Теория ожидаемой полезности и Санкт-Петербургский парадокс

Теория ожидаемой полезности и Санкт-Петербургский парадокс
Люди в осуществлении своей экономической деятельности неизбежно идут на риск.1 Под риском
понимается ситуация, когда, зная вероятность каждого возможного исхода, все же нельзя точно
предсказать конечный результат. Рассмотрим некоторые основные понятия, связанные с
поведением человека в условиях неопределенности. Участие в лотерее – типичный пример
рисковой деятельности.
Ожидаемое значение случайной величины (например, выигрыш или проигрыш в лотерее)
подсчитывается по формуле математического ожидания:
Е(х) = р1х1 + р2х2 + … + pnxn
где р1, р2, … pn – вероятности каждого исхода, х1, х2, … xn – значения каждого исхода.
При этом важно учитывать, что вероятности могут иметь различную природу, то есть быть как
объективными, так и субъективными. Те ученые, которые придерживаются концепции
объективной природы вероятностей, полагают, что значения вероятностей потенциально
определимы на математической основе. Так, французский астроном, математик и физик Пьер
Лаплас определял вероятность исследуемого события как отношение количества благоприятных
исходов данного события к количеству всех возможных исходов. Сторонники субъективного
подхода (например, американский экономист и статистик Леонард Сэвидж) полагали, что
вероятности – это степени убежденности в наступлении тех или иных событий. В любом случае,
какую бы трактовку природы вероятностей мы ни приняли, нам важно различать математическое
ожидание (предполагаемое значение исхода) и ожидаемую полезность.
Истоки математического обоснования теории ожидаемой полезности можно встретить в работах
швейцарских математиков Габриэля Крамера и Даниила Бернулли, последний из которых
предложил свое решение знаменитого Санкт-Петербургского парадокса.
Формулировка парадокса. Рассматривается следующая задача. Вступая в игру, игрок платит
некоторую сумму, а затем подбрасывает монету (вероятность каждого исхода — 50 %), пока не
выпадет орёл. При выпадении орла игра заканчивается, а игрок получает выигрыш, рассчитанный
по следующим правилам. Если орёл выпал при первом броске, игрок получает 20, при втором
броске — 21 и так далее: при n-ном броске — 2n-1. Другими словами, выигрыш возрастает от
броска к броску вдвое, пробегая по степеням двойки — 1, 2, 4, 8, 16, 32 и так далее.
Математическое ожидание денежного выигрыша при первом броске составляет р1 * х1 = 0,5*20 =
0,5 * 1 = 0,5 доллара. При втором броске оно составит р2 * х2 = (0,5*0,5)*21 = 0,25*2 = 0,5 долл.
Общее ожидаемое значение представляет собой сумму ожиданий на каждой стадии игры и = 0,5
долл. + 0,5 долл. + 0.5 долл. + ... Сумма этого бесконечного ряда представляет бесконечно
большую величину.
Нужно определить, какой размер вступительного взноса делает такую игру справедливой, то есть
найти математическое ожидание выигрыша игрока. Парадокс заключается в том, что вычисленное
значение этого справедливого взноса равно бесконечности, то есть выше любого возможного
выигрыша. Иными словами суть парадокса: индивиды готовы заплатить относительно
небольшую сумму денег за участие в игре, в которой математическое ожидание выигрыша
бесконечно велико.
Итак, ожидаемый денежный выигрыш в игре бесконечен, однако большинство людей уклонится
от участия в ней. Почему же так происходит? Чтобы объяснить Санкт-Петербургский парадокс, Д.
Бернулли предположил, что в данном случае индивиды стремятся к максимизации не
ожидаемого денежного выигрыша, а морального ожидания, впоследствии названного
ожидаемой полезностью выигрыша. А это не одно и то же. Рассмотрим эту проблему подробнее
в связи с отношением людей к риску.
1
Цитируется по учебнику для вузов Курс экономической теории под общей редакцией проф. Чепурина М.Н.,
проф. Киселевой Е. А., Киров. – «АСА», 2006. – стр. 93–96
Идеи Д. Бернулли получили развитие в работах американских экономистов Джона фон Неймана и
Оскара Моргенштерна, которых часто называют основоположниками теории ожидаемой
полезности. Они показали, что в условиях неполной информации рациональным выбором
индивида будет выбор с максимальной ожидаемой полезностью. Ожидаемая полезность каждого
варианта подсчитывается следующим образом:
U – ожидаемая полезность (от англ. utility), где рi – вероятность исхода, xi – полезность исхода.
Затем индивид сравнивает ожидаемые полезности вариантов и осуществляет выбор, стремясь
максимизировать ожидаемую полезность. Каково же будет его отношение к риску?
Людям свойственно различное отношение к риску. В экономической теории принято выделять:
а) нейтральных к риску;
б) любителей риска;
в) испытывающих антипатию к риску, или противников риска.
В некоторых случаях математическое ожидание при осуществлении рисковой деятельности может
быть равно в денежном выражении нерисковому варианту, и все же люди поведут себя поразному. Например, ваш должник вместо того, чтобы вернуть вам 10 долл., предлагает бросить
монету. Если вы выиграете, то получите не 10, а 20 долл. (т. е. ваш чистый выигрыш составит 10
долл.), но если проиграете – не получите ничего (т. е. потеряете свои 10 долл.). Математическое
ожидание Е(х) в этом случае составит: (0,5 * 10) + (0,5 * (–10+) = 0. Оно равно нулю, и получается,
что вам, вроде бы, безразлично, играть в орлянку с должником или потребовать просто свои
деньги назад.
Но кто-то пожелает пойти на риск в надежде получить больше, а кто-то предпочтет не
предпринимать никаких действий, связанных с риском. Для того, чтобы объяснить выбор
экономических агентов, необходимо включить в наш анализ концепцию ожидаемой полезности.
Практика показывает, что в основной своей массе люди не склонны к рисковой деятельности.
Такое поведение обычно объясняется, помимо особенностей человеческой психики, чисто
экономической причиной, а именно: действием закона убывающей предельной полезности.
Предположим, что у вас есть 100 долл. Вы можете сыграть в рулетку и поставить «на красное» 50
долл. В случае выигрыша у вас будет 150 долл.: 50 долл., которые вы не ставили, плюс 50 долл. * 2
– ваш выигрыш. Таким образом, вы увеличите свое первоначальное богатство, равное 100 долл.,
на 50 долл. В случае проигрыша у вас останется всего 50 долл., т. е. вы уменьшите свое
первоначальное богатство на 50 долл. Математическое ожидание выигрыша в денежном
выражении составит: (0,5 * 50) + (0,5 * (–50)) = 0.
Но предельная полезность, как видно из графика общей полезности, убывает, поэтому в условных
единицах полезности ожидаемая полезность будет иметь отрицательное значение: (0,5 * (–2)) +
(0,5 * 1) = –1.
Рис. 1. Кривая общей полезности для индивида, испытывающего антипатию к риску
Иначе говоря, в случае проигрыша ваши убытки будут в условных единицах полезности больше,
чем ваше приобретение в случае выигрыша. Таким образом, в категориях полезности ситуация
выглядит иначе, чем в денежном исчислении, и вы не будете склонны рисковать. Вот почему мы
говорили ранее о необходимости различать математическое ожидание денежной суммы
выигрыша и ее ожидаемую полезность. Выражаясь более простым языком, можно сказать, что,
конечно, вам доставит радость получить больше того, что вы имеете, но для вас гораздо ощутимее
будет потеря того, к чему вы уже привыкли. В экономической теории данный феномен получил
название эффекта владения. Эффект владения заключается в том, что люди гораздо выше
оценивают то, чем они владеют чем то, что пока им не принадлежит.
Возвращаясь к Санкт-Петербургскому парадоксу, мы можем теперь сказать, что индивиды,
отказываясь от игры в подбрасывание монеты, несмотря на бесконечно большое значение
математического ожидания, руководствуются, согласно гипотезе Бернулли, прежде всего
ожидаемой полезностью выигрыша. А предельная полезность дохода с каждым его приростом
снижается. При уменьшающейся предельной полезности денежного выигрыша люди будут
требовать все возрастающих выплат, для того, чтобы компенсировать свой риск в случае
проигрыша.