3. Предел числовой последовательности

3. Предел числовой последовательности
3.1. Понятие числовой последовательности и функции
натурального аргумента
Определение 3.1. Числовой последовательностью (в
дальнейшем просто последовательностью) называется
упорядоченное счетное множество чисел
{x1, x2, x3, ... }.
Обратите внимание на два момента.
1. В последовательности бесконечно много чисел. Если чисел
конечное число – это не последовательность!
2. Все числа упорядочены, то есть расположены в определенном
порядке.
В дальнейшем для последовательности часто будем
использовать сокращенное обозначение {xn}.
Над последовательностями можно производить
определенные операции. Рассмотрим некоторые из них.
1. Умножение последовательности на число.
Последовательность c{xn} – это последовательность с
элементами {cxn}, то есть
c{x1, x2, x3, ... }={cx1, cx2, cx3, ... }.
2. Сложение и вычитание последовательностей.
{xn}{yn}={xnyn},
или, более подробно,
{x1, x2, x3, ... }{y1, y2, y3, ... }={x1 y1, x2 y2, x3 y3, ... }.
3. Умножение последовательностей.
{xn}{yn}={xnyn}.
4. Деление последовательностей.
{xn}/{yn}={xn/yn}.
Естественно, предполагается, что в этом случае все yn  0.
Определение 3.2.
Последовательность {xn}
называется ограниченной сверху, если
.
Последовательность {xn} называется ограниченной снизу, если
.Последовательность {xn} называется
ограниченной, если она одновременно ограничена и сверху и
снизу.
3.2. Предел последовательности. Бесконечно большая
последовательность
Определение 3.3. Число a называется пределом
последовательности {xn} при n стремящимся к бесконечности,
если
.
Для этого факта используют следующие обозначения:
или
.
Подчеркнем, что N зависит от .
Варианты определения.
Говорят, что
, если
.
Говорят, что
, если
.
Определение 3.4. Последовательность {xn} называется
бесконечно большой, если
(то есть, если
).
3.3. Бесконечно малая последовательность.
Определение 3.5. Последовательность {xn} называется
бесконечно малой, если
, то есть если
.
Бесконечно малые последовательности имеют следующие
свойства.
1. Сумма и разность бесконечно малых последовательностей
есть также бесконечно малая последовательность.
2. Бесконечно малая последовательность ограничена.
3. Произведение бесконечно малой последовательности на
ограниченную последовательность есть бесконечно малая
последовательность.
4. Если {xn} – бесконечно большая последовательность, то,
начиная с некоторого N, определена последовательность {1/xn},
и она есть бесконечно малая последовательность. Наоборот,
если {xn} – бесконечно малая последовательность и все xn
отличны от нуля, то {1/xn} есть бесконечно большая
последовательность.
3.4. Сходящиеся последовательности.
Определение 3.6. Если существует конечный предел
, то последовательность {xn} называется сходящейся.
Сходящиеся последовательности имеют следующие свойства.
1. Сходящаяся последовательность ограничена.
2.
.
3.
.
4.
.
5. Если
, то
.
3.5. Предельный переход в неравенствах.
Теорема 3.1. Если, начиная с некоторого N, все xn  b, то
.
Следствие. Если, начиная с некоторого N, все xn  yn, то
.
Замечание. Заметьте, что если, начиная с некоторого N,
все xn > b, то
, то есть при предельном переходе строгое
неравенство может перейти в нестрогое.
Теорема 3.2. («Теорема о двух милиционерах») Если,
начиная с некоторого N, выполнены следующие свойства
1.
2.
то существует
;
,
.
3.6. Предел монотонной последовательности.
Определение 3.7. Последовательность {xn} называется
монотонно возрастающей, если для любого n xn+1  xn.
Последовательность {xn} называется строго монотонно
возрастающей, если для любого n xn+1 > xn.
Оба этих случая объединяют символом xn.
Определение 3.8. Последовательность {xn} называется
монотонно убывающей, если для любого n xn+1  xn.
Последовательность {xn} называется строго монотонно
убывающей, если для любого n xn+1 < xn.
Оба этих случая объединяют символом xn.
Теорема о существовании предела монотонной
последовательности.
1. Если последовательность {xn} монотонно возрастает
(убывает) и ограничена сверху (снизу), то у нее существует
конечный предел, равный sup{xn} ( inf{xn} ).
2 Если последовательность {xn} монотонно возрастает
(убывает), но сверху (снизу) не ограничена, то у нее
существует предел, равный + ( - ).
На основании этой теоремы доказывается, что существует
так называемый замечательный предел
3.8. Подпоследовательности
Пусть имеется некоторая последовательность {xn}={x1, x2,
x3, ... }. Рассмотрим последовательность n1, n2, n3, ... , где
а) все ni - целые положительные числа;
б) ni+
и рассмотрим последовательность
. Она
называется подпоследовательностью последовательности {xn}.
Теорема 3.3. Если последовательность {xn} сходится и ее
предел равен a, то любая ее подпоследовательность также
сходится и имеет тот же самый предел.
Если {xn} – бесконечно большая последовательность, то
любая ее подпоследовательность есть также бесконечно
большая.
Лемма Больцано- Вейерштрасса.
1. Из любой ограниченной последовательности можно извлечь
такую подпоследовательность, которая сходится к конечному
пределу.
2. Из любой неограниченной последовательности можно извлечь
бесконечно большую подпоследовательность.
На основании этой леммы доказывается один из основных
результатов теории пределов – Признак сходимости
Больцано-Коши.
Для того, чтобы у последовательности {xn} существовал
конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы
.
Последовательность, удовлетворяющая этому свойству,
называется фундаментальной последовательностью, или
последовательностью, сходящейся в себе.