Математика 9 класс Уравнения и системы уравнений Карпова Ирина Викторовна

Математика 9 класс
Уравнения и системы уравнений
Карпова Ирина Викторовна
доцент кафедры математики ДВГГУ
Уравнение – одно из важнейших понятий математики. В большинстве практических и научных задач, где какую то величину непосредственно нельзя измерить или
вычислить по готовой формуле, удается составить соотношение или соотношения,
которым удовлетворяет это величина. Таким образом, нахождение неизвестной величины сводят к решению уравнения или системы уравнений.
Классификацию уравнений можно проводить по разным основаниям: по числу
неизвестных (уравнение с одной, двумя, и т.д. неизвестными), по виду функций входящих в уравнение (алгебраические и трансцендентные). Мы будем рассматривать
алгебраические уравнения с одной неизвестной и системы алгебраических уравнений
с двумя неизвестными.
1. Уравнения, приводимые к квадратным
Мы не будем подробно останавливаться на методах решения линейных уравнений, они вам известны, известны вам так же и формулы нахождения корней квадратного уравнения. Рассмотрим уравнения, решение которых тем или иным способом
может быть сведено к решению квадратного уравнения или нескольких квадратных
уравнений.
Уравнение вида ax 4  bx 2  c  0 , где a  0 …………….(1)
называется биквадратным. Для нахождения корней уравнения (1) обычно используют метод замены переменных. Введем новую переменную t, которая будет связанна с
переменной х равенством x 2  t …………… (2), тогда x 4  t 2 . В результате такой замены уравнение (1) примет вид: at 2  bt  c  0 , а это уравнение является квадратным
относительно переменной t, его корни можно найти по известным формулам.
Понятно, что если полученное уравнение корней не имеет, то и уравнение (1)
корней не имеет.
Если полученное квадратное уравнение имеет два положительных корня t1 и t 2 ,
то, подставляя их в равенство (2) и, решая два получившихся квадратных уравнения,
мы получим четыре корня уравнения (1).
Если хотя бы один из корней полученного квадратного уравнения отрицателен,
то при подстановке этих значений в равенство (2) по крайней мере одно из полученных квадратных уравнений корней иметь не будет, и в этом случае уравнение (1) будет иметь или только два корня, или вообще корней не иметь.
Если один из корней полученного квадратного уравнения будет равен 0, а другой положительный, то уравнение (1) будет иметь три корня.
Пример 1.
Решить уравнение x 4  15 x 2  50  0
Решение. Имеем биквадратное уравнение. Введем новую переменную t  x 2 , получим
уравнение t 2  15t  50  0 . Решим полученное квадратное уравнение, используя теоt  t 2  15

t1  t 2  50
рему Виета:  1
t1  5
t 2  10
.
Так как оба корня этого уравнения отрицательны, то данное биквадратное уравнение
корней не имеет.
Ответ: решений нет.
Пример 2. Решить уравнение ( x 2  x  1) 2  3x 2  3x  1  0 .
Решение. Так как наивысшая степень переменной в этом уравнении равна 4, то имеем
уравнение 4-ой степени. Для решения уравнения используем тоже метод введения
нового переменного, но прежде чем ввести новую переменную, преобразуем данное
уравнение. Слева в уравнении прибавим и отнимем 3, сгруппируем слагаемые, содержащие множитель (-3) и вынесем его за скобку: ( x 2  x  1) 2  3( x 2  x  1)  2  0 .
Введем новую переменную t  x 2  x  1, получим уравнение t 2  3t  2  0 . Найдем
корни полученного уравнения, используя теорему Виета: t1  1 , t 2  2 . Так как оба полученных корня положительны, то корни первоначального уравнения находим из
уравнений 1  x 2  x  1, 2  x 2  x  1 . Приведем уравнения к стандартному виду:
x 2  x  0 , x 2  x  1  0 . Из первого уравнения находим: x1  0, x2  1 ;из второго урав1  5
1  5
, x4 
.
2
2
1  5
1  5
, x4 
Ответ: x1  0, x2  1 , x3 
.
2
2
нения имеем x3 
2. Возвратные уравнения
Рассмотрим уравнения:
x 3  3x 2  3x  1  0 , 3x 4  7 x 3  x 2  7 x  3  0 ,
 x 3  5x 2  5x 1  0 .
Все три уравнения объединяет то, что коэффициенты равноотстоящие от начала и
конца левой части уравнения равны. Такие уравнения называются возвратными.
Рассмотрим методы решения возвратных уравнений 3-ей и 4-ой степени. В общем виде возвратное уравнение 3-ей степени имеет вид
ax 3  bx 2  bx  a  0
…………………..(3)
Сгруппируем первый и последний, второй и третий члены, вынесем общие множители, тем самым, разложив левую часть уравнения (3) на множители:
ax 3  bx 2  bx  a  a( x 3  1)  bx( x  1)  a( x  1)( x 2  x  1)  bx( x  1)  ( x  1)( ax 2  ax  a  bx) 
( x  1)( ax 2  (b  a) x  a).
Тогда уравнение (3) примет вид ( x  1)(ax 2  (b  a) x  a)  0 , полученное уравнение
равносильно совокупности двух уравнений x  1 0 , ax 2  (b  a) x  a  0 , решая первое
уравнение получаем один из корней уравнения (3) x1  1 , другие корни, если они
есть, находят, решая второе уравнение. Заметим, что (-1) является корнем любого
возвратного уравнения 3-ей степени.
Рассмотрим возвратное уравнение 4-ой
ax 4  bx 3  cx 2  bx  c  0 …………………..(4)
Так как a  0 , то x  0 не является корнем этого уравнения. Поэтому, если разделить
обе части уравнения на x 2 , то получим уравнение:
1  
1

a x 2  2   b x    c  0 , равносильное данному.
x
x  

Полученное уравнение можно решить уже знакомым нам методом замены перемен2
ной. Пусть x 
что x 2 
1
1
1 1
1

 t , тогда t 2   x    x 2  2  x   2  x 2  2  2 , откуда получаем,
x
x x
x
x

1
 t 2  2 и уравнение (4) примет вид a(t 2  2)  bt  c  0 . Решив это уравне2
x
ние, найдем его корни t1 и t 2 . Теперь чтобы найти корни уравнения (4) необходимо
1
1
 t1 и x   t 2 .
x
x
4
Пример 3. Решить уравнение 6 x  5 x 3  38 x 2  5 x  6  0
решить два уравнения x 
Решение. Имеем возвратное уравнение 4-ой степени. Разделим обе части уравнения
на x 2 , проведем группировку слагаемых и вынесем общие множители за скобки, получим уравнение
1
1  
1

6 x 2  2   5 x    38  0 . Введем новую переменную x   t ,
x
x
x  

1
 t 2  2 , подставляя новую переменную в уравнение, получим уравнение:
2
x
10
5
6t 2  5t  50  0 . Решая это уравнение, получим t1   , t 2  . Для нахождения кор3
2
1
10
ней первоначального уравнения решим дробно-рациональные уравнения x    ,
x
3
1 5
x   , решение которых сводится к решению двух квадратных уравнений
x 2
2
3x  10 x  3  0 , 2 x 2  5 x  2  0 . Корни этих уравнений являются корнями первона1
1
чального уравнения: x1  3 , x2   , x3  2 , x 4  .
3
2
1
1
Ответ: x1  3 , x2   , x3  2 , x 4  .
3
2
тогда x 2 
3. Системы алгебраических уравнений
Напомним, что несколько уравнений образуют систему уравнений, если ставится задача о нахождении таких значений переменных, которые являются решениями каждого из уравнений. Если система содержит две переменные, то решением системы будет упорядоченная пара чисел, если система содержит три переменные, то
решением системы будет упорядоченная тройка чисел. Решить систему уравнений –
означает найти все ее решения.
Процесс решения системы уравнений, как и процесс решения уравнения, состоит в последовательном переходе с помощью некоторых преобразований от данной
системы к более простой. Обычно пользуются преобразованиями, которые приводят к
равносильной системе, в этом случае не требуется проверка найденных решений. Если же были использованы неравносильные преобразования, то обязательна проверка
найденных решений. Рассмотрим некоторые способы решения систем уравнений, в
которых, по крайней мере, одно из уравнений не является линейным.
3.1. Метод подстановки.
Основная идея этого метода состоит в выражении одного неизвестного через
другое и подстановки его в оставшееся уравнение системы. Если сразу выразить одно
переменное через другое затруднительно, или подстановка такого выражения приведет к сложному уравнению, то предварительно преобразуют уравнения системы.
 x  y  1,
Пример 4. Решить систему уравнений 
2
2
 x  y  41.
Решение. Выразив х из первого уравнения системы и подставив во второе, получим
 x  y  1,
равносильную систему 
2
2 y  2 y  40  0.
…………………………………(1)
Решая второе уравнение системы (1), находим два значения переменной у:
y1  4, y2  5 , подставляя эти значения в первое уравнение системы (1), получаем два
значения переменной х: x1  5, x2  4 .
Ответ: (5; 4),(-4; -5).
2 x  3 y  xy  4
3x  y  3xy  3
Пример 5. Решить систему уравнений 
Решение. Сразу выразить одну переменную через другую в данном случае затруднительно, мешает слагаемое ху. Чтобы избавиться от этого слагаемого умножим первое
уравнение системы на 3 и сложим со вторым уравнением. При этом получим равно2 x  3 y  xy  4,
……………..(2)
9 x  8 y  15.
15  8 y
Из второго уравнения получаем: x 
. Подставив это выражение в первое урав9
15  8 x
15  8 y
 3y  y
 4 . Преобразовав его,
нение системы (2) получим уравнение 2
9
9
получим квадратное уравнение относительно у: 4 y 2  13 y  3  0 . Корни этого уравне1
13
ния y1  3, y 2   , подставим в формулу для х, и получим x1  1, x2  .
4
9
сильную систему уравнений 
Ответ: (-1; -3),(13/9; -1/4).
 x 2 ( x  y )  80,
 x 2 (2 x  3 y )  80.
Пример 6. Решить систему уравнений 
Решение. В левых частях уравнений системы стоят произведения двух сомножителей,
а справа число отличное от нуля, поэтому, очевидно, ни один из сомножителей левых
частей уравнений не может быть равен нулю. Таким образом, получаем, что x  0 и
3
2 x  3 y  0  x   y . Разделим первое уравнение системы на второе почленно, в силу
2
 x y
 1,

сделанного выше замечания, получим равносильную систему  2 x  3 y
. Выра2
 x ( x  y )  80.

зим из первого уравнения полученной системы выразим х: x  4 y . Подставим это значение во второе уравнение системы и найдем y  1 , тогда x  4.
Ответ: (4; 1).
3.2. Метод алгебраических преобразований уравнений системы.
Фактически этот метод мы уже применяли (примеры 5, 6). Рассмотрим его более подробно. Уравнения системы можно почленно складывать, вычитать, умножать
на число, перемножать, делить, соблюдая при этом возможность выполнения таких
преобразований. Заметим, что полученные в результате этих преобразований системы, могут быть неравносильны первоначальным, поэтому после нахождения решений
полученных систем необходимо сделать проверку.
(13 x 4 y 8  6 x 2  6 y 4 ) xy 2  356
Пример 7. Решить систему уравнений:  4 8
(5 x y  6 x 2  6 y 4 ) xy 2  100
Решение. 1. Имеем систему 8-ой степени относительно переменной у и 4-ой степени,
относительно переменной х. Чтобы решить систему необходимо понизить степени
неизвестных.
2. Заметим, что правые части в уравнениях системы есть произведения сомножителей, а левые - отличные от нуля числа, поэтому сомножители в левой части уравнений обязаны быть отличны от нуля.
3. Вычтем почленно из первого уравнения системы второе и в левой части полученного уравнения вынесем общий множитель за скобки, приведя подобные члены в
скобках. В результате получим систему уравнений, состоящую из полученного таким
образом уравнения и, например, второго уравнения первоначальной системы, которая
будет
равносильна
данной
системе:
 x 5 y10  32
 4 8
(5 x y  6 x 2  6 y 4 ) xy 2  100
y2  2
 y 2  2
x

x


24
2
4
 x  5 x 2  4  0
160  12 x  2  100  0
x

(равносильность будет выполняться ввиду замечания 2).
4. Второе уравнение системы решим как биквадратное: x1  2, x2  2, x3  1, x4  1 , и,
подставив полученные значения в первое уравнение последней системы, получим четыре квадратных уравнения, два из которых решений не имеют ( в левой части квадрат, а в правой отрицательное число). Решим два оставшихся уравнения и найдем
значения второй переменной: y1  1 , y2  1 , y3  2 , y 4   2 .

 

Ответ: (2; 1); (2; -1); 1; 2 ; 1; 2 .
3.3. Метод разложения на множители.
Рассмотрим применение этого метода к системам двух уравнений с двумя неизвестными. Метод разложения на множители применяется в том случае если в одном
или в обоих уравнениях системы в левой части уравнения стоит некоторый многочлен, а в правой части нуль. Тогда разлагая левую часть такого уравнения на множители, мы получим уравнение вида f1 ( x, y)  f 2 ( x, y)  0 ……………(1)
(заметим, что
сомножителей в левой части уравнения может быть и больше). Известно, что уравнение такого вида равносильно совокупности уравнений
и
f1 ( x, y)  0
f 2 ( x, y)  0 …………………(2), а значит, первоначальная система равносильна совокупности двух систем, в которых вместо уравнения вида (1) стоят соответственно
уравнения (2). Такой прием в большинстве случаев позволяет понизить степень переменных, входящих в уравнение.
 x 8 y 6  64
Пример 8. Решить систему уравнений:  6 8
 x y  256
Решение. 1. Перенесем числа, стоящие в левых частях уравнений в правые части, по x 8 y 6  64  0
лучим систему  6 8
……………………………….(3)
 x y  256  0
2. Используя формулу разности квадратов, разложим левые части уравнений системы
(3) на множители, в результате чего, уравнения системы примут вид (2). Тогда система (3) будет равносильна совокупности четырех систем.
 x 4 y 3  8  0
;
 3 4
 x y  16  0
 x 4 y 3  8  0
 x 4 y 3  8  0
 x 4 y 3  8  0
;
; 
 3 4
 x y  16  0  x 3 y 4  16  0  x 3 y 4  16  0
4. Решим каждую из полученных систем: выразим из первого уравнения системы переменную у, и подставим это выражение во второе уравнение системы:
2

y  3 4
x


16
x3 
3

x4

 
4
 16
. Второе уравнение системы зависит от одной переменной, решая его
получаем x1  1, подставляя полученное значение в первое уравнение, находим y1  2 .
Аналогично решаем оставшиеся три системы и находим: x2  1, y2  2 ; x3  1, y3  2 ;
x4  1, y2  2 .
Ответ: (1; 2); (-1; 2); (1; -2); (-1; -2).
3.4. Метод введения новых переменных.
Этот метод широко используется как для решения уравнений, так и для решения систем уравнений. Как и при решении уравнений, суть метода заключается в следующем: ввести новую переменную так, чтобы уравнения системы были более простыми относительно новой переменной.
( x  y ) 2  2 x  35  2 y
Пример 9. Решить систему уравнений 
( x  y ) 2  2 y  3  2 x
( x  y ) 2  2( x  y )  35  0
Решение. 1. Перепишем систему в виде 
……………….(1)
( x  y ) 2  ( x  y )  3  0
Первое уравнение этой системы зависит от ( x  y ) , второе уравнение – от ( x  y ) .
2. Введем новые переменные x  y  u и x  y  v , тогда получим новую систему двух
квадратных уравнений, каждое из которых содержит только одну переменную:
u 2  2u  35  0
. Решая каждое уравнение этой системы, получим: u1  7, u2  5 и
 2
v  2v  3  0
v1  3, v2  1 .
3. Делая обратную подстановку, получим что система (1) равносильна совокупности
 x  y  7
;
 x  y  3
четырех систем: 
 x  y  7
;

x  y  1
x  y  5
;

 x  y  3
x  y  5
.

x  y  1
4. Решая каждую из этих систем, например, методом алгебраического сложения, получим четыре пары решений первоначальной системы.
Ответ: (-5; 2); (-3; 4); (1; 4); (3; 2).
3.5. Графический метод.
Чтобы решить графически систему уравнений надо: 1) построить графики
уравнений, входящих в систему, в координатной плоскости; 1) найти точки пересечения этих графиков и определить их координаты; 3) найденные координаты точек пересечения проверить подстановкой в систему. Графический метод удобно применять
только в том случае, когда после несложных преобразований уравнений системы
можно без затруднений построить их графики.
Напомним:1) графиком уравнения y  kx  b является прямая; 2) графиком уравнения y  ( x  a) 2  b является парабола, полученная сдвигом параболы y  x 2 на a
единиц вправо по оси Ох, если a  0 и на a единиц влево по оси Ох, если a  0 и сдвигом на b единиц вверх по оси Оу, если b  0 и на b единиц вниз по оси Оу, если
b  0 ; 3) графиком уравнения ( x  a) 2  ( y  b) 2  r 2 является окружность, с центром в
точке с координатами (a, b) и радиусом r , в частности уравнение x 2  b 2  r 2
определяет окружность с центром в начале координат; 4) графиком уравнения
y  x является «галочка», крылья которой являются биссектрисами первого и второго
координатных углов (рис.1); 4) графиком уравнения y  x  a  b является «галочка»,
полученная из y  x сдвигом на a единиц вправо по оси Ох, если a  0 и на a единиц влево по оси Ох, если a  0 и сдвигом на b единиц вверх по оси Оу, если b  0 и
на b единиц вниз по оси Оу, если b  0 .
 x 2  y 2  12  4 x  6 y,
Пример 10. Решить графически систему уравнений: 
……….(1)
 y  x  2  4.
Решение. 1. Преобразуем уравнения системы: в первом - перенесем все члены из правой части в левую и выделим два полных квадрата относительно х и относительно у,
во втором - уединим переменную у:
( x 2  4 x  4)  ( y 2  6 y  9)  1  0


 y  4  x  2
( x 2  2) 2  ( y 2  3) 2  1

 y  4  x  2
.
2. Построим графики обоих уравнений: графиком первого уравнения будет окружность с центром в точке с координатами (2; 3) и радиусом 1; чтобы получить график
второго уравнения системы сдвинем график уравнения y  x на две единицы вправо вдоль оси Ох, построим симметричный ему относительно оси Ох и сдвинем его на
4 единицы вверх вдоль оси Оу.
3. Найдем координаты точек пересечения графиков: А(1; 3); В(3; 3); С(2; 4) . Подстановкой этих значений в систему (1) убеждаемся, что они являются решениями данной
системы.
Ответ: (1; 3); (3; 3); (2; 4).
Задачи для самостоятельного решения.
Ниже приводятся тексты заданий для самостоятельного решения. Вам необходимо решить эти задачи, оформить решения отдельно от решений по другим
предметам и выслать в адрес Хабаровской краевой заочной физико-математической
школы.
Решить уравнения:
М9.11.1. x 4  8 x 2  9  0
М9.11.4. 3x 3  7 x 2  7 x  3  0
М9.11.2. x 8  15 x 4  16  0
М9.11.5. x 4  2 x 3  x 2  2 x  1  0
М9.11.3.
( x 2  2 x  5) 2  2( x 2  2 x  3)  4  0
Решить системы уравнений:
 xy  2,
М.9.11.6.  2
2
9 x  y  13.
( x  xy2  y 2 )( x  y 2 ) 2  225,
М9.11.8. 
( x  xy2  y 2 )( x  y 2 ) 2  25
 x 2  y  2
М9.11.7.  2
 y  x  2
 x 3  y 3  19( x  y ),
М9.11.9.  3
 x  y 3  7( x  y ).
1
 1
 x  y  x  y  2,

М9.11.10. 
 3  4 7
 x  y x  y
 x 2  y 2  9,
М9.11.11. Решить систему уравнений графически: 
 x  y  3