Теор. Вейерштрасса. Предел функции

ТЕОРЕМА (Вейерштрасса). Монотонная и ограниченная числовая последовательность сходится.
 1  n 
ПРИМЕР. Докажем, что последовательность {xn }  1    схо n  
дится.
 1  n 
1) Покажем, что последовательность {xn }  1    – возрастаю n  
щая. Для этого распишем xn и x n 1 по формуле бинома Ньютона. Имеем:
n
где
k
n
 1
1
xn  1     Cnk  1n k    ,
 n
n
k 0
n!
n  (n  1)    n  (k  1) 
.
Cnk 

k !  (n  k ) !
1 2  k
1 n(n 1)  1  n(n 1)(n  2)  1 
n(n 1)n  (n 1)  1 
 xn 1 n  
  
  
  
n
2!  n 
3!
n!
n
n
1 n 1 1 (n 1)(n  2)
1 (n 1)n  (n 1) 
11 
 





2! n 3!
n!
n2
n n1
1  1 1  1  2
1  1   2   n 1 
11 1   1  1   1  1  1
.
2!  n  3!  n   n 
n!  n   n  
n 
Аналогично:
2
3
n
n 1
где
n 1
1 

k
n 1 k  1 
xn1  1 

   Cn1  1
 ,
 n  1
 n  1
k 0
(n  1)!
(n  1)  n    n  1  (k  1) 
.
Cnk1 

k !  (n  1  k ) !
1 2  k
k
1 (n 1)  n  1 
(n 1)  n n 1 (n 1)  1 
 xn1 1 (n 1) 



 
 
n 1
2!  n 1 
n!
 n 1 
2
n
(n 1)  n n 1 (n 1) n 1 n)   1 


 
(n 1)!
 n 1 
1 n 1 n(n 1)
1 n(n 1)n 1 (n 1) 
11 
 
 

2
2! n 1 3! (n 1)
n!
(n 1) n1
n1

1 n(n 1)n 1 (n 1) n 1 n 


(n 1)!
(n 1) n
1
1
1  1
1 
2 
1 
1 
2   n 1 
11 1
  1
1
      1
1
 1

2! n 1  3! n 1  n 1 
n!  n 1  n 1   n 1 
1 
1 
2   n 1 
n 

  1
1
 1
1
.
(n 1)!  n 1  n 1   n 1  n 1 
k 
k
k
 k 
, то 1    1 

 ( k  1,2,, n  1 ). Следоn n 1
 n   n  1
вательно, все слагаемые xn не превосходят соответствующих слагаемых
x n 1 . Кроме того, в x n 1 добавляется еще одно слагаемое и оно положительно.
Таким образом, xn  xn 1 , n  ℕ.
Так как
 1  n 
2) Покажем, что последовательность {xn }  1    – ограничена
 n  
сверху. Для этого распишем xn по формуле бинома Ньютона и оценим
его. Имеем:
1  1 1  1  2
1  1   2   n 1 
xn 11 1   1  1   1  1  1

2!  n  3!  n   n 
n!  n   n  
n 
1 1
1
11   .
2! 3!
n!
 k
Здесь мы использовали тот факт, что 1    1 , и, следовательно,
 n
1  1  2
 k  1 1
 1     1       1 
  . Теперь воспользуемся неравенством
k!  n   n 
n  k!

1
1
 k 1 при k  3,4, , и получим:
k! 2
n
1
1  
1 1
1
1 1 1
1
2
xn  1  1       1  1   2  3    n 1  1    
1
2! 3!
n!
2 2
2 2


1
сумма n членов
2
геометрической прогрессии
 1
1
1
1
2
 3 , n  ℕ.
2
 1  n 
Итак, мы доказали, что последовательность {xn }  1    возрас n  
тающая и ограниченная сверху. Следовательно, по теореме Вейерштрасса,
она сходится. Ее предел принято обозначать буквой e . Число e – иррациональное. Мы доказали, что e  3 . Более точные вычисления приводят
к результату
e  2,7182818284 59045 .
Число e часто встречается в математике. В теоретических исследованиях удобно выбирать e в качестве основания логарифма. Логарифм x
по основанию e называют натуральным логарифмом и обозначают ln x .
§. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Пусть функция
f (x)
определена в некоторой окрестности точки
x0  ℝ, кроме, может быть, самой точки x0 .
Договоримся обозначать через U * ( x0 ,  )  -окрестность точки x0 за
исключением самой точки x0 . Такую окрестность точки x0 называют
проколотой.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 (на языке  -  ). Число A ℝ называется пределом функции f (x) при x , стремящемся к x0 (или пределом функции в
точке x0 ), если для любого   0 существует   0 такое, что, если
x U * ( x0 ,  ) , то f ( x) U ( A,  ) .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 (на языке последовательностей). Число A ℝ
называется пределом функции f (x) при x , стремящемся к x0 , если для
любой последовательности {xn } ( xn  x0 ) значений аргумента, стремящейся к x0 , соответствующая последовательность значений функции
{ f ( xn )} сходится к A .
Записывают: lim f ( x)  A .
x  x0
ТЕОРЕМА. Определение предела функции на языке  -  и на языке
последовательностей эквивалентны. Т.е. если A  lim f ( x) в смысле
x  x0
первого определения, то A  lim f ( x) и в смысле второго определения и
x  x0
наоборот.
3
1) Пусть
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
lim f ( x)  A в смысле определения 1. Т.е. для любого
x  x0
  0 существует   0 такое, что,
если x U * ( x0 ,  ) , то f ( x) U ( A,  ) .
(1)
Пусть {xn } – любая последовательность значений аргумента, стремящаяся к x0 ( xn  x0 ). По определению это означает, что для любого
  0 существует номер N такой, что
xn  U * ( x0 ,  ) , n  N .
(Смотри геометрический смысл сходящейся последовательности и бесконечно большой последовательности. При этом мы берем проколотую
окрестность точки x0 , так как по условию xn  x0 .)
Но тогда, согласно (1), f ( xn )  U ( A,  ) , n  N . А это означает, что
{ f ( xn )}
последовательность
сходится к
Следовательно,
A.
lim f ( x)  A в смысле определения 2.
x  x0
2) Пусть
lim f ( x)  A в смысле определения 2. Т.е. для любой по-
x  x0
следовательности значений аргумента {xn }  x0 ( xn  x0 ), соответствующая последовательность значений функции { f ( xn )} сходится к A .
Предположим, что при этом предела функции f (x) при x , стремящемся к x0 в смысле определения 1 не существует. Это означает, что существует  0  0 такое, что для любого   0 найдется хотя бы одно чисx U * ( x0 ,  )
f ( x)  U ( A,  0 ) , т.е. для которого
1
f ( x)  A   0 . Обозначим это число для   1 через x1 , для  
–
2
1
через x2 , для   – через x3 , и т.д.
3
ло
(
x0  1
для которого
(
x0 x3
x2
(
x0  1 2
)
)
x0  1 2
x1
)
x0  1
1
 1 1

Так как 1, , , , ,   0 , то {xn }  x0 ( xn  x0 ). Но по выn
 2 3

бору xn имеем:
f ( xn )  A   0 ,
 lim f ( xn )  A .
n
4
Но это противоречит условию, что lim f ( x)  A в смысле определеx  x0
ния 2. Следовательно, предположение было неверно и lim f ( x)  A в
x  x0
∎
смысле определения 1.
Свойства пределов
Следующие утверждения справедливы в силу определения 2 и соответствующих свойств сходящихся последовательностей.
1) Если lim f ( x ) существует, то он единственный.
x  x0
2) Если lim f ( x)  A , то lim f ( x)  A .
x  x0
x  x0
3) Пусть функции f (x) и  (x) имеют предел при x  x0 и
lim f ( x)  A , lim  ( x)  B .
x  x0
x  x0
Тогда их сумма, разность произведение и частное тоже имеют предел при x  x0 , причем
а) lim  f ( x)   ( x)   A  B ;
x  x0
б) lim  f ( x)   ( x)   A  B
x  x0
(и, в частности, lim C   ( x)   C  B для любого числа C  ℝ);
x  x0
 f ( x)  A
в) lim 
(при условии, что B  0 ).
 
x  x0   ( x) 
B
4) Пусть
lim f ( x)  A
x  x0
и существует проколотая  -окрестность
точки x0 такая, что
Тогда
f ( x)  0 (или f ( x)  0 ), x  U * ( x0 ,  ) .
lim f ( x)  A  0 .
x  x0
5) Пусть функции f (x) и  (x) имеют предел при x  x0 . Если существует проколотая  -окрестность точки x0 такая, что
то
f ( x)   ( x) (или f ( x)   ( x) ), x  U * ( x0 ,  ) ,
lim f ( x)  lim  ( x) .
x  x0
x  x0
5
6) Пусть функции f (x) и  (x) имеют предел при x  x0 , причем
lim f ( x)  lim  ( x) .
x  x0
x  x0
Если существует проколотая  -окрестность точки x0 такая, что
f ( x)  g ( x)   ( x) , x  U * ( x0 ,  ) ,
то функция g (x) тоже имеет предел при x  x0 и
lim g ( x)  lim f ( x)  lim  ( x) .
x  x0
x  x0
x  x0
Следующие два свойства пределов требуют доказательств.
7) Если функция f (x) имеет предел при x  x0 , то она ограничена в
некоторой проколотой окрестности точки x0 (говорят: функция
локально ограничена).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Пусть lim f ( x)  A . Возьмем   1 . Тогда существует   0 такое,
x  x0
что, если x U * ( x0 ,  ) , то f ( x) U ( A,1) . Т.е.
f ( x)  A  1 , x  U * ( x0 ,  ) .
Рассмотрим | f ( x) | . Имеем:
f ( x)  f ( x)  A  A   f ( x)  A  A 
 f ( x)  A  A  1  A , x  U * ( x0 ,  ) .
Следовательно, в U * ( x0 ,  ) функция f (x) ограничена.
∎
f : X  Y ,  : Y  Z ( X , Y , Z  ℝ). Если существуют
8) Пусть
lim f ( x)  y0 и lim  ( y )  z 0 , то сложная функция  ( f ( x)) имеx  x0
y  y0
ет предел при x  x0 , причем
lim   f ( x)   lim   y   z0 .
x  x0
y  y0
(2)
Формулу (2) называют формулой замены переменной в пределе.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО (самостоятельно)
Бесконечно малые и бесконечно большие функции
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция  (x) называется бесконечно малой при
x  x0 , если lim  ( x)  0 .
x  x0
6
Свойства бесконечно малых функций
1) ТЕОРЕМА (роль бесконечно малых в теории пределов). Число A
является пределом функции f (x) при x  x0 тогда и только тогда, когда
f ( x)  A   ( x) , где  (x) – бесконечно малая при x  x0 .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО (самостоятельно)
2) Сумма, разность, произведение двух (конечного числа) бесконечно малых при x  x0 функций есть функция бесконечно малая.
Это утверждение является следствием свойства 3 пределов функций.
3) Пусть функция f (x) – ограниченна в некоторой окрестности
точки x0 , а  (x) – бесконечно малая при x  x0 . Тогда их произведение f ( x)   ( x) – бесконечно малая при x  x0 .
Это свойство справедливо в силу определения 2 и соответствующего
свойства бесконечно малых последовательностей.
Пусть функция
f (x)
определена в некоторой окрестности точки
x0  ℝ, кроме, может быть, самой точки x0 .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 (на языке  -  ). Функцию f (x) называют бесконечно большой при x , стремящемся к x0 , если для любого M  0 существует   0 такое, что, если x U * ( x0 ,  ) , то
f ( x)  M .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 (на языке последовательностей). Функцию f (x)
называют бесконечно большой при x , стремящемся к x0 , если для любой последовательности {xn } ( xn  x0 ) значений аргумента, стремящейся к x0 , соответствующая последовательность значений функции
{ f ( xn )} является бесконечно большой.
Записывают: lim f ( x)   .
x  x0
Если
f (x) является бесконечно большой при x  x0 и при этом
f ( x)  M , x  U * ( x0 ,  ) (или { f ( xn )}   , {xn }  x0 ), то пишут:
lim f ( x)   .
x  x0
Если
f (x) является бесконечно большой при x  x0 и при этом
f ( x)  M , x  U * ( x0 ,  ) (или { f ( xn )}   , {xn }  x0 ), то пишут:
lim f ( x)   .
x  x0
7
Определение 1 и определение 2 бесконечно большой функции эквивалентны (доказывается так же, как эквивалентность двух определений предела функции).
Свойства бесконечно больших функций
1
f ( x)
– бесконечно малая при x  x0 . Если функция  (x) – бесконечно ма1
лая при x  x0 , то функция
– бесконечно большая при x  x0 .
 ( x)
1) Если f (x) – бесконечно большая при x  x0 , то функция
2) Если функции f (x) и  (x) – бесконечно большие одного знака
при x  x0 , то их сумма f ( x)   ( x) – бесконечно большая того же
знака при x  x0 .
3) Если функция f (x) – бесконечно большая при x  x0 , а функция  (x) – ограниченна в некоторой окрестности точки x0 , то их
сумма f ( x)   ( x) – бесконечно большая при x  x0 .
4) Если функции f (x) и  (x) – бесконечно большие при x  x0 ,
то их произведение f ( x)   ( x) – бесконечно большая при x  x0 .
5) Если функции f (x) – бесконечно большая при x  x0 , а функция  (x) имеет предел при x  x0 , причем lim  ( x)  A  0 , то их
x  x0
произведение f ( x)   ( x) – бесконечно большая при x  x0 .
6) Если функции f (x) – бесконечно большая при x  x0 и для любого x из некоторой окрестности точки x0 имеет место неравенство f ( x)   ( x) ( f ( x)   ( x) ), то функция  (x) тоже является бесконечно большой при x  x0 .
Все эти утверждения справедливы в силу определения 2 бесконечно
большой функции и соответствующих свойств бесконечно больших последовательностей.
8