Вам сюда!

Тема: «Теория пределов
Определение 1: Число А
называется пределом функции f (x) при x ,
стремящемся к x0 ( или в точке x0 ), если для любого, даже сколько угодно
малого, положительного числа  >0 найдется такое положительное число  >0
(зависящее от  ,  =  (  )), что для всех x , не равных x0 и удовлетворяющих
условию х - х0   , выполняется неравенство f х   А   .
Предел функции обозначается как lim f  х   А или f  х   A при х  х 0 .
х  х0
Аналогично определяется предел функции при х   .
При вычислении пределов используют следующие их свойства:
1.
Функция не может иметь более одного предела.
2.
Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой
же сумме пределов этих функций, если последние существуют. Т.е. если
функции f  х  и  х  имеют конечные пределы при х  х 0 (или при х   ):
lim f х   А, lim х   В , тогда lim  f х   х   A  В .
х  х0
х  х0
х  х0
3.
Предел произведения конечного числа функций равен произведению
пределов этих функций, если они существуют, т.е.
lim  f х   х   АВ .
х  х0
В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела
lim с  f ( x ) = c  A .
х х0
4.
Предел частного двух функций равен частному пределов этих
функций при условии, что оба предела существуют и предел делителя не
равен нулю, т.е.
f х  А
 В  0.
lim
х  х0  х 
В
5. Если lim f u   A, lim x   u 0 , то предел сложной функции
x x
u u0
lim f x  A.
0
х х 0
Если функции f u  и x  непрерывны в точках u0 и х0 ,соответственно, то
свойство 5 может быть записано в виде
f   x  
lim
х х
0
f  lim   x  , т.е. под
 x  x0

знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.
Выделяют бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Определение 2: Функция х  называется бесконечно малой при х  х 0 ,
если lim  x   0 .
x  x0
f  х  называется бесконечно большой при
х  х 0 , если для любого сколь угодно большого положительного числа М
найдется число  , вообще говоря, зависящее от М, такое что для всех х,
Определение 3: Функция
удовлетворяющих неравенству
х  х 0   , выполняется неравенство
f x   M .
Таким образом, бесконечно большая функция, строго говоря, не имеет
предела. Для краткости примем обозначение lim f  x    .
x  x0
Аналогично определяются бесконечно малые и бесконечно большие
функции при х   .
Связь бесконечно малых и бесконечно больших величин
устанавливается следующей теоремой.
Теорема 1. Если функция х  есть бесконечно малая величина при
1
х  х 0 ( х   ), то функция f x  
является бесконечно большой при
 x 
х  х 0 ( х   ). И обратно, если функция f  х  бесконечно большая при
1
х  х 0 ( х   ), то функция  х  
есть величина бесконечно малая при
f x 
х  х 0 ( х   ).
Для решения первой из предложенных задач достаточно иметь навыки
преобразований алгебраических выражений
и использовать связь
бесконечно малых величин с пределами функций, выражаемую следующей
теоремой:
Теорема 2.Для того чтобы число А было пределом функции f  х  при
х  х 0 , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
f  х   А   х  , где х  бесконечно малая при х  х 0 .
х3  х2  1
.
Задача №1.1. Требуется вычислить: lim
х 
1  2х 3
В числителе и знаменателе этой рациональной дроби при х  
присутствуют бесконечно большие величины. Чтобы перейти к бесконечно
малым, разделим почленно числитель и знаменатель дроби на одну и ту же
величину х3 (здесь мы выбрали наибольшую степень х, когда подобная
задача стоит для х  0 , следует выбрать наименьшую степень х).
1 1
1  3
3
2
х  х 1
х х .
Имеем lim
 lim
3
1
х 
х 
1  2х
2
х3
Далее, применяя свойства пределов при алгебраических операциях (в
данном случае свойства 2 и 4), получим
1 1

х х3 
1
2
х3
1
lim
х 


1 
3 
х 
1
 1 0  0

 .
02
2
 1

 3  2
lim
х   х

1
lim 1  х  х
Ответ:
х3  х2  1
1


.
lim
х 
1  2х 3
2
Задача №1.2. Вычислить предел
х 1
. Непосредственно
6 х  3  3х
свойство 4 (теорему о пределе частного) здесь применять нельзя, так как
предел знаменателя при х  1 равен 0. Убедимся в этом, используя
свойства 2 и 5,
lim 

lim 6 х
6 х 2  3  3х 
х  -1
2
х  1
lim
х  -1
2
 3  lim 3 х  9  3  0.
х  1
Таким образом, в знаменателе находится бесконечно малая величина.
Проверим, можно ли на основе теоремы 1 сделать вывод о том, что вся
дробь является бесконечно большой величиной. Для этого найдем предел
числителя lim х  1  1  1  0. Оказывается, числитель при х  1также
х  1
является бесконечно малой величиной.
Случай деления бесконечно малой на бесконечно малую теорией не
регламентирован. В математике его называют неопределенностью и
0
обозначают символом .
0
К неопределенностям также
относят случаи деления бесконечно

большой на бесконечно большую   , умножения бесконечно малой на

бесконечно большую 0   , некоторые случаи возведения в степень
1 , 0 ,0 0 , вычитание бесконечно больших    и другие.
Прежде чем вычислять пределы, в этих случаях следует избавиться от
неопределенности. В данном случае неопределенность можно устранить
алгебраическим преобразованием функции под знаком предела. Домножим
числитель и знаменатель дроби на одно и то же выражение, сопряженное
знаменателю, и преобразуем ее:
х  1 6 х 2  3  3х
х  1 6 х 2  3  3х  х  1 6 х 2  3  3х 

6х 2  3  9х 2
3  3х 2
6 х 2  3  3х 6 х 2  3  3х

х  1
=










6 х 2  3  3х х  1 6 х 2  3  3х
6 х 2  3  3х


.
31  х 2 
31  х 1  х 
31  х 
Здесь в процессе преобразований дважды была использована известная
формула сокращенного умножения а 2  в 2  а  в а  в  . При х  1 все
преобразования являлись равносильными, а потому искомый предел равен
пределу полученной дроби, который находим, используя свойства пределов:
lim 6 x 2  3  3 lim x
6 x 2  3  3x
x 1
x  1

 x  1
lim
 lim
2
x  1
x  1
3 lim 1  x 
31  x 
6 x  3  3x
x  1

6  3  3 1 3  3

 1.
3 2
31   1
x 1
Ответ: lim
 1.
x  1
6 x 2  3  3x

6 
 1
 2
.
x 3
 x  3 x  9
Анализ этого выражения (подобно задаче №1.2) показывает, что под
знаком предела находится неопределенность вида    . Устраним ее
приведением дроби к общему знаменателю.
1
6
1
6
х 36
х3
1
 2





х  3 х  9 х  3 х  3х  3 х  3х  3 х  3х  3 х  3
.
6 
1
1
 1
 2
Таким образом, lim
= lim
 .

x 3
 x  3 x  9  x 3 x  3 6
6  1
 1
 2
Ответ: lim
= 
x 3
 x  3 x  9 6
1 
 1

Задача №1.3. Вычислить lim
.
x 1
 ln x x  1 
Снова имеем неопределенность вида    , но данное выражение
включает в себя элементарные функции разных классов: логарифмическую и
дробно-рациональную. Поэтому алгебраические преобразования не приведут
к существенному упрощению выражения.
Для решения этой задачи рекомендуется использовать правило Лопиталя:
Теорема 3. (Правило Лопиталя) Предел отношения двух бесконечно
малых и бесконечно больших функций равен пределу отношения их
производных (конечному или бесконечному), если последний существует в
указанном смысле.
При применении правила Лопиталя для раскрытия неопределенностей
руководствуются следующим алгоритмом:
0

I.
Если неопределенности имеют вид
или
, то
0

непосредственно по теореме 3
f x 
f  x 
lim
 lim
.
x x
g  x  x  x g  x 
0
II.
Неопределенность вида 0   или    приводится к виду
0

или
с помощью алгебраических преобразований.

Задача №1.3. Вычислить lim
0
0
III.
Неопределенности вида
сведется
к
1 ,  0 или
00
неопределенности
вида
с
помощью
предварительного
0
 x
логарифмирования f x  e  x ln f  x  .
Примечание. Так как для применения этого метода необходимы
навыки вычисления производной. Итак, приведем неопределенность    к
0
неопределенности вида :
0
1 
x  1  ln x
 1
lim

 lim
, а затем применим правило Лопиталя:

x 1
 ln x x  1  x 1 ln x x  1


x  1  ln x 
x  1  ln x

lim
 lim
x 1
ln xx  1 x 1 ln x   x  1
1
1 0 
x 1
x
.
lim
 lim
x 1 1
x 1
x  1  ln x  x
  x  1  ln x  1
x
0
Снова получим неопределенность вида , поэтому правило Лопиталя
0
применяется повторно:


x  1
x 1

lim
 lim
x 1
x  1  x  ln x x 1  x  1  x  ln x 
1 0
1
1
1
 lim

 .
= lim
x 1
1 x 1 1  ln x  1 1  0  1 2
1  0  ln x  x
x
1  1
 1

Ответ: lim
 .
x 1
 ln x x  1  2