R7-2

1
7.4. Ранг матрицы.
В матрице А выделим k строк и столбцов из элементов, стоящих на их
пересечении составим определитель. Будем называть его минором k-того
порядка. Если минор k-того порядка отличен от нуля, а все миноры высших
порядков равны нулю, то такой минор называется базисным. Порядок
базисного минора называется рангом матрицы. Ранг матрицы не меняется
при элементарных преобразованиях, к которым относятся:
1. перестановка местами двух строк матрицы;
2. умножение всех элементов строки на некоторое число, отличное от
нуля;
3. прибавление ко всем элементам строки матрицы соответствующих
элементов другой строки, умноженных на одно и то же число.
Ранг также не меняется при вычеркивании из матрицы нулевой строки и
при транспонировании матрицы.
Пример 4. Найти ранг матрицы
1 2 3
А = (2 3 1
3 5 4
5 −1
4 −8)
9 −9
Решение: Вычтем первую строку умноженную на 2 из второй строки и
первую строку умноженную на 3 из третьей строки. Получим новую
матрицу, ранг которой будет такой же, как и у матрицы А:
1
2
3
5
А≈(0 −1 −5 −6
0 −1 −5 −6
−1
1 2
−6) ≈ (0 1
−6
0 0
3
5
−1
−5 −6 −6)
0
0
0
Так как у последней матрицы есть миноры второго прядка, отличные от
нуля, то ранг матрицы А равен 2.
2
7.5. Системы линейных уравнений.
Системой алгебраических уравнений называется система вида:
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + … + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛
𝑎 𝑥 +
𝑎22 𝑥2
… + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛
{ 21 1
…
…
…
…
𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 … + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛
= 𝑏1
= 𝑏2
, (7.3)
…
= 𝑏𝑚
где 𝑎𝑖𝑗 (i = 1 ÷ m; j = 1 ÷ n) называются коэффициентами системы, а 𝑏𝑖 –
свободными членами.
Если обозначить
А=
𝑎11
𝑎12
…
𝑎1𝑛
𝑎21
𝑎22
…
𝑎2𝑛
…
…
…
…
(𝑎𝑚1
𝑎𝑚2
… 𝑎𝑚𝑛 )
𝑥1
𝑏1
𝑥2
𝑏
; X=( … ) ; B=( 2 ),
…
𝑥𝑛
𝑏𝑚
то систему (7.3) можно записать в матричной форме:
AX=B
(7.4)
Матрица А называется матрицей системы. Если к матрице А присоединить
столбец свободных членов, то получим расширенную матрицу А системы.
Решением системы называется n значений неизвестный 𝑥1 , 𝑥2 ,… 𝑥𝑛 ,
подстановка которых в каждое из уравнений системы, обращает это
уравнение в верное равенство. Система совместна, если она имеет хотя бы
одно решение и не совместна, если решений нет, если системы имеет
единственное решение, то она называется определенной, и система
неопределенная, если у нее – бесконечно много решений. Система уравнений
совместна тогда и только тогда, когда ранги матриц А системы и ранги
расширенной матрицы А равны.
Рассмотрим совместную систему n уравнений с n неизвестными и ранг
матрицы системы также равен n. В этом случае единственное решение
системы находится по формуле Крамера.
𝑥𝑖 =
∆𝑖
∆
(i=1÷n) (7.5)
3
где ∆ - определитель матрицы системы, а ∆𝑖 - определитель, полученный из
определителя ∆ заменой i-того столбца столбцом свободных членов. Кроме
того, такую систему можно решать в матричной форме:
AX=B → X = 𝐴−1 B (7.6)
Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет
бесчисленное множество решений. Правило решения такой системы
следующее:
1. Найти ранг матрицы системы r (напомним, что r = 𝑟𝐴 = 𝑟А ).
2. Находим базисный минор матрицы.
3. Выбираем те уравнения, коэффициенты при неизвестных у которых
входят в этот минор. Неизвестные, коэффициенты при которых входят
в базисный минор, называют базисными и оставляют слева, а
остальные (свободные) неизвестные переносят в правую сторону. При
любом выборе свободных неизвестных будем по формулам Крамера
получать значение базисных неизвестных. Таким образом, получим
бесконечное множество решений системы.
𝑥1 − 3𝑥2 + 5𝑥3 = 3
Пример 5. Решить систему уравнений: { 2𝑥1 + 𝑥2 − 4𝑥3 = −1
−3𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 2
1
∆=| 2
−3
3
∆1 = |−1
−3
1
2
−3
1
5
−4| = (3+8)+3(6−12)+5(4+3) = 28
3
5
−4| = (3+8)+3(−3+8)+5(−2−2) = 28
2
2
3
1
3
5
∆2 = | 2
−1 −4| = 28
−3
2
3
1
−3
3
∆3 = | 2
−3
1
2
−1| = 28
2
a) Решим сначала систему по формулам Крамера:
4
Очевидно, что 𝑥1 = 𝑥2 = 𝑥3 = 1
б) Решим систему в матричном виде:
1
−3
(2
2
𝑥1
𝑥3
3
1
−3
(𝑥2 ) = ( 2
𝑥3
3
−4) (𝑥2 ) = (−1)
1
−3
𝑥1
5
−1
5
−4)
1
−3
2
2
3
(−1)
2
3
Находим матрицу, обратную матрице системы:
А11 = 11 А21 = 19
А31 = 7
А12 = 6
А22 = 18 А32 = 14
А13 = 7
А23 = 7
А33 = 7
Обратная матрица имеет вид:
11 19 7
1
( 6 18 14)
28
7
7
7
Подставляя эту матрицу в формулу (7.6) получим решение системы:
𝑥1
(𝑥2 ) =
𝑥3
1
28
11 19
(6
7
7
3
1
18 14) (−1) = (1)
7
7
2
1
5
𝑥1
1
Ответ : (𝑥2 ) = (1)
𝑥3
1
−1 2
Пример 6. Решить матричное уравнение XA = B, где А = (
),
3 1
0 1
В=(
)
−4 2
Решение: Чтобы найти матрицу X, умножим обе части уравнения на матрицу
𝐴−1 справа:
X𝐴𝐴−1 = B𝐴−1 → X = B𝐴−1
Найдем матрицу 𝐴−1 :
𝐴11 = 1; 𝐴12 = −3; 𝐴21 = −2; 𝐴22 = −1
Определитель матрицы равен −7. Тогда 𝐴−1 = −
0
1
1
−2
1 1 −2
7 (−3 −1) и
−3
1
1
X=− (
)(
)=− (
7 −4 2 −3 −1
7 −10
3
1
7 )
)=(7
10
6
6
−
7
7
−1
3
1
7 )
Ответ : X = ( 7
10
6
−
7
7
Пример 7. Найдите количество базисных неизвестных системы
𝑥1 + 5𝑥2 − 3𝑥3 − 2𝑥4 − 𝑥5 = 0
{2𝑥1 + 3𝑥2 − 5𝑥3 + 𝑥4 + 2𝑥5 = 3
3𝑥1 + 8𝑥2 − 8𝑥3 − 𝑥4 + 𝑥5 = 3
6
Решение: Убедимся в совместности системы, вычислив ранги матрицы
системы и расширенной матрицы:
−2 −1 0
1 5 −3
(2 3 −5
1
3 8 −8
−1
1
5
−3 2
−1 0
2 | 3) → (0
−7
1
5
4 | 3) →
1 3
−7
1
5
4 3
1
0
5
−3 2
(0 −7
0
0
−1 0
1
5
4 | 3)
0
0
0 0
Очевидно, что система совместна и ранг равен 2. Это означает, что число
базисных неизвестных равно 2.
Пример 8. Решить систему уравнений:
2𝑥1 + 3𝑥2 + 4𝑥3 − 6𝑥4 = 3
𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 − 4𝑥4 = −1
−𝑥1 − 4𝑥2 + 8𝑥4 = 3
{2𝑥1 − 2𝑥2 + 7𝑥3 − 2𝑥4 = 5
Решение: Найдем ранг матрицы системы и расширенной матрицы.
2
1
3
4
−1 3
−1 −4 0
(2
−2 7
−6 3
−4| −1
8| 3
1 −1
→
−2 5 )
1
−1
3
−4 −1
0
5
−2
0
0
1
2| 5
6| 7
(0
0
1
6
7)
0
5
0 −5
(0
0
1 −1
→
3
−4 −1
−2
3
2| 5
4| 2
1
6
3|
−4 −1
→
7)
0
5
−2|
0
0
1|
2| 5
6| 7
(0
0
0
0
0)
7
Вначале поменяем местами первую и вторую строки, а затем с помощью
умножения первой строки на «-2» с последующим сложением со второй и
четвертой строкой, а также сложением первой и третьей строки обращаем в
ноль элементы первого столбца. Далее, с помощью новой второй строки
обращаем в ноль элементы второго столбца. Аналогично, с помощью новой
третьей строки обращаем в ноль элементы третьего столбца.
Ранги матрицы системы и расширенной матрицы равны и равны 3.
Система совместна и число неизвестных больше ранга.
В качестве базисного минора может быть выбран минор третьего порядка,
стоящий в левом верхнем углу (очерчен штриховой линией), так как он не
равен нулю. Тогда базисными неизвестными будут неизвестные 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , а
𝑥4 - свободное неизвестное.
Отбросим последнее уравнение, которое, очевидно, есть линейная
комбинация остальных уравнений, и перепишем систему в виде:
𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 = −1 + 4𝑥4
{
5𝑥2 − 2𝑥3 = 5 − 2𝑥4
𝑥3 = 7 − 6𝑥4
Эту систему можно решать методом исключения неизвестных: подставляя
𝑥3 во второе уравнение, получим 𝑥2 ; подставляя 𝑥2 и 𝑥3 в первое уравнение,
получим 𝑥1 :
5𝑥2 = 2(7 − 6𝑥4 ) + 5 − 2𝑥4 = 19 − 14𝑥4 → 𝑥2 =
𝑥1 =
1
5
(19 − 14𝑥4 ) − 3(7 − 6𝑥4 ) −1 + 4𝑥4 =
1
5
1
5
(19 − 14𝑥4 )
(−91 + 96𝑥4 )
96𝑥4 − 91
−91
96
1
1
1 −14𝑥4 + 19
19
−14
Общее решение запишем в виде столбца: (
) = 𝑥4 (
)+ (
)
5 −30𝑥4 + 35
−30
5
5 35
𝑥4
1
0
Давая 𝑥4 произвольные значения, будем получать частные решения системы.