Сложившаяся в настоящее время практика преподавания курса

«Дискретные математические модели»
в профессиональной подготовке студентов экономических специальностей ВУЗов
Хабина Элла Львовна
Государственный университет – Высшая школа экономики
(Москва)
Москва, Покровский бульвар, 11, кафедра высшей математики на факультете экономики
Тел.: (495)6211342, e-mail: [email protected]
Сложившаяся в настоящее время практика преподавания курса «Дискретная
математика» для студентов экономических специальностей приводит к тому, что они
фактически не обладают знаниями и умениями, позволяющими успешно решать широкий
круг практических задач, использующих дискретные объекты и модели, не имеют
развитого логического мышления, у них отсутствует культура алгоритмического
мышления. Вместе с тем, в будущей профессиональной деятельности экономистам часто
придется работать именно с дискретными моделями, описывающими реальные
социально-экономические и политические процессы развития в обществе. Таких моделей
существует много, и они представляют серьезный интерес.
Для восполнения указанных пробелов на факультете экономики в Государственном
университете – Высшая школа экономики (ГУ – ВШЭ) предложен для изучения на 1 курсе
бакалавриата и успешно реализуется уже на протяжении нескольких лет учебный курс
«Дискретные математические модели», который рассматривается как необходимый
компонент фундаментальной подготовки современных экономистов. Курс содержит обзор
современных математических подходов к описанию дискретных математических
объектов, к построению и изучению прикладных дискретных математических моделей,
адекватных
реалиям
и
потребностям
социально-экономической
и
общественно-
политической жизни современного общества.
В данном курсе студенты-экономисты изучают следующие разделы:
Тема 1. Элементы теории множеств.
Множества,
множествами:
подмножества.
объединение,
Множество
пересечение,
всех
подмножеств.
дополнение,
Операции
разность
над
множеств,
симметрическая разность, разбиение, декартово произведение. Диаграммы Эйлера-Венна.
Алгебраические законы операций над множествами. Принцип двойственности.
Тема 2. Паросочетания.
Задача о распределении работ. Задача о свадьбах. Графы. Двудольные графы.
Паросочетания. Условие Холла. Совершенные и максимальные паросочетания, условия их
существования. Чередующиеся цепи. Трансверсали семейства множеств.
Тема 3. Обобщенные паросочетания, или паросочетания при линейных
предпочтениях участников.
Задача о распределении выпускников-медиков по клиникам в США. Предпочтения.
Условия классической рациональности предпочтений. Обобщенные паросочетания.
Устойчивость паросочетаний. Теорема о существовании устойчивого паросочетания при
любых предпочтениях участников (теорема Гейла – Шепли). Манипулирование
предпочтениями.
Примеры
моделей,
использующих
обобщенные
паросочетания:
распределение студентов по комнатам общежития, распределение работников по фирмам
и др.
Тема 4. Бинарные отношения, полезность и функции выбора.
Бинарные отношения и их свойства. Операции над бинарными отношениями.
Графическая интерпретация бинарных отношений и их свойств. Матрица смежности
графа. Специальные классы бинарных отношений: частичный порядок, слабый порядок,
линейный порядок. Отношение несравнимости и его свойства для специальных классов
бинарных отношений. Модель ординальной полезности. Представление бинарного
отношения функцией полезности. Выбор по отношению предпочтения. Свойства функций
выбора. Функции выбора, рационализируемые строгими и нестрогими отношениями
предпочтения.
Тема 5. Задача голосования.
Примеры правил голосования: правило простого большинства, парадокс Кондорсе,
правило Борда. Парадокс Эрроу. Парадокс Сена. Стратегическое поведение участников в
задаче голосования, множественное манипулирование.
Тема 6. Коллективные решения на графе.
Что делать, если самые простые правила принятия решений не дают явного
победителя? Альтернативные модели принятия решений. Внутренняя и внешняя
устойчивость. Ядро. Другие нелокальные правила принятия коллективных решений:
позиционные правила; правила, использующие мажоритарное отношение; правила,
использующие вспомогательную числовую шкалу; правила, использующие турнирную
матрицу; q-паретовские правила большинства. Правило порогового агрегирования.
Правила выбора непокрытого множества, слабоустойчивого множества, множества kустойчивых альтернатив. Задача о лидере.
Тема 7. Системы пропорционального представительства.
2
Примеры правил формирования парламентов (выборных органов) в разных странах.
Понятие и цели пропорционального представительства. Методы наибольшего остатка:
квота Хара, квота Друпа, нормальная и усиленная имперские квоты. Правило д’Ондта.
Методы делителей: наименьший делитель, Датская система, система Сент-Лаге. Индексы
представительности: индекс максимального отклонения, индекс Рэ, индекс ЛузмораХэнби, индекс удельного представительства и др.
Тема 8. Коалиции и влияние групп в парламенте.
Как партия влияет на принятие решения при голосовании в парламенте?
Голосование с квотой. Элементы комбинаторики: число размещений, число сочетаний,
число упорядочений. Индекс влияния Банцафа. Теорема о среднем для индекса Банцафа.
Анализ влияния групп и фракций в Государственной Думе РФ. Институциональный
баланс власти в Совете Министров Евросоюза. Влияние стран в Совете Безопасности
ООН. Другие индексы влияния (индексы Шепли-Шубика, Джонстона, Дигена-Пакела,
Холера-Пакела). Индексы влияния, учитывающие предпочтения участников по созданию
коалиций: кардинальные и ординальные индексы. Как отражается на влиянии нежелание
партий вступать в некоторые коалиции? Парадоксы блокирования.
Тема 9. Знаковые графы.
Психологический комфорт в трудовом коллективе. Знаковые графы. Теория
структурного баланса. Сбалансированность малых групп. Мера сбалансированности.
Сбалансированность выборного органа. Анализ сбалансированности пьесы У.Шекспира
«Макбет» и других литературных произведений.
Тема 10. Задача дележа.
Примеры моделей дележа: от библейской притчи до современных трудовых споров.
Постановка задачи дележа. Процедура «дели и выбирай». Манипулирование. Критерии
справедливости дележа. Процедура «подстраивающийся победитель» и ее свойства.
Решение трудовых споров. Разрешение территориальных конфликтов. Слияние фирм.
Случай
неделимых
решений.
Манипулирование
при
использовании
процедуры
«подстраивающийся победитель». Невозможность удовлетворения трем критериям
справедливого дележа при числе участников больше двух.
Тема 11. Игровые модели.
Практические примеры игровых моделей: кто перезванивает, если сорвался звонок?
Как владельцам кафе выбрать меню комплексного обеда в условиях конкуренции? Игры
2х2: стратегии, выигрыши, платежная матрица. Доминантные стратегии. Понятие
равновесия игры по Нэшу. Примеры игр 2х2: дилемма заключенного, гонка вооружений и
др. Примеры игр, имеющих равновесие по Нэшу, не имеющих его, а также имеющих
3
бесконечно много равновесий. Вероятность события и ожидаемый выигрыш. Смешанные
стратегии. Теорема о существовании равновесия Нэша в смешанных стратегиях для
любой игры 2х2. Ожидаемые полезности: переговоры правительства с профсоюзами.
Фокальные равновесия.
Отметим основные, на наш взгляд, особенности данного учебного курса.
Во-первых, при изложении материала предпочтение отдается модельному подходу:
сначала формулируются практические задачи из разнообразных сфер деятельности
человеческого
общества,
на
их
основании
выстраиваются
соответствующие
математические модели, для описания и изучения которых предлагается компактный по
объему и емкий по содержанию математический аппарат.
Во-вторых, в курсе рассматривается небольшое количество теорем (доступных для
понимания студентам-первокурсникам), но доказательство каждой из них носит
достаточно строгий характер. В большинстве случаев эти доказательства носят
конструктивный
характер,
что
дает
возможность
не
только
обосновывать
соответствующие факты, но и строить на практике дискретные объекты, обладающие
заданными свойствами. Именно такой подход позволяет приблизить теорию к практике,
развивать у студентов алгоритмическую культуру мышления, а также развивать
профессиональную компетенцию будущих экономистов по решению поставленных
практических задач и проблем. Вместе с тем такая немногочисленность доказываемых
теорем позволяет не перегружать курс чрезмерно теоретизированным материалом, а
сосредоточиться на практическом приложении изученных моделей.
В-третьих, многие понятия курса служат основой экономической теории, а потому
изучение их чисто математических и прикладных аспектов особенно полезно для
профессиональной подготовки будущих экономистов. Например, при изучении курса
«Дискретные математические модели» студенты постоянно сталкиваются с Паретооптимальностью: это происходит и при изучении обобщенных паросочетаний при
линейных предпочтениях участников, и при анализе различных дележей на предмет их
эффективности, а, следовательно, и справедливости в целом. Кроме того, в курсе
подробно с математической точки зрения изучаются бинарные отношения и их частный
случай – предпочтения, являющиеся основой ряда экономических теорий и т.д.
В-четвертых, излагаемые теоретические вопросы обильно иллюстрируются как
собственно
математическими
примерами,
так
и
актуальными
примерами
из
экономической и общественно-политической сфер жизни общества, что позволяет
поддерживать высокий интерес студентов к читаемому им курсу. Например, при изучении
темы «Коалиции и влияние групп в парламенте» рассматриваемые индексы влияния сразу
4
применяются для оценки влияния стран-участниц Совета Безопасности ООН, Совета
Министров Евросоюза, а также групп и фракций в российском парламенте. В теме
«Задача дележа» рассматриваются примеры реальных слияний фирм, переговоры по
трудовым спорам и т.д.
В-пятых, практически каждый раздел курса представляет собой самостоятельную
учебную единицу. Поэтому у преподавателя появляется возможность по-разному
компоновать содержание занятий в зависимости от уровня подготовки студентов, от их
познавательных интересов и профессиональных потребностей. Таким образом, учебная
дисциплина «Дискретные математические модели» может быть предложена не только
студентам факультета экономики, но и студентам других специальностей. Именно так и
обстоит дело в ГУ-ВШЭ. В начале курс создавался специально для студентов
экономического факультета, но затем, получив высокую популярность, стал востребован и
на
факультетах
менеджмента,
государственного
и
муниципального
управления,
политологии, философии, бизнес-информатики. Конечно при этом объем и глубина
изучаемых вопросов существенно разнятся для студентов различных специальностей.
И, наконец, данный учебный курс является довольно динамическим по своему
содержанию: в него постоянно добавляется обзор современных научных результатов
(естественно в соответствующей методической обработке), доступных для понимания
студентов младших курсов гуманитарных специальностей. Так, например, в последние
несколько лет были выполнены несколько работ по коллективным решениям на основе
выбора слабоустойчивого множества на мажоритарном графе. Сразу же это нашло
отражение в содержании курса: теперь студентам рассказываются основные результаты и
по этой проблематике.
Построенный курс «Дискретные математические модели» делает возможным его
углубление и расширение для заинтересовавшихся студентов: на следующих курсах
может читаться (так и делается на факультете экономики ГУ-ВШЭ) спецкурс по теории
коллективного выбора. Это позволяет привлекать студентов к научно-исследовательской
работе, уже начиная с самых младших курсов.
Большинство вопросов представленного учебного курса излагается в специально
созданном для его методической поддержки учебном пособии «Бинарные отношения,
графы и коллективные решения» авторов Ф.Т. Алескерова, Э.Л. Хабиной и Д.А.Шварца,
первое издание которого вышло в 2006 году. В настоящее время готовится к печати его
второе издание, дополненное и переработанное.
.
5