Предел функций. I. Предел функции в точке и на бесконечности.

1
Предел функций.
I. Предел функции в точке и на бесконечности.
2. Основные теоремы о пределах.
3. Бесконечно малые функции свойства бесконечно малых.
4. Связь функций, её предела и бесконечно малой.
5. Бесконечно большие функции, их связь с бесконечно малыми.
Введение.
Понятие предела и понятие функции – фундаментальные понятия
математического анализа. Начало изучению понятия предела положено в
элементарной математике, где с помощью предельных переходов
определяются длина окружности, объём цилиндра, конуса и т.д. Оно также
было использовано при определении суммы бесконечно убывающей
геометрической прогрессии. Операция предельного перехода является одной
из основных операций анализа. В настоящей лекции рассматривается
простейшая форма операции предельного перехода, основанная на понятии
предела числовой последовательности.
I. Предел функции в точке и на бесконечности.
Пусть функция f (x) определена на некотором множестве Х и пусть
точка. Возьмем из Х последовательность точек, отличных от х0:
х1, х2, х3,…, хn,…,
(1)
Сходящиеся к х0 (предполагается, что такая последовательность существует).
Значения функции в точках этой последовательности также образуют
числовую последовательность
f ( x), f ( x2 ), f ( x3 ),..., f ( xn ),...,
(2)
и можно ставить вопрос о существовании её предела.
Определение1. Число А называется пределом функции f (x) в точке
x=х0 (или при x  x0 ), если для любой сходящейся к х0
последовательности
(1) значении аргумента x,
отличных от х0, соответствующая последовательность
(2) значений функции сходится к числу А. Обозначается
lim f ( x)  A .
x x 0
Функция f (x) может иметь в точке х0 только один
предел. Это следует из того, что последовательность
 f ( x0 )имеет только один предел.
2
Примеры.
1). Функция f (x) =с=const имеет предел в каждой точке х0 числовой прямой,
т.е.
lim c  c
xx0
2). Функция f (x) =x имеет в любой точке х0 числовой прямой предел, равный
х0, т.е.
lim f ( x)  lim x  x0
x  x0
x  x0
Определение 2. Число А называется пределом функции f (x) в точке
х=х0, если для любого числа существует число
  0 такое, что для всех x  X , x  x0 , удовлетворяющих
неравенству
x  x0   , выполняется неравенство
f ( x)  A  E .
Первое определение основано на понятии предела числовой
последовательности, поэтому его часто называют определением ''на языке
последовательностей'', или определением по Гейне (1821-1881 – немецкий
математик). Второе определение называют определение м ''на языке E   '',
или определением по Коши (1789-1857 – французский математик).
Можно доказать, что оба определения предела функции в точке х0
эквивалентны, а это значит, что можно использовать любое из них в
зависимости от того какое более удобно при решении той или иной задачи.
Кроме рассмотренного понятия предела функции при x  x0 существует
также понятие предела функции при x   .
Определение. Число А называется пределом функции f (x) при x   ,
если для любого Е>0 можно указать такое положительное
число N, что для всех значений x, удовлетворяющих
неравенству x  N , будет выполнятся неравенство
f ( x)  A  E .
2. Основные теоремы о пределах.
Теорема 1. Пусть функции f (x) и q(x) имеют в точке x0 пределы В и С.
f ( x)
при (C  0) имеют в точке x0
Тогда функции f ( x )  q( x ), f ( x )  q( x ) и
q( x )
B
пределы, равные соответственно B  C , BC и . (без доказательства).
C
3
Доказательство. Пусть xn  xn  x0  - произвольная сходящиеся к x0
последовательность значений аргумента f (x) и q(x) .
Соответствующие последовательности
значений
этих функции имеют пределы B и C. Тогда в силу
теоремы (сумма (разность), произведение, частное
двух сходящихся последовательностей xn  и qn  при
условии, что предел qn  отличен от нуля есть
сходящиеся последовательность, предел которой
равен сумме (разности), произведению, частному
пределов
последовательностей
xn  и qn )последовательности


 f ( xn )  q( xn ),  f ( xn )q( xn )  и  f ( xn )  при С  0
имеют
 q( xn ) 
пределы,
соответственно
равные
B  C , BC ,
B
.
C
Согласно определению 1 предела функции в точке
это
означает,
что
lim ( f ( x)  q ( x))  B  C , lim f ( x)q ( x)  BC и lim
x  x0
x  x0
x  x0
f ( x) B

q ( x) C
ч.т.д.
Следствие. 1) lim ( f ( x)) n  ( lim f ( x)) n . 2) lim c f ( x)  c lim f ( x) . Аналогично
x x
x x
0
0
x  x0
x  x0
можно доказать следующие теоремы.
Теорема 2. Если
f (x) -возрастающая и ограниченная функция, т.е.
f ( x)  M , то она имеет предел lim f ( x)  a, где a  M .
x  x0
Теорема 3. Пусть функции f (x) , q(x) и n(x) определены в некоторой
окрестности точки, за исключением, может быть, самой точки x0 , и функции
f (x) и q(x) имеют в точке x0 предел равный A, т.е. lim f ( x)  lim q( x)  A .
x  x0
Пусть, кроме того, выполняется неравенство
lim h( x)  A .
x  x0
Замечание. Теоремы верны и в случае x   .
Примеры. Найти предел.
1) lim ( x4  3x2  2)  (lim x)4  3(lim x)2  2  2 .
x 1
x 1
x 1
x)  2
x  2 (lim
6
x 2


 6 .
2
2
x 2 x  5
(lim x)  5  1
2
2
2) lim
x2
x  x0
f ( x)  h( x)  q( x) . Тогда
4
3. Бесконечно малые функции свойства бесконечно малых.
Определение1. Функция f (x) называется бесконечно малой функцией
(или просто бесконечно малой) в точке x=x0 (или при
x  x0 ), если lim f ( x)  0 .
xx
0
Аналогично определяется бесконечно малая функция
при x   .
Определение2. Функция f (x) называется бесконечно малой в точке
x=x0, если для любого Е>0 существует   0 такое, что
для
всех
удовлетворяющих
x0  X или x0  X ,
неравенству
выполняется неравенство
x  x0   ,
f ( x)  E .
Бесконечно малые функции обладают свойствами, которые можно
сформулировать в виде теоремы.
Теорема. Алгебраическая сумма и произведение конечного числа
бесконечно малых функции при x  x0 , а также произведение бесконечно
малой функции на ограниченную функцию являются бесконечно малыми
функциями при x  x0 .
4. Связь функций, её предела и бесконечно малой.
Имеет место следующая теорема, связывающая предел, функцию и
бесконечно малую величину.
Теорема.
Для
выполнения
равенства
lim f ( x)  A необходимо
x  x0
и
достаточно, чтобы функция  ( x)  f ( x)  A была бесконечно малой при x  x0 .
Доказательство.
Необходимость.
Пусть
lim f ( x)  A .
x  x0
Рассмотрим
разность f ( x)  A   ( x) и покажем, что  (x ) x  x0 .
бесконечно
малая
функция
при
Действительно, пределы каждой из функций f (x) и A
при x  x0 равны А ( lim f ( x)  A по условию lim A  A
x  x0
x  x0
тогда
(A=const),
lim  ( x)  lim ( f ( x)  A)  lim f ( x)  lim A( x)  A  A  0
x  x0
x  x0
x  x0
x  x0
5
Достаточность. Пусть f ( x)  A   ( x) , где  (x )
бесконечно малая функция при x  x0 . Покажем, что
f ( x)  A   ( x) ,
Так
как
то
lim f ( x)  A .
x  x0
lim f ( x)  lim ( A   ( x))  lim A  lim  ( x)  A  0  A .
x  x0
x  x0
x  x0
x  x0
Ч.т.д.
Из теоремы следует, что f ( x)  A   ( x) , где lim  ( x)  0 . При этом обычно
x  x0
говорят, что функция f (x) в окрестности точки x0 отличается от A на
бесконечно малую функцию.
5. Бесконечно большие функции, их связь с бесконечно малыми.
Определение. Функция f (x) называется бесконечно большой функцией
(или просто бесконечно большой) в точке x=x0 (или при
x  x0 ), если для любого Е>0 существует   0 такое, что
для всех x0  X или x0  X , удовлетворяющих неравенству
x  x0   , выполняется неравенство f ( x)  E .
В этом случае пишут lim f ( x)   . И говорят, что функция
x  x0
стремиться к бесконечности при x  x0 , или что она имеет
бесконечный предел в точке x=x0.
Используя логические символы, можно записать:
f ( x)( E  0)(  0), ( x  X , x  x0 , x  x0   )  f ( x)  E .
Аналогично определяется бесконечно большая функция при x   .
Особо подчеркнём, что бесконечно большая функция предела (в смысле
определения) не имеет – символ  не является числом.
Теорема. Функция обратная бесконечно малой, является бесконечно
большой и наоборот.
Доказательство: Пусть lim f ( x)  0 и f ( x)  0 , при x  x0 . Докажем, что
x  x0
lim
x  x0
1
  . Зададим произвольное Е>0. так как f (x ) f ( x)
бесконечно малая функция в точке x0, то для всех
1
существует   0 такое, что для всех x0  X ,
E
удовлетворяющих неравенству x  x0   , выполняется
чисел
1
.
E
неравенство
f ( x) 
Но тогда для тех же x
выполняется
неравенство
1
 E,
f ( x)
т.е.
1
f ( x)
бесконечно большая функция в точке x=x0, что и
6
требовалось
доказать.
доказывается аналогично.
Обратное
утверждение
Заключение.
В развитии теории пределов принимали участие И.Ньютон, Г.Лейбниц,
Ж.Даламбер, Л.Эйлер. Современная теория предела основана на строгом
определении предела, данном О.Коши, и была существенно продвинута
работами математиков 19 века К.Вейерштрасса и Б.Больцано.