10_Tema_03_urok_3

(Класс 10, модуль III, урок 3)
Урок 3. Иррациональные и действительные числа
План урока






3.1. Соизмеримые отрезки
3.2. Алгоритм нахождения общей меры двух отрезков
3.3. Точка с рациональной координатой
3.4. Несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной
3.5. Доказательство несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной
3.6. Сопоставление произвольной точке положительного луча числовой
прямой бесконечной десятичной дроби
 3.7. Невозможность появления десятичной дроби, у которой все цифры
после запятой, начиная с некоторой, равны 9
 3.8. Сопоставление произвольной бесконечной десятичной дроби точки
положительного луча числовой прямой
 3.9. Определение действительного числа
 3.10. Отрицательные действительные числа
 3.11. Иррациональные действительные числа как непериодические
десятичные дроби






3.12. Доказательство иррациональности числа 1  1  2
3.13. Простой пример иррационального числа
3.14. Запись действительного числа в двоичной системе счисления
3.15. Сопоставление иррациональному числу бесконечной цепной дроби
Тесты
Домашнее задание
Цели урока: определить понятие соизмеримых отрезков и описать
алгоритм Евклида для нахождения общей меры двух отрезков; установить
взаимно однозначное соответствие между точками числовой прямой и
бесконечными
десятичными
дробями;
определить
понятия
действительного и иррционального числа.
3.1. Соизмеримые отрезки
Рассмотрим отрезки a длиной 5 см и b длиной 10 см. Откладывая
2
3
от одного конца отрезка b отрезки, равные a , мы видим, что отрезок a не
помещается целое число раз в отрезке b (рисунок 1).
Разделим отрезок a на две равные части и начнем откладывать на
отрезке b отрезки, равные. Отрезок a также не помещается целое число раз
2
в отрезке b (рисунок 2).
Разделим теперь отрезок a на три равные части и начнем
откладывать на отрезке b отрезки, равные a . В этом случае отрезок a
3
3
помещается ровно четыре раза на отрезке b (рисунок 3).
Таким образом, получен отрезок длиной a3 , который целое число раз
укладывается и в отрезке a , и в отрезке b . Полученный отрезок называют
общей мерой отрезков a и b , а сами отрезки a и b называют
соизмеримыми. Аналогично определяется соизмеримость отрезков и в
общем случае.
Два отрезка a и b называются соизмеримыми, если найдется
отрезок m , который целое число раз укладывается как в отрезке a , так и
в отрезке b .
Отрезок m , если он существует, называется общей мерой отрезков a
и b . Заметим, что если отрезок m является общей мерой отрезков a и b ,
то, например, отрезок длиной m2 также является общей мерой отрезков a и
b.
Вопрос. Как определить наибольшую общую меру двух соизмеримых
отрезков?
3.2. Алгоритм нахождения общей меры двух отрезков
Поиск общей меры двух отрезков можно проводить способом,
напоминающим алгоритм Евклида при нахождении наибольшего общего
делителя двух целых чисел.
Пусть даны отрезки a и b , имеющие общую меру m , причем a
длиннее b .
I шаг. От одного конца отрезка a последовательно отложим отрезки,
равные b , так, что либо отрезок b целое число раз уложится в отрезке a ,
либо остается отрезок r1 , меньший b (рисунок 4). Заметим, что в первом
случае отрезок d будет общей мерой отрезков a и b , а во втором случае
отрезки b и r1 также имеют общую меру m . Это означает, что во втором
случае для поиска общей меры отрезков a и b мы можем находить общую
меру отрезков b и r1 .
II шаг. Для поиска общей меры отрезков b и r1 от одного конца
отрезка b последовательно отложим отрезки, равные r1 , так, что либо
отрезок r1 целое число раз уложится в отрезке b , либо остается отрезок r2 ,
меньший r1 (рисунок 5). В первом случае отрезок r1 будет общей мерой
отрезков b и r1 . Во втором случае отрезки r1 и r2 также имеют общую меру
m.
III шаг. Снова повторим приведенную на этапах I и II процедуру, но
уже по отношениюк отрезкам r1 и r2 : от одного конца отрезка r1
последовательно отложим отрезок r2 . В результате получим, что либо
отрезок r2 является общей мерой, либо останется очередной остаток r3 . И
так далее.
Если отрезки a и b соизмеримы, то процесс закончится через
конечное число n шагов: отрезок rn 1 отложится на отрезке rn2 целое число
раз.
Приведенный способ поиска общей меры двух отрезков иногда также
называют алгоритмом Евклида для нахождения общей меры.
Вопрос. Через какое число шагов алгоритм Евклида приведет к
общей мере отрезков a и b , если a  55 см и b  34 см?
3.3. Точка с рациональной координатой
Выберем на числовой прямой в качестве отрезка a единичный
отрезок [01] и рассмотрим произвольный отрезок OB , один из концов
которого совпадает с началом O (рисунок 6). Докажем, что если отрезок
OB соизмерим с отрезком a , то координата точки B рациональна.
Действительно, пусть отрезок m укладывается p раз в единичном
отрезке и q раз в отрезке OB , где p и q — натуральные числа. Тогда
p
длина отрезка m равна 1 , а поэтому длина отрезка OB равна
.
p
q
p
Следовательно, координата точки B равна
, когда точка B лежит на
q
p
положительном луче, и равна  , когда точка B лежит на отрицательном
q
луче числовой прямой.
Вопрос. Как доказать, что если точка B числовой прямой имеет
рациональную координату, то отрезок OB соизмерим с единичным
отрезком?
3.4. Несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной
Рациональных чисел обычно достаточно для практических
измерений. Более того, если на числовой прямой изображать все больше и
больше рациональных чисел, то может показаться, что все точки на
числовой оси рациональные. Если бы дело обстояло таким образом, то тогда
любой отрезок был бы соизмерим с единичным отрезком. Но это не так:
существуют несоизмеримые отрезки. Напомним, что в восьмом классе
была доказана иррациональность числа 2 . Зная это, докажем следующее
утверждение.
Диагональ квадрата несоизмерима с его стороной.
Доказательство. Примем сторону квадрата за единицу измерения
длин и отложим на числовой прямой единичный отрезок OE и отрезок OB ,
равный диагонали квадрата. По теореме Пифагора OB  2 . Так как 2 —
иррациональное число, то из предыдущего пункта следует, что отрезки OE
и OB не могут быть соизмеримыми.
Вопрос. Как доказывается иррациональность числа
3.5. Доказательство
стороной
несоизмеримости
диагонали
2?
квадрата
с
его
Несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной можно доказать
с помощью алгоритма Евклида. Пусть дан квадрат ABCD .
I шаг. С помощью циркуля отложим на диагонали AC отрезок AB1 ,
равный AB (рисунок 7) При этом получается остаток B1C , меньший AB .
II шаг. В треугольнике ABC из точки B1 восстановим перпендикуляр
B1 A1 к отрезку AC и отложим на A1C отрезок A1B2 , равный A1 B1
(рисунок 8) В результате построения имеем B1C  B1 A1  A1B  A1B2 .
Следовательно, отрезок B1C два раза отложен на отрезке BC , и при этом
получился остаток B2C . Заметим, что треугольник A1 B1C подобен
треугольнику ABC , причем при этом подобии точке B2 соответствует точка
B1 .
Аналогично предыдущему шагу в треугольнике A1 B1C из точки B2
восстановим перпендикуляр B2C2 к отрезку A1C и отложим на A2C отрезок
A2 B3 , равный A2 B2 (рисунок 9) В результате отрезок B2C два раза отложен
на отрезке B1C , при этом получился остаток B3C . Снова заметим, что
треугольник A2 B2C подобен треугольнику A1 B1C , причем точке B3
соответствует точка B2 .
Остается заметить, что при продолжении намеченного процесса
каждый очередной остаток BnC дважды откладывается на отрезке Bn 1C , а
получающаяся при этом точка Bn1 соответствует точке Bn при подобии
треугольников An BnC и An1Bn1C . Следовательно, для отрезков AC и AB
алгоритм Евклида не может закончиться через конечное число шагов. Это
означает, что отрезки AC и AB несоизмеримы.
b  1?
Вопрос. Как выглядит алгоритм Евклида для отрезков a  5  1 и
2
3.6. Сопоставление произвольной точке положительного луча числовой
прямой бесконечной десятичной дроби
Покажем, как произвольной точке P на положительном луче
числовой прямой сопоставить вполне определенную бесконечную
десятичную дробь.
I шаг. Пусть, например, точка P лежит на полуинтервале [2 3)
(рисунок 10). Тогда целая часть числа, соответствующего точке P равна 2.
II шаг. Разделим полуинтервал [2 3) на 10 равных полуинтервалов:



 2 2 1   2 1  2 2   2 9  3
 10
 10  10 10
(рисунок 11). Точка P содержится в одной из этих непересекающихся
частей. Предположим для определенности, что во второй. Тогда первой
цифрой после запятой в десятичном разложении числа, отвечающего точке
P , будем считать цифру 1.
III шаг. Разделим полуинтервал  2 1  2 2
на 10 равных
 10 10
полуинтервалов:
 2 1  2 11   2 11  2 12 , , 2 19  2 2 
 10 100  100 100
 100 10
В зависимости от того, на каком полуинтервале лежит точка P , определим
вторую цифру после запятой в десятичном разложении числа, отвечающего
точке P : если точка P на первом полуинтервале, то цифра 0, если на
втором, то цифра 1, и так далее.
Продолжая этот процесс, на k -ом шаге получаем k -ую цифру после запятой
десятичного разложения числа, отвечающего точке P .




Вопрос. Какая бесконечная десятичная дробь получится, если
указанный процесс применить к точке P с координатой 5?
3.7. Невозможность появления десятичной дроби, у которой все цифры
после запятой, начиная с некоторой, равны 9
Рассмотренный в предыдущем пункте процесс не может привести к
тому, что точке P числовой прямой соответствует бесконечная десятичная
дробь, у которой начиная с некоторого момента все цифры после запятой
равны 9. Поясним это на примере.
Предположим, что некоторой точке P соответствует запись
01999…9…. Это означает, что точка P лежит в полуинтервале [01 0 2) ;
лежит в полуинтервале [019 0 2) ; лежит в полуинтервале [0199 0 2) , и так
далее. Отсюда следует, что точка P должна принадлежать всем указанным
полуинтервалам. Однако, никакая точка числовой прямой не может быть
общей для всех этих полуинтервалов.
Действительно, если взять точку M с координатой 0, 2 , то такая
точка не принадлежит ни одному из полуинтервалов вида
[019…9 0 2) . Поэтому точки с координатами, большими координаты точки
M , также не принадлежат ни одному из указанных полуинтервалов, Если
же взять точку K , координата которой меньше координаты точки M , то
найдется полуинтервал вида [019…9 0 2) , длина которого меньше длины
отрезка KM . Такой полуинтервал точку K не содержит.
Таким образом, ни одна из точек числовой прямой не может
принадлежать всем указанным полуинтервалам.
В результате предположение о том, что некоторой точке P числовой
прямой соответствует бесконечная десятичная дробь вида 0199…9…,
приводит к противоречию.
Вопрос. Может ли быть пустым пересечением последовательности
вложенных друг в друга замкнутых отрезков числовой прямой?
3.8. Сопоставление произвольной бесконечной десятичной дроби точки
положительного луча числовой прямой
Рассмотренный в пункте 3.6 процесс позволяет сопоставить каждой
точке P прямой бесконечную десятичную дробь.
Покажем, что каждой десятичной дроби, у которой бесконечное
число знаков отлично от 9, можно сопоставить точку прямой.
Возьмем для примера бесконечную десятичную дробь 3,1415926….
Искомая точка должна лежать на отрезке [3;4]. Разделив этот отрезок на 10
равных частей заметим, что искомая точка должна оказаться на отрезке
3,1; 3, 2 . Аналогично по второй десятичной цифре после запятой данной
дроби определим, что искомая точка должна лежать на отрезке 3,14; 3,15 ,
по третьей десятичной цифре определим, что точка должна лежать на
отрезках 3,141; 3,142 ; и так далее.
Все эти отрезки имеют единственную общую точку P , которая и
соответствует данной бесконечной десятичной дроби.
Нетрудно понять, что если полученной точке P будем по правилам п.3.6
сопоставлять бесконечную десятичную дробь, то получим в точности
исходную дробь 3,1415926….
Вопрос. Как по изображениям чисел 0 и 1 на числовой прямой с
помощью циркуля и линейки построить точку, изображающую число 3 ?
3.9. Определение действительного числа
Используя установленное соответствие между точками числовой
прямой и бесконечными десятичными дробями, определим действительные
числа.
Неотрицательным действительным числом называется бесконечная
десятичная дробь вида a0  a1 a2  a4 … an …, где a0 — целое неотрицательное
число, ak при k  1 — цифра от 0 до 9, причем 9 не является периодом этой
дроби.
Если, начиная с некоторого номера все цифры ai в записи
действительного числа равны нулю, то для краткости эти нули опускают.
Например, 0 5000…0…  0 5 .
Вопрос. Что вы можете сказать о действительном числе 0 000…0…?
3.10. Отрицательные действительные числа
Напомним, что отрицательные целые числа можно задавать как числа
противоположные
натуральным.
Аналогично,
отрицательные
действительные числа можно определить как числа, противоположные
некоторым действительным числам, используя знак "минус" для
обозначения отрицательного числа. Например, 0 333…3… обозначает
действительное число, противоположное действительному числу 0 333…3….
Иногда действительные числа также называют вещественными
числами. Множество всех действительных (вещественных) чисел мы будем
обозначать буквой R .
Вопрос. Как
записать
обыкновенной дробью?
действительное
число
0 333…3…
3.11. Иррациональные действительные числа как непериодические
десятичные дроби
В множестве R действительных чисел рациональным числам
соответствуют конечные или бесконечные периодические десятичные
дроби. Все остальные действительные числа называются иррациональными.
Другими словами, иррациональное число — это бесконечная
непериодическая десятичная дробь.
При записи иррациональных чисел, в отличие от рациональных,
невозможно полностью указать весь набор их десятичных знаков. Поэтому
при вычислениях и алгебраических преобразованиях иррациональные числа
обычно обозначают буквами или некоторыми другими символами.
Например, знаменитое иррациональное число, выражающее
отношение длины окружности к ее диаметру, принято обозначать буквой  .
Используя десятичные дроби, нельзя указать точную величину числа  , так
как для этого придется указать бесконечную последовательность цифр. Тем
не менее, существуют алгоритмы, позволяющие в принципе указать дюбую
цифру числа  .
Аналогично, положительный корень уравнения x 2  2 записывается
не как бесконечная десятичная дробь, а в виде специального символа 2 .
Тем не менее числу
2 соответствует бесконечная непериодическая
десятичная дробь, у которой в принципе можно вычислить сколь угодно
много цифр после запятой: 2  1 4142… . Однако, формулы, которая
позволяла бы по номеру k вычислять k -ю цифру числа
Вопрос. Как доказать, что число
2 , не имеется.
3  2 2  3  2 2 рационально?
3.12. Доказательство иррациональности числа 1  1  2
В
некоторых
случаях
иррациональность
тех
или
иных
действительных чисел удается доказать методом «от противного».
Пример 1. Доказать, что число 1  1  2 тоже иррационально,
предполагая, что иррациональность числа 2 уже установлена.
Доказательство. Предположим, что 1  1  2  r , где r —
рациональное число. Тогда , 1  2  (r  1) 2 , 2  (r  1) 2  1 . Так как числа
r  1 , (r  1)2 , (r  1)2  1 при рациональном r также рациональны, то
2  (r  1) 2  1 противоречит тому, что
равенство
число. Полученное противоречие означает, что
рациональности числа 1  1  2
иррационально.
2 иррациональное
предположение о
неверно. Следовательно, это число
Вопрос. Как доказать иррациональность числа
2 3?
3.13. Простой пример иррационального числа
Непериодичность цифр записи в виде бесконечной десятичной дроби
иррационального числа позволяет привести примеры иррациональных
чисел.
Пример 2. Рассмотрим действительное число x  0101001000 , у
которого после запятой в указанном порядке записаны все натуральные
степени числа 10 . Докажем, что получившееся число x иррационально.
Доказательство. Обозначим n -ю цифру после запятой числа x через
an и предположим, что x рационально. Тогда соответствующая
x  a0 , a1a2 a3 …ak (ak 1...ak  p ) ,
бесконечная дробь периодична. Пусть
повторения десятичных знаков после запятой начинаются с k  1 -го разряда,
группа цифр ak 1ak  2 ...ak  p является периодом десятичной дроби x , а всякая
цифра, стоящая на (n  p ) -м месте после запятой, совпадает с цифрой,
стоящей на n -м месте:
an  p  an для n  k
(1)
После k -го разряда в записи числа x обязательно встретится группа
из p подряд стоящих нулей. Иными словами, для некоторого m  k
справедливы равенства am1  am 2  ...  am p  0 . На основании свойства (1)
имеем равенства
am p 1  am p  2  ...  am p  p  0 , am 2 p 1  am 2 p  2  ...  am 2 p  p  0 ,
и так далее. Но тогда все цифры в записи числа x , следующие за am , равны
нулю, что противоречит определению числа x . Таким образом,
предположение о существовании у числа x периода приводит к
противоречию. Следовательно,
x — непериодическая бесконечная
десятичная дробь, то есть иррациональное число.
Вопрос. Как доказать иррациональность числа 0,123456789101112... ,
у которого после запятой подряд выписаны все натуральные числа?
3.14. Запись действительного числа в двоичной системе счисления
Как и рациональные числа, действительные числа допускают разные
способы записи, например их можно записывать в различных системах
счисления. Покажем, как представлять действительное число в двоичной
систем счисления.
Возьмем на числовой прямой произвольную точку P с
положительной координатой x и последовательно выполним следующие
построения.
I шаг. Построим полуинтервал [k  k  1) с целыми концами,
содержащий точку P , и запишем число k в двоичной системе.
II шаг. Разделим полуинтервал [k  k  1) на два полуинтервала длиной
1 . Если точка P лежит в левой части, то первой цифрой после запятой в
2
двоичном разложении будем считать 0 , а если в правой части — то первой
цифрой после запятой будем считать 1.
III шаг. Разделим содержащий точку P полуинтервал длины 1 на
2
два полуинтервала длиной 1 . Аналогично предыдущему, второй цифрой
4
после запятой числа x будем считать 0, если точка P лежит в левой части, и
второй цифрой после запятой числа x будем считать 1, если точка P лежит
в правой части.
Продолжая этот процесс, на k -м шаге получим k -ю цифру
двоичного разложения числа x , отвечающего точке P .
Тем самым точке P можно сопоставить бесконечную двоичную
дробь, цифрами которой являются числа 0 и 1.
Вопрос. Как записать в десятичной системе число запись которого в
двоичной системе имеет вид 11 010101 ?
3.15. Сопоставление иррациональному числу бесконечной цепной дроби
Во втором уроке было показано, что каждое рациональное число
можно записать в виде конечной цепной дроби. Оказывается, что
иррациональному числу можно сопоставить бесконечную цепную дробь.
Ограничимся примером.
Возьмем число
2 и выделим целую часть. Получим
2  1  ( 2  1)  1  1 , где r1  1  2  1  2  1 . Затем у числа r1
r1
2 1 2 1
выделим целую часть и получим r1  2  ( 2  1)  1  1 , где r2  r1  2  1 .
r2
Так как r2  r1 , то при выделении у числа r2 целой части повторятся
предыдущие действия, и в результате получим r2  1  1 , где r3  r2 .
r3
Повторив эти действия n раз, можем записать равенства:
1
1
1
2  1  1
   1 

1
r1
2 1
2
2 1
2  1
r3
2 1
rn
Так как аналогичное представление возможно при каждом
натуральном n , то числу 2 ставят в соответствие бесконечную цепную
дробь, которую записывают в виде [1 2 2 2 2…] . Иногда в этом случае
говорят, что число 2 записано в виде бесконечной цепной дроби.
Конечные цепные дроби [1] , [1 2] , [1 2 2] , [1 2 2 2] , и так далее,
называются подходящими дробями для получившейся бесконечной цепной
дроби.
Вопрос. Как число
3 запишется в виде бесконечной цепной дроби?
Мини-исследование.
1. Докажите иррациональность числа 3 . Для этого предположите,
что 3 можно записать в виде несократимой дроби и покажите,
что это предположение приводит к противоречию.
2. Докажите по аналогичной схеме иррациональность числа
2 3.
3. Докажите иррациональность числа
p , где p – простое
положительное число.
p1  p2 , где p1 и p2 –
4. Докажите иррациональность числа
простые положительные числа.
5. Докажите, используя метод
математической
индукции,
иррациональность числа p1  p2  ...  pn , где p1 , p2 … pn –
простые положительные числа.
Проверь себя. Иррациональные и действительные числа
Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.
Отрезок какой длины является наибольшей общей мерой для отрезков 7 см
3
7
и
см:
2
 1. 1 см;  2. 1 см;  3. 7 см;  4. 7 см?
3
2
12
6
(Правильный вариант: 4
Выражение 13  30 2  9  4 2 равно следующему:
 1. 5  3 2 ;  2. 13  3 2 ;  3. 5  2 3 ;  4. 5  2 2 .
(Правильный вариант: 1
Выражение 3 5 2  7  3 5 2  7 равно следующему числу:
 1. 1 ;  2. 2 ;  3. 3 ;  4. 4 .
(Правильный вариант: 2
3 записывается следующей бесконечной цепной дробью:
 1. [1;1, 1, 1, 1, 1, 1, ...] ;
 2. [1;1, 2, 1, 2, 1, 2, ...] ;
 3. [1; 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, ...] ;
 4. [2;1, 2, 1, 2, 1, 2, ...] .
(Правильный вариант: 2
Проверь себя. Иррациональные и действительные числа
Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.
Отрезки какой длины являются общей мерой для отрезков 8, 4 см и 12, 6 см:
 1. 1, 05 см;  2. 1, 5 см;  3. 3,15 см;  4. 4, 2 см?
(Правильные варианты: 1, 4)
Даны шесть иррациональных чисел: 1) 2  2 , 2) 2  3 , 3) 3 , 4) 2  3 ,
5) 3  2 , 6) 2  3 . Сумма этих чисел рациональна, когда складываются
числа:
 1. первое и второе;
 2. первое и шестое;
 3. второе и пятое;
 4. третье и четвертое.
(Правильные варианты: 1, 4)
В каких случаях произведение указанных иррациональных чисел  и 
является рациональным числом:
 1.   6 3  10 2 ,   12 3  5 2 ;
 2.   6 3  5 2 ,   12 3  10 2 ;
 3.   6 3  2 6 ,   3 3  6 ;
 4.   3  4 6 ,   2 3  6 .
(Правильные варианты: 2, 3)
В каких из следующих случаев число a меньше числа b :
1 3
2
 1. a 
, b
;
1 3
1 2
 2. a  6  6  6 , b  3 ;
 3. a  7  10, b  3  19 ;
 4. a  11  10, b  6  5 ?
(Правильные варианты: 2, 3, 4)
Домашнее задание
1*. Найдите общую меру отрезков длиной 1 и 5 . Как найти наибольшую
3
7
общую меру этих отрезков?
2**. Рассмотрите два отрезка длиной 21 см и 51 см. Через какое число шагов
алгоритм Евклида приведет к их общей мере?
3*. Как доказать, что любые два отрезка, длины которых выражаются
рациональными числами, соизмеримы?
4. Докажите иррациональность числа: а) 2 ; б) 3 ; в) 5 .
5. Докажите, что катет AC прямоугольного треугольника ABC с
гипотенузой CB  2 , и катетом AB  1 несоизмерим ни с катетом AB , ни с
гипотенузой CB .
6. Докажите, что гипотенуза CB прямоугольного треугольника ABC с
катетами AB  1, AC  2 несоизмерима ни с одним из катетов.
7*. Как найти на числовой оси точку, отвечающую числу 0 333…?
8. Докажите, что число
2  1  2 2 рациональное.
2 1
9*. Докажите, что число 6  2 — иррационально.
10*. Может ли сумма рационального и иррационального числа быть числом
рациональным?
11*. Может ли сумма двух иррациональных чисел быть числом
рациональным?
12*. Может ли произведение двух иррациональных чисел быть числом
рациональным?
13*. Докажите иррациональность числа sin15 .
14*. Докажите иррациональность числа 3 2 .
15**. Докажите, что число 011010001…, у которого на 1-м ,
2-м , 4-м 8-м …, 2n -м … местах стоят единицы, а все остальные цифры
нули, является иррациональным числом.
16**. Будет ли рациональным число, у которого на 1-м , 2-м , 4-м 8-м …,
2n -м … местах стоит 1, а все остальные цифры девятки?
17**. Как записать в виде бесконечной цепной дроби число:
а) 3 ; б) 5  1 ; в) 5 ?
2
18**. Докажите, что числа
2 , 3 , 5 не могут быть членами (не
обязательно последовательными) одной арифметической прогрессии.
Словарь терминов
Соизмеримые отрезки – отрезки, для которых найдется такой
отрезок (общая мера), который целое число раз укладывается в каждом из
данных.
Рациональное число – множество всех равных между собой дробей.
Каждая из этих дробей является записью рационального числа. Однако
рациональное число не обязательно записывать в виде отношения целых
чисел, его можно записать в виде конечной или бесконечной десятичной
дроби.
Иррациональное число – действительное число, которое
записывается в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.
Бесконечная
десятичная
периодическая
дробь.
Пусть
x  a0 , a1a2 a3 …ak ak 1...ak  p ak 1...ak  p ak 1...ak  p ... , повторения десятичных знаков
после запятой начинаются с k  1 -го разряда, цифра, стоящая на (n  p ) -м
месте после запятой совпадает с цифрой, стоящей на n -м месте: an  p  an
для n  k . Группа цифр ak 1ak  2 ...ak  p является периодом десятичной дроби
Периодическую
десятичную
дробь
можно
записать
x.
x
x  a0 , a1a2 a3 …ak (ak 1...ak  p ) . Ясно, что периодом этой десятичной дроби
является также повторенная несколько раз группа цифр
например,
ak 1ak  2 ...ak  p ,
ak 1ak  2 ...ak  p ak 1ak  2 ...ak  p , x  a0 , a1a2 a3 …ak (ak 1...ak  p ak 1...ak  p ) .
Кроме того, периодом десятичной дроби x является группа цифр
ak l 1ak l  2 ...ak  p ak 1ak  2 ...ak l , и десятичную дробь x можно записать
x  a0 , a1a2 a3 …ak ak 1...ak l (ak l 1ak l  2 ...ak  p ak 1ak  2 ...ak l ) .
Действительное число. Неотрицательным действительным числом
называется бесконечная десятичная дробь вида a0  a1 a2  a4 … an …, где a0 —
целое неотрицательное число, ak при k  1 — цифра от 0 до 9, причем 9 не
является периодом этой дроби. Отрицательное действительные числа можно
определить как число, противоположное некоторому действительному
числу, используя знак "минус" для обозначения отрицательного числа.
Этому числу сопоставляется точка числовой прямой, симметричная
относительно O точке, сопоставленной соответствующему положительному
действительному числу.
Цепная дробь – "многоступенчатая" дробь
M
1
a1 
1
1
a2  .... 
an 1  1
an
Для обозначения цепной дроби обычно используют менее громоздкое
обозначение: [M  a1 a2  a3 … an ] . Цепная дробь  k  [ M 0  a1 ak ] , где
называется
подходящей
дробью
к
числу
0k n,
k -й
  [ M  a1 a2  a3 … an ] .
Рисунки (названия файлов)
Рисунок 1. 10-3-01.eps
Рисунок 2. 10-3-02.eps
Рисунок 3. 10-3-03.eps
Рисунок 4. 10-3-04.eps
Рисунок 5. 10-3-05.eps
Рисунок 6. 10-3-06.eps
Рисунок 7. 10-3-07.eps
Рисунок 8. 10-3-08.eps
Рисунок 9. 10-3-09.eps
Рисунок 10. 10-3-10.eps
Рисунок 11. 10-3-11.eps