Астрометрия

ВЕСТН. САМАР. ГОС. ТЕХН. УН-ТА. СЕР. ФИЗИКО – МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ. 2004. №26
Астрометрия
УДК 521.1
Ф.Х. Алтынбаев
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РЕЗОНАНСНОГО ХАРАКТЕРА
ДВИЖЕНИЯ АСТЕРОИДОВ ГРУПП АПОЛЛОНА, АМУРА, АТОНА
Выявлены астероиды групп Аполлона, Амура, Атона, имеющие резонансный характер движения с
большими планетами. Проведено исследование устойчивости резонансного движения этих астероидов со временем на интервале 5000 лет
При изучении движения астероидов особое место занимают группы астероидов, имеющие
характер движения, соизмеримый с движением больших планет. Астероиды таких групп могут
близко подходить к орбите планеты (на расстояния до нескольких десятых а.е.), но благодаря
соизмеримости их движения с планетой им всегда удается избежать слишком тесных сближений, так как планета не оказывается на том участке орбиты, к которому приближается астероид. Поэтому данные астероиды не испытывают сильных возмущений со стороны планеты и
сохраняют размеры своих орбит почти неизменными.
Следует подчеркнуть, что подобные соизмеримости не являются точными, и речь идет
только о том, что астероид движется вблизи соизмеримости, редко – вблизи острой соизмеримости. Такая соизмеримость сама по себе еще не означает, что движение астероида по отношению к планете является резонансным. Резонанс с планетой – это соизмеримость в движении
особого вида. При резонансе с планетой энергия астероида в системе Солнце-планета испытывает только колебания (иногда значительные), не ведущие к прогрессивному изменению энергии и размеров орбиты на протяжении всего времени, пока сохраняется резонанс. Причиной
таких колебаний энергии астероида является ускорение его движения планетой, строго периодически сменяющиеся замедлением движения. При этом энергия добавляется астероиду, а затем отбирается у него в одинаковых количествах. Ситуация аналогична той, которая наблюдалась бы у качающегося маятника при отсутствии сил сопротивления.
Своеобразие небесно-механического резонанса заключается в том, что частота вынуждающей силы (определяемая движением планеты) остается постоянной (поскольку постоянной
остается на рассматриваемом интервале времени его орбита), тогда как собственная частота
«резонирующей системы» (определяемая движением астероида) меняется с течением времени
под действием вынуждающей силы. При этом энергия, поглощаемая (или теряемая) резонирующей системой в течении одного цикла воздействий вынуждающей силы (одного оборота
планеты) оказывается тем меньше , чем больше изменилась собственная частота резонирующей
системы. Процесс передачи энергии затухает, а затем сменяется процессом противоположного
направления. Поэтому небесно-механический резонанс проявляется в колебании энергии резонирующей системы около значения, соответствующего точной соизмеримости движения планеты. Амплитуда колебаний энергии оказывается, как правило, тем больше, чем больше эксцентриситет и угол наклона орбиты астероида [1].
Кратные резонансы замедляют прогрессивную эволюцию астероидов и уменьшают вероятность столкновения с большими планетами, тем самым продлевают срок их существования.
Однако устойчивость кратных резонансов на интервалах времени порядка нескольких тысячелетий остаётся не вполне изученной. Кроме того, выявление астероидов, имеющих резонансы
низших порядков, определяет группу астероидов, для которых применение аналитических методов затруднительно.
Анализ эволюции орбит резонансных астероидов позволяет предполагать, что особый характер их движения является временным явлением и постепенно расстраивается под действием
планетных возмущений. Длительность пребывания в резонансной зоне при прочих равных условиях зависит от ширины резонансной зоны. Дело в том, что резонансный характер движения
71
может осуществляться не только при точной соизмеримости движения астероида с планетой.
Отклонений от точной соизмеримости (в обе стороны), при котором еще сохраняется резонансный характер движения, как раз и определяет ширину резонансной зоны. Если простые числа,
входящие в резонансное соотношение, обозначить через п и n1 , то ширина резонансной зоны
окажется пропорциональной величине 1 (n + n1 ) . Очевидно, что резонансная зона оказывается
наиболее широкой при n = n1 = 1 [1].
При исследовании проблемы астероидной опасности особый интерес представляют астероиды групп Аполлона, Амура, Атона, так как орбиты астероидов этих групп могут касаться
орбиты Земли или проникать внутрь ее и, в случае тесных сближений с Землей, могут представлять опасность столкновения. В дальнейшем этим астероидам уделено основное внимание.
Существование кратных соизмеримостей и резонансов у астероидов групп Аполлона,
Амура, Атона по отношению к нескольким планетам были выявлены ранее рядом авторов [2-6].
При этом было установлено, что улучшение соизмеримости с одной из планет приводит к
ухудшению соизмеримости с другой планетой.
На выявление резонансного движения было проведено исследование 2146 астероидов указанных выше групп.
Резонансные соотношения можно строить по различным параметрам движения, как по периоду обращения ( T ) , так и по среднесуточному движению ( n) . Как известно эти параметры
связаны соотношением
T=
2π
.
n
(1)
В свою очередь, среднесуточное движение небесного тела можно рассчитать по формуле [7]:
f (1 + m)
,
a3
где f – постоянная Гаусса в квадрате, m – масса тела, a –большая полуось орбиты.
n=
(2)
На основе вычисленных среднесуточных движений астероидов и планет Меркурий – Юпитер, были вычислены точные соизмеримости среднесуточных движений.
Отношение любых двух действительных чисел можно представить в виде следующей подходящей дроби [8]:
a
≈ q1 +
b
1
q2 +
,
1
q3 +
O+
(3)
1
qn
где a и b - действительные числа, q1 , q 2 , q 3 , K q n - неполные частные. По (3) были получены
резонансные последовательности, которые сопоставлялись с точной соизмеримостью.
Критерием резонансного характера движения астероида по отношению к отдельно взятой
планете может быть выполнение следующего отношения [2]:
k1 ⋅ n1 − k2 ⋅ n2 = O (1) M ,
(4)
где, n1 и n 2 - среднесуточные движения астероида и планеты, M - масса планеты, k1 и k 2 целые числа соответствующей соизмеримости резонансного соотношения. Тогда, согласно (4),
для выполнения требования, отвечающего резонансам первого порядка, величина d - отличие
резонансного соотношения среднесуточных движений планеты и астероида от точной соизмеримости - не должна превосходить следующих значений: 0.0004 для Меркурия; 0.0016 – Венеры; 0.0017 – Земли; 0.0006 – Марса и 0.0309 – Юпитера [3].
Таким образом, полагая в условии (4) k1 ≤ 5 и k 2 ≤ 5 , при выполнении которых обеспечивается малый период возмущения, удалось выделить 93 объекта, движущихся в резонансе с
большими планетами. Полный перечень этих астероидов, а также большая полуось, резонансные соотношения среднесуточных движений планеты и астероида n1 : n2 и отличие ( d ) их от
точной соизмеримости с Венерой, Землёй, Марсом и Юпитером приведены в таблице.
(
72
)
Астероиды, движущиеся в резонансе с большими планетами
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
Обозначение
1985 WA
1990 SM
1994 XM1
1995 SA4
1996 DH
1998 FW4
1998 HT31
1998 ML14
1998 MQ
1998 MT24
1998 QA62
1998 QB28
1998 UP1
1998 UT18
1998 WD31
1998 YB8
1999 AF4
1999 DK3
1999 KK1
1999 LN28
1999 NB5
1999 VT25
1999 YT
2000 AE205
2000 EC104
2000 EF104
2000 GV127
2000 HD74
2000 JF5
2000 PG3
2000 PH5
2000 SN10
2000 TV28
2000 WJ10
2000 WJ63
2000 WQ19
2000 XG47
2000 YJ11
2001 BK16
2001 CB32
2001 DU8
2001 FE7
2001 GS2
2001 HB
2001 HJ31
2001 KO2
2001 MG1
2001 MY7
2001 PK9
2001 QE96
2001 RO3
2001 SA170
2001 SN289
2001 UY16
2001 VF75
2001 VM5
2001 XO88
2002 AA
а(a.e.)
2.8323
2.1145
2.0681
2.4978
1.5870
2.4946
2.5065
2.4172
1.7831
2.4202
2.0649
2.0789
0.9991
1.4055
2.0686
2.4181
2.8272
2.1153
2.1157
2.1415
2.0794
1.1604
1.7766
1.1630
1.7816
1.1476
2.8220
2.9247
2.0611
2.8265
0.9996
2.4955
2.5053
2.0699
2.8216
1.4058
2.1421
1.3109
2.0714
1.7817
1.7768
2.0798
1.7799
1.3133
2.0784
2.5086
2.5098
2.9266
1.7800
1.3105
2.5026
2.1151
1.7838
2.0818
2.0611
2.4196
2.4993
1.1479
Венера
n1:n2
d
5:1
Земля
d
3:1
4:1
2:1
4:1
4:1
30.96654
46.96237
1.42323
53.99188
28.28303
2:1
2:1
2.01108
2:1
1.53667
2:1
5:2
0.84775
40.58673
5:3
2.07709
2:3
5:4
2:3
17.77384
53.30708
0.87250
39.10987
3.08985
4.66158
2.45455
29.54331
3:1
5:4
1.83369
0.88694
5:4
47.50278
1:3
1:3
1:3
1:5
1:3
1:4
1:4
4.90704
1.52017
48.52998
2.48137
46.75611
1.58205
10.42462
1:4
1:3
2:5
1:4
1:4
1.60680
47.94832
0.09488
40.85693
41.17664
1:4
10.84334
1:5
5.66816
1:5
0.63530
4.39344
5:2
30.34568
2:5
4.19130
5:2
39.28726
1:4
2:5
4.94210
0.61467
5:2
29.55156
1:3
1:3
1:4
2:5
4.44088
0.87869
2.75776
4.50895
5:3
4:5
0.09901
24.24643
1:4
1:5
1:5
1:4
1:5
4.05104
0.81268
5.33813
11.19399
1.51398
1:4
1:3
1:3
10.02447
2.62163
3.25692
1:5
1.36341
1:3
1:4
1:5
1:4
1:4
1:3
1:3
0.61467
40.67748
3.40749
12.88124
4.90704
47.07169
2.36792
1.27884
49.19003
1:1
4:1
4:1
3:1
1.91826
52.12724
30.84896
26.09044
5:3
1.36135
3:2
3:1
4.47595
22.21059
3:1
0.78174
3:2
3:1
4:1
4:1
5:1
5:4
54.95719
23.78233
4.29031
23.87721
21.33603
4.71315
4:5
1.49542
3:2
4:1
1.07258
36.82239
4:5
3:1
3:1
4.27999
49.08484
4:1
43.83540
28.78425
0.07219
2:1
2:1
Юпитер
d
n1:n2
d
50.78652 2:5
3.98504
1:4
40.19482
1:4
1.13239
1:3
3.14966
0.96944
2.56800
5:1
3:1
5:1
n1:n2
5:2
2.34111
3:1
3:1
1:1
5:3
3:1
5:1
5:1
Марс
n1:n2
0.90550
2.28954
73
Окончание таблицы
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
2002 AA29
2002 BA1
2002 CD14
2002 CT11
2002 EA3
2002 FC
2002 FU5
2002 GF1
2002 GJ1
2002 HP11
2002 LS32
2002 LW
2002 LX
2002 MT3
2002 MX
2002 PO75
2002 PR1
2002 RP137
2002 RX211
2002 TA58
2002 TD58
2002 VE68
2002 XA
2608 Seneca
3122 Florence
3838 Epona
4179 Toutatis
5646 1990 TR
6489 Golevka
6491 1991 OA
7341 1991 VK
14827 1986 JK
34613 2000 UR13
35432 1998 BG9
36236 1999 VV
1.0007
2.0640
1.7776
1.2581
2.1140
2.8321
2.5062
2.0676
1.9960
2.0683
1.7828
1.0167
2.5032
2.8072
2.5022
1.7681
2.4946
1.1605
2.0649
2.5073
2.4994
0.7236
2.8234
2.5037
1.7685
1.5049
2.5103
2.1422
2.5035
2.5065
1.8426
2.8232
2.0687
2.5180
1.3324
1:1
3:1
5:1
5:3
1:1
3:1
5:4
3:4
59.88692
1.67900
5:2
50.40493
3:2
2.09978
4.22843
4:1
3:1
29.07509
32.08655
3:1
30.44675
4:1
35.48580
1:4
1:5
2.38236
4.35219
1:4
2:5
1:3
1:4
39.81736
3.83240
1.32216
0.75905
1:4
1:5
1.30566
2.15547
1:3
2:5
1:3
1:5
1:3
0.28052
16.08453
0.82300
16.47231
4.89673
1:4
1:3
1:3
1.65218
1.92651
2.30810
2:5
1:3
1:5
3.06922
0.01238
15.96077
1:3
3.53332
1:3
1:3
0.10313
1.49955
2:5
1:4
1:3
3.21361
1.65012
7.59673
2.49580
4:1
37.65570
4:1
5:4
3:1
4:1
4:1
53.95062
2.74332
39.32026
26.65766
43.59613
4:1
34.41322
5:2
0.61261
5:4
0.71368
2:3
17.03129
2.82583
1.63155
4:1
5:2
3.69214
41.51079
5:2
33.15088
5:4
1:1
1.84401
35.66731
5:3
0.57342
20.23045
4:1
4:1
5:2
34.77625
28.36554
3.36212
3:1
4:1
29.41336
3.97679
4:3
5:2
15.43892
32.78992
0.63942
Для исследования устойчивости резонансного характера движения этих астероидов со
временем был проведён анализ эволюции орбит на интервале 5000 лет. Интегрирование уравнений движения астероидов проводилось численным методом путем разложения в ряды Тейлора с использованием банка данных координат и скоростей больших планет [9]. Интегрирование
велось с шагом один день при удержании в разложениях Тейлора двенадцати производных.
Проведенные исследования дали следующие результаты.
Астероид 4179 Toutatis в начале интервала исследования (2002 год) двигался в резонансе
с двумя планетами – Юпитером и Землёй. В дальнейшем, благодаря возмущающему действию
Юпитера, произошло ухудшение соизмеримости с Землёй. При этом образовалась новая соизмеримость с Марсом и значительно улучшился резонанс с Юпитером. В острой соизмеримости
с Марсом и Юпитером астероид 4179 Toutatis находился на протяжении почти 4000 лет. Затем
вновь улучшилась соизмеримость с Землёй, а с Марсом – разрушилась. Причина такой неустойчивости резонансного характера в движении астероида объясняется изменением его большой полуоси (рис. 1), так как по формуле (2) через большую полуось выражается среднесуточное движение. Аналогичный 4179 Toutatis характер изменения большой полуоси на исследуемом интервале времени наблюдается у астероидов: 1998 ML14, 1998 UP1, 1999 DK3, 2000 JF5,
2001 VF75, 2002 PR1, 2002 VE68, 6489 Golevka.
В классическом случае, когда резонансный характер движения астероида с планетой остается неизменным на протяжении всего интервала интегрирования, большая полуось изменяется почти с постоянным периодом. Например, для астероида 2000 EC104, движущемся в резонансе 5:1 с Юпитером, период изменения большой полуоси составляет порядка 1200 лет
(рис. 2). Периодический характер изменения большой полуоси на исследуемом интервале вре74
мени наблюдается у 60 из 93 рассмотренных астероидов: 1985 WA, 1995 SA4, 1996 DH,
1998 FW4, 1998 HT31, 1998 MQ, 1998 MT24, 1998 QB28, 1998 WD31, 1998 YB8, 1999 AF4,
1999 KK1, 1999 LN28, 1999 YT, 2000 EF104, 2000 GV127, 2000 HD74, 2000 PG3, 2000 SN10,
2000 TV28, 2000 WJ10, 2000 WJ63, 2000 WQ19, 2000 XG47, 2000 YJ11, 2001 DU8, 2001 GS2,
2001 KO2, 2001 MG1, 2001 MY7, 2001 PK9, 2001 QE96, 2001 RO3, 2001 SA170, 2001 SN289,
2001 XO88, 2002 AA, 2002 AA29, 2002 BA1, 2002 CT11, 2002 EA3, 2002 FC, 2002 FU5,
2002 GF1, 2002 HP11, 2002 LS32, 2002 LX, 2002 MT3, 2002 RP137, 2002 RX211, 2002 TA58,
2002 XA, 2608 Seneca, 3838 Epona, 5646 1990 TR, 14827 1986 JK, 34613 2000 UR13,
35432 1998 BG9, 36236 1999 VV.
Астероида 2001 BK16, двигается в соизмеримости с двумя планетам – Юпитером (1:4) и
Землёй (3:1). Колебательный характер изменения большой полуоси орбиты астероида с периодом 1400 лет будет продолжаться до 5800 года (рис. 3). Однако после 5800 года происходит
резкое ухудшение резонансного движения с Юпитером, в результате чего его большая полуось
становится равной 2.1 а.е. (рис. 3).
В большинстве случаев, характер движения астероидов, находящихся в резонансном
движение с одной или несколькими планетами, является устойчивым. Планетные возмущения
могут деформировать орбиту астероида, но вывести астероид из резонанса сложно. Поэтому
орбита, выведенная из устойчивого состояния, через какое-то время либо вновь вернется на
свою прежнюю траекторию, как это было показано на примере с 4179 Toutatis, либо просто
принимает новое устойчивое положение. Примеры таких движений изображены на
рис. 4 и рис. 5. Астероид 2001 HJ31 до 3600 года двигался в резонансе с двумя планетами –
Юпитером и Землёй, после чего соизмеримость с Землёй разрушилась, а резонанс с Юпитером
слегка ухудшился, но сохранилась стабильность. Эти изменения не могли не повлиять на
большую полуось орбиты (рис. 4). Астероид 2001 VM5 в начале интервала исследования движется в резонансе с двумя планетами Марсом (2:1) и Юпитером (1:3). Резонанс с обеими планетами сохранился на протяжении всего интервала исследования, но после 3800 года для Марса
острая соизмеримость ухудшится, а с Юпитером резонанс улучшится. Характер поведения
большой полуоси изображён на рис. 5. Из всех исследованных астероидов, движущихся в резонансе с двумя планетами, изменение орбиты, связанное с ухудшением резонанса с одной из
планет и улучшением с другой, наблюдается у астероидов: 1994 XM1, 1999 NB5, 1999 VT25,
2000 AE205, 2001 BK16, 2001 UY16, 2002 GJ1, 2002 LW, 2002 MX, 2002 TD58, 2001 CB32,
2001 FE7, 2002 CD14, 2002 PO75, 3122 Florence, 6491 1991 OA, 7341 1991 VK.
Особое внимание заслуживает астероид 2002 MX. На начало интервала интегрирования
он двигался в остром резонансе с Юпитером (1:3). После сближения в 2785 году с Землей, орбита астероида сильно вытянется и достигнется устойчивый резонанс с Юпитером 1:1 (рис. 6).
2.60
1.79
1.78
2.55
1.78
a(a.e.)
1.78
2.45
2.40
1.78
1.78
1.77
1.77
2.35
1.77
T , г о ды
Р и с. 1. Изменение большой полуоси
4179 Toutatis со временем
6802
6402
6002
5602
5202
4802
4402
4002
3602
3202
2802
2402
2002
6802
6402
6002
5602
5202
4802
4402
4002
3602
3202
2802
1.77
2402
2.30
2002
a(a.e.)
2.50
T , г оды
Р и с. 2. Изменение большой полуоси
2000 EC104 со временем
75
2.11
2.10
2.09
2.10
2.08
2.09
2.07
2.06
2.07
a(a.e.)
a(a.e.)
2.08
2.06
2.05
2.04
2.03
2.05
2.02
2.04
2.01
2.03
2.00
6402
6802
6802
6002
5602
5202
4802
6402
T , г о ды
4402
4002
3602
3202
2802
2402
2002
6802
6402
6002
5602
5202
4802
4402
4002
3602
3202
2802
2402
1.99
2002
2.02
T , г о ды
Р и с. 3. Изменение большой полуоси
2001 BK16 со временем
Р и с. 4. Изменение большой полуоси
2001 HJ31 со временем
2.46
7.00
2.45
6.00
2.44
5.00
2.43
a(a.e.)
a(a.e.)
4.00
2.42
3.00
2.41
T , годы
Р и с. 5. Изменение большой полуоси
2001 VM5 со временем
6002
5602
5202
4802
4402
4002
3602
3202
2802
2002
6802
6402
6002
5602
5202
4802
4402
4002
3602
3202
0.00
2802
2.38
2402
1.00
2002
2.39
2402
2.00
2.40
T , г о ды
Р и с. 6. Изменение большой полуоси
2002 MX со временем
Как было изложено выше, при отборе астероидов был наложен довольно жёсткий критерий, к тому же около 70% из отобранных астероидов движутся в резонансе по отношению к
двум планетам одновременно. В связи с этим и полученные результаты исследования дали хорошей результат устойчивости орбит отобранных астероидов к внешним планетным возмущениям. Из 93 выделенных объектов всего два объекта, 2001 HB и 2000 PH5, утратили резонансную устойчивость, а остальные сохранили резонанс на всём интервале исследования.
Стоит подчеркнуть, что наличие кратных резонансов замедляют прогрессивную эволюцию астероидов, уменьшают вероятность столкновения их с большими планетами, и тем самым
продлевают срок их существования. Однако когда речь идёт об устойчивости кратных резонансов на интервалах времени порядка нескольких десятков тысячелетий, встаёт вопрос о необходимости проведения дополнительных исследований.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.
2.
3.
4.
5.
76
Симоненко А.Н. Метеориты – осколки астероидов. М.: Наука, 1979. 224с.
Герасимов И.А. Эволюция внешней части кольца астероидов //Автореф. дис….доктора физ.мат. наук. М. 1992.
11с.
Заусаев А.Ф. Эволюция орбит малых тел Солнечной системы сближающихся с Землёй //Автореф. дис…. доктора физ.мат. наук. М. 1994, 20с.
Гребенников Е.А., Рябов Ю.А. Резонансы и малые знаменатели в небесной механике. М.: Наука, 1971. 443с.
Ипатов С.И. Эволюция резонансных астероидных орбит в плоской задаче трех тел: Солнце-Юпитер-астероид
//Ин-т прикл. математики им. Келдыша АН СССР (препринт). М. 1980. 32с.
6.
7.
8.
9.
Ипатов С.И. Эволюция орбит астероидного типа при резонансе 5:2 // Ин-т прикл. математики им. Келдыша АН
СССР (препринт). М. 1991. 48с.
Субботин М.Ф. Введение в теоретическую астрономию. М.: Наука, 1968. 800c.
Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1965. 172с.
Алтынбаев Ф.Х. Численное интегрирование уравнений движения небесных объектов методом Тейлора с использованием банка данных координат и скоростей больших планет //Вестн. СамГТУ. Сер.: Физ.-мат. науки.
2003. Вып.19. С.42-47
Поступила 15.12.2003 г.
77