Тема 2 Теория пределов Практическое занятие 1 1.1 Определение числовой последовательности

Тема 2 Теория пределов
Практическое занятие 1 Числовые последовательности
1.1 Определение числовой последовательности
1.2 Ограниченные и неограниченные последовательности
1.3 Монотонные последовательности
1.4 Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности
1.1 Определение числовой последовательности
В курсе школьной математики кратко излагались элементы
теории последовательности при изучении арифметической и
геометрической прогрессий, при последовательных приближениях иррациональных чисел.

Числовой последовательностью  xn n 1 называется числовая
функция, определенная на множестве натуральных чисел N и
принимающая свои значения из множества действительных чисел f : N  R .
Обозначается: xn  x1; x2;...; xn ;... или
xn n1  x1; x2 ;...; xn ;... .
Числа x1 , x2 , x3 ,... называются элементами (членами) после-

довательности  xn n 1 , xn – формула общего члена последовательности, n – номер общего члена последовательности.
Последовательность считается заданной, если указан способ
получения ее любого элемента.
Основными способами задания последовательности являются: формула n -го члена, рекуррентный, словесный, графический.


Пусть даны две последовательности  xn n 1 ,  y n n 1 .


Суммой последовательностей  xn n 1 и  y n n 1 называется по-
следовательность  xn  y n n 1 , каждый элемент которой равен
сумме соответствующих элементов последовательностей.

Произведением последовательности  xn n 1 на число m назы
30

вается последовательность m  xn n 1 , каждый элемент которой
равен произведению соответствующего элемента последовательности на число m .


Произведением последовательностей  xn n 1 и  y n n 1 называ
ется последовательность xn  yn n 1 , каждый элемент которой
равен произведению соответствующих элементов последовательностей.
Если все члены последовательности  y n  отличны от нуля, то

частным последовательностей  xn n 1 и
 y n n 1
называется по-

x 
следовательность  n  , каждый элемент которой равен част y n  n 1
ному соответствующих элементов последовательностей.
1.2 Ограниченные и неограниченные последовательности

Последовательность  xn n 1 называется ограниченной сверху
(снизу), если существует число M ( m ) такое, что каждый элемент последовательности xn удовлетворяет неравенству xn  M
( xn  m ). Числа M и m называются верхней и нижней гранями

числовой последовательности  xn n 1 .
Символическая запись:
xn n 1 – ограничена сверху  M  R :  n  N xn  M .
xn n 1
– ограничена снизу  m  R :  n  N xn  m .
Последовательность  xn n 1 называется ограниченной, если
она ограничена сверху и снизу, т.е. существуют числа M и m
такие, что каждый элемент xn последовательности удовлетворяет неравенству m  xn  M .
Символическая запись:
xn n 1 – ограничена  m, M  R :  n  N m  xn  M .

Пусть A  max m , M . Тогда условие ограниченности мож-
31
но записать в виде xn  A .
Последовательность  xn  называется неограниченной, если
для любого действительного числа A  0 существует элемент xn
последовательности, удовлетворяющий неравенству xn  A , т.е.
либо xn  A или xn   A .
Символическая запись:
xn n 1 – неограниченна   0  A  R  n  N : xn  A .
1.3 Монотонные последовательности

Последовательность  xn n 1 называется неубывающей, если ее
элементы удовлетворяют условию: x1  x2  ...  xn  ... .

Последовательность  xn n 1 называется возрастающей, если
ее элементы удовлетворяют условию: x1  x2  ...  xn  ... .

Последовательность  xn n 1 называется невозрастающей, ес-
ли ее элементы удовлетворяют условию: x1  x2  ...  xn  ... .

Последовательность  xn n 1 называется убывающей, если ее
элементы удовлетворяют условию: x1  x2  ...  xn  ... .
Последовательность  xn n 1 называется монотонной, если является одной из выше перечисленных. Последовательность
xn n 1 называется строго монотонной, если она возрастающая
или убывающая.

1.4 Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности
Последовательность  n n 1 называется бесконечно малой,
если для любого положительного числа   0 существует такой
номер N   такой, что для всех номеров n  N   выполняется

неравенство  n   .
Символическая запись:
 n n 1 – б.м.п.     0 N   : n  N    n   .
Свойства бесконечно малых последовательностей:
32
– бесконечно малая последовательность  n n 1 ограничена;
– сумма и разность бесконечно малых последовательностей
есть бесконечно малая последовательность;
– произведение бесконечно малых последовательностей есть
бесконечно малая последовательность;

– произведение бесконечно малой последовательность  n n 1

на ограниченную  xn n 1 есть бесконечно малая последовательность.

Последовательность  xn n 1 называется бесконечно большой,
если для любого положительного числа c  0 существует такой
номер N k  такой, что для всех номеров n  N k  выполняется

неравенство xn  c .
Символическая запись:
xn n 1 – б.б.п.   c  0 N k  : n  N k  xn  c .
Если последовательность бесконечно большая, то она неограниченна. Если последовательность неограниченна, то она не

обязательно бесконечно большая. Если  xn n 1 бесконечно
большая последовательность и все ее члены отличны от нуля, то
 1
последовательность 
 xn



является бесконечно малой после n 1

довательность. Если  n n 1 бесконечно малая последовательность и все ее члены отличны от нуля, то последовательность

 1 
  является бесконечно большой последовательностью.
  n  n 1
Вопросы для самоконтроля
1 Сформулируйте определение числовой последовательности. Приведите примеры последовательностей с различным способом задания.
33
2 Перечислите арифметические действия над последовательностями.
3 Дайте определение ограниченной и неограниченной последовательности. Приведите примеры.
4 Какие последовательности называются монотонными,
строго монотонными?
5 Может ли быть монотонной последовательностью: сумма
двух немонотонных последовательностей; произведение двух
немонотонных последовательностей?
6 Сформулируйте определение бесконечно малой и бесконечно большой последовательности. Какими свойствами они
обладают?
Решение типовых примеров
1 Напишите пять первых членов из следующих последовательностей:
n 1 n  1
а) xn   1
,
n2
б) числа Фибоначчи x1  1 , x2  1 , xn 1  xn  xn 1 ,
 n, если n  простое число,
в) yn   2
 n , если n  составное число.
Какие из данных последовательностей являются ограниченными сверху, ограниченными снизу, ограниченными, монотонными?
n 1 n  1
Р е ш е н и е . а) для последовательности xn   1
n2
3
5
6
4
имеем x1  2 , x2   , x3  , x4   , x5 
.
4
16
25
9
n 1 n 1
Поскольку xn   1n1 2  2  2 для любого n  N , то
n
n
последовательность является ограниченной.
34
Так как x3  x4 и x4  x5 , видно, что определение монотонности
не
выполняется.
Значит,
последовательность
n 1 n  1
не является монотонной.
xn   1
n2
б) для чисел Фибоначчи имеем: x1  1 , x2  1 , x3  x2  x1  2 ,
x4  x3  x2  3 , x5  x4  x3  5 .
Поскольку xn  1 n  N , то последовательность ограничена
снизу, но неограничена сверху. При этом xn  xn 1 n  N . Значит, числа Фибоначчи образуют неубывающую последовательность.
в) для последовательности  yn  получим: y1  1 , y2  2 ,
y3  3 , y4  16 , y5  5 .
Данная последовательность ограничена сверху числом  1 , но
неограничена снизу. Она не является монотонной, так как
y 4  y3 и y 4  y5 .
2 Доказать по определению, что последовательность

 1 
1 1 1 
    ; ; ;... является бесконечно малой последова 2n  n 1  2 4 6 
тельностью.
Р е ш е н и е . Возьмем произвольное малое число   0 . Так
1
как
  , то для нахождения значений n , удовлетворяющих
2n
этому неравенству, достаточно его решить. Поскольку n  N , то
1
1
. Следова  . Решая данное неравенство, получим n 
2n
2
1
тельно, в качестве N   можно взять целую часть числа
:
2n
1
1
N      . Тогда неравенство
  будет выполнятся при
2n
 2 
всех номеров n , больших чем N   .
1
5.
Например, пусть   0,1 . Тогда N   
2  0,1
35
Начиная с шестого номера все члены последовательности

 1 
  меньше   0,1 .
 2n  n 1
3 Доказать по определению,
 
что
последовательность
 1;4;9;... является бесконечно большой.
Р е ш е н и е . Возьмем произвольное число c  0 . Из неравенства xn  c найдем N c  :

n 2 n 1
n2  c  n  c .
 
Возьмем за N k  целую часть числа c : N k   1  c . Тогда для всех номеров n , больших чем N c  , выполняется неравенство n 2  c .
Например, для c  0,16 имеем N c   1  0,16  1 . Значит,
для всех членов последовательности, начиная со второго номера,
n2  c .
c  12 ,
выполняется
неравенство
Если
то
N c   1  12  4 и неравенство верно n  4 .
4 Является ли неограниченная последовательность бесконечно большой?
Решение.
Рассмотрим
последовательность

xn n1  1,0,2,0,3,0,4,0, . Данная последовательность является
неограниченной, поскольку для любого A  N найдется элемент

последовательности  xn n 1 , для которого xn  A . Однако она не
является бесконечно большой, так как это неравенство не выполняется для любого n  N . Поэтому не всякая неограниченная
последовательность является бесконечно большой.


 
Задания для аудиторной работы
1 Напишите пять первых членов каждой из следующих последовательностей:
1
а) xn 
;
г) a1  1 , an  an 1  2 , при n  1 ;
2n  1
36
a
n2
;
д) a1  1 , an  n 1 , при n  1 ;
3
2
n 1
n
1
в) xn  n 1 ;
е) xn   1n .
n
2
Какие из данных последовательностей являются ограниченными сверху, ограниченными снизу, ограниченными, монотонными?
2 Найти формулу для общего члена следующих последовательностей:
а) члены с четными номерами равны 1, а члены с нечетными
равны -1;
б) членами последовательности являются корни уравнения
cos x  0 .
3 Может ли быть монотонной последовательностью:
а) сумма двух немонотонных последовательностей;
б) произведение двух немонотонных последовательностей?
4 Доказать по определению, что последовательности
n
sin n
а) xn  2
,
б) xn 
,
в) xn  2  n .
n
n 1
являются бесконечно малыми.
5 Доказать по определению, что последовательности
n
а) xn  ln n  1 ,
б) xn  22n1 ,
в) xn   1 n .
являются бесконечно большими.
б) xn 
Задания для домашней работы
1 Напишите пять первых членов каждой из следующих последовательностей:
n
n n 1
n2
 1
а) xn 
;
в) xn  1   ;
д) xn   1 2 2n ;
n3
 n
б) xn  sin n ;
г); xn  ln n ;
е) xn 
5n   3
n
.
n2
Какие из данных последовательностей являются ограниченными сверху, ограниченными снизу, ограниченными?
37
2 Найти формулу для общего члена следующих последовательностей:
а) члены номерами, кратными 3 равны 1, а остальные равны
0;
б) членами последовательности являются корни уравнения
x
sin  0 .
2
3 Определить, какие из указаных последовательностей
являются возрастающими, убывающими, а какие из них не
являются монотонными?
1
а) xn 
;
г) xn  3 n ;
ж) xn  n 2  2n  4 ;
n 1
n
2n   1
1
 1n
б) xn  2 ;
д) xn  sin 2 ;
и) xn 
;
n
n
n
в) xn  2 n ;
е) xn  lg 1  n 
к) xn  n  2 .
4 Может ли быть ограниченной последовательностью:
а) сумма двух неограниченных последовательностей;
б) произведение двух неограниченных последовательностей;
в) произведение ограниченной и неограниченной последовательностей.
5 Доказать по определению, что последовательности
 1n ,
arcsin n
а) xn 
б) xn 
.
n
n
являются бесконечно малыми.
5. Доказать по определению, что последовательность
n2
xn 
является бесконечно большой.
n 1
38
Практическое занятие 2 Предел последовательности
2.1 Определение и свойства предела последовательности
2.2 Критерий Коши сходимости последовательности
2.3 Замечательные пределы
2.1 Определение и свойства предела последовательности
Число a  R называется пределом последовательности
xn n 1 , если для любого положительного действительного числа
 найдется такой номер N    N , что при всех n  N   элементы этой последовательности удовлетворяют неравенству
xn  a   .
Обозначается: lim xn  a или xn  a при n   .
n 
Символическая запись:
lim xn  a     0 N   : n  N  
n 
xn  a   .
Последовательность, имеющая конечный предел, называется
сходящейся (к числу а), а последовательности, не имеющие конечного предела, – расходящимися.
Неравенство xn  a   означает, что последовательность
xn  a n 1
является бесконечно малой последовательностью.
Отсюда следует, что любую сходящуюся последовательность

можно представить в виде xn  a   n , где  n n 1 – бесконечно
малая последовательность, где lim  n  0 .
n 

Бесконечно большая последовательность  xn n 1 имеет бесконечный предел:
lim xn     A  0 N  A : n  N  A xn  A .
n 
Сходящиеся последовательности обладают следующими
свойствами:
– сходящаяся последовательность имеет только один предел;
– если последовательность  xn  сходится, то она ограничена:
39
lim xn  a  M  R : xn  M ;
n 
– сумма (разность) двух сходящихся последовательностей
есть сходящаяся последовательность, предел которой равен
сумме пределов последовательностей
lim xn  yn   lim xn  lim yn ;
n 
n 
n 
– произведение двух сходящихся последовательностей есть
сходящаяся последовательность предел которой равен произведению пределов последовательностей
lim xn  yn   lim xn  lim yn ;
n 
n
n 
xn n 1
– частное двух сходящихся последовательностей
 y n n 1 ,
и
lim yn  0 , есть сходящаяся последовательность предел
n 
которой равен частному пределов последовательностей
lim xn
x
lim n  n ;
n  y
lim y n
n
n 

– если все элементы сходящейся последовательности  xn n 1 ,
lim xn  a , начиная с некоторого номера, удовлетворяют нера-
n 
венству xn  b ( xn  b ), то и предел этой последовательности
удовлетворяет неравенству a  b ( a  b );



– пусть последовательности  xn n 1 ,  y n n 1 , z n n 1 таковы,
что  n  N выполняется неравенство xn  y n  z n и lim xn  a ,
lim z n  a .
n 
Тогда
последовательность
 

y n n 1
n 
сходится
и
lim yn  a ;
n 
– каждая ограниченная монотонная последовательность сходится.
2.2 Критерий Коши сходимости последовательности
Последовательность  xn  называется фундаментальной, если
для любого малого действительного числа  найдется номер
40
N   такой, что для всех номеров n , больших N   и любого
p  N выполняется неравенство xn p  xn   .

Символическая запись:  xn n 1 – фундаментальна 
   0 N   : n  N   и  p  N
xn p  xn   .
Из определения следует, что lim xn p  xn  0 .
n
Критерий Коши сходимости последовательности: Для того,

чтобы последовательность  xn n 1 была сходящейся, необходимо
и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
2.3 Замечательные пределы
Пределы, к которым сводятся вычисления многих пределов
условно называются замечательными пределами. Ниже приводся некоторые из них:
n
an
 1
lim 1    e ,
lim  0 , ( a  R ),
n  n !
n 
n
lim n n  1 ,
lim n a  1 ( a  R ),
1
lim
0,
n  n n !
lim
n 
n 
nn
 0.
n  n !
Вопросы для самоконтроля
1 Дайте определение предела последовательности.
2 Сформулируйте с помощью логических символов определение расходящейся последовательности, бесконечно большой
последовательности.
3 Дайте геометрическую интерпретацию предела последовательности.
4 Перечислите свойства сходящихся последовательностей.
5 Всякая ли монотонная последовательность является сходящейся?
6 Какая последовательность называется фундаментальной?
7 В чем суть критерия Коши?
41
Решения типовых примеров
n
1.
n  n  1
Р е ш е н и е . Возьмем любое   0 . Найдем номер N   .
1 Доказать по определению, что lim
Из неравенства
n
1

n
1  
n 1
получим
1
  . Отсюда
n 1
1 .
1 
Если взять N      1  1 (так как при   1 получим
 
1 
   1  0  N ), то для всех номеров n  N   выполняется не

n
равенство
1   .
n 1
Например, при   0,01 последнее неравенство справедливо
для членов последовательности с номерами 100 , 101 , ... , а при
  2 неравенство верно  n  N .
n
2 Доказать, что ограниченная последовательность xn   1
не имеет предела.
Р е ш е н и е . Предположим, что она имеет предел, равный
a  R . Тогда
1
1
n
lim  1  a     N   : n  N    1n  a  .
n
2
2
1
При n  2k получим 1  a  , при n  2k  1 получим
2
1
1
 1  a  или 1  a  .
2
2
С учетом этого n  N  
1 1
2  1  a  a  1  1  a  1  a    1,
2 2
т. е. 2  1 . Получили противоречие.
42
Значит, последовательность xn   1n не имеет предела.
3 Доказать, что последовательность xn 
 1n
2n
нулю, но она не является монотонной.
Решение.
lim
n 
 1n
2n
 0     0 N   : n  N  
сходится к
 1n
2n
0  .
Найдем номер N   , начиная с которого выполняется это неравенство:
 1n
2n
 
1
1
1
  n 
 N       1 .
2n
2
 2 
Следовательно, последовательность сходится.
1
1
1
Так как x1   , x2  , x3   ,  , то последовательность
2
4
6
не является монотонной.
2n
0.
4 Доказать, что lim
n n!
Р е ш е н и е . Покажем, что xn 
Рассмотрим xn1 
2n
монотонна.
n!
2 n1
2 2n
2



x .
n  1! n  1 n ! n  1 n
Следовательно, xn 1  xn n  2 , т.е. xn – убывающая и
ограничена снизу числом 0 . По свойству сходимости
монотонной ограниченой последовательности существует
2n
предел последовательности xn 
, равный b , т.е. lim xn  b .
n 
n!
Переходя к пределу в равенстве xn 1 
получим b  b  0 . Отсюда b  0 .
43
2
 xn при n   ,
n 1
1 
 1  1  
5 Доказать, что xn  1  1  1  n  – сходится.
 2  4   2 
Р е ш е н и е . Так как
xn1
1
 1  n1  1 ,
xn
2
то xn – возрастает.
Покажем, что последовательность ограничена. Имеем:
1 
 1
 1

ln xn  ln 1    ln 1      ln 1  n  
 2
 4
 2 
1 1
1 1
1 1 1
1
 1,
   n    n   
2 1 1
2 4
2 4
2
2
2
т .е. ln xn  1 . Откуда xn  e .
Значит, xn – монотонна и ограничена. Тогда по свойству о
сходимости монотонной и ограниченной последовательности
xn сходится.
6 Вычислить пределы:
n
8n  5
 n 1 
а) lim
, б) lim  n 2  n  n  1  , в) lim 
 .
n


n  
n  2 n  3

 n 3
Р е ш е н и е . а) имеем:
5
8
разделим числитель
8n  5
n =
=
= lim
lim
n 
3
n  2 n  3
и знаменатель на n
2
n
5

lim  8  
n 
n
= по свойствам пределов =
=
3

lim  2  
n 
n
5
lim 8  lim
80 8
n 
n  n
= по свойствам пределов =

 4.
1 20 2
lim 2  lim
n 
n  n
44
б) имеем:
lim  n 2  n  n 2  1       
n  

=
умножим и разделим
на
n  n  n 1
2
2
= lim
n 

n

 1
n 1  
 n
1
1
1  1 2
n
n





1
.
2
в) имеем:
n
 
n
n  3  4 

n
 n 3 
4 
 4  4
 n 1 



lim 
  1  lim 1 
  lim 1 

n   n  3 
n  
n  3  n   n  3 

4 n
n 3 n 3


4n
lim

 4  4 
 lim  1 
 e n n 3  e  4 .
 
n  
n  3 



7 Доказать, что последовательность xn  a0  a1q    an q n ,
где ak  M k  1, n , q  1 , сходится.
Р е ш е н и е . Для доказательства используется критерий Коши.
Возьмем любое   0 и рассмотрим разность
xn  xn p  an p q n p  an p1q n p1    an1q n1 
 M q n p    M q n1  Mp q n1  0 при n   .
 
N       1 , такое, что
M 
n  N и p  0 выполняется неравенство xn  xn p   . СлеСледовательно,
существует
довательно, последовательность  xn  является фундаментальной
и согласно критерию Коши она сходится.
1 1
1
8 Доказать, что xn  1      расходится.
2 3
n
Р е ш е н и е . Построим отрицание к критерию Коши:
45
 0  0 N n  N p  N : xn p  xn   0 .
Для этого рассмотрим разность
1
1
1
1
.
xn p  xn 


 p
n  p n  p 1
n 1
n p
Пусть p  n . Тогда получим x2 n  xn 
1
.
2
1
, такое, что N n  p  N , x2 n  xn   0 , т.е.
2
последовательность не является фундаментальной, а значит и не
сходится.
9 Доказать, что последовательность xn  sin n расходится.
Р е ш е н и е . Доказательство проведем от противного.
Пусть существует конечный предел lim sin n  a , следоваЗначит,  0 
n 
тельно, lim sin n  2  a . Тогда
n
lim sin n  2  sin n   0 .
n 
С другой стороны
sin n  2  2 sin 1  cosn  1 ,
lim 2 sin 1  cosn  1  sin n   0 .
n 
Следовательно,
lim cosn  1  0 .
n 
С учетом того, что cosn  1  cos n cos1  sin n sin 1 , имеем
1
cos n cos1  cosn  1 .
sin n 
sin 1
Значит,
1
lim sin n 
lim cos n cos1  cosn  1  0 .
n
sin 1 n
Таким образом, lim sin n  lim cos n  0 , что противоречит раn 
n 
венству cos n  sin n  1 .
Следовательно, sin n расходится.
2
2
46
Задания для аудиторной работы
1 Докажите, что lim xn  1 , указав для каждого положительn 
ного числа  такой номер N   , что при всех n  N   элеменxn
ты
последовательности удовлетворяют неравенству
xn 1   , если xn равно:
 1 ;
2n  1
а)
в) 1 
 1;
n
n
n
sin
n
2 ;
б) 1 
г)
.
2
n
n n
2 Пользуясь определением предела последовательности, докажите, что:
2n  5  6n
n
а) lim 0,8  0 ;
б) lim n
5.
n
n 3  6 n
n
3 Докажите, что последовательность xn  n 1 расходится.
4 Докажите, что число a  1 не является пределом последовательности xn  cos n .
5 Докажите по определению, что последовательность
n
xn  2 n имеет бесконечный предел при n   .
6 Вычислить пределы:
1  3  5    2n  1
6n  1
а) lim
;
и) lim
n
n  2 n  3
1 3  5  n
10 n
б) lim 2
;
к) lim n  1  n ;
n  n  1
n
3n  2
в) lim 2
;
л) lim 3 n  1  3 n ;
n  5n  4n  1
n


n2  n


;
 2n  3 
м) lim 

n  2n  5 
5  3n
;
n 3n  2
 2n  3 
н) lim 

n  n  5 
г) lim
n 
n n
д) lim
47
3 n 1
;
3 n 1
;
е) lim
n


2  4 2  8 2   2n 2 ;
 n3 
ж) lim 

n  2n  5 
о) lim n n 2 ;
n 
3 n 1
п) lim n 2 
;
n 
1
.
n
Задания для домашней работы
1 Докажите, что lim xn  1 , указав для каждого положительn 
ного числа  такой номер N   , что при всех n  N   элеменxn
ты
последовательности удовлетворяют неравенству
xn 1   , если xn равно:
1 n
;
в) 1  5 n ;
1 n
cosn
n2  1
б) 1
;
г)
.
n
n2
2 Пользуясь определением предела последовательности, докажите, что:
 1n  0 ;
а) lim
б) lim log n 2  0 .
n 
n 
n
3 Докажите, что последовательность xn  ln n расходится.
4 Докажите, что число a  0 не является пределом последоn
вательности xn   1  1 .
5 Выясните существование предела у следующих
последовательностей и найдите его, если он существует:
1
1
а) xn   ;
в) xn 
;
д) xn  cos n ;
n
5n
5   1
а) 2 
n
1

1
1
 1
б) xn  n ;
г) xn  2 ,
е) xn  1    .
2
n
3
n
6 Вычислить пределы:
3n 2  n  4
5n 2  27 n  30
а) lim
;
и) lim
;
n   10 n  251
n n 3  n 2  15
48
n 1
;
n  n  1
1 2  3  n
л) lim
;
n 
n2 1
4n 4  7 n 2  3
;
n  2n 4  9n 2  n  7
б) lim
к) lim
в) lim  n 2  n  n  ;
n  

г) lim
n
 3
3
5
3  3  
7
 3n  4 
д) lim 

n  n  7 
2 n 1

 3n  4 
м) lim 

n    3n  7 
3 ;
2 n 1
 n4 
н) lim 

n    3n  7 
;
n
 n2  3  2
 ;
е) lim  2
n  n  1 


n2
ж) lim 6 ;
2 n  3n
;
n 2 n  3n
о) lim
п) lim 4 n n .
n 
n
49
2 n 1
;
2 n 1
;
Практическое занятие 3 Предел функции
3.1 Понятие функции, сложная и обратная функции
3.2 Способы задания функции
3.3 Определения предела функции по Гейне и по Коши
3.4 Односторонние пределы функции
3.1 Понятие функции, сложная и обратная функции
Под функциями понимается отображение числовых множеств.
Пусть X – произвольное подмножество действительных чисел, X  R .
Если каждому числу x  X поставлено в соответствие единственное действительное число y  f  x  , то говорят, что на
множестве X определена числовая функция f . Переменная x
называется независимой переменной или аргументом, y – зависимой переменной, множество X называется областью определения функции и обозначается D  f  , а множество

Y  y  R y  f  x, x  D  f 
 – множеством значений функ-
ции и обозначается E  f  .
Если о функции говорить как об отображении f : X  Y , то
f  x  называется образом элемента x , а x – прообразом элемента f  x  . При этом множество Y называется образом множества X , множество X – прообразом множества Y .
Чтобы определить функцию y  f  x  , нужно задать множество X и закон (правило, соответствие) f , переводящий элементы x множества X в элементы y множества Y .
Пусть функции u   x  и y  f u  определены на множествах X и U соответственно, причем множество значений
функции  содержится в области определения f . Тогда функция  переводит элементы x в элементы u , а функция f пере
f
водит элементы u в элементы y : x  u  y .
50
Таким образом, каждому значению x ставится в соответствие
(посредством промежуточной переменной u ) одно значение
y  f  x  . В этом случае y называется сложной функцией
(композицией функций f и  ) аргумента x . При этом функция
u   x  называется промежуточным аргументом, x – независимым аргументом. Обозначается: y  f  x  или f   .
Обратная функция. Пусть функция y  f  x  такова, что каждое значение y она принимает только при одном значении x .
Такая функция называется обратимой. Тогда уравнение
y  f  x  можно однозначно разрешить относительно x , т.е.
каждому y соответствует единственное значение x . Это соответствие определяет функцию, которая называется обратной к
функции f .
Обозначается: x  f 1  y  или f 1 .
Если функция f 1 является обратной по отношению к функции f , то функция f является обратной по отношению к f 1 ,
 
т.е. f 1
1
 f . Функции f и f 1 называются взаимно обрат-


ными, т.е. f f 1  y   y и f 1  f x   x .
Если числовая функция y  f  x  строго монотонна, то существует обратная функция x  f 1  y  . При этом, если f – возрастающая функция, то f 1 – возрастающая; если f – убывающая,
то f 1 – убывающая.
Если же у обратной функции, так же как и у данной, аргумент
обозначить через x , а зависимую переменную через у, то обратная функция запишется в виде y  f 1 x  .
Функции x  f 1  y  и y  f 1 x  различаются только обозначением зависимой и независимой переменных. Поэтому, чтобы
из графика функции x  f 1  y  совпадающего с графиком функции y  f  x  , получить график функции y  f 1 x  , достаточно
51
поменять местами оси Ox и Oy , т.е. повернуть плоскость чертежа вокруг биссектрисы первого координатного угла. Таким
образом, график обратной функции y  f 1 x  симметричен
графику данной функции y  f  x  относительно биссектрисы
первого координатного угла.
3.2 Способы задания функции
Функция задается одним из следующих способов.
А н а л и т и ч е с к и й способ задания функции состоит в том,
что с помощью формулы устанавливается алгоритм вычисления
значений функции f  x  для каждого из значений x  D .
Частное значение функции y  f  x  при некотором значении
аргумента x0 записывается в виде f x0  или y
x  x0
.
При аналитическом задании функции область определения D
есть множество значений аргумента x , при которых данная
формула имеет смысл.
Аналитически функция y  f  x  , x  a; b может быть неявно задана уравнением F  x; y   0 , если x  a; b  F x; f x   0 .
В некоторых случаях, разрешив уравнение F  x; y   0 относительно у, удается получить явное задание функции y  f  x  .
Аналитически функция y  f (x) может быть задана в п а р а м е т р и ч е с к о м виде. Пусть x   (t ), y   (t ) – две функции одной независимой переменной t  T . Если x   (t ) монотонна на Т, то существует обратная к ней функция t   1 ( x) .
Поэтому функцию y   (t ) , t   1 ( x) можно рассматривать как
сложную функцию, переводящую элемент x в элемент y посредством промежуточной переменной t :
t   1 ( x),
 x   (t ),

 y   ( 1 ( x))  F ( x) .

 y   (t ),
 y   t ,
В этом случае говорят, что сложная функция
y   ( 1 ( x))  F ( x)
52
задана параметрическими уравнениями и пишут:
 x   (t ),

 y   (t ),
где t , t  T , параметр.
Всякую функцию, заданную явно y  f (x) , можно задать параметрическими уравнениями.
Действительно,
x  t,
y  f x   
 y  f t .
Параметрическое задание функций иногда имеет преимущество перед другими формами их задания. В некоторых случаях
непосредственная связь между y и x может быть весьма сложной, в то время как функции xt  и y (t ) определяющие функциональную зависимость y от x через параметр t, оказываются
простыми.
Т а б л и ч н ы й способ задания функции осуществляется табличным перечислением n значений аргумента x1 ; x2 ;...; xn и соответствующих им значений функции y1 ; y 2 ;...; y n .
Г р а ф и ч е с к и й способ задания функции состоит в представлении функции y  f  x  графиком в некоторой системе координат.
Графиком Γ функции y  f  x  называется множество точек
M x; y  плоскости R 2 , координаты которых связаны данной
функциональной зависимостью:
Г  M x; y   R 2 y  f x  x  D f  .


Средствами элементарной математики для функции y  f  x 
с областью определения D  f  в большинстве случаев можно
определить следующие характеристики.
Нули функции и знак функции на множестве
D  f  . Значение x  D f  при котором функция y  f  x  обращается в нуль, называется нулем функции, т.е. нули функции являются корнями уравнения f x   0 .
53
В интервале, на котором функция положительна, график ее
расположен выше оси Ox , а в интервале, на котором она отрицательна,– ниже оси Ox ; в нуле функции график имеет общую
точку с осью Ox .
Ч е т н о с т ь и н е ч е т н о с т ь ф у н к ц и и . Числовая
функция y  f  x  называется четной (нечетной), если выполняются следующие условия:
1) область ее определения симметрична относительно точки
O , т. е. для каждой точки x  D  x  существует точка – x  D  x  ;
2) для любого x из области определения выполняется равенство
f  x   f x  ( f  x    f x  ).
Существуют функции, которые не являются ни четными, ни
нечетными. Они называются функциями общего вида.
Ось Oy является осью симметрии графика любой четной
функции, а начало координат – центром симметрии графика нечетной функции. Графики функций, не обладающих свойствами
четности или нечетности, не симметричны.
При изучении поведения четной (нечетной) функции достаточно изучить ее при любом x  0 и продолжить это изучение
по симметрии на любое x  0 .
П е р и о д и ч н о с т ь ф у н к ц и и . Функция y  f  x  , определенная на множестве D  f  , называется периодической, если
существует такое число T  0 , что  x  D  f  выполняются
следующие условия:
1) x  T , x  T  D  f  ;
2) f x   f x  T   f x  T  .
Число T называется периодом функции.
Если число Т является периодом функции y  f  x  для любого n  N , то число nT – также период этой функции. Если существует наименьший положительный период функции, то он
называется основным периодом. Если T – период функции
y  f  x  , то достаточно построить график на одном из интервалов длиной Т, а затем произвести параллельный перенос его
54
вдоль оси Ox на  Tk , k  Z . Если функция f  x  – периодическая с периодом Т, то функция f kx – также периодическая с
T
периодом .
k
К периодическим функциям относится постоянная функция
f x   c , c  const , D f   R . Любое число T  R является периодом этой функции, но наименьшего (основного) периода Т
функция не имеет.
М о н о т о н н о с т ь ф у н к ц и и . Функция y  f  x  называется возрастающей (убывающей) на множестве X , если большему значению аргумента из этого множества соответствует
большее (меньшее) значение функции:
f  x  возрастает на X  x1 , x2  X : x1  x2 f x1   f x2  ;
f  x  убывает на X  x1 , x2  X : x1  x2 f x1   f x2  .
Функция y  f  x  называется неубывающей (невозрастающей) на множестве X , если большему значению аргумента из
этого множества соответствует не меньшее (не большее) значение функции:
f (x) не убывает на Х  x1 , x2  X : x1  x2 f x1   f x2  ;
f (x) не возрастает на Х  x1 , x2  X : x1  x2 f x1   f x2  .
Возрастающие и убывающие функции называются строго
монотонными, а неубывающие и невозрастающие – монотонными.
О г р а н и ч е н н о с т ь ф у н к ц и и . Функция y  f  x  называется ограниченной сверху (снизу) на множестве X  D f  , если существует такое число M  R , что при любых x  X выполняется условие f x   M ( f x   M ):
f (x) ограничена сверху на X  M  R : x  X f x   M ;
( f (x) ограничена снизу на X  M  R : x  X f x   M ).
Функция y  f  x  называется ограниченной на множестве
X  D f  , если существует такое положительное число M , что
55
для любого x  X выполняется условие f x   M :
f (x) ограничена на X  M  R : x  X  f x   M .
Функция y  f  x  называется неограниченной сверху (снизу)
на множестве X  D f  если условия ограниченности не выполняются:
f (x) неограничена сверху на X  M  R x  X : f x   M ;
( f (x) неограничена снизу на X  M  R x  X : f x   M ).
3.3 Определения предела функции по Гейне и по Коши
Пусть функция f  x  определена в проколотой окрестности



U  ; x0   x 0  x  x0   . В точке x0 значение f x0  может
быть не определено.
Число A называется пределом (по Гейне) функции y  f  x 
в точке x0 (или при x  x0 ), если для любой последовательно
сти точек xn U  ; x0  , сходящейся к x0 , последовательность

соответствующих значений функции  f xn n 1 сходится к A .
Символическая запись:

A  lim f x   xn n1 , xn U  ; x0  : lim xn  x0 lim f xn   a .

x  x0
n 
n 
Число A называется пределом (по Коши) функции y  f  x 
в точке x0 (или при x  x0 ), если для любого   0 можно указать такое число 1  1    0 , что при всех x , удовлетворяющих условию 0  x  x0  1 , выполняется неравенство
f x   A   .
Символическая запись:
A  lim f x     0 1  0 : x 0  x  x0  1
x  x0
f x   A   .
Определения предела функции в точке x0 по Гейне и по Коши эквивалентны.
Предел функции обладает следующими свойствами.
56
– функция f  x  в точке x0 не может иметь больше одного
предела;
– если функция f  x  в точке x0 имеет предел, то она ограни
чена в некоторой окрестности U  ; x0  ;
– если функции f  x  и g  x  в точке x0 имеют конечные
пределы, т.е. lim f x   a , lim g x   b :
x  x0
x  x0
1) lim  f x   g x   a  b ;
x  x0
2) lim  f x   g x   a  b ;
x  x0
3) lim
x  x0
f x  a
 , b  0  ;
g x  b
n
4) lim  f x   a n при любом n  N ;
x  x0
5) lim
x  x0
n
f x   n a при a  0 , n  N .

– если в U  ; x0  справедливо функциональное неравенство
f  x     x  и существуют конечные пределы lim f x  ,
x  x0
lim   x  , то lim f x   lim  x  ;
x x
x x
x x
0
0
0

– если в U  ; x0  справедливы функциональные неравенства
 x   f x    x  и существует lim  x   lim  x   A , A  R ,
x  x0
то существует lim f x   A ;
x  x0
x  x0
– если в окрестности точки x0 задана сложная функция
y  f u  x  и существуют пределы lim u x   u0 ( u  x   0 при
x  x0
x  x0 ), lim f u   A , то существует предел сложной функx  x0
ции y  f u  x  в точке x0 и lim f u x   lim f u  .
x  x0
57
u u 0
3.4 Односторонние пределы функции
Левой  -окрестностью точки x0 называется множество всех
x , удовлетворяющих неравенству    х  x0  0 :
U  ; x0  0   x    x  x0  0 .
Правой  -окрестностью точки x0 называется множество
всех x , удовлетворяющих неравенству 0  x  x0   :
U  ; x0  0    0  x  x0    .
Число A называется левым пределом функции y  f  x  в
точке x0 , если для любого   0 существует       0 , такое,

что x U  ; x0  0 выполняется неравенство f x   A   :

lim f x   A    0  0 : x U  ; x0  0
x  x0  0
f x   A   .
Число A называется правым пределом функции y  f  x  в
точке x0 , если для любого   0 существует       0 , такое,

что x U  ; x0  0 выполняется неравенство f x   A   :

lim f x   A    0  0 : x U  ; x0  0
x  x0  0
f x   A   .
Функция f  x  имеет в точке x0 предел тогда и только тогда,
когда в этой точке существуют конечные правый и левый пределы и они равны между собой lim f x   lim f x   lim f x  .
x  x0
x  x0  0
x  x0  0
Критерий Коши существования предела функции: для того
чтобы функция f  x  имела в точке x  x0 конечный предел,
необходимо и достаточно, чтобы для любого   0 существовала такая окрестность U  ; x0  точки x0 такая, что для любых
   
x ' , x '' U  ; x0  имеет место неравенство f x ''  f x '   :
lim f x   A    0   0 : x ' , x '' U  ; x0  
x  x0
   
 f x ''  f x '   .
58
Вопросы для самоконтроля
1 Дайте определение функции, ее области определения,
множества значений.
2 Перечислите способы задания функций.
3 Какими элементарными свойствами обладают функции.
4 Дайте определение сложной функции.
5 Дайте определение обратной функции. Как для взаимно
однозначной функции получить обратную ей? Как располагаются графики взаимно-обратных функций?
6 Сформулируйте определения предела функции в точке по
Гейне и по Коши.
7 Сформулируйте отрицания этих определений.
8 Сформулируйте определения по Коши, соответствующие
следующим символическим обозначениям:
а) lim f x    ;
в) ; lim f x   a ;
д) lim f x    ;
x a
б) lim f x    ;
x 
x 
г) lim f x    ;
x 
x 
е) lim f x    .
x 
9 Дайте определения односторонних пределов функции. Какая связь между односторонними пределами и пределом функции?
10 Сформулируйте критерий Коши существования предела
функции.
Решение типовых примеров
1 Найти область определения D и множество значений Е
1
функции y 
.
4  x2
1
Р е ш е н и е . Функция
определена, если
y
4  x2
4  x 2  0 , т.е. если x  2 . Поэтому областью определения
функции является множество
D  f   x  R x  2   2;2  .


59
1
для всех x из области определения,
2
4 x
то множество значений есть

1 1

E  f    y y     ;  .
2 2


1
2 Доказать, что функция f x  
является неограниченной
x
сверху на множестве 0;1 .
Р е ш е н и е . По определению:
f (x) ограничена сверху на 0;1 
M  R : x  0;1  f  x   M .
Построим отрицание для этого определения:
f (x) неограничена сверху на 0;1 
M  R : x  0;1  f x   M .
1
Возьмем x 
.
1 M
Поскольку
1
2

 1 
  1  M  M для любого M .
Тогда f 

1 M 
Следовательно, существует такое число x  0;1 , что
f x   M . Поэтому функция неограничена.
3 Определить, какая из данных функций четная, нечетная
а) f x   x 2  3 x  2 sin x , б) f x   x 2  5 x , в) f x   2 x  2 x ?
Решение.
а) изменим знак аргумента, тогда получим:
2
f  x    x   3  x  2 sin  x    x 2  3 x  2 sin x   f x  .
Следовательно, функция нечетная.
2
б) здесь f  x    x   5 x   x 2  5x . Таким образом, эта
функция общего вида.
в) имеем
f  x   2 x  2 x   2 x  2 x  f x  .
4 Найти период функции y  cos 3x  cos 4 x .
60
Р е ш е н и е . Функция cos 3 x имеет период T1 
2
, а функ3
2
. Поскольку 3T1  4T2  2 , то чис4
ло 2 является периодом данной функции.
5 Показать, что функция y  3x  2 имеет обратную, и найти
ее аналитическое выражение.
Р е ш е н и е . Функция y  3x  2 x  R монотонно возрастает. Следовательно, имеет обратную.
Решив уравнение y  3x  2 относительно x , получим
y2
.Поменяв местами обозначения, найдем обратx  f 1  y  
3
x2
ную функцию y  f 1 x  
.
3
Графики этих функций изображены на рисунке 3.1.
ция cos 4 x – период T2 
y
2
1
0
x
Рисунок 3. 2 – График функции
2  x, если x  3,
y
2
0,1x , если x  3.
Рисунок 3. 1. – Графики функции
y  3x  2 и обратной ей
y  f 1 x  
1 2 3
x2
3
2  x, если x  3,
6 Построить график функции y  
2
0,1x , если x  3.
Р е ш е н и е . При x  3 функция представляется лучом прямой y  2  x , при x  3 – параболой y  0,1x 2 . График данной
функции представлен на рисунке 3.2.
61
7 Используя определение предела функции по Гейне, докаx2 1
 2.
зать, что lim
x 1 x  1
x2 1
Р е ш е н и е . Функция f x  
(рисунок 3.3) не опредеx 1

лена в точке x0  1 , но определена для любой U  ; x0  . Пусть
xn n 1
– произвольная последовательность с общим членом
xn  1 n  N , такая, что lim xn  1 . Образуем последовательn 
ность f xn  
1
n  N . Так как xn  1 , то f xn   xn  1
xn  1
xn2
n  N .
Поэтому lim f xn   lim xn  1  2 .
n 
n 
Рисунок 3.3 – График функции f  x  
x2  1
.
x 1
x2 1
 2.
x 1 x  1
8 Доказать, что функция y x   cos x не имеет предела при
x   .
Р е ш е н и е . Докажем, что эта функция не удовлетворяет
определению предела функции при x   по Гейне:
Следовательно, lim


lim f x   A  xn n 1 , xn  0 , xn U  ; x0  : lim xn  
x 
n 
lim f xn   A .
n 
62
Для этого укажем такую бесконечно большую последова

тельность  xn n 1 , что последовательность cos xn n 1 расходится.
Положим xn  n , n  N . Тогда lim xn   и последовательn 
ность cos xn  1,1,1,1, расходится. Следовательно, функция
cos x не имеет предела при x   .
9 Используя определение предела по Коши, доказать,
lim sin x  0 .
x 0
Р е ш е н и е . Возьмем произвольное малое   0 . Положим

   . Известно, что x  U  ;0 выполняется неравенство
sin x  x     . Это означает, что lim sin x  0 .
x 0
10 Докажите, что для функции
1, если x  0,
f x   
0, если x  0
число 1 не является пределом при x  0 .
1
Р е ш е н и е . Положим  0  . Тогда   0 существуют
2
x  0 и x  0 такие, что 0  x  x0   . Для x  0 имеем
f x   1  0  1  1 
1
.
2
Значит,
1
 0   0 x 0  x  x0   :
2
Поэтому lim f x   1 .
 0 
f x   1   0 .
x  x0
Задания для аудиторной работы
1 Найти область определения следующих функций:
x 1
ln x  1
x 
 sin x .
а) y 
; б) y  arccos  1 ; в) y  4 2
x2
x 9
2 
2 Исследовать на ограниченность следующие функции:
63
cos x
3
на 1;3 ,
б) y  2
на R .
x2
x 1
3 Определить, какая из данных функций четная, нечетная:
а) y  x  5 ln x 2  1 ;
а) y 


б) y  x 3  3 sin x ;
в) y  log 2  x  x 2  1  .


4 Найти период следующих функций:
а) y  cos3 x sin x  sin 3 x cos x ,
б) y  sin x .
5 Используя определение предела функции по Коши, доказать, что:
x2  9
6;
а) lim 3x  6 ;
в) lim
x 3 x  3
x 2
б) lim  2 x  4   2 ;
г) lim 2 x  4   .
x 1
x 
6 Доказать, что функция y x   sin x не имеет предела при
x   .
7 Доказать, что число 1 не является пределом функции f  x 
при x  0 , если f x   sin x .
8 Привести пример функции, удовлетворяющей условию:
а) lim f x   3 ,
б) f  x  не имеет предела в точке x  2 .
x 2
9 Привести пример функций f  x  и qx  , каждая из которых
не имеет предела в точке x  0 , но их сумма, произведение, разность; частное имеет предел в точке x  0 .
10 Известно, что lim f x   A , lim q  x   B . Найти:
а) lim f
x  x0
б) lim
x  x0
f
n
x  ,
x  x0
x  x0
в) lim  f x   1qx   2 ;
n N ;
x  x0
x   qx  ;
q 2 x   1
2
г) lim
x  x0
11. Вычислить пределы:
1


а) lim  2 x 2   3x  2  ;
x 1
x

f 2 x  .
x2  4
;
x2 x  2
д) lim
64
x2
б) lim
x 2
x2
3
в) lim
x 1
x3  2x 2  x  2
;
x 1
x 2  3x  2
е) lim
;
x2  6x  1
;
x 2  3x  1
x x x
г) lim
x 1
x  


ж) lim lg 4 x  1  2 x  5 ;
x 2
x
 x4 
з) lim 
 .
x  2 x  7 
;
x2  4
найти:
x  2x  1
б) lim f x  ;
в) lim f x  .
12 Для функции f x  
а) lim f x  ;
x 2
x 1
x 
Задания для домашней работы
1 Найти область определения следующих функций:
а) y  log 3 x 2  9  arcsinx  6 ; б) y  ln sin x  ;

в) y 

2x  3
2
.
x  x2  4
2 Исследовать на ограниченность следующие функции:
sin x
5
а) y 
на  4;4  ;
б) y  x
на R .
x2
e 1
3 Определить, какая из данных функций четная, нечетная:
e x  1
а) y  x 2  5x  6 ; б) y  2 x 4  5 cos x  3 ; в) y  x
.
e 1
4 Найти период следующих функций:
а) y  cos 4 x  sin 5x ,
б) y  cos 2 x .
5 Используя определение предела функции по Коши, доказать, что:
а) lim sin x  0 ;
в) lim x 2  9 ;
x  2
x 3
x 9
1 ;
x2  3
6 Доказать, что функция:
2


г) lim x 3  1  1 .
б) lim
x 0
x 
65
 1
при x  0,
sin
y x    x
0 при x  0
не имеет предела в точке 0.
7 Привести пример функции, удовлетворяющей условию:
f  x  не имеет предела в точке x  2 , но функция f x  имеет
предел в этой точке.
8 Привести пример функций f  x  и qx  , каждая из которых
не имеет предела в точке x  1 , но их сумма, произведение, разность, частное имеет предел в точке x  1 .
9 Известно, что lim f x   A , lim q  x   B . Найти:
x  x0

x  x0
f x sin x
; в) lim cos f  x  .
x  x0
x  x0 q  x   cos x

а) lim f 2 x   q 2 x  ;
x  x0
б) lim
2
10 Вычислить пределы:


x 3  3x 2  2 x  1
;
x 3
x 2  5x  6
а) lim x 3  2 cos x ;
x

д) lim
4
б) lim
x2 1
x 1 3
x 1

е) lim
;
x 2
4
x 2
ж) lim
;
x 16 x  4
x2  9
з) lim 2
.
x 3 x  6 x
x 4

в) lim sin x 4 x 2  1 ;
x2
5
г) lim
x  
x 4 x 3 x
3
2x  1
1  2x  3
;
66
;
Практическое занятие 4 Бесконечно малые функции
4.1 Определение и свойства бесконечно малых функций
4.2 Сравнение асимптотического поведения функций
4.1 Определение и свойства бесконечно малых функций
Функция   x  называется бесконечно малой функцией (или
бесконечно малой) при x  x0 , если lim   x   0 .
x  x0
Обозначается:  x   o1 .
Функция f  x  при x  x0 имеет конечный предел тогда и
только тогда, когда функция  x   f x   A является бесконечно малой при x  x0 .
Свойства бесконечно малых функций
– конечная сумма бесконечно малых функций есть функция,
бесконечно малая;
– произведение бесконечно малой функции   x  и функции
ограниченной   x  есть бесконечно малая функция;
– произведение некоторого числа и бесконечно малой функции есть бесконечно малая функция;
– произведение двух бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция;
– частное от деления бесконечно малой функции   x  на
функцию   x  , такую, что lim  x   0 , есть бесконечно малая
x  x0
функция;
– если функция   x  при x  x0 – бесконечно малая, то
1
функция
при x  x0 – бесконечно большая. Если функция
 x 
1
f  x  при x  x0 – бесконечно большая, то функция
при
f x 
x  x0 – бесконечно малая.
67