§ 1. Вычисление пределов 1.1. Основные теоретические положения 1.2. Раскрытие неопределенностей вида

§ 1. Вычисление пределов
1.1. Основные теоретические положения
1.2. Раскрытие неопределенностей вида  
1.3. Раскрытие неопределенностей вида   
1.4. Раскрытие неопределенностей вида 0/ 0
1.1. Основные теоретические положения. Вычисление пределов опирается
на свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций и основные теоремы об арифметических действиях с пределами. Используется также один из известных замечательных пределов:
sin x
(1.1.)
lim
1
x 0
x
Следует учитывать и теорему о пределе сложной функции. В частности, в силу этого утверждения
sin u( x)
(1.2)
lim
 1, если при этом u( x)  0.
xa u ( x)
Пусть lim f ( x)  A , lim g ( x)  B . При вычислении предела алгебраической
x a
x a
суммы функций возможны ситуации:
1) если A и B – конечные числа, тогда lim  f ( x)  g ( x)   A  B (по теореме о
x a
пределе алгебраической суммы);
2) если один из пределов (A или B) конечен, а другой является одним из бесконечных символов, то lim  f ( x)  g ( x)    (в силу свойств бесконечно больших
x a
функций);
3) в случае, когда f(x) и g(x) – бесконечно большие функции одного знака, то
lim  f ( x)  g ( x)    ; если же f(x) и g(x) – бесконечно большие функции разных
x a
знаков, то ничего конкретного (в общей ситуации) утверждать нельзя, поэтому
говорят о неопределенности вида    , требующей дополнительного исследования.
Вычисляя предел произведения функций, необходимо учитывать следующее:
1) если A и B – конечные числа, то lim f ( x) g ( x)  AB (по теореме о пределе
xa
произведения);
2) если один из пределов (A или B) конечен и отличен от нуля(!), а другой является одним из бесконечных символов, то lim f ( x) g ( x)   (по свойству бескоxa
нечно больших функций);
3) если один из пределов равен нулю, а второй является одним из бесконечных символов, то говорят о неопределенности вида 0   .
2
Наконец, при вычислении пределов частного применяются такие правила:
f ( x) A
1) если A и B – конечные числа, причем B0, то lim
 (по теореме о
x a g ( x )
B
пределе частного);
f ( x)
2) если A и B – конечные числа, причем A0, B=0, то lim
  (так как
xa g ( x)
функция 1/g(x) при этом является бесконечно большой при x  a и остается воспользоваться свойствами бесконечно больших функций);
f ( x)
3) если A   , а B – любое конечное число, то lim
  , а если B   , а А
xa g ( x)
f ( x)
– любое конечное число, то lim
 0 (в силу свойств бесконечно больших
xa g ( x)
функций);
4) наконец, если A=B=0, то говорят о неопределенности вида 0 0 , а если A и
B – бесконечные символы, то о неопределенности вида   .
1.2. Раскрытие неопределенностей вида   . В данном случае в числителе
и знаменателе рекомендуется вынести за скобки слагаемое, которое растет быстрее других (для многочленов, в частности, это слагаемое, имеющее старшую степень). В результате алгебраическая сумма представляется в виде произведения
бесконечно большой функции на функцию, имеющую конечный и отличный от
нуля предел.
n2  3n  4
Пример 1.1. Вычислить lim
.
4
n
n 1  2
Решение. Предел последовательности можно рассматривать как частный случай предела функции. Очевидно, что в силу свойств бесконечно больших функций
n 4  1  2   и n2  3n  4   . Поэтому имеем неопределенность
при n  
вида   . Проведем подготовительные преобразования:
n4  1  2  n4 (1 

1
1
2
2
)

2

n
1



;
n4
n4 n2 

 3 4
n 2  3n  4  n 2 1   2  .
 n n 
Далее получаем:
 3 4
3 4
n 2 1   2 
1  2
n  3n  4
 n n   lim
n n  1.
lim
 lim
4
n
1
2
1
2  n
n  1  2 n 2 
1 4  2
n  1 4  2 
n
n
n
n 

Последнее равенство справедливо в силу теорем о пределе суммы и частного
функций с учетом того, что все слагаемые, кроме единиц, являются бесконечно
2
3
малыми (по теореме о связи между бесконечно большой и бесконечно малой
функциями).
1.3. Раскрытие неопределенностей вида    . Неопределенности такого
вида возникают, как правило, либо при исследовании разности двух дробей (в
этом случае рекомендуется приводить дроби к общему знаменателю), либо при
рассмотрении разности иррациональных выражений (для избавления от иррациональностей следует преобразовать исходное выражение либо к разности квадратов, либо к сумме или разности кубов). Далее задача сводится к рассмотренной
выше неопределенности вида   .
Пример 1.2. Вычислить lim
n 


n2  n  n .
Решение. В данном случае, чтобы раскрыть неопределенность    , необходимо умножить и разделить рассматриваемое выражение на «сопряженное», чтобы прийти к разности квадратов. Для a  b таким «сопряженным» является a b .
Таким образом, получаем:

lim  n  n  n   lim
2
n
n2  n  n

n

n2  n  n
n n n
2

  lim n  n  n
2
n
2
n2  n  n
 lim
n
n
n2  n  n
.
Таким образом, мы попали в ситуацию, разобранную при решении примера
1.1. Проведем соответствующие преобразования в знаменателе:
lim
n
n
n2  n  n
Итак, lim
n 

n
 lim
n
1
n2 (1  )  n
n
 lim
n
n

1 
n  1   1
n 

 lim
n
1
1
 .
2
1
1 1
n

n 2  n  n  1/ 2 .
1.4. Раскрытие неопределенностей вида 0 0 . В этой ситуации основная
цель преобразований – выделить в числителе и знаменателе множители вида (x-a)
(именно они при вычислении предела при x  a "обеспечивают" наличие неопределенности).
x2  9
Пример 1.3. Вычислить lim 2
.
x3 x  3x  18
Решение. Подставляя предельное значение x=3 в числитель и знаменатель,
получаем, что оба выражения обращаются при этом в нуль. Стоящие в числителе
и знаменателе многочлены можно разложить на множители, причем в числителе
достаточно воспользоваться формулой разности квадратов, а в знаменателе необходимо предварительно найти корни соответствующего квадратного трехчлена.
4
Следует помнить, что если x1 , x2 – корни квадратного трехчлена ax 2  bx  c , то
справедлива формула
ax 2  bx  c  a( x  x1 )( x  x2 ) ,
(1.3)
а для трехчлена x 2  bx  c выполняется равенство
x 2  bx  c  ( x  x1 )( x  x2 ) .
(1.4)
Таким образом, имеем:
lim
x 3
x2  9
( x  3)( x  3)
x 3 33 2

lim

lim

 .
x 2  3x  18 x3 ( x  3)( x  6) x3 x  6 3  6 3
6 x 2
x 2
x3  8
Решение. Подставляя предельное значение x=2 в числитель и знаменатель,
получаем, что оба выражения обращаются в нуль. Знаменатель представляет собой «сумму кубов», поэтому при разложении его на множители получаем:
x3  8  x3  23  ( x  2)( x 2  2 x  4) . После умножения числителя и знаменателя на
Пример 1.4. Вычислить lim
сопряженное числителю выражение
lim
x 2
6  x  2 , имеем:
6 x 2
( 6  x  2)( 6  x  2)
 lim

3
x 2 ( x  2)( x 2  2 x  4)( 6  x  2)
x 8
6 x4

x 2 ( x  2)( x 2  2 x  4)( 6  x  2)
1
1
1
 lim 2


x 2 ( x  2 x  4)( 6  x  2)
(4  4  4)( 6  2  2) 48
 lim
При вычислении пределов тригонометрических функций применяются «замечательные пределы» (1.1) и (1.2).
sin 4 x
tg (3x  6)
sin 3x  sin8 x
lim
Пример 1.5. Вычислить а) lim
; б) lim
;
в)
.
x 0
x 2
x 0
x
x2  4
x
Решение. В случае а) очевидно, что при x  0 4 x  0 и sin 4 x  0 . Чтобы
применить (1.2), необходимо получить в знаменателе выражение, совпадающие с
аргументом синуса. Для этого числитель и знаменатель умножаем на число «4»:
sin 4 x
4sin 4 x
sin 4 x
lim
 lim
 4lim
 4 1  4 .
x 0
x 0
x 0
x
4x
4x
5
Однако на практике оказывается полезной теорема, согласно которой в произведении и в частном эквивалентные функции (т.е. те, для которых выполняется
f ( x)
равенство lim
 1 ) можно заменять друг другом. В частности,
x a g ( x )
x sin x tgx при x  0 ; u( x) sin u( x) tgu( x) при x  a и u ( x)  0 . (1.5)
sin 4 x
4x
 lim  4 .
x 0
x 0 x
x
В случае б) знаменатель разложим на множители как «разность квадратов», а
в числителе воспользуемся одним из соотношений (1.5):
tg (3x  6)
tg (3x  6)
3( x  2)
3
3
lim 2
 lim
 lim
 lim
 .
x2
x2 ( x  2)( x  2)
x2 ( x  2)( x  2)
x2 ( x  2)
x 4
4
В задании в) необходимо сначала преобразовать числитель в произведение,
используя формулу разности синусов, а потом применить эквивалентные соотношения из (1.5), учитывая, что 11x / 2 при x  0 :
Поэтому решение а) можно записать в следующем виде: lim
sin 3 x  sin8 x
2sin(11x 2)cos( 5 x / 2)
 lim

x 0
x 0
x
x
2(11x / 2)cos(5 x / 2)
11x cos( 5 x / 2)
 lim
 lim
 11cos0  11.
x 0
x 0
x
x
lim