Тема 5. Производная функции

Тема 3. Функции одной переменной ........................................................................................2
3.1. Понятие функции. Основные свойства функции ............................................................2
Понятие функции одной переменной ..................................................................................2
Способы задания функций: ..................................................................................................2
Основные свойства функций ................................................................................................3
Сложная функция ..................................................................................................................4
Обратная функция .................................................................................................................4
Элементарная функция .........................................................................................................4
Тема 4. Пределы и непрерывность .........................................................................................5
4.1. Предел числовой последовательности .............................................................................5
4.2. Предел функции в бесконечности и в точке ....................................................................5
4.3. Бесконечно малые и бесконечно большие величины .....................................................6
Свойства бесконечно малых величин..................................................................................6
Свойства бесконечно больших величин..............................................................................7
Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами ........................7
4.4. Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела ..............................7
Признаки существования предела .......................................................................................8
4.5. Замечательные пределы .....................................................................................................8
4.6. Непрерывность функции .................................................................................................10
Свойства функций, непрерывных в точке.........................................................................11
Точки разрыва функции ......................................................................................................11
Свойства функций, непрерывных на отрезке ...................................................................11
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ .........................................................................12
Тема 5. Производная функции ................................................................................................12
5.1. Определение производной. Задачи, приводящие к понятию производной ................12
Задача о касательной ...........................................................................................................13
Задача о скорости движения ...............................................................................................13
5.2. Зависимость между непрерывностью функции и дифференцируемостью ................14
5.3. Правила дифференцирования. Производные элементарных функций .......................14
Производная сложной функции .........................................................................................14
Производные элементарных функций ...............................................................................16
Производные высших порядков.........................................................................................16
Тема 6. Приложения производной .........................................................................................16
6.1. Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Лопиталя .................17
6.2. Возрастание и убывание функции ..................................................................................19
6.5. Асимптоты графика функции. Исследование функций и построение их графиков ..22
Тема 3. Функции одной переменной
3.1. Понятие функции. Основные свойства функции
Понятие функции одной переменной
Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и то
же значение. Например, отношение длины окружности к ее диаметру есть
постоянная величина, равная числу  .
Переменной называется величина, которая может принимать различные
числовые значения. Например, при равномерном движении: s  vt , где s путь, t - время, v - параметр.
Определение. Если каждому элементу x множества X ( x  X ) ставится
в соответствие вполне определенный элемент y множества Y ( y  Y ), то
тогда говорят, что на множестве X задана функция y  f x .
При этом x называется независимой переменной (или аргументом), y зависимой переменной, а буква f обозначает закон соответствия.
Множество X называется областью определения (или существования)
функции, а множество Y - областью значений функции.
Если множество X специально не оговорено, то под областью
определения функции подразумевается область допустимых значений
независимой переменной x , т.е. множество таких значений x , при которых
функция y  f x существует.
Способы задания функций:
а) аналитический способ, если функция задана формулой вида y  f x .
Например, функция y  x 4  x 2  1 задана аналитически. Не следует,
однако, смешивать функцию с ее аналитическим выражением. Так,

x 2 , если x  0
y
 x  3, если x  0
2
выражения: x (при x  0 ) и x  3 (при x  0 ).
например, одна функция
имеет два аналитических
а1) неявный способ задания функции f(x,y)=0
Например x 2  y 2  1  0
б) табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей,
содержащей значения аргумента x и соответствующие значения функции
f x  , например, таблица логарифмов, гармонические функции и т.д.
y  sin x , y  ln x , y  cos x .
в) графический способ состоит в изображении графика функции множества точек x, y  плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента
x , а ординаты – соответствующие им значения функции y  f x :
Основные свойства функций
1) Четность и нечетность. Функция y  f x называется четной, если
для любых значений x из области определения f  x  f x и нечетной, если
f  x   f x . В противном случае функция y  f x называется функцией
общего вида.
Пример 3.1.
а) Функция y  x 2 четная (рис.3.3 а).
б) Функция
y  x3 нечетная (рис.3.3 б).
в) Функция y  x 2  x3 общего вида (рис.3.3 в).
2) Монотонность. Функция y  f x называется возрастающей
(убывающей) на промежутке X , если большему значению аргумента из этого
промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.
Пример 3.2.
1) Функция y  e x - на
интервале  ;  монотонно
возрастает
(рис.3.4а).
2) Функция y  log 1 3 х - на
интервале 0; монотонно
убывает (рис.3.4 б).
3) Ограниченность. Функция y  f x называется ограниченной на
промежутке X , если существует такое положительное число M  0 , что
f x   M для любого x  X . В противном случает функция называется
неограниченной.
4) Периодичность. Функция y  f x называется периодической с
периодом T  0 , если для любых x из области определения функции
f x  T   f x  .
Пример 3.3.
y  sin x , период
T  2 , sin x  2   sin x .
Сложная функция
Определение. Пусть y  f u  есть функция f от переменной u
(определена на U с областью значений Y ), а переменная u в свою очередь
является функцией u   x от переменной x (определена на X с областью
значений U ). Тогда заданная на множестве X функция y  f  x называется
сложной функцией (или композицией функций, суперпозицией функций,
функцией от функции).
Пример 3.4. y  ln sin x состоит из 2-х функций y  ln u, u  sin x .
Обратная функция
Функция
является обратной к функции
выполнены следующие тождества:
для всех
для всех
, если
Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение
относительно . Тогда говорят, что функция
обратима на интервале
Если оно имеет более чем один корень, то функции обратной к
существует.
Обратная функция функции обычно обозначается
не
Элементарная функция
Определение. Функции, построенные из основных элементарных
функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного
числа операций образования сложной функции, называются элементарными.
Пример 3.5.
1) y 
x  sin 2 x
3
x  52 x
2
 lg 3 x  1 - элементарная функция.
2) y  x - неэлементарная функция.
Тема 4. Пределы и непрерывность
4.1. Предел числовой последовательности
Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в
соответствие вполне определенное число an , то говорят, что задана
последовательность an  :
a1 , a2 ,, an , .
Другими словами, числовая последовательность - это функция
натурального аргумента: an  f n .
Числа a1 , a2 ,, an называются членами последовательности, а число an
общим или n -м членом данной последовательности.
Примеры числовых последовательностей:
1) 2, 4, 6, 8,, 2n,
2) 1, 0, 1, 0,
2
3
3) 2, 1, ,
1 2
2
, ,, ,
2 5
n
Рассмотрим
числовую
последовательность
2, 1,
2 1 2
2
, , ,, , ,
3 2 5
n
изобразив ее точками на числовой оси (рис.4.1):
Видно, что члены последовательности an с ростом n как угодно близко
приближаются к 0. При этом абсолютная величина разности an  0
становится все меньше и меньше.
A
Определение.
Число
называется
пределом
числовой
последовательности an  , если для любого, даже сколь угодно малого
положительного числа   0 , найдется такой N (зависящий от  ), что для
всех членов последовательности с номерами n  N верно неравенство
an  A   .
an  A .
Обозначают: nlim

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в
противном случае – расходящейся.
4.2. Предел функции в бесконечности и в точке
Определение. Число A называется пределом функции y  f x при x
стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого
положительного числа   0 , найдется такое положительное число S  0
(зависящее от  ), что для всех x таких что x  S , верно неравенство
f x   A   .
f x   A или f x   A при x   .
Обозначают: lim
x 
Определение. Число A называется пределом функции y  f x при x
стремящемся к x0 (или в точке x0 ), если для любого, даже сколько угодно
малого положительного числа   0 , найдется такое положительное число
  0 (зависящее от  ), что для всех x , не равных x0 и удовлетворяющих
условию x  x0   , выполняется неравенство f x  A   .
Обозначают: lim f x   A или f x  A при x  x0 .
x  x0
4.3. Бесконечно малые и бесконечно большие величины
Определение. Функция  x называется бесконечно малой величиной
при x  x0 или при x   , если ее предел равен нулю:
lim  x   0 .
x x0  
Связь бесконечно малых величин с пределами функций
Теорема 1. Если функция f x  имеет при x  x0 ( x   ) предел, равный
A , то ее можно представить в виде суммы этого числа A и бесконечно малой
 x при x  x0 ( x   ), т.е.
f x   A   x  .
Теорема 2. Если функцию f x  можно представить как сумму числа A и
бесконечно малой  x при x  x0 ( x   ), то число A есть предел этой
функции при x  x0 ( x   ), т.е.
lim f ( x)  A .
x  x0  
Свойства бесконечно малых величин
1)
Алгебраическая сумма конечного числа бесконечного малых
величин есть величина бесконечно малая.
2)
Произведение бесконечно малой величины на ограниченную
функцию ( в т.ч. на постоянную, на другую бесконечно малую) есть величина
бесконечно малая.
3)
Частное от деления бесконечно малой величины на функцию,
предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.
Отношение двух бесконечно малых (неопределенность вида   ) в
0
зависимости от характера изменения переменных в числителе и знаменателе
может оказаться или числом, или бесконечно малой или бесконечностью.
Определение. Функция y  f x называется бесконечно большой при
x  x0 x    , если ее предел равен бесконечности:
lim f x    .
0
x  x 0  
Свойства бесконечно больших величин
1)
Произведение бесконечно большой величины на функцию,
предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно большая.
2)
Сумма бесконечно большой величины и ограниченной функции
есть величина бесконечно большая.
3)
Частное от деления бесконечно большой величины на функцию,
имеющую предел, есть величина бесконечно большая.
Об отношении или разности двух бесконечно больших функций
никакого общего заключения сделать нельзя. В этих случаях говорят о

неопределенностях вида   или   . В зависимости от характера
 
изменения бесконечно больших величин их отношение или разность может
оказаться или числом, или бесконечно малой, или бесконечно большой.
Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими
величинами
Теорема. Если функция  x есть бесконечно малая величина при x  x0
( x   ), то функция f x  1  x является бесконечно большой при x  x0
( x   ). И, наоборот, если функция f x  бесконечно большая при x  x0
( x   ), то функция  x  1 f x есть величина бесконечно малая при x  x0
( x   ).
4.4. Основные теоремы о пределах. Признаки существования
предела
Пусть f x  и  x - функции, для которых существуют пределы при
x  x0 ( x   ):
lim f x   A ,
lim  x   B .
x x0  
x  x0  
Сформулируем основные теоремы о пределах:
1)
Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен
такой же сумме пределов этих функций, т.е.
lim  f x    x   A  B .
x  x 0  
2)
Предел произведения конечного
произведению пределов этих функций, т.е.
числа
функций
равен
 f x   x  A  B .
lim
x  x 0  
В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела,
т.е.
lim c  f x   c  A .
x  x 0  
3)
Предел частного двух функций равен частному пределов этих
функций (при условии, что предел делителя не равен нулю), т.е.
lim
 f x   x   A ,
x  x 0  
4)
B
B  0.
Если lim f u   A , lim  x  u0 , то предел сложной функции
u u 0
x  x0
lim f  x   A .
x  x0
5)
Если в некоторой окрестности точки x0 (или при достаточно
больших x ) f x   x, то
lim f x   lim  x  .
x  x 0  
x  x 0  
Признаки существования предела
Теорема 1. Если числовая последовательность an  монотонна и
ограничена, то она имеет предел.
Теорема 2. Если в некоторой окрестности точки x0 (или при достаточно
больших значениях x ) функция f x  заключена между двумя функциями
 x и  x  , имеющими одинаковый предел A при x  x0 (или x   ), то
функция f x  имеет тот же предел A .
4.5. Замечательные пределы
1) Первым замечательным пределом называется lim
x 0
sin x
1.
x
2) Второй замечательный предел.
Определение. Числом e (вторым замечательным пределом) называется
1
предел числовой последовательности a n  1   :

 1
lim 1    e ,
n 
 n
n
где n  1,2,3,
Прямым вычислением можно убедиться, что 2  e  3 , e  2,718281828
(иррациональное число, число Эйлера).
x
1
Если рассмотреть функцию y  1   , то при x   функция имеет

x
x
 1
lim 1    e .
x 
x

также предел, равный числу e :
lim 1  z   e .
1
x
Или если z  , то
1z
z 0
Непосредственное
вычисление
этого
предела
приводит
к

неопределенности [1 ] . Однако доказано, что он равен числу e . Второй
замечательный предел необходимо всегда использовать при раскрытии
неопределенности вида [1 ] .
Рассмотрим примеры вычисления пределов.
Пример 4.1.
2
3
3
2
x5  3  5 
 5
3
3x  2
00
x
x
 

  lim x
x
lim 5
    lim

 0.
x  4 x  x  1
   x  x5  4  1  1  x  4  1  1 4  0  0


x 4 x5
x 4 x5 

2
Пример 4.2.
x  3x  3x
 
    lim
27 x  2  2 x  5    x 3
4
lim
x  3
3

x 4 1  3   3 x 2
 x 
2
6


3
x 2  1  3  3 
x


 lim

x 


2
2
5
x 2  3 27  6   2 
x
x x 

2 

x  27  6   2 x  5
x 

 lim
x 
6
3
3
 3x 2
3
x
=
2
27  6  2 x  5
x
x2 1
x2 3
1 0  3
2
 .
3
27  0  0  0
Пример 4.3.
2x2  x  1  0 
2x  1x  0,5
2x  1
    lim
 lim
 .
2
2
x 1
x

1
x

1
x 1
x  1
x  1
0
lim
Пример 4.4.
lim
x  2  6  x 0
    lim
x2  4
 0  x 2
 lim
x  2  6  x 
x  2x  2 x  2 
 lim
2
x 2
x 2
x 2
x  2
x2  6 x
Пример 4.5.


6 x




x2  6x x2  6 x

x  2x  2 x  2  6  x

 lim
x 2

2 x  2
x  2x  2
2
1
 .
42  2 8
x2  6 x

1 
x 11
x2
 1
lim 
 2
 lim
.
      xlim


1
x


1
x  1x  1
x  1x  1
 x 1 x 1
x  1
Пример 4.6.
6 
x 36
x3
1
1
 1
lim 
 2
      lim
 lim
 lim
 .

x 3 x  3
x  3  x  3 x  3
x  3  x  3 x  3
x 3 x  3
x 9
6

Пример 4.7.
 2x  3 

lim  2
x  2 x  1 


2
3 x 2

 
2 x 2 1
4




1

4 

 lim 1  2

x  
 2x  1 


 2x  1  4 

 lim 
2
x 
 2x  1 

2
3 x 2
4 

 lim 1  2

x 
 2x  1 

2 x 2 1 4

 3 x 2
 4 2 x 2 1


12 x 2
2 x 2 1
e
lim
12 x 2
x  2 x 2
1
e
lim
x 
12 x 2

x 2 2 1 x 2
12
12
  e lim 2 1 x  e 2  e6 .
x 
4.6. Непрерывность функции
Определение 1. Функция f x  называется непрерывной в точке x0 , если
она удовлетворяет следующим условиям:
1) определена в точке x0 , т.е. существует f x0  ;
2) имеет конечные односторонние пределы функции при x  x0 слева и
справа;
3) эти пределы равны значению функции в точке x0 , т.е.
lim f x   lim f x   f x0  .
x  x0 0
x  x0  0
Пример 4.8. Исследовать функции на непрерывность в точке x  0 :
а) y  x 2 , б) y 
1
.
1  e1 x
Решение. а) y  x 2 . При x  0 функция определена, lim x2  0 , lim x2  0 ,
x 0  0
x 0  0
y0  0 , т.е. все три условия непрерывности функции в точке выполнены.
Следовательно, функция y  x 2 в точке x  0 непрерывна.
1
.
При
функция
не
определена;
x0
1  e1 x
1
1
1
1
1
1
lim


 1 ; lim

 0.
1
x


1
x


x 00 1  e
x 0  0 1  e
1 e
1 0
1 e

Т.о. в точке x  0 функция не является непрерывной, т.к. не выполнены
б)
y
первое и третье условия непрерывности функции в точке.
Определение 2. Функция y  f x называется непрерывной в точке x0 ,
если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению
у  0 .
аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: lim
x 0
Определения 1 и 2 равносильны.
Свойства функций, непрерывных в точке
1. Если функции f x  и  x непрерывны в точке x0 , то их сумма
f x   x , произведение f x    x  и частное f x  x (при условии  x0   0 )
являются функциями, непрерывными в точке x0 .
2. Если функция y  f x непрерывна в точке x0 и f x0   0 , то
существует такая окрестность точки x0 , в которой f x   0 .
3. Если функция y  f u  непрерывна в точке u0 , а функция u   x
непрерывна в точке x0 , то сложная функция y  f  x непрерывна в точке x0 .
Определение. Функция y  f x называется непрерывной на промежутке
X , если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
Все элементарные функции непрерывны в области их определения.
Точки разрыва функции
Определение. Если в какой-нибудь точке x 0 для функции y  f x не
выполняется по крайней мере одно из условий непрерывности, то эта точка
называется точкой разрыва функции.
Причем:
1) Если существуют конечные односторонние пределы
функции, неравные друг другу: lim f x  lim f x ,
x  x0  0
x  x0  0
то точка x0 - точка разрыва I рода.
2) Если хотя бы один из односторонних пределов функции lim f x 
или lim f x  равен бесконечности или не существует,
x  xo  0
x  xo  0
то точка x0 - точка разрыва II рода.
Свойства функций, непрерывных на отрезке
1. Если функция y  f x непрерывна на отрезке a, b , то она ограничена
на этом отрезке.
2. Если функция y  f x непрерывна на отрезке a, b , то она достигает
на этом отрезке наименьшего значения m и наибольшего значения M
(теорема Вейерштрасса).
3. Если функция y  f x непрерывна на отрезке a, b и значения ее на
концах отрезка f a  и f b имеют противоположные знаки, то внутри отрезка
найдется точка  такая, что f    0 . (Теорема Больцано-Коши.)
Пример 4.9. Исследовать на непрерывность и найти точки разрыва
x
. Установить характер разрыва.
x 1
Решение. При x  1 функция не определена, следовательно, функция в
x
x
  , а
lim
  . Так как
точке x  1 терпит разрыв: xlim
1 0 x  1
x 1 0 x  1
односторонние пределы бесконечны, то x  1 - точка разрыва второго рода
функции у 
(рис. 4.2).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Тема 5. Производная функции
5.1. Определение производной. Задачи, приводящие к понятию
производной
Пусть функция y  f x определена на промежутке X . Возьмем точку
x  X . Дадим значению x приращение x  0 , тогда функция получит
приращение y  f x  x  f x.
Определение. Производной функции y  f x называется предел
отношения приращения функции y к приращению аргумента (независимой
переменной) x при стремлении последнего к нулю (если этот предел
существует):
y
f  x  x   f x 
 lim
.
x  0 x
x  0
x
y  lim
Обозначают: y , f  x ,
dy
, y x .
dx
Нахождение производной функции называется дифференцированием
этой функции.
Если функция в точке x имеет конечную производную, то функция
называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во
всех точках промежутка X , называется дифференцируемой на этом
промежутке.
Задача о касательной
Пусть на плоскости Oxy дана непрерывная функция y  f x и
необходимо найти уравнение касательной к этой кривой в точке M 0 x0 , y0  .
Уравнение прямой по точке M 0 x0 , y 0  ,
принадлежащей этой прямой, и угловому
коэффициенту имеет вид:
y  y0  k x  x0  ,
где k  tg , (  - угол наклона прямой).
Из M 0 M1 N (рис.5.1) найдем тангенс
у
.
х
Если точку M1 приближать к точке M 0 ,
угла наклона секущей M 0 M1 :
tg 
то угол  будет стремиться к углу  , т.е.
при х  0
Следовательно,
y
.
x
y
k  lim
 y .
x  0  x
tg  lim
x  0
Задача о скорости движения
Пусть вдоль некоторой прямой движется
точка по закону S  S t  , где S - пройденный
путь, t –время и необходимо найти скорость
точки в момент to (рис.5.2).
К моменту времени t0 путь равен S0  S t0  , а к моменту t0  t  путь
равен S1  S t0  t  .
S  S1  S0 - путь, пройденный за время t .
Тогда за промежуток t средняя скорость vср 
v ср , т.е.
скорость v  lim
t 0
S
 S .
t  0 t
S
,
t
а мгновенная
v  lim
Из задачи о касательной вытекает геометрический смысл производной:
производная функции в точке x 0 f x0  есть угловой коэффициент (тангенс
угла наклона) касательной, проведенной к кривой y  f x в точке x0 , т.е.
k  f x0  .
Тогда уравнение касательной к кривой y  f x в точке x0 примет вид:
y  f x0   f x0 x  x0  .
Из задачи о скорости движения следует механический смысл
производной: производная пути по времени S t0  есть скорость точки в
момент t0 : vt0   S t0  .
5.2.
Зависимость
дифференцируемостью
между
непрерывностью
функции
и
Теорема. Если функция y  f x дифференцируема в точке x0 , то она в
этой точке непрерывна.
Обратная теорема не верна, т.е. если функция непрерывна в точке, то
она не обязательно дифференцируема в этой точке.
5.3. Правила дифференцирования. Производные элементарных
функций
1.
Производная постоянной равна нулю, т.е. с  0 .
2.
Производная аргумента равна 1, т.е. x  1.
3.
Производная
алгебраической
суммы
конечного
числа
дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих
функций, т.е.
u  v   u   v  .
4.
Производная произведения двух дифференцируемых функций
равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс
произведение первого сомножителя на производную второго, т.е.
uv   u v  uv .
Следствие 1. Постоянный множитель можно вынести за знак
производной
cu   cu  .
Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых
функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей
на все остальные:
vuw  uvw  uvw  uvw .
5.
Производная частного двух дифференцируемых функций может
быть найдена по формуле:

 u  uv  uv
при v  0 .
  
v2
v
Производная сложной функции
Пусть задана сложная функция y  f  x .
Теорема. Если у  f u  и u   x - дифференцируемые функции от своих
аргументов, то производная сложной функции существует и равна
производной данной функции по промежуточному аргументу умноженной на
производную промежуточного аргумента по независимой переменной x , т.е.
yx  fuu   ux .
dy dy du

 .
dx du dx
Другая запись:
Пример 5.2. Найти производную y   x  5 .
Решение. Обозначим u   x  5, тогда
3
   u   3u
y x  u 3
u
x
2

 u x  3 x  5

2
1
2 x
.
Производные элементарных функций
y=xn
а)
y  ln x,
б)
y  log a x .
а)
x   nx
n
y 
y 
Степенные функции
n 1
1
,
x
Логарифмические
функции.
1
.
x ln a
y  e x ,
y  ex ,
б)
Показательные функции.
y   a x ln a .
y  ax .
а)
y   cos x ,
б)
y    sin x ,
y  sin x,
y  cos x,
в)
y  tgx,
г)
y  ctgx.
1
,
cos 2 x
1
y  
.
sin 2 x
y 
Тригонометрические
функции
Производные высших порядков
Определение. Производной n -го порядка y n  x  функции y  f x
называется производная от производной n  1 порядка:



y n  x   f n1 x  .
В частности, y    f  x  , y    f  x  .
Пример 5.3. Найти yx  , если yx   cos2 3x .
Решение. yx  2 cos 3x   sin 3x  3  3sin 6x ,

y  x    3 sin 6 x   3 cos 6 x  6  18 cos 6 x ,

yx    18 cos 6 x   18 sin 6 x   6  108 sin 6 x .
Тема 6. Приложения производной
6.1. Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило
Лопиталя
Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке X функция
y  f x достигает наибольшего или наименьшего значения во
внутренней точке x 0 этого промежутка, то производная функции в этой
точке равна нулю, т.е. f x  0 .
Геометрический смысл. В точке
наибольшего (наименьшего) значения
касательная к графику функции
параллельна оси абсцисс (рис. 6.1).
Теорема Ролля. Пусть функция y  f x удовлетворяет следующим
условиям:
1) непрерывна на отрезке a, b ;
2) дифференцируема на интервале a, b  ;
3) на концах отрезка принимает равные значения, т.е. f a   f b.
Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна точка   a, b ,
в которой производная функции равна нулю:
f    0 .
Другими
словами:
Между
одинаковыми
значениями
дифференцируемой функции имеется хотя бы один нуль производной.
Геометрический
смысл.
В
интервале a, b для функции y  f x ,
удовлетворяющей всем условиям
теоремы, найдется хотя бы одна точка
 такая, что касательная к графику
данной функции в точке  , f   будет
параллельна оси Ox (рис. 6.2).
Теорема Лагранжа. Пусть функция y  f x удовлетворяет условиям:
1) непрерывна на отрезке a, b ,
2) дифференцируема на интервале a, b .
Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка
  a, b , в которой производная равна частному от деления приращения
функции на приращение аргумента на этом отрезке, т.е.
f   
f b   f a 
.
ba
Геометрический
смысл.
Рассмотрим непрерывную функцию
y  f x  . Выберем на ней две точки
Aa, f a  и Bb, f b (рис. 6.3). Тангенс
угла наклона прямой, проведенной
через эти точки, равен tg 
f b   f a 
.
ba
Т.е.
Лагранжа
согласно
f    tg .
теореме
Т.о. теорема Лагранжа утверждает, что в интервале a, b существует
точка с координатами  , f   такая, что касательная к графику функции,
проведенная в этой точке, будет параллельна прямой AB , соединяющей
концы графика функции на данном отрезке.
Правило Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых или
бесконечно больших функций равен пределу отношения их
производных (конечному или бесконечному), если последний
существует в указанном смысле.
0

Итак, если имеется неопределенность вида   или   , то
 
0
f ( x)
f ( x)
 lim
.
x  x 0  ( x)
x  x 0  ( x )
( x  )
( x  )
lim
Пример 6.1. Вычислить пределы функций
а) lim
x 0
ln 1  x 
,
x
б) lim
x 
3x 2  2 x  1
.
4x2  x  5
Решение.
1


ln 1  x   0 
ln 1  x 
а) lim
    lim
 lim 1  x  1.
x 0
x 0
x 0

x
0
x
1
 
6x  2   
(3x 2  2 x  1)
3x 2  2 x  1   
 lim
 
б) lim 2
    lim
2
x  4 x  x  5
   x  (4 x  x  5) x  8 x  1   


6 x  2
6 3
 lim
 lim  .
 x  8 4
x 
8 x  1
6.2. Возрастание и убывание функции
Определение.
Функция
называется
возрастающей
y  f x 
(убывающей) в промежутке a, b , если большему значению x в этом
промежутке соответствует большее (меньшее) значение функции, т.е.
для любого x  a, b :
если x1  x2 , то f x1   f x2  - функция y  f x возрастающая (рис. 6.4
а);
если x1  x2 , то f x1   f x2  - функция y  f x убывающая (рис. 6.4.
б).
Теорема (достаточное условие возрастания функции). Если
производная дифференцируемой функции положительна внутри
некоторого промежутка X , то она возрастает на этом промежутке.
Теорема (достаточное условие убывания функции). Если производная
дифференцируемой функции отрицательна внутри некоторого
промежутка X , то она убывает на этом промежутке.
Пример 6.2. Найти интервалы возрастания, убывания функции y  xex .
Решение. Найдем производную функции y  e x  xex  e x 1  x  .
При
производная
x  1
обращается в нуль, в интервале
 ;1 y   0 , в интервале  1;
y  0 .
Следовательно,
функция
возрастает на интервале  1; и
убывает на интервале  ;1 (рис.
6.5.).
6.3. Экстремум функции
Экстремумами называются точки максимума и минимума функции.
Определение. Точка x0 называется точкой максимума функции f x  ,
если в некоторой окрестности точки x0 выполняется неравенство:
f x   f x0  .
Определение. Точка x1 называется точкой минимума функции f x  ,
если в некоторой окрестности точки x1 выполняется неравенство:
f x   f x1 .
Необходимое условие экстремума. Для того, чтобы функция y  f x
имела экстремум в точке x0 , необходимо, чтобы ее производная в этой
точке равнялась нулю ( f x  0 ) или не существовала.
Замечание. Это условие не является достаточным, т.е. производная в
точке x0 может обращаться в нуль или не существовать, а функция не
будет иметь экстремум в этой точке.
Теорема (первое достаточное условие экстремума). Если при
переходе через точку x0 производная дифференцируемой функции
y  f x меняет свой знак с плюса на минус, то точка x0 есть точка
максимума функции, а если с минуса на плюс, то точка минимума.
Теорема (второе достаточное условие экстремума). Если первая
производная f x дважды дифференцируемой функции равна нулю в
некоторой точке x0 , а вторая производная в этой точке f x 
положительна, то x0 есть точка минимума функции f x  , если же f x 
отрицательна, то x0 - точка максимума.
Схема исследования функции y  f x на экстремум:
1. Найти производную y  f x .
2. Найти критические точки функции, в которой производная f x  0
или не существует.
3. Исследовать знак производной слева и справа от каждой
критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции.
4. Найти значения функции в точках экстремума.
Пример 6.3. Исследовать на экстремум функцию y  x ln 2 x .
Решение. 1) Производная функции y  ln 2 x  x  2 ln x   ln xln x  2 .
1
x
2) Найдем критические точки функции, приравнивая производную к
нулю:
x2  e2 .
x1  1;
Так как производная не существует в интервале  ;0 и сама функция
также не определена в этом интервале, то других критических точек у
функции y  x ln 2 x нет.
3) Определим знаки производной слева и справа от каждой
критической точки:
Следовательно, функция возрастает на интервалах 0, e2  и 1; и
убывает на интервале e2 ;1 .
Согласно достаточному условию существования экстремума
функции x  e 2 - точка максимума, x  1 - точка минимума.
f max e 2   4  e 2 ,
f min 1  0 .
4) Находим
6.4. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
Одна из важных прикладных (оптимизационных) задач есть
нахождение наибольшего и наименьшего значений (глобального max и
глобального min ) функции на промежутке X .
Согласно теореме Вейерштрасса, если функция y  f x непрерывна на
отрезке a, b , то она принимает на нем наибольшее и наименьшее
значения.
Это могут быть точки экстремумов или концы отрезков.
Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции
необходимо:
1) найти производную f x .
2) найти критические точки функции, в которых f x  0 или не
существует.
3) найти значения функции в критических точках и на концах отрезка
и выбрать из них наибольшее f наиб и наименьшее f наим .
Пример 6.4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
2x  1
на отрезке  2;0.
2  x2
2 2  x 2  2 x(2 x  1)  2 x 2  x  2
Решение. 1) f x  
.

2
2
2  x2
2  x2
2) f x  0 , откуда критические точки x1  2 , x2  1.
y








3) Значения функции в критической точке x2  1 f  1  1 и на
концах отрезка f  2    и f 0    .
5
6
1
2
Точку x  2 не рассматриваем, так как она не принадлежит отрезку
 2;0.
Итак, f наиб  f 0   , f наим  f  1  1 .
1
2
6.5. Асимптоты графика функции. Исследование функций и
построение их графиков
Определение. Асимптотой графика функции y  f x называется
прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки x, f x до
этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки
графика от начала координат.
Различают вертикальные (рис. 6.6 а), горизонтальные (рис. 6.6 б) и
наклонные (рис. 6.6 в) асимптоты.
Теорема. В точках вертикальных асимптот (например, x  x0 ) функция
y  f x терпит разрыв, ее предел слева и справа от точки x0 равен   :
lim f x    и (или) lim f x    .
x  x0  0
x  x0  0
Теорема. Пусть функция y  f x определена при достаточно больших
x и существуют конечные пределы
lim  f  x   kx  b .
lim  f x  x   k
и
x 
x 
Тогда прямая y  kx  b является наклонной асимптотой графика
функции y  f x .
Теорема 3. Пусть функция y  f x определена при достаточно
f  x   b . Тогда прямая y  b
больших x и существует предел функции lim
x
есть горизонтальная асимптота графика функции y  f x .
Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной
асимптоты, когда k  0 . Поэтому, если в каком-либо направлении кривая
имеет горизонтальную асимптоту, то в этом направлении нет наклонной,
и наоборот.
Пример 6.5. Найти асимптоты графика функции y 
2x2  1
.
x
Решение. В точке x  0 функция не определена, найдем пределы
функции слева и справа от точки x  0 :
2x2  1
2x2  1
  ;
lim
  .
x 0  0
x 0  0
x
x
Следовательно, x  0 - вертикальная асимптота.
lim
Найдем наклонную асимптоту:
f x 
2x2  1
1

k  lim
 lim
 lim  2  2   2 ;
2
x  
x


x


x
x
x 

2
 2x  1

b  lim  f  x   kx  lim 
 2 x  
x 
x 
 x

2x2  1  2x2
1
 lim
 lim
 0.
x  
x


x
x
Таким образом,
асимптота (рис. 6.7).
y  2x
-
наклонная
Общая схема исследования функций и построения графиков:
1) Найти область определения функции.
2) Исследовать функцию на четность-нечетность.
3) Найти вертикальные асимптоты.
4) Исследовать поведение функции в бесконечности, найти
горизонтальные или наклонные асимптоты.
5) Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.
6) Найти точки пересечения с осями координат и, возможно,
некоторые дополнительные точки, уточняющие график.
Исследование функции проводится одновременно с построением ее
графика.
Пример 6.6. Исследовать функцию y 
x2  2x  2
и построить ее
x 1
график.
Решение.
1) Область определения  ;1  1; .
2) Функция общего вида, так как f  x  f x и f  x   f x .
3) В точке x  1 функция терпит разрыв, найдем пределы
x2  2x  2
  ;
x 1 0
x 1 0
x 1
x2  2x  2
lim f x   lim
  .
x 1 0
x 1 0
x 1
Следовательно, прямая x  1 - это вертикальная асимптота.
lim f x   lim
4)
Найдем наклонную асимптоту.
 2 2
x 2 1   2 
f x 
x  2x  2   
x x 
k  lim
 lim
    lim 
1;
x  
x


x


1
x
xx  1
2
 
x 1  
 x
2
 x 2  2x  2

x 2  2x  2  x 2  x
b  lim  f x   kх   lim 
 x   lim

x 
x 
x 1
x 1

 x
2

x  1  
 x  2  
x
 lim
    lim 
 1 .
x   x  1
x


 1
 
x1  
 x
Таким образом, прямая y  x  1 - наклонная асимптота.
5)
Найдем y 
2 x  2x  1  x 2  2 x  2  x 2  2 x ;
x  12
x  12
x 2  2 x  0 , x1  0 , x2  2 .
y  0
y не существует при x  1 . Критическими точками являются только
x1  0 и x2  2 , так как x  1 не входит в область определения функции.
Определяем знаки производной вблизи критических точек:
На интервалах  ;0 и 2; - функция возрастает,
на интервалах 0;1 и 1;2 - функция убывает, поэтому точка x  0 точка максимума, а точка x  2 - точка минимума.
f max 0  2, f min 2  2 .
Точки пересечения с осями:
Ox : y  0 решений не имеет, следовательно, график функции не
пересекает ось Ox .
Oy : x  0, y  2 , т.е. точка 0;2 - точка пересечения с осью Oy .
График функции изображен на рис. 6.8.
6)