Отображения. Функции

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва»
В. Д. Бочкарева
Математика для студентов географических направлений.
Отображения, функции
Учебно-методическое пособие
Саранск 2012
ОТОБРАЖЕНИЯ. ФУНКЦИИ
Сведения из теории
Пусть даны некоторые множества A и B . Бинарное соответствие из A
в B называется отображением множества A в множество B , если
1) каждый элемент из A является точкой исхода,
2) у каждой точки исхода есть только по одной точки прибытия.
Другими словами, отображением множества A в множество B
называется такое бинарное соответствие из A в B , при котором каждому
элементу из A соответствует только по одному элементу из В. Если
бинарное соответствие f из A в B является отображение, то пишут:
A  B,
f:
x  y  f  x .
При этом элемент x называют прообразом, а y – его образом.
Множество образов при заданном отображении называется множеством
значений отображения f или полным f -образом множества и обозначается
символом f  A . Отображение f : A  B , при котором f  A  B , называется
отображением множества A на множество B . Отображение f : A  B , при
котором у каждого образа имеется только по одному прообразу, называется
взаимно-однозначным отображением множества A в множество B .
Отображение f : A  B , которое является:
1) отображением “на”,
2) взаимно-однозначным,
называется взаимно-однозначным отображением множества A “на”
множество B или наложением множества A на множество B . Так как
отображение множества A в множество B является частным случаем
бинарного соответствия, то его можно изображать на плоскости с помощью
графика и графа.
Два множества A и B называются эквивалентным, если для них
найдется хотя бы одно наложение, т. е. взаимно-однозначное отображение A
на B . При этом пишут A ~ B . Бесконечное множество A называется счетным
, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел N , т. е. A ~ N .
Например, множество четных натуральных чисел счетно, т. к. 2N  N по
правилу: x  2n  n .
Более широким понятием, чем отображение, является понятие
функции. Это понятие, также как и понятие множества, является
фундаментальным. С его помощью математика изучает зависимость между
явлениями действительности, их взаимосвязь. Например, при изучении
возрастного состава населения каждому человеку ставится в соответствие
число его лет. При изучении производительности труда на заводе каждому
рабочему ставится в соответствие количество полученной им продукции.
Чтобы судить о величине городов данной страны, каждому городу ставится в
соответствие число его жителей. В геометрии каждой окружности ставится в
соответствие ее длина, каждому треугольнику – его площадь и т. д.
Когда мы говорим, что между множествами A и B имеется
функциональная зависимость, то имеем в виду, что задано бинарное
соответствие из множества A в множество B , при котором каждому
элементу из множества A соответствует не более одного элемента из
множества B . При этом говорят, что указанное соответствие является
функцией из A в B .
Если множество A и B – числовые множества, то функция f из A в B
называется числовой функцией числового аргумента. Если f – функция из
A  B,
или коротко y  f  x  .
A в B , то пишут: f :
x  y  f  x ,
Для функции f : A  B множество значений аргумента, совпадающее с
pr A f называется областью определения функции f , а множество prB f
называется областью значений этой функции.
Например, A  a, b, c, B  1, 2, 3, 4. Для функции f : A  B , заданной
с помощью графа:
область определения представляет собой множество a, c, а область
значений – 3.
Для некоторых функций вводится понятие обратной функции.
Например, пусть дана функция f , заданная графом:
c область. определения a, c и областью значений 2, 3 . Заметим, что для
этой функции каждому значению функции соответствует не более одного
значения аргумента. Другими словами, рассматривая соответствие, заданное
графом:
мы получаем новую функцию. Эту функцию называют обратной к функции
f и обозначают символом f 1 .
Лабораторная работа № 8. Отображение. Виды отображений
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Вопросы к работе
Что такое отражение множества в множестве?
Что такое образ, что такое прообраз при данном отображении?
Что такое полный f -образ, что такое полный f -прообраз, при
отображении f ?
Назовите типы отображений и дайте их определения.
Какое множество называется счетным?
Какие два множества называются эквивалентными?
Образцы решения заданий
1. Пусть A  1, 2, 3, 4, 5, 6  N
и B  0, 1  Ζ . Поставим в
соответствие каждому числу x  A его остаток при делении на 2. Является ли
это соответствие отображением? Какой тип этого отображения? Какой
элемент является образом элемента 6? 7? Найдем полный прообраз элемента
1.
Решение. Изобразим задание соответствие с помощью графа:
Видим, что:
1) каждый элемент множества A , является точкой исхода;
2) e каждой точки исхода, имеется только по одной точке прибытия.
Значит, указанное соответствие является отображением множества A в
множество B .
3) Каждый элемент множества B является точкой прибытия. Значит,
это отображение “на”.
Так как в множестве B есть элемент (например, 0) для которого
прообразом является не один элемент из A , то это отображение не является
взаимно-однозначным.
Образом числа 6 является число 0  B , образом числа 7 – число 1 B .
Полный прообраз числа 1 B есть множество чисел 1, 3, 5, 7  A .
2. Пусть X – множество треугольников плоскости, Y  R . Выберем
единицу измерения длин и сопоставим каждому треугольнику число –
периметр этого треугольника. Будет ли это соответствие отображением?
Какой тип у заданного отображения? Каков полный прообраз числа y  R ?
Решение.
Каждый треугольник на плоскости имеет однозначно определенный
периметр. Поэтому каждому треугольнику их множества X сопоставляется
единственное число из R . Т. е. это соответствие является отображение X в
R . При этом у двух разных треугольников может быть одинаковый
периметр. Другими словами, отображение не является взаимно-однозначным.
Кроме того, не существует треугольника, периметр которого равен
отрицательному числу, т. е. отображение не является отображением “на”.
Пусть y  R . Тогда:
1) y  0 . Полный образ – множество всех треугольников плоскости,
периметр которых равняется числу y . Это множество бесконечности.
2) y  0 . Полный образ – пустое множество.
3. X  0, 1, 2, 3, 4  N , Y  Z . Отображение f множества X в
X Y,
множество Y задано следующим образом: f :
x  y  f  x   3x  2.
Определим тип этого отображения и построим его график.
Решение.
Для каждого x  X найдем образ y  Y , соответствующие результаты
запишем в таблицу:
0
1
2
3
4
x
y  f x 
1
4
7
10
2
Множество значений отображения f есть множество B   2, 1, 4, 7, 10  A
и B  Y . У каждого элемента y  B в X имеется только по одному
прообразу. Мы имеем, следовательно, взаимно-однозначное множества
отображение X в множество Y .
Пары значений  x, y  из таблицы образует график данного
отображения f : X  Y . В прямоугольной системе координат этот график
имеет вид:
4. Даны два множества слов: X  { красный, синий, зеленый, желтый}
и Y  {галстук, свет, платок, лист}. Эквивалентны ли эти множества?
Решение:
Эти множества эквивалентны, т. к. для них можно установить взаимнооднозначное отображение “на”. Например:
Х
Красный
Синий
Зеленый
Желтый
У
галстук
свет
платок
лист
5. Даны множества: A  x | x  2n, n  N и B  x | x  1/ n, n  N .
Эквивалентны ли эти множества?
Решение:
Эти множества эквивалентны, т. к. можно подобрать взаимно-однозначные отображения множества A на множество B .
на
X 
Y,
Например: f :
x  2n  y  1 n.
Упражнения
1. Между множеством имя X  {Андрей, Борис, Михаил, Алексей,
Константин, Василий, Валентина, Клара, Семен, Мария, Софья, Олег,
Трофим, Юрий, Яков} и множеством Y букв русского алфавита установлено
соответствие при котором каждому имени сопоставляется его первая буква.
Будет ли это соответствие отображением X в Y ? Если “да”, то какого типа?
Найдите образ множества X . Найдите полные прообразы букв А, Б, К, Л.
Постройте граф указанного соответствия.
2. Каждой точке M отрезка AB поставим в соответствие ее проекцию
N на данную прямую l . Будет ли это соответствие отображением? Каким?
Опишите область определения, область значений этого отображения.
3. Множество X состоит из всех квадратов на плоскости, а множество
Y из всех окружностей на той же плоскости. Поставим в соответствие
каждому квадрату вписанную в него окружность. Является ли это
соответствие отображением X на Y .
4. Можно ли задать отображение следующим образом: множество A
из отрезков, на Y – из треугольников; каждому отрезку ставится в
соответствие треугольник, для которого этот отрезок является средней
линией?
Z  Z,
5. Верно ли, что соответствие f :
есть отображение
x  y  5 x  2
“на”?
6. Пусть X – множество вещественных чисел. Каждому числу x  X
поставим в соответствие его квадрат. Можно ли это соответствие назвать
обратимым отображением?
7. Покажите, что следующие множества четны:
а) множество нечетных натуральных чисел;
б) множество неотрицательных целых чисел;
в) множество квадратов натуральных чисел;
г) множество натуральных чисел, кратных 5;
д) множество кубов натуральных чисел.
Индивидуальное задание
1. Среди указанных соответствий выбрать отображения. Указать их
тип, построить график.
Z  Z,
Z  Z,
R  R,
1) а) f :
б) f :
в) f :
x  5 x  1.
x  x.
x  lg x.
Z  Z,
Z  Z,
R  R,
2) а) f :
б) f :
в) f :
x  2 x  3.
x  x  1.
x  sin x.
Z  Z,
Z  Z,
R  R,
f
:
3) а) f :
б) f :
в)
x  5 x  3.
x  4 x.
x  cos x.
Z  Z,
Z  Z,
R  R,
4) а) f :
б) f :
в) f :
x  2 x  7.
x  2 x  1.
x  ctg x.
Z  Z,
Z  Z,
5) а) f :
б) f :
в)
x  3x  1.
x  x  2.
R  R,
f:
x  arcsin x.
Z  Z,
Z  Z,
6) а) f :
б) f :
в)
x  2 x  5.
x  4 x  1.
R  R,
f:
x  arccos x.
Z  Z,
Z  Z,
7) а) f :
б) f :
в)
x   x  2.
x  x  5.
R  R,
f:
x  arctg x.
Z  Z,
Z  Z,
б) f :
в)
x  3x  1.
x   x  7.
R  R,
f:
x  arcctg x.
Z  Z,
Z  Z,
9) а) f :
б) f :
в)
x  5 x  7.
x   3x  1.
R  R,
f:
x  lg  x  1.
Z  Z,
Z  Z,
10) а) f :
б) f :
в)
x  2 x  1.
x  2 x  5.
R  R,
f:
x  lg 2 x  5.
2. 1) Даны два множества: A  {Париж, Москва, Варшава, Краков,
Лондон, Саранск, Владимир, Марсель} и B  {Франция, Россия, Англия,
Польша, Швеция, Австрия}. Зададим соответствие между ними: “город x  A
находится в стране y  B ”. Построить граф этого соответствия. Будет ли это
соответствие отображением? Какого типа?
2) Эквивалентны ли множества A изображений населенных пунктов на
карте и множество B населенных пунктов местности, изображенной на
карте?
3) Изобразите в прямоугольной декартовой системе координат графики
следующих отношений в Z . Для каждого отношения выясните, является ли
оно отображением Z в Z , отображением Z на Z , взаимно-однозначным отображением, наложением:
1) x  y  3 ;
6) x  y ;
2) x  y  5 ;
7) y  x  2 ;
3) x  y  4 , x  0 ;
8) y  x  2 ;
4) x  y ,  4  x  6 ;
9) y  4 ;
8) а) f :
5) x 2  y ,  4  x  6 ;
10) xy  24 ,  6  x  6 .
Задания для самоконтроля
Соедините следующие пары множеств знаком “=”, если они равны, и
знаком “~”, если они эквивалентны:
1) A – множество сторон треугольника, B – множество углов
треугольника;
2) A – множество букв в слове “колос”, B  {о, к, с, л};
3) A – множество колец на пне дерева, B – множество лет, прожитых
деревом;
4) A – множество материков на Земле и B – множество государств.
МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ.
ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
Сведения из теории
Одной из отличительных черт математики и таких наук, как
теоретическая механика, математическая лингвистика, является дедуктивное
построение теории, при котором все утверждения выводятся из нескольких
основных положений, называемых аксиомами, с помощью дедукции, т. е.
логического вывода (само слово “дедукция” по-русски означает “вывод”).
Аксиомами называют высказывания, задающие свойства основных понятий
данной теории и отношений между этими понятиями.
Однако дедукция не является единственным методом научного
мышления. Уже в вычислительной математике не всегда удается строго
доказать, что вычислительные процессы сходятся и их применимость
обосновывается тем, что они дают, как правило, результаты, подтверждаемые
практикой. Еще шире используется апелляция к наблюдению и опыту в
таких науках, как физика, химия, биология. В них наряду с дедукцией
широко используются индуктивные рассуждения. Слово “индукция” порусски означает “наведение”, а индуктивными называют выводы, сделанные
на основе наблюдений, опытов т. е. полученные путем заключения от
частного к общему.
Индукция может привести и к ошибочным выводам. Например,
французский математик XVII века Пьер Ферма, рассматривал числа
1
2
3
4
2 2   1  5 , 2 2   1  17 , 2 2   1  257 , 2 2   1  65637 , и пришел к выводу,
что при любом натуральном значении n число 2 2   1 является простым.
Проверить справедливость этого утверждения при n  5 он не смог, т. к. не
n
сумел выяснить, имеет ли число 2 2  1  232  1 нетривиальные делители,
т. е. делители, отличные от 1 и от самого числа 232  1 .
Но Эйлеру удалось показать, что число делится на 641, т. е. оно не
является простым.
Из сказанного следует, что это указанный с помощью индукции
результат подлежит дедуктивному доказательству. В некоторых случаях
такое доказательство можно провести, разобрав конечное число случаев,
исчерпывающих все возможности.
Например, чтобы доказать утверждение: для любого правильного
многогранника справедливо соотношение B  P  Г  2 , где B – число его
вершин, Р – ребер, Г – граней, достаточно рассмотреть 5 случаев известных
правильных многогранников: тетраэдр, октаэдр, куб, додекаэдр, икосаэдр
(других правильных многогранников не существует). А для этих пяти
случаев утверждение проверяется с помощью следующей таблицы.
5
Название
Тетраэдр
Октаэдр
Куб
Додекаэдр
Икосаэдр
В
число вершин
4
6
8
20
12
Р
Число ребер
6
12
12
30
30
Г
Число граней
4
8
6
12
20
Во всех случаях имеем: B  P  Г  2 .
Такой метод перебора конечного числа случаев, исчерпывающих все
возможности, называется полной индукцией.
Метод полной индукции имеет весьма ограниченную область
применимости в математике. Как правило, математические утверждения
касаются бесконечного множества объектов и перебрать все эти объекты
оказывается невозможным. Но существует метод рассуждения, заменяющий
неосуществимый перебор бесконечного множества случаев доказательством
того, что если данное утверждение истинно в одном случае, то оно окажется
истинным и в следующем за ним случае. Такой метод рассуждения
называется математической индукцией или рассуждением от n к n  1 .
При доказательстве комбинаторных теорем нам понадобится часто
употребляемая теорема, называемая обычно принципом полной
математической индукции, состоящая из следующих положений:
1) некоторое утверждение, зависящее от натурального параметра n
справедливо при n  1 ,
2) из справедливости утверждения для всех натуральных значений
параметра n от 2 до произвольных k включительно следует его
справедливость для n  k  1, то утверждение справедливо для любого
натурального значения параметра n .
Итак, для доказательства утверждения S n  , зависящего из
натурального параметра n , методом полной математической индукции
необходимо:
1) проверить справедливость этого утверждения для n  1 , т. е.
убедится, что S 1 – истина;
2) предположить справедливость этого утверждения для всех
натуральных значений n от 2 до k включительно, в частности предположить,
что S k  – истина;
3) проверить справедливость утверждения для n  k  1, т. е.
проверить, что S k  1 – истина;
Например, требуется доказать, что при любом натуральном n число
an  n 3  3n 2  5n делится на 3.
1. Проверим, верно ли утверждение при n  1 , т. е. проверим, делится
ли на 3 число a1 : a1  13  3  12  5  1  1  3  5  93n  .
2. Предположим, что утверждение верно для всех натуральных n от 2
до k включительно, в частности, предположим, что ak  k 3  3  k 2  5  k 3 .
3. Проверим, делится ли на 3 число a k 1 .
ak 1  k  1  3k  1  5k  1  k 3  3k 2  3k  1  3k 2  6k  3  5k 
3
2
 ak  3k  1  3k 2  6k  3  5  ak  3k 2  9k  9
a k 3 (по предположению); 3k 2  9k  93 (по свойствам делимости). Значит,
ak 1 3 (по свойствам делимости).
Согласно метода полной математической индукции мы можем
утверждать, что число an  n 2  3k 2  5n делится на 3 при любом
натуральном значении n .
Доказательство методом неполной математической индукции
некоторого утверждения, зависящего от натурального параметра n , начиная
с некоторого натурального n  p  2 , проводится следующим образом:
1. Устанавливается справедливость этого утверждения для n  p .
2. Предполагается справедливость этого утверждения для всех
натуральных значений от p  1 до k ( k – любое натуральное число, не
меньше p ).
3. Устанавливается исходя из (2) его справедливости для n  k  1.
На основании (1) и (2) и принципе неполной математической индукции
делается вывод, что это утверждение справедливо для любого натурального
n  p.
Лабораторная работа № 9. Метод математической индукции
Вопросы к работе
1) Для какого типа утверждений применяется метод математической
индукции?
2) В выполнение каких шагов состоит метод математической индукции?
Образцы решения заданий
1. Доказать, что сумма первых n ( n  N ) нечетных чисел равна
квадрату их числа, т. е. 1  3  5    2n  1  n 2 .
Решение.
Т. к. утверждение зависит от натурального параметра n , то
воспользуемся для его доказательства методом математической индукции.
1) Проверим справедливость данного утверждения для n  1 .
Если n  1 , то 1  12 (и).
2)Предположим, что сумма первых k ( k  2 ) нечетных чисел равна
квадрату количества этих чисел, т. е. 1  3  5    2k  1  k 2 . Другими
словами, предположим, что наше утверждение истинно для всех, значений n
от 2 до k включительно.
3) Установим, исходя из равенства (2), что сумма первых k  1
2
2
нечетных чисел равна (k 1) , т. е.1+3+5+…+(2(k+1)-1)= (k 1) .
Действительно,
1+3+5+…+(2(k+1)1)=1+3+5+…+(2k+1)=1+3+5+…+(2k–
–1)+(
2k+1)=[1+3+5+…+(2k-1)]+
2
2
2
2
(2k+1)= k +2k+1= (k 1) ; (k 1) = (k 1) (и).
На основании принципа математической индукции делаем вывод, что
сумма первых n нечетных чисел равна n 2 для любого натурального n .
2. Доказать, что для n -го члена геометрической прогрессии bn  со
знаменателем q справедлива формула bn  b1q n1 ( n  N ).
Решение.
Доказательство проводим методом математической индукции по
натуральному параметру n.
11
1. n=1  в1  в1 q  в1  в1 (и).
2. Предположим, что формула справедлива для всех натуральных
k 1
значений n от 2 до k включительно, т. е. в k  в1 q
k 1
( k 1) 1
k
3. n=k+1  вk 1  q  вk  q в1 q = в1 q ; в k 1  в1 q
(и).
Согласно принципа математической индукции можно сказать, что
рассматриваемая формула верна для любого натурального n.
3
4. Доказать, что при каждом натуральном n число n  11n делятся на 6.
Решение. Обозначим число n  11n = a n . Надо доказать, что
любом натуральном n.
1.
n=1  а1  13  11  1  12 6 (и).
3
a
n
 6 при
3
2. n=k  ak  k  11k  6 (предположение)
 ak 1`  (k 1)  11(k  1)  k  3 k  3k  1  11k  11 
3
3. n=k+1
3
2
 k  3 k  3k  11k  12  (k  11k )  (3 k  3k  12)
3
k
3
2

 11k  6 (по
3
предположению),
2
3k 2  3k  123
(по
свойствам
делимости).
Если мы сумеем доказать, что
2
3 k  3k  12  2 , то тогда можем утверждать, что

3 k
2

 3k  12 6 , т. к. 3 и 2 взаимно-простые числа.
Это доказательство проведем тоже методом математической индукции:
1) k=1  3 12  3  1  12  18 2
2
2) k=s  3S  3S  12 2 (предположение)
3)k=s+1  3 (S 1)  3( S  1)  12  3S 2  6S  3  3S  3  12  (3S 2  3S  12)
+(6S+6)
2
(3S  3S  12)  2 (по предположению)
(6S+6)  2 (по свойствам делимости).
Тогда (3S 2  3S  12) +(6S+6)  2 по свойству делимости.
2




Итак 3 k  3k  12 3 и 2. Следовательно, 3 k  3k  12  6 .
Согласно методу математической индукции мы можем сказать, что число
3
n  11n делится на 6 для любого натурального значения n.
4. Доказать, что при каждом натуральном n справедлива формула
2
1+2+3+….+(n-1)+n=
Решение.
1. n=1  1 
2
n(n  1)
.
2
1  (1  1)
; 1=1(и).
2
2. n=k  1  2  3  ...  (k  1)  k 
k (k  1)
(предположение).
2
3. n=k+1  1  2  3  ....  k  (k  1) равно ли
1  2  3    k  k  1  A ,
k  1k  2
2
? Обозначим
(k  1)( k  2)
B
2
Чтобы доказать, что A  B , мы можем
1) с помощью тождественных преобразований перевести A в B ;
2) с помощью тождественных преобразований перевести B в A ;
3) с помощью тождественных преобразований перевести A в C ;
4) с помощью тождественных преобразований перевести B в C ;
Воспользуемся приемом (3)
2
2
 k  2k  2 k  3k  2
k (k  1)
k
 (k  1) 

C;
A  1+2+3+…+k+(k+1)=
2
2
2
2
2
2
2
(k  1)(k  2) k  2k  k  2 k  3k  2
 3k  2 k  3k  2
k
;
=
B


C.
2
2
2
2
2
Значит, A  B , т. е. при n  k  1 наше утверждение – истина.
Согласно принципа математической индукции делаем вывод: 1+2+3+…+ n=
n(n  1)
при   N .
2
5. Последовательность a n  задана рекуррентным соотношением: a1  2 ,
a2  3 , an1  3an  2an1 , n  2 .
Доказать, что an  2n1  1 для n  N
Решение. Обозначим значения а, находимые по предполагаемой формуле
n 1
~
2  1 через a i при n  i .
1. n=1  a1  2 (по условию)
a~  2
11
1  2 1  11  2
0
1
a  a~ (и).
a  a~ для всех
1
1
2. Предположим, что
значений n от 2 до k
n
n
включительно (k-произвольное натуральное число). В частном.
k 11
k 2
аk 1  a~k 1 , ak  a~k , т. е. аk 1  2  1  2  1
k 1
а 2
1
k
3. Найдем
a
k 1
и
a~
k 1
ak 1  3ak  2ak 1  32
k 1
 1  22 k 2  1  3  2 k 1  3  2  2 k 2  2  3  2 k 1  2 k 1  1 
 2  2 k 1  1  2 k  1
k 11
k
a~k 1 = 2  1  2  1
a  a~
k
k 1
Согласно методу математической индукции делаем вывод: предполагаемое
утверждение истинно для n  N .
Упражнения.
1. Доказать, что для n -го числа арифметической прогрессии a n  с
разностью d справедлива формула an  a1  d (n  1) .
2. Доказать, что при любом натуральном n справедлива формула
в а
n
n
 (в  а)(в
n 1
в
n2
ав
n 3
a
2
 ...  в а
n2
n 1
a )
3. Доказать, что при любом натуральном n число 4n -15n-1 делится на 9.
n
4. Доказать, что при любом натуральном n число 7  1 делится на 6.
5. Последовательность a n  задана рекуррентным соотношением
n 1
аn1  3an  2an1 , a1  0 , a2  1. Доказать, что an  2  1 ( n  N ).
6. Доказать, что при каждом натуральном n справедлива формула
1  2  3  ...  n
1
2
2
2

n(n  1)( 2n  1)
6
7. Доказать, что при каждом натуральном n  2 справедливо равенство
1  2  2  3  ...  n(n  1) 
n(n  1)( n  2)
.
3
Индивидуальное задание
1. Доказать, что при каждом натуральном n число an делится на b :
n3
1) an  5  113n 1 , b  17
2) an  11n  2  122 n 1 , b  133
 4 , b  33
3)
a 7
5)
an  6  19  2
2n
n
2n
n
2 n
n
n 1
n
2 n 1
a 5

9) a 5
7)
, b  17
a  6  3  3 , b  11
 7  5  12  6
6) a
, b  19
, b  19
8)
2n
n2
3
n 1
2
2 n 1
 26  5  8
n
4)
, b  59
n2
2n
n
n
2n
n
n
n 1
a  9  18n  9 , b  18

 18n  28
10) a 10
, b  27
n
n
n
2. Доказать, что при каждом натуральном n справедливо равенство:
n (n1)

2
2
1) 1  2  3      n
3
3
3
3
2)14  24  3      n 
4
4
4
2
n(n  1)( 2n  1)(3n  3n  1)
30
3) 1  4  2  7  3  10      n(3n  1)  n (n 1)
2
(n  1)  n(n  1)
3
n(n  1)( n  2)( n  3)
5) 1  2  3  2  3  4      n(n  1)( n  2) 
4
1
1
1
n
6)

  

1 5 5  9
(4n  3)( 4n  1) 4n  1
4) 1  2  2  3      (n  1)  n 
n(n  1)(3n  2)
2
7) 1  2  2  3      (n  1)  n 
2
2
2
8)
1
1 3
2

2
35
12
2
2
  
n
(2n  1)( 2n  1)

n(n  1)
2(2n  1)
n(2n  9n  1)
2
9) 2  7  14      (n  2n  1) 
2
10)
6
1
1
1
1
n


  

45 56 67
(n  3)( n  4) 4(n  4)
Задания для самоконтроля
Доказать, что если х>-1, то для всех натуральных значений n истинно
неравенство:
n
(1 х)  1  nx (это неравенство называется неравенством Бернулли).
1.
2.
3.
4.
Литература
(Боровиков А. Н. Математическая геология – ее методика или
методология? // Пути познания Земли, -М., 1971).
Воробьев Н. Н. Роль теории игр в математизации знаний //
Методологические проблемы кибернетики: Материалы к Всесоюзной
конференции. Т. 1. – М., 1970)
Гохман В. М., Гуревич Б. Л., Саушкин Ю. Г. Проблемы метагеографии
//Математика в экономической географии. Вопросы географии. Ст.77. –
М.: Мысль, 1968; Гохман В.М., Минц А.А., Преображенский В.С.
Системный подход в географии // Теоретическая география. Вопросы
географии. Сб.88. -М.: Мысль, 1971; Гуревич Б. М., Саушкин Ю. Г.
Математический метод в географии // Вести московского университета.
Серия 5, География. 1966 №1).
Гохман В. М.. Гуревич Б.Л., Саушкин Ю. Г. Проблемы метагеографии
// Математика в экономической географии”. Вопросы географии. Сб.
5.
6.
7.
8.
77. – М.: Мысль, 1968; Гохман В. М., Минц А.А., Преображенский
В. С. Системный подход в географии. // Теоретическая география.
Вопросы географии. Сб.88. – М.: Мысль, 1971; Согава В. Б.
Определение некоторых понятий и терминов физической географии:
Доклад института географии Сибири и Дальнего Востока. Вып. 3. –
Иркутск, 1963;
Согава В. Б. Структурно-динамическое ландшафтоведение и
географические проблемы будущего: Доклад института географии
Сибири и Дальнего Востока. Вып. 16. – Иркутск, 1967).
Саушкин Ю.Г. Смирнов А. М. Роль ленинских идей в развитии
теоретической географии // Вести Московского университета. Серия 5
География 1970. №1
Гохман В.М., Гуревич Б.Л., Саушкин Ю.Т. Проблемы метагеографии //
Математика в экономической географии. Вопросы географии сб.77-М.:
Мысль, 1968
Гуревич Б.Л. Саушкин Ю.Г. Математический метод в географии //
Вестн. Моск. ун-та. Сер. 5 Геогр 1966. №1