Числа и их свойства Ответами к заданиям являются слово, словосочетание, число или последовательность слов, чисел. Запишите ответ без пробелов, запятых и других дополнительных символов. 1 Решите в целых числах уравнение 6х2 + 5у2 = 74. 2 В океанариуме каждой акуле дают по 2,5 кг рыбы, мурене — 0,2 кг, скату — 1,5 кг ежедневно. Известно, что в среднем у каждой акулы бывает ежедневно 260 посетителей, у каждой мурены — 21, у каждого ската — 150. Все эти животные есть в океанариуме. а) Какое число посещений будет у этих животных, если ежедневно в океанариуме им дают 6,5 кг рыбы? б) Может ли ежедневно распределяться 18,4 кг рыбы, если известно, что за 1 день у этих животных было больше 2000 посещений? в) Каким может быть наибольшее ежедневное число посещений, если океанариум ежедневно распределяет между ними 7 кг рыбы? 3 Натуральное число называется палиндромом, если при расстановке его цифр в обратном порядке оно не изменяется (например, 8, 22, 171 и т.п.). а) Сколько существует пятизначных палиндромов? б) Существует ли 2015-значное число, квадрат которого является палиндромом? в) Сколько существует палиндромов, квадраты которых не превышают 100000 и так же являются палиндромами? 4 Натуральные числа от 1 до n в порядке возрастания записаны в строчку. Под ними записаны те же числа в другом порядке. Можно ли добиться того, чтобы сумма каждого числа и записанного под ним была бы точным квадратом: а) при n = 6; б) при n = 13; в) при n = 2014? 5 Решите в целых числах уравнение 19х2 + 28у2 = 729. 6 а) Могут ли 4 последовательных члена непостоянной арифметической прогрессии быть простыми числами? б) Дана непостоянная арифметическая прогрессия с разностью, не кратной 3. Какое наибольшее количество подряд идущих её членов могут быть простыми числами? в) Известно, что 6 последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии являются простыми числами. Найдите наименьшее значение, которое может принимать разность такой прогрессии. 7 На доске выписана последовательность a1, a2, ... a1010, при этом а1 = 3. В каждом из следующих случаев определите а1000 а) Для любого натурального к среднее арифметическое первых к членов последовательности равно 3. б) Для любого натурального к ≥ 2 среднее арифметическое первых к членов последовательности на 1 больше среднего арифметического первых (к — 1) членов последовательности. в) Для всех нечётных натуральных к среднее арифметические первых k членов последовательности равны между собой и на 1 меньше средних арифметических первых 2m членов последовательность для любого натурального т. ID_9859 1/3 neznaika.pro 8 а) Можно ли число 2015 представить в виде суммы трёх различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр? б) Можно ли число 288 представить в виде суммы трёх различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр? в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы шести различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр. 9 На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -8. а) Сколько чисел написано на доске? б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных? в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них? 10 Бесконечную последовательность b1, b2, b3 , ... назовём особенной, если все её члены — натуральные числа, причём для всех n b1 + b2 + ...+ bn—1 < bn. а) Существует ли особенная последовательность, у которой все члены меньше 2015? б) Существуют ли такая особенная последовательность {bn} и такая геометрическая прогрессия {сn}, что bn — сn < 2015 для всех n? в) Существуют ли такая особенная последовательность {bn} и такая арифметическая прогрессия {аn}, что bn — аn < 2015 для всех n? ID_9859 2/3 neznaika.pro Ответы 1 (3 ; 2), (3; —2), (—3; 2), (—3; —2). 2 а) 665 б) не может в) 725 3 а) 900; б) да; в) 10 4 а) нельзя б) можно в) можно 5 решений нет 6 а) Да, например, 5, 11, 17, 23; б) 3 в) 30 7 а) 3 б) 2001 в) 1003 8 а) нет б) да в) 165 9 а) 44; б) отрицательных; в) 17. 10 а) нет; б) да; в) нет Обо всех неточностях пишите на почту (с указанием темы и формулировки задания): [email protected] Источник: http://neznaika.pro/test/math/p/507 ID_9859 3/3 neznaika.pro