9 Глава 1. Расчет НДС. Линейная задача 1.2. (2) ЗАДАЧА КИРША: РАСТЯЖЕНИЕ ПЛАСТИНЫ С КРУГЛЫМ ОТВЕРСТИЕМ. S S S S m r ϑ q 2a Рис.2.1 Модель пластины с отверстием показана на рис.2.1. Решение этой задачи о концентрации напряжений на краю отверстия представляет большой практический интерес. Например, отверстия в палубах судов, крыльях и фюзеляже самолета. Аналитическое решение задачи получено в прошлом столетии Киршем (G.Kirsch). В [1] рассмотрены различные варианты нагружения пластины и конфигурации отверстия, а также их влияние на величину концентратора и его градиент. Решения многократно подтверждались экспериментальными методами. ЗАДАЧА. Из рис.2.1 видно, что можно создать модель растяжения пластины в виде ее четверти, задав соответствующие симметрии задачи граничные условия. Модель можно создать как в прямоугольной, так и в полярной системе координат. При создании модели в виде четверти квадрата (первый квадрант) в прямоугольной системе координат нижняя граница области закреплена по координате у и свободна по х, левая – закреплена по х и свободна по у. Пусть растягивается тонкая квадратная пластина 200х200 мм с отверстием диаметром 2а = 40 мм в центре (то есть отношение размеров достаточно для сравнения с решением растяжения бесконечной пластины, находящейся в плоском напряженном состоянии ПНС). Характеристики материала при задании нагрузок в виде сил и последующем анализе напряжений не имеют значения: примем Е = 100 МПа, ν = 0.3. По двум краям пластины приложено равномерное растяжение S = 10 МПа (размерность давления). Создать модель пластины; в силу симметрии рассматривать только четверть пластины; построить диаграмму распределения напряжений от отверстия к краю пластины, сравнить с аналитическим решением. Получить значения коэффициента концентрации напряжений для различных размеров элементов у края отверстия. Решить задачу при других видах нагрузки и формах отверстия. РЕЗУЛЬТАТЫ АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ. На рис.2.1 показан фрагмент тонкой пластины бесконечной протяженности с отверстием радиусом r = a. Пластина подвержена одноосному растяжению равномерно распределенными по границе пластины напряжениями S в направлении оси x. В пластине г.Санкт-Петербург СПбГТУ кафедра «Машиноведение и детали машин» 10 Часть 4. Примеры использования пакета STAR возникает плоское напряженное состояние. В результате решения задачи в полярных координатах получены [1] значения напряжений σ , σ и τ как функции координат r, r ϑ rϑ ϑ и нагрузки S (положение начала координат показано на рис.2.1). В частности σ ϑ 2 4 S a S 3a = 1+ 2 − 1+ 4 cos 2ϑ r 2 r 2 Как следует из (2.1) напряжение σ ϑ (2.1) достигает максимального значения, когда ϑ = π 2 ,т.е. на конце m диаметра, перпендикулярного к направлению растяжения. В этом случае 2 4 S a 3a σ ϑ = 2 2 + r 2 + r 4 (график этой функции показан на рисунке с результатами) достигает максимального значения на краю отверстия при r=a, σ ϑ max = 3S. На рис.2.1 показаны также оси прямоугольной системы координат, в которой удобнее строить конечно-элементную модель. В точке m направления σ и σ x совпадают, поэтому можно записать σ ϑ max = σ ϑ x = 3S. Коэффициент концентрации (т.н. теоретический коэффициент концентрации напряжений), отражающий величину возрастания напряжений по сравнению с равномерно распределенной нагрузкой, равен 3.0. В точке q σ ϑ = σ y = -S, то есть в этой точке действует сжимающее напряжение. Влияние отверстия носит локальный характер: с увеличением отдаления от отверстия напряжения σ ϑ приближаются к значению S. Этот принцип носит имя Сен-Венана (SaintVenant): система взаимно уравновешенных нагрузок, приложенная к малой части тела, вызывает напряжения, быстро убывающие по мере удаления от места приложения нагрузок. Действительно, как видно из рисунка с результатами 2.2, уже при удалении от края отверстия на величину а концентрация напряжений уменьшается со значения 3.0 до 1.22. Локальный характер оправдывает возможность сравнения решений, полученных для бесконечной пластины и пластины конечных размеров. Если ширина пластины превышает четыре диаметра, разница в решениях по наиболее чувствительному параметру σ не ϑ max превысит 6% [1]. По остальным параметрам разница много меньше. Решение при других видах нагрузки. Считая, что в направлении x действует растягивающая нагрузка S, а в направлении y сжимающая -S, получаем случай чистого сдвига. В точке m напряжения σ ϑ составят 4S, в точке q σ ϑ = -4S. Следовательно, при чистом сдвиге пластинки максимальное окружное напряжение на границе отверстия в 4 раза превышает приложенное напряжение чистого сдвига. В [1] также можно найти решение для эллиптических и других отверстий. СРАВНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОГО И ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЙ. Точное аналитическое решение (2.1) сравнивается с приближенным решением МКЭ. Сравнивая численное и аналитическое решения объяснить, что наибольшее отклонение точке m обусловлено следующими причинами: - конечностью размеров квадрата; - ошибкой в ориентации нормали конечного элемента, аппроксимирующего окружность; - погрешностями в граничном элементе, связанными с заданием условий симметрии только по перемещениям без учета их нулевых производных по нормали. Руководство пользователя STAR версия 3.18 1992-2003 г.г. 11 Глава 1. Расчет НДС. Линейная задача σ , МПа K x 32 3,2 30 3 28 2,8 26 2,6 24 2,5 5 7,5 10 a/l 2,4 12,5 Рис. 2.3 Задача решается при нескольких вариантах разбивки модели на элементы. Строится зависимость ошибки, например, в определении коэффициента концентрации напряжений К в точке m от отношения а/l , где l – длина стороны элемента на краю отверстия (элементы имеют подобные формы для каждого варианта). Очевидно, что для задачи с концентратором напряжений важно оценить не влияние общего числа элементов модели, а лишь степень дискретизации области в районе концентратора. Пример зависимости приведен на рис.2.3. Значение а/l = 5 соответствует восьми элементам на четверти дуги окружности. ФАЙЛЫ Файл Kirsch. ЛИТЕРАТУРА. 1. S.P. Timoshenko, J.N. Goodier, Theory of Elasticity, 3 ed., McGraw-Hill, NY, 1970. г.Санкт-Петербург СПбГТУ кафедра «Машиноведение и детали машин»