Аннотация_реферат

НОУ СОШ «ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР ОАО «ГАЗПРОМ»
Решение некоторых
прикладных задач
сферической геометрии
в среде электронных
таблиц
Проектная работа
ученика 10 класса II потока
Александра Громова
Руководитель: А.А. Губанова,
учитель информатики и ИКТ
Москва, 2014
Оглавление
Введение ........................................................................................................................................................... 3
История развития сферической геометрии ................................................................................................... 5
Древний Египет и Вавилон .......................................................................................................................... 5
Древняя Греция ............................................................................................................................................ 5
Сферика Автолика .................................................................................................................................... 5
Сферика Феодосия ................................................................................................................................... 6
Сферика Менелая ..................................................................................................................................... 6
Древняя Индия ............................................................................................................................................. 8
Средневековый Восток ................................................................................................................................ 8
Средневековая Европа................................................................................................................................. 8
Новое время.................................................................................................................................................. 8
Современные области использования сферической геометрии ............................................................... 10
Астрономия ............................................................................................................................................. 10
Геодезия .................................................................................................................................................. 10
Навигация ................................................................................................................................................ 11
Картография ............................................................................................................................................ 11
Основные положения сферической геометрии .......................................................................................... 12
Терминология ............................................................................................................................................. 12
Длина линии на сфере ............................................................................................................................... 13
Сумма углов, периметр и площадь сферического треугольника ........................................................... 13
Теоремы синусов и косинусов .................................................................................................................. 14
Теорема Пифагора...................................................................................................................................... 14
Система координат на сфере..................................................................................................................... 15
Сравнение основных математических характеристик евклидовой и сферической геометрии .......... 15
Методы решения некоторых прикладных задач сферической геометрии .......................................... 17
Пример использования электронных таблиц для решения некоторых прикладных задач
сферической геометрии ................................................................................................................................. 20
Заключение ..................................................................................................................................................... 21
Библиография ................................................................................................................................................. 22
Приложение .................................................................................................................................................... 23
2
Введение
В школьном курсе геометрии мы изучаем фигуры на плоскости. Планиметрия
широко используется для решения прикладных задач в самых разных областях. А как
решать задачи где фигуры расположены не на плоскостях, а на поверхности другого
геометрического тела? Например, нашей планеты. Как найти расстояние между
Мельбурном и Москвой? Как рассчитать площадь материка? Как проложить курс
морского или воздушного судна?
На уроках информатики мы различные модели окружающего мира и всякий раз
указывали границы их применения. Очевидно, что для решения указанных задач
привычная геометрия, придуманная Евклидом, не подходит.
Здесь применяется геометрия на сфере, известная еще со времен Древней Греции.
Согласно античной модели мироздания, звезды и планеты располагаются на нескольких
сферах с общим центром, в котором находится Земля. При этом звезды будто «прибиты» к
своей сфере, а планеты на собственных сферах блуждают по замысловатым орбитам
(«планета» с греческого - «блуждающая»).
Такая геоцентрическая модель позволила
древним точно предсказывать и описывать движения планет, что было необходимо,
например, в мореплавании. При изучении закономерностей вращения небесных светил
возникли математические задачи, связанные со свойствами сферы и фигур на ее
поверхности. Известны сферики древнегреческих мыслителей – Автолика, Феодосия,
Менелая, Птолемея. Большой вклад в развитие сферической геометрии и тригонометрии
внесли ученые Древней Индии и Востока. Полное развитие сферическая геометрия
получила в трудах Б. Римана в XIX веке. В настоящее время, существуют различные
науки, в основе которых лежит сферическая геометрия. Например, математическая
картография изучает способы отображения поверхности Земли на плоскости. Задача
картографии — составление и оформление карт. Другой раздел - картометрия, которая
позволяет по данным карты измерять расстояния, углы и площади на реальной
поверхности Земли.
Познакомившись с основными теоретическими положениями сферической
геометрии, можно легко научиться решать ряд простейших задач на сфере. Сложность
заключается в том, что большинство формул содержат тригонометрические функции, и в
реальных задачах вычисления весьма трудоёмки. Поэтому, логично использовать для этих
целей компьютер.
Таким образом, цель проекта – создать электронные таблицы для демонстрации
решения некоторых прикладных задач сферической геометрии.
Задачи для достижения цели:
3

Изучить основные теоретические положения сферической геометрии.

Выбрать типовые задачи, имеющие практическое применение.

Освоить решение задач указанного типа.

Составит формулы для решения задач в сфере ЭТ.

Проверить правильность формул на конкретных примерах.

Оформить электронную книгу MS Excel наглядно, эстетично и удобно.

Оформить описание работы.

Подготовить публичное представление проекта.
Результат работы будет интересен и полезен учащимся, интересующимся математикой.
4
История развития сферической геометрии
Первой по времени геометрией, отличной от евклидовой, была сферическая
геометрия, или сферика, как её называли древние. Сферика возникла позже, чем
евклидова
геометрия
плоскости
и
пространства.
Основными
стимулами
для
возникновения геометрии плоскости и пространства была необходимость измерения
площадей полей и других плоских фигур и вместимости сосудов и амбаров различной
формы, т.е. объёмов различных тел. Основным стимулом для возникновения сферики
было изучение звёздного неба. Древние наблюдали за движением небесных светил.
Ученые обрабатывали данные измерений, чтобы вести календарь и правильно определять
время сева и сбора урожая, даты религиозных праздников. По звездам вычисляли
местонахождение корабля в море или направление движения каравана в пустыне.
Наблюдения за звездным небом с незапамятных времен вели и астрологи. Поскольку
звезды и планеты представлялись древним точками на небесной сфере, то сначала начала
развиваться именно сферическая тригонометрия (изучает соотношения между элементами
сферического треугольника, т.е. фигуры, высекаемой на сфере тремя плоскостями,
проходящими через ее центр).
Древний Египет и Вавилон
Наблюдение небесных светил в Древнем Египте и Вавилоне производилось,
прежде всего, с целью установления календаря. Мы обязаны египтянам разделением суток
на 24 часа. Вклад вавилонян в развитии астрономии был более значителен: наблюдения
затмений и звёзд первых веков «эры Набонасара», начавшейся в VIII в. до н. э. От них мы
унаследовали систему измерения углов в градусах, минутах и секундах, основанную на
принятой ими шестидесятеричной системе счисления.
Древние греки познакомились с вавилонской астрономией по крайней мере в IV в.
до н. э., когда первоначальные названия планет были заменены названиями планет по
вавилонскому образцу, латинскими переводами которых являются общепринятые нами
названия. Астрономия, изложенная в «Альмагесте» Птолемея, была результатом
продолжавшегося несколько веков развития науки, впитавшей традиции как вавилонских
астрономов, так и греческих геометров.
Древняя Греция
Сферика Автолика
Первым античным математическим сочинением, сохранившимся до наших дней,
является книга «О движущейся сфере» Автолика, жившего в конце IV в. до н. э.
Предметом исследования этой книги является небесная сфера, рассматриваемая, однако, в
5
весьма абстрактном виде. Книга Автолика состоит из 12 предложений. Определения
относятся к равномерному движению. В предложении 1 доказывается, что если сфера
равномерно движется вокруг оси, то все её точки, не лежащие на оси, описывают
параллельные круги, имеющие те же полюсы, что и сфера, а плоскости этих кругов
перпендикулярны оси сферы. Под кругами здесь понимаются плоские фигуры,
ограниченные окружностями, а под выражением «точка описывает круг» понимается то,
что точка пробегает окружность круга.
Доказательства большинства предложений этого трактата основаны на применении
движения: предполагается, что утверждение предложения неверно, производится поворот
сферы и обнаруживается, что предложение противоречит тому, что получилось в
результате поворота сферы.
Сферика Феодосия
Первое дошедшее до нас систематическое изложение сферической геометрии
содержится в «Сферике» Феодосия, жившего во II-I вв. до н. э. «Сферика» Феодосия
состоит из трёх книг, в первой из которых шесть определений и 23 предложения, во
второй – одно определение и 23 предложения, в третьей – 14 предложений. Определение
Феодосия: «Сфера есть телесная фигура, содержащая внутри одной поверхности, такая,
что все прямые, падающие на неё из одной точки внутри фигуры, равны между собой».
Большинство предложений «Сферики» Феодосия – стереометрические теоремы и
задачи на построение. Когда Феодосий говорит о пересечении кругов на сфере под
некоторым углом или о параллельности этих кругов, он имеет в виду пересечение под
данным углом или параллельность их плоскостей; когда он говорит о рассечении кругами
на сфере друг друга пополам, он имеет в виду рассечение пополам плоских фигур.
Наряду со стереометрическими предложениями, сформулированные в терминах
геометрии на поверхности сферы. Например, предложения 20-21 из I книги – задача о
построении большого круга на сфере, проходящего через две точки ее поверхности, и
задача о построении полюса данного круга на сфере.
Сферика Менелая
Значительно более развитую сферическую геометрию можно найти в трактате «О
сфере» Менелая Алексанлрийского, жившего в конце I в. н. э. Сочинение Менелая
сохранилось только в арабском переводе в нескольких обработках, лучшими из которых
являются обработки Абу Насра ибн Ирака и Насир ад-Дина ат-Туси. Сферика Менелая
состоит из трёх книг, содержащих соответственно 39, 21 и 25 предложений. Во введении к
книге I Менелай даёт определение сферического треугольника («трёхсторонней фигуры»),
6
т.е. части поверхности, ограниченной тремя дугами больших
кругов, меньшими полукругами, и углов сферического
треугольника. Если большинство предложений «Сферики»
Феодосия были стереометрическими, сочинение Менелая
посвящено геометрии на поверхности сферы, трактуемой по
аналогии с планиметрией Евклида. Например, предложение 1
книги I – задача о проведении дуги большого круга под
данным углом к данной дуге большого круга; предложения 2
и 3 книги I – теорема о равенстве углов при основании равнобедренного сферического
треугольника и обратная ей. Из предложений, не совпадающих с предложениями
планиметрии, можно отметить предложения 10 и 11, из которых вытекает, что сумма
углов сферического треугольника больше двух прямых углов.
«Предложение десятое. Если две стороны трёхсторонней фигуры вместе меньше
полукруга, то внешний угол, примыкающий к одной из этих сторон, больше того
противолежащего ему внутреннего угла, который является одним из двух углов,
прилежащих к оставшейся стороне; если две стороны вместе больше полукруга, то
внешний угол меньше противолежащего ему внутреннего угла; а если две стороны вместе
равны полукругу, то внешний угол равен противоположному ему внутреннему».
«Предложение одиннадцатое. Внешний угол всякой трёхсторонней фигуры меньше
обоих противолежащих ему внутренних углов».
Особую роль в истории сферической геометрии и тригонометрии сыграло
предложение 1 книги III сочинения Менелая, в которой доказывается как плоский, так и
сферический случай теоремы, называемой в настоящее время «теоремой Менелая» или
«теоремой о полном четырёхстороннике». Полным четырёхсторонником называется
плоский или сферический четырёхугольник, пары противоположных сторон которого
продолжены до пересечения.
Сферическая теорема Менелая изложена у Птолемея следующим образом:
«Опишем на поверхности сферы дуги больших кругов так, чтобы проведённые к двум
начерченным дугам АВ и АС две другие дуги ВЕ и СD пересекались в точке G; пусть
каждая из этих дуг меньше полуокружности; то же будем предполагать и для всех таких
построений. Я утверждаю, что отношение прямой под удвоенной дугой СЕ к прямой под
удвоенной ЕА составлено из отношения прямой под удвоенной CG к прямой под
удвоенной GD и отношения прямой под удвоенной DB к прямой под удвоенной ВА».
7
Древняя Индия
Если греки по углам вычисляли длины хорд окружности, то индийские астрономы
в 4-5 вв. перешли к полухордам двойной дуги, т.е. к линиям синуса. Термины синус и
косинус впервые также были введены индийцами.
Средневековый Восток
Основные
теоремы
сферической
тригонометрии
были
открыты
учеными
средневекового Востока. К концу десятого века ученые исламского мира уже оперировали
наряду с синусом и косинусом, четырьмя другими функциями – иангенсом, котангенсом,
секансом и косекансом.
Соотношения, выражаемые теоремой косинусов, были
установлены сирийским математиком и астрономом IX века ал-Баттани, выходцем из
семьи звездопоклонников - сабиев, у которых в течение многих веков сохранялись
вавилонские астрономические традиции. Сферическая теорема синусов была открыта
почти одновременно среднеазиатскими математиками и астрономами X века Ибн Ираком
из Хорезма, Абу-л-Вафой из Хорасана и ал-Ходжанди из Ходжента. Соотношения,
выражаемые двойственной теоремой косинусов, были установлены (с помощью
полярного треугольника) в XIII веке работавшим в Азербайджане Насир-ад-дином атТуси, давшим первое полное изложение всей системы сферической тригонометрии.
Средневековая Европа
Фламандский математик Альберт Жирар (1595-1632)
первым выразил площади сферического треугольника и
многоугольника через их угловые (сферического) избытки, в
статье «О мере поверхности сферических треугольников и
многоугольников, открытой вновь», опубликованной в виде
приложения к «Новому открытию вы алгебре». В своём
трактате по тригонометрии Жирар привёл в стройную систему
все известные до него теоремы плоской и сферической
тригонометрии и дал несколько новых. Ему также принадлежит
теорема, что общая площадь вписанных в круг четырёхугольников, которые можно
построить по данным четырём сторонам, меняя их порядок, равна произведению трёх
различных диагоналей, разделенному на удвоенный диаметр круга.
Новое время
Бернхард Риман (1826-1866), математик из Германии. В геометрии Римана нет
прямых линий, а сумма углов треугольника больше 180°. Поверхность сферы является
лучшей моделью для геометрии Римана. Сфера является частным случаем эллипсоида,
8
удлиненной сферы. В этой модели прямые, как и в
гиперболической геометрии, называются геодезическими
линиями и являются большими окружностями, то есть
такими окружностями, которые делят сферу на два равных
полушария.
В этой геометрии чем больше площадь треугольника,
тем больше сумма его углов, и подобными являются только
конгруэнтные треугольники, то есть те, которые совпадают
при наложение друг на друга. Таким образом поверхность сферы является моделью
эллиптической геометрии.
Риман не только построил эллиптическую геометрию, он также использовал
алгебраические выражения (дифференциальные уравнения) для вычисления минимальных
расстояний. Ему удалось посчитать кривизну любого трехмерного пространства. Кроме
того, его вычисления могут быть применены для многомерных пространств. Его
результаты
позже
использовал
Альберт
Эйнштейн
при
работе
над
теорией
относительности.
9
Современные области использования сферической геометрии
Астрономия
Если расстояния до небесных объектов неизвестны, то в астрономии располагают
их на поверхности сферы с центром в точке, где находится наблюдатель. Такая сфера
называется небесной сферой. Радиус небесной сферы произволен, обычно его считают
равным единице. С использованием небесной сферы в рамках космического проекта
HIPPARCOS, осуществленного в 90-х годах XX века, измерили расстояния до 120
000 звезд, находящихся на расстоянии до 1 килопарсека от Солнца. Несмотря на то, что
объем, в котором расположены эти звезды, составляет очень малую часть от объема
нашей Галактики, измерение расстояний является важнейшим результатом проекта,
потому
что
оказалось
возможным
построить
трехмерную
картину
ближайшей
окрестности Солнца. Кроме того, с помощью формулы площади сферического
треугольника можно вычислить радиус планеты.
Радиус является внутренней
характеристикой планеты, поэтому определяется довольно сложно. Гораздо легче
определить площадь конкретного планетарного сферического треугольника, измерить его
углы и определить радиус.
Геодезия
Геодезия − это наука об измерениях, разрабатывающая способы определения
расстояний, углов и силы тяжести с помощью различных приборов. Основная задача
геодезии – создание системы координат и построение опорных геодезических сетей,
позволяющих определить положение точек на земной поверхности. Геометрические
задачи геодезии решаются методами съемки, т.е. измерениями и расчетами расстояний,
углов и направлений.
Физический аспект связан с измерениями силы тяжести. Геодезические измерения
осложняются спецификой используемой системы координат, которая включает широту,
долготу и высоту. Поверхности, по которым устанавливается высота точки, не
параллельны вследствие изменений силы тяжести на земной поверхности, обусловленных
особенностями рельефа и плотности горных пород. Подобные же причины нарушают
параллельность поверхностей, имеющих одинаковую широту или долготу. Кроме того, на
результаты расчетов геодезических показателей, например, координат точки, влияют
погрешности измерений и используемой физической модели.
Геодезические
данные
используются
в
картографии,
навигации
и
землепользовании, например, для определения зоны затопления после сооружения
10
плотины,
местоположения
буровых
платформ
на
шельфе,
точного
положения
государственных и разного рода административных границ.
Навигация
Сферическая геометрия применима в навигации – одной из наиболее древних наук.
Основные задачи навигации:

выбор безопасного и наиболее выгодного пути судна;

определение направления движения (курса);

нахождение пройденного судном расстояния;

изучение и выбор наиболее удобных картографических проекций (карт);

учёт влияния внешних факторов, вызывающих отклонение судна от выбранного пути;

определение места судна по наземным ориентирам и навигационным искусственным
спутникам и оценка точности этих определений.
Ряд навигационных задач решается с использованием методов геодезии,
картографии, гидрографии, океанологии и метеорологии.
Картография
Своё применение сферическая геометрия находит и в области картографии. В
картографии рассматривают отображения поверхности земного эллипсоида на плоскость.
Так как земной эллипсоид имеет малое сжатие, и его поверхность незначительно
отступает от сферы, а также в связи с тем, что картографические проекции необходимы
для составления карт в средних и мелких масштабах, то часто ограничиваются
рассмотрением отображений на плоскость сферы, отклонениями которой от эллипсоида
можно пренебречь или каким-либо способом учесть.
Таким образом, в современном мире сферическая геометрия нужна не только
астрономам, штурманам морских и космических кораблей, самолетов, но и строителям
шахт, метрополитенов, тоннелей, а также при геодезических съемках больших
поверхностей земли, когда становится необходимым учитывать ее шарообразность.
11
Основные положения сферической геометрии
Терминология
Сфера - геометрическое место точек пространства, расположенных на данном расстоянии
от данной точки, называемой её центром.
Радиус сферы - отрезок, соединяющий центр сферы с какой-либо его точкой.
Диаметр сферы - отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр.
Диаметральная плоскость - плоскость, проходящая через центр сферы.
Большая окружность – линия пересечения диаметральной плоскости и сферы.
Геодезическая линия – кратчайшая линия, соединяющая две точки на поверхности и
сама принадлежащая этой поверхности.
Меридиан – большой круг, проходящий через диаметрально противоположные точки.
Сферический
многоугольник
–
часть
сферы,
ограниченная
дугами
больших
окружностей, меньшими полуокружности, концами которых служат точки пересечения
этих больших окружностей, взятых в последовательном порядке.
Выпуклый сферический многоугольник – расположен по одну сторону от каждого из
больших кругов, частью которых служат его стороны.
Вогнутый сферический многоугольник – расположен по разные стороны от каждого из
больших кругов, частью которых служат его стороны.
Сферический двуугольник – фигура, образованная двумя полуокружностями больших
кругов сферы, исходящими из диаметрально противоположных точек.
Сферический треугольник – часть поверхности сферы, ограниченная тремя большими
кругами.
Сферический избыток сферического треугольника – разность между суммой углов
треугольника и мерой развернутого угла.
Площадь сферической фигуры – действительное число, удовлетворяющее следующим
четырём требованиям:

Площадь
сферической
фигуры
является
положительным
числом,
(свойство
движении
(свойство
позитивности).

Площадь
сферической
фигуры
не
изменяется
при
инвариантности).

Площадь сферической фигуры, разложенной на две фигуры, равна сумме площадей
этих фигур (свойство аддитивности).

Площадь всей сферы радиуса R равна 4R2 (свойство нормировки).
12
Прямые, отрезки, расстояния и углы на сфере
Прямыми на сфере являются большие окружности.
Сферическое расстояние между двумя точками на
сфере это длина меньшей из двух дуг большой окружности,
проходящей через данные точки. Меньшая дуга при этом
называется сферическим отрезком.
Сферический отрезок, как и отрезок на плоскости,
обладает замечательным минимальным свойством:
Сферический отрезок, соединяющий две точки на
сфере, короче любой другой линии на сфере, соединяющий эти две точки
Сферическое расстояние АВ равно произведению радиуса сферы на радианную
меру центрального угла АОВ, где О – центр сферы.
Угол между сферическими прямыми равен меньшему из углов, образуемых ими
двуугольников.
Ортодрома и локсодрома
Ортодрома (из др.-греч. ὀρθός «прямой» + δρόμος «бег, путь») — кратчайшая
линия между двумя точками на поверхности вращения, частный случай геодезической
линии.
Локсодрома – кривая на поверхности вращения, пересекающая все меридианы под
постоянным
углом,
называемым локсодромическим путевым
углом. Введена
в
рассмотрение португальским математиком Нониусом в 1530 году.
13
Сумма углов, периметр и площадь сферического треугольника1
Сумма внутренних углов сферического треугольника больше 180° ( радиан) и
меньше 360° (2 радиан).
Сторона сферического треугольника представляет собой
дугу большого круга. Длина дуги равна произведению радиуса
сферы на угол, противолежащий стороне, измеряемый в
радианах (круговую меру угла). Тогда сумма сторон (периметр)
сферического треугольника меньше 2R, где R – радиус сферы.
Площадь
сферического
треугольника
равна
произведению сферического избытка на квадрат радиуса сферы. Поэтому, чем больше
площадь треугольника, тем больше сферический избыток и, соответственно, больше
сумма углов сферического треугольника.
Например, на поверхности Земли сумма углов треугольника равна 181 при
площади 703739, 6319 км2.
Теоремы синусов и косинусов
Для
сферического
треугольника
со
сторонами a, b, c и углами , ,  справедлива
теорема синусов: синусы сторон сферического
треугольника
относятся
как
синусы
противолежащих углов.
sin 𝑎 sin 𝑏 sin 𝑐
=
=
sin 𝛼 sin 𝛽 sin 𝛾
Теорема косинусов:
cos 𝑎 = cos 𝑏 ∙ cos 𝑐 + sin 𝑏 ∙ sin 𝑐 ∙ cos А
Теорема Пифагора
В любом прямоугольном треугольнике на поверхности сферы радиуса R косинус
отношения гипотенузы к радиусу R равен произведению косинусов отношений других
сторон к радиусу:
cos
1
𝑐
𝑎
𝑏
= cos ∙ cos
𝑅
𝑅
𝑅
Доказательство и вывод формул представлены в Приложении.
14
Система координат на сфере
Для определения положения точки на сфере (позиционирования) используется
система координат на основе широты и долготы.
Широта точки М земной поверхности это величина
м угла, образованного радиусом ОМ (О - центр Земли) с
плоскостью экватора, -90°  м  90. К северу от экватора
широта считается положительной, а к югу – отрицательной.
Долгота м пункта М это величина двугранного угла
между плоскостями СОМ и СОН, где С - северный полюс,
а Н – точка, отвечающая гринвичской обсерватории, -180 
м  180. К востоку от гринвичского меридиана долгота считается положительной, к
западу - отрицательной.
15
Сравнение основных математических характеристик евклидовой и
сферической геометрии2
Евклидова геометрия
Прямая линия является
кратчайшей линией между
двумя точками.
Прямые линии бесконечны.
Расстояние между двумя
точками не ограничено.
Существует только одна
прямая линия, соединяющая
две точки.
Сферическая геометрия
Геодезическая линия является кратчайшей линией
между двумя точками.
Геодезические линии имеют максимальную длину,
равную πR. Максимальное расстояние между двумя
точками равно πR.
Геодезическая линия будет единственной тогда и только
тогда, когда две точки не являются диаметрально
противоположными. В противном случае существует
бесконечное число геодезических линий.
Существуют прямые без общих
точек, и они называются
параллельными прямыми.
Прямыми линиями являются большие круги, и они
всегда пересекаются. Не существует параллельных
прямых в евклидовом смысле.
Две перпендикулярные прямые
образуют четыре прямых угла.
Две перпендикулярные геодезические линии образуют 8
прямых углов.
Треугольник имеет не более
одного прямого угла.
У сферического треугольника может быть 0, 1, 2 или
даже 3 прямых угла.
2
[6, С.106]
16
Методы решения некоторых прикладных задач сферической геометрии
ЗАДАЧА 1
Известны географические координаты - широта и долгота пунктов А и В земной
поверхности A, B, A, B, требуется найти кратчайшее расстояние между пунктами А и В
по земной поверхности.
РЕШЕНИЕ:
Кратчайшее расстояние между пунктами
А и В земной поверхности - это длина меньшей
из
дуг
большей
окружности
(ортодромия),
соединяющей А с В. Поэтому задача сводится к
определению длины стороны АВ сферического
треугольника ABC, где С - Северный полюс.
Сферическое расстояние от пункта А до В
находим по формуле: ABS = RАОВ.
Для того, чтобы найти АОВ, необходимо знать AOC, СОВ, АCВ.
По определению широты точки СОВ = 90°- В, COA =90° - А.
По определению долготы точки:
|𝜆А − 𝜆В |, если |𝜆А − 𝜆В | ≤ 180°,
∠АСВ = {
360° − |𝜆А − 𝜆В |, если |𝜆А − 𝜆В | > 180°.
Тогда по теореме косинусов:
сosАОВ = cosСОВcosCOA + sinСОВsinCOAcosАCВ,
cos ∠𝐴𝑂𝐵 = cos(90° − А ) ∙ cos(90° − В ) + sin(90° − А ) ∙ sin(90° − В ) ∙
cos(𝜆А − 𝜆В ), по формулам приведения cos (90° − α)=sin α, sin (90° − α)=cos α:
cos ∠𝐴𝑂𝐵 = sin А ∙ sin В + cos А ∙ cos В ∙ cos(𝜆А − 𝜆В )
ABs = R ∙ arccos(sin А ∙ sin В + cos А ∙ cos В ∙ cos(𝜆А − 𝜆В )).
ПРИМЕР ЗАДАЧИ: Вычислить кратчайшее расстояние от Парижа до Нью-Йорка.
ЗАДАЧА 2
Вычислить начальный курс корабля при движении по ортодромии из А в В, если
известны географические координаты этих точек A, B, A, B.
РЕШЕНИЕ:
Курсом корабля в точке М называется величина угла, образованного меридианом,
проходящим через М, и продольной плоскостью судна. Таким образом, начальный курс
судна в точке А – это CAB, где С – Северный полюс. Для вычисления этого угла применим
теорему косинусов к сферическому треугольнику ABC:
17
сos a = cos b· cos c + sin b· sin c ·cosСAВ, где a, b, c – стороны сферического
треугольника АВС, противолежащие вершинам А, В, С соответственно.
cos ∠САВ =
cos 𝑎− cos 𝑏∙ cos 𝑐
sin 𝑏∙ sin 𝑐
,
a = 90°- B, b = 90° - A,
cos c = sin А ∙ sin В + cos А ∙ cos В ∙ cos(𝜆А − 𝜆В ) (см. Задачу 1).
sin c = (1 - cos2c) = √1 − (sinА ∙ sin В + cos А ∙ cos В ∙ cos(𝜆А − 𝜆В ))
Получаем: cos ∠САВ =
𝑠𝑖𝑛 B − 𝑠𝑖𝑛 A (sin А ∙ sin В + cos А ∙ cos В ∙cos(𝜆А −𝜆В ))
𝑐𝑜𝑠 A √1−(sinА ∙sin В + cos А ∙ cos В ∙cos(𝜆А −𝜆В ))
∠САВ = arccos
2
2
𝑠𝑖𝑛 B − 𝑠𝑖𝑛 A (sin А ∙ sin В + cos А ∙ cos В ∙ cos(𝜆А − 𝜆В ))
2
√
( 𝑐𝑜𝑠 A 1 − (sinА ∙ sin В + cos А ∙ cos В ∙ cos(𝜆А − 𝜆В ))
)
ЗАДАЧА 3
Мореплаватель проплыл 1800 миль в одном
направлении из точки А к точке В, повернул на 60
градусов и проплыл в новом направлении еще 2700
миль, оказался в точке С. Требуется найти расстояние
между точками А и С (по поверхности земного шара).
РЕШЕНИЕ:
Морская миля равна величине
одной дуговой минуты земного меридиана. Но так как
Земля в действительности не шар, то и линейная
величина одной минуты земного меридиана в разных
широтах неодинакова. Для простоты расчетов в
России принято считать, что морская миля равна 1852 метрам или 6080 футам.
Обозначим через a, b и с длины дуг ВС, АС и АВ соответственно,  — внутренний
угол при вершине В сферического треугольника АВС. Тогда
с
10800  a
10800 
 1800 

 2700 

R

6 , R

4 , где R — радиус земного шара,
выраженный в морских милях. По теореме косинусов для сферического треугольника
cos

b
c
a
c
a




2
 cos  cos  sin  sin  cos  cos  cos  sin  sin  cos

R
R
R
R
R
6
4
6
4
3
3 2 1 2  1 2 6  2

 
  
 0.4356
2 2 2 2  2
8
18
b
 arccos( 0.4356)  0.90662 радиан. Следовательно, длина дуги АС = b равна b =
R
R*0.90662 = 3437.4*0.90662  3116.7 миль.
Ответ: 3117 морских миль  5772 км.
Далее приведем несколько примеров прикладных задач сферической геометрии [9].
ЗАДАЧА 4
Положения
заданы
широтой
точек А, В и С на
и
долготой.
сфере
Выведите
формулу для площади треугольника АВС. С
помощью полученной формулы вычислите
площадь
Бермудского
вершинами
в
треугольника,
с
городе Майами,
с.ш.,
з.д., островом Бермуды,
с.ш.,
з.д., и городе Сан-Хуан
в Пуэрто-Рико,
с.ш.,
з.д.
Радиус Земли примите равным 6373 км.
ЗАДАЧА 5
Выведите формулу для азимута 3 , под которым точка В видна из точки А, если
положение точек задано широтой и долготой. Вычислить с помощью найденной формулы
азимут, под которым Санкт-Петербург,
с.ш.,
3
с.ш.,
в.д., виден из Москвы,
в.д.
Азимутом, под которым точка В видна из точки А, называется угол между плоскостью меридиана,
проходящего через точку А, и плоскостью, содержащей центр сферы и точки А и В.
19
Пример использования электронных таблиц для решения
некоторых прикладных задач сферической геометрии
Структура листа электронной книги:







Условие задачи в общем виде.
Теоретические сведения и решение задачи в общем виде.
Пример задачи.
Решение задачи.
Расчетная таблица.
Инструкция для пользователя.
Иллюстрации и схемы.
20
Заключение
В процессе работы над проектом я изучил историю развития сферической
геометрии от Древнего мира до Нового времени, освоил основные теоретические
положения – сферическую теорему синусов, теорему косинусов, методы решения
сферических треугольников.. Сравнение евклидовой и сферической геометрии дало
возможность понять границы применения каждой из этих моделей окружающего нас
мира. Также я разобрал методы решения задач на сфере – нахождение длины пути,
определение курса, азимута. Для этих типов задач подобрал примеры, связанные с
навигацией судов. Для удобства и наглядности составил электронные таблицы,
демонстрирующие решение шести задач. Описание проекта содержит не только
практическую часть, но и теоретический раздел и раздел, посвященный истории вопроса.
Таким образом, поставленную цель можно считать достигнутой. Надеюсь, что результат
моей работы будет интересен и полезен учащимся, интересуещимся математикой.
21
Библиография
1. Астрономия. Авт.-сост. М.Я. Цофин. – Мн.:Харвест, 1998. – 704 с. – (Библиотека
школьника).
2. География. Начальный курс. 6кл.:учеб.для общеобразоват.учреждений. Т.П.
Герасимов, Н.П. Неклюкова. -9-е изд., стереотип. – М. Дрофа, 2009. – 174, [2] с.:
ил., карт.
3. Дубкова С.И. История астрономии. М. Белый город, 2002.
4. Задачник «Кванта»: Математика. Часть 1. / Под ред. Н.Б. Васильева. М: 1997.
5. Кирик Л.А., Бондаренко К.П. Астрономия. Разноуровневые самостоятельные с
примерами решения задач. Москва: «Илекса», 2002. – 64 с.
6. Мир математики в 40т. Т.4: Жуан Гомес. Когда прямые искривляются.
Неевклидовы геометрии./Пер.с англ. – М.:Де Агостини, 2014. – 160 с.
7. Розенфельд
Б.А.
История
неевклидовой
геометрии.
Развитие
понятия
о
геометрическом пространстве. М. Наука., 1976. – 408с.
8. Энциклопедия для детей. Том 11. Математика. / Глав.ред. М.Д. Аксенова. - М.:
«Аванта+», 1998. – 688 с.:ил.
9. Уроки геометрии Кирилла и Мефодия. 11 класс / Виртуальная школа Кирилла и
Мефодия — ООО «Нью Медиа Джениерейшн».
10. http://ru.convdocs.org/docs/index-1610.html?page=4
11. http://www.astronet.ru/db/msg/1190817/node2.html
Программное обеспечение для решения задач сферической геометрии
12. Программа Google Earth, http://www.google.ru/intl/ru/earth/.
13. Калькулятор
расстояния
и
азимута
по
географическим
координатам,
http://www.garmin.com.ua/tools/calc.php?typ=0&n1=30&e1=60&n2=15&e2=67.
14. Программа PLANETCALC, «Путевой угол и расстояние между двумя точками по
локсодроме (линии румба)», http://planetcalc.ru/713.
22
Приложение
Пусть S-некоторая сфера с центром O радиуса R.
Возьмём плоскость , удалённую от точки O на расстояние,
меньшее R. Тогда пересечения плоскости  и сферы S есть
окружность. Радиус r этой окружности является катетом
прямоугольного треугольника (рис.1), гипотенуза которого –
радиус R, а второй катет – перпендикуляр h, опущенный из
Рисунок 1
центра сферы на плоскость. Поэтому в силу теоремы Пифагора r = R 2  h 2 .
Эта формула показывает, что величина r принимает максимальное значение r=R
при h=0, то есть является диаметральной плоскостью. В этом случае окружность на сфере
и называется большой окружностью. В геометрии на сфере большие окружности играют
роль прямых на плоскости. При h>0 мы имеем r<R, окружность на сфере называется в
этом случае малой окружностью.
Так как через всякие три точки пространства, не лежащие на одной прямой,
проходит единственная плоскость, то через всякие две точки сферы,
не
являющиеся
диаметрально
противоположными,
проходит
единственная диаметральная плоскость. Поэтому, через всякие две
точки сферы, не являющиеся диаметрально противоположными,
Рисунок 2
проходит единственная большая окружность
(рис.2). Этот факт вполне аналогичен тому, что
на плоскости через всякие две точки проходит единственная
прямая. Через две диаметрально противоположные точки сферы,
напротив,
можно
провести
бесконечное
множество больших окружностей (рис.3). Так
Рисунок 3
как всякие две диаметральные плоскости
сферы пересекаются по её диаметру, то всякие две большие
Рисунок 4
окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных
точках сферы (рис.4). Здесь мы наблюдаем отличие сферической
геометрии от плоской геометрии, в которой две прямые пересекаются не более чем в
одной точке.
Так как плоскость делит пространство на две области, то большая окружность
делит сферу на две области (рис.2); эти области называются полусферами, а сама
окружность – краем этих полусфер. Далее, так как две пересекающееся плоскости делят
23
пространство на четыре области, то две большие окружности делят
сферу на четыре области (рис.4). Наконец, так как три плоскости,
пересекающиеся в одной точке, делят пространство на восемь
областей, то три большие окружности, не пересекающиеся в одной
точке, делят сферу на восемь областей (на рис.5)
Рисунок 5
изображены восемь областей ABC, ABC, ABC,
ABC, ABC, ABC, ABC, ABC, на которые
делят сферу большие окружности AB, AC и BC, причём точки A,B,C
диаметрально противоположны точкам A,B,C и, следовательно, области
ABC и ABC, ABC и ABC, ABC и ABC, ABC и ABC попарно
Рисунок 6
диаметрально противоположны).
Если первые два из этих свойств аналогичны свойствам прямых на плоскости,
которая делится на две области прямой и на четыре области двумя пересекающимися
прямыми, то третье из указанных свойств - не вполне, так как три попарно
пересекающиеся прямые, не проходящие все три через одну точку, делят плоскость не на
восемь, а на семь частей (рис.6).
Сферический отрезок
Если две точки сферы А и В не являются диаметрально
противоположными,
то
существует
единственная
плоскость,
проходящая через центр сферы и эти две точки.
Линия пересечения этой плоскости со сферой есть большая
окружность, а меньшую из двух дуг этой окружности, соединяющий
Рисунок 7
точки
А
и
В,
является
единственным
сферическим отрезком, соединяющим точки А и
В.
Если точки А и В диаметрально противоположны на сфере,
существует бесконечное число больших окружностей, проходящих
через эти две точки, причем эти две точки делят каждую такую
Рисунок 8
большую окружность на две полуокружности, которые являются
сферическими отрезками, соединяющими точки А и В (рис.7).
Теорема о минимальном свойстве сферического отрезка
Сферический отрезок, соединяющий две точки на сфере, короче любой другой линии на сфере,
соединяющий эти две точки (рис.8).
24
Полюс и поляра
Всякой большой окружности соответствует две
диаметрально
противоположные
точки
сферы,
высекаемые из нее диаметром, перпендикулярным к
плоскости большой окружности.
Эти две точки называются полюсами большой
окружности; в частности, полюсами экватора Земли
Рисунок 9
являются ее географические полюсы – Северный и
Южный.
Очевидно, что каждым двум диаметрально противоположным точкам А и В на
сфере соответствует единственная большая окружность, для которой точки А и В
являются полюсами; эта большая окружность называется полярой пары диаметрально
противоположных точек А и В. Каждая точка поляры называется полярно сопряженной с
каждым из ее полюсов; иначе говоря, точки P,Q сферы являются попарно сопряженными,
если радиусы OP и OQ перпендикулярны (О - центр сферы) (рис.9). Все точки поляры
𝜋
удалены от своего полюса на расстояние, равное 2 𝑅 (или квадранту).
Угол на сфере
Величина внутреннего угла при вершине В сферического
многоугольника, образованного дугами АВ и ВС на сфере,
определяется как угол между двумя лучами, которые выходят из
точки В и касаются дуг АВ и ВС в точке В. Поскольку эти лучи
перпендикулярны радиусу ОВ, то угол при вершине В равен
двугранному углу между плоскостями ОАВ и ОВС. Понятно, что
Рисунок 10
два угла сферического двуугольника всегда равны (рис.10).
Участки земной поверхности небольших размеров (по
сравнению с радиусом Земли, равным 6370 км) можно считать
практически плоскими, и для их математического изучения вполне
пригодна
планиметрия.
Земные
участки
больших
размеров
(протяженностью в сотни и тысячи километров) уже нельзя считать
Рисунок 11
плоскими и поэтому для математического изучения таких участков
нужна именно сферическая геометрия (рис.11).
25
Многоугольники на сфере
Сферическим многоугольником называется часть сферы, ограниченная дугами
больших
окружностей,
меньшими
полуокружности,
концами
которых служат точки пересечения этих больших окружностей,
взятых в последовательном порядке.
Сферический многоугольник называется выпуклым, если он
расположен по одну сторону от каждого из больших кругов, частью
которых служат его стороны; в противном случае он называется
вогнутым.
Рисунок 12
В
случае,
когда
многоугольник
выпуклый каждый большой круг, частью
которого
служит
сторона
многоугольника,
делит сферу на две полусферы, из которых
одна содержит весь многоугольник; общая
Рисунок 13
Рисунок 14
область R всех таких полусфер, содержащих
данный многоугольник, и будет внутренней
областью многоугольника (рис 13).
Сферический двуугольник — фигура, образованная двумя полуокружностями
больших кругов сферы, исходящими из диаметрально противоположных точек (рис.14).
Сферический треугольник
Среди всех сферических многоугольников наибольший
интерес представляет сферический треугольник (рис.15). Три
больших окружности, пересекаясь попарно в двух точках,
образуют на сфере восемь сферических треугольников. Зная
элементы одного из них можно определить элементы всех
остальных,
поэтому
рассматривают
соотношение
между
элементами одного из них, того, у которого все стороны меньше
Рисунок 15
половины большой окружности.
Многие свойства сферического треугольника почти полностью повторяют свойства
обычного треугольника, среди них - неравенство треугольника или, например, три
признака равенства треугольника. Все планиметрические следствия упомянутых теорем
вместе с их доказательствами остаются справедливыми на сфере. Так, множество точек,
равноудаленных от концов отрезка, будет и на сфере перпендикулярной к нему прямой,
проходящий через его середину, откуда следует, что серединные перпендикуляры к
26
сторонам сферического треугольника имеют общую точку, точнее, две диаметрально
противоположные общие точки являющиеся полюсами его единственной описанной
окружности. В стереометрии это означает, что около любого трехгранного угла можно
описать конус. Легко перенести на сферу и теорему о том, что биссектрисы треугольника
пересекаются в центре его вписанной окружности. Теоремы о пересечение высот и медиан
также остаются верными.
Сумма углов всякого сферического треугольника всегда больше 180. Разность
А + В + С − 𝜋 = 𝛿 (измеряется в радианах) – величина положительная и называется
сферическим избытком данного сферического треугольника.
Площадь сферического треугольника
Будем называть площадью сферической фигуры, по аналогии с площадью плоской
фигуры, действительное число, удовлетворяющее следующим четырём требованиям:

Площадь
сферической
фигуры
является
положительным
числом,
(свойство
движении
(свойство
позитивности).

Площадь
сферической
фигуры
не
изменяется
при
инвариантности).

Если сферическая фигура разложена на две сферические фигуры, то площадь данной
фигуры равна сумме площадей двух фигур, на которые она разложена (свойство
аддитивности).

Площадь всей сферы радиуса R равна 4R2 (свойство
нормировки).
Найдём площадь двуугольника. Из свойств аддитивности,
инвариантности и нормировки следует, что, если разделить сферу
на n равных двуугольников (рис. 16), то площадь каждого из них
(т.е. площадь двуугольника с углом
площадь двуугольника с углом
равна
1
2
2
) равна  4r . Поэтому
n
n
Рисунок 16
2m
, составленного из m рассмотренных двуугольников,
n
m
 4r 2 , а если угол некоторого двуугольника больше 2m и меньше 2 m  1 ,
n
n
n
то площадь этого двуугольника заключена между
m
m 1
 4r 2 и
 4r 2 (это вытекает
n
n
из первого и третьего свойств площади). Неограниченно увеличивая число n, мы можем с
27
помощью предельного перехода найти площадь любого двуугольника: площадь
двуугольника, углы при вершинах которого равны, равна
S ( ) 
т.е.

 4r 2  2r 2
2
S ( )  2r 2   . (1)
Если нам дан сферический треугольник АВС, то пара
больших окружностей, проходящих через две его стороны,
определяет
два
двуугольника,
углы
которых
равны
Рисунок 17
углу
сферического треугольника между этими сторонами (рис. 17). Всего, таким образом,
получается шесть двуугольников, два с углом А, два – с углом В и два – с углом С.
Треугольник АВС и диаметрально противоположный ему треугольник А'В'С' (равный
треугольнику АВС), входят в три двуугольника, остальные точки сферы (не лежащие на
сторонах двуугольников) входят только в один двуугольник. Поэтому, сумма площадей
шести двуугольников равна сумме площади S всей сферы и учетверённой площади S()
треугольника АВС, т.е. 2S(A)+2S(B)+2S(C)=S+4S(). Так как: S(A)=2r2A, S(B)=2r2B,
S(C)=2r2C, то получаем: 4r2 (A+B+C)=4r2+4S(), т.е. S () =r2 (A+B+C-). (2). Так как
величины S() и r2 положительны, то величина А+В+С- также положительна, откуда
следует, что А+В+С, т.е. сумма углов сферического треугольника больше развёрнутого
угла. Величина А+В+С- называется сферическим избытком сферического треугольника.
Таким образом, площадь сферического треугольника равна произведению его
углового избытка на квадрат радиуса сферы.
Заменяя в последнем неравенстве углы А, В и С равными им выражениями

а
b
c
,   , 
где, а', b', с' – стороны полярного треугольника, мы получим
r
r
r
неравенство а'+ b'+ с' 2r, показывающее, что сумма сторон сферического треугольника
меньше длины большой окружности.
Решение сферических треугольников
1) Если даны три стороны сферического треугольника, то по формуле,
выражающей теорему косинусов, находим
a
b
c
cos  cos  cos
r
r
r и аналогично находим соs В и соs С.
cos A 
b
c
sin  sin
r
r
28
2) Если даны две стороны сферического треугольника и угол между ними,
например стороны b, с и угол А, то сторону а найдем из теоремы косинусов.
Зная все три стороны сферического треугольника, найдем его остальные
углы, как указано выше.
3) Если нам даны две стороны сферического треугольника и угол, лежащий
против одной из них, например стороны а, b и угол A, то по теореме синусов
находим
b
r  sin A .
sin B 
a
sin
r
sin
Заметим, что эта формула даёт для В два значения, дополняющих друг друга
до ; это соответствует тому, что в общем случае два сферических треугольника с двумя
соответственно равными сторонами и равными углами, лежащими против одной из
этих сторон, не обязательно равны, а возможен случай, когда углы этих треугольников,
лежащих против другой стороны, дополняют друг друга до π, как мы это видели,
рассматривая четвёртый признак равенства сферических треугольников.
Для определения стороны с и угла С проведём через вершину
С дугу большой окружности АВ. Если эти большие окружности
пересекаются
в
точке
D,
то
рассмотрим
прямоугольные
сферические треугольники АСD и ВСD (рис. 19). В этих
Рисунок 18
треугольниках известны гипотенузы b и а и углы при вершинах
А и В. Второй катет каждого из этих треугольников определяется
по первым формулам тангенсов, а угол при вершине С определится по формуле
котангенсов.
Сторона с и угол C сферического треугольника АВС являются суммами найденных
сторон или углов прямоугольных треугольников, если точка D лежит на стороне АВ, и
разностям и этих сторон или углов, если точка D лежит на продолжении стороны АВ.
Именно, если оба угла A,В в исходном треугольнике АВС являются острыми или оба
тупыми, то перпендикулярная к АВ окружность, проходящая через точку C, пересекает
окружность АВ в двух точках, одна из которых лежит на дуге АВ; эту точку и следует
принять за D в рассматриваемом случае. Таким образом, углы при вершинах А и В в
прямоугольных треугольниках АСD и ВСD совпадают с углами А и В исходного
треугольника АВС, а сторона с и угол С треугольника АВС являются суммами найденных
29
нами сторон или углов прямоугольных треугольников АСD и ВСD. Если же в
треугольнике АВС один из углов A, В острый, а второй—тупой, то перпендикулярная к
АВ окружность, проходящая через точку С, пересекает
окружность АВ в двух точках, ни одна из которых не лежит на дуге АВ. В этом случае за D можно принять
любую из этих точек, например ту, которая лежит на
продолжении стороны АВ за точку В (рис. 20). Таким
Рисунок 19
образом, угол при вершине А в ∆АСD равен углу А
треугольника АВС, а угол при вершине В в ∆ВСD равен  — В. При этом сторона с и угол
С треугольника АВС являются разностями сторон АD, ВD или углов при вершине С
треугольников АСD и ВСD. Наконец, если один из углов A, В (например, А) прямой, то
треугольник АВС прямоугольный, и для нахождения стороны с и угла С можно в атом
случае воспользоваться формулами
cos
a
b
c
b
a
 cos  cos
tg  cos C  tg
r
r
r , r
r.
4) Если даны три угла сферического треугольника, то по формуле
cos A   cos B  cos C  sin B  sin C  cos
находим cos
a
двойственной теоремы косинусов
r
a cos A  cos B  cos C
b
c

и аналогично находим cos и cos .
r
sin B  sin C
r
r
Если даны два угла сферического треугольника и сторона между ними,
например сторона а и углы B и C, то угол А найдем но формуле двойственной теоремы
косинусов. Зная все три угла сферического треугольника, найдем его остальные стороны,
как указано выше.
Если даны два угла сферического треугольника и сторона, лежащая против
одною из них, например углы А и В и сторона а, то по теореме синусов находим
sin
b sin B
a

 sin
r sin A
r.
Заметим, что эта формула дает для b два значения, дополняющих друг друга до
r. Это соответствует тому, что в общем случае два сферических треугольника с двумя
соответственно равными углами и равными сторонами, лежащими против одного из
этих углов, не обязательно равны, а возможен случай, когда стороны этих треугольников, лежащие против другого угла, дополняют друг друга до r. Сторону с
и угол С по углам А, В и сторонам а, b найдем, как указано выше.
30