
Задать списком отношение R.
R = {(2, 4), (2, 6), (4, 6)}.
2.2. Обратное отношение
Обратное отношение: R–1 = {(a, b)  (b, a)  R}
Пример. Если R = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)} («быть меньше»),
то R–1 = {(2, 1), (3, 1), (3, 2)} («быть больше»).
2.3. Композиция отношений
Пусть R1  А  B – отношение из множества А в множество B, а
R2  B  C – отношение из множества B в множество C. Композиция
отношений действует из А в В посредством R1, а затем из В в С
посредством R2. Композицией двух отношений R1 и R2 называется
10
отношение R  А  C из А в C, определяемое следующим образом:
R = R1  R2 = {(a, c)  a  A  c  C   b  B a R1 b  b R2 c}
Пример. A = {1, 2, 3}, B = {x, y}, C = {, , , *}
R1  A  B = {(1, x), (1, y), (3, x)}
R2  B  C = {(x, ), (x, ), (y, ), (y, *)}
R1  R2 = {(1, ), (1, ), (1, ), (1, *), (3, ), (3, )}
Пример. Если R – «быть сыном», то R  R – «быть внуком».
Степенью отношения R на множестве А называется его
композиция с самим собой:
R n  R ... R
n
раз
Соответственно, R0 = I; R1 = R; R2 = R  R и вообще говоря Rn = Rn–
1
 R.
2.4. Векторы
Вектор (кортеж) – упорядоченный набор элементов
v = (a1, a2, …, an) или v = <a1, a2, …, an>,
где а1, а2, …, an – компоненты (координаты) вектора. Число n
компонент называется длиной (размерностью) вектора.
Два вектора v1 = (a1, a2, …, an) и v2 = (b1, b2, …, bm) равны, если
они имеют одинаковую длину и соответствующие их координаты
равны, т.е.
(a1, a2, …, an) = (b1, b2, …, bm)
если n = m & a1 = b1 & a2 = b2 & … & an = bm
Проекцией вектора v на i-ю ось называется его i-ая компонента:
прi v = ai.
Пример. пр2 (а, 2) = 2
Проекцией множества векторов V на i-ю ось называется
множество проекций всех векторов из V на i-ю ось.
Пример. V = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}
V = {v1, v2, v3, v4, v5, v6};
пр2 v1 = 1;
пр2 v1 = 2; пр2 v1 = 3; пр2 v1 = 1; пр2 v1 =
2; пр2 v1 = 3;
пр2 V = {1, 2, 3}.
Контрольные вопросы
1. Пусть отношение R задано на M = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Выписать все
элементы R, если R = {(x, y)  x + y  4 & x, y  M}
11
2. Пусть M = {1, 3, 5, 7} и отношение R  M  M. Задать списком
отношение R
и
обратное
отношение R–1,
если
R = {(a, b)  (2a + b)  M}
3. Пусть A = {(b, a), (c, e), (d, i), ( f, o), (g, u)} и B = {(v, a), (w, e), (x, i),
(y, o), (z, u)}. Опишите отношение B ○ A-1.
4. Пусть R, S и T определены следующим образом:
R = {(1, 7), (4, 6), (5, 6), (2, 8)};
S = {(6, 10), (6, 11), (7, 10), (8, 13)};
T = {(11, ∆), (10, ∆), (13, ), (12, ), (13, Ο)}.
Определите отношения:
а) R ○ S;
б) S ○ T;
в) (R ○ S) ○ T;
г) R ○ (S ○ T).
5. Пусть V = {(a, b, d), (c, b, d), (d, b, b)}. Чему равна проекция V на
2-ю ось?
12
3. Соответствия
G
A
b
a
ООG
B
ОЗG
Соответствием между множествами A и B называется
подмножество G прямого произведения этих множеств. G  A  B.
Если (a, b)  G, то говорят, что «b соответствует a при соответствии
G». Можно считать, что соответствие между множествами A и B и
бинарное отношение из А в В – это эквивалентные понятия.
Область определения соответствия G – множество
ООG = {a  (a, b)  G}. Область значений соответствия G –
множество ОЗG = {b  (a, b)  G}.
Соответствие называется всюду (полностью) определенным,
если его ОО = A. В противном случае соответствие называется
частично определенным.
Соответствие называется сюръективным, если ОЗ = B.
Образом элемента а в множество B при соответствии G
называется множество всех b  B, соответствующих элементу a  A.
Прообразом элемента b в множество А при соответствии G называется
множество всех a  A, которым соответствует b  B.
Инъективное соответствие – соответствие, в котором
прообразом любого элемента b из области значений ОЗ является
единственный элемент a из области определения ОО.
Функциональное (однозначное) соответствие – соответствие, в
котором образом любого элемента а из области определения ОО
является единственный элемент b из области значений ОЗ.
Соответствие называется биективным (взаимно однозначным),
если оно:
а) всюду определено;
б) сюръективно;
в) функционально;
г) инъективно.
Соответствие
не полностью определенное,
А
В
сюръективное (ОЗ = В),
не функциональное,
инъективное
13
А
А
В
В
Не полностью определенное,
инъекция,
не сюръекция,
функция
Всюду определенное,
сюръекция,
не инъекция,
функция
Всюду определенное,
сюръективное,
А
В
инъективное,
функциональное,
биективное
Пример. А = {Иванов, Петров, Сидоров};
В = {2, 3, 4, 5};
R  A  B = {(Иванов, 4), (Петров, 4), (Сидоров, 2)}.
Найти область определения и область значений
соответствия R, образ элемента «Иванов», прообраз
элемента 2, определить свойства соответствия R
(сюръективность,
функциональность,
инъективность,
биективность, является ли R всюду определенным).
ООR = {Иванов, Петров, Сидоров}. Так как область
определения соответствия совпадает со множеством А, то
соответствие является всюду определенным.
ОЗR = {4, 2}. Область значения соответствия не
совпадает со множеством В, поэтому соответствие не
является сюръективным.
Образ
элемента
«Иванов» = {4},
прообраз
элемента 2 = {Сидоров}.
Соответствие R является функциональным, потому что
у каждого элемента из области определения не более одного
образа из области значений. Соответствие не является
инъективным, так как элемент 4 имеет более одного
прообраза (Иванов и Петров). В силу вышесказанного
соответствие R не является биекцией.
Контрольные вопросы
1. Пусть x  X, y  Y и R – отношение между элементами множества,
выражаемое соотношением xRy. Укажите, в каких случаях R
можно рассматривать как функцию?
14
а) X – множество студентов, Y – множество учебных дисциплин,
xRy означает «x изучает y».
б) X – множество спортсменов, Y – рост в единицах длины, xRy
означает «x имеет рост y».
2. Пусть А = -2, -1, 0, 1, 2, а В = 0, 1, 2, 3, 4, 5. Определим
соответствие
  А  В как  = (-2, 5), (-1, 2), (0, 1), (2, 5). Каковы свойства
соответствия f ?
3. Пусть   R  R, где R – множество действительных чисел. Найдите
область значений и область определения следующих функций:
а) (х) = х 2 + 4;
б)  (х) = x  2 ;
4. Соответствие G определено графически. Найти образы и
прообразы:
чисел 1, 2, 4; отрезков [1, 2], [2, 4].
y
G
4
3
2
1
–2
–1
1
2
3
4
15
x
4. Виды графов
4.1. Понятие графа
Графом G(V, E) называется совокупность двух множеств –
непустого множества V (множества вершин) и множества Е
неупорядоченных пар различных элементов множества V (Е –
множество ребер).
Число вершин графа (порядок графа) G обозначим p, а число
ребер – q.
Пусть v1, v2 – вершины, е = (v1, v2) – соединяющее их ребро.
Тогда вершина v1 и ребро е инцидентны, вершина v2 и ребро е также
инцидентны. Два ребра, инцидентные одной вершине, называются
смежными; две вершины, инцидентные одному ребру, также
называются смежными. Таким образом, смежность есть отношение
между однородными элементами графа, тогда как инцидентность –
отношение между разнородными элементами.
Пример.
v1
e4
v4
e1
e5
e3
v2
e2
v3
Данная диаграмма изображает граф, имеющий четыре
вершины и пять ребер. В этом графе вершины v1 и v2
смежны, а вершины v1 и v3 не смежны. Смежные ребра: e1 и
e5. Несмежные ребра: e1 и e3. Ребро е1 инцидентно вершинам
v1 и v2, вершина v1 инцидентна ребрам е1 и е4.
Если элементами множества Е являются упорядоченные пары,
то граф называется ориентированным (или орграфом). В этом случае
элементы множества V называются узлами, а элементы множества Е –
дугами.
Граф называют неориентированным, если он не имеет
ориентированных ребер. Для краткости неориентированный граф
называют также неографом. Иногда каждое ребро такого графа
представляют как две дуги, направленные в противоположные
стороны. Неориентированные графы можно считать частными
случаями ориентированных графов, соответствующих симметричным
бинарным отношениям, т.е. таким ориентированным графам, которые
наряду с каждой дугой (u, v) содержат и дугу (v, u).
16
Граф, полученный после замены всех дуг в ориентированном
графе на ребра, называется основанием.
Если элементом множества Е может быть пара одинаковых (не
различных) элементов V, то такой элемент множества Е называется
петлей, а граф называется графом с петлями (или псевдографом).
Если Е является не множеством, а набором, содержащим
несколько одинаковых элементов, то эти элементы называются
кратными
(параллельными)
ребрами,
а
граф
называется
мультиграфом или квазиграфом.
Максимальное число ребер, соединяющих две вершины графа,
называется мультичислом графа.
Граф называется простым, если каждую пару вершин соединяет
не более чем одно ребро и в графе отсутствуют петли.
Если вершины и/или ребра графа помечены (обозначены), то
граф называется помеченным (или нагруженным). В качестве
множества пометок обычно используются буквы или целые числа.
Граф, в котором каждая пара вершин смежна, называется
полным. Полный граф с p вершинами обозначается Kp.
Граф G’(V’, E’)
называется
подграфом
графа G(V, E)
(обозначается G’  G), если V’  V, а E’ – множество всех ребер G,
оба конца которых принадлежат V’.
Двудольный граф (или биграф, или четный граф) – это
граф G(V, E),
такой
что
множество V
разбито
на
два
непересекающихся множества V1 и V2, причем всякое ребро из Е
соединяет вершину из V1 с вершиной из V2. Множества V1 и V2
называются долями двудольного графа. Если двудольный граф
содержит все ребра, соединяющие множества V1 и V2, то он
называется полным двудольным графом. Если V1 = m и V2 = n, то
полный двудольный граф обозначается Km,n.
Пример. Диаграмма графа K3,3.
Граф, состоящий
обозначается Ck.
из
простого
цикла
с
k
вершинами,
Пример. С3 – треугольник.
Количество ребер, инцидентных вершине v, называется
(локальной) степенью (или валентностью) вершины v и
обозначается d(v):
0  d(v)  p – 1
17
Если степени всех вершин равны k, то граф называется
регулярным (однородным) степени k.
Пример. Диаграмма регулярного графа степени 3.
Для орграфа число дуг, исходящих из вершины v, называется
полустепенью исхода, а входящих – полустепенью захода.
Обозначаются эти числа, соответственно, d–(v) и d+(v).
Если в орграфе полустепень захода некоторой вершины равна
нулю (т.е. d+(v) = 0), то такая вершина называется источником, если
же нулю равна полустепень исхода (т.е. d–(v) = 0), то вершина
называется стоком.
Графы G1 и G2 равны, то есть G1 = G2, если их множества
вершин и ребер совпадают: V1 = V2 и E1 = E2. Графы, отличающиеся
только нумерацией вершин и ребер, называются изоморфными.
Пример.
v1
v2
v3
u1
u4
u6
v4
v5
v6
u5
u2
u3
Три внешне различные диаграммы являются диаграммами
одного и того же графа.
Дополнением графа G(V1, E1) называется граф G(V2, E2), где
V2 = V1  E2 = E 1 = {e  V1  V1  e  E1}.
G
G
4.2. Связность
В связном графе любые две вершины соединены (простой)
цепью.
v1
v2
Компоненты связности –
v3
связные части графа.
v4
18
v5
Несвязный граф, имеет две компоненты связности.
Вершина графа называется точкой сочленения, если ее удаление
делает граф несвязным.
Мостом называется ребро, удаление которого делает граф
несвязным.
Максимальные неразделимые подграфы графа называются его
блоками.
c
d
w
Пример.
u
a
b
x
e
v
f
Вершины u, v – точки сочленения, и других точек сочленения
нет.
Ребро х – мост, и других мостов нет.
Подграфы {a, b, u, w}, {c, d, v}, {e, f, v} – блоки, и других блоков
нет.
В неориентированном графе две вершины либо связаны (если
существует соединяющая их цепь), либо не связаны. В
ориентированном
графе
отношение
связанности
вершин
несимметрично, а потому определение связности отличается.
Пусть G(V, E) – орграф, v1 и v2 – его вершины. Говорят, что две
вершины v1 и v2 связаны в орграфе G, если они связаны в графе G’,
полученном из G отменой ориентации ребер. Если все вершины в
орграфе связаны, то орграф называется связным. Орграф называется
односторонне связным, если для любой пары вершин существует путь
между ними хотя бы в одну сторону. Говорят, что две вершины v1 и v2
сильно связаны в орграфе G, если существует путь (ориентированная
цепь) из v1 в v2 и из v2 в v1. Если все вершины в орграфе сильно
связаны, то орграф называется сильно связным.
Пример.
v1
v4
v2
v3
v1
v4
v2
v3
Сильная (слева) связность и связность.
Компоненты сильной связности орграфа – его сильно связные
подграфы.
Три сильно связные компоненты орграфа, который сам не
является сильно связным.
19
v1
v7
v2
v4
v5
v3
v6
Конденсация орграфа – орграф, которые получается
стягиванием каждой компоненты сильной связности в точку.
Конденсация графа, изображенного выше.
4.3. Планарность
Граф укладывается на некоторой поверхности, если его можно
нарисовать на этой поверхности так, чтобы ребра графа при этом не
пересекались. Граф называется планарным, если его можно уложить
на плоскости. Плоский граф – это граф, уже уложенный на плоскости.
Граф планарен тогда и только тогда, когда он не содержит в
качестве подграфов ни К5, ни К3, 3.
4.4. Деревья
Граф без циклов называется ациклическим, или лесом. Связный
ациклический граф называется (свободным) деревом. Таким образом,
компонентами связности леса являются деревья.
Свойства деревьев:
1. Дерево – связный граф без циклов.
2. Дерево – связный граф, в котором q = p – 1.
3. Любые две вершины соединены в дереве единственной простой
цепью.
4. Любое ребро дерева есть мост.
Пример. Все различные (свободные) деревья с 6 вершинами.
Корневым ориентированным деревом (или ордеревом, или
корневым деревом) называется орграф со следующими свойствами:
20
 существует единственный узел, полустепень захода которого
равна 0; он называется корнем ордерева;
 полустепень захода всех остальных узлов равна 1;
 каждый узел достижим из корня.
Пример. Ориентированные деревья с 4 узлами.
Концевая вершина ордерева называется листом. Вершины, не
являющиеся листьями, называются внутренними. Путь из корня в
лист называется ветвью. Длина наибольшей ветви ордерева
называется высотой. Уровень узла ордерева – это расстояние от корня
до узла. Сам корень имеет уровень 0. Узлы одного уровня образуют
ярус дерева.
Если наибольшая из полустепеней исхода для вершин дерева
равна m, тогда дерево называется m-арным деревом. В частном случае,
когда m = 2, дерево называется бинарным деревом. В каждом
бинарном дереве каждый сын родителя обозначается либо как левый
сын, либо как правый сын (но не то и другое одновременно).
В m-арном ориентированном дереве d–(v)  m для каждой его
вершины v. Таким образом, родитель имеет не более m сыновей.
Полным m-арным ориентированным деревом называется такое
ориентированное дерево, в котором d–(v) = m для каждой его
вершины v, не являющейся листом, и все листы находятся на одном
уровне. Таким образом, каждый родитель имеет в точности
m сыновей.
Контрольные вопросы
1. Нарисуйте следующие графы:
а) К5; б) К1,4.
d
2. Изоморфны ли следующие графы?
а)
v3
v4
b
v1
v2
c
a
21
б)
v5
b
v4
c
v6
a
v2
v1
d
v3
f
e
3. Найдите дополнения приведенных ниже графов.
а)
б)
a
g
b
c
c
d
a
f
b
e
4. Найдите точки сочленения, мосты, блоки.
b
c
a
e
d
f
g
h
i
5. Которые из приведенных ниже графов являются деревьями?
а)
б)
v0
v4
v1
v3
v0
v1
v3
v4
v2
v2
v1
v3
v2
в)
v0
v5
v4
v5
v6
22
v7
v6
v5
5. Способы задания графов
Представление проиллюстрируем на следующих примерах:
e1
v1
e4
e5
e3
v4
v2
v1
e2
e4
v3
v4
e1
e5
e3
Граф G
v2
e2
v3
Граф D
5.1. Матрица смежности
Представление графа с помощью квадратной булевской
матрицы M: array [1..p, 1..p] of 0..1, отражающей смежность вершин,
называется матрицей смежности, где
1, если вершина vi смежна с вершиной v j ,
M [i, j ]  
0, если вершины vi и v j несмежны
Пример.
1
G: 2
3
4
1
0
1
0
1
2
1
0
1
1
3
0
1
0
1
4
1
1
1
0
10
1 00
D: D
2 :0
3 00
4 11
21
10
0
00
00
30
01
1
00
11
40
01
1
00
00
5.2. Матрица инциденций
Представление
графа
с
помощью
матрицы
H: array [1..p, 1..q] of 0..1 (для орграфов H: array [1..p, 1..q] of –1..1),
отражающей инцидентность вершин и ребер, называется матрицей
инциденций, где для неориентированного графа

1, если вершина vi инцидентна ребру е j
H i, j   

0, в противном случае
а для ориентированного графа
23
1,



H i, j    0,

 1,


если вершина vi инцидентна ребру е j и является
его концом
если вершина vi и ребро е j не инцидентны
если вершина vi инцидентна ребру е j и является
его началом
Пример.
1
G: 2
3
4
1
1
1
0
0
2
0
1
1
0
3
0
0
1
1
4
1
0
0
1
5
0
1
0
1
1
D: 2
3
4
1 2 3 4 5
1 0 0 –1 0
–1 1 0 0 1
0 –1 –1 0 0
0 0 1 1 –1
Контрольные вопросы
1. Какая из матриц смежности всегда симметрична относительно
главной диагонали: матрица неориентированного графа или
матрица ориентированного графа?
2. Сколько единиц в каждом столбце матрицы инцидентности
неориентированного графа? Почему всегда так?
3. Можно ли по матрице смежности неориентированного графа
узнать локальную степень вершины?
4. Как по матрице инцидентности орграфа определить полустепень
исхода вершины?
5. Может ли квадратная матрица быть матрицей инцидентности?
24
6. Маршруты, цепи, циклы
6.1. Основные определения
Маршрутом
в
графе
называется
чередующаяся
последовательность вершин и ребер v0, e1, v1, e2, v2, …, ek, vk, в
которой любые два соседних элемента инцидентны.
Для
«обычного»
графа
достаточно
указать
только
последовательность вершин или только последовательность ребер.
Если v0 = vk, то маршрут замкнут, иначе открыт.
Если все ребра различны, то маршрут называется цепью. Если
все вершины (а значит, и ребра) различны, то маршрут называется
простой цепью.
Замкнутая цепь называется циклом; замкнутая простая цепь
называется простым циклом.
Пример.
v1
v2
v3
v4
v5
v1, v3, v1, v4 – маршрут, но не цепь;
v1, v3, v5, v2, v3, v4 – цепь, но не простая
цепь;
v1, v4, v3, v2, v5 – простая цепь;
v1, v3, v5, v2, v3, v4, v1 – цикл, но не
простой цикл;
v1, v3, v4, v1 – простой цикл.
6.2. Эйлеровы циклы
Если граф имеет цикл (не обязательно простой), содержащий
все ребра графа по одному разу, то такой цикл называется эйлеровым
циклом, а граф называется эйлеровым графом.
Граф имеет эйлеров цикл (т.е. является эйлеровым) тогда и
только тогда, когда он связный и не имеет вершин с нечетной
локальной степенью.
Эйлерова цепь – незамкнутая цепь, проходящая через каждое
ребро графа только один раз. Полуэйлеров граф – граф, имеющий
эйлерову цепь. Граф имеет эйлерову цепь (то есть является
полуэйлеровым) тогда и только тогда, когда он связный и ровно две
его вершины имеют нечетную локальную степень.
6.3. Гамильтоновы циклы
Если граф имеет простой цикл, содержащий все вершины графа
(по одному разу), то такой цикл называется гамильтоновым циклом, а
граф называется гамильтоновым графом.
Гамильтонова цепь – незамкнутая цепь, проходящая через
каждую вершину графа только один раз.
25
Контрольные вопросы
1. Является ли последовательность aecfbdafc маршрутом? цепью?
простой цепью?
b
a
d
c
f
e
2. Является ли последовательность dabcfbed циклом? простым
циклом?
a
c
b
e
d
f
3. Является ли следующий граф Эйлеровым? Почему?
b
c
d
a
e
f
g
4. Приведите граф с шестью вершинами, который имеет гамильтонов
цикл, но не имеет эйлерова цикла.
5. Приведите граф с шестью вершинами, который имеет эйлеров цикл,
но не имеет гамильтонова цикла.
26
7. Преобразование логических выражений
7.1. Понятие логической функции
Логическими, переключательными и просто функциями здесь и
далее, если не оговорено специально, будем называть двузначные
(булевы) функции, которые так же, как и их аргументы, принимают
только два значения 1 (ИСТИНА) и 0 (ЛОЖЬ).
Логические функции f1 и f2 с одинаковым количеством
аргументов называются равными (эквивалентными), если на всех
возможных наборах аргументов они принимают одинаковые
значения.
Число различных логических функций, образованных из
n
n аргументов, равно 2 (2 ) .
Действительно, для n входов, каждый из которых может
принимать два значения, возможны N = 2n комбинаций входных
сигналов (N входных наборов). А для N различных входных сигналов
возможны 2N комбинаций выходных сигналов, так как выходной
сигнал также может принимать только два значения.
Логические функции могут задаваться таблицами значений
(таблицами истинности), где для каждого возможного набора входных
переменных указывается соответствующее значение функции.
Рассмотрим логические функции одной переменной вида f(x) = y
Константа нуль
x
0 1
f0(x) = 0 0 0
Повторение
x
0 1
f1(x) = x 0 1
Инверсия
X
f2(x) =
Константа единица
x
0 1
1 0
x
0 1
f3(x) = 1 1 1
27
Константа нуль
Таблица 1.
Сводная таблица значений всех логических функций одной
переменной
x
f0
f1
f2
1 Усл. обозначение
0
0
1
X
0
0
0
0
1
x
f3 1 1
1
Название
Константа 0, постоянно ложная функция
Повторение, переменная x
Отрицание, инверсия, НЕ
Константа 1, постоянно истинная функция
Таблица 2.
Сводная таблица значений всех логических функций двух
переменных
f2
f3
f4
f5
Значения
функции
на наборе
переменОбозначение
ных
0 0 1 1
0 1 0 1
2 3 4 5
6
0 0 0 0 0
x1 x2 , x1&x2 , x1  x2,
0 0 0 1
x1  x2
0 0 1 0 x1  x 2 , x 1  x 2
0 0 1 1 x1
0 1 0 0 x1  x 2 , x1  x 2
0 1 0 1 x2
f6
0 1 1 0 x 1  x2 , x1 Δ x2 , x1 ≠ x2
f7
0 1 1 1 x 1  x2 , x1 + x 2
f8
1 0 0 0 x 1  x2 , x1  x2
f9
1 0 0 1
f10
f11
f12
f13
1
1
1
1
x1
x2
1
f0
f1
0
0
1
1
1
1
0
0
x 1  x2 , x1 ~ x2 , x1 
x2
0 x2
1 x 1  x2
0 x1
1 x 1  x2
Наименование
7
Константа 0, абс. ложная ф-ция
Конъюнкция, И, лог. умножение,
ф-ция совпадения
Запрет x2
Переменная x1, повторение x1
Запрет x1
Переменная x2, повторение x2
Исключающее ИЛИ, ф-ция неравнозначности, сложение по модулю 2
Дизъюнкция, лог. сложение,
ИЛИ, ф-ция разделения
Ф-ция Вебба, стрелка Пирса,
ИЛИ-НЕ, отрицание дизъюнкции
Ф-ция
равнозначности
или
эквивалентности
Инверсия x2
Импликация x2 на x1
Инверсия x1
Импликация x1 на x2
28
Продолжение табл.2
1
2 3 4 5
6
f14
1 1 1 0 x 1 | x2
f15
1 1 1 1 1
7
Ф-ция
Шеффера,
штрих
Шеффера,
И-НЕ,
отрицание
конъюнкции,
несовместимость
высказываний
Константа 1, абс. истинная ф-ция
7.2. Тождества булевой алгебры
В булевой алгебре справедливы следующие тождества:
a+0=a
a1=a
a+1=1
a 0=0
a+b=b+a
ab = ba
коммутативный
(переместительный) закон
(a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc)
ассоциативный
(сочетательный) закон
a(b + c) = ab + ac
a + bc = (a + b)(a + c)
дистрибутивный
(распределительный) закон
a+a=a
aa = a
идемпотентность
a + ab = a
(a + b)a = a
поглощение
ab  ab  a
 a  b a  b  a
aa 1
aa  0
01
1 0
a a  b  ab
a  ab  a  b
склеивание
Правила де Моргана:
n
n
ab  a  b ,
для нескольких переменных
x  x
i 1
n
i
i 1
n
i
xi   xi

i 1
i

1
a  b  ab ,
для нескольких переменных
Порядок выполнения действий в булевой алгебре: при
отсутствии в выражении скобок первыми должны выполняться
операции отрицания, затем конъюнкции и последними - дизъюнкции.
29
7.3. Правила преобразования некоторых логических
функций
a + b = a  b  ab
a = a  1
a  b = ab +ab
a0=a
aa=0
ab ab
ab = ab
abab
ab = a b
a  b =a + b
a  b = ab +ab
Пример 1. Упростить выражение
 x2  x3   x1x2  x2 x3   x1 = (x2 +x3) + (x1x2 + x2 x3) + x1 =
= (x2 + x1x2) + (x3 + x2 x3) + x1 = x2(1 + x1) +x3(1 + x2) + x1 =
= x2  1 +x3  1 + x1 = = x2 +x3 + x1
Пример 2. Доказать справедливость соотношения
((a  (c  b))  (b  (a  d))  (d  (b  c))  (a  c))  a = 1
((a  (c  b))  (b  (a  d))  (d  (b  c))  (a  c))  a =
= ((a + (c  b))  (b + ad)  (d + (b  c))  (a c + ac))  a =
= ((a + (c  b))  (d + (b  c))  (b + ad)  (a c + ac))  a =
= ((a d + (c  b))  (ab c +abc + a cd))  a =
= ((a d + b c +bc)  (ab c +abc + a cd))  a =
= (ab c d + ab c + ab cd)  a = ab c  (d + 1 + d)  a =
= (ab c  1)  a = ab c  a = abc  a =
=a +b + c + a = 1 +b + c = 1
Контрольные вопросы
1. Сколько наборов можно образовать из
а) 3-х входных переменных;
30
2. Определить количество различных логических функций
а) 3-х аргументов;
3. Пусть p и q обозначают следующие высказывания:
p:
Я совершу путешествие на Марс.
q:
У меня есть деньги.
Запишите в символической форме такое высказывание: «У меня
нет денег и я не совершу путешествие на Марс.»
4. Пусть p, q и r обозначают следующие высказывания:
p:
Эта игра очень трудна.
q:
Я играю в шахматы.
r:
Игра в шахматы требует времени.
Интерпретируйте
следующее
выражение
как
высказывание: (p  r)  q.
5. Определить значения функции
наборе данных (0, 1, 1).
обычное
f(x1, x2, x3) = x3 + (x1  (x1  x2)) на
31
8. Минимизация логических функций
8.1. Минимизация с помощью карт Карно
Каждому из 2 n наборов значений аргументов соответствует
одна ячейка на карте Карно. В соседних клетках наборы отличаются
значением только одного аргумента. Если на данном наборе
аргументов функция равна единице, то в соответствующей данному
набору ячейке карты записывается единица. Клетки, соответствующие
наборам, на которых функция равна нулю, либо заполняют нулями,
либо оставляют пустыми.
Составим карты Карно для функций двух, трех и четырех
аргументов.
Пусть задана логическая функция двух аргументов:
f  x, y   xy  xy  x y
f  x, y   y  x
Пусть функция трех аргументов f  x, y, z  задана таблицей:
x
y
z
f
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
f  x, y, z   xz  xz  x y
f  x, y, z   xz  xz  yz
Рассмотрим функцию четырех аргументов:
f  x, y, z , t   xyzt  x yzt  xzt  xzt
32
f  x, y, z , t   xzt  zt
Операция склеивания может быть применима только к соседним
конституентам, которые на карте Карно располагаются в соседних
клетках.
Исключение составляют клетки, расположенные у границ
карты. Для устранения этого исключения условно отождествляют
противоположные границы карты – верхнюю с нижней и левую с
правой.
Склеивающиеся клетки обводят таким образом, чтобы
количество единиц в каждом контуре было максимально, а количество
контуров - минимально. Количество единиц в контуре может быть
равно 2 i . Полученные контуры следует описать конъюнкциями.
Карту Карно можно как бы складывать по центральным
горизонтальной или вертикальной осям (или по обеим сразу).
8.2. Метод Квайна поиска СокДНФ
Поэтапная минимизация логических функций предполагает

следующий
алгоритм минимизации:
ДСНФ
СокДНФ
(Сокращенная ДНФ)  ТДНФ (Тупиковая ДНФ)  МДНФ
(Минимальная ДНФ).
Для записи логической функции в СокДНФ необходимо в
исходной функции, записанной в ДСНФ, произвести все операции
неполного склеивания и поглощения.
Операция полного склеивания: xy  x y  x (члены xy и x y склеены по
переменной y ).
Операция неполного склеивания: xy  x y  x  xy  x y .
Операция поглощения: x  xy  x (член xy поглощается членом x ).
Порядок нахождения СокДНФ по Квайну:
1. Преобразовать исходную логическую функцию к ДСНФ.
33
2. В полученной ДСНФ выполнить все операции неполного
склеивания.
3. Выполнить все операции поглощения.
4. Повторять шаги 2 и 3 до тех пор, пока среди конъюнкций не
останется склеивающихся между собой.
Пример 1. Получить СокДНФ функции
1
2
3
4
5
f  x1, x2 , x3 , x4   x1 x2 x3 x4  x1 x2 x3 x4  x1x2 x3 x4  x1x2 x3 x4  x1x2 x3 x4  x1x2 x3 x4
1-2*
1-3*
1-4
1-5
1-6
2-3
2-4*
2-5
2-6
3-4*
3-5
3-6
4-5
4-6*
5-6*
6
x1 x2 x3 x4  x1 x2 x3 x4  x1 x2 x4  x3  x3   x1 x2 x4
x1 x3 x4
x1x3 x4
x1x2 x4
x2 x3 x4
x1x2 x3
1
2
3
4
f  x1, x2 , x3 , x4   x1 x2 x4  x1 x3 x4  x1x3 x4  x1x2 x4  x2 x3 x4  x1x2 x3
1-2
1-3
1-4*
1-5
1-6
x1x4
2-3*
2-4
2-5
2-6
5
3-4
3-5
3-6
x1x4
6
4-5
4-6
5-6
f  x1, x2 , x3 , x4   x1x4  x2 x3 x4  x1x2 x3 – СокДНФ
Пример 2. Получить СокДНФ функции
1
2
3
4
f  x1, x2 , x3   x1 x2  x1x2 x3  x1 x2 x3  x1 x2 x3  x1 x2 x3  x1x2 x3  x1 x2 x3
1-2*
x1 x2
2-3*
x1 x3
34
3-4
1-3
1-4*
2-4
x2 x3
f  x1, x2 , x3   x1 x2  x2 x3  x1 x3
Тупиковой ДНФ называется такая запись логической функции в
форме дизъюнкции простейших импликант, из которой нельзя
исключить ни одну из конъюнкций без изменения исходной
логической функции.
Для нахождения тупиковых и минимальной ДНФ используется
метод импликантных (импликативных) матриц.
Импликантная матрица – это таблица, в которой столбцы
изображают конъюнкции ДСНФ, а строки – простейшие импликанты
СокДНФ.
Составим импликантную матрицу для функции
f  x, y, z   x  y  z   x  y  z   xy  xz  x y  xz 
 xy  z  z   xz  y  y   x y  z  z   xz  y  y  
 xyz  xy z  xyz  x yz  x yz  x y z  xy z  x y z 
1
2
3
4
5
6
 xyz  xy z  x yz  x yz  x y z  xy z
1 - 2 * xy
1 - 3 * xz
1-4
1-5
1–6
2-3
2-4
2-5
2 - 6 * yz
3 - 4 * yz
3-5
3-6
(ДСНФ)
4 - 5 * xy
4-6
5 - 6 * xz
f  x, y, z   xy  xz  yz  yz  x y  xz
Дальнейшее склеивание невозможно. Следовательно, полученная
запись – СокДНФ.
СокДНФ
xy
xz
yz
yz
ДСНФ f  x, y, z 
xyz
xy z



x yz
x yz
xyz
xyz






xy


xz
35

Идея метода заключается в том, что поиск «лишних»
конъюнкций производится по способу накрытия конъюнкциями
меньшего ранга конъюнкций большего ранга.
В строке против каждой простой импликанты ставится знак «»
под теми конституентами, которые поглощаются данной простой
импликантой.
В тупиковую ДНФ должны входить импликанты, поглощающие
все конъюнкции.
ТДНФ 1 = xz  yz  x y
ТДНФ 2 = xz  yz  yz  xz
ТДНФ 3 = xy  yz  xz
ТДНФ 4 = xy  yz  yz  x y
ТДНФ 5 = xy  xz  x y  xz
Из полученных ТДНФ выбирается МДНФ:
ТДНФ 1 = xz  yz  x y
ТДНФ 3 = xy  yz  xz
8.3. Метод Квайна – Мак-Класки
Метод Квайна – Мак-Класки представляет собой модернизацию
метода Квайна для нахождения простых импликант.
Основная идея метода заключается в том, что поиск
склеивающихся аргументов следует вести среди конъюнкций,
отличающихся друг от друга только одним аргументом.
Этапы поиска простейших импликант методом Квайна - МакКласки:
1. Закрепить за аргументами определенные места в конъюнкции.
2. Закодировать аргументы конъюнкций двоичными символами,
причем если аргумент входит в конъюнкцию без инверсии, он
кодируется единицей, если с инверсией – нулем.
3. Получающиеся в результате такой перекодировки двоичные числа
разбиваются на группы по числу единиц.
4. Склеивающиеся аргументы нужно искать только между соседними
группами.
5. На месте склеивающихся аргументов будем ставить прочерк, а
склеившиеся конъюнкции будем помечать *.
6. Повторять шаги 3-5 до тех пор, пока среди конъюнкций не
останется склеивающихся между собой.
36
Пример. Минимизировать функцию
f  x1, x2 , x3 , x4   x1 x 2 x 3 x 4  x1 x 2 x 3 x 4  x1 x 2 x3 x 4  x1 x 2 x3 x 4  x1x 2 x 3 x 4 
 x1x2 x3 x 4  x1x2 x3 x4  x1 x 2 x 3 x 4  x1 x 2 x 3 x 4  x1 x 2 x3 x 4  x1x 2 x3 x 4
f  x1, x2 , x3 , x4  = 0000 + 0001 + 0010 + 0011 + 0100 + 0110 + 0111 +
+1000 + 1001 + 1011 + 1111
0 группа: 0000 *
1:
0001 * 0010 * 0100 * 1000 *
2:
0011 * 0110 * 1001 *
3:
0111 * 1011 *
4:
1111 *
0 группа: 000- * 00-0 * 0-00 * -000 *
1:
00-1 * 001- * 0-10 * 01-0 * -001 * 100- *
2:
0-11 * 011- * -011 * 10-1 *
3:
-111 * 1-11 *
0 группа: 00-00-0--0
0--0
-00-001:
0-10-1-0-1
-0-1
2:
--11
--11
f  x1, x2 , x3 , x4  = 00-- + 0--0 + -00- + 0-1- + -0-1 + --11
Для нахождения тупиковых и минимальной форм
воспользуемся методом импликантных матриц.
Таблица 3.
Метод импликантных матриц
ДСНФ
Сок.
ДНФ 0000 0001 0010 0011 0100 0110 0111 1000 1001 1011 1111
00-



0--0




-00



0-1



-0-1




--11




МДНФ f  x1, x2 , x3 , x4  = 0--0 + -00- + --11 = x1 x4  x2 x3  x3 x4
8.4. Нахождение МКНФ с помощью карты Карно
Алгоритм поиска МКНФ с использованием карт Карно:
1. Составить карту Карно.
2. Обвести контурами нулевые ячейки.
3. При записи МКНФ переменные, образующие контур,
инвертируются, объединяются в дизъюнкции, а затем – в
37
конъюнкции.
Пример. Найти МКНФ функции, заданной таблицей, с помощью
карты Карно.
x
y
z
t
0
0
0
0
0
0
0
1
f
0 1
0
0
1
0
0
0
1
1
0 0
0
1
0
0
0
1
0
1
1 0
0
1
1
0
0
1
1
1
1 1
1
0
0
0
1
0
0
1
0 0
1
0
1
0
1
0
1
1
1 1
1
1
0
0
1
1
0
1
0 0
1
1
1
0
1
1
1
1
1 1
f  x, y, z , t    x  z  y  z  t  x  y  z   x  y  t 
8.5. Минимизация логических функций, представленных
в конъюнктивной форме, с использованием правил,
аналогичных правилам минимизации логических
функций в дизъюнктивной форме
a)
b)
c)
d)
КНФ 
 КСНФ  СокКНФ  ТКНФ  МКНФ
a) При табличном задании записать функцию в виде конъюнкции
конституент нуля, соответствующих наборам, на которых функция
равна нулю. Если функция задана произвольной КНФ, то
применить формулы развертывания:
x   x  y  x  y 
x  y   x  y  z  x  y  z 
b) Выполнить все возможные операции неполного склеивания и
поглощения:
 x  y  x  y   x  x  y  x  y 
x x  y  x
c) и d) Построить матрицу, столбцы которой образуют конституенты
38
нуля КСНФ, а строки – члены СокКНФ. В МКНФ должно входить
минимальное число строк, перекрывающих все столбцы.
Пример. Функция f  x, y, z, t  задана таблицей
x
y
z
t
f
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
2
3
6
7
8
1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
4
f  x, y, z, t    x  y  z  t   x  y  z  t  x  y  z  t  x  y  z  t 
5
 x  y  z  t  x  y  z  t  x  y  z  t  x  y  z  t 
1 - 2 * x  y t
1-3
1-4
1 - 5 * y  z t
1-6
1-7
1-8
2 - 3 * x y z
2-4
2-5
2-6 3–7
2-7 3-8
2-8
5 - 6 * x y z 6 - 7
5 - 7* x  z  t 6 - 8* x  z  t
5-8
1
3
2
3-4
4-5
3-5
4-6
3–6
4-7
4 - 8 * y  z t
7-8*
4
x y z
5
6
f  x, y, z, t    x  y  t  y  z  t   x  y  z  y  z  t  x  y  z  x  z  t 
7
8
 x  z  t  x  y  z 
1-2 2-3
3-4 4-5
5-6
6 - 7 * x z 7 - 8
1-3 2-4
3-5 4-6
5-7
6-8
x z
1-4 2-5
3-6 4-7
5-8*
1-5 2-6
3-7 4-8
1-6 2-7
3-8
1-7 2-8
1-8
f  x, y, z , t    x  z   x  y  t  y  z  t   x  y  z  y  z  t 
39
x y x y x y x y x y x y x y x y
z t z t z t z t z t z t z t z t

x z
x  y t

y  z t






x y z


y  z t


f  x, y, z , v    x  z   x  y  t   x  y  z  y  z  t 
8.6. Минимизация неполностью определенных
логических функций с помощью карты Карно
Среди устройств дискретного действия встречаются схемы,
закон функционирования которых определен не полностью. В таких
схемах некоторые комбинации сигналов на входы никогда не
подаются. Эти комбинации называются запрещенными.
Логическая функция называется неполностью определенной,
если ее значения определены лишь на m  2 n наборах аргументов.
На тех наборах, на которых функция не определена, ее можно
доопределить произвольно таким образом, чтобы соответствующая
функции схема была наиболее простой, то есть так, чтобы МДНФ
доопределенной функции содержала наименьшее число букв.
На карте Карно недоопределенное условие обозначается
прочерком в соответствующей ячейке. Любую из таких ячеек можно
включать как в группу единичных, так и в группу нулевых ячеек.
Пример. Функция f  x, y, z, t  задана таблицей
x
y
z
t
f
0
0
0
0
1
0
0
0
1
–
0
0
1
0
0
0
0
1
1
–
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
40
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
–
1
1
1
0
–
1
1
1
1
1
f  x, y, z , t   xyt  xz
8.7. Минимизация неполностью определенных
логических функций без использования карты Карно
Общий
метод
доопределения
логических
функций,
обеспечивающий
минимальное
представление
в
классе
дизъюнктивных форм, состоит в следующем.
f  x1, x2 ,..., xn 
Неполностью
определенную
функцию
приравнивают единице на всех тех наборах, на которых она не
определена. Полученную таким путем функцию обозначим
1  x1, x2 ,..., xn  и найдем все ее простые импликанты. Затем
приравняем функцию f  x1, x2 ,..., xn  нулю на всех тех наборах, на
которых она не определена. Полученную таким образом функцию
обозначим  0  x1, x2 ,..., xn  . Для нахождения МДНФ исходной
функции составим импликантную матрицу, в столбцах которой будут
располагаться конституенты функции  0  x1, x2 ,..., xn  , а в строках –
простые импликанты функции 1  x1, x2 ,..., xn  .
Пример. Функция f  x, y, z, t  задана таблицей
x
y
z
t
f
0
0
0
0
1
0
0
0
1
–
0
0
1
0
–
0
0
1
1
–
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
–
1
0
1
1
–
1
1
0
0
1
1
1
0
1
–
1
1
1
0
–
1
1
1
1
1
0  x, y, z, t   x yzt  xyzt  x yzt  xyzt  xyzt
1  x, y, z, t   x yzt  x yzt  x yzt  x yzt  xyzt  x yzt  x yzt  x yzt  xyzt 
 xyzt  xyzt  xyzt
1  x, y, z , t  = 0000 + 0001 + 0010 + 0011 + 0101 + 1000 + 1010 +
41
+ 1011 + 1100 + 1101 + 1110 + 1111
0 группа:
0000 *
1:
0001 * 0010 * 1000 *
2:
0011 * 0101 * 1010 * 1100 *
3:
1011 * 1101 * 1110 *
4:
1111 *
0 группа: 000- * 00-0 * -000 *
1:
00-1 * 001- * 0-01
-010 * 10-0 *
1-00 *
2:
-011 * 101- * -101
110- * 1-10 *
11-0 *
3:
1-11 * 11-1 * 111- *
0 группа:
00-00--0-0
-0-0
1:
-01-011--0
1--0
0-01
2:
1-111-1-111--101
1  x, y, z , t 
00--0-0
-011--0
0-01
1-111--101
 0  x, y , z , t 
0000
0101


1000
1100
1111








f  x, y, z, t  = -0-0 + 11-- + 0-01 = yt  xy  xzt
Контрольные вопросы
1. Сколько ячеек должно быть на карте Карно для функции пяти
переменных?
2. Можно ли найти минимальную форму записи логической функции
с помощью метода Квайна?
3. Можно ли приступить к кодированию нулями и единицами (метод
Квайна – Мак-Класки) следующей формы записи логической
функции?
f  x1, x2 , x3 , x4   x1 x2 x3 x4  x1 x4 x3 x2  x1 x2 x4 x3  x2 x3 x1x4
4. Обязательно ли включать в контуры ячейки с прочерками при
минимизации неполностью определенных логических функций?
5. Для какой из функций:  0 или 1 необходимо найти сокращенную
нормальную форму при минимизации неполностью определенных
логических функций?
42
9. Свойства логических функций
Функция f(x1, x2, ..., xi–1, xi, xi+1, ..., xn) называется существенно
зависящей от аргумента xi, если хотя бы на одном наборе входных
переменных
f(x1, x2, ..., xi–1, 0, xi+1, ..., xn)  f(x1, x2, ..., xi–1, 1, xi+1, ..., xn)
Функция называется сохраняющей нуль, если она равна нулю на
нулевом наборе данных.
f(x1, x2, ..., xn) = 0
при всех xi = 0,
i = 1, 2, ..., n
Функция называется сохраняющей единицу, если она равна
единице на единичном наборе данных.
f(x1, x2, ..., xn) = 1
при всех xi = 1,
i = 1, 2, ..., n
Функция называется самодвойственной, если она принимает
противоположные
значения
на
противоположных
наборах
аргументов.
f  x1, x2 ,..., xn   f  x1, x2 ,..., xn 
Функция называется монотонной, если выполняется условие
f(x1, x2, …, xn)  f(x1’, x2’, …, xn’)
при всех xi  xi’, i = 1, 2, ..., n
Замечание: если ни одно из условий xi  xi’ для всех i от 1 до n
или xi  xi’ для всех i от 1 до n не выполняется, то говорят, что наборы
xi и xi’ несравнимы. Пусть  4  1,0,0,1 , 4   0,1,1,1 ,  4  1,0,1,1 .
Тогда  4   4 , а  4 и  4 , а также  4 и  4 будут несравнимыми.
Функция называется линейной, если ее можно представить
линейным полиномом Жегалкина
f  x1, x2 ,..., xn   а0  а1x1  а2 x2  ...  а n xn
,
где a0, a1, ..., an - константы, которые могут принимать значения 0 и 1.
Пример 1. Определим свойства функции логического умножения И
1.
2.
3.
4.
Сохраняет нуль, так как f(0, 0) = 0.
Сохраняет единицу, так как f(1, 1) = 1.
Не
является
самодвойственной,
так
как
f  0,1  f 1,0 .
Монотонна, так как
f(1, 1)  f(0, 1),
f(1, 1)  f(1, 0),
f(1, 1)  f(0, 0),
f(0, 1)  f(0, 0),
f(1, 0)  f(0, 0),
остальные наборы входных переменных несравнимы.
43
5.
f(x1, x2) = x1x2 не является линейной, так как ее
невозможно представить в виде линейного полинома
Жегалкина.
Пример 2. Определить свойства логической функции, заданной
таблицей
x1
x2
x3
f
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
f(0, 0, 0) = f(1, 0, 0)
f(0, 0, 1) = f(1, 0, 1)
f(0, 1, 0) = f(1, 1, 0)
f(0, 1, 1) = f(1, 1, 1)
 f не зависит существенно от x1
f(0, 0, 0) = f(0, 1, 0)
f(0, 0, 1) = f(0, 1, 1)
f(1, 0, 0) = f(1, 1, 0)
f(1, 0, 1) = f(1, 1, 1)
 f не зависит существенно от x2
f(0, 0, 0)  f(0, 0, 1)
 f существенно зависит от x3
f(0, 0, 0) = 0
f(1, 1, 1) = 1
 f сохраняет ноль
 f сохраняет единицу
f(0, 0, 0)  f(1, 1, 1)
f(0, 0, 1)  f(1, 1, 0)
f(0, 1, 0)  f(1, 0, 1)
f(0, 1, 1)  f(1, 0, 0)
 f самодвойственна
f(1, 1, 1) > f(0, 0, 0)
f(1, 1, 0) = f(1, 0, 0)
f(1, 1, 0) = f(0, 1, 0)
f(1, 0, 1) > f(1, 0, 0)
f(1, 0, 1) = f(0, 0, 1)
f(0, 1, 1) > f(0, 1, 0)
f(0, 1, 1) = f(0, 0, 1)
 f монотонна
Из таблицы значений функции f понятно, что f = x3. Эта запись
одновременно является и полиномом Жегалкина для функции f.
Данный полином – линейный (так как в нем нет слагаемых,
являющихся конъюнкциями нескольких переменных), следовательно, и
функция f является линейной.
44
Пример 3. Определить свойства логической функции, заданной
таблицей
x
y
z
f
0
0
0
1
0
0
1
1
f(0, 0, 0)  f(1, 0, 0)
f(0, 0, 0)  f(0, 1, 0)
f(0, 1, 0)  f(0, 1, 1)
f(0, 0, 0) = 1
f(1, 1, 1) = 1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
 f существенно зависит от x
 f существенно зависит от y
 f существенно зависит от z
 f не сохраняет ноль
 f сохраняет единицу
f(0, 0, 0) = f(1, 1, 1)
 f не является самодвойственной
f(0, 1, 0) < f(0, 0, 0)
 f не является монотонной
Получить полином Жегалкина можно из ДСНФ функции.
Чтобы
упростить
данный
процесс,
попробуем
сначала
минимизировать нашу функцию, например, с помощью карты Карно.
f(x, y, z) = z +xy = z xy xy z = z  (x  1)(y  1)  (x 
1)(y  1)z =
= z  xy  x  y  1  xyz  xz  yz  z = xyz  xy  xz  yz  x  y 
1
Замечание:
Были использованы следующие преобразования:
a + b = a  b  ab
a = a  1
aa=0
a0=a
Полученный
полином
Жегалкина
не
является
линейным,
следовательно, исходная функция f – не линейная.
45
Контрольные вопросы
1. Если f(x1, x2, ..., xi–1, 0, xi+1, ..., xn) = f(x1, x2, ..., xi–1, 1, xi+1, ..., xn) на
одном из наборов данных, можно ли сказать, что функция f не
зависит существенно от xi?
2. Можно ли сказать, что функция является самодвойственной, если
она принимает противоположные значения на какой-нибудь одной
паре противоположных наборов?
3. Является ли истинным следующее неравенство: (1, 0, 1)  (0, 1, 0)?
4. Является ли следующий полином Жегалкина линейным:
f(x1, x2) = x1  x1x2 ?
46
Часть 2
Варианты заданий
Задание 1. Операции над множествами
Вариант 1
Даны множества:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
B = {3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12};
C = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14}.
Вариант 2
Даны множества:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
B = {3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12};
C = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14}.
Вариант 3
Даны множества:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
B = {3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12};
C = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14}.
Вариант 4
Даны множества:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
B = {3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12};
C = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14}.
Вариант 5
Даны множества:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
B = {3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12};
C = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14}.
Вариант 6
Даны множества:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
B = {3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12};
C = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14}.
Определить множества:
D1 = A  B;
D2 = C \ (A  B);
D = D2  D1.
Определить множества:
D1 = A  B  С;
D2 = (A  B) \ C;
D = D1  D2.
Определить множества:
D1 = С \ B;
D2 = A  B;
D = D2  D1.
Определить множества:
D1 = A \ B;
D2 = B  С;
D = D1  D2.
Определить множества:
D1 = B \ С;
D2 = A  С;
D = D2  D1.
Определить множества:
D1 = A \ С;
D2 = (A  B  С) \ (A  B);
D = D1  D1.
47
Вариант 7
Даны множества:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
B = {3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12};
C = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14}.
Вариант 8
Даны множества:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
B = {3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12};
C = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14}.
Вариант 9
Даны множества:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
B = {3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12};
C = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14}.
Вариант 10
Даны множества:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
B = {3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12};
C = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14}.
Вариант 11
Даны множества:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
B = {3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12};
C = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14}.
Вариант 12
Даны множества:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
B = {3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12};
C = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14}.
Вариант 13
Даны множества:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
B = {3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12};
C = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14}.
Определить множества:
D1 = B \ A;
D2 = (A  C) \ B;
D = D2  D1.
Определить множества:
D1 = C \ A;
D2 = (A  B) \ C;
D = D1  D1.
Определить множества:
D1 = A  C;
D2 = (B  C) \ A;
D = D2  D1.
Определить множества:
D1 = B  C;
D2 = A \ (B  C);
D = D1  D2.
Определить множества:
D1 = A \ B \ C;
D2 = (B  C)  A;
D = D2  D1.
Определить множества:
D1 = B \ A \ C;
D2 = (A  C)  B;
D = D1  D2.
Определить множества:
D1 = C \ A \ B;
D2 = (A  B)  C;
D = D2  D1.
48
Вариант 14
Даны множества:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
B = {3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12};
C = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14}.
Вариант 15
Даны множества:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
B = {3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12};
C = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14}.
Вариант 16
Даны множества:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
B = {3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12};
C = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14}.
Вариант 17
Даны множества:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
B = {3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12};
C = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14}.
Вариант 18
Даны множества:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
B = {3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12};
C = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14}.
Вариант 19
Даны множества:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
B = {3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12};
C = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14}.
Вариант 20
Даны множества:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
B = {3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12};
C = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14}.
Определить множества:
D1 = A \ (B  C);
D2 = (B  C)  A;
D = D1  D2.
Определить множества:
D1 = (A  C) \ B;
D2 = C \ (A  B);
D = D2  D1.
Определить множества:
D1 = (A  B) \ C;
D2 = (A  B)  (B  C);
D = D1  D2.
Определить множества:
D1 = (A  B) \ C;
D2 = ((A  C) \ B)  ((B  C) \ A);
D = D2  D2.
Определить множества:
D1 = A  B;
D2 = A  B  C;
D = D1  D2.
Определить множества:
D1 = B \ (A  C);
D2 = A  B  C;
D = D2  D1.
Определить множества:
D1 = (A  B)  (A  C)  (B  C);
D2 = (A  B) \ C;
D = D1  D2.
49
Задание 2. Отношения
Вариант 1
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
B = {3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12};
Задать списком:
а) отношение R  A  B = {(a, b)  a + 3 = b};
б) обратное отношение R–1;
в) композицию отношений R–1  R;
г) проекцию множества векторов на первую ось
Вариант 2
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
C = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14}.
Задать списком:
а) отношение R  A  С = {(a, с)  с – 5 = a};
б) обратное отношение R–1;
в) композицию отношений R–1  R–1;
г) проекцию множества векторов на вторую ось
Вариант 3
B = {3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12};
C = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14}.
Задать списком:
а) отношение R  B  C = {(b, c)  b = c – 4};
б) обратное отношение R–1;
в) композицию отношений R  R;
г) проекцию множества векторов на первую ось
Вариант 4
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
B = {3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12};
Задать списком:
а) отношение R  B  A = {(b, a)  a + 4 = b};
б) обратное отношение R–1;
в) композицию отношений R  R;
г) проекцию множества векторов на вторую ось
Вариант 5
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
C = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14}.
Задать списком:
а) отношение R  C  A = {(c, a)  a + 6 = c};
б) обратное отношение R–1;
50
Пр1(R–1  R).
Пр2(R–1  R–1).
Пр1(R  R).
Пр2(R  R).
в) композицию отношений R–1  R–1;
г) проекцию множества векторов на первую ось Пр1(R–1  R–1).
Вариант 6
B = {3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12};
C = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14}.
Задать списком:
а) отношение R  C  B = {(c, b)  c = b + 5};
б) обратное отношение R–1;
в) композицию отношений R–1  R–1;
г) проекцию множества векторов на вторую ось Пр2(R–1  R–1).
Вариант 7
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
B = {3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12};
Задать списком:
а) отношение R  A  B = {(a, b)  b = 3  a};
б) обратное отношение R–1;
в) композицию отношений R–1  R–1;
г) проекцию множества векторов на первую ось Пр1(R–1  R–1).
Вариант 8
B = {3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12};
C = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14}.
Задать списком:
а) отношение R  B  C = {(b, c)  b = c / 2};
б) обратное отношение R–1;
в) композицию отношений R  R–1;
г) проекцию множества векторов на вторую ось Пр2(R  R–1).
Вариант 9
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
C = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14}.
Задать списком:
а) отношение R  A  C = {(a, c)  c = 2  a + 1};
б) обратное отношение R–1;
в) композицию отношений R  R–1;
г) проекцию множества векторов на первую ось Пр1(R  R–1).
Вариант 10
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
B = {3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12};
Задать списком:
а) отношение R  B  A = {(b, a)  отличаться на 5};
б) обратное отношение R–1;
51
в) композицию отношений R–1  R–1;
г) проекцию множества векторов на вторую ось Пр2(R–1  R–1).
Вариант 11
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
C = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14}.
Задать списком:
а) отношение R  С  A = {(c, a)  отличаться на 3};
б) обратное отношение R–1;
в) композицию отношений R  R;
г) проекцию множества векторов на первую ось Пр1(R  R).
Вариант 12
B = {3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12};
C = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14}.
Задать списком:
а) отношение R  С  B = {(с, b)  отличаться на 6};
б) обратное отношение R–1;
в) композицию отношений R  R–1;
г) проекцию множества векторов на вторую ось Пр2(R  R–1).
Вариант 13
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
B = {3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12};
Задать списком:
а) отношение R  A  B = {(a, b)  иметь одинаковый остаток от
деления на 5};
б) обратное отношение R–1;
в) композицию отношений R  R;
г) проекцию множества векторов на первую ось Пр1(R  R).
Вариант 14
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
C = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14}.
Задать списком:
а) отношение R  A  С = {(a, с)  иметь одинаковый остаток от
деления на 10};
б) обратное отношение R–1;
в) композицию отношений R  R–1;
г) проекцию множества векторов на вторую ось Пр2(R  R–1).
Вариант 15
B = {3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12};
C = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14}.
Задать списком:
52
а) отношение R  B  C = {(b, c)  иметь одинаковый остаток от
деления на 7};
б) обратное отношение R–1;
в) композицию отношений R  R–1;
г) проекцию множества векторов на первую ось Пр1(R  R–1).
Вариант 16
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
B = {3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12};
Задать списком:
а) отношение R  B  A = {(b, a)  b является делителем a};
б) обратное отношение R–1;
в) композицию отношений R–1  R;
г) проекцию множества векторов на вторую ось Пр2(R–1  R).
Вариант 17
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
C = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14}.
Задать списком:
а) отношение R  C  A = {(c, a)  c + a < 10};
б) обратное отношение R–1;
в) композицию отношений R–1  R;
г) проекцию множества векторов на первую ось Пр1(R–1  R).
Вариант 18
B = {3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12};
C = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14}.
Задать списком:
а) отношение R  C  B = {(c, b)  b является делителем c};
б) обратное отношение R–1;
в) композицию отношений R–1  R;
г) проекцию множества векторов на вторую ось Пр2(R–1  R).
Вариант 19
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
B = {3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12};
Задать списком:
а) отношение R  A  B = {(a, b)  иметь общий делитель,
больший 2};
б) обратное отношение R–1;
в) композицию отношений R  R;
г) проекцию множества векторов на первую ось Пр1(R  R).
Вариант 20
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
53
C = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14}.
Задать списком:
а) отношение R  A  С = {(a, с)  иметь общий делитель,
больший 3};
б) обратное отношение R–1;
в) композицию отношений R–1  R;
г) проекцию множества векторов на вторую ось Пр2(R–1  R).
54
Задание 3. Соответствия
Вариант 1
A = {a, b, c, d, e};
B = {a, b, c, d, e};
R  A  B = {(a, a), (a, b), (b, c), (b, d), (c, e), (e, d), (c, a)}.
Найти:
а) OOR (область определения соответствия R);
б) ОЗR (область значений соответствия R);
в) образ элемента a;
г) прообраз элемента a;
д) является ли соответствие R всюду определенным? почему?
Вариант 2
A = {1, 2, 4, 5, 6};
B = {5, 6, 7, 8, 10};
R  A  B = {(1, 7), (4, 6), (5, 6), (2, 8), (6, 5)}.
Найти:
а) OOR (область определения соответствия R);
б) ОЗR (область значений соответствия R);
в) образ элемента 5;
г) прообраз элемента 6;
д) является ли соответствие R всюду определенным? почему?
Вариант 3
A = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13};
B = {10, 11, 12, 13};
R  A  B = {(6, 10), (6, 11), (7, 10), (8, 13), (13, 11)}.
Найти:
а) OOR (область определения соответствия R);
б) ОЗR (область значений соответствия R);
в) образ элемента 6;
г) прообраз элемента 13;
д) является ли соответствие R всюду определенным? почему?
Вариант 4
A = {10, 11, 12, 13}; B = {, , , *};
R  A  B = {(11, ), (10, ), (13, *), (12, ), (13, )}.
Найти:
а) OOR (область определения соответствия R);
б) ОЗR (область значений соответствия R);
в) образ элемента 10;
г) прообраз элемента ;
д) является ли соответствие R всюду определенным? почему?
55
Вариант 5
A = {a, b, c, d};
B = {1, 2, 3, 4};
R  A  B = {(a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 3), (c, 1), (c, 4)}.
Найти:
а) OOR (область определения соответствия R);
б) ОЗR (область значений соответствия R);
в) образ элемента c;
г) прообраз элемента 1;
д) является ли соответствие R всюду определенным? почему?
Вариант 6
A = {a, b, c};
B = {1, 2, 3, 4};
R  A  B = {(b, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 4), (c, 1), (c, 2), (c, 4)}.
Найти:
а) OOR (область определения соответствия R);
б) ОЗR (область значений соответствия R);
в) образ элемента a;
г) прообраз элемента 2;
д) является ли соответствие R сюръективным? почему?
Вариант 7
A = {a, b, c, d, f, g, h}; B = {a, b, c, d, e, i, o, u};
R  A  B = {(b, a), (c, e), (d, i), (f, o), (g, u), (c, d), (a, c)}.
Найти:
а) OOR (область определения соответствия R);
б) ОЗR (область значений соответствия R);
в) образ элемента c;
г) прообраз элемента c;
д) является ли соответствие R сюръективным? почему?
Вариант 8
A = {u, v, w, x, y, z}; B = {a, e, i, o, y, u};
R  A  B = {(v, a), (w, e), (x, i), (y, o), (z, u), (x, o), (v, y)}.
Найти:
а) OOR (область определения соответствия R);
б) ОЗR (область значений соответствия R);
в) образ элемента y;
г) прообраз элемента o;
д) является ли соответствие R сюръективным? почему?
Вариант 9
A = {a, b, c};
B = {a, b, c, d};
R  A  B = {(a, c), (b, c), (c, d), (a, d), (b, d)}.
Найти:
а) OOR (область определения соответствия R);
56
б) ОЗR (область значений соответствия R);
в) образ элемента a;
г) прообраз элемента d;
д) является ли соответствие R сюръективным? почему?
Вариант 10
A = {a, b, c, d};
B = {b, c, d};
R  A  B = {(a, b), (b, c), (a, c), (a, d), (b, d), (c, d)}.
Найти:
а) OOR (область определения соответствия R);
б) ОЗR (область значений соответствия R);
в) образ элемента c;
г) прообраз элемента c;
д) является ли соответствие R сюръективным? почему?
Вариант 11
R = {(a, c), (b, c), (c, b), (a, b)}.
Найти:
а) OOR (область определения соответствия R);
б) ОЗR (область значений соответствия R);
в) образ элемента a;
г) прообраз элемента b;
д) является ли соответствие R функциональным? почему?
Вариант 12
R = {(a, с), (a, d), (b, d), (b, e), (d, b)}.
Найти:
а) OOR (область определения соответствия R);
б) ОЗR (область значений соответствия R);
в) образ элемента d;
г) прообраз элемента d;
д) является ли соответствие R функциональным? почему?
Вариант 13
R = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)}.
Найти:
а) OOR (область определения соответствия R);
б) ОЗR (область значений соответствия R);
в) образ элемента 1;
г) прообраз элемента 2;
д) является ли соответствие R функциональным? почему?
Вариант 14
R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2)}.
Найти:
а) OOR (область определения соответствия R);
57
б) ОЗR (область значений соответствия R);
в) образ элемента 2;
г) прообраз элемента 2;
д) является ли соответствие R функциональным? почему?
Вариант 15
R = {(1, 2), (2, 3), (3, 2), (2, 1)}.
Найти:
а) OOR (область определения соответствия R);
б) ОЗR (область значений соответствия R);
в) образ элемента 2;
г) прообраз элемента 1;
д) является ли соответствие R функциональным? почему?
Вариант 16
R = {(1, x), (1, y), (3, x)}.
Найти:
а) OOR (область определения соответствия R);
б) ОЗR (область значений соответствия R);
в) образ элемента 3;
г) прообраз элемента x;
д) является ли соответствие R инъективным? почему?
Вариант 17
R = {(x, ), (x, ), (y, ), (y, *)}.
Найти:
а) OOR (область определения соответствия R);
б) ОЗR (область значений соответствия R);
в) образ элемента y;
г) прообраз элемента *;
д) является ли соответствие R инъективным? почему?
Вариант 18
R = {(1, ), (1, ), (1, ), (1, *), (3, ), (3, )}.
Найти:
а) OOR (область определения соответствия R);
б) ОЗR (область значений соответствия R);
в) образ элемента 3;
г) прообраз элемента ;
д) является ли соответствие R инъективным? почему?
Вариант 19
R = {(a1, a2), (a1, a3), (a2, a5), (a4, a2), (a5, a2)}.
Найти:
а) OOR (область определения соответствия R);
б) ОЗR (область значений соответствия R);
58
в) образ элемента a1;
г) прообраз элемента a2;
д) является ли соответствие R инъективным? почему?
Вариант 20
R = {(1, 3), (1, 4), (3, 2), (4, 2)}.
Найти:
а) OOR (область определения соответствия R);
б) ОЗR (область значений соответствия R);
в) образ элемента 4;
г) прообраз элемента 3;
д) является ли соответствие R инъективным? почему?
59
Задание 4. Виды графов
Вариант 1
Нарисовать основание следующего графа:
a
b
c
d
e
f
Вариант 2
Нарисовать псевдограф с пятью вершинами.
Вариант 3
Нарисовать мультиграф, мультичисло которого равно трем.
Привести примеры кратных ребер.
Вариант 4
Нарисовать граф, не являющийся простым. Объяснить, почему
данный граф не простой.
Вариант 5
Нарисовать граф К6. Привести примеры инцидентных и
неинцидентных вершин и ребер.
Вариант 6
Нарисовать два различных подграфа следующего графа:
a
b
c
d
e
Вариант 7
Нарисовать граф К2,4. Привести примеры смежных вершин и
ребер и несмежных вершин и ребер.
Вариант 8
Нарисовать граф С7.
60
Вариант 9
Нарисовать дополнение следующего графа:
c
e
f
d
a
b
Вариант 10
Нарисовать регулярный, но не полный граф степени 4.
Вариант 11
Нарисовать орграф с одним источником и двумя стоками.
Указать, какие вершины являются источниками, какие – стоками.
Вариант 12
Нарисовать граф, имеющий четыре компоненты связности.
Вариант 13
Нарисовать граф, в котором нет мостов, но есть точка
сочленения. Указать, какая из вершин является точкой сочленения.
Вариант 14
Нарисовать связный орграф с шестью вершинами, не
являющийся сильно связным. Доказать что данный граф не связан
сильно.
Вариант 15
Перечислить (списками вершин) сильно связные компоненты
следующего графа. Нарисовать конденсацию данного графа.
a
b
c
e
f
g
d
h
i
j
Вариант 16
Нарисовать граф, не являющийся планарным. Доказать, что
данный граф не может быть планарным.
Вариант 17
Нарисовать лес, состоящий из трех деревьев. Перечислить
вершины, образующие каждое дерево.
61
Вариант 18
Нарисовать все различные свободные деревья с пятью
вершинами.
Вариант 19
Нарисовать ордерево высоты 4, у которого расстояние между
узлами a и b равно шести.
Вариант 20
Нарисовать бинарное дерево с восемью вершинами.
Перечислить листья данного дерева.
62
Задание 5. Способы задания графов
Вариант 1
Составить матрицу смежности для следующего графа
v2
e2
v3
e1
v1
e3
e5
e6
v5
e4
v4
Вариант 2
Составить матрицу смежности для следующего графа
v1
e2
v5
v2
e1
e4
e3
v6
e7
e8
e5
e6
v3
e9
e10
e11
e12
v7
v4
v8
Вариант 3
Составить матрицу смежности для следующего графа
b
e1
e5
a
e9
e4
d
e6
e
e8 2
e
e7
c
e3
Вариант 4
Составить матрицу смежности для следующего графа
b
a
c
d
e
Вариант 5
Составить матрицу смежности для следующего графа
a
b
c
d
e
f
g
h
63
Вариант 6
Составить матрицу инцидентности для следующего графа
v2
e2
v3
e1
v1
e3
e5
e6
v5
e4
v4
Вариант 7
Составить матрицу инцидентности для следующего графа
v1
e2
v5
v2
e1
e4
e3
v6
e7
e8
e5
e6
v3
e9
e10
e11
e12
v7
v4
v8
Вариант 8
Составить матрицу инцидентности для следующего графа
b
e1
e5
a
e9
e4
d
e7
e6
e
e8 2
e
c
e3
Вариант 9
Составить матрицу инцидентности для следующего графа
b
e2
e1
e3
e7 d e4
e5
e6
a
c
e
Вариант 10
Составить матрицу инцидентности для следующего графа
e1
a
c
e5
e6
f
e8
e
b
e2
e3
g
e4
64
d
e7
h
Вариант 11
Нарисовать граф по следующей матрице. Обозначить
(узлы) и/или ребра (дуги) метками v1, v2, … и е1, е2, …
данной матрице.
1 2 3 4 5 6
1 0 0 0 1 1 1
2 0 0 0 1 1 1
3 0 0 0 1 1 1
4 1 1 1 0 0 0
5 1 1 1 0 0 0
6 1 1 1 0 0 0
Вариант 12
Нарисовать граф по следующей матрице. Обозначить
(узлы) и/или ребра (дуги) метками v1, v2, … и е1, е2, …
данной матрице.
1 2 3 4 5 6
1 0 1 0 1 1 0
2 1 0 1 1 0 1
3 0 1 0 0 1 1
4 1 1 0 0 1 0
5 1 0 1 1 0 1
6 0 1 1 0 1 0
Вариант 13
Нарисовать граф по следующей матрице. Обозначить
(узлы) и/или ребра (дуги) метками v1, v2, … и е1, е2, …
данной матрице.
1 2 3 4 5
1 0 0 1 1 0
2 0 0 0 1 1
3 0 0 0 1 0
4 0 0 0 0 0
5 0 0 0 1 0
Вариант 14
Нарисовать граф по следующей матрице. Обозначить
(узлы) и/или ребра (дуги) метками v1, v2, … и е1, е2, …
данной матрице.
1 2 3 4 5
1 0 1 0 0 1
2 0 0 1 0 0
3 0 0 0 1 0
4 1 0 0 0 0
5 0 0 1 0 0
65
вершины
согласно
вершины
согласно
вершины
согласно
вершины
согласно
Вариант 15
Нарисовать граф по следующей матрице. Обозначить
(узлы) и/или ребра (дуги) метками v1, v2, … и е1, е2, …
данной матрице.
1 2 3 4
1 0 1 0 0
2 0 0 1 1
3 0 0 0 0
4 1 0 1 0
Вариант 16
Нарисовать граф по следующей матрице. Обозначить
(узлы) и/или ребра (дуги) метками v1, v2, … и е1, е2, …
данной матрице.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0
2 0 0 0 1 1 1 0 0 0
3 0 0 0 0 0 0 1 1 1
4 1 0 0 1 0 0 1 0 0
5 0 1 0 0 1 0 0 1 0
6 0 0 1 0 0 1 0 0 1
Вариант 17
Нарисовать граф по следующей матрице. Обозначить
(узлы) и/или ребра (дуги) метками v1, v2, … и е1, е2, …
данной матрице.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0
2 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0
3 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1
4 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0
5 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1
6 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0
Вариант 18
Нарисовать граф по следующей матрице. Обозначить
(узлы) и/или ребра (дуги) метками v1, v2, … и е1, е2, …
данной матрице.
1 2 3 4 5 6
1 1 0 1 0 0 0
2 0 1 0 1 0 0
3 0 0 –1 0 1 0
4 –1 –1 0 0 –1 –1
5 0 0 0 –1 0 1
66
вершины
согласно
вершины
согласно
вершины
согласно
вершины
согласно
Вариант 19
Нарисовать граф по следующей матрице. Обозначить
(узлы) и/или ребра (дуги) метками v1, v2, … и е1, е2, …
данной матрице.
1 2 3 4 5 6
1 1 0 0 –1 1 0
2 –1 1 0 0 0 0
3 0 –1 1 0 0 –1
4 0 0 –1 1 0 0
5 0 0 0 0 –1 1
Вариант 20
Нарисовать граф по следующей матрице. Обозначить
(узлы) и/или ребра (дуги) метками v1, v2, … и е1, е2, …
данной матрице.
1 2 3 4 5
1 1 0 0 –1 0
2 –1 1 1 0 0
3 0 0 –1 0 –1
4 0 –1 0 1 –1
67
вершины
согласно
вершины
согласно
Задание 6. Маршруты, цепи, циклы
Вариант 1
Существует ли в следующем графе эйлеров цикл? Если
существует, приведите пример эйлерова цикла (в виде
соответствующей последовательности вершин). Если не существует,
докажите, что в данном графе не может быть эйлерова цикла.
a
b
d
c
f
e
h
g
i
j
Вариант 2
Существует ли в следующем графе эйлеров цикл? Если
существует, приведите пример эйлерова цикла (в виде
соответствующей последовательности вершин). Если не существует,
докажите, что в данном графе не может быть эйлерова цикла.
c
b
a
f
d
g
e
j
i
Вариант 3
Существует ли в следующем графе эйлерова цепь? Если
существует, приведите пример эйлеровой цепи (в виде
соответствующей последовательности вершин). Если не существует,
докажите, что в данном графе не может быть эйлеровой цепи.
c
a
b
d
f
e
Вариант 4
Существует ли в следующем графе эйлерова цепь? Если
существует, приведите пример эйлеровой цепи (в виде
соответствующей последовательности вершин). Если не существует,
докажите, что в данном графе не может быть эйлеровой цепи.
c
a
b
d
f
68
e
Вариант 5
Существует ли в следующем графе гамильтонов цикл? Если
существует, приведите пример гамильтонова цикла (в виде
соответствующей последовательности вершин).
a
b
c
d
e
g
f
Вариант 6
Существует ли в следующем графе гамильтонова цепь? Если
существует, приведите пример гамильтоновой цепи (в виде
соответствующей последовательности вершин).
b
f
a
c
e
h
d
g
Вариант 7
По следующему графу приведите пример цепи, не являющейся
простой (в виде соответствующей последовательности вершин).
a
d
c
b
e
Вариант 8
По следующему графу приведите пример цикла, не
являющегося простым (в виде соответствующей последовательности
вершин).
b
a
c
e
d
Вариант 9
Существует ли в следующем графе эйлеров цикл? Если
существует, приведите пример эйлерова цикла (в виде
соответствующей последовательности вершин). Если не существует,
69
докажите, что в данном графе не может быть эйлерова цикла.
a
b
c
d
e
g
f
h
i
k
j
l
Вариант 10
Существует ли в следующем графе эйлеров цикл? Если
существует, приведите пример эйлерова цикла (в виде
соответствующей последовательности вершин). Если не существует,
докажите, что в данном графе не может быть эйлерова цикла.
a
e
b
d
c
Вариант 11
Существует ли в следующем графе эйлерова цепь? Если
существует, приведите пример эйлеровой цепи (в виде
соответствующей последовательности вершин). Если не существует,
докажите, что в данном графе не может быть эйлеровой цепи.
k
i
h
g
f
j
d
b
a
c
Вариант 12
Существует ли в следующем графе эйлерова цепь? Если
существует, приведите пример эйлеровой цепи (в виде
соответствующей последовательности вершин). Если не существует,
докажите, что в данном графе не может быть эйлеровой цепи.
a
b
f
g
d
h
e
i
70
c
Вариант 13
Существует ли в следующем графе гамильтонов цикл? Если
существует, приведите пример гамильтонова цикла (в виде
соответствующей последовательности вершин).
a
b
c
d
f
e
Вариант 14
Существует ли в следующем графе гамильтонова цепь? Если
существует, приведите пример гамильтоновой цепи (в виде
соответствующей последовательности вершин).
a
b
d
c
e
f
g
Вариант 15
Существует ли в следующем графе эйлеров цикл? Если
существует, приведите пример эйлерова цикла (в виде
соответствующей последовательности вершин). Если не существует,
докажите, что в данном графе не может быть эйлерова цикла.
b
c
a
d
e
Вариант 16
Существует ли в следующем графе эйлеров цикл? Если
существует, приведите пример эйлерова цикла (в виде
соответствующей последовательности вершин). Если не существует,
докажите, что в данном графе не может быть эйлерова цикла.
b
a
c
d
f
e
71
Вариант 17
Существует ли в следующем графе эйлерова цепь? Если
существует, приведите пример эйлеровой цепи (в виде
соответствующей последовательности вершин). Если не существует,
докажите, что в данном графе не может быть эйлеровой цепи.
a
e
b
d
c
Вариант 18
Существует ли в следующем графе эйлерова цепь? Если
существует, приведите пример эйлеровой цепи (в виде
соответствующей последовательности вершин). Если не существует,
докажите, что в данном графе не может быть эйлеровой цепи.
b
a
c
d
e
f
Вариант 19
Существует ли в следующем графе гамильтонов цикл? Если
существует, приведите пример гамильтонова цикла (в виде
соответствующей последовательности вершин).
b
a
c
e
d
f
h
g
Вариант 20
Существует ли в следующем графе гамильтонова цепь? Если
существует, приведите пример гамильтоновой цепи (в виде
соответствующей последовательности вершин).
b
a
c
h
d
e
g
f
72
Задание 7. Преобразование логических выражений
Вариант 1
Упростить выражение: (q  (p  r))  ((q  p)  (q  r))
Вариант 2
Упростить выражение: (p  q)  (q p)
Вариант 3
Доказать справедливость соотношения: p   p  s    s  p 
Вариант 4
Доказать
 p  q    p  q  q  p 
справедливость
соотношения:
Вариант 5
Доказать справедливость соотношения:
((a  (b  (c + d)))  a)  (c + d) = 1
Вариант 6
Доказать справедливость соотношения:
(a  b) c =  a  c    b  c 
Вариант 7
Упростить выражение: x1 + x1 x3 + x1 x2 x3 + x2x3
Вариант 8
Упростить выражение: x  (y + z)  (x + y + z)
Вариант 9

Упростить выражение: xy +x  (y + xz)  x  y  z   yz
Вариант 10
Упростить выражение:
Вариант 11
 x  x  x x  x
1
2
1 3

2

Упростить выражение: x1x2  x1 x3  x2  x1x2 x3
Вариант 12


Упростить выражение: x1  x3  x1x2  x3  x1x2 x3
Вариант 13


Упростить выражение: x1x2 x3  x2  x1  x1 x3  x2
73

Вариант 14
Упростить выражение: x1x2   x1 x 3  x2   x1  x1 x 2 x3  x2 x3
Вариант 15
Упростить выражение: x1  x3   x1 x2  x2 x3   x1x3
Вариант 16
Упростить выражение:
Вариант 17
Упростить выражение:
Вариант 18
Упростить выражение:
Вариант 19
Упростить выражение:
Вариант 20
(p  q)  (q  p)
((p  q) q) p
((p  q)  q)  p
(x1 ~x2)  ((x1  x3) & x2)

Упростить выражение: xy  x( y  xz ) x  y  z   yz
74

Задание 8. Минимизация логических функций
Вариант 1
Найти МДНФ следующей функции с помощью карты Карно:
f ( x1, x2 , x3 , x4 )  x1x2 x3 x4  x1x2 x3 x4  x1x2 x3 x4  x1x2 x3 x4  x1x2 x3 x4 
 x1x2 x3 x4  x1x2 x3 x4  x1x2 x3 x4  x1x2 x3 x4
Вариант 2
Найти МДНФ следующей функции с помощью карты Карно:
f ( x1, x2 , x3 , x4 )  x1x2 x3 x4  x1x2 x3 x4  x1x2 x3 x4  x1x2 x3 x4  x1x2 x3 x4 
 x1x2 x3 x4  x1x2 x3 x4  x1x2 x3 x4
Вариант 3
Найти МДНФ следующей функции методом Квайна:
f ( x1, x2 , x3 , x4 )  x1x2 x4  x1x2 x3  x1x2 x3 x4  x1x2 x4  x1x2 x3 x4
Вариант 4
Найти МДНФ следующей функции методом Квайна:
f ( x1, x2 , x3 , x4 )  x1x2 x4  x1x2 x3 x4  x1x3 x4  x2 x3 x4  x2 x3 x4
Вариант 5
Найти МДНФ следующей функции методом Квайна:
f ( x1, x2 , x3 , x4 )  x1x2 x4  x1x3 x4  x1x2 x4  x1x2 x3 x4  x1x2 x3 x4  x1x2 x3 x4
Вариант 6
Найти МДНФ следующей функции методом Квайна – МакКласки:
f ( x1, x2 , x3 , x4 )  x1x2 x3 x4  x2 x3 x4  x1x2 x3  x1x2 x4  x1x2 x4  x1x2 x3 x4
Вариант 7
Найти МДНФ следующей функции методом Квайна – МакКласки:
f ( x1, x2 , x3 , x4 )  x1x2 x3  x1x2 x4  x1x2 x4  x1x3 x4  x1x2 x3
Вариант 8
Найти МДНФ следующей функции методом Квайна – МакКласки:
f ( x1, x2 , x3 , x4 )  x1x3 x4  x2 x3 x4  x1x2 x4  x1x2 x3 x4  x1x2 x3x4  x1x2 x3x4
75
Вариант 9
Найти МКНФ следующей функции с помощью карты Карно:
x 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
y 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
z 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
t 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
f 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1
Вариант 10
Найти МКНФ следующей функции с помощью карты Карно:
x 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
y 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
z 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
t 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
f 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
Вариант 11
Найти МКНФ следующей функции с помощью карты Карно:
x 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
y 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
z 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
t 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
f 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1
Вариант 12
Найти МКНФ следующей функции методом Квайна:
f  x1, x2 , x3 , x4    x1  x2  x4   x1  x3  x4  x2  x3  x4   x1  x2  x4 
Вариант 13
Найти МКНФ следующей функции методом Квайна:
f  x1, x2 , x3 , x4    x1  x2  x4   x2  x3  x4  x1  x2  x3  x2  x3  x4 
Вариант 14
Найти МКНФ следующей функции методом Квайна:
f  x1, x2 , x3 , x4    x1  x3  x4   x1  x2  x4   x1  x2  x3  x1  x3  x4 
Вариант 15
Найти МДНФ следующей функции с помощью карты Карно:
x
y
z
t
f
0
0
0
0
0
0
0
0
1
–
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
76
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
–
1
0
1
1
–
1
1
0
0
–
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
Вариант 16
Найти МДНФ следующей функции с помощью карты Карно:
x 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
y 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
z 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
t 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
f 0 – – 0 0 0 – 1 0 1 – 0 0 0 1 1
Вариант 17
Найти МДНФ следующей функции с помощью карты Карно:
x 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
y 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
z 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
t 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
f 1 0 1 1 – 0 1 – – 0 0 0 1 0 0 –
Вариант 18
Найти МДНФ следующей функции без использования карты
Карно:
x 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
y 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
z 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
t 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
f 0 – 1 1 1 0 0 0 0 0 – – – 0 0 1
Вариант 19
Найти МДНФ следующей функции без использования карты
Карно:
x 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
y 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
z 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
t 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
f 0 – – 0 0 0 – 1 0 1 – 0 0 0 1 1
Вариант 20
Найти МДНФ следующей функции без использования карты
Карно:
x 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
y 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
z 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
t 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
f 1 0 1 1 – 0 1 – – 0 0 0 1 0 0 –
77
Задание 9. Свойства логических функций
x1 0
0
0
0
1
1
1
1
x2 0
0
1
1
0
0
1
1
x3 0
1
0
1
0
1
0
1
f1 0
0
0
0
0
0
0
1
f2 0
0
0
0
0
0
1
1
f3 0
0
0
0
0
1
1
0
f4 0
0
0
0
1
0
1
0
f5 0
0
0
0
1
1
1
1
f6 0
0
0
1
0
1
0
1
f7 0
0
0
1
1
1
0
0
f8 0
0
1
0
0
1
0
0
f9 0
0
1
0
1
1
0
1
f10 0
0
1
1
0
1
1
1
f11 0
1
0
0
0
0
1
0
f12 0
1
0
0
1
1
1
0
f13 0
1
0
1
1
0
0
0
f14 0
1
1
0
1
0
0
0
f15 0
1
1
1
0
1
1
1
f16 1
0
0
0
0
0
1
1
f17 1
0
0
1
0
1
0
1
f18 1
0
1
0
0
1
0
1
f19 1
0
1
1
1
0
0
1
f20 1
1
0
0
1
1
0
1
Определить свойства функции fi, где i – номер варианта:
1. Является ли fi существенно зависящей от аргумента x1?
2. Является ли fi существенно зависящей от аргумента x2?
3. Является ли fi существенно зависящей от аргумента x3?
4. Является ли fi сохраняющей ноль?
5. Является ли fi сохраняющей единицу?
6. Является ли fi самодвойственной?
7. Является ли fi монотонной?
8. Является ли fi линейной?
Все положения ответа должны быть обоснованы.
78
Пример оформления контрольной работы
(Задания данного примера вымышлены и
заданиями какого-либо из предлагаемых вариантов)
не
являются
Псковский государственный политехнический институт
факультет Информатики
Контрольная работа
по дискретной математике
студента группы 682-0902
Иванова Ивана Ивановича
(№ зачетной книжки 0308033)
Вариант № 13
Преподаватель:
Петров Петр Петрович
Псков
2009
79
Задание 1
Даны множества:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16};
C = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}.
Определить множества:
D1 = B \ (A  C);
D2 = (A  B)  C;
D = D1  D2.
A  C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 15}
D1 = B \ (A  C) = {10, 12, 14, 16}
A  B = {1, 3, 5, 7, 10, 12, 14, 16}
D2 = (A  B)  C = {1, 3, 5, 7}
D = D1  D2 = {(10, 1), (10, 3), (10, 5), (10, 7), (12, 1), (12, 3), (12, 5),
(12, 7), (14, 1), (14, 3), (14, 5), (14, 7), (16, 1), (16, 3),
(16, 5), (16, 7)}
Задание 2
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}.
Задать списком:
а) отношение R  B  A = {(b, a)  b является делителем a};
б) обратное отношение R–1;
в) композицию отношений R  R–1;
г) проекцию множества векторов на вторую ось Пр2(R  R–1).
а) R = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (4, 4), (4, 8), (6, 6), (8, 8)}
б) R–1 = {(2, 2), (4, 2), (6, 2), (8, 2), (4, 4), (8, 4), (6, 6), (8, 8)}
в) R  R–1 = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (4, 2), (4, 4), (4, 8), (6, 2), (6, 6),
(8, 2), (8, 4), (8, 8)}
г) Пр2(R  R–1) = {2, 4, 6, 8}
Задание 3
R = {(7, 8), (1, 3), (2, 8), (8, 3)}.
Найти:
а) OOR (область определения соответствия R);
б) ОЗR (область значений соответствия R);
в) образ элемента 8;
г) прообраз элемента 8;
д) является ли соответствие R инъективным? почему?
а) OOR = {7, 1, 2, 8}
б) ОЗR = {8, 3}
в) образ элемента 8 = {3}
г) прообраз элемента 8 = {7, 2}
д) соответствие R не является инъективным, так как не соблюдается
условие единственности прообраза. Например, у элемента 3
80
существует два прообраза: 1 и 8
Задание 4
Нарисовать сильно связный орграф с пятью вершинами,
имеющий минимальное количество дуг.
v1
v2
v5
v3
v4
В сильно связном орграфе должен существовать путь из любой
вершины в любую другую вершину. Минимальным по количеству дуг
будет контур, проходящий по всем вершинам. Покажем
существование пути из каждой вершины в каждую. Путь из v1 в v2:
v1, v2. Путь из v2 в v1: v2, v3, v4, v5, v1. Аналогично можно указать пути
и между любыми другими парами вершин. Существует ли сильно
связный орграф с пятью вершинами и меньшим количеством дуг, чем
5? Если дуг будет 4, то в лучшем случае, если граф останется связным,
мы получим ордерево, в котором только из корня есть путь ко всем
остальным вершинам.
Задание 5
Нарисовать граф по следующей матрице. Обозначить вершины
(узлы) и/или ребра (дуги) метками v1, v2, … и е1, е2, … согласно
данной матрице.
1
2
3
4
1
1
1
0
0
2
1
0
1
0
3
0
1
0
1
4
0
0
1
0
В данном случае представленная матрица может быть как
матрицей смежности неориентированного графа G1 (матрица
квадратная, симметрична относительно главной диагонали), так и
матрицей инцидентности неориентированного графа G2 (в каждом
столбце матрицы не более двух единиц, но при этом нет
отрицательных значений).
v1
v2
v2
v1
v3
v4
G1
v4
v3
G2
81
Задание 6
По следующему графу приведите пример цепи, не являющейся
простой (в виде соответствующей последовательности вершин).
a
b
c
d
e
g
f
b, d, c, g, d, e – данный маршрут является цепью, так как не
проходит по одним и тем же ребрам дважды, но не является простой
цепью, потому что вершина d встречается в нем более одного раза.
Задание 7
Доказать справедливость соотношения
((a  (c  b))  (b  (a  d))  (d  (b  c))  (a  c))  a = 1
((a  (c  b))  (b  (a  d))  (d  (b  c))  (a  c))  a =
= ((a + (c  b))  (b + ad)  (d + (b  c))  (a c + ac))  a =
= ((a + (c  b))  (d + (b  c))  (b + ad)  (a c + ac))  a =
= ((a d + (c  b))  (ab c +abc + a cd))  a =
= ((a d + b c +bc)  (ab c +abc + a cd))  a =
= (ab c d + ab c + ab cd)  a = ab c  (d + 1 + d)  a =
= (ab c  1)  a = ab c  a = abc  a =a +b + c + a = 1 +b + c = 1
Задание 8
Найти МДНФ следующей функции без использования карты
Карно:
x
y
z
t
f
0
0
0
0
1
0
0
0
1
–
0
0
1
0
–
0
0
1
1
–
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
–
1
0
1
1
–
1
1
0
0
1
1
1
0
1
–
1
1
1
0
–
1
1
1
1
1
0  x, y, z, t   x yzt  xyzt  x yzt  xyzt  xyzt
1  x, y, z, t   x yzt  x yzt  x yzt  x yzt  xyzt  x yzt  x yzt  x yzt  xyzt 
 xyzt  xyzt  xyzt
1  x, y, z , t  = 0000 + 0001 + 0010 + 0011 + 0101 + 1000 + 1010 +
+ 1011 + 1100 + 1101 + 1110 + 1111
82
0 группа:
0000 *
1:
0001 * 0010 * 1000 *
2:
0011 * 0101 * 1010 * 1100 *
3:
1011 * 1101 * 1110 *
4:
1111 *
0 группа: 000- * 00-0 * -000 *
1:
00-1 * 001- * 0-01
-010 * 10-0 *
1-00 *
2:
-011 * 101- * -101
110- * 1-10 *
11-0 *
3:
1-11 * 11-1 * 111- *
0 группа:
00-00--0-0
-0-0
1:
-01-011--0
1--0
0-01
2:
1-111-1-111--101
 0  x, y, z , t 
1  x, y, z, t 
0000
0101
1000


00--0-0
-011--0
0-01
1-111--101
1100
1111








f  x, y, z, t  = -0-0 + 11-- + 0-01 = yt  xy  xzt
Задание 9
Определить следующие свойства логической функции, заданной
таблицей
x1
x2
x3
f
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1. Является ли f существенно зависящей от аргумента x1?
2. Является ли f существенно зависящей от аргумента x2?
3. Является ли f существенно зависящей от аргумента x3?
4. Является ли f сохраняющей ноль?
5. Является ли f сохраняющей единицу?
6. Является ли f самодвойственной?
7. Является ли f монотонной?
8. Является ли f линейной?
Все положения ответа должны быть обоснованы.
83
f(0, 0, 0) = f(1, 0, 0)
f(0, 0, 1) = f(1, 0, 1)
f(0, 1, 0) = f(1, 1, 0)
f(0, 1, 1) = f(1, 1, 1)
 f не зависит существенно от x1
f(0, 0, 0) = f(0, 1, 0)
f(0, 0, 1) = f(0, 1, 1)
f(1, 0, 0) = f(1, 1, 0)
f(1, 0, 1) = f(1, 1, 1)
 f не зависит существенно от x2
f(0, 0, 0)  f(0, 0, 1)
 f существенно зависит от x3
f(0, 0, 0) = 0
 f сохраняет ноль
f(1, 1, 1) = 1
 f сохраняет единицу
f(0, 0, 0)  f(1, 1, 1)
f(0, 0, 1)  f(1, 1, 0)
f(0, 1, 0)  f(1, 0, 1)
f(0, 1, 1)  f(1, 0, 0)
 f самодвойственна
f(1, 1, 1) > f(0, 0, 0)
f(1, 1, 0) = f(1, 0, 0)
f(1, 1, 0) = f(0, 1, 0)
f(1, 0, 1) > f(1, 0, 0)
f(1, 0, 1) = f(0, 0, 1)
f(0, 1, 1) > f(0, 1, 0)
f(0, 1, 1) = f(0, 0, 1)
 f монотонна
Из таблицы значений функции f понятно, что f = x3. Эта запись
одновременно является и полиномом Жегалкина для функции f.
Данный полином – линейный (так как в нем нет слагаемых,
являющихся конъюнкциями нескольких переменных), следовательно,
и функция f является линейной.
84
Рекомендуемая литература
1. Акимов О.Е. Дискретная математика: логика, группы, графы: Учеб.
для ВУЗов.-2-е изд., доп.- М.: Лаб. Базовых Знаний,2003.-376с.:
ил.-ISBN 5-93208-025-6.
2. Воронов М.В. Основные математические понятия : учеб. посо-бие.
Ч. 1 / М.В.Воронов, В.К.Захаров; Псковск. гос. политехн. ин-т. Псков: Изд-во ППИ, 2008. - 103с.: ил. - ISBN 978-5-91116-071-3.
3. Горбатов В.А. Основы дискретной математики: Учеб. пособие для
ВУЗов.- М.:Высш.шк.,1986.-311с.: ил.
4. Закревский А.Д. Логические основы проектирования дискретных
устройств : [учеб. пособие] / А.Д. Закревский, Ю.В. Поттосин, Л.Д.
Черемисинова. - М. : Физматлит, 2007. - 589с. : ил. - (Математика.
Прикладная математика). - ISBN 978-5-9221-0811-9.
5. Иванов Б.Н. Дискретная математика. Алгоритмы и программы:
Учеб. пособие.- М.: Лаб. Базовых Знаний, 2003.-288с.:ил.-ISBN 593208-093-0.
6. Кузнецов О.П. Дискретная математика для инженера. 4-е изд., стер.
– СПб: Издательство «Лань», 2005. – 400 с.: ил. – (Учебники для
ВУЗов. Специальная литература). – ISBN 5-8114-0570-7.
7. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов: учеб.
пособие для ВУЗов/ Ф.А.Новиков. - 2-е изд. - СПб.: Питер, 2006. 363с.: ил. - (Учеб. для ВУЗов). - ISBN 5-94723-741-5.
8. Поздняков С.Н. Дискретная математика : учеб. для ВУЗов /
С.Н.Поздняков, С.В. Рыбин - М.: Изд. центр «Академия», 2008. 448с.: ил. - (Высшее профессиональное образование). - ISBN
9. Строганов Р.П. Логические основы цифровой вычислительной
техники: Учеб. пособие/ЛПИ им. Калинина М.И.-Л.: 1979.-73с.
10.Шапорев С.Д. Дискретная математика. Курс лекций и
практических занятий. – Спб.: БХВ-Петербург, 2006. – 400 с.: ил.
11.Яблонский С.В. Введение в дискретную математику: учеб. пособие
для ВУЗов/ Яблонский С.В.; Московск. гос. ун-т им. М.В.
Ломоносова. - изд. 4-е, стер. - М.: Высш.шк., 2006. - 384с.: ил. (Классич. унив. учеб.). - ISBN 5-06-005683-Х.
12.Яхъяева Г.Э. Нечеткие множества и нейронные сети: Учебное
пособие
/Г.Э. Яхъяева.
–
М.:
Интернет-Университет
Информационных Технологий; БИНОМ. Лаборатория знаний,
2006. – 316 с.: ил., табл. – (Серия «Основы информационных
технологий»)
85
МОТИНА Надежда Владимировна
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
Методические указания по выполнению контрольных работ
Отпечатано с готового оригинал-макета автора
____________________________________________________________
_
Формат 6090/16. Гарнитура Times New Roman. Усл.. п.л. 5,4
Тираж 100 экз. Заказ №.
Адрес издательства:
Россия, 180000, Псков, ул. Л.Толстого 4.
Издательство ППИ
86