Введение в космологию.

Введение в космологию.
Михаил Савров, PhD
24 мая 2013 г.
Предисловие
1990-е годы часто называют золотым веком космологии благодаря
фундаментальным открытиям этого десятилетия. Среди них: подробная карта реликтового излучения, черные дыры, гравитационное излучение и ускоряющееся расширение Вселенной. Таким образом, обрела
прочную экспериментальную основу картина, разработанная в трудах
А.Эйнштейна, А.Фридмана, Э.Хаббла, Г.Гамова, А.Гута и других выдающихся ученых. В связи с этим, назрела необходимость включить элементарное введение в космологию в общий курс физики.
Это пособие написано на основе лекций, прочитанных студентам 3-4
курсов МФТИ в весеннем семестре 2011-12 гг. В главе 1 излагаются необходимые понятия ОТО, тензорное исчисление в пособии не используется.
В главах 2 и 3 изложена кинематика и динамика вселенной РобертсонаУокера, приведен эвристический вывод уравнений Фридмана и сформулирована Стандартная Модель Вселенной (ΛCDM) [1]. Главы 4 и 5 посвящены Большому Взрыву, эволюции звезд и происхождению элементов [1, 4]. В главе 6 обсуждаются свойства черной дыры, включая ее термодинамику [5]. Глава 7 посвящена инфляционной теории [1]. В главе 8
изложены некоторые понятия релятивистской квантовой теории, предваряющие обсуждение фазовых переходов в ранней Вселенной в главе 9.
Завершается пособие кратким обсуждением релятивистских струн – наиболее последовательной попытки объединения гравитации и квантовой
теории на сегодняшний день. Для лучшего усвоения материала пособие
содержит несложные задачи [1, 2].
1
Оглавление
1 Некоторые понятия ОТО.
1.1 Принцип эквивалентности.
1.2 Геодезическая. . . . . . . .
1.3 Кривизна. . . . . . . . . . .
1.4 Гравитационные волны. . .
.
.
.
.
.
.
.
.
2 Расширяющаяся Вселенная.
2.1 Вселенная Робертсона-Уокера.
2.2 Красное смещение. . . . . . . .
2.3 Закон Хаббла. . . . . . . . . .
2.4 Измерение расстояний. . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3 Стандартная модель Вселенной (ΛCDM).
3.1 Уравнения Фридмана. . . . . . . . . . . . .
3.2 Решение уравнений Фридмана. . . . . . . .
3.3 ΛCDM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Возраст Вселенной и горизонты. . . . . . .
3.5 Темная материя. . . . . . . . . . . . . . . .
4 Большой Взрыв.
4.1 Краткая история Вселенной. . . . . .
4.2 Реликтовое излучение. . . . . . . . .
4.3 Барион-фотонное отношение. . . . . .
4.4 Происхождение барионов и лептонов.
4.5 Эра излучения. . . . . . . . . . . . . .
4.6 Первичный нуклеосинтез. . . . . . . .
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
5
7
9
12
.
.
.
.
14
14
16
18
19
.
.
.
.
.
22
22
24
26
28
30
.
.
.
.
.
.
34
34
35
37
38
41
43
5 Эволюция звезд и происхождение элементов.
5.1 Развитие первичных флуктуаций. . . . . . . . .
5.2 Нижняя граница на массу звезды. . . . . . . . .
5.3 Верхняя граница на массу звезды. . . . . . . . .
5.4 Коричневые карлики, красные гиганты и белые
5.5 Сверхновые. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
карлики.
. . . . . .
.
.
.
.
.
45
45
47
48
49
50
6 Черная дыра.
6.1 Гравитационный коллапс. . . . . . . . .
6.2 Координаты Шварцшильда. . . . . . .
6.3 Удаленный и падающий наблюдатели.
6.4 Свойства горизонта событий. . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
52
52
55
55
57
7 Стадия раздувания (инфляция).
7.1 Проблема плоскостности Вселенной.
7.2 Проблема горизонта. . . . . . . . . .
7.3 Инфляция. . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Оценка числа разворачиваний. . . . .
7.5 Медленное скатывание. . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
61
61
62
64
66
66
.
.
.
.
.
.
.
69
69
70
71
73
74
77
79
.
.
.
.
81
82
83
85
86
8 Некоторые понятия РКТ.
8.1 Группа Пуанкаре. . . . . .
8.2 Некоторые понятия теории
8.3 Элементарные частицы. . .
8.4 Античастицы. . . . . . . .
8.5 Взаимодействия. . . . . . .
8.6 Радиационные поправки. .
8.7 Бегущие константы связи.
. . . .
групп
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9 Фазовые переходы в ранней Вселенной.
9.1 Переход от КГП к барионам. . . . . . . .
9.2 Электрослабый переход. . . . . . . . . .
9.3 Великое объединение. . . . . . . . . . . .
9.4 МССМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
10 Релятивистские струны.
89
10.1 Проблема локальности в РКТ. . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
10.2 Интеграл по поверхностям. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3
10.3 Замкнутая бозонная струна. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
10.4 Гравитационный коллапс. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
10.5 Гипотеза ландшафта. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Литература
99
4
Глава 1
Некоторые понятия ОТО.
1.1
Принцип эквивалентности.
Рассмотрим знаменитый мысленный эксперимент А.Эйнштейна с падающим лифтом (см. Рис. 1.1). Когда лифт находится в покое или движется
равномерно, наблюдатель в кабине испытывает обычное земное притяжение. Когда лифт равномерно ускоряется вверх (вниз), наблюдатель
испытывает увеличение (уменьшение) земного тяготения, причем, как
осознал Эйнштейн, не существует экспериментального способа отличить
состояние равномерно ускоренного движения от ситуации, когда гравитационное притяжение по какой-либо причине увеличилось (уменьшилось).
С точки зрения наблюдателя, находящегося на Земле, дополнительная
сила тяжести в кабине лифта обусловлена фиктивной силой инерции:
движущаяся с ускорением система отсчета не является инерциальной.
Таким образом, дополнительная сила тяжести является реальной для
наблюдателя в лифте (находясь в изолированной кабине, он не в состоянии экспериментально отличить ее от “настоящей“ силы тяжести) и фиктивной для наблюдателя стоящего на Земле. Мы пришли к парадоксу:
ведь оба наблюдателя совершенно равноправны.
Эйнштейн понял, что для разрешения парадокса необходимо ввести
новый физический принцип, получивший название принципа эквивалентности: локально гравитация эквивалентна равномерно ускоренной
системе отсчета. Другими словами, сила тяжести и сила инерции –
это одна и та же сила. В другой формулировке принцип эквивалентности гласит, что гравитационная масса и инертная масса равны.
5
Рис. 1.1: Эксперимент с лифтом.
Упражнение 1.1 Докажите, что обе формулировки равносильны.
Чтобы лучше уяснить, что силу тяжести можно всегда, по-крайней
мере, локально устранить выбором системы отсчета, рассмотрите следующие ситуации.
1. В состоянии свободного падения человек не ощущает действия силы тяжести.
2. Космонавты внутри орбитальной станции находятся в состоянии
невесомости. Гравитационное поле Земли можно обнаружить только благодаря тому, что оно слегка неоднородно (направлено радиально к центру Земли).
3. Космонавты могут создать искусственную силу тяжести, включив
двигатели и двигаясь равноускоренно. Внутри корабля невозможно поставить эксперимент, который бы отличил “искусственную“ силу тяжести
от “естественного“ притяжения массивного тела.
Вышеприведенные примеры должны убедить нас, что в системе свободно падающего наблюдателя гравитации нет (по-крайней мере, локально). Такая система называется локальной лоренцевой системой отсчета.
6
1.2
Геодезическая.
Если свободно падающий наблюдатель не испытывает действия гравитации, то что же тогда гравитация? Чтобы ответить на этот вопрос, Эйнштейну пришлось пересмотреть концепцию пространства-времени (пространства Минковского). Коротко напомним, что понимается под этим в
специальной теории относительности. Пространство Минковского определяется как пространство событий. Выбрав систему координат и часы каждому событию можно приписать временную и пространственные
координаты, (c t, x). “Расстояние“ между событиями 1 и 2 называется
интервалом:
(s2 − s1 )2 = c2 (t2 − t1 )2 − (x2 − x1 )2 ,
(1.1)
где c – скорость света. Любой инерциальный наблюдатель измерит один
и тот же интервал между двумя событиями. Системы отсчета двух инерциальных наблюдателей связаны преобразованием Лоренца.
Уравнение (1.1) определяет, так называемое, плоское пространство
Минковского. Свободное движение в таком пространстве – это равномерное движение по прямой. Эйнштейн предположил, что пространство
событий является плоским только локально, так что расстояние между
близкими событиями определяется формулой (1.1), но для достаточно
разделенных событий это уже не так. Свободно падающий наблюдатель
движется вдоль геодезической 1 в пространстве Минковского, которое
искривляется вблизи массивных тел. Вдали от гравитирующих масс
пространство событий плоское, и свободно падающий наблюдатель движется вдоль прямой, геодезической плоского пространства.
Проиллюстрируем эту идею на простом примере – параболическим
движении свободно падающего тела вблизи земной поверхности. Для
этого нам понадобится выражение для интервала между двумя близкими событиями, так называемая, метрика:
2gz 2 2
2
(1.2)
ds = 1 + 2 c dt − dx2 − dy 2 − dz 2 .
c
Здесь g - ускорение свободного падения, c скорость света, z - вертикальная координата, а x, y - параллельны поверхности. Чтобы оценить на1
Геодезической в пространстве Минковского называется кривая наибольшей длины, соединяющая две точки. Для сравнения, геодезическая в Евклидовом пространстве имеет минимальную длину. Различие обусловлено знаком минус в выражении
для интервала (1.1).
7
сколько интервал (1.2) отличается от интервала (1.1), вычислим отношение c2 /g, имеющее размерность длины. Подстановка g = 10 м/с2 и
c = 3 × 108 м/с дает c2 /g ≈ 1016 м, т.е. примерно один световой год! Очевидно, в окрестности планет и звезд пространство Минковского практически плоское2 , вот почему ньютоновская теория гравитации так хорошо
работает3 .
Пусть P1 = (t1 , x1 , z1 ) и P2 = (t2 , x2 , z2 ) – начальная и конечная точки
траектории тела; поскольку тело движется в плоскости, координатой y
можно пренебречь (см. Рис. 1.2).
Рис. 1.2: Траектория свободно падающего тела.
Расстояние между начальной и конечной точками в пространстве
Минковского дается интегралом, который вычисляется вдоль мировой
линии4 тела:
Z P2
Z P2 2gz 2 2
2
2
(1.3)
s2 − s1 =
ds =
1 + 2 c ṫ − ẋ − ż ds,
c
P1
P1
2
Пространство Минковского заметно искривлено лишь в окрестности нейтронных
звезд и черных дыр.
3
На космологических расстояниях порядка 100 Мпс без общей теории относительности все равно не обойтись!
4
Напомним, что в пространстве Минковского траектория называется мировой линией.
8
где ṫ = dt/ds, ẋ = dx/ds и ż = dz/ds. Чтобы найти мировую линию максимальной длины нужно вычислить экстремум интеграла, т.е. приравнять
нулю его вариацию. После интегрирования по частям и отбрасывания
членов высших порядков по δt, δx, δz и zg/c2 вариация интеграла (1.3)
принимает вид:
Z P2
2
g ṫ + z̈ δz + ẍδx − c2 ẗδt ds.
(1.4)
δs = 2
P1
Отсюда экстремальная мировая линия определяется уравнениями:
ẗ = 0,
ẍ = 0,
z̈ = −g ṫ2 .
(1.5)
Эти уравнения нетрудно решить в общем виде, но проще заметить,
что разница между t и s/c – временем полета, измеренным на Земле и
в системе отсчета связанной с телом – пропорциональна gz/c2 , т.е. пренебрежимо мала. С этой точностью s ≈ c t и уравнения (1.5) принимают
вид обычных уравнений движения под действием силы тяжести.
Упражение 1.2 Получите общее решение уравнений (1.5) как функцию s, подставьте в интеграл (1.3) и убедитесь в справедливости сделанного в тексте предположения.
Таким образом, движение под действием силы тяжести сводится к
свободному движению в искривленном пространстве Минковского. Чтобы теория стала содержательной, необходимо указать закон управляющий искривлением пространства событий; в частности, почему вблизи
земной поверхности интервал имеет вид (1.2).
Упражнение 1.3 (R.Feynman) Предположим, ракета покидает Землю и через некоторое время возвращается в исходную точку. Часы на ракете будут показывать несколько другое время, чем часы оставшиеся на
Земле в точке старта. Какие часы уйдут вперед? Как должна двигаться
ракета, чтобы разница показаний часов была максимальна? Подсказка:
вычисления не нужны, достаточно внимательно прочитать эту главу.
1.3
Кривизна.
Локально пространство Минковского является плоским, другими словами, в системе свободно падающего наблюдателя гравитации нет. Строго
9
говоря, это утверждение справедливо лишь для точечного наблюдателя. Два близких наблюдателя в искривленном пространстве Минковского двигаются по близким, но все же разным геодезическим, поэтому их
траектории с временем расходятся. Рассмотрим простой пример.
Космонавт на орбитальной станции наблюдает за движением двух
небольших пробных тел, свободно парящих в кабине (см. Рис. 1.3). Предположим, что воздушные потоки и электростатические силы способные
исказить движение тел пренебрежимо малы, а также, что тела при движении не натыкаются на стены кабины и другие предметы. В этом случае
тела будут двигаться по близким геодезическим. В плоском пространстве
геодезические параллельны, т.е. тела остаются в покое относительно друг
друга. В гравитационном поле Земли геодезические расходятся.
Рис. 1.3: Измерение кривизны пространства Минковского.
Согласно ньютоновской теории гравитации уравнения движения пробных тел имеют вид:
ẍi = −
GM
xi ,
|xi |3
i = 1, 2,
(1.6)
где G - гравитационная постоянная, M - масса Земли и x1,2 - радиусвектор, направленный из центра Земли к телу. Введем вектор ξ = x2 −x1 ,
описывающий относительное движение тел. Из (1.6) следует, что компоненты вектора ξ с точностью до членов порядка o(ξ 2 ) удовлетворяют
уравнениям:
ξx,y
ξz
ξ¨x,y = −g(r)
,
ξ¨z = +2g(r) .
(1.7)
r
r
10
Здесь g(r) - ускорение свободного падения на расстоянии r от центра
Земли. Ось z направлена по радиусу, а плоскость (x, y) перпендикулярна
ему. Запишем уравнения (1.7) в матричном виде:


1 0 0
¨
i
ξ
g(r)
i
i
+ R0j0
ξ j = 0,
где
R0j0
= 2  0 1 0 ,
(1.8)
2
c
cr
0 0 −2
и i, j = x, y, z. Здесь и далее по повторяющимся индексам подразумевается суммирование.
i
Упражнение 1.4 Найдите численные значения компонент R0j0
в
формуле (1.8) вблизи земной поверхности.
Уравнения (1.8) являются частью полной системы уравнений для 4вектора ξ µ = (c t2 − c t1 , x2 − x1 ), описывающего расхождение геодезичеi
ских в пространстве Минковского. Матрица R0j0
определяет шесть комµ
5
понент , так называемого, тензора кривизны Римана Rανβ
, входящего в
полную систему, который можно представить как матрицу (4×4×4×4)6 .
Тензор Римана определяет, как геодезические расходятся в каждой точке пространства Минковского, т.е. его кривизну. Справедливо следующее утверждение: в плоском пространстве Минковского все компоненты тензора кривизны исчезают. Верно и обратное: если компоненты
тензора кривизны равны нулю, то пространство Минковского является плоским.
i
в (1.8) является бесследовой. Это не слуЗаметим, что матрица R0j0
чайность, а следствие того, что кривизна вычислена в точке, где плотность энергии равна нулю. Теперь решим следующую задачу.
Упражнение 1.5 Рассмотрите движение двух пробных тел в небольшой полости внутри массивного однородного сферического тела и покажите, что
4πGρ i
i
δ,
(1.9)
=
R0j0
3c2 j
где ρ – плотность, а δji , – символ Кронекера.
5
6
Матрица симметрична.
Благодаря симметриям из 256 компонент тензора Римана независимы только 20.
11
i
Как видно из уравнений (1.8) и (1.9), след матрицы R0j0
пропорцио7
нален локальной плотности энергии :
i
2R0i0
=
8πG 2
ρc .
c4
(1.10)
Мы получили одно из десяти уравнений Эйнштейна, связывающих кривизну пространства Минковского и локальную плотность энергии-импульса
материи. Гравитационная постоянная G играет роль коэффициента пропорциональности. Уравнения Эйнштейна позволяют по заданному распределению материи (энергии) определить геометрию пространства Минковского, т.е. построить мировую линию любого свободно падающего наблюдателя.
Уравнения Эйнштейна сложны и не будут использоваться в этом пособии. Мы ограничимся эвристическим выводом необходимых уравнений, основанном на использовании ньютоновской теории гравитации и
теорем ОТО.
Все вышеизложенное должно, по-крайней мере, убедить читателя,
что классическую теорию тяготения Ньютона можно сформулировать
весьма сложным образом. Если бы дело ограничивалось только этим,
в ОТО не было бы необходимости. Теперь обсудим коротко одно замечательное неклассическое предсказание ОТО, получившее экспериментальное подтверждение в 1990-е годы.
1.4
Гравитационные волны.
Из уравнений Эйнштейна следует, что даже пустое пространство, где
отсутствует материя и энергия, может быть искривлено, причем его
кривизна нестационарна. В этом случае пробные тела будут двигаться ускоренно без видимой причины. Как говорится, движение пробных
тел возмущается гравитационной волной. Гравитационные волны, как и
электромагнитные, переносят энергию, импульс и момент импульса. В
природе их источниками служат компактные звездные системы.
Обратимся к эксперименту. Попытки зарегистрировать гравитационные волны непосредственно с помощью лазерных интерферометров
пока безуспешны. (Например, эксперимент LIGO.) Однако, существует
надежное косвенное свидетельство. В 1974 году была открыта двойная
7
Двойка слева введена для того, чтобы правая часть имела канонический вид.
12
звездная система, состоящая из близко расположенных примерно одинаковых нейтронных звезд (Hulse-Taylor binary). Одна из звезд является
пульсаром, мощным стабильным источником радиоизлучения, благодаря чему удалось с высокой точностью определить параметры системы
и отслеживать ее динамику. Наблюдения установили, что звезды постепенно сближаются и период вращения уменьшается со скоростью ≈ 0.08
сек/год. По совокупности данных, накопленных за 30 лет, однозначно
установлено, что причиной сближения звезд является потеря энергии системой за счет излучения гравитационных волн. За это открытие R. Hulse
и J. Taylor были удостоены в 1993 г. нобелевской премии по физике.
Существование гравитационных волн – факт в высшей степени нетривиальный. Он доказывает, что пространство Минковского не математическая абстракция, а такой же реальный объект, что и обычная
материя. С другой стороны, следует подчеркнуть, что гравитационные
волны не являются особой формой материи, неким “физическим полем“.
Время от времени предпринимались (и предпринимаются) попытки объяснить гравитацию посредством силового поля в обычном плоском пространстве Минковского, но ни одна из них успехом не увенчалась. Пожалуй, только теория релятивистских струн (см. главу 10), наиболее
последовательная попытка объединения ОТО и квантовой теории, проливает свет на природу взаимосвязи гравитации и материи, но пока она
имеет статус спекулятивной.
13
Глава 2
Расширяющаяся Вселенная.
Астрономические данные свидетельствуют, что на масштабах больших
100 Мрс (мегапарсек), т.е. примерно 3 × 108 световых лет, Вселенная является практически однородной и изотропной. На таких масштабах распределение галактических кластеров является более-менее однородным
(см. Рис. 2.1). Об однородности Вселенной на больших масштабах так-
Рис. 2.1: Вселенная на масштабах порядка 100Мпс.
же свидетельствует и реликтовое микроволновое излучение, температура
которого T с точностью ∆T /T ∼ 10−5 одна и та же в любом направлении.
2.1
Вселенная Робертсона-Уокера.
При описания динамики Вселенной на космологических масштабах ее
представляют заполненной излучением и пылевой материей, где пылинкой служит галактический кластер. Каждый кластер гравитационно связан, т.е. движение галактик внутри кластера хорошо описывается клас14
сической теорией Ньютона, но относительное движение кластеров имеет
своей причиной расширение Вселенной. Смысл этого утверждения скоро
прояснится.
Оказывается, требование однородности и изотропии накладывает сильное ограничение на возможные решения уравнений Эйнштейна. А именно, такое решение (метрика Робертсона-Уокера) зависит всего от одной
произвольной функции a(t) и числового параметра K:
dr2
2
2
2
2 2
2
(2.1)
+ r dΩ .
ds = c dt − a (t)
1 − Kr2
Здесь dΩ2 = dθ2 + sin2 θdφ2 , θ и φ – полярный и азимутальный углы.
Функция a(t) называется масштабным фактором. Параметр K принимает одно из значений {−1, 0, 1}. В рамках ОТО справедлива
Теорема. Метрика Робертсона-Уокера определена однозначно, если
для всех свободно падающих наблюдателей Вселенная представляется
однородной и изотропной.
В нашем случае под свободно падающим наблюдателем подразумевается галактический кластер. Каждому кластеру приписывают безразмерные (сферические) координаты (r, θ, φ) и часы, измеряющие собственное время кластера t. Масштабный фактор a(t) имеет размерность координаты и представляет собой радиус кривизны трехмерного пространства, если K = −1 или K = 1. Различные значения K соответствуют
следующим геометриям трехмерного пространства:
• K = +1: 3-сфера S 3 , которая в 4-мерном евклидовом пространстве
(u, x, y, z) определяется уравнением u2 + x2 = 1;
• K = 0: плоское пространство R3 ;
• K = −1: 3-псевдосфера, которая в 4-мерном евклидовом пространстве (u, x, y, z) определена уравнением u2 − x2 = 1.
От параметра K зависит конечна или бесконечна наша Вселенная. Современные астрономические данные не противоречат тому, что K = 0.
15
Упражнение 2.1 Докажите, что выражение в квадратных скобках
в формуле (2.1) соответствует метрике на сфере S 3 (K = 1) и на псевдосфере (K = −1).
Упражнение 2.2 Покажите, что для сферы S 3 существует поворот,
который не оставляет на месте ни одну точку сферы. (Для двумерной
сферы S 2 это не так: любой поворот оставляет на месте, по-крайней мере,
две точки.)
2.2
Красное смещение.
Во вселенной с метрикой
√ (2.1) расстояние между двумя близкими кластерами равно a(t)dr/ 1 − Kr2 . Тогда расстояние от начала координат
до удаленного кластера с координатами (r, 0, 0), измеренное наблюдателем в начале координат, равно
Z r
dr
√
,
(2.2)
d(r, t) = a(t)
1 − Kr2
0
где t - собственное время этого наблюдателя (по его часам). Это расстояние называется собственным. Поскольку r не зависит от времени,
собственная скорость кластера в точке r измеренная наблюдателем в начале координат есть
˙ t) = ȧ(t) d(r, t) ≡ H(t)d(r, t),
(2.3)
d(r,
a(t)
где H(t) - постоянная Хаббла. H(t) называется постоянной, поскольку
меняется на масштабах порядка сотен миллионов лет. Обычно имеется
ввиду ее значение в настоящее время.
Предположим, кластер с координатой r1 излучил волновой пакет с
частотой ν1 по направлению к началу координат в момент времени t1 ,
согласно его часам (см. Рис. 2.2). Излучение достигло Земли в момент
t0 > t1 . (Здесь и далее индекс 0 означает величину, измеренную наблюдателем на Земле в настоящее время.) Интервал между испусканием и
поглощением света равен нулю, поскольку свет распространяется по геодезической нулевой длины (ds = 0). Уравнение ds2 = 0 дает для метрики
Робертсона-Уокера (при распространении света вдоль радиуса):
Z t0
Z
a(t)
dr
dt
1 0
dr
√
√
dt = ±
и
=−
,
(2.4)
c
c r1 1 − Kr2
1 − Kr2
t1 a(t)
16
Рис. 2.2: К измерению собственного расстояния.
где знак минус выбран в соответствии с направлением распространения
излучения.
Если излучение волнового пакета длилось промежуток времени δt1 ,
а прибытие длится δt0 , то из уравнения (2.4), правая часть которого от
времени не зависит, следует, что оба промежутка связаны соотношением:
δt1
δt0
=
.
a(t0 )
a(t1 )
(2.5)
Поскольку частота излучения ν ∼ 1/δt, то
a(t1 )
1
ν0
=
≡
,
ν1
a(t0 )
1+z
где z ∈ (0, ∞).
(2.6)
Параметр z называется космологическим красным смещением и показывает, насколько частота света, испущенного далекой галактикой, сместилась к красному концу спектра, прежде чем излучение достигло Земли.
Для z 1 уравнение принимает вид ν0 ≈ ν1 (1 − z), что позволяет
интерпретировать красное смещение как допплеровский сдвиг: частота
излучения, испущенного удаляющейся галактикой, смещается в красную
сторону спектра. Эта интерпретация не имеет места для z ∼ 1, поскольку
на больших расстояниях метрика Робертсона-Уокера заметно отличается от метрики плоского пространства Минковского. Правильнее будет
сказать, что увеличение длины волны излучения из-за космологического расширения компенсируется уменьшением частоты, чтобы скорость
света (локально) оставалась постоянной.
Упражнение 2.3 Во вселенной Робертсона-Уокера выстреливается
пуля со скоростью v. Чему стала равной скорость пули, когда Вселенная
расширилась в (1 + z) раз? Покажите, что при v → c воспроизводится
соотношение (2.6).
17
2.3
Закон Хаббла.
Разложим масштабный фактор a(t) в ряд Тейлора t ≈ t0 (на космологическом масштабе) и запишем уравнение (2.6) в виде
a(t) ≈ a0 + (t − t0 )ȧ0 = a0 [1 + (t − t0 )
ȧ0
] ≡ a0 [1 + (t − t0 )H0 ].
a0
(2.7)
Тогда для небольшого красного смещения получаем (см. (2.3) и (2.6)):
d
z = (t0 − t)H0 = H0 .
c
(2.8)
Это соотношение называется законом Хаббла. В 1929 г. астроном Э.Хаббл
(Edwin Hubble) опубликовал результаты наблюдений, из которых следовало, что смещение излучения галактики к красному концу спектра
прямо пропорционально расстоянию до нее. Хаббл интерпретировал это
как свидетельство расширения Вселенной. Значение постоянной Хаббла
принятое в настоящее время1 :
H0 = 71 ± 6
км
.
сек · Мпс
(2.9)
Теперь можно прояснить утверждение, сделанное в начале главы, что
динамика галактического кластера описывается теорией тяготения Ньютона, в то время как на расстояниях больших ∼ 100 Мпс доминирует космологическое расширение. Как следует из уравнений (2.8) и (2.9) космологическое красное смещение на расстоянии 100 Мпс составляет ∼ 0.02,
откуда относительная скорость кластера ∼ 0.02 c ∼ 7 × 103 km/s. Эта скорость значительно превышает относительные скорости галактик внутри кластера v ∼ 102 ÷ 103 км/сек, что и означает применимость модели
Робертсона-Уокера на масштабах v/H0 .
Упражнение 2.4 Рассмотрим две частицы темной материи, находящиеся в состоянии покоя в пустом пространстве далеко от всякой материи. Предполагается, что частицы темной материи взаимодействуют
только гравитационно и масса частицы равна 103 массы протона. Используя значение постоянной Хаббла (2.9), оцените критическое расстояние,
1
Первоначальное значение постоянной, полученное Хабблом, примерно в 7 раз
больше, что было связано с несовершенством его метода определения расстояний до
удаленных галактик.
18
начиная с которого частицы начнут удаляться друг от друга. Другими словами, определите расстояние на котором космическое расширение
побеждает ньютоновское притяжение.
2.4
Измерение расстояний.
Теперь коротко обсудим астрономические методы измерений расстояний
до звезд и галактик. Яркие звезды, используемые при измерении расстояний, называются первичными индикаторами расстояний. Расстояния
до звезд в окрестности солнечной системы можно измерить непосредственно. Измерение заключается в наблюдении за движением звезды по
небесной сфере (собственное движение), обусловленное годовым движением Земли вокруг солнца. Звезда и два различных положения Земли на
орбите образуют треугольник с известным основанием dE и углом при
вершине π, который называется параллаксом (см. Рис. 2.3). Параллакс
Рис. 2.3: Измерение параллакса.
равен π = dE /d, где d – расстояние до звезды. Полагая dE равным среднему расстоянию между землей и солнцем (1AU) и π – одной угловой
секунде, получаем естественную единицу межзвездного расстояния равную 1 парсеку (≈ 3.26 светового года).
19
Орбитальный спутник “Гиппарх“ (Hypparcos), запущенный в 1989 году, специально предназначен для измерений собственных движений звезд
с точностью 10−3 угловой секунды (∼ 10−9 радиан). Полученные данные
позволили астрономам определить расстояния до ∼20 000 звезд в радиусе до 100 пс от солнечной системы.
Измерение расстояний до звезд нашей галактики и за ее пределами
требует применения косвенных методов. Рассмотрим два метода, основанных на следующем соотношении между абсолютной светимостью L
и видимой светимостью l:
L
.
(2.10)
l=
4πd2L
Здесь dL – расстояние светимости (не совпадает с собственным расстоянием!). Видимая светимость l измеряется непосредственно: это поток
энергии, приходящий от звезды в некотором интервале частот. Для звезд,
сжигающих водород и принадлежащих к так называемой главной последовательности, существует характерное соотношение между абсолютной светимостью и цветом. Поэтому, если звезда принадлежит главной
последовательности, ее абсолютная светимость L определяется по спектру излучения; измеряя l, находят расстояние до звезды. Характерное
соотношение устанавливается с помощью звезд главной последовательности, расстояния до которых можно измерить методом параллакса.
Расстояния до объектов за пределами Млечного Пути измеряются с
помощью очень ярких звезд, относящихся к классу Цефеид. Светимость
Цефеиды периодически меняется со временем и существует характерная
временная зависимость между периодом и светимостью. Чтобы получить некоторое представление о точности этого метода сравним соотношения между светимостью Цефеиды MV и периодом P , полученные
двумя группами исследователей:
• MV = −2.76 lg P − 1.46 (Hubble Space Telescope Key Project);
• MV = −2.81 lg P − 1.43 ± 0.1 (Hipparcos measurement).
Как видно, оба соотношения совпадают с точностью 3%. Разумеется,
применение этих соотношений к единственной Цефеиде даст гораздо
большую ошибку. Эти соотношения получены в результате усреднения
по большой выборке звезд.
На расстояниях, соответствующих красным смещениям z > 0.03, ни
одна звезда не обладает достаточной яркостью, чтобы служить индика20
тором расстояния, поэтому используют галактики и вспышки сверхновых. Такие объекты называют вторичными индикаторами расстояния.
Существует несколько методов измерения расстояний до ярких галактик. Один из них основан на использовании, так называемого, соотношения Тулли-Фишера (Tully-Fisher relation) между абсолютной светимостью галактики и скоростью ее вращения. Последняя определяется
через уширение линии поглощения водорода на длине волны 21 см из-за
эффекта Допплера.
Сверхновые типа Ia называют стандартными свечами, поскольку их
абсолютная светимость более-менее постоянна. Типичный взрыв сверхновой этого типа происходит в двойной системе, состоящей из белого
карлика и его компаньона из главной последовательности. Белый карлик постепенно поглощает вещество компаньона, его масса растет, приближаясь к пределу Чандрасекара, за которым следует взрыв. Это дает
основания полагать, что начальные условия взрыва сверхновой похожи
и абсолютная светимость сверхновых более-менее одинакова2 .
2
Тем, кто находит приведенные аргументы шаткими, рекомендуется читать астрономические статьи. Вера в “стандартные свечи“ и т.д. основана не столько на теоретических соображениях, сколько на экспериментальных данных.
21
Глава 3
Стандартная модель Вселенной
(ΛCDM).
3.1
Уравнения Фридмана.
Однородная и изотропная пылевая материя, а также излучение, описывается всего двумя зависящими от времени функциями: плотностью
ρ(t) и давлением p(t). Решение уравнений Эйнштейна для пылевой материи приводит к метрике Робертсона-Уокера и уравнениям, связывающим
a(t), ρ(t) и p(t). Впервые эти уравнения были получены Александром
Фридманом в 1925 г. Приведенный ниже эвристический вывод основан
на двух теоремах ОТО.
Первая теорема уже сформулирована в предыдущей главе: она гласит, что метрика однородной изотропной вселенной имеет вид (2.1). В
такой вселенной небольшой объем V (t) (достаточно малый, чтобы собственное время t могло считаться одинаковым в каждой точке) зависит
a3 (t)
от масштабного фактора, как V (t) = 3 V0 . Применяя первый закон
a0
термодинамики к выделенному объему, получаем:
0 = dE + pdV = d(ρc2 V ) + pdV.
(3.1)
Подстановка выражения для V (t) дает:
ρ̇ = −3
ȧ
ρ + p/c2 ,
a
22
(3.2)
где точка означает производную по времени. Это первое из уравнений
Фридмана. Чтобы получить второе, воспользуемся следующей теоремой
ОТО:
Теорема. (G. Birkhoff) В любой системе сферически симметричной
относительно некоторой точки метрика пустой сферы с центром в данной точке является метрикой плоского пространства Минковского.
Эта теорема является аналогом классической теоремы Ньютона: сила
тяжести внутри пустой массивной сферы равна нулю.
Рассмотрим небольшой шар во вселенной Робертсона-Уокера радиус
которого много меньше масштабного фактора и временно уберем оттуда
вещество. Согласно теореме Биркгофа, пространство Минковского внутри пустого шара является плоским. Теперь вернем вещество обратно в
шар и поместим небольшую пробную частицу на его поверхность. Поскольку метрика внутри шара является метрикой пустого пространства,
движение частицы определяется законами Ньютона. В частности, сохраняется сумма кинетической и потенциальной энергии частицы.
Рис. 3.1: К выводу второго уравнения Фридмана.
Радиус-вектор x(t), направленный из центра шара к частице, есть
x(t) =
a(t)
x0 ,
a0
(3.3)
где x0 и a0 значения в настоящий момент. Тогда кинетическая энергия
частицы:
1
mȧ2 (t) x20
К.Э. = mẋ2 (t) =
· 2,
(3.4)
2
2
a0
23
Потенциальная энергия:
П.Э. = −
4π
4π
x2
GmM (x(t))
= − Gmρ(t)x2 (t) = − Gmρ(t)a2 (t) 20 .
|x(t)|
3
3
a0
(3.5)
Полная энергия является константой, которая может быть записана в
общем виде, как
mx2
К.Э + П.Э. = −Kc2 20 ,
(3.6)
2a0
где K принимает одно из значений, {−1, 0, 1}, а c – произвольная константа, имеющая размерность скорости. Величину этой константы из
теории Ньютона определить уже нельзя. Если полученный результат
подставить в уравнения Эйнштейна, можно убедиться, что c – это скорость света, а K – знак кривизны пространства Робертсона-Уокера.
Из уравнения (3.6) очевидно, что значение K определяет, остановится
ли когда-нибудь расширение Вселенной. Если K = 0, −1, вселенная будет расширяться вечно (полная энергия пробной частицы неотрицательна), если же K = +1 – неизбежен гравитационный коллапс: расширение
когда-нибудь прекратится и вселенная сожмется в точку. Таким образом,
исходя из однородности и изотропии Вселенной, ОТО предсказывает ее
нестационарность.
Наконец, объединяя уравнения (3.4), (3.5) и (3.6), получаем второе
уравнение Фридмана:
8πG
ȧ2 Kc2
+ 2 =
ρ.
(3.7)
2
a
a
3
3.2
Решение уравнений Фридмана.
Уравнения (3.2) и (3.7) объединяют масштабный фактор a(t), плотность
материи/энергии ρ(t) и давление p(t). Чтобы получить решение в явном виде необходимо знать уравнение состояния p(ρ), связывающее плотность и давление.
Согласно современным данным Вселенная заполнена холодной материей, включающей в себя любые виды нерелятивистской материи, в
том числе, и невидимую темную материю, горячей материей, включающей излучение и релятивистские нейтрино, и темной энергией, которую
интерпретируют как энергию вакуума. Аббревиатура ΛCDM обозначает
24
основные компоненты плотности энергии Вселенной: Λ – космологическая постоянная (плотность энергии вакуума) и CDM – холодная темная
материя (cold dark matter).
Уравнение состояния релятивистской и нерелятивистской материи, а
также энергии вакуума записывается в общем виде, как ρc2 = wp, где
w – безразмерная константа. Уравнение состояния и уравнение Фридмана (3.2) линейны по ρ and p, поэтому при подстановке в (3.2) суммарной
плотности и давления, уравнение разделяется на сумму отдельных уравнений для каждой компоненты. Как нетрудно проверить, решение этих
уравнений дает
• холодная материя: p = 0, отсюда ρM = ρ0M
объем ∼ a−3 );
a30
(масса сохраняется, а
a3
a4
1
• горячая материя: p = ρ c2 , отсюда ρR = ρ0R 04 (энергия претерпе3
a
вает красное смещение ∼ a−1 , а объем ∼ a−3 );
• темная энергия: p = −ρ c2 , отсюда ρΛ = ρ0Λ = const (плотность энергии вакуума постоянна).
Уравнение состояния вакуума, p = −ρΛ c2 , требует пояснения. Одно
из предсказаний квантовой теории поля заключается в том, что вакуум
заполнен виртуальными частицами, поэтому плотность энергии пустого пространства не обязательно равна нулю. Предположим, некий объем
пустого пространства увеличился на dV . Тогда энергия этого объема увеличилась на ρΛ c2 dV . Динамических степеней свободы в объеме не прибавилось, а значит его энтропия осталась равной нулю. Согласно первому
началу термодинамики, увеличение энергии в этом случае равно работе
с отрицательным знаком, т.е. ρV c2 dV = −p dV , откуда следует уравнение
состояния.
Теперь запишем полную плотность энергии Вселенной в виде:
a40
a30
crit
(3.8)
ρ = ρΛ + ρM + ρR = ρ0
ΩΛ + ΩM 3 + ΩR 4 ,
a
a
где
ΩΛ,M,R =
ρΛ,M,R
0
,
ρcrit
0
=
и ρcrit
0
25
3H02
.
8πG
(3.9)
Величина ρcrit
называется критической плотностью. Если полная плот0
ность энергии превышает ρcrit
0 , Вселенная рано или поздно сожмется в
точку. Если меньше или равна – будет расширяться вечно.
Упражение 3.1 Докажите это утверждение с помощью аргументов
аналогичных использованным при выводе (3.7).
Введем еще один параметр
Kc2
ΩK = − 2 2 .
a0 H0
(3.10)
Тогда уравнение (3.7) при t = t0 принимает особенно простой вид:
ΩΛ + ΩM + ΩR + ΩK = 1.
(3.11)
Наконец, введем безразмерную переменную x = a/a0 = 1/(1 + z) и перепишем второе уравнение Фридмана (3.7) в окончательном виде:
dt =
3.3
dx
.
H0 x ΩΛ + ΩK x−2 + ΩM x−3 + ΩR x−4
√
(3.12)
ΛCDM.
Судьба нашей Вселенной, т.е. зависимость от времени масштабного фактора, определяется уравнением (3.12), содержащим три независимых параметра: ΩΛ , ΩM и ΩR . Значения этих параметров, принятые в настоящее
время, следующие: ΩΛ = 0.73(3), ΩM = 0.27(3) и ΩR = 4.75(23) × 10−5 .
Есть также незначительный вклад, обусловленный реликтовыми нейтрино, оценить который достаточно трудно, оценки варьируются от 0.0009
до 0.048 [10]. Сумма трех Ω-параметров равна 1.002(11), что не противоречит нулевой величине параметра K, т.е. наша Вселенная, вероятно,
плоская.
Прежде чем вычислять возраст Вселенной и ее горизонты (см. далее),
следующие из стандартных значений Ω-параметров, обсудим коротко,
как их определяют. Вклад излучения ΩR находят из характеристик реликтового излучения, рассматриваемого в следующей главе. Величины
ΩΛ и ΩM можно найти с помощью разных методов, дающих согласующиеся результаты. Рассмотрим метод, основанный на непосредственных
астрономических наблюдениях.
26
Метод заключается в измерении расстояния светимости dL , определенного уравнением (2.10), как функции красного смещения z, что позволяет потом извлечь из зависимости dL (z) значения параметров ΩΛ и
ΩM . Согласно (2.10) абсолютная L и видимая l светимости связаны соотношением:
L
L
=
.
(3.13)
l=
2
2 2
4πdL
4πa0 r (z)(1 + z)2
Последнее равенство получается следующим образом. Поток энергии
пропорционален частоте излучения и количеству фотонов, испускаемых
в единицу времени. Поэтому поток L, излученный источником с красным смещением z, достигая Земли, уменьшается в (1 + z)2 раз. Кроме
того, излучение, достигшее Земли, распределено по сфере радиуса равного собственному расстоянию до источника, a0 r(z). Удобно выразить
радиальную координату r(z) источника через красное смещение с помощью (2.1) и (3.12):
Z 1
Z t0
dx
c
dt
√
.
(3.14)
=
r(z) = c
2
a0 H0 1/(1+z) x ΩΛ + ΩM x−3 + ΩR x−4
t1 a(t)
Здесь для простоты положено K = 0, в общем виде уравнения получаются довольно громоздкими.
Упражнение 3.2 Пусть ΩK = ΩR = 0, т.е. ΩΛ + ΩM = 1. Покажите,
что при z 1 расстояние светимости равно:
dL ≈
1
c
[z + (ΩΛ + ΩM )z 2 + o(z 3 )].
H0
4
(3.15)
Упражнение 3.3 С помощью уравнений Фридмана (3.2) и (3.7) покажите, что параметр замедления q0 выражается через Ω-параметры
следующим образом:
q0 ≡ −
ä0 a0
1
= (ΩM − 2ΩΛ + 2ΩR ).
2
ȧ0
2
(3.16)
Вычислите стандартное значение параметра замедления.
В 1998 г. две независимые группы исследователей объявили результаты измерений параметров ΩΛ and ΩM . Supernova Cosmology Project
изучили выборку 42 сверхновых типа Ia при 0.18 < z < 0.83, а High-z
27
Supernova Search Team изучили выборку из 16 сверхновых типа Ia при
0.16 < z < 0.97 и 34 сверхновых с z 1. Результаты, полученные этими
группами, подтвердили с уровнем достоверности 99.7%, что ΩΛ > 0, т.е.
существование темной энергии. Кроме того, их результаты свидетельствуют о том, что Вселенная расширяется с ускорением (см. упр. 3.3).
Два других независимых метода, которые позволяют установить ограничения на ΩΛ и ΩM , являются косвенными. Один из них основан на анализе флуктуаций реликтового излучения. Другой метод основан на моделировании эволюции структур (туманности, галактики, звезды), возникших из первичных неоднородностей барионной и темной материи.
Эволюция структур зависит от Ω-параметров; последующее сравнение
результатов моделирования с наблюдаемым распределением материи во
Вселенной позволяет наложить ограничения на значения этих параметров. Результаты, полученные этими тремя методами, согласуются друг
с другом (см. Рис. 3.2).
Рис. 3.2: Результаты трех методов определения ΩΛ и ΩM [1].
3.4
Возраст Вселенной и горизонты.
Возраст Вселенной можно найти, проинтегрировав уравнение (3.12) по
z от бесконечности (начало расширения) до нуля (настоящее время):
Z 1
1
dx
univ
√
t0 = t(0) − t(∞) =
.
(3.17)
H0 0 x ΩΛ + ΩM x−3 + ΩR x−4
28
Подставив стандартные значения (здесь и ниже ΩK = 0), получим: tuniv
=
0
9
(13.7 ± 1.5) × 10 лет.
Теперь ответим на вопрос, как далеко возможно заглянуть в прошлое.
Из-за расширения Вселенной свет, пришедший от удаленного объекта,
сдвигается в красную область спектра; частота света, прошедшего достаточно большое расстояние, стремится к нулю. Расстояние, начиная
с которого прошедшие события уже невозможно наблюдать, называется горизонтом причинности. Наибольшее значение координаты rcaus (t)
объекта, от которого наблюдатель еще способен получить сигнал в момент t, находится из уравнения:
Z t
cdt0
= rcaus (t).
(3.18)
0
0 a(t )
Нижний предел t = 0 соответствует началу расширения. Соответствующее собственное расстояние (см. (2.2)) есть
Z t
cdt0
.
(3.19)
dcaus (t) = a(t)rcaus (t) = a(t)
0
0 a(t )
Полагая t = t0 и используя (3.12), запишем последний интеграл через x,
пределы интегрирования соответствуют бесконечному (начало расширения) и нулевому (настоящее время) красному смещению:
Z 1
c
dx
√
dcaus (t0 ) =
.
(3.20)
H0 0 x2 ΩΛ + ΩM x−3 + ΩR x−4
Стандартное значение: dcaus (t0 ) ≈ 15 × 103 Mpc.
Теперь вычислим расстояние на которое мы в принципе способны удалиться от Земли. Из-за все ускоряющегося расширения далекие объекты
достичь нельзя: рано или поздно их скорость превысит скорость света1 .
Расстояние, на которое можно послать световой сигнал, называется горизонтом событий. Наибольшее значение координаты rev (t) объекта, от
которого наблюдатель способен получить сигнал испущенный позднее
момента t, определяется уравнением:
Z ∞
cdt0
= rev (t).
(3.21)
a(t0 )
t
1
В ОТО скорость света постоянна только локально.
29
Соответствующее собственное расстояние равно
Z ∞
cdt0
.
dev (t) = a(t)rev (t) = a(t)
a(t0 )
t
(3.22)
При t → ∞ расширение определяется константой ΩΛ , поэтому масштаб1/2
ный фактор растет, как a(t) ∼ exp(H0 ΩΛ t). Отсюда
dev (∞) =
c
1/2
H0 ΩΛ
≈ 5 × 103 Mpc.
(3.23)
Упражнение 3.4 Положим ΩM = 0.25, ΩΛ = 0.75 и пренебрежем
ΩR . При каком значении красного смещения замедляющееся расширение
Вселенной сменилось ускоренным? Сколько лет назад это произошло?
3.5
Темная материя.
Темная материя – это загадочная субстанция, которая не участвует в
сильных и электромагнитных взаимодействиях, отсюда ее название –
“темная“. В пользу существования темной материи говорят гравитационные эффекты, которые трудно объяснить без этой гипотезы; участвует
ли темная материя в слабых взаимодействиях пока неизвестно. Впервые
о темной материи заговорили в 1930-е годы, когда были обнаружены
аномалии кривых вращения галактик. На рисунке 3.3 изображена зависимость скорости от расстояния до центра галактики для водородных
облаков, вращающихся вокруг галактики NGG 6503. Также показаны
гравитационные потенциалы галактического диска, межзвездного газа и
темного (невидимого) гало. Если бы вся масса галактики была сосредоточена в светящемся √
веществе галактики, кривая вращения спадала бы с
расстояием, как ∼ 1/ r. Вместо этого кривая выходит на константу равную примерно ≈ 120км/сек. Кривые вращения других галактик ведут
себя аналогично. Таким образом, либо ОТО неприменима на расстояниях в десятки световых лет, либо масса типичной галактики, в основном,
невидима. Согласно современным представлениям типичная галактика
на 1/4 состоит из барионной (видимой) материи и на 3/4 из темной материи. Последняя составляет гало, окружающее светящееся барионное
ядро. Существуют и другие свидетельства в пользу существования темной материи. Некоторые из них упомянуты ниже.
30
Рис. 3.3: Кривая вращения водородных облаков вокруг галактики NGG
6503. Пунктирной кривой обозначены гравитационные потенциалы различных компонент галактики [1].
• Гравитационное линзирование. Если на линии, проведенной от наблюдателя к удаленной галактике, находится скопление темной материи, можно наблюдать несколько разных изображений этой галактики. Скопление темной материи остается невидимым. Это явление называется гравитационым линзированием. Из совокупности
подобных наблюдений получена оценка
1
ρM ≈ ρcr ,
4
1
ρB ≈ ρM ,
6
(3.24)
где ρM - плотность холодной материи, а ρB - плотность барионной
(видимой) материи.
• Вириализованные галактические кластеры. Движение галактик в
некоторых кластерах является более-менее хаотическим, что позволяет использовать теорему вириала для оценки полной массы
кластера M :
2hv 2 i
M≈
,
(3.25)
Gh1/ri
где усреднение ведется по галактикам кластера.
• Столкновения галактик. При столкновении двух галактик, межзвездный газ теряет энергию на электромагнитное излучение, в то
31
время как темная материя и звезды взаимодействуют только гравитационно. Наблюдаемое распределение вещества можно объяснить
только с учетом темной материи.
Упражнение 3.5 Выведите формулу (3.25), используя теорию тяготения Ньютона.
Гипотеза темной материи позволяет объяснить вышеприведенные явления с единой точки зрения, однако природа темной материи остается
загадочной. Другая возможность состоит в модификации ОТО, но ни одна теория этого рода не может объяснить все наблюдаемые явления. Например, модифицированная динамика Ньютона (MOND) объясняет форму кривых вращения, но не дает объяснения гравитационному линзированию. Выяснение природы темной материи остается важнейшей проблемой современной физики. Рассмотрим коротко наиболее очевидных
кандидатов: массивные астрофизические компактные тяжелые объекты
(MACHO2 ) и слабо взаимодействующие массивные частицы (WIMP3 ).
MACHO – это, в основном, коричневые карлики и черные дыры.
Несмотря на то, что эти объекты не излучают свет, их можно наблюдать благодаря эффектам линзирования. Когда MACHO пересекает луч,
идущий от яркой звезды или галактики к наблюдателю, ее изображение
на короткое время искажается. Такие явления действительно наблюдаются и их анализ позволяет оценить полную массу невидимых массивных объектов во Вселенной. Различные оценки дают в качестве верхнего
предела 20% от полной массы барионной материи. Поэтому в качестве
кандидатов на роль темной материи MACHO в настоящее время почти
не рассматриваются.
Кандидаты в WIMP – это гипотетические частицы из различных расширений Стандартной Модели частиц и взаимодействий. Большинство
теоретиков согласятся с тем, что WIMP – это нейтралино, самый легкий
суперсимметричный партнер бозона Хиггса. Оценка массы нейтралино
лежит в пределах от 10 до нескольких тысяч масс протона [3]. Нейтралино не участвуют в электромагнитных и сильных взаимодействиях, они
не теряют энергию, проходя через сгустки барионной материи, потому
в звездах и планетах нейтралино должно быть столько же, сколько и в
2
3
мачо
хлюпик
32
межзвездном пространстве. Однако, нейтралино участвует в слабых взаимодействиях, а значит, изредка возможно зарегистрировать ее столкновение с атомным ядром. Поиски таких событий интенсивно ведутся.
Упражнение 3.6 Оцените плотность частиц темной материи в солнечной системе, предполагая, что масса частицы лежит в интервале от
100 до 10 000 массы протона.
33
Глава 4
Большой Взрыв.
Подведем предварительные итоги. На больших масштабах Вселенная
однородна и изотропна. Исходя из этого, ОТО предсказывает, что ее
геометрия описывается метрикой Робертсона-Уокера (2.1), где эволюция
масштабного фактора подчиняется уравениям Фридмана (3.2) и (3.7).
В настоящее время Вселеннная адиабатически расширяется, поэтому в
прошлом она была гораздо меньше и горячее. Более того, как доказали
С.Хоукинг и Р.Пенроуз (S. Hawking & R. Penrose), в ОТО невозможно
избавиться от сингулярностей, поэтому ОТО не позволяет проследить
историю Вселенной до самого “начала времен“ (a → 0), можно лишь
приближаться к нему1 .
4.1
Краткая история Вселенной.
Теория Большого Взрыва в сущности заключается в том, что расширение
Вселенной началось из очень горячего и плотного состояния (a fireball).
Хотя вопрос о начальных условиях расширения остается открытым, существуют свидетельства в пользу того, что Большому Взрыву предшествовал период экспоненциально быстрого раздувания (inflation)2 . Пока
неизвестно какова была температура Вселенной, когда закончилась инфляция.
В Таблице 4.1 представлены основные этапы эволюции Вселенной от
Большого Взрыва до наших дней. В зависимости от начальной темпе1
2
Аналогично абсолютному нулю температуры
подробнее об инфляции см. главу 7
34
ратуры в ранней Вселенной могли происходить фазовые переходы3 , но
надежных экспериментальных данных, указывающих на это, пока нет.
Поэтому таблица начинается с момента, когда нейтрино вышли из состояния термодинамического равновесия с остальной материей.
Таблица 4.1: Краткая история Вселенной [3]
Tемпература
или энергия Возраст
2.7K
4.6K
0.27эВ
0.7эВ
50 кэВ
1 МэВ
2.5 МэВ
4.2
14 × 109 гг.
5.5 × 109 гг.
3 × 105 гг.
8 × 104 гг.
5 мин.
1 сек
0.1 сек
Эпоха
Настоящее время
Начало ускоренного расширения.
Рекомбинация
Начало доминирования материи
Завершение первичного нуклеосинтеза
Начало первичного нуклеосинтеза
Отделение нейтрино
Реликтовое излучение.
Одним из наблюдаемых реликтов Большого Взрыва является термодинамически равновесное космическое микроволновое излучение с температурой T = 2.725 ± 0.002 K, приходящее равномерно изо всех точек неба. Излучение было предсказано Г.Гамовым в 1948 г. и открыто
А.Пензиасом и Р.Вильсоном (Arno Penzias & Robert Wilson) в 1965 г. Запущенный в 2001г. специальный спутник Wilkinson Microwave Anisotropy
Probe (WMAP) составил подробную карту температур реликтового излучения. Излучение обладает высокой степенью однородности, что указывает на его космологическое происхождение4 : измеренные флуктуации
имеют порядок всего лишь ∆T /T ∼ 10−5 .
Строго говоря, реликтовое излучение не однородно: годовое движение
Земли вокруг Солнца, движение Солнца относительно галактики, дви3
О фазовых переходах в ранней Вселенной см. главу 9
Разумеется, необходимо предварительно вычесть излучение точечных источников, т.е. звезд, галактик и т.д.
4
35
жение Млечного Пути относительно галактического кластера называемого Локальной Группой, и, наконец, движение кластера относительно
излучения приводят к так называемой дипольной анизотропии. Фотон
реликтового излучения с импульсом k в системе покоя излучения имеет импульс k0 относительно Земли. Эти импульсы связаны следующим
образом:
v
(4.1)
|k| = γ 1 + cos θ |k0 |,
c
где v - p
суммарная скорость Земли относительно реликтового излучения,
γ = 1/ 1 − v 2 /c2 и θ - угол между скоростью Земли и импульсом фотона. Число фотонов не меняется при переходе в другую систему отсчета,
N (k) = N 0 (k0 ), откуда
1
exp
h̄c|k|
kB T
1
=
−1
exp
h̄c|k0 |
kB T 0
.
(4.2)
−1
Отсюда и из уравнения (4.1) получим для температуры реликтового излучения, зарегистрированного на Земле:
T0 =
v
≈
T
1
−
cos
θ
,
c
γ 1 + vc cos θ
T
(4.3)
здесь T - температура излучения в его системе покоя. Учитывая все
вышеперечисленные движения, можно определить скорость Локальной
Группы относительно реликтового излучения (абсолютная система отсчета?), она равна 627 ± 22км/сек.
Когда Вселенная была меньше – температура реликтового излучения
была выше. Соотношение между температурой и масштабным фактором
следует из (4.2):
a(t)
T0 = T (t)
.
(4.4)
a0
При температуре выше TL ∼ 3000 K, называемой температурой последнего рассеяния, подавляющая часть атомов водорода в ранней вселенной
ионизована: атомы и радиация образуют плазму, в которой идет обратимая реакция γ + H ↔ e− + p+ . Когда температура опустилась до TL ,
Вселенная “просветлела“, т.к. большая часть барионной материи рекомбинировала в нейтральные атомы и фотоны стали распространяться почти без рассеяния. Согласно (4.4) TL соответствует красному смещению
36
zL ≈ 1100. При бо́льших z Вселенная непрозрачна, на этих расстояниях
оптические инструменты уже бесполезны.
Упражнение 4.1 С помощью уравнения (3.12) оцените время, прошедшее от Большого Взрыва до отделения излучения (zL = 1100). Указание: убедитесь, что ΩΛ и ΩR можно пренебречь, так что интеграл зависит
только от ΩM .
Упражнение 4.2 Парадокс Ольберса (впервые упомянутый Кеплером). В бесконечной Вселенной, куда ни смотри, взгляд неизбежно упирается в звезду, поэтому ночное небо должно сиять как Солнце. Предположим, светимость всех звезд одинакова и равна L, звезды равномерно
распределены в расширяющейся Вселенной с плотностью n, постоянная
Хаббла равна H0 . Оцените яркость ночного неба B (поток энергии), полагая ΩM ≈ 1.
4.3
Барион-фотонное отношение.
Оказывается, соотношение (4.4) между температурой Вселенной и масштабным фактором справедливо также и при температуре большей TL ,
когда излучение и барионная материя находятся в состоянии термодинамического равновесия. Это можно показать следующим образом.
Рассмотрим нерелятивистские частицы и излучение в состоянии равновесия. Число барионов сохраняется, поэтому в космологии принято
определять удельные физические величины в расчете на один барион. С
учетом этого замечания запишем первое начало термодинамики в виде:
1
+ pd
.
(4.5)
T d(kB σ) = d
nB
nB
Здесь σ – энтропия приходящаяся на один барион, kB – постоянная
Больцмана и nB – плотность барионов. Энергия на один барион и давление p равны:
3
= aB T 4 + N nB kB T,
2
1
p = aB T 4 + nB kB T.
3
(4.6)
Здесь N – число нерелятивистских частиц на один барион (p, n, 4 He, e− ),
а константа aB связана с постоянной Стефана-Больцмана соотношением
37
aB = 4σB /c. Подставляя (4.6) в (4.5) и интегрируя, получим выражение
для энтропии, приходящейся на один барион:
σ=
T 3/2
4aB T 3
+ N ln
.
3nB kB
nB C
(4.7)
Здесь C - постоянная интегрирования.
Первое слагаемое в этом выражении можно записать через плотность
фотонов nγ :
4aB T 3
4π 4 nγ
nγ
=
≈ 3.6 ,
(4.8)
3nB kB
90ζ(3) nB
nB
где ζ(3) ≈ 1.2 – частное значение ζ-функции Римана. Величина отношения числа барионов к числу фотонов в настоящее время
nB
η=
≈ 6 × 10−10 ,
(4.9)
nγ
поэтому второе слагаемое в (4.7) пренебрежимо мало по сравнению с первым, если, конечно, нет серьезных оснований полагать, что постоянная
C экспоненциальна велика. Поскольку энтропия σ постоянна, барионфотонное отношение η тоже остается постоянным при расширении (после рекомбинации кварков в барионы). Наконец, так как nB ∼ 1/a3 (а
значит, и nγ ∼ 1/a3 ), температура Вселенной связана с масштабным фактором простым законом (4.4)5 .
Упражнение 4.3 Выведите уравнение (4.7).
4.4
Происхождение барионов и лептонов.
Наша Вселенная состоит преимущественно из вещества. Не существует
указаний на то, что где-либо есть значительные скопления антивещества. В противном случае, наблюдалось бы характерное аннигиляционое
излучение из областей пространства, где обычное вещество сталкивается
с антивеществом. В рамках теории Большого Взрыва отсутствие антиматерии не выглядит естественным. В начале расширения, когда температура Вселенной была очень велика, пары частица-античастица рождались в изобилии благодаря термодинамическим флуктуациям. Поэтому
5
Связь между временем и температурой в эпоху доминирования излучения выведена далее, см. уравнение (4.16)
38
естественно предположить, что расширение началось из полностью нейтрального состояния, в котором все заряды, в том числе и барионное
число, полностью равны нулю. Если так, откуда берется наблюдаемая
антисимметрия между веществом и антивеществом?
Считается, что наблюдаемый перевес частиц образовался в начале
Большого Взрыва, скорее всего, при энергиях выше 100 ГэВ. Считается, что барион-фотонное отношение отношение η, которое, как мы уже
убедились, остается постоянным при расширении, несет информацию о
самых ранних этапах эволюции Вселенной. А именно, на ∼ 1010 кваркантикварковых пар существовал один лишний кварк и когда пары аннигировали, излучив фотоны, оставшиеся кварки объединились в барионы.
Этот сценарий ставит перед нами два вопроса: откуда взялась антисимметрия между веществом и антивеществом и почему параметр η имеет
наблюдаемое значение?
На первый вопрос ответил Андрей Сахаров в 1967 г. Он выдвинул
три условия (условия Сахарова), которые должны выполнятся, чтобы во
вселенной, начинающей расширяться из полностью нейтрального состояния, могла появиться асимметрия между веществом и антивеществом.
• Существует физический процесс, нарушающий закон сохранения
барионного и лептонного числа. В отсутствие такого процесса не
будет превышения числа барионов над антибарионами и электронов над позитронами.
• Существует процесс, нарушающий зарядовую C и комбинированную CP четности 6 . Полностью нейтральное начальное состояние
является симметричным относительно операций C и CP , и если
оператор эволюции не нарушает этих симметрий, состояние Вселенной так и останется полностью нейтральным (число частиц =
числу античастиц).
• Вселенная в процессе эволюции должна отступать от термодинамического равновесия. Если барионное B и лептонное числа L
не сохраняются, соответствующие химические потенциалы долж6
Операция C меняет частицы на античастицы и наоборот, а CP – это комбинация
C и оператора четности P , который меняет знаки полярных векторов, т.е. меняет
направление импульса частицы, но не меняет ее спин.
39
ны исчезать, µB = µL = 0 7 . Симметрия относительно преобразования CP T (T - операция обращения времени) подразумевает, что
массы частиц и античастиц одинаковы, mA = mĀ . Поэтому в термодинамическом равновесии B = L = 0, и снова числа частиц и
античастиц равны.
Наблюдаемое значение η остается загадкой. Тем не менее, Стандартная Модель (СМ) частиц и взаимодействий, по-крайней мере, качественно удовлетворяет условиям Сахарова.
• В СМ существует процесс меняющий число барионов и лептонов,
но сохранающий их разность, B − L. Это туннелирование между
различными вакуумами СМ. Скорость этого процесса становится
значительной при энергиях выше ∼ 100 ГэВ, но порождаемое им
значение η ≈ 10−19 слишком мало.
• Слабое взаимодействие нарушает как зарядовую (C), так и комбинированную (CP ), четности. Кроме того, расширение Вселенной
само по себе нарушает симметрию T относительно обращения времени (есть стрела времени). Поскольку CP T симметрия не нарушается, это тоже приводит к несохранению CP .
• Во время расширения Вселенная, возможно, прошла через ряд фазовых переходов, например, переход от кварк-глюонной плазмы к
барионной материи. Это подразумевает отход от термодинамического равновесия: сосуществование разных фаз во время перехода
означает, что состояние неоднородно.
Упражнение 4.4 Оцените длительность эпохи в которую расширение доминировалось излучением, вычислив время, прошедшее с начала
расширения до момента, когда плотность энергии излучения сравнялась
с плотностью энергии материи в ΛCDM.
7
Химический потенциал - это величина, на которую увеличивается термодинамический потенциал системы при добавлении одной частицы. Если число частиц не
сохраняется, производная термодинамического потенциала по числу частиц (хим. потенциал) в равновесном состоянии должна быть равна нулю.
40
4.5
Эра излучения.
Как следует из уравнения Фридмана (3.7) (при условии K = 0), масштаб√
ный фактор в радиационную эпоху зависит от времени, как a(t) ∼ t.
Чтобы найти соотношение между временем и температурой в эту эпоху,
заметим, что плотность энергии частиц массы m есть
Z
p
(k)
d3 k
2
ρc = g
,
где (k) = c h̄2 k2 + m2 c2 .
3
(k)−µ
exp kB T ± 1 (2π)
(4.10)
Здесь µ – химический потенциал. Знаки минус и плюс соответствуют
бозонам и фермионам. Множитель g равен числу состояний с одной и той
же массой и импульсом. Например, для фотона gγ = 2 (две поляризации),
gν = 2 для безмассового нейтрино каждого сорта (левополяризованное
нейтрино и правополяризованное антинейтрино), и ge = 2 × 2 = 4 для
электрона и позитрона (по две поляризации на частицу).
Для релятивистских частиц, когда kB T mc2 и µ → 0, интеграл
упрощается и его вычисление дает:
gb
aB T 4
2
7 gf
aB T 4
8 2
бозоны,
фермионы.
(4.11)
Объединяя уравнения (4.11), получаем полную плотность энергии релятивистских частиц в виде:
ρ c2 =
g?
aB T 4 ,
2
7
где g? = gb + gf .
8
(4.12)
Здесь gb и gf сумма всех g-факторов бозонов и фермионов, которые являются релятивистскими при данной температуре. Из уравнения Фридмана (3.7) нетрудно получить соотношение между временем и температурой в эпоху доминирования излучения (K = 0):
=⇒
1
4πG
H2 = 2 =
g? aB T 4 ,
4t
3 c2
1/2
2
3 c2
1
1
1.8 × 1010 K
t=
≈ 1/2
. (4.13)
16πGg? aB
T2
T
g∗
41
Теперь сформулируем условие, при котором заданный сорт частиц
перестает эффективно взаимодействовать с остальными и становится
термодинамически независимым (отделяется). Подробные вычисления
требуют привлечения кинетической теории, однако основную идею понять нетрудно. Рассмотрим, например нейтрино, взаимодействующие с
кварками и лептонами посредством обмена векторными бозонами. При
высокой температуре и плотности скорость реакции Γ значительно превосходит постоянную Хаббла: Γ H, поэтому нейтрино, обмениваясь
энергией с кварками и лептонами, остаются с ними в термодинамическом равновесии несмотря на расширение области взаимодейстия. Для
оценки
Γ ∼ nσv
(4.14)
где n ∼ a−3 – плотность частиц, σ – сечение взаимодействия и v – относительная скорость. Два последних параметра примерно постоянны,
поэтому
1
1
(4.15)
Γ ∼ 3 ∼ 3/2 ,
a
t
Поскольку H ∼ t−1 , скорость реакции в конце концов становится меньше постоянной Хаблла и удаленные области больше не в состоянии эффективно обмениваться энергией. Когда нейтрино или другие релятивистские частицы выходят из равновесия с остальными частицами, их
температура в дальнейшем определяется законом (4.4).
Таблица 4.2: Температурная история Вселенной [4]
kT меньше чем
Частицы в равновесии
g? = gb + 87 gf
1 eV
me c2 ∼ 1 МэВ
Λ ∼ 100 МэВ
mN c2 ∼ 1 ГэВ
mW c2 ∼ 100 ГэВ
γ
γe+ e−
γνe νµ ντ e+ e−
γ, лептоны, g, u, d, s
Все частицы СМ
2
2 + 78 (2 × 2) = 11
2
2 + 78 (2 × 3 + 4) = 43
≈ 11
4
247
≈
62
4
423
≈ 100
4
Таблица 4.2 показывает, какие частицы являются релятивистскими
и находятся в термодинамическом равновесии при данной энергии (температуре). Вычисления с использованием методов кинетической теории
42
приводят к следующей зависимости между временем и температурой
аналогичной (4.13):
10 2
10 K
t = (1 ÷ 2)
сек.
(4.16)
T
Множитель перед дробью очень слабо зависит от времени и меняется
в пределах от 1 до 2. Эта простая формула охватывает промежуток от
kB T ∼ 10 МэВ до ∼ 5 лет (106 K), когда уже нельзя пренебрегать вкладом нерелятивистской материи.
Упражнение 4.5 В эпоху излучения, когда температура и масштабный фактор равны T1 и a1 , плотность энергии определяется релятивистскими электронами, позитронами, мюонами и нейтрино. Когда температура и масштабный фактор стали равными T2 и a2 , мюоны аннигилировали, но остальные частицы остались релятивистскими. Найдите
соотношение между T1 , T2 , a1 и a2 .
4.6
Первичный нуклеосинтез.
Астрономические данные свидетельствуют, что три четверти барионной
материи во Вселенной – это водород, и одна четверть – гелий. Доля более
тяжелых элементов незначительна. Теория Большого Взрыва объясняет
этот факт. Прежде чем нейтрино отделились, нерелятивистские протоны и нейтроны находились в равновесии с релятивистскими частицами
благодаря реакциям:
n + νe ↔ p + e − ,
n ↔ p + e− + ν̄e ,
n + e+ ↔ p + ν̄e ,
ν + ν̄ ↔ e+ + e− ↔ 2γ.
(4.17)
При T ≈ 1010 K (≈1 сек после Взрыва) нейтрино вышли из равновесия и практически перестали рассеиваться на барионах8 . В равновесии
отношение числа протонов к числу нейтронов r определялось распределением Больцмана:
Q
nn
≈ exp −
,
Q = (mn − mp )c2 ≈ 1.3 МэВ.
(4.18)
r=
np
kB T
8
Аналогично микроволновому излучению Вселенная должна быть заполнена первичными нейтрино, оставшимися после Большого Взрыва, однако возможность их
детектирования остается под вопросом.
43
В момент отделения нейтрино r ≈ 1/6. После этого число нейтронов стало убывать из-за β-распада, а протоны и нейтроны стали объединяться
в ядра дейтерия 2 H в результате обратимой реакции n + p ↔ 2 H + γ.
Более тяжелые ядра могли образоваться только в результате тройных
столкновений, вероятность которых была пренебрежимо мала из-за низкой плотности частиц.
Так продолжалось почти три минуты. Когда температура упала до
T ≈ 109 K (≈ 168 сек после Взрыва) дейтерий вышел из равновесия.
Именно в этот момент начался первичный нуклеосинтез, все произошло
очень быстро. Реакции шли в одном направлении, поскольку продукты
реакции обладали большей энергией связи чем дейтерий:
2
H + n → 3 H + γ,
3
H + p → 4 He + γ,
2
H + p → 3 He + γ,
3
H + n → 4 He + γ + e− + ν̄e .
(4.19)
Ядерный синтез остановился на 4 He, первом магическом ядре. Дальнейший синтез оказался невозможен, поскольку не существует стабильных ядер с массовыми числами A = 5 и 8, а плотность частиц была
слишком низкой, чтобы реакции с участием трех и более частиц шли
со сколь-нибудь заметной скоростью. Ядра с атомными числами A = 6
и A = 7 были произведены в очень малых количествах. Энергия связи
6
Li слишком мала, чтобы ядра не распадались при существовавшей в то
время температуре, а 7 Li немедленно разрушался в результате реакции
p + 7 Li → 4 He + 4 He.
Таким образом, количество образовавшегося гелия определяется отношением числа нейтронов к числу протонов, которое к началу нуклеосинтеза упало до r ≈ 1/7:
Yp =
2/7
1
4 · r/2
≈
≈ .
1+r
1 + 1/7
4
(4.20)
Предсказание относительной распространенности гелия было первым весомым аргументом в пользу теории Большого Взрыва.
44
Глава 5
Эволюция звезд и
происхождение элементов.
В результате первичного нуклеосинтеза во Вселенной образовался гелий
4
He – первый элемент тяжелее водорода. Остальные элементы Периодической системы образовались уже в недрах звезд, как побочный продукт
их эволюции.
5.1
Развитие первичных флуктуаций.
Уже в начале расширения Вселенная не была идеально однородна изза квантовых и термодинамических флуктуаций. Когда темная материя
вышла из термодинамического равновесия с барионной материей1 , первичные неоднородности плотности темной материи начали расти. Области с большей плотностью расширялись медленнее, и когда была достигнута критическая плотность, начали сжиматься под действием гравитационного притяжения (См. упр. 2.4). Барионная материя вышла из
термодинамического равновесия с излучением при z ≈ 150 (T ≈ 300 K),
гораздо позже последнего рассеяния, поскольку было достаточно свободных электронов, чтобы барионнная материя эффективно обменивалась
энергией с излучением. К моменту отделения барионной материи от излучения уже существовали сгустки холодной темной материи, к которым
барионная материя начала притягиваться и там сгущаться.
1
Возможно, вместе с нейтрино, если частицы темной материи участвуют в слабом
взаимодействии.
45
В скоплениях материи с массой большей MJ ∼ 6 × 105 MJ (M J –
масса Солнца), называемой массой Джинса, барионная материя сжималась вместе с темной. Во время сжатия барионная материя охлаждалась
за счет испускания излучения (радиационное трение), теряла энергию
и сжималась быстрее темной, образуя протогалактики внутри облаков
темной материи, ставших невидимыми гало светящегося вещества. В
сгустках с массой меньше MJ барионы из-за взаимодействия друг с другом (см. ниже) не сгущались вместе с темной материей, поэтому небольшие скопления состоят в основном из темной материи, их можно обнаружить посредством гравитационного линзирования.
Количественное описание эволюции первичных флуктуаций плотности в галактики, звезды и черные дыры требует сложных численных
расчетов.
Впервые проблема гравитационной неусточивости газового облака была исследована Джинсом (James Jeans) в 1902 году на основе механики Ньютона. В то время не было известно ни о расширении Вселенной,
ни о темной материи. Качественно, результаты его анализа заключаются в следующем. Предположим, область радиуса R заполнена идеальным газом с плотностью ρ и скоростью звука vs . Звуку требуется время
ts ∼ R/vs , чтобы пересечь эту область. Другим
√ временным масштабом
является время свободного падения tf f ∼ 1/ Gρ. Джинс показал, что
при ts ≤ tf f небольшие флуктуации плотности сглаживаются и облако
остается стабильным. При ts ≥ tf f гравитационное сжатие опережает
звуковую волну и облако коллапсирует.
√
Таким образом, если размер облака превышает RJ ≥ vs / Gρ, оно сожмется. Соответствующая масса MJ ∼ ρRJ3 называется массой Джинса.
Если включить в рассмотрение темную материю, то вывод изменится.
Звуковые колебания в темной материи не распространяются, поэтому
рано или поздно коллапсирует флуктуация плотности любого размера
(медленнее расширение → критическая плотность → сжатие). Однако
только для достаточно больших областей материи с массой большей
MJ =
π 3/2 v 3
s
,
1/2
G
ρM
где ρM – суммарная плотность барионной и темной материи, барионы
сжимаются вместе с темной материей, поэтому в небольших сгустках
материи барионов мало.
46
5.2
Нижняя граница на массу звезды.
Внутри сгустков темной материи барионная материя сгущалась в протозвезды и разогревалась. Когда температура в недрах достаточно большой протозвезды (состоящей на 3/4 из водорода и на 1/4 из гелия) достаточно повысилась, начались реакции водородного синтеза:
p + p → 2 D + e+ + ν,
2
D + p → 3 He + γ,
p + p + e− → 2 D + ν,
3
He + 3 He → 4 He + p + p, . . .
(5.1)
В процессе синтеза выделяется так много энергии, что радиационное давление останавливает дальнейшее сжатие звезды. Оценим нижнюю границу на массу звезды, при которой возможен вышеприведенный сценарий.
Во время сжатия происходит превращение гравитационной энергии
газа в кинетическую энергию, отсюда температура
Gm2p N 2
Gm2p 5/3
Gm2p 2/3
GM 2
∼
∼
N ∼ N kT
=⇒ kT ∼
N . (5.2)
R
rN 1/3
r
r
Здесь M – масса звезды, R – радиус, N – полное число барионов (для
простоты ограничимся только протонами), mp – масса протона и r среднее расстояние между протонами. Давление растет до тех пор, пока не
достигнет давления вырожденного электронного газа, после чего сжимаемость резко падает (жидкость почти несжимаема по сравнению с газом)
и сжатие останавливается:
Gm2p 2/3
Gm2p me 2/3
1
h̄2
∼ kT ∼
N
=⇒
∼
N .
(5.3)
me r2
r
r
h̄2
Отсюда, максимальная температура при фиксированном N равна:
me
(5.4)
kTmax ∼ (Gm2p )2 2 N 4/3 .
h̄
Ядерный синтез начинается при условии
kTmax ≥ ηα2 mp c2 .
(5.5)
Здесь α – постоянная тонкой структуры, а η – численная константа пропорциональная вероятности туннелирования ядер через кулоновский барьер. Для реакций (5.1) η ∼ 0.5. Объединяя (5.4) и (5.5), получаем нижнюю оценку для числа протонов в звезде:
3/4
3/2
h̄c
2 mp
Nmin ≥ Np ηα
= 2.2 × 1057 .
≈ 0.1Np
где Np =
me
Gm2p
(5.6)
47
Замечательно, что единица звездной структуры Np является комбинацией фундаментальных констант, включая постоянную Планка!
Отсюда, нижняя граница на массу звезды:
Mmin ≈ 2 × 1056 mp ≈ 0.2MJ .
5.3
(5.7)
Верхняя граница на массу звезды.
Как следует из (5.4) – чем больше звезда, тем выше температура ее ядра.
Когда температура так велика, что радиационное давление превышает
гравитационное, лишнее вещество просто сдувается излучением. Отсюда получается верхняя оценка на массу звезды. Давление излучения Pγ
меньше гравитационного, при условии
Pγ =
N kT
π 2 (kT )4
≤
,
3
R3
45c3 h̄
или
1
45c3 h̄3
(kT R)3 ≤
.
N
π2
(5.8)
∼ (Gm2p )3 N 2 .
(5.9)
Из (5.2) получаем
1
1
(kT R)3 ∼
N
N
GM 2
N
3
Вместе с уравнением (5.8) это дает:
45c3 h̄3
2 3 2
(Gmp ) N ≤
π2
√
=⇒
Nmax ≤
45
Np ≈ 5 × 1057 .
π
(5.10)
Отсюда получется верхняя оценка на массу звезды:
Mmax ≤ 5MJ .
(5.11)
Вышеприведенный размерный анализ очень приблизителен, но, как
оказывается, дает вполне приличную оценку для массы звезды, принадлежащей к главной последовательности:
0.2MJ ≤ M ≤ 5MJ .
48
(5.12)
5.4
Коричневые карлики, красные гиганты и
белые карлики.
Рассмотрим типичную звезду главной последовательности. Горение водорода длится примерно
J 2
M
τH ≈
× 1010 лет.
(5.13)
M
Когда водород в ядре звезды исчерпан, радиационное давление падает и дальнейшее гравитационное сжатие повышает температуру в центре звезды. Если масса звезды меньше 0.8MJ достигнутой температуры
недостаточно для горения гелия, такая звезда постепенно остывает и
становится коричневым карликом.
Если масса звезды лежит в интервале
0.8MJ ≤ M ≤ 3MJ
(5.14)
температура растет, пока не начнутся реакции синтеза с участием гелия
(см. (5.5), где теперь η ≈ 1):
4
He + 4 He → 8 Be? ,
8
Be? + 4 He → 12 C + 2γ,
12
C + 4 He → 16 O. (5.15)
Гелиевое ядро горяче́е внешней водородной оболочки, которая расширяется под действием радиационного давления. На этой стадии звезда
становится красным гигантом. Горение гелия длится примерно τHe ≈
105 ÷ 106 лет. Дальнейший ядерный синтез требует температур недостижимых для звезды с массой в интервале (5.14).
Таким образом, в конце эволюции такая звезда состоит в основном
из углерода и кислорода. Гравитационное давление компенсируется давлением вырожденного газа релятивистских электронов. На этой стадии
звезда становится очень компактным горячим объектом, так называемым, белым карликом. Его радиус можно оценить, как
Gm2p 5/3
GM 2
h̄c
∼
∼
N
r
R
r
h̄
N 1/3 ≈ 3 × 104 км.
me c p
(5.16)
В конце-концов белый карлик остывает и становится коричневым карликом.
N
=⇒
N ∼ Np ,
49
R∼
Энергия вырожденного электронного газа и гравитационное давление пропорциональны среднему расстоянию между частицами. Следовательно, если масса звезда достаточно велика, одних релятивистских
электронов не хватит, чтобы противостоять гравитационному сжатию, и
когда звезда достаточно остынет неизбежен дальнейший коллапс. Соответствующая масса называется пределом Чандрасекара (Subrahmanyan
Chandrasekhar, 1930):
Mlim ≈ 1.45MJ .
(5.17)
5.5
Сверхновые.
Звезда с массой в интервале
3MJ ≤ M ≤ 10MJ
(5.18)
сжимается далее. Температура в центре повышается достаточно, чтобы запустить синтез ядер углерода и кислорода, в результате которого
получается неон и магний, C, O → N e, M g. Соответствующие реакции
длятся всего несколько дней, так что эта стадия горения является взрывом и в результате от звезды ничего не остается. Такое событие называется сверхновой типа Ia. Как уже упоминалось, взрывы сверхновых
этого типа используются астрономами в качестве стандартных свечей.
Элементы тяжелее гелия, произведенные в процессе эволюции звезды,
рассеиваются в пространстве и служат строительным материалом для
планет.
Звезды с массами
M ≥ 10MJ
(5.19)
достигают еще больших температур, позволяющих им завершить нуклеосинтез: C, O → Si → N i, Co, F e. Дальнейший синтез невозможен,
поскольку железо обладает наибольшей энергией связи на нуклон. Эта
цепь реакций длится всего τSi ∼ 10 часов. Остатки от взрыва образуют
железное ядро, которое в дальнейшем остывает.
Если масса железного ядра лежит в пределах 1 ÷ 2MJ , давление вырожденного газа электронов не может противостоять гравитационному
сжатию (см. (5.17)). Более того, энергия вырожденных электронов достаточно велика, чтобы стал энергетически выгоден обратный β-распад,
p + e− → n + ν, ведущий к нейтронизации ядра. В результате ядро коллапсирует, со взрывом выбрасывая в пространство внешнюю оболочку.
50
Остаток образует нейтронную звезду, в которой гравитационное сжатие
компенсировано давлением вырожденных нейтронов. Такое событие называется взрывом сверхновой типа II. Радиус нейтронной звезды очень
мал по астрономическим масштабам:
R∼
h̄
Np1/3 ≈ 10 км.
mN c
(5.20)
Нейтрино, образующиеся в процессе нейтронизации, покидают ядро в
течение секунд и плотность их потока так велика, что они сдувают внешнюю оболочку звезды, одновременно обогащая ее нейтронами и ядрами
элементов тяжелее железа:
Z
AX
−
+ νe → Z+1
A X +e ,
Z
AX
+ n → ZA+1 X + γ.
(5.21)
Таким образом, тяжелые элементы являются побочными продуктами
взрывов сверхновых типа II. Считается, что планеты солнечной системы
образовались из остатков сверхновой, захваченных Солнцем несколько
миллиардов лет назад.
Упражнение 5.1 Оцените массу железного ядра, при которой возможна нейтронизация. Воспользуйтесь соотношением Q = (mn −mp )c2 ≈
1.3 МэВ.
Нейтронная звезда сохраняет часть углового момента звезды-родителя,
а также часть ее магнитного дипольного момента. Из-за малых размеров частота вращения нейтронной звезды может достигать 104 сек−1 , а
магнитное поле на ее поверхности – 108 Т. Обычно угол между осью вращения и магнитным моментом ненулевой, поэтому типичная нейтронная
звезда является быстро вращающимся магнитным диполем – мощным
источником электромагнитных волн. Нейтронные звезды были открыты именно как пульсары – небесные источники радиоизлучения очень
высокой степени периодичности (Jocelyn Bell, 1967).
Если масса нейтронной звезды превышает 2MJ (в 2011 г. сообщили
об открытии звезды с массой 2.5MJ ), ничто уже не в состоянии предотвратить гравитационный коллапс и звезда становится черной дырой.
51
Глава 6
Черная дыра.
Простая оценка (см. (5.16)) показывает, что давление вырожденного газа
релятивистских частиц не сможет противостоять гравитационному сжатию, если размер звезды достаточно велик. Такая звезда сожмется до точечных размеров, породив сингулярность в пространстве Минковского,
– черную дыру. Черная дыра – достаточно старый теоретический объект.
В 1916 г., вскоре после появления уравнений Эйнштейна, К.Шварцшильд
(Karl Schwarzschild) нашел решение этих уравнений для случая точечной
массы (см. далее). К настоящему времени свойства черных дыр изучены достаточно хорошо, хотя природа сингулярности остается загадкой.
Прогресс в понимании этой проблемы важен для космологии, поскольку
расширение Вселенной тоже, по-видимому, началось из сингулярности.
В 1990-е годы появились надежные экспериментальные свидетельства
в пользу существования сверхмассивных черных дыр в центрах многих
галактик, включая нашу. Масса черной дыры в центре Млечного Пути
оценивается в 4.3×106 MJ . В этой главе мы обсудим некоторые свойства
черных дыр, в том числе и квантовые.
6.1
Гравитационный коллапс.
Начнем с классической механики. В конце 18-го века Джон Мичел (John
Michell) и Пьер Лаплас (Pierre Laplace) независимо рассмотрели следующую задачу. Пусть имеется сферическая звезда массы M и радиуса
R. Если вторая космическая скорость для этой звезды больше скорости
52
света,
2GM
≥ c2 ,
(6.1)
R
то для внешнего наблюдателя она будет выглядеть абсолютно черной.
Другими словами, свет не может покинуть массивный сферический объект радиуса R, если
2GM
R≤
.
(6.2)
c2
Это рассуждение не учитывает релятивистские эффекты. Тем не менее,
вывод остается верным и в ОТО вплоть до совпадения оценки (6.2) с
радиусом Шварцшильда (см. (6.3)). Последнее, конечно, – случайность.
Мы воспользуемся этим результатом для качественного описания гравитационного коллапса искуственного модельного объекта – фотонной
сферы. Гравитационный коллапс материи, например, газо-пылевого облака отличается только деталями.
На рисунке 6.1 показана тонкая сферическая оболочка, образованная фотонами, которые движутся к началу координат. Для простоты
показаны только два пространственных измерения, вертикальная ось
соответствует временной координате. Согласно Эйнштейну, энергия эквивалента массе (E = M c2 ), масса гравитирует, поэтому сферическая
оболочка фотонов тоже гравитирует. После того, как фотоны пересекли
сферу радиуса R (см. (6.2)) 1 , собственная гравитация уже не дает им
выйти из-под этой сферы и фотоны образуют сингулярность в начале
координат в момент t = 0 (на Рис. 6.1 это вершина конуса, обращенная
вверх). Прежде чем фотоны достигают начала координат, они пересекают лучи, реальные или воображаемые, испущенные из начала координат в разные моменты до образования сингулярности (вертикальная
волнистая линия). Луч, испущенный до момента t0 (вершина конуса обращенная вниз), отклонится коллапсирующей сферой к началу координат, но в конце-концов уйдет на бесконечность. Луч, испущенный после
t0 , но до t = 0, не способен преодолеть гравитацию оболочки и попадет в сингулярность. Наконец, лучи, испущенные из начала координат
в момент t0 , остановятся на сфере радиуса r = R после пересечения
коллапсирующей сферы. Эти лучи также не уходят на бесконечность,
их мировые линии становятся параллельными временной оси. Они образуют, так называемую, светоподобную поверхность, горизонт событий,
1
Почему этот радиус должен быть больше половины длины фотона?
53
Рис. 6.1: Гравитационный коллапс сферической оболочки фотонов, радиально движущихся к началу координат [5].
формирование которой начинается в момент t0 . Таким образом, область
пространства Минковского, оказавшаяся под горизонтом событий, недоступна для внешнего наблюдателя. Иногда это утверждение называют
принципом космической цензуры: удаленный наблюдатель не может видеть голой сингулярности. Принцип установлен Стивеном Хоукингом и
Роджером Пенроузом (Stephen Hawking & Roger Penrose).
Упражнение 6.1 Оцените минимальную энергию коллапсирующей
сферы фотонов с длиной волны λ необходимую для образования черной
дыры.
Упражнение 6.2 На Большом Адронном Коллайдере сталкиваются
пучки протонов с энергией 1 ТэВ. Пользуясь результатом предыдущей
задачи, оцените полную массу сталкивающихся протонов необходимую
для образования черной дыры. Как изменится ответ, если учесть принцип запрета Паули и кулоновское отталкивание протонов?
54
6.2
Координаты Шварцшильда.
Рассмотрим точечную массу M в пустом пространстве. В этом случае
можно получить аналитическое решение уравнений Эйнштейна и найти
метрику пространства Минковского. В системе покоя удаленного наблюдателя (координаты Шварцшильда) метрика имеет вид
rs −1 2
rs 2 2 c dt − 1 −
ds2 = 1 −
dr − r2 dΩ2 ,
r
r
rs =
2GM
.
c2
(6.3)
Здась rs – радиус Шварцшильда. При r > rs метрика (6.3) описывает
метрику тела массы M . На расстоянии r rs метрика воспроизводит
ньютоновскую силу тяготения с поправками ∼ o((rs /r)2 ). Эйнштейн показал, что эти поправки обусловливают прецессию орбиты Меркурия,
составляющую 43 угловые секунды за столетие.
Область r ≤ rs является весьма специальной с точки зрения удаленного наблюдателя. Из формулы (6.3) следует, что в этой области коэффициент при dt2 отрицателен, а при dr2 – положителен. Для удаленного
наблюдателя время и пространство при r ≤ rs меняются местами. Другими словами, “внутри“ черной дыры невозможно остановить движение
к сингулярности, зато можно остановить время?!
Следует подчеркнуть, что метрика Шварцшильда (6.3) соответствует
статической или вечной черной дыре. Настоящая черная дыра появляется в результате гравитационного коллапса материи и соответствующее
пространство событий состоит из двух сшитых вместе частей: пространства с метрикой (6.3) и плоского пространства Минковского 2 .
6.3
Удаленный и падающий наблюдатели.
Утверждение о перемене ролей пространства и времени при r ≤ rs является парадоксом, поскольку означает нарушение причинности с точки зрения удаленного наблюдателя. Чтобы понять, что происходит в
действительности, необходим дальнейший анализ. Рассмотрим двух наблюдателей: удаленного (УН), находящегося так далеко, что, двигаясь с
небольшой скоростью по орбите вокруг черной дыры, он остается практически в покое и наблюдателя, свободно падающего к центру черной
2
Соответствующее построение можно найти в книге Leonard Susskind & James
Lindsey, An Introduction to BH, Information, and the String Theory Revolution.
55
дыры (ПН). Пусть R – расстояние от сингулярности до УН, и ПН начинает свое путешествие в черную дыру с того же расстояния. Геодезическая ПН в системе координат УН (т.е. в координатах Шварцшильда)
описывается следующими уравнениями, зависящими от параметра:
r=
R
(1 + cos η),
2
0<η<π
1/2
R
1/2
−1
+ tg η/2 R
rs
ct = cτ + rs
−1
η + rs ln .
1/2
R
rs
− tg η/2 r −1
(6.4)
s
Здесь τ – собственное время ПН:
R
cτ =
2
R
rs
1/2
(η + sin η).
(6.5)
В координатах ПН (cτ, r) никакой сингулярности при r = rs нет. Компоненты тензора кривизны ∼ rs /r3 сингулярны только при r = 0. Начиная свое путешествие из состояния покоя, ПН достигает начала коор 1/2
πR R
согласно его часам.
динат через конечное время равное τ =
2 c rs
Конечно, при приближении к сингулярности ПН будет уничтожен приливными силами, но не увидит, чтобы время и пространство поменялись
местами.
Упражнение 6.3 Пусть масса черной дыры равна 106 MJ . Пусть ПН
начинает свое путешествие с расстояния, где ускорение свободного падения равно g = 10 м/сек2 . Найдите это расстояние и время, за которое
ПН достигнет сингулярности согласно его часам.
С точки зрения УН падение выглядит по другому. Как следует из (6.4),
когда ПН приближается к r = rs (и η приближается к π), временная координата t устремляется к бесконечности. Поэтому УН никогда не увидит
как ПН пересечет r = rs . Но, может быть, ПН сумеет что-то сообщить?
Предположим УН обменивается сообщениями с ПН, посылая сигналы определенной частоты. По мере приближения ПН к черной дыре интервалы между сигналами растут, а их частота уменьшается по закону
56
Рис. 6.2: Мировые линии УН и ПН в координатах УН [5].
∼ (1 − rs /r) из-за красного смещения в гравитационном поле черной
дыры (см. Рис. 6.2). Так что УН действительно не увидит, как ПН пересекает поверхность r = rs : частота сигнала обратится в ноль. Это разрешает парадокс с нарушением причинности при r < rs , поскольку эта
область для УН недоступна. Поверхность r = rs называется горизонтом
событий УН.
6.4
Свойства горизонта событий.
Итак, оба наблюдателя, и УН и ПН, согласятся, что пространство Минковского сингулярно, но по поводу конкретного вида сингулярности они
разойдутся. Для ПН это мировая линия r = 0, а для УН – это горизонт
событий, двумерная светоподобная поверхность r = rs , за которую УН не
может заглянуть. (Условие r = rs определяет трехмерное многообразие
в пространстве Минковского, но поскольку метрический коэффициент
при dt2 обращается в нуль при r = rs , остаются только два измерения.)
Значит ли это, что область r < rs никак не влияет на УН?
В 1976 г. Вильям Унру (William Unruh) доказал удивительную теорему: если горизонт событий разделяет пространство Минковского на
57
две несвязанные области, A и B, то чистое квантовое состояние (энтропия равна нулю), определенное во всем пространстве A⊕B, в каждой из
областей A и B является, в действительности, смешанным состоянием
(энтропия больше нуля). Чтобы понять, что это значит, рассмотрим равномерно ускоренного наблюдателя в плоском пространстве Минковского
(см. Рис. 6.3). В собственной системе отсчета ускорение наблюдателя постоянно и равно a.
Упражнение 6.4 Покажите, что траектория равномерно ускоренного наблюдателя определяется уравнением
s
2
2
at
c
1+
.
(6.6)
x=
a
c2
Из рисунка 6.3 видно, что для равномерно ускоренного наблюдателя
существует область пространства-времени (область III), которая является причинно несвязанной с наблюдателем. Ни один сигнал испущенный
в этой области не достигает наблюдателя и наоборот. Теперь рассмотрим
виртуальную пару частица-античастица 3 , такую, что ее замкнутая мировая линия проходит как в области I, так и в III. Часть мировой линии
приходит из абсолютного прошлого (область IV) и уходит в абсолютное
будущее (область II), так что эта часть линии соответствует траектории
реальной частицы для ускоренного наблюдателя. Следует подчеркнуть,
что для наблюдателя, движущегося с постоянной скоростью, никакой
реальной частицы нет.
С помощью изящных рассуждений Унру доказал, что в системе отсчета ускоренного наблюдателя пространство заполнено частицами, находящимися в термодинамическом равновесии при температуре
T =
1 h̄a
,
2π kB c
(6.7)
где a – ускорение наблюдателя. Эту температуру нетрудно оценить с
помощью следующего рассуждения. Горизонт событий (точка в начале
координат) находится на расстоянии L ∼ c2 /a позади от наблюдателя.
3
Подробнее об античастицах см. в следующей главе.
58
Рис. 6.3: Равномерно ускоренный наблюдатель и мировая линия виртуальной пары частица-античастица, часть которой проходит за горизонтом событий [5].
Излучение, испущенное с расстояния большего чем L, никогда не догонит ускоренного наблюдателя, хотя со временем и приблизится к нему
сколь угодно близко. Это расстояние и определяет размер замкнутой мировой линии виртуальной пары частица-античастица, являющейся для
наблюдателя реальной частицей: античастица находится за горизонтом
событий. Энергия частицы по порядку величины ∼ h̄c/L ∼ h̄a/c ∼ kB T .
С точностью до численного коэффицента это формула (6.7).
Аналогичные рассуждения применимы и к черной дыре. В 1974 г.
С.Хоукинг показал, что c точки зрения УН черная дыра излучает частицы всех видов, спектр которых является планковским с температурой
T∞ =
1 h̄c
,
4πkB rs
(6.8)
Следовательно, поверхность r = rs не совсем черная. Более того, чем
ближе УН к горизонту событий (оставаясь при этом относительно него
в покое, например, спускаясь по веревке), тем выше температура излучения. Температура (6.8) – это температура излучения, выбравшегося из
гравитационного колодца и претерпевшего красное смещение. Следует
заметить, что ПН, приближаясь к сингулярности, не регистрирует никакой температуры: его система отсчета инерциальна. Таким образом,
согласно Хоукингу черная дыра не вечна: излучая, она постепенно теря59
ет массу. Скорость испарения черной дыры можно оценить, как
1
dM
1
4 2
rs ∼ 4 M 2 ∼ 2 .
∼ T∞
dt
M
M
(6.9)
Отсюда время испарения t ∼ M 3 . Для макроскопической черной дыры
это время чудовищно велико, тем не менее, в конце-концов черная дыра
исчезнет.
Наличие температуры означает, что у черной дыры должна быть и
энтропия. В буквальном смысле, энтропия S(M ) есть логарифм числа
микроскопических состояний Γ(M ) черной дыры, как макроскопического объекта: Γ(M ) ∼ exp(S(M )). Природа этих микроскопических состояний является предметом споров.
Упражнение 6.5 Используя соотношения dE = T dS и E = M c2 ,
получите формулу Хоукинга-Бекенштейна (Hawking-Bekenstein) для энтропии черной дыры:
kB 4πrs2
,
(6.10)
S=
4 lP2 l
где lP l ≈ 1.6 × 10−33 см – планковская длина. Покажите, что (6.10) является верхним пределом для энтропии любой системы, заключенной в
сферическом объеме радиуса rs .
С точки зрения УН горизонт событий является двумерной поверхностью. Оказывается, его можно рассматривать как физическую мембрану
толщиной ∼ lP l с весьма необычными физическими свойствами. Например, эта мембрана обладает вязкостью и электрическим сопротивлением. Последнее равно 377 Ω на квадрат [5]. (Напомним, что сопротивление
двумерного проводника зависит только от его формы.)
60
Глава 7
Стадия раздувания (инфляция).
Теория Большого Взрыва согласуется с наблюдениями, однако некоторые факты она объяснить не в состоянии. Существуют, по-крайней мере,
две проблемы в наблюдательной астрономии, которые трудно понять в
рамках этой теории.
7.1
Проблема плоскостности Вселенной.
Согласно современным данным [10] ΩΛ +ΩM +ΩR = 1.002±0.011, так что
параметр кривизны ΩK = −K c2 /ȧ2 (где K = ±1, 0) либо очень мал, либо
в точности равен нулю. Однако, в прошлом ΩK должен быть еще меньше. Полагая, без ущерба для окончательного вывода, что расширение с
момента последнего рассеяния tL , определялось, главным образом, материей, получаем a ∼ t2/3 . Тогда ΩK в эту эпоху связано с температурой
реликтового излучения, как
−2
1
d 2/3
∼ t2/3 ∼ a ∼ ,
t
(см. (4.4)).
(7.1)
ΩK ∼
dt
T
Предположим, что в настоящее время ΩK (t0 ) ∼ 1, тогда во время последнего рассеяния ΩK (tL ) ∼ 10−4 . Полагая, что до момента tL доминировало
излучение, так что a ∼ t1/2 , получим
−2
d 1/2
1
ΩK ∼
t
∼ t ∼ a2 ∼ 2 .
(7.2)
dt
T
Тогда из ΩK (TL ∼ 104 K) ∼ 10−4 следует, что во время первичного нуклеосинтеза ΩK (TBBN ∼ 1010 K) ∼ 10−16 .
61
Эти оценки приводят к выводу, что в момент Большого Взрыва Вселенная была практически плоской. И хотя, чисто логически, такое начальное условие ничему не противоречит, оно не выглядит естественным. Более привлекательным было бы найти механизм, разгладивший
Вселенную к моменту Взрыва.
7.2
Проблема горизонта.
Согласно данным WMAP типичный размер температурной флуктуации
реликтового излучения ∆T /T ∼ 10−5 , т.е. ко времени последнего рассеяния Вселенная должна была быть полностью однородной. Естественно
предположить, что удаленные области Вселенной имели достаточно времени, чтобы успеть обменяться энергией и прийти в состояние термодинамического равновесия. Однако, ΛCDM утверждает, что это не так!
Оценим угол под которым сейчас видна область пространства, находившаяся в причинном контакте в момент tL , как отношение размера
горизонта причинности dH (tL ) (см. (3.20)) в момент tL , к собственному
расстоянию dA (tL ) от начала координат до поверхности последнего рассеяния в момент tL (см. Рис. 7.1):
θ=
dH (tL )
.
dA (tL )
(7.3)
Рис. 7.1: Угловой размер горизонта причинности.
Поверхность последнего рассеяния – это сферическая поверхность радиуса rL вокруг начала координат, такая, что свет, испущенный с этой
поверхности, достигает начала координат к настоящему моменту; dA (tL )
62
– собственное расстояние от начала координат до этой поверхности в
момент tL . Используя соотношения (2.4) и (3.12) (K = 0), получим:
Z 1
Z t0
c aL
dx
cdt
√
=
. (7.4)
dA (tL ) = aL rL = aL
4
H0 a0 1/(1+zL ) ΩΛ x + ΩM x + ΩR
tL a(t)
Поскольку zL ≈ 1100, ΩR ∼ 10−5 и ΩM ∼ ΩΛ ∼ 1, интеграл определяется,
главным образом, членом ΩM x, так что
Z 1
c aL
dx
c
2
dA (tL ) ≈
(7.5)
×
≈
× 1/2 .
1/2
H0 a0
H0 (1 + zL ) ΩM
1/(1+zL ) ΩM x1/2
Размер горизонта tL – это наибольшее собственное расстояние, от которого наблюдатель еще способен получить сигнал к моменту tL (см. (3.19)):
Z 1/(1+zL )
Z tL
dx
c aL
cdt
√
dH (tL ) = aL
=
.
(7.6)
a(t)
H0 a0 0
ΩΛ x4 + ΩM x + ΩR
0
Этот интеграл также определятся, в основном, ΩM x, поэтому
Z 1/(1+zL )
c aL
c
2
dx
dH (tL ) ≈
≈
× 1/2 .
×
1/2
3/2
H0 a0
H0 (1 + zL )
ΩM x1/2
ΩM
0
(7.7)
В изотропной Вселенной углы не зависят от времени, и в настоящее
время область, находившаяся в причинном контакте в момент tL , видна
под тем же углом
θ=
1
dH (tL )
≈√
≈ 1.60 .
dA (tL )
1 + zL
(7.8)
Малость этого угла называется проблемой горизонта: почему области
Вселенной, которые никогда не обменивались энергией, обладают, тем
не менее, практически одинаковой температурой? От проблемы можно
опять отмахнуться, предположив, что в момент Большого Взрыва Вселенная была практически однородной – еще одно неестественное начальное условие в дополнение к предположению о плоскостности Вселенной.
Более привлекательным было бы найти механизм, сделавший Вселенную
однородной к моменту Взрыва.
Кроме этих двух существует еще проблема монополей, которую мы
обсуждать не будем.
63
Упражнение 7.1 Покажите, что во вселенной Робертсона-Уокера
расстояние светимости dL , расстояние углового диаметра dA и расстояние
dM , измеряемое по собственному движению объекта на небесной сфере
связаны соотношением
(1 + z)2 dA = (1 + z)dM = dL .
7.3
(7.9)
Инфляция.
В 1981 г. А. Гут (Alan Guth) предложил элегантное решение проблем
плоскостности и горизонта (и, одновременно, проблемы монополей). Он
предположил, что непосредственно перед Большим Взрывом расширение Вселенной было экспоненциальным, т.е. плотность энергии доминировалась огромной космологической постоянной 1 , примерно на сто порядков величины превышающей ее значение в настоящее время. Прежде
чем обсуждать физический смысл этого предположения, рассмотрим,
как гипотеза раздувания (inflation) решает проблему плоскостности и
проблему горизонта.
Согласно первому уравнению Фридмана постоянная Хаббла во вселенной, где доминирует космологическая постоянная, не зависит от времени. Таким образом,
ȧ
≈ HI ,
a
=⇒
a(t) ≈ a? eHI (t−t? ) .
(7.10)
Здесь HI – постоянная Хаббла в эпоху инфляции, t? – момент начала
инфляции и a? – масштабный фактор в момент t? .
Параметр кривизны в эпоху инфляции экспоненциально убывает:
|ΩK | ∼
1
a2 H 2
∼
1
∼ e−2HI (t−t? ) ≡ e−2N .
a2
(7.11)
Здесь N – так называемое, число разворачиваний – естественный параметр эволюции в эпоху инфляции2 . Если к началу инфляции ΩK ∼ 1, то
1
Этот термин вводится при изучении уравнений Эйнштейна, которые в данном
пособии не расматриваются. Под космологической постоянной понимается плотность
энергии любой субстанции с уравнением состояния ρ c2 = −p.
2
Напомним, что плотность энергии и температура являются естественными параметрами эволюции в эпоху излучения.
64
в конце инфляции ΩK ∼ e−2N . Если в настоящее время ΩK ∼ 1, число
разворачиваний должно быть:
2
2
1
aI HI
1
aI HI
−2N
|ΩK (t0 )| ∼ 2 2 ∼ 2 2
∼e
∼ 1.
a0 H0
aI HI a0 H0
a0 H0
aI HI
=⇒
eN ∼
.
(7.12)
a0 H0
Теперь выясним сколько разворачиваний необходимо, чтобы решить
проблему горизонта. Если Большому Взрыву предшествовала стадия инфляции, то размер горизонта к моменту последнего рассеяния определяется интегралом (см. (7.6)):
Z tL Z tI Z tL
cdt
cdt
= aL
+
.
(7.13)
dH (tL ) = aL
a(t)
t?
tI
t? a(t)
Интеграл в (7.13) – это независящая от времени радиальная координата
точки, из которой наблюдатель в начале координат еще мог получить
сигнал в момент tL . Если инфляции нет, интеграл равен (7.6) и, значит,
мал. Если же Взрыву предшествовала стадия быстрого раздувания, интеграл определяется нижним пределом и его можно сделать сколь угодно
большим. Другими словами, размер горизонта причинности перед Большим Взрывом возрастал со временем экспоненциально. Тогда,
Z tI
c aL N
caL
caL HI (tI −t? )
cdt
≈
≈
e
≡
e . (7.14)
dH (tL ) ≈ aL
H
(t−t
)
?
I
a? HI
aI HI
aI HI
t? a? e
Расстояние углового размера dA (tL ) до поверхности последнего рассеяния определяется тем же соотношением (7.5), инфляция его не затрагивает:
c aL
dA (tL ) ≈
.
(7.15)
H0 a0
Для того, чтобы удаленные области находились в причинном контакте
(т.е. могли обмениваться энергией) к моменту последнего рассеяния,
dH (tL ) ∼ dA (tL )
=⇒
eN ∼
aI HI
,
a0 H0
(7.16)
что совпадает с числом разворачиваний (7.12) необходимым для разглаживания Вселенной к моменту Большого Взрыва.
65
Подведем итоги: в эпоху инфляции единственная причинно связанная
область пространства-времени (потому однородная и изотропная) была
раздута и разглажена так, что к моменту последнего рассеяния Вселенная целиком находилась внутри горизонта причинности, т.е. различные
области Вселенной обменивались энергией и оставались в состоянии термодинамического равновесия, и была настолько плоской, что осталась
почти плоской к настоящему времени.
7.4
Оценка числа разворачиваний.
Оценим число разворачиваний, требуемое Стандартной моделью Вселенной, предполагая, что масштабный фактор и постоянная Хаббла к моменту Большого Взрыва те же, что и в конце инфляции. Постоянная
Хаббла наиболее сильно изменилась в эпоху излучения, откуда следует
оценка
2
1/2 a0
.
(7.17)
H ≈ H0 ΩR
a
Тогда:
1/4
ρI
aI HI
1/2 a0
1/2
N
e
∼
∼ ΩR
∼ ΩR
(7.18)
a0 H0
aI
ρ0
1/4
1/4 1/4 1/4
ρI
ρI
ρI
ρ0
1/4
∼ ΩR
≈
.
∼ ΩR
ρ0c
ρ0
ρ0c
0.026 эВ
Чтобы получить численную оценку необходимо задать плотность энергии ρI в момент Большого Взрыва (в конце инфляции). В Таблице 7.1
представлены различные оценки числа разворачиваний в зависимости от
возможной плотности энергии.
Упражнение 7.2 Сколько требуется времени, чтобы раздуть Вселенную от размера протона ∼ 10−13 см до мячика для пинг-понга ∼ 1 см?
Предположите, что плотность энергии в момент Большого Взрыва равна
[2 × 1016 ГэВ]4 .
7.5
Медленное скатывание.
В настоящее время инфляция имеет статус теории, подтвержденной наблюдениями, хотя детальное понимание механизма раздувания требует
66
Таблица 7.1: Число разворачиваний [1]
Нуклеосинтез
Электрослабый фазовый переход
Великое объединение
Планковский масштаб
[1 МэВ]4
[246 ГэВ]4
[2 × 1016 ГэВ]4
[1019 ГэВ]4
N=17
N=34
N=62
N=68
лучшего понимания физики высоких энергий. Чтобы получить представление о теории инфляции рассмотрим простейший механизм, не слишком
отличающийся от предложенного первоначально А.Гутом.
Предположим, что до Большого Взрыва основным материальным
компонентом Вселенной являлось вещественное скалярное поле, так называемый, инфлатон.
Плотность энергии ρ(t) и давление p(t) такого поля во Вселенной
Робертсона-Уокера определяются выражениями (здесь c = 1):
1
p = φ̇2 − V (φ).
2
1
ρ = φ̇2 + V (φ),
2
(7.19)
Подставив (7.19) в уравнения Фридмана (3.2) и (3.7), получим:
φ̈ + 3H φ̇ + V 0 (φ) = 0,
Ḣ = −4πGφ̇2 .
(7.20)
Согласно (7.20) постоянная Хаббла H не зависит от времени при условии φ̇ ≈ 0. Тогда из уравнений (7.19) и второго уравнения Фридмана
имеем:
8πG
ρ = −p,
H2 =
V (φ).
(7.21)
3
Первое уравнение – это уравнение состояния вакуума, а из второго следует, что постоянная Хаббла пропорциональна потенциалу поля V (φ).
Рассмотрим потенциал на Рис. 7.2. Он имеет широкое почти горизонтальное плато с небольшим уклоном, которое резко обрывается возле
значения поля φ = φ0 , где потенциал обращается в нуль. Первое из уравнений (7.20) – это уравнение движения частицы, которой текущая величина поля инфлатона служит координатой. На частицу действует сила
V 0 (φ), тянущая ее под уклон, и пропорциональная скорости сила трения,
причем коэффициентом трения служит постоянная Хаббла. Под действием этих сил частица медленно скатывается по склону и потом резко
67
Рис. 7.2: Медленное скатывание за которым следует разогрев [1].
падает вниз. После нескольких колебаний возле положения равновесия
поле инфлатона принимает значение φ = φ0 , а его энергия передается
ультрарелятивистской материи и излучению, причем во время колебаний возникают начальная энтропия и температура Вселенной. Короткий переходный период от инфляции к космологическому расширению
Большого Взрыва получил название разогрева.
Помимо решения проблемы горизонта, проблемы плоскостности и
проблемы монополей, теория инфляции предсказывает спектр флуктуаций реликтового излучения. Согласно этой теории наблюдаемые неоднородности реликтового излучения (∆T /T ∼ 10−5 ) обусловлены квантовыми и термодинамическими флуктуациями первоначальной области
Вселенной, которая была раздута к моменту Большого Взрыва. Измерения фона излучения с помощью орбитальных телескопов WMAP (2004) и
Planck (2013) позволили вычислить спектр флуктуаций с большой точностью и сравнить с теоретическим. Согласие оказывается очень хорошим.
68
Глава 8
Некоторые понятия РКТ.
Поскольку огромная плотность вещества соответствует высокой энергии
ρc2 ∼ E 4 /(h̄c)3 , физика ранней Вселенной тесно переплетается с физикой
элементарных частиц. По этой причине введение в космологию будет
неполным без краткого обсуждения этого предмета. Ниже излагаются
некоторые базовые понятия релятивистской квантовой теории (РКТ).
8.1
Группа Пуанкаре.
Рассмотрим мысленный эксперимент. Пусть космический корабль находится вдалеке от скоплений материи (Рис. 8.1). Астронавт проводит
эксперименты в корабельной лаборатории и наблюдает воздействие корабельных маневров на результаты экспериментов. Удаленные звезды
используются в качестве ориентиров. В конце-концов, астронавт устанавливает, какие маневры не влияют на результаты экспериментов: 1)
корабль остается в покое, 2) корабль перемещается на произвольное расстояние и останавливается, 3) корабль ускоряется, а потом двигается с
постоянной скоростью и 4) корабль поворачивается и останавливается.
Эти маневры можно выполнять в любой последовательности. Более того,
произвольная комбинация маневров 1)–4) является одним из маневров
1)–4). Говоря языком математики, следующая совокупность маневров
образует непрерывную группу преобразований системы отсчета корабля:
1. трансляции во времени, t → t + t0 ;
2. перемещения в пространстве, ~x → ~x + ~x0 ;
69
Рис. 8.1: Космический корабль вдали от гравитирующих масс.
3. преобразования Лоренца или бусты, xµ → Λµν (~v )xν , где Λµν (~v ) – матрица преобразования, зависящая от скорости буста ~v ;
~ – матрица вращения, зависящая
~ j , где Ri (φ)
4. вращения, xi → Rji (φ)x
j
~
от углов вращения φ.
Эта группа называется группой Пуанкаре. Бусты и вращения сами по
себе образуют группу, называемую группой Лоренца. Т.е. произвольная
комбинация бустов и вращений является или бустом или вращением.
Вращения тоже сами по себе образуют группу, называемую группой вращений. Т.е. произвольная комбинация вращений является вращением.
8.2
Некоторые понятия теории групп
• Пусть gi – элемент некоторой группы G. Тогда:
∀g1 , g2 ∈ G, g1 g2 = g3 ∈ G,
∀g ∈ G ∃g −1 ∈ G, так что g g −1 = 1.
∀g1 , g2 , g3 ∈ G, (g1 g2 )g3 = g1 (g2 g3 ).
• Пусть группа непрерывных преобразований G определена на многообразии размерности N , так что каждой точке многообразия ai
(i = 1, . . . , N ) соответствует элемент группы. Кроме того, в окрестности единичного элемента группы определен набор касательных
70
Xi (i = 1, . . . , N ) к многообразию, называемых генераторами. Пусть
генераторы образуют, так называемую, алгебру Ли:
[Xi , Xj ] = ifijk Xk ,
(8.1)
где компоненты антисимметричного тензора fijk называются структурными константами группы. Тогда произвольный элемент группы можно записать в виде экспоненты:
g(a) = exp (iXi ai ) .
(8.2)
Эта замечательная теорема была доказана шведским математиком
С.Ли (Sophus Lie) в 1876 г.
• Представлением группы G называется такое линейное пространство R, что ∀ |ii ∈ R и ∀g ∈ G, g |ii ∈ R. Элементам группы
в заданном представлении сопоставляют матрицы: g → gij , где
gij = hi| g |ji.
• Неприводимым представлением группы G называется такое линейное пространство Ir, что ∀ |ii ∈ Ir вектор g |ii заметает все пространство Ir, когда g пробегает по всем элементам группы G.
• Произвольное представление R группы G является прямой суммой неприводимых представлений группы. Это означает следующее. Выбрав произвольный вектор представления |ii ∈ R и, действуя на него последовательно всеми элементами группы, получим некоторое линейное пространство G |ii = Ri . Если Ri = R,
то R неприводимо. В противном случае выбираем вектор |ji 3 Ri
и повторяем процедуру, пока не исчерпаем все представление R.
При этом элементам группы G в представлении R соответствуют
блочно-диагональные матрицы.
8.3
Элементарные частицы.
Принцип относительности заключается в утверждении, что законы физики одни и те же во всех инерциальных системах отсчета, связанных
преобразованиями Пуанкаре. Как обсуждалось выше, результаты экспериментов не зависят от корабельных маневров из группы Пуанкаре.
71
Сформулируем теперь принцип относительности в квантовой теории.
Рассмотрим две инерциальные системы отсчета, связанные произвольной комбинацией временных и пространственных трансляций на t0 и ~x0 ,
~ Пусть некоторое квантовое состояние в первой
бустов ~v и поворотов φ.
системе определяется вектором |ψi. То же самое состояние во второй системе определяется вектором |ψ 0 i, который связан с |ψi преобразованием
~
Пуанкаре Û (t0 , ~x0 , ~v , φ):
~ |ψi .
|ψ 0 i = Û (t0 , ~x0 , ~v , φ)
(8.3)
i
~ .
~ = exp
Ĥt0 + P̂~x0 + K̂~v + Ĵφ
Û (t0 , ~x0 , ~v , φ)
h̄
(8.4)
Согласно теореме Ли:
Здесь {Ĥ, P̂, Ĵ, K̂} – генераторы группы Пуанкаре, образующие алгебру
Ли. Первые семь генераторов эрмитовы и соответствуют наблюдаемым
величинам: Ĥ – энергия, P̂ – импульс и Ĵ – момент импульса. Генераторы
бустов K̂ антиэрмитовы (K̂† = −K̂) и наблюдаемым не соответствуют.
В 1939 г. Ю.Вигнер (Eugene Wigner) выявил фундаментальное соответствие между группой Пуанкаре и элементарными частицами [6]. А
именно, Вигнер доказал, что неприводимые представления группы Пуанкаре образованы состояниями с квантовыми числами элементарной частицы: собственными состояниями массового оператора M̂ 2 = Ĥ 2 − P̂2 ,
квадрата спина ŝ2 = s(s + 1), тремя проекциями момента импульса P̂ и
проекцией спина, например ŝz :
|M, s; p, sz i .
(8.5)
Для неприводимого представления группы Пуанкаре преобразование (8.3)
принимает вид
~ |M, s; p, sz i ,
|M, s; p0 , s0 i = Û (t0 , ~x0 , ~v , φ)
(8.6)
z
т.е. импульс и проекция спина частицы меняются при переходе из одной
инерциальной системы отсчета в другую.
Согласно теории групп, произвольное представление группы является суммой прямых произведений ее неприводимых представлений. Применительно к группе Пуанкаре это значит, что ее произвольное представление имеет вид
X
|ψi =
ψ(i1 , i2 , . . . , iN ) |i1 ; i2 ; . . . ; iN i ,
(8.7)
i1 ,i2 ,...,iN
72
где ik – квантовые числа элементарной частицы. Таким образом, из
принципа относительности и квантовой теории следует, что пока пространство Минковского можно считать плоским, т.е. считать эффекты
гравитации малыми, любая физическая система является не чем иным,
как совокупностью элементарных частиц. Необходимо подчеркнуть, что
в искривленном пространстве Минковского не существует однозначного
определения элементарной частицы.
В 1939 г. М.Фирц и В.Паули (Marcus Fierz & Wolfgang Pauli) установили связь между спином частицы и ее статистикой, доказав теорему о
связи спина со статистикой. Теорема утверждает, что частица с целым
спином (в единицах h̄) является бозоном, а с полуцелым - фермионом.
8.4
Античастицы.
В 1928 г. П.Дирак (Paul Dirac) показал, что из релятивистской теории
электрона следует существование частицы той же массы и спина, что и
электрон, но с противоположным зарядом (позитрон). Очень скоро стало ясно, что это не случайность, и в релятивистской квантовой теории
каждая частица должна иметь античастицу1 . Это можно доказать, исходя из принципов относительности и причинности. Здесь мы ограничимся
простой иллюстрацией этой идеи.
Рассмотрим мировую линию частицы в пространстве Минковского,
изображенную на Рис. 8.2. Между точками A и A0 частица двигается
вперед во времени со скоростью меньшей скорости света c. Между A0
и C частица двигается быстрее скорости света и наблюдать ее нельзя.
Между C и C 0 частица появляется снова, ее скорость меньше чем c, но на
этом участке она движется против стрелы времени. В точке C 0 частица
снова “превышает скорость“ и исчезает. В точке B 0 она появляется и
движется к B вперед во времени.
Из рисунка видно, что на временном промежутке между tC и tC 0 одновременно существуют три частицы: две двигаются вдоль стрелы времени и одна против. Частица, двигающаяся назад во времени, называется
античастицей. Простой топологический аргумент показывает, что для
произвольной мировой линии в каждый момент времени число частиц
минус число античастиц равно единице. Это значит, что в РКТ сохраняется заряд (если он есть), но полное число частиц, составляющих данный
1
Если частица нейтральная, как фотон, она является античастицей себе самой.
73
Рис. 8.2: Мировая линия частицы в пространстве Минковского.
заряд, неопределено. Нетрудно понять, почему. Подсчет числа частиц является измерением, а оно всегда возмущает изучаемую систему. Попытка
определить положение частицы с точностью ∆x означает воздействие на
нее с энергией ∼ h̄c/∆x. Когда точность превысит комптоновскую длину волны частицы ∼ h̄/mc, энергия измерения может превратиться в
дополнительные частицы. Отсюда следует, что размер петли на Рис. 8.2
имеет порядок ∼ h̄/mc.
Таким образом, в РКТ стирается грань между частицей и квазичастицей: отделить электрон от виртуальных электрон-позитронных пар, вообще говоря, невозможно. Свободному электрону соответствует плоская
волна, делокализованная в пространстве. Попытка локализовать электрон неминуемо “активизирует“ электрон-позитронные пары, что приводит к экспериментально наблюдаемой зависимости заряда и массы электрона от размера области локализации.
8.5
Взаимодействия.
Элементарные частицы взаимодействуют, что приводит к изменению их
квантовых чисел: энергии, импульса и спина. Из опыта известно, что
эксперименты, проводимые в разных лабораториях, не влияют друг на
друга, если лаборатории достаточно удалены. Можно показать, что РКТ
удовлетворяет этому условию, если взаимодействие между элементарными частицами является локальным событием в пространстве Мин74
ковского, т.е. происходит в точке. Стандартная Модель частиц и взаимодействия относится к этому классу теорий.
В 1948 г. Р.Фейнман (Richard Feynman) придумал чрезвычайно наглядный метод описания процессов взаимодействия электронов и фотонов, который затем был обобщен на произвольную РКТ. Для примера
рассмотрим диаграмму Фейнмана на Рис. 8.3, где изображен обмен фотоном между двумя электронами. Первый электрон испускает фотон в
точке x1 , а второй поглощает его в x2 . На первый взгляд, это кажется
Рис. 8.3: Обмен виртуальным фотоном.
невозможным: свободный электрон не может ни излучить, ни поглотить
фотон. Однако, поскольку акт излучения/поглощения локализован, фотон нельзя считать плоской волной. Энергия и импульс фотона не подчиняются соотношению E = c|p| (говорят, что фотон не находится на
массовой оболочке). Соответствующие неопределенности энергии и импульса фотона есть ∆E ∼ h̄/(t2 − t1 ) и ∆p ∼ h̄/(x2 − x1 ), где (t1 , x1 ) и
(t2 , x2 ) – координаты точек взаимодействия.
Таким образом, фотон, изображенный на диаграмме, является виртуальным: зарегистрировать его нельзя, поскольку дисперсионное соотношение E = c|p| не выполняется. Тем не менее, обмен виртуальным
фотоном приводит к наблюдаемому эффекту – кулоновскому взаимодействию. Покажем это. Пусть расстояние между электронами равно
r. Обмен фотоном меняет импульс электронов на величину ∆p ∼ h̄/r.
Cила взаимодействия, обусловленная этим обменом, пропорциональна
∆p/∆t, где ∆t ∼ r/c и вероятности процесса. Амплитуда вероятности
испускания/поглощения
фотона
p
√ равна заряду электрона в естественных
√
2
единицах: α = e /h̄c ≈ 1/ 137 ∼ 0.1. Тогда:
√
∆p
e2 h̄c
e2
F ∼ ( α)2
∼
∼
.
∆t
h̄c r2
r2
75
(8.8)
Мы получили закон Кулона. Таким образом, статическое поле электрического заряда можно рассматривать как облако окружающих его виртуальных фотонов.
Рассмотрим еще один процесс – рождение электрон-позитронной пары в поле ядра. Фейнмановская диаграмма этого процесса в импульсном
пространстве показана на Рис. 8.4. Гамма-квант с 4-импульсом pγ распа-
Рис. 8.4: Рождение пары в электрическом поле ядра.
дается на электрон с 4-импульсом pe и позитрон с 4-импульсом pγ − pe .
Этому соответствует первая вершина диаграммы. Электрон находится
на массовой оболочке, т.е. p2e = m2e , поэтому его можно зарегистрировать. Позитрон же с необходимостью является виртуальным (свободный
фотон не может распасться на пару реальных частиц), его 4-импульс не
находится на массовой оболочке: p2e 6= m2e . Позитрон становится реальным, только поглотив виртуальный фотон из электростатического поля
ядра, которое при этом получает отдачу. Это вторая вершина на диаграмме.
Каждой диаграмме Фейнмана однозначно соответствует сложное аналитическое выражение. В случае когда амплитуда вероятности взаимодействия
(константа связи) мала, как в квантовой электродинамике, где
√
e = α ∼ 0.1, диаграммы Фейнмана представляют собой эффективный
метод вычисления вероятностей физических процессов. Вот некоторые
свойства диаграмм в импульсном пространстве:
• в каждой вершине сохраняется 4-импульс;
• внешние линии соответствуют частицам на массовой поверхности,
т.е. p2 = m2 ;
76
• внутренние частицы являются виртуальными (p2 6= m2 ); смещение
с массовой оболочки на величину Q соответствует разделению актов взаимодействия в пространстве Минковского на ∆x ∼ h̄/Q.
Упражнение 8.1 Определите насколько квадрат 4-импульса виртуального позитрона на Рис. 8.3 отличается от m2e . Вычислите переданный
4-импульс q 2 виртуального фотона.
8.6
Радиационные поправки.
На Рис. 8.5 изображен другой пример процесса с участием виртуального фотона, называемый радиационной поправкой. Электрон излучает
фотон в точке x1 и сам же поглощает его в точке x2 . Квантовые числа
электрона, изменившиеся после излучения (x1 ), восстанавливаются после поглощения (x2 ). Тем не менее, такой процесс вносит вклад в массу
Рис. 8.5: Радиационная поправка к собственной энергии электрона.
электрона2 и меняет нормировку его волновой функции.
Избраженный на Рис. 8.5 процесс допускает квазиклассическую интерпретацию, восходящую к Вельтону [7]. Принцип неопределенности запрещает электрическому и магнитному полям E и B быть равными нулю
даже в вакууме (нулевые флуктуации поля). Следовательно, даже свободный электрон взаимодействует с флуктуирующим электромагнитным
полем. Вычислим средний квадрат флуктуации координаты электрона
hδr2 i, обусловленный этим взаимодействием. Запишем уравнение движения нерелятивистского электрона:
mδr̈(t) = eE(t).
2
(8.9)
Аналогичный эффект присутствует уже в классической электродинамике Максвелла, где точечный электрон взаимодействует с собственным полем.
77
Вакуумное состояние однородно, поэтому случайное поле поле E(t) не
зависит от x.
Зависящие от времени случайные величины r(t) и E(t) можно записать через разложение Фурье:
Z ∞
Z ∞
dω
−iωt dω
Eω e−iωt
δrω e
,
E(t) =
(8.10)
δr(t) =
2π
2π
−∞
−∞
Уравнение движения (8.9) для Фурье-компонент принимает вид:
δrω =
e
Eω .
mω 2
(8.11)
Усредненная по времени величина
1
hδr i = lim
T →∞ T
2
Z
T /2
r2 (t)dt
(8.12)
−T /2
записывается через Фурье-компоненты электрического поля Eω 3 в виде:
e 2 Z ∞ dω
2
hδr i =
hEω E−ω i.
(8.13)
m
πω 4
0
Величину hEω E−ω i определим, приравнивая классическое и квантовое выражения для плотности энергии электромагнитного поля. Классическое выражение:
Z ∞
1 2
1
1
2
2
vac =
h E (x, t) + B (x, t) i =
hE (x, t)i = 2
hEω E−ω idω.
8π
4π
4π 0
(8.14)
Здесь учтено, что вклад электрического и магнитного полей в плотность
энергии одинаков. Квантовое выражение получается суммированием нулевых энергий осцилляторов поля (каждый осциллятор соответствует
состоянию фотона с импульсом h̄k и одной из двух поляризаций):
Z
Z ∞
h̄ω ω 2 dω
h̄ωk d3 k
=
2
.
(8.15)
vac = 2
2 (2π)3
2 2π 2 c3
0
Приравнивая (8.14) и (8.15), получим:
hEω E−ω i = 2
3
h̄ω 3
.
c3
см., например, Ландау и Лифшиц, т. 2, гл. 49
78
(8.16)
Подставив (8.16) в (8.13), окончательно получаем:
2 Z ωmax
2 e2
h̄
dω
2
hδr i =
.
π h̄c mc
ω
ωmin
(8.17)
Пределы интегрирования ωmax и ωmin зависят от состояния электрона.
Например, для атомного электрона h̄ωmin ∼ α2 mc2 . В качестве верхнего
предела следует взять h̄ωmax ∼ mc2 – энергию, где уже нельзя ограничиться одночастичным приближением. В этом случае
p
h̄
hδr2 i ∼ 0.2 .
(8.18)
mc
Таким образом, взаимодействие электрона с вакуумными флуктуациями электромагнитного поля приводит к дополнительному “размытию“
его волновой функции, что приводит к наблюдаемым эффектам, например, расщеплению по энергии состояний 2s1/2 и 2p1/2 в атоме водорода
(Лэмбовский сдвиг). Обратите внимание на характерный логарифм в
формуле (8.17). Такие логарифмы возникают при вычислении радиационных поправок и имеют нетривиальный физический смысл, обсуждаемый ниже.
8.7
Бегущие константы связи.
В последовательной РКТ все наблюдаемые величины определены однозначно, однако основные параметры теории, как, например, заряд и масса электрона, оказываются зависящими от энергии. Как и в (8.17) эта
зависимость логарифмическая, т.е. слабая, но она приводит к наблюдаемым эффектам. Например, постоянная тонкой структуры α измеренная
в процессах электронного рассеяния при энергиях ∼ 1 МэВ и ∼ 100 ГэВ
равна:
1
1
,
α(100ГэВ) ≈
.
(8.19)
α(1МэВ) ≈
137
128
Зависимость заряда от энергии обусловлена поляризацией вакуума. Последний можно рассматривать как диэлектрик, эффективно экранирующий заряд электрона. При приближении к электрону экранирование
уменьшается и заряд возрастает. Масса электрона, наоборот, убывает
на малых расстояних, что опять-таки можно интерпретировать, как эффект экранировки: чем дальше от электрона, тем больше энергия его
электрического поля, а значит и масса.
79
Можно задаться вопросом, нельзя ли избавиться от бегущих (т.е. зависящих от энергии) параметров теории и определить наблюдаемые величины в терминах фундаментальных констант, как в нерелятивистской
квантовой теории? В общем случае ответ на этот вопрос отрицателен,
что является следствием стирания грани между частицей и античастицей в РКТ. Как и в физике конденсированного состояния, где взаимодействие меняет массу и заряд квазичастицы по сравнению с частицей,
в РКТ возникает необходимость переопределить массу и заряд частицы, но это приходится делать, используя все те же массу и заряд – ведь
других нет! Соответствующая нетривиальная процедура называется перенормировкой.
В последовательной РКТ возможно только выразить одни наблюдаемые величины через другие, например, сечение рассеяния нескольких
частиц через сечение рассеяния двух частиц, и только. При этом выбор
“фундаментального набора наблюдаемых“ условен, и определяется соображениями простоты, удобства, традиции и т.д. С точки зрения РКТ
один набор ничем не лучше другого, если он позволяет однозначно определить произвольную наблюдаемую.
Табличные значения фундаментальных констант, типа заряда и массы электрона, измерены при вполне определенных экспериментальных
условиях. Другие эксперименты приведут к несколько отличным значениям, хотя разница и невелика, поскольку зависимость от энергии только
логарифмическая.
80
Глава 9
Фазовые переходы в ранней
Вселенной.
Когда закончилась стадия раздувания, энергия, заключенная в поле инфлатона, перешла к материи и излучению – Вселенная прошла через
стадию разогрева. На сегодняшний день неизвестно до какой температуры TBB разогрелась Вселенная к началу Большого Взрыва. От этого
зависит, через какие фазы она, возможно, прошла в процессе расширения. Данные наблюдений пока не позволяют утверждать, что фазовые
переходы в ранней Вселенной действительно были [3]. В этой главе обсуждаются следующие фазовые переходы, которые могли иметь место
при условии, что TBB была достаточно высока.
• Переход от КГП к адронам. При температуре kB Tc ≈ 150 МэВ
плазма свободных кварков и глюонов (КГП) конденсируется в барионы и мезоны.
• Электрослабый переход. При температуре kB Tc ≈ 100 ГэВ электрослабое взаимодействие разделяется на электромагнитное и слабое.
При этом изначально безмассовые частицы приобретают массу.
• Великое объединение. Есть указания на то, что при энергиях ∼ 2 ·
1016 ГэВ происходит объединение сильного, электромагнитного и
слабого взаимодействий.
Теперь опишем эти переходы подробнее.
81
9.1
Переход от КГП к барионам.
В отличие от констант связи электромагнитного α и слабого αw взаимодействий, константа связи сильного взаимодействия αs возрастает на
малых энергиях (с ростом расстояния). Это свойство теории называется асимптотической свободой: кварки, заключенные в области ≤ 1 фм,
ведут себя почти как свободные частицы. На расстояниях же бо́льших
∼ 1 фм константа связи уже столь велика, что картина взаимодействия
качественно меняется.
Согласно квантовой хромодинамике (КХД) физический вакуум заполнен конденсатом виртуальных глюонов и кварков, плотность энергии которого равна B ≈ −200 МеВ · фм−3 (отрицательный знак означает
связанное состояние). Барион представлят собой три слабо взаимодействующих валентных кварка, запертых в небольшом пузырьке радиуса
r ∼ 1 фм, из которого вытеснен конденсат (модель мешка). Таким образом, в этом довольно грубом приближении энергия бариона складывается из кинетической энергии кварков ∼ 3h̄c/r и объемной энергии
пузырька ∼ −Br3 .
Барион можно сравнить с пузырьком газа в жидкости, зародышем
другой фазы, который не схлопывается только благодаря кинетической
энергии запертых (confined) в нем кварков. Пузырьки газообразной фазы
возникают также и при нагревании за счет термодинамических флуктуаций, но тут же схлопываются под давлением конденсата. Только при
достижении критической температуры, когда давление газа глюонов и
кварк-антикварковых пар превышает давление конденсата, газообразная фаза скачком занимает весь объем, при этом выделяется скрытая
теплота перехода. Это фазовый переход первого рода.
Упражнение 9.1 Воспользуйтесь аналогией с кипящей жидкостью
и оцените температуру kTc (в МэВ) фазового перехода вакуум – плазма,
для простоты, учитывая только глюоны. Вакуумный конденсат считайте жидкостью с равной нулю энтропией. Глюон имеет две поляризации
(как и фотон) и восемь цветных состояний, h̄c ≈ 200 МеВ · фм.
Упражнение 9.2 В условиях предыдущей задачи оцените удельную
теплоту перехода (в единицах МеВ·фм−3 ).
Впервые КГП наблюдалась в экспериментах по столкновению ядер
82
золота и свинца на установке RHIC (Relativistic Heavy Ion Collider)1 . При
лобовом столкновении ядер, ускоренных до энергии ∼ 200 ГэВ на нуклон,
температура в области столкновения повышается примерно до kB T ∼
170 МэВ. В этом месте на короткое время образуется область КГП, которая расширяется, остывает до критической температуры kB Tc ≈ 150 МэВ,
и конденсируется в адроны – главным образом, пионы – разлетающиеся
в разные стороны. Анализируя распределение по импульсам образовавшихся адронов, можно установить температуру КГП и температуру фазового перехода. Результаты согласуются с численными расчетами КХД.
9.2
Электрослабый переход.
В таблице 9.1 перечислены фермионы первого поколения СМ вместе с левым антинейтрино, существование которого подтверждается открытием
нейтринных осцилляций. При температуре выше kB Tew ∼ 100 ГэВ все частицы Стандартной Модели безмассовые, а вместо электромагнитного
и слабого взаимодействия существуют их аналоги, калибровочные взаимодействия U (1)Y и SU (2)W 2 . Электрон и нейтрино, обмениваясь тремя
Таблица 9.1: Фермионы первого поколения СМ к которым добавлено
стерильное антинейтрино ν̄e . I3 – изоспин, Y – гиперзаряд и i – цвет.
Черта означает античастицу. Квантовые номера фермионов второго и
третьего поколений те же самые.
I3
Y
νe
1/2
-1
e− ν̄e
-1/2 0
-1
0
e+
0
2
ui
di
1/2 -1/2
1/3 1/3
ūi
0
-4/3
d¯i
0
2/3
безмассовыми калибровочными SU (2)W бозонами, свободно превращаются друг в друга: бозоны имеют изоспин I3 = (1, 0, −1). Взаимодействие
U (1)Y аналогично электромагнитному, но вместо электрического заряда
фермионы характеризуются гиперзарядом Y .
1
В 2005 г. результаты наблюдения были признаны официально.
К сожалению, сколько-нибудь подробное объяснение возможно только в рамках
квантовой теории поля.
2
83
Все частицы СМ кроме глюонов взаимодействуют с бесспиновой и
тоже безмассовой частицей – бозоном Хиггса. Точнее, имеется изоспиновый дублет бозонов I3 = ±1/2 с гиперзарядом YH = 1. При температуре
ниже Tew происходит переход, характеризуемый появлением конденсата бозонов Хиггса. Как показывают численные расчеты, этот переход
не является фазовым: все параметры меняются непрерывно3 . При нулевой температуре плотность энергии конденсата равна 247 ГэВ4 (на таких
масштабах расстояние измеряется через энергию).
Теперь, поглощая бозоны из конденсата, левая частица свободно меняет поляризацию на правую и наоборот4 . А это значит, что частица
стала массивной, поскольку масса в РКТ – это константа связи левого и правого состояний. За счет самодействия приобретает массу и бозон Хиггса; согласно результатам, полученным в 2012 г. на LHC (Large
Hadron Collider), mH ≈ 125 ÷ 126 ГэВ.
Переход характеризуется, так называемым, спонтанным нарушением симметрии: ниже Tew калибровочные бозоны W ± , Z 0 массивны, а
соответствующее им взаимодействие становится короткодействующим
(rW ∼ h̄/MW c ∼ 10−16 см). По этой причине обмен калибровочными бозонами при низких энергиях становится маловероятным, откуда и название слабое взаимодействие. Безмассовой остается единственная линейная комбинация калибровочных бозонов – фотон. Ей соответствует
сохраняющийся электрический заряд: Q = I3 +Y /2. Ввиду безмассовости
фотона электромагнитное взаимодействие остается дальнодействующим
и ниже Tew .
Упражнение 9.3 Убедитесь, что электрические заряды частиц СМ
связаны с их изоспином и гиперзарядом формулой Q = I3 + Y /2 (см.
Таблицу 9.1). У калибровочных бозонов Y = 0.
3
Это аналогично тому, как при сжатии газа при постоянной температуре, выше
критической для данного вещества, невозможно увидеть переход от газообразной к
жидкой фазе – свойства вещества меняются непрерывно.
4
Исключением является фотон, счастливо избегающий общей участи, и глюоны,
которые вовсе не взаимодействуют с бозоном Хиггса.
84
9.3
Великое объединение.
Успех Стандартной модели в начале 1970-х породил надежду использовать идею спонтанного нарушения симметрии, чтобы объединить все три
взаимодействия – сильное, электромагнитное и слабое. Идею объединения подсказала сама СМ. Напомним, что константы связи в РКТ зависят
от энергии. Константы связи сильного αs и слабого αw взаимодействий
уменьшаются с энергией, а электромагнитного α – растет (см. Рис. 9.1).
Три кривые пересекаются примерно в одной точке при ∼ 1015 GeV. В
Рис. 9.1: Объединение электрослабого U (1)Y × SU (2)W и сильного SU (3)
взаимодействий согласно ТВО.
1970-е ошибка измерения αs была слишком большой, чтобы можно было
сказать наверняка5 , поэтому предположение об объединении взаимодействий не противоречило экспериментальным данным.
В 1974 г. Х.Джорджи и Ш.Глэшоу (Howard Georgi & Sheldon Glashow)
предложили теорию, названную впоследствии Теорией Великого Объединения (ТВО, в оригинале – Grand Unification Theory (GUT)). Согласно ТВО все три константы связи равны α = 1/45 при энергии великого
объединения M ≈ 1.1×1015 ГэВ, а на меньших энергиях расходятся из-за
радиационных поправок.
При температуре большей TGU T ∼ M происходит фазовый переход
аналогичный электрослабому. Выше температуры перехода массы фер5
На сегодняшний день уже точно установлено, что кривые не пересекаются в
одной точке
85
мионов (точнее, константы связи фермионов и бозона Хиггса, дающие
фермионам массы ниже Tw ) связаны простым соотношением:
md = me ,
ms = mµ ,
mb = mτ .
(9.1)
Ниже TGU T массы частиц меняются за счет радиационных поправок.
Кварки становятся тяжелее лептонов, поскольку последние не участвуют в сильных взаимодействиях.
С теоретической точки зрения ТВО Джорджи-Глэшоу – элегантное
логическое продолжение СМ. К сожалению, теория оказалась несостоятельной. Массы фермионов и других параметры СМ, предсказанные
ТВО, не совпадают с экспериментальными. Это можно было бы списать
на несовершенство вычислительных методов, ведь теория очень сложна.
Однако десять лет спустя эксперимент окончательно опроверг теорию.
На Рис. 9.2 изображен процесс, отсутствующий в СМ и предсказанный
Рис. 9.2: Распад протона на пион и позитрон.
ТВО, – распад протона на пион и позитрон, идущий с участием тяжелого
векторного бозона, масса которого порядка энергии великого объединения M . Согласно ТВО время жизни протона не более τp ∼ 1029 лет. В
настоящее время экспериментально установлено, что τp ≥ 1031 лет.
Открытие осцилляций нейтрино окончательно закрыло теорию: массивное нейтрино обязано существовать не только в левополяризованном,
но и в правом состоянии, которому в ТВО Джорджи-Глэшоу просто нет
места. Тем не менее, попытки объединить все три взаимодействия не
прекращаются. Вот еще один кандидат.
9.4
МССМ
Существует нетривиальное расширение СМ: минимальная суперсимметричная стандартная модель (МССМ). Обоснование этой теории довольно
86
формально и мы не будем на нем останавливаться [6]. Заметим только,
что преобразование суперсимметрии превращает бозон в фермион и обратно и, что суперсимметричное расширение группы Пуанкаре выглядит
очень логичным и естественным6 .
В суперсимметричной теории каждая частица имеет партнера той
же массы, но со спином, отличающимся на 1/2. Например, у электрона
в МССМ имеется скалярный партнер той же массы – селектрон. Партнером фотона является безмассовое фотино со спином 1/2 и т.д. Бозон
Хиггса (в МССМ их уже два) имеет партнером хиггсино со спином 1/2.
Таким образом, набор частиц в МССМ более чем в два раза превышает
набор частиц СМ.
Чтобы объяснить, куда деваются при низких энергиях суперпартнеры
обычных частиц СМ, приходится нарушать суперсимметрию при какойто большой энергии MSU SY , так чтобы массы всех суперпартнеров стали
пропорциональными MSU SY . Если MSU SY ≤ 103 ТэВ, можно надеяться
обнаружить суперпартнеров или их следы на LHC.
На сегодняшний день существует единственное косвенное указание
на то, что МССМ, возможно, имеет отношение к действительности. В
МССМ с двумя хиггсовскими супердублетами все три константы связи СМ становятся в точности равными при M ≈ 2.2 × 1016 ГэВ (при
этом MSU SY M ). Кроме того, МССМ предсказывает точное значение sin2 θ = 0.231 – одного из параметров СМ, связывающего константы
связи g1 и g2 с зарядом электрона:
g2 (Mz ) sin θ = e(Mz ).
(9.2)
Время жизни протона в МССМ τp ≈ 2 × 1031 лет, что все еще не противоречит экспериментальному ограничению.
МССМ также предоставляет и кандидатов на роль темной материи.
Например, нейтралино – линейная комбинация из суперпартнеров бозона
Хиггса и калибровочного бозона. Ее масса оценивается из космологических соображений, как ∼ 100−1000 ГэВ [3]. Нейтралино участвует только
в слабых взаимодействиях, поэтому на ускорителях ее можно получать в
незначительных количествах, вся надежда на детекторы темной материи
(например, DAMA/LIBRA).
В заключение заметим, что открытие бозона Хиггса относительно
небольшой массы 125 ÷ 126 ГэВ [10] означает, что СМ на масштабах ∼
6
Впрочем, то же самое можно сказать и о ТВО Джорджи-Глэшоу.
87
103 ТэВ становится непоследовательной и должна быть пересмотрена.
Если нам повезет, LHC подскажет, куда двигаться дальше.
88
Глава 10
Релятивистские струны.
Введение в космологию не будет полным без упоминания о теории релятивистских струн. На сегодняшний день это, наверное, самая последовательная теория объединяющая квантовую теорию и ОТО. Заметим, что
в действительности теория струн включает в себя достаточно обширный
класс теорий: до экспериментальной проверки, которая позволит отсеять лишнее, дело пока не дошло. В этой главе мы обсудим проблему
локальности, с которой сталкивается РКТ при попытке включить в нее
гравитацию, и некоторые свойства релятивистских струн.
10.1
Проблема локальности в РКТ.
Как уже говорилось, РКТ основана на фундаментальном предположение о локальности взаимодействия, этому событию соответствует точка
в пространстве Минковского. В частности, локальность РКТ приводит
к появлению бегущих констант связи. Однако, попытка включить в рассмотрение гравитацию показывает, что представление о локальном событии является не более чем приближением. На рисунке 10.1 изображено
нелокальное событие – регистрация частицы во временном интервале
∆t и в области пространства размером ∆x. Нелокальность события отражает реальную экспериментальную ситуацию: любое измерение имеет
ограниченную точность.
Событие длительности ∆t означает неопределенность энергии системы ∆E ≥ h̄/2∆t. Физически ∆E – это энергия виртуальных частиц, вызванных к жизни из вакуума процессом измерения. Согласно принципу
89
Рис. 10.1: Нелокальное событие в пространстве Минковского.
эквивалентности соответствующая гравитирующая масса ∆M = ∆E/c2 .
Если масса сконцентрирована в области меньшей соответствующего радиуса Шварцшильда, неизбежен гравитационный коллапс. Таким образом, достаточно локализованное событие в пространстве Минковского
коллапсирует под собственной тяжестью! Чтобы этого избежать, пространственная протяженность события должна превышать соответствующий радиус Шварцшильда:
2G∆E
2G h̄
2G∆M
=
≥
.
(10.1)
c2
c4
c4 2∆t
Следовательно, для сосуществования квантовой теории и гравитации
необходимо выполнение соотношения неопределенности между пространственной и временной протяженностью события:
∆x ≥
c∆t∆x ≥
Gh̄
= lP2 l .
c3
(10.2)
Здесь lP l ∼ 10−33 см – планковская длина. Это рассуждение показывает,
что РКТ не совместима с ОТО: локальная теория нестабильна. Даже в
отсутствие внешних воздействий квантовые флуктуации на планковских
масштабах ведут к гравитационному коллапсу. Поэтому теория, претендующая на объединение квантовой механики и ОТО, должна учитывать (10.2). Теперь обсудим, как это можно сделать.
10.2
Интеграл по поверхностям.
Рассмотрим свободную скалярную частицу массы m. Р.Фейнман пока90
Рис. 10.2: Интеграл по путям в пространстве Минковского.
зал, что амплитуда вероятности зарегистрировать частицу сначала в x1 ,
а потом в x2 представима в следующем виде. Соединим x1 и x2 произвольной мировой линией и сопоставим каждой линии амплитуду вероятности
Z
mc x2
ds ,
(10.3)
exp i
h̄ x1
где ds – собственное время частицы, а интеграл берется вдоль мировой линии. Показатель экспоненты в (10.3) – это классической действие
релятивистской частицы, деленное на квант действия h̄. Тогда амплитуда вероятности зарегистрировать частицу сначала в x1 , а потом в x2
есть сумма амплитуд (10.3) по всем мировым линиям, соединяющим эти
точки (см. Рис. 10.2). Иначе говоря, формула (10.3) есть амплитуда вероятности того, что квантовая частица двигается из x1 в x2 по наперед
заданному пути.
Заметим, что интеграл по путям с амплитудой (10.3) имеет также геометрическую интерпретацию. Показатель экспоненты равен длине мировой линии в единицах h̄/mc, комптоновской длины волны частицы. Аналогичный интеграл по путям существует и для фотона. Для частицы
со спином 1/2 (электрон) мировая линия проходит в суперпространстве
Минковского (xµ , θµ ), в котором наряду с обычными координатами xµ
имеются фермионные координаты θµ . Необходимо подчеркнуть, что интеграл по путям – не обособленная теоретическая конструкция, а эквивалентная формулировка РКТ, перебрасывающая мост между квантовой
физикой и геометрией. В связи с этим напомним, что и ОТО является
геометрической формулировкой теории гравитации.
91
Попытка учесть гравитацию путем суммирования амплитуд (10.3) по
путям в искривленном пространстве Минковского не работает, последовательную теорию построить не удается. Как мы уже видели, этому есть
объяснение: интеграл по путям является локальным объектом, поскольку суммирует мировые линии – последовательности точек в пространстве
Минковского, а локальная РКТ и ОТО несовместимы.
Возникает естественный вопрос: возможно ли определить аналогичный интеграл по протяженным объектам размерности большей единицы?
Например, интеграл по случайным поверхностям или объемам? Другими
словами, возможно ли обобщить (10.3) так:
Z
i
p
exp p
dσ ,
(10.4)
lP l ∂σ
где lP l – планковская длина и суммировать амплитуды (10.4) по гиперповерхностям размерности p с общей границей ∂σ? Оказывается, для p ≥ 3
интеграл по гиперповерхностям определить нельзя, зато интеграл по случайным поверхностям p = 2 обладает исключительно богатой математической структурой, которая является предметом интенсивного изучения
с конца 1960-х годов1 . На рисунке 10.3 показана случайная поверхность
Рис. 10.3: Мировой лист Σ открытой струны со вставками вершинных
операторов Vi .
Σ (мировой лист) с границей ∂Σ со вставками вершинных операторов Vi ,
несущих квантовые числа частиц.
1
Стоит отметить, что строгое доказательство существования интеграла (10.4) по
произвольным поверхностям (p = 2) еще предстоит найти.
92
10.3
Замкнутая бозонная струна.
В качестве примера обсудим модель замкнутой бозонной струны [8].
Классическое действие бозонной струны – это площадь мирового листа в
пространстве Минковского, заданного функциями X µ (σ α ), где X µ – координата точки на мировом листе в которую отображается точка (σ 1 , σ 2 )
некой двумерной области. В общем случае мировой лист Σs1 ,s2 ,... замкнутой бозонной струны представляет собой замкнутую поверхность, в которой прорезаны отверстия заданной формы s1 , s2 , . . .. Границы отверстий
соответствуют замкнутым струнам.
Рис. 10.4: Мировой лист, ограниченный замкнутыми струнами s1 и s2
Аналогично тому, как интеграл по всем мировым линиям, соединяющим точки x1 и x2 , с амплитудой (10.3) определяет амплитуду вероятности зарегистрировать частицу сначала в x1 , а потом в x2 , так и интеграл
по всем мировым листам Σs1 ,s2 , с двумя границами s1 , s2 , в котором каждый лист суммируется с амплитудой
!
Z
i
d 2Σ
(10.5)
exp 2
lP l Σs1 ,s2 ,
определяет амплитуду вероятности того, что замкнутая струна эволюционировала из конфигурации s1 в s2 (см. Рис. 10.4). Вытянув мировой
лист в тонкую трубку диаметра ∼ lP l , и учитывая, что характерный
размер струны в колебательном состоянии наименьшей энергии того же
порядка, мы воспроизведем интеграл по мировым линиям частиц, если
пренебрежем размером струны и диаметром трубки.
93
Собственные моды колебаний струны характеризуются квадратом
массы M 2 , спином s, импульсом p, и проекцией спина sz , т.е. соответствуют элементарным частицам. Спектр колебательных мод струны бесконечно большой. Важное отличие от обычной РКТ заключается в том,
что если размерность пространства Минковского не равна D = 26, пространство Гильберта состояний струны содержит состояния с отрицательной нормой, что приводит к несохранению вероятности в процессах
рассеяния частиц2 . Другими словами, замкнутая бозонная струна существует только в 26-мерном пространстве Минковского.
Состояние струны с наименьшим значением массового оператора имеет M 2 < 0, что соответствует тахиону – частице двигающейся быстрее
скорости света. Известно, что тахионы нарушают причинность. Поэтому долгое время теория бозонной струны считалась непоследовательной,
пока в начале 2000-х не было показано, что тахионное состояние принадлежит ложному вакууму, в то время как истинный вакуум тахиона не
содержит [9].
Массы частиц из спектра состояний струны пропорциональны планковской массе MP l ∼ 1019 ГэВ, а значит только безмассовые состояния
M 2 = 0 могут претендовать на роль элементарных частиц при низких
энергиях. У замкнутой бозонной струны безмассовые состояния соответствуют частицам со спином S = 2, 1, 0. Это аналоги гравитона, фотона
и скалярного бозона. В спектре замкнутой бозонной струны фермионов
нет.
Возможно определить эффективную РКТ (в 26-мерном пространстве
Минковского), содержащую только эти безмассовые частицы, которая
является эквивалентной теории струны в низкоэнергетичесом пределе.
То есть, амплитуды рассеяния “гравитонов“, “фотонов“ и “бозонов“ эффективной РКТ и соответствующие амплитуды безмассовых состояний
струны совпадают при E MP l . Хотя эффективная РКТ и не соответствует реальности, она является вполне узнаваемой карикатурой на нее
(см. Рис. 10.5). Это теория безмассовых скалярных (S = 0) и векторных (S = 1) частиц, живущих в 26-мерном пространстве-времени, с метрикой, которая есть классическое поле гравитонов. Уравнения ЭйлераЛагранжа для поля гравитонов это не что иное, как уравнения Эйнштейна. В эффективной РКТ есть черные дыры и излучение Хокинга,
но нет гравитационной сингулярности: при очень больших энергиях воз2
Как говорят, нарушается унитарность теории.
94
Рис. 10.5: Карикатура Алексея Меринова [11].
буждаются высшие моды колебаний струны и эффективная РКТ больше
неприменима. Струна же, будучи нелокальным объектом, несингулярна по построению. Таким образом, теория замкнутых бозонных струн
действительно объединяет гравитацию и квантовую теорию, правда, в
26-мерном пространстве и с ограниченным набором частиц.
10.4
Гравитационный коллапс.
Посмотрим, как может выглядеть гравитационный коллапс, если теория струн имеет отношение к действительности. Как уже обсуждалось в
главе 6, при приближении УН к горизонту событий температура неограниченно возрастает, а значит небходимо выяснить, как ведут себя в этом
пределе термодинамические функции струны. В отличие от РКТ где
плотность состояний пропорциональна объему и растет с энергией по
степенному закону, плотность состояний струны растет с энергией экспоненциально. Например, для замкнутой бозонной струны
ρ(m) ∼ m−25/2 exp (4πm) ,
95
m 1,
(10.6)
где m масса состояния в планковских единицах. Следовательно, статистическая сумма струны
Z
Z(T ) = ρ(m)e−m/T dm
(10.7)
расходится при температуре выше критической TH = 1/4π ≈ 0.08, называемой температурой Хагедорна (R. Hagedorn). На первый взгляд, термодинамика струны под угрозой. Однако, статистическая сумма (10.7)
соответствует микроканоническому распределению, что соответствует взаимодействию струны с термостатом. На это можно возразить, что струна
сама является термостатом, ведь она включает в себя все пространство
и материю. Как следует из (10.6), энтропия струны связана с энергией
асимптотическим соотношением:
S(E) → 4πE,
E → ∞.
(10.8)
Температура струны, рассматриваемой как термостат, есть
T =
dE(S) E→∞ 1
→
= TH .
dS
4π
(10.9)
При больших энергиях теплоемкость струны стремится к бесконечности,
т.к. поглощенная энергия практически не меняет ее температуру.
На рисунке 10.6 изображено состояние струны в зависимости от температуры. По мере увеличения плотности энергии температура растет.
При T TH флуктуации струны соответствуют безмассовым состояниям, т.е. элементарным частицам. Здесь работает эффективная РКТ в искривленном пространстве Минковского. При приближении к TH возбуждаются массивные состояния ∼ MP l , отдельные струны начинают сливаться (перколяционный переход ), размывая границу между пространством и материей. Наконец, при T → TH остается единственная струна,
и разница между пространством и материей окончательно исчезает.
10.5
Гипотеза ландшафта.
Эффективная РКТ бозонной струны не содержит фермионов, поэтому более узнаваемые “карикатуры на реальность“ получаются из суперструн, обитающих в 10-мерном суперпространстве Минковского. (Теория суперструны Лоренц-инвариантна и унитарна только при D = 10.)
96
Рис. 10.6: Струна в зависимости от температуры [5].
Если относиться к теории суперструн всерьез, необходимо объяснить куда деваются шесть дополнительных измерений. Пока что наиболее популярна гипотеза о сворачивании этих измерений в компактное многообразие планковских размеров:
d10 x = d 6 y d 4 x,
y ∼ lP l .
(10.10)
Не каждое многообразие годится для компактификации, поскольку необходимо сохранение суперсимметрии пространства. Наиболее популярным кандидатом является, т.н. многообразие Калаби-Яу (Calabi-Yao).
Проблема только в том, чтобы выбрать нужное: число пригодных для
компактификации многообразий Калаби-Яу оценивается как ∼ 10500 !
Если удастся найти многообразие Калаби-Яу, порождающее СМ в
качестве эффективной РКТ, то это, во-первых, подтвердит притязания
теории струн на статус физической теории, а, во-вторых, будет означать
подлинную революцию в космологии. А именно, каждая компактификация соответствует некоторой Вселенной со своим набором частиц и
взаимодействий. Многообразие получающихся теорий суперструн называют струнным ландшафтом, а совокупность возможных Вселенных –
Мультивселенной. Практически все возможные Вселенные слишком примитивны, чтобы в них могла возникнуть разумная жизнь. Таким обра97
зом, гипотеза ландшафта наполняет конкретным содержанием антропный принцип: теория, описывающая нашу Вселенную, должна допускать
возможность существование человека.
Упражнение 10.1 Рассмотрите Вселенную, в которой массы u- и
d-кварков поменялись местами, а все остальные параметры “как у нас“.
Какие элементы останутся в результате первичного нуклеосинтеза? Будут ли в этой Вселенной звезды? А вода?
На первый взгляд, гипотеза Мультивселенной кажется настолько оторванной от реальности, что никаких наблюдаемых следствий иметь не
может. Однако в 2011 г. А.Старобинский и др. [12] выдвинули интересную теорию, проливающую свет на загадку отличной от нуля космологической постоянной Λ, которая обусловливает ускоренное расширение
нашей Вселенной. Можно считать Λ плотностью энергии вакуума, но
ведь энергия вакуума – просто начало отсчета энергии. С какой стати
это число не равно нулю и почему оно такое маленькое?!
Согласно предложенной теории ненулевая вакуумная энергия обусловлена существованием других вакуумов и возможностью квантового туннелирования между ними. Как и в квантово-механической задаче
про туннелирование между двумя ямами, истинный вакуум – состояние
наименьшей энергии – отвечает делокализованному состоянию, а если
Вселенная локализована в одном из вакуумов, ее энергия немного выше. Не вдаваясь в детали их достаточно сложной работы, заметим, что
идеи, возникающие в процессе поиска “единой теории всего“, зачастую
приводят к очень интересной физике!
98
Литература
[1] S.Weinberg, Cosmology, Cambridge University Press. 2008 (имеется
русский перевод: С.Вайнберг, Космология, URSS, 2012)
[2] А.Лайтман, В.Пресс, Р.Прайс, С.Тюкольски, Сборник задач по теории относительности и гравитации, Мир, 1979
[3] Д.С.Горбунов, В.А.Рубаков, Введение в теорию ранней Вселенной:
Теория горячего Большого взрыва, Издательство ЛКИ, 2008
[4] P.D.B.Collins, A.D.Martin, E.J.Squires, Particle Physics and
Cosmology, John Wiley & Sons, 1989 (есть в электронной библиотеке физтеха)
[5] Leonard Susskind & James Lindsey, An Introduction to BH,
Information, and the String Theory Revolution. (есть в электронной
библиотеке физтеха)
[6] S.Weinberg, The Quantum Theory of Fields, Vol.1, Foundations. Vol.2,
Modern Applications, Vol.3, Supersymmetry, Cambridge University
Press. 1998 (имеется русский перевод: С.Вайнберг, Квантовая теория поля, в 2-х томах, Физматлит, 2003)
[7] Тернов А.И., Введение в релятивистскую квантовую механику,
МФТИ, 1991
[8] М.Грин, Д.Шварц, Э.Виттен, Теория суперструн, Мир, 1990
[9] Б.Цвибах, Начальный курс теории струн, Изд. Едиториал УРСС.
2011
[10] Particle Data Group, Up-to-date Reviews on Modern Topics of
Fundamental Physics, http://pdg.lbl.gov
99
[11] А.Меринов, Галерея карикатур, http://www.mk.ru/merinov/
[12] C.Kiefer, F.Queisser, A.A.Starobinsky, Cosmological constant from
decoherence, http://arxiv.org/abs/1010.5331v2
100