“Если вы действительно любите математику, читайте Эйлера

Западный административный округ
ГОУ СОШ №1741
____________________________________________________________________
Леонард Эйлер
Исследовательская работа учащийся ГОУ СОШ №1741:
Гороховой Марии
Научный руководитель:
Козлова Н.Н.
Москва 2011
2
“Если вы действительно любите математику, читайте Эйлера; изложение
его сочинений отличается удивительной ясностью и точностью”
П. С. Лаплас.
Леонард Эйлер родился 4 апреля 1707 года в городе Базель. Он был самым
плодовитым математиком восемнадцатого столетия, если только не всех
времен. Его отец изучал математику под руководством Якоба Бернулли, а
Леонард – под руководством Иоганна. Когда в 1725 году сын Иоганна Николай
уехал в Петербург, молодой Эйлер последовал за ним и оставался в
Петербургской академии до 1741 года. С 1741 по 1766 год Эйлер находился в
Берлинской академии под особым покровительством Фридриха II, а с 1766 до
1783 года он снова в Петербурге, теперь уже под эгидой императрицы
Екатерины. Он был дважды женат и имел тринадцать детей. Жизнь этого
3
академика восемнадцатого столетия была почти целиком посвящена работе в
различных областях чистой и прикладной математики. Хотя он потерял в 1735
году один глаз, а в 1766 году- второй, ничто не могло ослабить его огромную
продуктивность. Слепой Эйлер, пользуясь соей феноменальной памятью,
продолжал диктовать свои открытия. Умер Эйлер 7 сентября 1783 года и
похоронен на Смоленском евангелическом кладбище в Петербурге.
В течение его жизни свет увидел 530 его книг и статей; умирая, он оставил
много рукописей, которые Петербургская академия публиковала в течение
последующих 47 лет.
Формула Эйлера
Формула Эйлера названа в честь Леонарда Эйлера, который её ввёл, и
связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями.
Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа x
выполнено следующее равенство:
4
где e — основание натурального логарифма,
i — мнимая единица.
При помощи формулы Эйлера можно определить функции sin и cos следующим
образом:
Далее можно ввести понятие тригонометрических функций комплексной
переменной. Пусть x = iy, тогда:
Известное тождество Эйлера, связывающее пять фундаментальных
математических констант:
eiπ + 1 = 0
является частным случаем формулы Эйлера при x = π.
Благодаря формуле Эйлера появилась так называемая тригонометрическая и
показательная запись комплексного числа:
Также значительным следствием можно считать формулы возведения
комплексного числа в произвольную степень:
5
Геометрический смысл данной формулы следующий: при возведении числа x в
степень n его расстояние до центра возводится в степень n, а угол поворота
относительно оси OX увеличивается в n раз.
Формула возведения в степень верна не только для целых n, но и для
действительных. В частности, комплексная запись числа позволяет находить
корни любой степени из любого комплексного числа, что и используется при
доказательстве основной теоремы алгебры: «Многочлен степени n имеет ровно
n комплексных корней».
Формула Эйлера предоставляет связь между математическим анализом и
тригонометрией, а также позволяет интерпретировать функции синуса и
косинуса как взвешенные суммы экспоненциальной функции:
Вышеуказанные уравнения могут быть получены путем сложения или
вычитания формул Эйлера:
с последующим решением относительно синуса или косинуса.
6
Также эти формулы могут служить определением тригонометрических
функций комплексной переменной. Например, выполняя подстановку x = iy,
получаем:
Комплексные экспоненты позволяют упростить тригонометрические расчеты,
поскольку ими проще манипулировать, нежели синусоидальными
компонентами. Один из подходов предусматривает преобразование синусоид в
соответствующие экспоненциальные выражения. После упрощения, результат
выражения остается действительным. Например:
Суть другого подхода в представлении синусоид в качестве действительных
частей комплексного выражения и проведения манипуляций непосредственно с
комплексным выражением. Например:
7
Данная формула используется для рекурсивного вычисления значений cos(nx)
для целых значений n и произвольных значений x (в радианах).
Доказательство формулы Эйлера достаточно тривиально. Разложим функцию
eix в ряд Тейлора по степеням x. Получим:
Но
Поэтому
ч. т. д.
Тождество Эйлера
8
Тождество Эйлера — известное тождество, связывающее пять
фундаментальных математических констант:
где
e — число е, или основание натурального логарифма,
i— мнимая единица,
п— пи, отношение длины окружности к длине ее диаметра,
1— единица, нейтральный элемент по операции умножения,
0 — ноль, нейтральный элемент по операции сложения.
Тождество Эйлера иногда называют уравнением Эйлера.
Тождество Эйлера — это особый случай формулы Эйлера из комплексного
анализа:
для любого действительного x. (Заметим, что аргументы тригонометрических
функций sin и cos взяты в радианах). В частности
А из того, что
и
9
следует
что дает тождество
Гипотеза Эйлера
Гипотеза Эйлера утверждает, что для любого натурального числа n > 2 никакую
n-ю степень натурального числа нельзя представить в виде суммы (n − 1) n-х
степеней других натуральных чисел. То есть, уравнения:
не имеют решения в натуральных числах.
Гипотеза была высказана в 1769 Эйлером как обобщение великой теоремы
Ферма, которая соответствует частному случаю n=3. Таким образом, гипотеза
Эйлера верна для n=3. Однако, в 1966 Л. Ландер и Т. Паркин нашли первый
контрпример для n=5:
10
275 + 845 + 1105 + 1335 = 1445.
В 1988 Элкис нашёл контрпример для случая n = 4:
26824404 + 153656394 + 187967604 = 206156734.
Позже Роджер Фрай нашёл наименьший контрпример для n = 4:
958004 + 2175194 + 4145604 = 4224814.
Для n=6 гипотеза Эйлера по-прежнему остается открытой проблемой.
Окружность Эйлера
В геометрии треугольника окружность девяти точек — это окружность,
проходящая через середины всех трёх сторон треугольника. Она также
называется окружностью Эйлера, окружностью Фейербаха, окружностью
шести точек.
Окружность девяти точек получила такое название из-за следующей
теоремы:
Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его
сторон и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с
ортоцентром, лежат все на одной окружности.
11
Окружность девяти точек обладает ещё целым рядом свойств:
1. Центр окружности девяти точек лежит на прямой Эйлера, точно в
середине отрезка между ортоцентром и центром описанной окружности.
2. Радиус окружности девяти точек равен половине радиуса описанной
окружности. Более того, описанная окружность есть образ окружности
девяти точек относительно гомотетии с центром в ортоцентре и
коэффициентом 2.
3. Окружность девяти точек произвольного треугольника касается
вписанной и всех трёх вневписанных окружностей этого треугольника.
Комплексная функция
Комплексная функция делится на два вида функций :
Комплексозначная функция
— функция вещественного переменного, имеющая комплексные значения:
Такая функция может быть представлена в виде
где
и
— вещественные функции. Функция
вещественной частью функции
,а
Функция комплексного переменного
называется
— её мнимой частью.
12
Такими функциями занимается отдельная область математического анализа —
теория функций комплексного переменного или комплексный анализ.
Функция также может быть представлена в виде
однако имеется более глубокая связь между u и v. Например, для того, чтобы
функция f(z) была дифференцируема, должны выполняться условия Коши —
Римана:
Однородная функция
Однородная функция степени q — числовая функция
для любого
и
такая, что
выполняется равенство:
причём q называют порядком однородности.
Различают также

положительно однородные функции, для которых равенство ( * )
выполняется только для положительных λ (λ > 0)

абсолютно однородные функции для которых выполняется равенство
Свойства:
13
1. Если функция f является многочленом от n переменных, то она будет
однородной функцией степени q в том и только в том случае, когда f —
однородный многочлен степени q, в частности в этом случае q должно
быть целым.
2. Однородная функция в нуле равна нулю, если она там определена:
3. Лемма Эйлера. Однородные функции пропорциональны скалярному
произведению своего градиента на вектор своих переменных с
коэффициентом равным порядку однородности:
Доказывается дифференцированием равенства (*) по λ при λ = 1.
Гауссов интеграл
Впервые одномерный гауссов интеграл вычислен в 1729 году Эйлером,
затем Пуассон нашел простой приём его вычисления, в связи с чем и получил
название интеграла Эйлера — Пуассона.
Га́уссов интегра́л (также интеграл Э́йлера — Пуассо́на или интеграл
Пуассона) — интеграл от гауссовой функции:
14
Гауссовы интегралы от масштабированной гауссовой функции
и многомерные гауссовы интегралы
элементарно сводятся к обычному одномерному, описанному первым (здесь и
ниже везде подразумевается интегрирование по всему пространству).
То же относится к многомерным интегралам вида
где x — вектор, а M — симметричная матрица с отрицательными собственными
числами, так как такие интегралы сводятся к предыдущему, если сделать
преобразование координат, диагонализующее матрицу М.
Постоянная Эйлера — Маскерони
Постоянная Э́йлера — Маскеро́ни или постоянная Эйлера —
математическая константа, определяемая как предел разности между
частичной суммой гармонического ряда и натуральным логарифмом
числа:
15
Константа введена в 1735 году Леонардом Эйлером, он же предложил
для неё обозначение C, которое до сих пор иногда применяется.
Итальянский математик Лоренцо Маскерони в 1790 году вычислил 32
знака константы и предложил современное обозначение γ (греческая
буква «гамма»).
Значение константы:
γ ≈ 0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992
35988 05767 23488 48677 26777 66467 09369 47063 29174 67495…
В теории чисел нередко используется константа
eγ ≈ 1,78107 24179 90197 98523 65041 03107 17954 91696 45214
30343…
Свойства:
Постоянная Эйлера может быть выражена как интеграл:
, где
— дробная часть числа t.
Также она выражается через производную гамма-функции:
γ = − Γ'(1).
До сих пор не выявлено, является ли это число рациональным. Однако
теория цепных дробей показывает, что если постоянная Эйлера —
рациональная дробь, её знаменатель больше 10242080.
Дзета-функция Римана
Как функция вещественной переменной, дзета-функция была введена в
1737 году Эйлером, который и указал её разложение в произведение. Затем эта
16
функция рассматривалась Дирихле и, особенно успешно, Чебышёвым при
изучении закона распределения простых чисел. Однако наиболее глубокие
свойства дзета-функции были обнаружены позднее, после работы Римана
(1859), где дзета-функция рассматривалась как функция комплексной
переменной.
П.Г.Лежён-Дирихле
П.Л.Чебышёв
Георг Фридрих Бернхард Риман
Дзета-функция Римана
определяется с помощью ряда Дирихле:
17
где
. В области
, этот ряд сходится, является
аналитической функцией и допускает аналитическое продолжение на всю
комплексную плоскость без единицы. В исходной области также верно
представление в виде бесконечного произведения (тождество Эйлера)
,
где произведение берётся по всем простым числам .
Свойства:
1)
Существуют явные формулы для значений дзета-функции в чётных
целых точках:
, где
В частности,
2)
— число Бернулли
.
Про значения дзета-функции в нечётных целых точках известно мало:
предполагается, что они являются иррациональными и даже
трансцендентными , но пока доказана только лишь иррациональность
18
числа
(Роже Апери, 1978). Также доказано, что среди значений
ζ(5),ζ(7),ζ(9),ζ(11) есть хотя бы одно иррациональное (В. В. Зудилин,
2001).
3)
При
o
o
, где
— функция Мёбиуса
, где
—число делителей числа
, где
o
имеет в точке
4)
5)
— число простых делителей числа
простой полюс с вычетом, равным 1.
Дзета-функция при
удовлетворяет уравнению:
,
где
—Гамма-функция Эйлера. Это уравнение называется
функциональным уравнением Римана.
6)
Для функции
,
введенной Риманом для исследования
Римана, это уравнение принимает вид
и называемой кси-функцией
19
Нули дзета-функции
Как следует из функционального уравнения Римана, в полуплоскости
, функция ζ(s) имеет лишь простые нули в отрицательных
чётных точках:
. Эти нули
называются «тривиальными» нулями дзета-функции. Далее
вещественных
при
. Таким образом, согласно гипотезе Римана, все
«нетривиальные» нули дзета-функции являются комплексными числами,
обладают свойством симметрии относительно вещественной оси и
относительно вертикали
и лежат в полосе
,
которая называется критической полосой, то есть находятся на прямой 1
/ 2 + it.
Вывод
Не будет преувеличением сказать, что за последние годы в области
«эйлероведения» сделано больше, чем за весь XIX век. При этом подверглись
основательному пересмотру многие оценки и взгляды, которые приобрели силу
традиции. Но изучению геометрического наследия Эйлера уделялось мало
внимания. Аналитический гений Эйлера прославляли все, кто о нем писал, и
прославляли по заслугам. Зато в тени оставалось многое другое. “Он перестал
вычислять и жить” — так говорит о его кончине Кондорсе. Как обычно в XVIII
веке, Кондорсе называет Эйлера геометром — слово математик не было тогда в
ходу, — но меньше всего он имеет при этом в виду геометрическое зрение,
геометрическую изобретательность в нашем понимании. Через полтора века
после Кондорсе и Фуса — авторов первых
общих характеристик Эйлера-ученого — его знаток и почитатель Н. Н. Лузин
находит яркие краски для портрета Эйлера, но именно Эйлера—виртуоза
аналитической выкладки, чувствующего живую плоть формулы. Такая
20
односторонняя характеристика Эйлера-математика господствует. Когда к
двухсотлетию со дня его рождения вышел сборник работ о нем немецких
ученых, об Эйлере-геометре там было сказано очень мало. В первой
(математической) серии полного собрания сочинений Эйлера тома с
геометрическими работами выходят последними — доказательство того, что
эта сторона его творчества до недавнего времени меньше всего привлекала
внимание. Такой перечень нетрудно продолжить. Насколько это оправдано
фактами? Как - никак, а геометрическим работам Эйлера отведено пять томов
первой серии Opera omnia (учитываем при этом второй том «Введения в
анализ»). По объему это составляет примерно 20% всех его математических
работ, больше чем, скажем, работы по теории чисел, которых никто, кажется,
из тех, кто писал об Эйлере не обходил. Чтобы правильно определить удельный
вес геометрии в наследии Эйлера, к этим пяти томам надо добавить многие из
его работ по теоретической механике, оптике, техническим дисциплинам, да и
ряд работ, отнесенных к разделу анализа, имеет предметом геометрические
вопросы. Но оставим эти, так сказать, количественные прикидки, обратимся к
результатам, полученным Эйлером в геометрии. Тогда мы убедимся, что
Эйлеру принадлежат первоклассные достижения в дифференциальной
геометрии, в теории алгебраических кривых, первые существенные открытия в
топологии.
21
Список использованной литературы:
1. Д.Я. Стройк «Краткий очерк истории математики»; Издательство: ИПКО
«Наука» 1992 г.
2. В.В. Котек «Леонард Эйлер»; Издательство: «УЧПЕДГИЗ» 1961 г.
3. Я.И. Хургин «Ну и что?»; Издательство: ЦК ВЛКСМ «Молодая гвардия»
1967 г.
4. Ф. Павленков «Библиотека Флорентия Павленкова»; Издательство:
«Жизнь Замечательных Людей» 1997 г.
5. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк «Аналитическая геометрия»; Издательство:
«Наука» 1971 г.
6. Т.С. Полякова «Леонард Эйлер и математическое образование в России»;
Издательство: « Ком Книга» 2007 г.