Решение задач с параметрами - Назарбаев Интеллектуальные

АОО «Назарбаев Интеллектуальные школы»
Филиал «Назарбаев Интеллектуальная школа
физико-математического направления в г. Семей»
Решение задач с параметрами
Тематическое учебное пособие
Учитель математики: Красильникова Л.Г.
Семей 2011
Задачи с параметрами – один из важнейших видов обобщения и
систематизации знаний, их применения в нестандартной ситуации,
проявления творческой активности. Многообразие задач равносильно
многообразию математических моделей. Литературы по данной теме
предостаточно, однако, в учебниках практически отсутствует классификация
методов и приемов.
Многие задачи с параметрами зачастую сводятся к решению простейших
линейных или квадратных уравнений или неравенств.
Пример 1. При каких значениях параметра a система уравнений
ax  4 y  1  a,

2 x  (a  6) y  3  a,
не имеет решений?
Решение:
Рассмотрим аналитический метод, прием – сведение системы уравнений к
линейному уравнению с параметром. Необходимо вспомнить алгоритм
решения простейшего линейного уравнения с параметром ax  b
a0
x
a  0, b  0
a
b
xR
a  0, b  0
x  
Решим систему способом подстановки и приведем к линейному уравнению с
ax  a  1

,
y 
параметром 
4
(a 2  6a  8) x  a 2  11a  18.

Чтобы система не имела решений, надо чтобы уравнение относительно x не
a  2,

a 2  6a  8  0,
a  4;
имело решений:  2

 a  4.
a  11a  18  0;
a


2
,


a  9;

Второй способ:
Рассмотрим аналитический метод, прием зависимости решения системы
линейных уравнений от коэффициентов. Для системы линейных уравнений
a1 x  b1 y  c1 ,
где a  0, b  0, c  0 :

a2 x  b2 y  c2 ;
1. Коэффициенты системы
уравнений не
пропорциональны
a1 a2

b1 b2
Система уравнений
имеет единственное
решение
2. Коэффициенты и
свободные члены системы
уравнений пропорциональны
a1 a 2 с1


b1 b2 с2
Система уравнений
имеет бесконечное
множество решений
a1 a 2 с1
3.Коэффициенты системы
Система уравнений не


уравнений пропорциональны,
имеет решения
b1 b2 с2
а коэффициент
пропорциональности не равен
отношению свободных
членов
Замечание: первый пункт данного правила можно применять, если с2  0 ,
лишь бы a2  0, b2  0.
Чтобы система линейных уравнений не имела решений, надо чтобы:
a
4
1 a


.
2 a 6 3 a
a  2,
4
a

 2  a  6 ,
a 2  6a  8  0,
a  4;
Решим систему: 
 2

 a  4.
a  a  2  0;
a  2,
a  1 a ;
 2 3  a
a  1;

Упражнения для самостоятельного решения.
1.1.
Найти все значения параметра a , при которых система уравнений


2 x  9a 2  2 y  3a,

x  y  1
не имеет решений.
1.2.
Найти
все
значения
b  1x  y  b,
b  3x  by  9
параметра
b,
при
которых
система
уравнений 
1.3.
имеет единственное решение.
Найти все значения параметра c , при которых система уравнений
3x  cy  3,

cx  3 y  3
1.4.
имеет бесконечно много решений.
При каких значениях a для любого b найдется хотя бы одно c такое, что
2 x  by  ac 2  c,
система 
имеет хотя бы одно решение?
bx  2 y  c  1
1.5.
При
всех
значениях
параметра
a
решить
систему
при
которых
система
ax  y  a ,
 x  ay  1.
2
уравнений 
1.6.
Найти
все
значения
a  12 x  a  1 y   a,
уравнений 
a
b  1x  5  2b  y  a  4
1.7.
и
b,
имеет единственное решение x  1, y  1 .
ax  by  2a  b,
является
c  1x  cy  10  a  3b
Одним из решений системы уравнений 
пара чисел 1,3 . Определите числовые значения параметров a , b и c .
1.8.
Найти
все
значения
параметра
a,
при
которых
система
3 x  y  2,
уравнений 
 x  2 y  a
имеет единственное решение.
Ответы к упражнениям:
1.1.a  
2
3
1.2 b  1, b  3.
1.3. c  3
1.4. a  1;0
1.5
a  1,
a  1
1 a  a2
a 


;
1  a 
 1 a
решений нет
1.6. a  0, b  0.
a 1
x; a
2

 ax , x  R
9
4
1.7. a  0, b  0, с  и a  2, b  1, с  1.
1.8. a  2 единственное решение: 0;2 .
Пример 2: При каких значениях параметра a оба корня уравнения
x 2  6ax  2  2a  9a 2  0 , больше, чем 3.
Решение. Рассмотрим аналитический метод, прием расположение корней
квадратного трехчлена. Данная задача относится к типовым задачам вида:
1тип. Найти все значения a, b, c такие, что корни ax 2  bx  c  0 больше
a  0,

 D  0,
  b
 M,

 D  0,
  2a
 b
 f ( M )  0;

данного числа M . Другими словами x1  M , x2  M . 

 M,
2
a
a

0
,



af ( M )  0.
 D  0,

  b  M ,
  2a

 f ( M )  0;
2тип. Найти все значения a, b, c такие, что корни ax 2  bx  c  0 меньше
данного числа M .
 D  0,
 b

 M,

 2a
af ( M )  0.
3тип. Оба корня трехчлена принадлежат заданному промежутку.
 D  0,
 b

 M,
 2a

af ( M )  0,
 b

 N,
 2a
af ( N )  0.
Имеем
задачу
a  1, D  2a  2, xв 
первого
6a
,
2
типа.
M  3,
Согласно
составим
алгоритма,
и
так
решим
как
систему:


2a  2  0,
a  1,
 6a

11

 a  1,
 a .
  3,
9
 a  1,
2

2
9a  20a  11  0;

a  11 ;
9

Упражнения для самостоятельного решения.
2.1. Найти все значения параметра a , при которых корни уравнения
ax 2  2a  3x  a  2  0 неотрицательны.
2.2. Найти все значения параметра a , при которых корни уравнения
x 2  2a  2x  3a  a 2  0 меньше -1.
2.3. Найти все значения параметра a , при которых корни уравнения
x 2  2a  3x  a  a 2  0 не меньше 2.
2.4. Найти все значения параметра a , при которых оба корня уравнения
2 x 2  ax  a 2  5  0 больше -1.
2.5.
При
каких
значениях
параметра
2
3
2
уравнение 2 x  a  8a  1x  a  4  0 имеет корни разных знаков?
каких значениях параметра
x  ax  2  0 принадлежат отрезку 0;3 ?
2.6.
2
При
a
оба
корня
a
уравнения
2.7. При каких значениях параметра a больший корень уравнения
x 2  4 x  a  1a  5  0 принадлежит промежутку 0;1 ?
2.8. При каких значениях параметра a все корни уравнения a 2 x 2  ax  2  0
лежат вне отрезка  1;1?
Ответы к упражнениям:
 5  37
2
2.1.  3  a  2
2.2.a 
2.5.a   2;2
2.7.a  0;1  5;6
2.3.a 
3  41
2

10
10 
2.4.a   2
;2

7
7

2.8.a   1;0  0;1
Пример 3.При каких значениях параметра a неравенство
sin 4 x  cos 4 x  a sin x cos x выполняется при всех значениях х.
Решение. Применим аналитический метод, прием сведения неравенства к
квадратному виду. Перепишем неравенство, выделив полный квадрат в левой
части.
1  2 sin 2 x  cos 2 x  a sin x  cos x. Сведем неравенство к квадратному неравенству
относительно синуса двойного угла:
t   1;1 , t 2  at  2  0 .
1
a
sin 2 2 x  sin 2 x  1  0, пусть sin 2x  t , где
2
2
Найдем значения a, при которых данное неравенство верно при любом
t   1;1
Т.к. старший коэффициент равен 1. положительный, и D  a 2  8  0 при
любом значении a, то, учитывая условие, что f (t )  0 , получим систему
неравенств:
af ( M )  0,
af (1)  0,
a  1,


 a   1;1

af ( N )  0;
af (1)  0;
a  1;
Ответ: a   1;1
Упражнения для самостоятельного решения.
3.1. Найти все значения параметра a , при каждом из которых уравнение
a
2

 1 sin 2 x  2a sin x 
1
 0 имеет хотя бы одно решение.
2
3.2. При каких значениях параметра
a уравнение sin x  a 2  2a имеет
единственное решение на отрезке 0;2 ?
3.3. Найти все значения параметра a , для которых уравнение


a sin  x    sin 2 x  9 имеет решение.
4

значениях
параметра
уравнение
a
cos ax  cos x  2cos ax  cos x  1 имеет единственное решение?
3.5. Найти все значения параметра a , при каждом из которых неравенство
sin 2 x  2a cos x  2a  a 2  2 выполняется для любого числа x  R .
3.4.
2
При
каких
3.6. Для каждого значения параметра a решить уравнения:
а) sin x  5  a  1 ; б) sin x 2  2 x   2a ; в) sin 6 x  cos 6 x  a sin 4 x ;
г) lg sin x 2  2a lg sin x  a 2  2  0
3.7. Найти все значения параметра b , при каждом из которых неравенство
cos 2 x  2b sin x  2b  b 2  4 выполняется для любого числа x  R .
3.8. Решить относительно x неравенство sin x  a cos x  a , a  0 .
Ответы к упражнениям:
3.1.a   ;1  1; 

3.2a  1  2 ;1;1  2


3.3a   ;8  8; 

3.4.a  иррациональное число 3.5.a   ;2  6  2;
3.6.a) x   1 arcsin a  1  5  k , k  Z , a  0;2 . б)
k
при a   ;0 
1
при a  0; 
1
 2
 2
x1 и x 2 k  0,1,2,...

x1 и x 2 k  1,2,...
где x1, 2  1  1  k   1k arcsin 2a
в) x   1k arcsin
1
4
1
3
1
1
 arctg
 k , k  Z при a  ; x  при a  . г)
2
2
4
8a
9
8 a2 
64
5
a   2 или a  2
2
k
x   1 ark sin 10 a  2 a 1  k
3.7.b  2  2 2 , b  2
 0  arcsin
a
1 a2
 2  a  1
1  a  2
2
k
x   1 ark sin 10 a  2 a 1  k
решений нет
3.8.x     0    2n;2   0    2n , где
,   arctga, n  Z .
x  a  y ,
Пример 4. Найти все значения a, при которых система  2 2
 y  x  2 x  4 y  3  0;
имеет решения.
Решение:
Координатно-графический метод, прием: работа в координатной плоскости
xoy , параметр соответствует заданному числовому значению. Перепишем
уравнение
в
виде:
( y  2  x  1)( y  2  x  1)  0,
 y  x  1,
 y  x  a, x  a  0,


2
  y  x  a,
  y   x  a  , или

2
2
( y  2)  ( x  1)  0;
 x  a  0;
 x  a  0;


 y   x  3,

2
 y  x  a  ,
 x  a  0.

Решим первую систему, используя прием параллельного переноса параболы
2
y  x 2 , найдем точку касания прямой у=х-1 и параболы y   x  a  . Уравнение
( х  а) 2  х  1 должно иметь решение. Значит, дискриминант должен быть
неотрицательным, 4а-3  0 ,
параболы y  x  a 2
а
3
.
4
Аналогично для прямой
 4a  11  0 , а  
y  x  3 и
11
4
3
3
Значит, а    ;2    ;   .
4 4 

Упражнения для самостоятельного решения.
4.1. При каких значениях параметра
1

,
 y
a система уравнений 
x
 y  ax  1

имеет единственное решение?
4.2. Найти все значения a , при каждом из которых система уравнений
 y  7 x  2,

49 x 2  y 2  4a  0
имеет ровно шесть различных решений.
4.3. Для каждого значения параметра a определить число решений системы
 x 2  y 2  1,
уравнений: 

x  y  a
4.4. При всех значениях
 y x 2  y 2  2 ya  3  0,

 x x 2  y 2  2ax.
параметра
a ,решить
систему уравнений:
Ответы к упражнениям:
4.1.a   0,25 0; 
4.3.
a  2
Два решения
4.4

a   ; 3

4.2.a  1
a  2
a 2
Одно решение
Решений нет
a
 3;  
0; a 
a2  3

0; a 


a 2  3 , 0;a  a 2  3 , 0;a  a 2  3

Пример 5. Найти все значения параметра a , при каждом из которых
 x 2  (5a  2) x  4a 2  2a  0,
 x 2  a 2  4.
существует хотя бы одно решение системы: 
Решение:
D  9а 2  12а  4  (3а  2) 2 , х1  а, х2  4а  2. Систему перепишем в виде:
( x  a)( x  4a  2)  0,
. Изобразим решения неравенства и уравнения в системе
 2
2
 x  a  4.
координат aox , применяя прием графического метода: «параметр –
1
2
1
4
равноправная переменная». Построим прямые а  х и а    х , и
окружность х 2  а 2  4 . Так как, надо оценить по a , то решим две системы и
найдем a .
 x  a  0,
 x  4a  2  0,
или
 2
 2
2
2
 x  a  4.
 x  a  4;
Подставим x  a во второе уравнение первой системы и найдем a   2 .
Затем решим вторую систему, подставив во второе уравнение x  4a  2 .
Получим, что a  0 или a  
16
.
17
Ответ запишем, проектируя точки
пересечения на ось a , учитывая, что решения неравенства - это область
1
2
1
4
между прямыми а  х и а    х
Ответ: a    2 ;



16 
  0; 2 .
17 
Упражнения для самостоятельного решения.
5.1. Найти все значения параметра a , при которых система неравенств имеет
 x 2  4 x  3  a,
единственное решение  2
 x  2 x  3  6a
5.2. Найти все значения a , при которых система
 x  y  a,
имеет решение.
2
 2x  2 y  a  a  2
неравенств 
5.3. При каких значениях параметра a система имеет хотя бы одно решение
 x 2   y  3  4,
?

2
 y  2ax
2
5.4. При каких значениях параметра a  0 система неравенств
2 ax  3a  x,

имеет решения?

x 6
 ;
x 
a a

Найти все значения параметра a , при каждом из которых система неравенств
имеет хотя бы одно решение (№5.5-5.8)
3a  1
 2
2
,
5 x  7 xy  2 y 
№5.6. 
a2
3 x 2  xy  y 2  1.

5 x 2  4 xy  2 y 2  3,
№5.5.  2
2a  1
2
.
7 x  4 xy  2 y 
2a  5

2 x 2  3ax  9  0,
 2ax  3  0,
№5.7.  2
№5.8. 
2
 x  ax  2  0.
 x  3a  0.
Найти все значения параметра a , при каждом из которых система неравенств не имеет
решений (№5.9 – 5.12)
2
 2
x  a ax  2a  3  0,
ax  a  3x   2a  0,
№5.9. 
№5.10. 
a
ax  4.
ax  a 2  2.

 a 2 x  2a
 0,

2
№5.11.  ax  2  a
ax  a  5 .

4
1  a x  a  0,

№5.12.  x  21  a 

x  8  ax.
Для каждого значения параметра a решить систему неравенств(№6.3-6.9):
 x 2  a  1x  a  0,
2
 x  a  3x  0.
№5.14. 
 x 2  a 2  1,
 x 2  a 2  0.
 x  a  1,
 x  3  3a  1.


a  2x  3 a 2  1  x  a,
2ax  a  1x  1.
№5.13. 
 x 2  x  a,
2 x  x 2  a  1.
№5.15. 
№5.16. 
№5.17. 
 2 x 2  ax  4
 4,
 2
x  x 1
№5.18.  2
 2 x  ax  6  6.
 x 2  x  1
 1  8 loga x  1  loga x

 
,
№5.19.  81 
3

0  x  1.
2
Ответы к упражнениям:

3 5 

5.1. a  0;1 5.2. a   ;1  2;  5.3. a    ;

16


2
5.4. a   ;0 
 3 

52 
5.5. a    ; 
5.6. a   2; 
5.7. a  R


5.9.  2  a  0
5.10.    a  1 5

5.8 a    ;

5.11. a  0,  a  
1
2
1 

2
5.12. 1  a  3
5.13.
a  3
a  3
a  3  x  0 x  
 3  a  2
2 a  0
a 1
a 1
0  x  a3
a  x 1
x  
1 x  a
5.14
a0
0  a 1
1 a  3
1
 3a 2  a  3
x
a 1
a 3
x  
x
a3
1
a 1
 3a 2  a  3
1
x
a3
a 1
5.15
a
1
2
a
1
2
Решений нет
a  1  x  3a  2
5.16.
a0
0 a 
0  x  1и 1  x  0
1
a
2
 1 a2  x   a и a  x  1  a 2
1
2
Решений нет
5.17.
a
1
или a  2
4

Решений нет
1
a2
4
 1  1  4a
 x  1 2  a
2
5.18.
   a  4
2 x6
6a
a4
x0
2
6a
a4
x
8
2
0x
5.19.Если a  1, то 0  x 
a4
2
4 a  2
Решений нет
1
; если 0  a  1, то 0  x  a 8 .
a4
6.1. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
x  3  a  4 имеет ровно три корня.
 x  3  a  4,
a  7  x ,
Решение. x  3  a  4  
Решим каждое уравнение

 x  3  a  4;
a  1  x .
системы графически. Построим графики функций: y  7  x , y  1  x , y  a.
Прямая y  a пересекает график в
трёх точках при a  1 , т.е. исходное уравнение имеет ровно три корня при
a  1.
Ответ: -1.
y
7
y  7 x,
0
7
-1
x
Y= -1
y  1  x ,
ya
Рис.1
6.2. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение х  4  а  3 ,
имеет ровно 1 корень.
 х  4  а  3,
Решение. х  4  а  3 ,  
 х  4  а  3;

а  7  х ,
Построим графики функций y  a , y  7  x , у  1  х .

а  1  х .
y
y=7
y 7 x
x
1
O
у  1 х
ya
При a  7 прямая пересекает график
только в одной точке.
Значит, данное уравнение имеет ровно
один корень при a  7 .
Ответ: 7.
Рис.2
y
6.3. Найдите все значения а, при каждом
из которых неравенство
y 2x
x  1  2 x  a  3  2x
4
A
A(1;5)
x
2
B
для
любого х.
y 2xa
0
выполняется
y  3  2x  x  1
2 
B ;0 
3 
Решение. 2 x  a  3  2 x  x  1 . Решим
это неравенство графически. Построим
графики
функций
y 2xa и
y  3  2 x  x  1 . Найдём, при каких
значениях параметра a график функции
y  2 x  a | лежит выше графика функции
y  3  2x  x  1
1) График функции y  2 x  a получается из графика функции y  2 x сдвигом
вдоль оси Ox на  a единиц.
2 x, x  0,
y  2x  
 2 x, x  0;
y (0)  0 y (1)  2 . Функция чётная, график симметричен
относительно оси Oy . В зависимости от параметра a он двигается влево или
вправо вдоль оси Ox .
2) y  3  2 x  x  1 , x  1  0 , x  1 . Если х  1 , то y  3  2 x  x  1  2  3x .
Если x  1, то y  3  2 x  x  1  4  x . Зададим функцию кусочно:
2  3õ,õ  1,
ó
y (1)  5 ,
4  õ,õ  1;
2
y   0 , y (2)  6 .
3
Рис.3
График функции y  2 x  a должен быть правее точек А и В. A т.к график
2
2
правее точки B  ;0  , то a   .
3

3
Рассмотрим точку A (-1;5), y  2 x  a ,
а  1  2,5,
а  3,5,
2

Но a   , поэтому окончательно
5  2 1  a , а  1  2,5  
3
а  1  2,5; a  1,5.
имеем a  1,5 . Ответ: a  1,5 .
6.4.
Найти
все
f ( x)  x 2  4 x  x 2 
значения
a,
при
каждом
из
которых
функция
3
x  1  a принимает только неотрицательные значения.
2
3
2
Решение. f ( x)  0  x 2  4 x  x 2  x  1  a  0 . Решим графически неравенство
x2  4x  x2 
3
3
x  1  a . Построим графики функций: y  x 2  4 x  x 2  x  1 и
2
2
y  a , и найдем, при каких значениях a график функции y  a не выше
3
2
графика функции y  x 2  4 x  x 2  x  1 .
1)
y  x2  4x  x2 
3
x 1 ,
2
3 5
1 5


2
2
2
2 1.
x1 
 2 ; x2 
2
2
2
Раскроем
x2 
3
x 1  0 ,
2
модуль
на
D
каждом
9
25
4
,
4
4
числовом
промежутке.
1
3
и x  2 , получим: y  x 2  4 x  x 2  x  1  2 x 2  2,5 x  1 .
2
2
1
3
При   x  2 , получим: y  x 2  4 x  x 2  x  1  5,5 x  1
2
2
1
 2
2 x  2,5 x  1, еслиx   2.иx  2,
y
5,5 x  1, если  1  x  2.

2
2
a) y  2 x  2,5x  1 - парабола, ветви которой направлены
2,5
5
5
25 5  5
25  50  32
57
x0  
  ; y0  y ( )  2 

1 

22
8
8
64 2  8
32
32 .
При x  
5
1
254
7
 1 5  1
y ( )  2           1 
  ; y 2  2  4   2  1  12 .
2
2
4
4
 2 2  2
1
11  1
 11  4
7
1 
  ; y2  5,5  2  1  12 .
б) y  5,5 x  1. y    
22
4
4
 2
2
в) y  a . Графиком является прямая, параллельная оси Ox .
Построим эскиз графиков данных функций.
5
1

8
2
5
4
 
8
8

57
7
.  32   4 ;

57
56
 .
32
32
вверх.
При
a
57
32
y  x 2  4x  x 2 
график
функции
ya
не
выше
графика
функции
3x
1 :
2
y
y  x 2  4x  x 2 
12

1
2
3x
1
2
0
x
y   57
2
y  a, a  
32
57
32
Рис.4
Ответ: a  
57
.
32
Упражнения для самостоятельного решения.
6.1.Найдите значение а, при котором уравнение 2x  a  1  x  3 имеет
единственное решение.
6.2.Найдите наибольшее значение
а, при котором уравнение
2
x  a  2 2 x  a имеет три различных решения.
6.3.Найдите наибольшее целое значение а, при котором уравнение
x 2  log 3 x  2a  имеет решения.
6.4.Найдите наибольшее значение
а, при котором уравнение
x  3  1  2 x  a имеет единственное решение.
6.5.При каком положительном значении а, уравнение 2 x  2  3  x  a имеет
единственное решение?
Ответы к упражнениям.
6.1. a  4 . 6.2 a  0,5 . 6.3. a  1. 6.4. x  8 . 6.5. a  2.
Урок-практикум по теме: «Расположение корней квадратного
трехчлена в задачах с параметрами»
Класс: 9 класс
Тип урока: развивающий, проблемно-поисковый
Задачи урока:
 учащиеся знают свойства квадратного трехчлена и теоремы о
расположении корней квадратного трехчлена;
 учащиеся умеют формулировать, обосновывать и применять теоремы,
определяя тип уравнения с параметром и соответствующий ему метод
решения;
 у учащихся воспитывается воля и настойчивость для достижения
конечных результатов, гибкость мышления, коммуникативные
качества личности, навыки самоконтроля, желание самостоятельно
пополнять свои знания, исследовать и проявлять творчество.
Оборудование:
интерактивная доска, персональные
компьютеры,
презентация для создания проблемной ситуации, презентации для
самоконтроля, карточки с заданиями.
Цель урока: усвоение умений самостоятельно в комплексе применять
знания, умения и навыки, осуществлять их перенос в новые условия,
вторичное осмысление уже известных знаний, выработка умений и навыков
по их применению.
Методы
и
формы:
исследовательский,
практический,
опытно
экспериментальный, анализ, обобщение, групповая работа.
План урока
Информационный ввод – 2 мин.
Актуализация ЗУН – 5мин.
Исследовательская работа в группах – 15 мин.
Психофизиологическая пауза – 1 мин.
Решение задач с параметром – 12 мин.
Решение задач с параметром с помощью компьютера – 5 мин.
Итог урока, рефлексия - 3мин.
Домашнее задание -2 мин.
Ход урока
Информационный ввод
Проверка готовности класса к уроку. Разбиение на группы. Распределение
ролей в группе получение раздаточного материала. Постановка цели в виде
проблемного задания. Ставится задача: «Определить значения параметра a ,
при которых оба корня уравнения x2 - 6ax+2 – 2a + 9a2= 0 , больше, чем 3».
Слайд 1
Учащиеся формулируют тему урока, опираясь на текст проблемного задания.
Каждая группа выссказывает свое мнение. Тема корректируется и
записывается. Учащимися определяется цель урока.
Проверка домашнего задания
№ 25(4). Найдите вершину, ось параболы и постройте ее график:
y  2 x 2  x  3 . 1 , стр. 7
№ 26(4). Постройте график функции y   x 2  6 x  10 . 1 , стр. 7
№ 35. При каких значениях параметра а уравнение имеет только один
корень:
1) ax 2  6 x  9  0 ; 2) x 2  аx  0,25  0 ; 3) 4 x 2  аx  а  3  0 ;
4) (а  1) x 2  2(а  1) x  а  2  0 . 1 , стр.8
Каждая группа представляет свое решение домашнего задания.
Учащиеся сверяют свои решения обсуждают, вносят дополнения и
исправления.
Актуализация опорных знаний и умений учащихся
На мониторах формула квадратичной функции f x   Ax 2  Bx  C
и вопрос: «Какую информацию о графике функции f x  можно получить,
зная коэффициенты квадратного трехчлена?».
Каждая группа заполняет таблицу. Через Net Сlass Plus передают на
интерактивную доску. Таблицы обсуждаются и дополняются. Обобщение и
дополнение всех таблиц демонстрируется. Приложение 1
Исследовательская работа в группах
Применяя таблицу, перейдите к следующему этапу – исследованию.
Каждая группа получает задание: решить задачу с параметром,
сформулированную в начале урока. Задача на мониторах учащихся или на
карточках. Слайд
- Какого вида уравнение в данной задаче?
- Что вы можете сказать о дискриминанте, исходя из условия?
- Изобразите схематически параболу.
- Что при изображении учитывалось?
- Что вы скажете о знаке f 3 ?
- Сравните число 3 и абсциссу вершины параболы;
- Запишите систему неравенств:

 f 3...

 D...
 B

...3
 2A
Разбор предложенного решения. Задание группам. Сделать обобщение
данной задачи.
При каких значениях параметра a оба корня квадратного уравнения
Aa x 2  Ba x  C a   0 больше заданного числа M ?
x1 , x2  M 
В группах в течение минуты обсуждается ответ, формулируется теорема,
затем проверяется у доски и обосновывается. Слайд 2
Теорема 1. Оба корня квадратного уравнения Aa x 2  Ba x  C a   0 больше
заданного числа M , если (и только если) имеет место система

 Af M   0,

 D  0,
 B

 M.
 2A
Задачи с параметром такого вида очень важны и часто встречаются на
конкурсах, олимпиадах, к ним приводят различные задачи практического
характера физики, техники, экономики и других наук.
Сейчас вы, работая в группах, сформулируете теоремы для решения
подобных задач в общем виде. Каждой группе достается своя теорема.
Раздаточный дидактический материал на каждого члена группы.
Приложение 2
Для этого вам необходимо применить не только свойства квадратного
трехчлена, которые повторили, но и умение выражать свои мысли как
алгебраически, так и геометрически.
При каких значениях
параметра a оба корня
квадратного уравнения
Aa x 2  Ba x  C a   0 м
еньше заданного числа
M ? x1 , x2  M 
При каких значениях
параметра
a заданное
число M лежит
между
корнями
квадратного
уравнения
Aa x 2  Ba x  C a   0 ?
x1  M  x2 
При
каких
значениях
параметра
корня
a оба
квадратного
уравнения
Aa x 2  Ba x  C a   0 принад
лежат
заданному
интервалу M; N  ?
M  x1  x2  N 
Указание: используйте презентацию Power Point и Приложение 1.
Какая группа готова сформулировать свою теорему? Группы поочередно
демонстрируют свои презентации и отвечают на вопросы.
- Вы сможете обосновать ваш ответ?
- Почему ни одно из неравенств вашей системы нельзя удалить?
Теорема 2. Оба Теорема
3. Теорема 4. Оба корня квадратного
корня квадратного Заданное
Aa x 2  Ba x  C a   0
уравнения
уравнения
число M лежит
принадлежат
заданному
2
корнями интервалу M; N  , если (и только
Aa x  Ba x  C a   0 между
меньше заданного квадратного
если) имеет место система
числа M , если (и уравнения
только если) имеет Aa x 2  Ba x  C a   0
место система
, если (и только
если) имеет место
система
 Af M   0,

 D  0.

 Af M   0,

 D  0,
 B

 M.
 2A


 Af M   0,

 Af  N   0,

 D  0,
 B

 M,
 2A
 B
 N.

 2A
- Чему вы научились, выполняя исследование?
Подводится микроитог.
Психофизиологическая пауза
Комплекс упражнений для глаз
Исходное положение для всех упражнений: позвоночник прямой, глаза
открыты, взгляд устремлен прямо.
Упражнение 1: Взгляд направлять последовательно влево - вправо, вправо прямо, вверх - прямо, вниз - прямо без задержек в отведенном положении.
(Повторить 10 раз.)
Упражнение 2: Смещать взгляд по диагонали
-влево, вниз, прямо;
-вправо, вверх, прямо;
-вправо, вниз, прямо;
-влево, вверх, прямо, постепенно увеличивая задержки в отведенном
положении.
Упражнение 3: Круговые движения глаз: до 10 кругов влево, а затем вправо.
Выполнять упражнение вначале быстро, а затем как можно медленнее.
Упражнение 4: Изменение фокусного расстояния: посмотреть на кончик
носа, а затем вдаль. Упражнение повторить несколько раз.
Решение задач с параметром
Вам предлагаются задачи с параметром. Определите соответствующий метод
и решите их в группе. Слайд 3
1. При каких значениях параметра a корни квадратного уравнения
x 2  a  1x  3  0 лежат по разные стороны от числа 2?
2. При каких значениях параметра a оба корня квадратного уравнения
2  a x 2  3ax  2a  0 больше 1 ?
2
3. Найти все значения параметра a , при которых оба корня уравнения
x 2  6ax  2  2a  9a 2   0 больше 3.
4. Найти все значения параметра a , при которых оба корня уравнения
x 2  4ax  1  2a  4a 2   0 меньше -1.
5. При каких значениях параметра a оба корня квадратного уравнения
1  a x 2  3ax  4a  0 меньше 1?
6. Найти все значения параметра a , при которых число 3 лежит между
корнями квадратного уравнения x 2  ax  1  0 .
7. При каких значениях параметра a корни уравнения x 2  ax  2  0 лежат на
интервале 0;3 ?
Проверка
решений.
Взаимопроверка.
Обсуждение.
Заготовлены
путеводители с ответами.
Решение задач с параметром на компьютере. Программа «Виртуальная
математика. Задачи с параметрами». Раздел 2. Квадратные уравнения и
неравенства с параметрами. П.8. «Основные задачи на расположение корней
квадратичной функции» Слайд 4
- Составьте 2 задачи с параметром, которые решаются с помощью
доказанных другими двумя группами теорем.
- Запишите эти задачи в тетрадь и решите их. Взаимопроверка «по кругу» проверяют решение группы, доказывающие соответствующие теоремы.
Учитель помогает, если кто-то не успевает проверить.
Итог урока, рефлексия
Опрос – итог.
-Что нового вы узнали на уроке?
-Что вас заинтересовало?
-Что запомнилось?
-Что полезного вы взяли для себя? Слайд 6
Домашнее задание
Составьте задачи с параметром, которые решаются с помощью
рассмотренных сегодня на уроке теорем, решите их, и хотя бы одну из них
решите аналитически и графически. Какой из способов вам больше
понравился? Обоснуйте свой выбор. Приготовьте, по желанию и по
возможностям, информацию « Хочу вас удивить!» (В ней интересный и до
селе неизвестный материал по решению квадратных уравнений и неравенств
с параметрами: «Историческая страничка», «Где это применяется?», «Новые
способы решения» и т.п.Слайд 5
Приложение 1 Слайд 7
А0
А0
А0
D0
Парабола Парабола Прямая Парабола
пересекает
Ветви
Ветви
вверх
вниз
Ось
абсцисс в
двух
точках
D0
D0
Абсцисса
вершины
Парабола Парабола  B
2A
касается не
пересекает
Оси
абсцисс
Ось
абсцисс
Приложение 2 (раздаточный материал)
Теорема 2. При каких значениях параметра a оба корня квадратного
уравнения Aa x 2  Ba x  C a   0 меньше заданного числа M ?
x1 , x2  M 
Какие случаи для коэффициента A возможны?
Для каждого случая подумайте и выполните задание, опираясь на
графическую интерпретацию:
- Что можно сказать о дискриминанте?
- Что можно сказать о значении
f (M ) ?
- Сравните M и абсциссу вершины параболы.

 f М ...,

- Запишите ваши наблюдения в виде системы неравенств  D...,
 B

...М
 2A
- Сравните полученные системы и постарайтесь составить универсальную
систему для всех случаев.
Вы получили теорему: « Оба корня квадратного уравнения
Aa x 2  Ba x  C a   0 меньше заданного числа M , если (и только если) имеет
место система

 Аf М ...,

 D...,
 B

...М
 2A
.
Теорема 3. При каких значениях параметра a заданное число M лежит между
корнями квадратного уравнения Aa x 2  Ba x  C a   0 ? x1  M  x2 
Какие случаи для коэффициента A возможны?
Для каждого случая
подумайте и выполните задание, опираясь на
графическую интерпретацию:
- Что можно сказать о дискриминанте?
- Что можно сказать о значении
f (M ) ?
 f ( M )...,
 D...,
- Запишите ваши наблюдения в виде системы неравенств 
- Сравните полученные системы и постарайтесь составить универсальную
систему для всех случаев.
Вы получили теорему: «Заданное число M лежит между корнями квадратного
уравнения Aa x 2  Ba x  C a   0 , если (и только если) имеет место система
 Af M ...,

D....
Теорема 4. При каких значениях параметра a оба корня квадратного
уравнения Aa x 2  Ba x  C a   0
принадлежат заданному интервалу M; N  ? M  x1  x2  N 
Какие случаи для коэффициента A возможны?
Для каждого случая
подумайте и выполните задание, опираясь на
графическую интерпретацию:
- Что можно сказать о дискриминанте?
- Что можно сказать о значении
f (M ) ?
- Сравните M и абсциссу вершины параболы.
- Что можно сказать о значении
f (N ) ?
- Сравните N и абсциссу вершины параболы.
- Запишите ваши наблюдения в виде системы неравенств


 f M ...,

 f  N ...,

 D...,
 B

...M ,
 2A
 B
...N .

 2A
- Сравните полученные системы и постарайтесь составить универсальную
систему для всех случаев.
Вы
получили
теорему:
«Оба
корня
квадратного
уравнения
2
Aa x  Ba x  C a   0 принадлежат заданному интервалу M; N  , если (и
только если) имеет место система


 Аf M ...,

 Аf  N ...,

 D...,
 B

...M ,
 2A
 B
...N .

 2A
Приложение 3 (ответы к задачам для самостоятельного решения) Слайд 8
1.
При
каких
значениях 1  f 2  0, 2a  9  0,
 2

параметра a корни квадратного D  0
a  2a  11  0.
уравнения x 2  a  1x  3  0 лежат
по разные стороны от числа 2?
9

a    ; 
2

2. При каких значениях параметра
a оба корня квадратного уравнения
2  a x 2  3ax  2a  0 больше 1 ?
2

2  a a  2   0,

aa  16   0,
 7a  2

 0.
 2a
3. Найти все значения параметра a ,
при которых оба корня уравнения
x 2  6ax  2  2a  9a 2   0 больше 3.
9a 2  20a  11  0,

a  1  0,
 a  1.

4. Найти все значения параметра a ,
при которых оба корня уравнения
x 2  4ax  1  2a  4a 2   0 меньше -1.
2a 2  3a  1  0,

2a  1  0,
 2 a  1.

5. При каких значениях параметра
a оба корня квадратного уравнения
1  a x 2  3ax  4a  0 меньше 1?

1  a 1  2a   0,

a 16  7 a   0,
a  2

 0.
 a 1
6. Найти все значения параметра a , 1  f 3  0, 3a  8  0,
 2
при которых число 3 лежит между D  0
a  4  0.
корнями квадратного уравнения
x 2  ax  1  0 .
7. При каких значениях параметра
уравнения
a корни
2
x  ax  2  0 лежат на интервале
0;3 ?


1  f (0)  0, 2  0,

11  3a  0,
1  f (3)  0,

 2
 2
a  8  0,  a  8  0,
a
a  0,
  0,

2
a  6.
a
  3.
2
Решений нет
 2

a  1 ; 
 9

a  1;
Решений нет
8

a    ; 
3

11 

a  2 2 ; 
3

Список литературы:
1.
А.Н.
Шыныбеков
Алгебра.
Учебник
для
9
класса
общеобразовательной школы.Алматы.:Атамұра, 2005
2. И.С. Асташкина, О.А. Бубличенко. Дидактические материалы к
урокам алгебры. Ростов-на-Дону.:Феникс, 2003.
3.М.В. Величко. Математика. 9-11 класы. Проектная деятельность
учащихся. Волгоград: Учитель, 2008.
4. Анатолий Гин. Приемы педагогической техники. Пособие для
учителя. Москва: ВИТА-Пресс, 2001.
5. В.П. Моденов. Задачи с параметрами. Координатно-параметрический
метод.
Учебное
пособие
для
школьников
и
абитуриентов.
Москва:ЭКЗАМЕН, 2007.
6.А.И. Азаров, С.А. Барвенов, В.С. Федосенко. Математика для
старшекласников: Методы решения задач с параметрами. Минск:Аверсев,
2003.
7. С.Г. Манвелов. Конструирование современного урока математики.
Книга для учителя. Москва: Просвещение, 2002.
8. Лекции КПК г. Усть-Каменогорск, 2010г.
9. А.П. Карп Алгебра. Сборник задач для 8-9 класса средней школы. С.Петербург:СМИО ПРЕСС, 2000г