program_LA&amp

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Линейная алгебра и геометрия» для направления 01.03.02 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра
Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет компьютерных наук
Департамент больших данных и информационного поиска
Программа дисциплины
Линейная алгебра и геометрия
для направления 01.03.02 «Прикладная математика и информатика»
подготовки бакалавра (2015/2016 учебный год)
Разработчик программы:
Р.С.Авдеев, кандидат физико-математических наук ([email protected], [email protected])
Одобрена на заседании Департамента больших данных и информационного поиска
«___» _____________ 2015 г.
Руководитель Департамента
______________ Д.П. Ветров
Рекомендована Академическим советом образовательной программы
«Прикладная математика и информатика»
«___»_____________ 2015 г.
Менеджер Департамента больших данных и информационного поиска
_______________ Е.М. Лобачева
Утверждена «___»____________ 2015 г.
Академический руководитель
образовательной программы по направлению 01.03.02
«Прикладная математика и информатика»
А.С. Конушин
Москва, 2015
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Линейная алгебра и геометрия» для направления 01.03.02 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчётности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления 01.03.02 «Прикладная математика и информатика», изучающих дисциплину «Линейная алгебра и геометрия».
Программа разработана в соответствии с:
 образовательным стандартом федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования НИУ ВШЭ
подготовки бакалавров по направлению 010400.62 «Прикладная математика и
информатика»;
 Образовательной программой подготовки бакалавров по направлению 01.03.02
«Прикладная математика и информатика»,
 Рабочим учебным планом университета подготовки бакалавров по направлению
01.03.02 «Прикладная математика и информатика», утверждённым в 2014г.
2
Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Линейная алгебра и геометрия» являются:
1) ознакомление студентов с основами линейной алгебры, аналитической геометрии
и общей алгебры;
2) формирование у студентов навыков использования методов линейной алгебры
для формализации и решения прикладных задач, в том числе экономических,
геометрических и особенно возникающих в задачах анализа данных и в компьютерных науках.
3
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
 Знать основные теоремы линейной алгебры и иметь чёткое представление об основных алгебраических структурах, используемых в задачах линейной алгебры;
 Уметь решать задачи линейной алгебры и аналитической геометрии, перечисленные в программе курса, иметь представление об алгоритмической сложности таких задач;
 Иметь навыки решения систем линейных уравнений, вычисления определителей,
исследования квадратичных форм, нахождения собственных векторов, приведения линейного оператора к жордановой форме, определения типов и свойств кривых и поверхностей первого и второго порядка.
Выпускник по направлению подготовки 01.03.02 «Прикладная математика и информатика» с квалификацией (степенью) бакалавр в соответствии с целями основной образовательной
программы и задачами профессиональной деятельности, указанными в пп. 3.2 и 3.6.1 настоящего ОС ГОБУ ВПО ГУ-ВШЭ, должен обладать следующими компетенциями.
2
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Линейная алгебра и геометрия» для направления 01.03.02 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра
Код по
ФГОС /
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
ОНК-1
Способность к анализу и синтезу
на основе системного подхода
Стандартные (лекционно-семинарские)
ОНК-2
Способность перейти от проблемной ситуации к проблемам,
задачам и лежащим в их основе
противоречиям
Стандартные (лекционно-семинарские)
ОНК-3
Способность использовать методы критического анализа, развития научных теорий, опровержения и фальсификации, оценить
качество исследований в некоторой предметной области
Стандартные (лекционно-семинарские)
ОНК-4
Готовность использовать основные законы естественнонаучных
дисциплин в профессиональной
деятельности, применять методы
математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования
при работе в какой-либо предметной области
Стандартные (лекционно-семинарские)
ОНК-5
Готовность выявить естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, привлечь
их для решения соответствующий аппарат дисциплины
Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная
ОНК-6
Способность приобретать новые
знания с использованием научной
методологии и современных образовательных и информационных технологий
Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная
ОНК-7
Способность порождать новые
идеи (креативность)
Стандартные (лекционно-семинарские)
ИК-2
Умение работать на компьютере,
навыки использования основных
классов прикладного программного обеспечения, работы в компьютерных сетях, составления
баз данных
Стандартные (лекционно-семинарские)
Профессиональные
ПК-1
Способность демонстрации общенаучных базовых знаний естественных наук, математики и информатики, понимание основных
фактов, концепций, принципов
теорий, связанных с прикладной
математикой и информатикой
Стандартные (лекционно-семинарские)
Профессиональные
ПК-2
способность понимать и применять в исследовательской и при-
Стандартные (лекционно-семинарские)
Компетенция
Общенаучная
Общенаучная
Общенаучная
Общенаучная
Общенаучная
Инструментальные
3
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Линейная алгебра и геометрия» для направления 01.03.02 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра
Компетенция
Код по
ФГОС /
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
кладной деятельности современный математический аппарат
Профессиональные
Профессиональные
Профессиональные
4
ПК-3
способность в составе научноисследовательского и производственного коллектива решать задачи профессиональной деятельности в соответствии с профилем
подготовки, общаться с экспертами в других предметных областях
Стандартные (лекционно-семинарские)
ПК-4
способность критически оценивать собственную квалификацию
и её востребованность, переосмысливать накопленный практический опыт, изменять при
необходимости вид и характер
своей профессиональной деятельности
Стандартные (лекционно-семинарские)
ПК-8
способность решать задачи производственной и технологической деятельности на профессиональном уровне, включая разработку математических моделей,
алгоритмических и программных
решений
Стандартные (лекционно-семинарские)
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина является обязательной и относится к математическому и естественнонаучному циклу МЕ.00.
Для освоения учебной дисциплины не требуются знания и компетенции, выходящие за
пределы требований к поступающим на программу бакалавриата.
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:





Математический анализ;
Дифференциальные уравнения;
Теория вероятностей и математическая статистика;
Анализ данных;
Машинное обучение,
и других.
4
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Линейная алгебра и геометрия» для направления 01.03.02 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра
5
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Линейная алгебра и геометрия» для направления 01.03.02 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра
Тематический план учебной дисциплины
5
Курс «Линейная алгебра и геометрия» относится к числу базовых и рассчитан на преподавание в течение всего первого курса (144 аудиторных часа).
№
Название темы
1
2
3
4
5
6
Векторы и матрицы
Определители
Системы линейных уравнений
Векторные пространства
Комплексные числа
Квадратичные формы и скалярные произведения
Собственные векторы
Аналитическая геометрия
7
8
Всего часов
Итого
6
В т.ч.
лекции
31
31
36
54
18
64
6
8
8
12
4
12
В т.ч.
семинары
6
8
8
12
4
12
Самост. работа
88
30
14
8
14
8
50
18
342
72
72
198
15
15
20
30
10
40
Формы контроля знаний студентов
Тип контроля
Текущий
(неделя)
Форма контроля
Контрольная
работа
Домашнее
задание
Коллоквиум
Экзамен
1
1
1 год
2 3
1
4
Кафедра
1
1
Параметры
Письменная работа на 80
минут
Не менее 5--10 задач на
каждое задание
1
Проме1
Устный экзамен.
жуточный
ИтогоЭкзамен
1
Письменный экзамен на
вый
100 минут.
Оценки по всем формам контроля выставляются по 10-балльной шкале.
7
Содержание дисциплины
1. Векторы и матрицы.
Векторы как упорядоченные наборы чисел. Сложение векторов и умножение вектора на
скаляр. Скалярное произведение векторов, неравенство Коши, неравенство треугольника, угол
между векторами.
Системы линейных уравнений и линейные многообразия.
6
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Линейная алгебра и геометрия» для направления 01.03.02 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра
Матрицы. Операции над матрицами и их свойства. Система линейных уравнений в матричной форме.
Литература: основной учебник: [1], гл. 2, 3; дополнительная литература: [2,4,5,7,8,10]
(здесь и далее ссылки даны на список литературы ниже в разделе 11)
2. Определители.
Маломерные определители.
Подстановки. Знак подстановки. Умножение подстановок. Знак произведения подстановок. Разложение подстановки в произведение транспозиций.
Определитель квадратной матрицы.
Свойства определителя. Способы вычисления определителей. Определитель произведения матриц.
Литература: основной учебник: [1], гл. 1; дополнительная литература: [2,4,5,6,8,10].
3. Системы линейных уравнений.
Решение системы линейных уравнений с невырожденной матрицей. Формулы Крамера.
Обратная матрица, критерий её существования. Формула обратной матрицы. Другие
способы вычисления обратной матрицы.
Критерий определённости системы линейных уравнений.
Элементарные преобразования. Общая схема редукции. Метод Гаусса.
Структура множества решений системы линейных уравнений. Фундаментальная система
решений однородной системы линейных уравнений.
Ранг матрицы: различные определения. Миноры и вычисление ранга.
Теорема Кронекера-Капелли.
Литература: основной учебник: [1], гл. 1; дополнительная литература: [2,4,5,7,8,10].
4. Векторные пространства.
Определение и примеры векторных пространств. Подпространство. Линейная независимость, базис, размерность. Линейные комбинации и линейные оболочки. Замена координат и
матрица перехода. Сумма и пересечение подпространств, их размерности.
7
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Линейная алгебра и геометрия» для направления 01.03.02 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра
Линейные отображения и линейные операторы. Изоморфизм векторных пространств.
Изменение матрицы линейного оператора при замене базиса. Ядро и образ линейного отображения, их размерности.
Литература: основной учебник: [1], гл. 7; дополнительная литература: [3,4,5,10, 12].
5. Комплексные числа.
Понятие поля. Примеры: числовые поля, поле из двух элементов.
Определение комплексного умножения на плоскости. Основные операции с комплексными числами. Модуль и аргумент, формулы Муавра, формула Эйлера. Решение простейших
алгебраических уравнений. Основная теорема алгебры.
Векторные пространства над полем.
Комплексное векторное пространство, комплексификация действительного векторного
пространства.
Литература: основной учебник: [1], гл. 4; дополнительная литература:[2,5,7,10,12].
6. Евклидовы пространства.
Билинейные и квадратичные формы. Ортогональные базисы, процесс ортогонализации
Грама-Шмидта. Канонический вид и нормальный вид квадратичной формы, закон инерции.
Положительно и отрицательно определённые квадратичные формы. Метод Якоби. Критерий
Сильвестра.
Евклидовы пространства. Матрица Грама. Неравенство треугольника, неравенство Коши. Угол между векторами. Проекции, нормали, расстояния. Ортогональные и ортонормированные базисы, их построение. Объём параллелепипеда, его связь с ориентированным объёмом
и матрицей Грама.
Литература: основной учебник: [1], гл. 6,8; дополнительная литература: [3,4,6,7,8].
7. Собственные векторы.
Инвариантные подпространства
и собственные векторы линейного оператора. Соб-
ственные значения и характеристический многочлен. Теорема о минимальной размерности инвариантных подпространств. Диагонализуемый оператор.
8
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Линейная алгебра и геометрия» для направления 01.03.02 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра
Корневые подпространства. Жорданова нормальная форма и жорданов базис. Алгоритм
построения жорданова базиса. Матричные многочлены, теорема Гамильтона-Кэли, минимальный многочлен и его связь с характеристическим многочленом.
Линейные операторы в пространстве со скалярным произведением. Самосопряжённые
(симметрические) операторы и ортонормированные собственные базисы. Унитарные и ортогональные операторы.
Литература: основной учебник: [1], гл. 7, 13; дополнительная литература: [3,4,6,7,8,12].
8. Основы аналитической геометрии
Векторное и смешанное произведение векторов, их применение.
Движения аффинного пространства, теорема о разложении движения в композицию ортогонального оператора и параллельного переноса. Общие квадрики в n-мерном арифметическом пространстве, теорема о приведении их движением к каноническому виду. Кривые второго порядка, их классификация. Свойства конических сечений. Классификация поверхностей
второго порядка.
Литература: основной учебник: [5, параграфы 7.3 и 7.4]; дополнительная литература:
[8,9,4,10,12].
8
Образовательные технологии
Проводятся стандартные лекционно-семинарские занятия и регулярные консультации с
ответами на вопросы студентов. Применяются индивидуальные домашние задания, на коллоквиумах проводятся устные опросы и задаются теоретические задачи.
9
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Критерии оценки знаний, навыков
При текущем контроле студент должен продемонстрировать знание и понимание пройденного материала, владение навыками решения типовых задач, умение применять известные
из лекций схемы теоретических рассуждений.
Это же должен продемонстрировать студент и на итоговом контроле.
9.1
9.2
Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
Для оценки качества освоения дисциплины можно использовать около двух тысяч задач
из задачника [6], а также задачники [7,9]. Примеры теоретических вопросов для коллоквиума
приведены ниже.
9
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Линейная алгебра и геометрия» для направления 01.03.02 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра
1) Что такое поле? Докажите, что в поле элемент, обратный к любому ненулевому элементу, определён однозначно.
2) Что такое комплексные числа? Дайте определение арифметических операций над
комплексными числами.
3) Что такое модуль и аргумент комплексного числа? Как модуль и аргумент ведут себя
при перемножении комплексных чисел?
4) Что такое кратность корня многочлена? Докажите, что сумма кратностей корней
многочлена с комплексными коэффициентами равна его степени.
5) Что такое векторное пространство над произвольным полем?
6) Что такое сумма подпространств произвольного векторного пространства?
7) Что такое матрица перехода от одного базиса векторного пространства к другому?
8) Что такое линейное отображение и линейный опратор?
9) Что такое матрица линейного отображения? Как построить эту матрицу, зная образы
базисных векторов при данном линейном отображении?
10) Что такое ядро, образ и ранг линейного отображения? Докажите, что ядро и образ являются векторными пространствами.
11) Что такое изоморфизм векторных пространств? Докажите, что отображение, обратное к изоморфизму, также является изоморфизмом.
12) Что такое инвариантное подпространство линейного оператора?
13) Что такое собственные векторы и собственные значения линейного оператора? Что
такое характеристический многочлен и как он связан с собственными значениями?
14) Докажите, что у всякого линейного оператора в n-мерном комплексном векторном
пространстве есть собственный вектор, а у всякого линейного оператора в n-мерном
действительном векторном пространстве есть одномерное или двумерное инвариантное подпространство.
15) Докажите, что матрица линейного оператора имеет диагональный вид тогда и только
тогда, когда все векторы базиса являются собственными для данного оператора.
16) Что такое корневой вектор и корневое подпространство линейного оператора в конечномерном комплексном векторном пространстве?
17) Что такое значение многочлена на линейном операторе? Сформулируйте и докажите
теорему Гамильтона-Кэли.
18) Дайте определение линейного функционала (линейной формы) и двойственного (сопряжённого пространства).
19) Что такое билинейная форма? Что такое матрица билинейной формы?
20) Что такое квадратичная форма? Что такое матрица квадратичной формы?
21) Что такое индексы инерции квадратичной формы на конечномерном действительном
векторном пространстве?
22) Сформулируйте и докажите критерий Сильвестра положительно (отрицательной)
определённости квадратичной формы на конечномерном действительном векторном
пространстве.
23) Дайте определения евклидова и эрмитова (унитарного) векторного пространства.
24) Что такое ортогональный базис и ортонормированный базис? Докажите, что во всяком конечномерном евклидовом или эрмитовом пространстве существует ортонормированный базис.
25) Что такое матрица Грама системы векторов в евклидовом или эрмитовом пространстве?
26) Что такое ортогональное дополнение подпространства в евклидовом или эрмитовом
пространстве? Докажите, что оно является подпространством.
27) Что такое ортогональная проекция вектора на подпространство в евклидовом и эрмитовом пространстве?
28) Что такое (неориентированный) объём параллелепипеда в евклидовом или эрмитовом
пространстве? Как он связан с матрицей Грама данной системы векторов?
10
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Линейная алгебра и геометрия» для направления 01.03.02 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра
29) Что такое ориентированный объём параллелепипеда? Какова связь объёма и ориентированного объёма параллелепипеда в евклидовом пространстве?
30) Что такое самосопряжённый оператор в евклидовом или эрмитовом пространстве?
Какими свойствами характеризуется матрица самосопряжённого оператора в ортонормированном базисе?
31) Что такое ортогональный оператор в евклидовом пространстве и унитарный оператор
в эрмитовом пространстве? Какими свойствами характеризуется матрица ортогональьного (и унитарного) оператора в ортонормированном базисе?
10 Порядок формирования оценок по дисциплине
Все оценки выставляются по 10-балльной шкале.
Текущий контроль знаний осуществляется в следующих формах:

письменная контрольная работа (по одной в конце 1-го и 3-го модуля);

выполнение индивидуальных домашних заданий (на протяжении всего курса);

устная сдача задач из листков, выдаваемых с целью лучшего усвоения и закрепления теоретического материала (на протяжении всего курса);

коллоквиум (в 4-м модуле).
Итоговый контроль осуществляется в форме устного экзамена во 2-м модуле и в форме
письменной контрольной работы в 4-м модуле; результат отражается в оценке Оэкз.
Накопленная оценка за текущий контроль формируется из следующих компонент:

оценка за контрольную работу Ок/р;

оценка за индивидуальные домашние задания Од/з;

оценка за сдачу листков Ол;

оценка за коллоквиум Околл (только в 4-м модуле);

оценка за работу на семинарах Осем.
Формула для итоговой оценки во 2-м модуле:
Оитог = 0,6* Онакопл + 0,4* Оэкз,
где Онакопл рассчитывается по следующей формуле:
Онакопл = 0,4*Ок/р + 0,2*Од/з + 0,2*Ол +0,2*Осем.
Округление производится только для итоговой оценки. Способ округления: оценка между 3 и 4 всегда округляется до 3; во всех остальных случаях округление арифметическое.
Формула для итоговой оценки в 4-м модуле:
Оитог = 0,75* Онакопл + 0,25* Оэкз,
где Онакопл рассчитывается по следующей формуле:
11
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Линейная алгебра и геометрия» для направления 01.03.02 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра
Онакопл = 0,2*Ок/р + 0,15*Од/з + 0,15*Ол + 0,4*Околл + 0,1*Осем.
Округление производится только для итоговой оценки. Способ округления: оценка между 3 и 4 всегда округляется до 3; во всех остальных случаях округление арифметическое.
Важно: на коллоквиуме в случае демонстрации неудовлетворительных знаний студенту
выставляется оценка 0, оценки 1,2 и 3 не используются.
На пересдаче студенту не предоставляется возможность получить дополнительный балл
для компенсации оценки за текущий контроль.
В диплом выставляет итоговая оценка по учебной дисциплине.
11 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
11.1 Базовые учебники
1. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968 (или любое более позднее издание).
11.2 Основная литература
2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994.
3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000.
4. Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре (любое издание, кроме 1-го, например М.:
Добросвет, МЦНМО, 1998).
5. Винберг Э. Б. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание).
6. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.:
БИНОМ, 2005).
11.3 Дополнительная литература
7. Aleskerov F., Ersel H., Piontkovski D., Linear Algebra for Economists. Berlin—Heidelberg,
Springer, 2011.
8. Бурмистрова Е. Б., Лобанов С. Г., Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии, М.: ГУ ВШЭ, 1998.
9. Ким Г. Д. , Крицков Л. В., Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I,
М.: Планета знаний, 2007.
10. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия, М.: Наука, 1986.
11. Сборник задач по алгебре под редакцией А.И. Кострикина. М.: МЦНМО, 2009.
12. Городенцев А.Л., Алгебра. Учебник для студентов-математиков. Часть I. М.: МЦНМО, 2013.
11.4 Справочники, словари, энциклопедии не используются
11.5 Программные средства
 Выбор программных средств для реализации алгоритмов осуществляется студентом.
12
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Линейная алгебра и геометрия» для направления 01.03.02 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра
В домашних заданиях для рутинных алгебраических вычислений возможно использование систем Maple или Mаtlab, а также, в некоторых случаях, интернет-сервиса Wolfram Alpha.
11.6 Дистанционная поддержка дисциплины
Предусмотрена электронная переписка со студентами.
12 Материально-техническое обеспечение дисциплины
Не предусмотрено.
13