Предел последовательности

Свойства сходящихся последовательностей
1) Две последовательности, отличающиеся на конечное число
членов, ведут себя одинаково относительно сходимости.
2) Последовательность может иметь не более одного предела.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Пусть {xn }  a и {xn }  b . Покажем, что a  b .
Возьмем любое число   0 . Так как {xn }  a , то существует номер
| xn  a |

, n  N1 .
2
Так как {xn }  b , то существует номер N 2 такой, что
N1 такой, что
| xn  b |
(1)

, n  N 2 .
(2)
2
Пусть N  max{ N1, N 2 } . Тогда для любого n  N выполняются одновременно оба неравенства (1) и (2). Следовательно,
a  b  a  xn  xn  b  ( xn  b)  ( xn  a)  xn  b  xn  a 

2


2
 .
a  b   ,   0 .
Итак,
Единственное неотрицательное число, которое меньше любого положительного числа, – это ноль. Следовательно,
a  b  0,
⇒ a  b  0,
⇒ a  b . ∎1
3) Если последовательность {xn } сходится к a , то последовательность {| xn |} сходится к | a | .
Для доказательства достаточно заметить, что справедливо неравенство
xn  a  xn  a .
4) Сходящаяся последовательность ограничена.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Пусть {xn }  a . Возьмем   1 . Тогда существует номер N такой,
| xn  a |  , n  N .
что
1
Знак ∎ означает окончание доказательства.
1
Следовательно,
xn  xn  a  a  ( xn  a)  a  xn  a  a  1  a , n  N .
M  max x1 , x2 , , xN , 1  a .
Пусть
∎
xn  M , n  N .
Тогда
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Суммой, разностью, произведением, частным двух
последовательностей {xn } и { yn } называются соответственно послеx 
довательности {xn  yn } , {xn  yn } , {xn  yn } ,  n  (в последнем слу yn 
чае, все члены последовательности { yn } должны быть отличны от нуля).
Произведением последовательности {xn } на число C называется
последовательность {C  xn } .
Последовательность {C  xn } можно рассматривать также как произведением последовательностей {xn } и {C} .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность, сходящуюся к нулю, называют бесконечно малой.
5) Число a является пределом последовательности {xn } тогда и
только тогда, когда xn  a   n , где { n } – бесконечно малая последовательность.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
1) ⇒ (Необходимость).
Пусть lim xn  a . Тогда для любого   0 существует номер N
n
xn  a   , n  N .
такой, что
(3)
Обозначим  n  xn  a . Тогда xn  a   n , причем, в силу неравенства (3), { n }  0 .
2) ⇐ (Достаточность).
Пусть для любого n имеет место равенство xn  a   n и { n }  0 .
 n  xn  a .
Тогда
Так как { n } – бесконечно малая последовательность, то для любого
  0 существует номер N такой, что
 n  0   , n  N .
 n  0   n  xn  a .
Но
xn  a   , n  N ;
Следовательно,
⇒ lim xn  a .
n
2
∎
6) Пусть последовательность {xn } – ограниченная, а последовательность { n } – бесконечно малая. Тогда их произведение {xn   n }
является бесконечно малой последовательностью.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
По условию {xn } – ограниченная. Следовательно, существует число
xn  M , n  ℕ.
M  0 такое, что
Возьмем любое число   0 . Так как { n } – бесконечно малая, то
существует номер N такой, что
n  n  0 
Рассмотрим xn   n . Имеем:

M
xn   n  xn   n  M 
, n  N .

  , n  N .
M
Таким образом, получили, что для любого   0 существует номер
N такой, что
xn   n  xn   n  0   , n  N .
lim  xn   n   0 .
Значит
n 
∎
СЛЕДСТВИЕ свойства 6. Если { n } – бесконечно малая последовательность и {xn } – сходящаяся последовательность, то их произведение { n  xn } является бесконечно малой последовательностью.
Действительно, так как {xn } – сходящаяся, то она ограничена (смотри
свойство 4). Следовательно, по свойству 6, { n  xn } является бесконечно
малой последовательностью.
7) Пусть {xn } , { yn } – сходящиеся последовательности и
lim xn  a , lim yn  b .
n
n
Тогда их сумма, разность, произведение и частное также являются
сходящимися последовательностями, причем
а) lim  xn  yn   a  b ;
n
б) lim  xn  yn   a  b ;
n
x  a
в) lim  n  
(при условии, что b  0 ).
n   yn 
b
3
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО (для 7(а) и 7(б) )
а) Возьмем любое число   0 . Так как
номер N1 такой, что
| xn  a |
lim xn  a , то существует
n

, n  N1 .
2
Так как lim yn  b , то существует номер N 2 такой, что
(4)
n
| yn  b |

, n  N 2 .
(5)
2
Пусть N  max{ N1, N 2 } . Тогда для любого n  N выполняются одновременно оба неравенства (4) и (5). Следовательно, для любого n  N
( xn  yn )  (a  b)  ( xn  a)  ( yn  b)  xn  a  yn  b 
⇒ lim  xn  yn   a  b .
n
∎

2


2
 .
б) Докажем сначала вспомогательное утверждение.
Если { n } и { n } – бесконечно малые последовательности, то их
произведение { n   n } – тоже является бесконечно малой последовательностью.
Возьмем любое число   0 . Так как { n } – бесконечно малая, то
существует номер N1 такой, что
 n  0   n   , n  N1 .
Так как { n } – бесконечно малая, то существует номер N 2
что
(6)
такой,
n  0  n   , n  N 2 .
(7)
Пусть N  max{ N1, N 2 } . Тогда для любого n  N выполняются одновременно оба неравенства (6) и (7). Следовательно, для любого n  N
 n  n  0   n  n   n  n       , n  N .
⇒ lim  n   n   0 .
n
Теперь рассмотрим две произвольные сходящиеся последовательности {xn } и { yn } . Если lim xn  a , lim yn  b , то
n
n
xn  a   n , yn  b   n ,
где { n } , { n } – бесконечно малые последовательности (свойство 5).
xn  yn  (a   n )  (b   n )  ab  a n  b n   n  n .
Тогда
Но {a n } , {b n } , { n  n } – бесконечно малые. Следовательно, их сумма
{a n  b n   n  n }  { n } тоже является бесконечно малой (свойство 7(а)).
Таким образом, получили
4
xn  yn  ab   n ,
где { n } – бесконечно малая последовательность. Согласно свойству 5,
это значит, что lim  xn  yn   a  b .
n
∎
СЛЕДСТВИЕ свойства 7. Пусть {xn } – сходящаяся последоваlim xn  a .
тельность и
n
Тогда для любого C ℝ последовательность {C  xn } тоже сходится,
причем lim C  xn   C  a .
n
Так как последовательность {C} очевидно является сходящейся, то
это утверждение является следствием пункта б) свойства 7.
8) Пусть a  lim xn и xn  0 ( xn  0 ), n  N . Тогда a  0 .
n
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Предположим противное. Пусть a  0 . Возьмем  такое, что 0   
Для выбранного  существует номер N такой, что
xn  a   , n  N ;
⇒ a    xn  a   , n  N .
|a|
.
2
(8)
|a|
, то из неравенства (8) получаем:
2
|a| a
xn  a    a 
  0 , n  N .
2
2
Но этот результат противоречит условию. Следовательно, предположение
было неверным и a  0 .
Так как 0   
9) Пусть последовательности {xn } и { yn } сходятся и для любого
n ℕ имеет место неравенство
xn  yn ( xn  yn ).
lim xn  lim yn .
Тогда
n
n
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Рассмотрим последовательность {xn  yn } . Ее члены по условию будут неотрицательны (положительны). Тогда по свойству 8
lim  xn  yn   0 ,
n
⇒
lim xn  lim yn  0 ,
n
n
5
⇒
∎
lim xn  lim yn .
n
n
10) Пусть последовательности {xn } и { yn } сходятся и имеют
равные пределы. Если для любого n ℕ имеет место неравенство
xn  zn  yn ,
то последовательность {zn } тоже сходится и
lim xn  lim zn  lim yn .
n
n
n
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Пусть lim xn  lim yn  a . Докажем, что lim zn  a .
n
n
n
Возьмем любое число   0 . Так как lim xn  a , то существует ноn
мер N1 такой, что
| xn  a |  , n  N1 .
Так как lim yn  a , то существует номер N 2 такой, что
(9)
n
| yn  a |  , n  N 2 .
(10)
Пусть N  max{ N1, N 2 } . Тогда для любого n  N выполняются одновременно оба неравенства (9) и (10). Следовательно, для любого n  N
| xn  a |  ⇒ xn  (a   ; a   )
и
Но если
| yn  a |  ⇒ yn  (a   ; a   ) .
xn , yn  (a   ; a   ) , то zn  (a   ; a   )
xn  zn  yn , n ℕ). Следовательно,
| zn  a |  , n  N ,
⇒
lim zn  a .
n
6
∎
(т.к. по условию
Свойства бесконечно больших последовательностей
1
1) Если {xn } – бесконечно большая, то последовательность  
 xn 
– бесконечно малая. Если последовательность { n } – бесконечно ма1 
лая, то последовательность   – бесконечно большая.
 n 
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
2) Если последовательности {xn } и { yn } – бесконечно большие
одного знака, то их сумма {xn  yn } – бесконечно большая того же
знака.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
3) Если последовательности {xn } – бесконечно большая, а последовательность { yn } – ограниченна, то их сумма {xn  yn } – бесконечно большая последовательность.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
4) Если последовательности {xn } и { yn } – бесконечно большие,
то их произведение {xn  yn } – бесконечно большая последовательность.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
5) Если последовательность {xn } – бесконечно большая, а последовательность { yn } – сходящаяся, причем lim yn  a  0 , то их проn
изведение {xn  yn } – бесконечно большая последовательность.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность {xn } называют отделимой
от нуля, если существуют число K  0 и номер N такие, что xn  K ,
n  N .
7
6) Если последовательность {xn } – ограниченная и отделимая от
нуля, а { yn } – бесконечно большая, то их произведение {xn  yn } – бесконечно большая последовательность.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
7) Если последовательность {xn } – бесконечно большая и для любого n ℕ имеет место неравенство xn  yn ( xn  yn ), то последовательность { yn } тоже является бесконечно большой.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
8