Лабораторная работа №8 - Чувашский государственный

Лабораторная работа №3
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ МОЛЯРНЫХ
ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ СР/СV ДЛЯ ВОЗДУХА
Цель работы. экспериментальное определение показателя адиабаты
 = Ср/Сv для воздуха.
Теоретические основы работы
Адиабатным (адиабатическим) называют термодинамический процесс, происходящий в термодинамической системе без подвода теплоты.
Первое начало термодинамики для произвольного термодинамического
процесса имеет вид
Q = dU + А.
(1)
Здесь Q - бесконечно малое количество теплоты, подводимое к термодинамической системе; dU - бесконечно малое изменение внутренней энергии
системы; А - бесконечно малая работа, совершаемая термодинамической
системой в результате данного процесса. Для адиабатного процесса соотношение (1) принимает вид
dU + А = 0
(2)
для одного моля идеального газа имеем
dU = СvdT;
(3)
 = рdV.
(4)
Здесь Сv - молярная теплоемкость при постоянном объеме газа; р - давление; dV и dT - бесконечно малые изменения температуры и объема соответственно. Подставляя (3) и (4) в (2), получим
CvdT + рdV = 0
(5)
Для одного моля идеального газа запишем уравнение Клайперона
pV = RT.
Дифференцируя его, найдем связь между параметрами dp, dV и dT:
рdV + Vd p = RdT.
(6)
Из (6) получим
1
(7)
dT   pdV  Vd p 
R
Подставляя (7) в (5), получим дифференциальное уравнение, связывающее объем и давление идеального газа в адиабатном процессе
(Сv + R)pdV + Сvdp = 0
(8)
Учитывая, что СV + R = Ср - молярная теплоемкость идеального газа при постоянном давлении, и вводя обозначение
 
Сp
СV
,
(9)
из (8) получим
dV d p
(10)

0
V
p
Известно, что для идеального газа молярные теплоемкости Ср и Сv не
зависят от температуры:
i2
Cр 
R;
2
(11)
i
CV  R
2
(здесь i - число степеней свободы молекулы идеального газа). Считая воздух
при атмосферном давлении идеальным газом, получаем, что показатель  постоянная для данного газа величина. В этом случае решение дифференциального уравнения (10) имеет вид
рV = const
(12)
(в этом можно убедиться непосредственной подстановкой).
Уравнение (12) называют уравнением адиабаты (уравнением Пуассона), а показатель  - показателем адиабаты (показателем Пуассона).

Описание установки. Вывод расчетных формул
Экспериментальная установка (рис. 1) состоит из стеклянного баллона
1, наполненного воздухом. Баллон соединен с манометром 2 и насосом 3. на
рис.1 обозначены также кран 4 и кран 5, с помощью которого баллон может
быть соединен с атмосферой. Поперечное сечение крана 5 достаточно велико. процесс установления атмосферного давления в сосуде происходит достаточно быстро.
5
3
2
насос
4
Рис. 1. Схема экспериментальной установки
Н
1
Быстрое изменение давления в сосуде происходит практически без
теплообмена с окружающей средой, поэтому процесс, происходящий при
открывании кран 5, с достаточной точностью можно считать адиабатным.
Пусть с помощью насоса 3 в баллон накачали воздух, затем закрыли кран 4.
Через несколько минут температура воздуха в баллоне станет равной температуре в лаборатории. Обозначим эту температуру Т1. Давление воздуха в
баллоне р1 при этом равно
р1 = р0 + р'.
(13)
здесь р0 - атмосферное давление; р' - избыточное давление воздуха, которое
можно определить по показаниям манометра. Выберем мысленно в сосуде
объем V (рис.1) вдали от клапана. будем считать, что число молекул в этом
"объеме" неизменно. Начальное состояние воздуха в объеме характеризуется параметрами р1, Т1, V1 .
Если открыть на короткое время кран 5, то часть воздуха выйдет из
сосуда, давление в сосуде станет равным р2 = р0, выбранный нами "объем"
увеличится до значения V2. Температура воздуха понизится, так как при вытекании из сосуда воздух совершает работу против давления окружающего
баллон воздуха. Итак, Т2<Т1. В тот момент времени, когда кран закрывают,
состояние "объема" характеризуется параметрами р2, Т2, V2. Считая переход
из состояния 1 в состояние 2 адиабатным процессом, из (12) получим
р1 V1 = р2 V2.
(14)
После того как кран 5 закрыли, происходит изохорный процесс теплообмена с окружающей средой; температура воздуха приближается к температуре в лаборатории Т1, давление воздуха по окончании этого процесса
р3 = р0 + р",
(15)
где р" измеряется по манометру. Параметры воздуха после окончания изохорного процесса р3, Т1, V3, причем V3= V2.
Так как температуры воздуха в первом и третьем состоянии одинаковы, а
число молекул в выбранном нами "объеме" постоянно (объем V выбран вдали от крана), то для состояний 1 и 3 можно применить закон БойляМариотта
р1V1=р3V3=р3V2.
(16)
Решая систему уравнений (14), (16), получим

 р3 
р
   2 .
р1
 р1 
Прологарифмировав это соотношение, найдем
p 
ln 1 
 p2 
 
.
 p1 
ln 
 p3 
Используя соотношения (13) и (15), получим
 

p' 
ln 1  
p0 

.
(17)


p"
ln 1  
p0 

Так как избыточные давления р' и р" весьма малы по сравнению с атмосферным давлением р0, можно использовать разложение функции типа
ln(1+х) в ряд, ограничившись первым членом разложения (при х « 1):
ln(1+х)  х.
Отсюда из (17) получаем
р
.
(18)

p  p
Избыточное давление, определяемое по манометру, можно выразить
соотношением
р = h,
(19)
где h - разность уровней жидкости в манометре;  - постоянный для данного
манометра коэффициент, зависящий от плотности жидкости.
Из (18) и (19) получаем
1
.
(20)
 
1  h0 / H
Здесь Н и h0 - разности уровней жидкости в манометре в первом и третьем
состояниях.
Отметим, что значение h0 соответствует условию, что кран 5 закрыли
точно в момент окончания адиабатного процесса. Если закрыть кран 5
раньше (до выравнивания давлений) или спустя некоторое время после
адиабатного процесса, то результат вычислений по формуле (20) даст в первом случае завышенное, во втором случае - заниженное значение . Для получения наиболее точного экспериментального значения  необходимо закрыть клапан точно в момент окончания адиабатного процесса. Так как мы
не знаем времени протекания адиабатного процесса, значение разности
уровней определяют косвенным графическим методом.
Р 1
Р1 V1 Т1
Рис.2. Процессы, происходящие в опыте
3
2
5
4
V
Пусть кран 5 остается открытым в течение некоторого времени . В этом
случае процессы, происходящие в объеме V, можно условно изобразить
графически (рис. 2).
Примечание. Процессы, происходящие в сосуде, не являются квазиравновесными, поэтому графики, строго говоря, строить нельзя (в случае
неравновесного процесса нельзя говорить о давлении и температуре газа,
так как в разных частях баллона эти величины могут иметь различные
значения).
На рис.2, обозначены: 1-2 - адиабатный процесс, 2-4 - изобарный процесс,
процесс протекающий в баллоне при открытом клапане после завершения
адиабатного расширения, 4-5 - изохорный процесс, протекающий после закрытия клапана. Точки 1,3,5 лежат на изотерме, соответствующей температуре Т1.
Очевидно, что с ростом  разность уровней жидкости в манометре h
будет уменьшаться, соответственно уменьшается и (p5-p4). При  получим h0, при 0 (длительность адиабатного расширения весьма мала) получим hh0. Измеряя h при различных значениях  и строя график зависимости ln(h/H)=f(), можно найти значение h0 экстраполяцией экспериментальной прямой (рис.3).
Порядок выполнения работы
1. Выписать данные спецификации измерительных приборов, данные установки, условия опыта.
2. Насосом 3 (рис.1) накачать в баллон 1 воздух так, чтобы разность уровней
жидкости в манометре стала равной 25-30 см. Закрыть кран 4, выждать 24 минуты до тех пор, пока температура воздуха в баллоне не станет равной температуре окружающего воздуха (уровни жидкости в манометре
стабилизируются). Провести дополнительную регулировку разностей
уровней (в дальнейших опытах начальную разность уровней нужно будет
поддерживать постоянной). По верхнему и нижнему уровням мениска
определить уровни жидкости L1 и L2 в коленах манометра; записать разность уровней жидкости, H = L1 - L2 в таблицу 1.
3. Резко открыть кран 5, соединив баллон с атмосферой. Одновременно
включить секундомер, выдержать кран открытым в течение заданного
времени ; после этого закрыть кран. Через 3-4 минуты (после того, как
уровни жидкости в манометре стабилизируются), определить уровни L1()
и L2(), записать значения L1(), L2(), h= L1() - L2() в таблицу 2.
4. Повторить опыты (пункты 2-3) не менее пяти раз для разных значений .
Рекомендуемые значения : 3; 6; 9; 12; 15 секунд. Следить за тем, чтобы
начальная разностей уровней Н была постоянной.
Примечание. Накачивать воздух в баллон целесообразно медленно
(чтобы избежать значительного повышения температуры воздуха в баллоне) и осторожно (чтобы нижний уровень жидкости не достиг колена
манометра).
Данные установки и таблица результатов измерений
Температура воздуха Т1 =
; Т1 =
;
атмосферное давление р0 =
, р0 =
.
Погрешности измерения разностей уровней Н = h принять равными h =
2 мм.
Таблица 1
№
L1, см
L2, см
H=L1-L2, см
опыта
, с
№
опыта
L1(), см
L2(), см
Таблица 2
h=L1()-L2(), см
Обработка результатов измерений
h 
1. Рассчитать значения ln τ  для всех значений .
H
2. Нанести полученные экспериментальные точки на график (рис.3), где по
h 
оси абсцисс отложено время , по оси ординат - значения ln τ  .
H
h
ln τ
H
0
ln
h0
H
, c
Рис.3. Графическая обработка экспериментальных
данных
Примечание. Масштаб графика согласовать с преподавателем.
3. Аппроксимировать полученную зависимость прямой линией, экстраполировав ее до пересечения с осью ординат. Точка пересечения имеет координату ln(h0/H).
4. Определить значение h0/H.
5. По формуле (20) определить экспериментальное значение .
6. Для оценки погрешности необходимо сделать следующее: для каждой
экспериментальной точки вверх и вниз отложить на графике значения
 h  h 
 h  h 
ln τ
 и ln τ
 . Полученные таким образом точки образуют
 H 
 H 
полосу. Обозначим через у0 расстояние между точками пересечения прямых, ограничивающих полосу с осью ординат. Тогда
1  δh
 h  h 
 h  h 
— 0  ln 0
.
(21)
  ln 0
  ln
1  δh
 H 
 H 
0
0
Учитывая, что δ h  1, разложим (21) в ряд Маклорена, ограничив0
шись
первыми двумя членами разложения. Отсюда получим
y
— 0  2δ h ; δ h  0 . Таким образом, δ h  y0 2 .
2
Окончательно получаем соотношение для погрешности косвенного
измерения :
y
δ  δ 2 h  δ 2 H  0 .
2
7. Записать результат с учетом погрешности измерения.
8. Сравнить экспериментальное значение  с теоретическим значением (воздух считать двухатомным идеальным газом).
0
0
0
0
Контрольные вопросы и задания
1. Дайте определения адиабатного, изохорного, изобарного и изотермического термодинамических процессов.
2. Какую величину называют показателем адиабаты (показателем Пуассона)? От каких факторов зависит значение показателя адиабаты для идеального газа?
3. Рассчитайте теоретическое значение показателя адиабаты для одноатомного и трехатомного идеальных газов.
4. Дайте определение квазистатического термодинамического процесса.
5. Какие процессы осуществляются в данной лабораторной работе? Расскажите о них.
6. Изобразите на графиках адиабатный, изохорный, изобарный и изотермический квазистатические процессы. Объясните, почему, строго говоря,
нельзя графически изобразить быстро протекающие процессы.
Литература
1. Савельев И.В. Общий курс физики. Т.1. Механика. Молекулярная физика.
М.: Наука, 1986, с.277-282.
2. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т.2. Термодинамика и молекулярная
физика. М.: Наука, 1979, с. 67-68, 75-78, 82-83.
3. Механика и молекулярная физика. /Канасков Д.Р., Вентцель Л.И., Федорова И.П. М.: Москэнергет ин-т, 1976, с.160-166.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Чувашский государственный университет им. И.Н. Ульянова»
Кафедра общей физики
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ МОЛЯРНЫХ
ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ Ср/Сv ДЛЯ ВОЗДУХА