Лабораторная работа № 6. Бинарные отношения

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва»
В. Д. Бочкарева
Математика для студентов географических направлений.
Бинарные отношения, эквивалентность, разбиения
Учебно-методическое пособие
Саранск 2012
Лабораторная работа № 6. Бинарные отношения
Вопросы к работе
1.
Что такое бинарное отношение на множестве?
2.
Как можно записать бинарное отношение?
3.
Какое отношение называют рефлексивным?
4.
Какое отношение не является рефлексивным?
5.
Какое отношение называют симметричным?
6.
Какое отношение не является симметричным?
7. Какое отношение называют транзитивным?
8. Какое отношение не является транзитивным?
9. Что такое эквивалентность на множестве?
10.Какое отношение называют порядком?
11.Какие вы знаете еще специальные типы отношений?
Образцы решения заданий
1. Дано множество А = { 1,2,3,4,5,6 }  N. На нем задано бинарное
отношение р «больше», т. е. (х,у)  р<=>х > у. Построить граф и график этого
отношения. Какими свойствами обладает это отношение? Решение.
1) Граф указанного отношения:
2) строим график этого отношения:
3) Рефлексивность: Если бы это отношение было бы рефлексивным, то х > х
для х  А. Например, было бы верно 2 > 2 ( ложь ). Значит отношение « >
» на А не является рефлексивным.
Симметричность: Если бы это отношение было бы симметричным на
множестве А, то х > у => у > х. Например, 3>2 => 2>3(ложь),. Значит,
отношение « > » на А не является симметричным.
Транзитивность: Если бы это отношение было бы транзитивным на
множестве А, то х > у, у > z =>х >z.Это утверждение истинно для любых
натуральных чисел, т. е. и чисел из А. Значит, отношение « > » на А является
транзитивным.
Асимметричность: Ни для каких чисел А не может быть одновременно
х  у
истинным 
, т. е. отношение “>” на А асимметрично. Отношение “>” на
у  х
множестве А является отношением строгого порядка т. к. оно асимметрично
и транзитивно.
х  у
Связность: Для любых двух элементов x , y  A верно:  у  х т. е.

 у  х
отношение “>” на множестве А является связным. Т. к. отношение “>”
на множестве А связное и является отношением строгого порядка, то оно
есть отношение строгого линейного порядка.
2. На множестве людей Земли введено бинарное отношение “быть
родственником по крови”. Будет ли это отношение отношением
эквивалентности? Решение.
Обозначим заданное отношение буквой  . Тогда хру <=> человек x
является родственником человека у (множество людей Земли-отношение А).
Что бы отношение р было отношением эквивалентности, оно должно быть
рефлексивным, симметричным, транзитивным.
Рефлексивность: Если бы р было рефлексивным, то было бы верно:
х  А хрх, т. е. любой человек Земли является родственником самому
себе(истина), т. е. отношение р на A рефлексивно.
Симметричность: Если бы р было симметрично, то хру=>урх, т. е. если
бы человек x был родственником человека y , то y был бы родственником
человека x (истина). Значит, отношение р на A симметрично.
Транзитивность: Если бы р было транзитивно на A , то если бы человек
x был родственником человека y , а был родственником человека z , то x
был бы родственником z . Но это не обязательно. Например, человек x
родственник для y по матери, а y – родственник для z по отцу. Тогда x и y
могут не быть родственниками по крови). Значит, отношение р на A не
является транзитивным. Следовательно, отношение “быть родственником по
крови” на множестве людей Земли не является отношением эквивалентности.
Упражнения
1. Найдите область определения рr1 р и область значений рr2 р каждого из
следующих отношений, заданных на множестве
А = { 1, 2, 3, ..., 10 }  N, и укажите, какими свойствами оно обладает:
1) арв<=>а-в=8;
2) арв<»в=а2;
3) арв<=>ав=12;
4) арв<=>в > а2.
2. На множестве А={3, 5, 7, 9, 11 }  N задано отношение х > у. Выпишите
все пары элементов, находящиеся в этом отношении.
3.Построить граф отношения р: хру <=> х = у + 2 на множестве
{-3,-1,1,2,3,4}  Z.
4.На множестве У= { у | у  Z , -13 ≤ у ≤ -2 } задано отношение R:
х R у <=> х=2у.
Какие из следующих записей верны:
а) (-6,-3) R,
б)(-3,-6) R,
в) (-4,-2) R,
г)(-8,-4) R.
5.На множестве М={ -8, -6, -4, -2, 0, 2, 4 }  Z( задано значение р:хру<=>
число х кратно числу у. Записать множество р, перечислив все его элементы.
Принадлежит ли р пара (-4, -4)? Найти р(2), р(-8), р(0). Найдите р -1(4), р -1(1
6), р -1(0). Что значит отношение х R у? Найдите R (-4), R (-2).
6.Дано
множество
числовых
выражений
1
3
1
1 

 3
M 
10;  2  3;  8  5   3; 11  2  15; 916  7  . Построить граф этого
2
8
2
2 


 4
отношения « меньше, чем» на этом множестве.
7.Множество М членов семьи Смирновых состоит из отца Ивана
Михайловича, матери Елены Андреевны и четырёх детей: Миши, Тани, Васи
и Оли. Между членами семьи существуют отношения родства, которые
можно выразить словами: “быть мужем”, “быть братом” и т.д.
а) Укажите всевозможные отношения на множестве М.
б) Записать отношения «быть дочерью» с указанием всех его элементов
и построить граф этого отношения.
в) Построить графы отношений «быть братом», «быть матерью».
8. На рис. 3 изображен граф отношения «а брат в» на множестве детей
нашего двора { А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, 3, И }. Кто из них является мальчиком?
Кто девочкой? О ком нельзя по этому графу ничего сказать?
Рис. 3
Индивидуальное задание
1. На множестве N для каждого
область определения рr 1 р и область
свойствами оно обладает:
1) хру  НОД(х,у)=1;
3) хру  х=у2;
5) хру  у-х=12;
7) хру  (х-у):3;
9) хру  х<у+1;
из следующих отношений найдите
значений рr 2 р и укажите какими
2) хру  у<2х;
4) хру  х≤у;
6) хру  |у-х|=12;
8) хру  ху=30;
10)хру  у=2х+1.
Задания для самоконтроля
1. Пусть р и σ отношение эквивалентности на множестве М. Докажите или
опровергните , что р  σ и р  σ- есть отношение эквивалентности.
2. Известно, что отношение р – отношение эквивалентности. Дополните граф
этого отношения.
Лабораторная работа №7. Разбиения и их связь с бинарными
отношениями
Вопросы к работе.
1. Что такое разбиение множества?
2. Как построить разбиение по данному отношению эквивалентности?
Образцы решения заданий.
1. Пусть A  1; 2; 3; 4; 5; 6 . Показать, что подмножества A1  1; 2 , A2  3 ,
A3  4; 5; 6 образуют разбиение множества A .
Решение.
1) Множества A1 , A2 , A3  A ;
2) А1  Ø, А2  Ø, А3  Ø;
3) А1  А2 =Ø, А1  А3 =Ø, А2  А3 =Ø
4) А1  А2  А3 = А;
По определению система множеств A1 , A2 , A3 есть разбиение
множества A .
2. Дано множество M  1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10  N . На нем задано
отношение “иметь один и тот же остаток при делении на 3”. Будет ли это
отношение эквивалентностью? Если “да”, то получить разбиение множества
М по этому отношению эквивалентности.
Решение.
Из арифметики известно, что любое натуральное число при делении на
3 имеет и притом только один остаток, который может равняться 0,1,2.
По условию задачи хру<=>х и у имеют один и тот же остаток при
делении на 3.
Это отношение рефлексивно, т. к. х  М хрх ( х имеет один и то же
остаток с х при делении на 3); симметрично, т. к. хру=>урх(если х и у имеют
один и то же остаток при делении на 3, то у и х имеют тот же остаток при
делении на 3); транзитивно, т. к. хру, урz (если х и у имеют один и тот же
остаток при делении на 3 и у с z имеют один и тот же остаток при делении на
3. то х и z имеют одинаковый остаток при делении на 3). Значит, указанное
отношение является эквивалентностью.
Найдем разбиение
множества М по этому отношению
эквивалентности.
Для этого из М возьмем любое число. Например, число 5. Найдем
остаток 5 при делении на 3. Это 2. Соберем все числа из М, имеющие при
делении на 3 остаток 2 в один класс. Обозначим его символом С1 2={ 5,8,2 }.
Число 7 (например) в этот класс не входит. Найдем остаток при делении 7 на
число 3. Это 1. Соберем в один класс С11 все числа из М, которые при
делении на 3 имеют остаток 1: С11={ 1,4,7,10}.
Число 3 не входит ни в С12, ни в С11. Находим остаток при делении и З
на З. Это число 0. Составляем класс С1о, куда войдут все числа из
М,
имеющие при делении на 3 остаток 0: С1о={ 3,6,9 }. Все числа из М
распределились по классам С1о, С12, С11. Другими словами:
1) множества С1о, С11, С12  M
2) С1о  
 , С12  
 , С11  
 .
3) С1о  С11 =Ø, С1о  С12 =Ø , С11  С12=Ø
4) С1о  С11  С12 =М.
Итак, искомое разбиение состоит из множеств С1о, С11, С12
Упражнения.
1. На множестве студентов академической группы выделены
подмножества отличников, спортсменов и живущих в общежитии.
Можно ли сказать, что мы имеем разбиение?
2. Можно ли разбить множество треугольников на равнобедренные,
разносторонние, равносторонние?
3. Найдите разбиение множества натуральных чисел по отношению
“иметь одинаковый остаток при делении на 5”.
Индивидуальные задания.
1. Дано отношение эквивалентности  на множестве A  , , , , ! .
Найти разбиение множества A по отношению эквивалентности  , если
1)   , , , , , , , , !, !, , , ,  ;
2)   , , , , , , , , !, !, , , ,  ;
3)   , , , , , , , , !, !, , , ,  ;
4)   , , , , , , , , !, !, , , ,  ;
5)   , , , , , , , , !, !, , , ,  ;
6)   , , , , , , , , !, !, , !, !,  ;
7)   , , , , , , , , !, !, , !, !,  ;
8)   , , , , , , , , !, !, , !, !,  ;
9)   , , , , , , , , !, !, , , , ;
10)   , , , , , , , , !, !, , !, !,  .
2. На множестве натуральных чисел M  a | a  20 найти разбиение по
отношению эквивалентности  : xy  x и y имеют одинаковый
остаток при делении на n , если
1) n  13 ;
2) n  14 ;
3) n  15 ;
4) n  6 ;
5) n  7 ;
6) n  8 ;
7) n  9 ;
8) n  10 ;
9) n  11 ;
10) n  12 .
Задания для самоконтроля
1. Приведите примеры разбиений (классификаций), выполняемых в
различных областях человеческой деятельности, примеряя синонимы
понятия “класс”: “тип”, “семейство”, “род”, “вид”, “сорт” и т. д.
1.
2.
3.
4.
Литература
(Боровиков А. Н. Математическая геология – ее методика или
методология? // Пути познания Земли, -М., 1971).
Воробьев Н. Н. Роль теории игр в математизации знаний //
Методологические проблемы кибернетики: Материалы к Всесоюзной
конференции. Т. 1. – М., 1970)
Гохман В. М., Гуревич Б. Л., Саушкин Ю. Г. Проблемы метагеографии
//Математика в экономической географии. Вопросы географии. Ст.77. –
М.: Мысль, 1968; Гохман В.М., Минц А.А., Преображенский В.С.
Системный подход в географии // Теоретическая география. Вопросы
географии. Сб.88. -М.: Мысль, 1971; Гуревич Б. М., Саушкин Ю. Г.
Математический метод в географии // Вести московского университета.
Серия 5, География. 1966 №1).
Гохман В. М.. Гуревич Б.Л., Саушкин Ю. Г. Проблемы метагеографии
// Математика в экономической географии”. Вопросы географии. Сб.
77. – М.: Мысль, 1968; Гохман В. М., Минц А.А., Преображенский
В. С. Системный подход в географии. // Теоретическая география.
Вопросы географии. Сб.88. – М.: Мысль, 1971; Согава В. Б.
Определение некоторых понятий и терминов физической географии:
Доклад института географии Сибири и Дальнего Востока. Вып. 3. –
Иркутск, 1963;
5. Согава В. Б. Структурно-динамическое ландшафтоведение и
географические проблемы будущего: Доклад института географии
Сибири и Дальнего Востока. Вып. 16. – Иркутск, 1967).
6. Саушкин Ю.Г. Смирнов А. М. Роль ленинских идей в развитии
теоретической географии // Вести Московского университета. Серия 5
География 1970. №1
7. Гохман В.М., Гуревич Б.Л., Саушкин Ю.Т. Проблемы метагеографии //
Математика в экономической географии. Вопросы географии сб.77-М.:
Мысль, 1968
8. Гуревич Б.Л. Саушкин Ю.Г. Математический метод в географии //
Вестн. Моск. ун-та. Сер. 5 Геогр 1966. №1