ДИСПЕРСИЯ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ

Вычислительные технологии
Том 7, № 3, 2002
ДИСПЕРСИЯ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ
ЛИНЕАРИЗОВАННЫХ ВОЗМУЩЕННЫХ
РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ — СТОКСА
К. К. Шакенов
Казахский национальный университет
им. аль-Фараби, Алматы
e-mail: [email protected]
Application of implicit finite-difference scheme for linearized perturbed Navier — Stokes
equations leads to the system of linear equations. The estimation from the “unit” class with
explicit expression of dispersion is constructed for this system.
1. Аппроксимация линеаризованных возмущенных
уравнений Навье — Стокса
Пусть область Ω ⊂ R2 ограничена, и T > 0 фиксировано. Обозначим через Q цилиндр
Q = Ω × (0, T ). Для малого заданного ε > 0 рассмотрим начально-краевую задачу: найти
такую вектор-функцию W = (u, v) из Q в R2 , что
∂W
1
− ν4W − grad div W = f в Q,
∂t
ε
(1)
W = 0, x ∈ ∂Ω, t ∈ (0, T ), W = W0 , при t = 0,
(2)
где f (x, t) и W0 (x) = (u0 (x), v0 (x)) — заданные вектор-функции, причем f ∈ L2 (0, T ; H),
W0 ∈ H.
Аппроксимация задачи (1), (2) неявной схемой дает следующую систему уравнений
относительно компонент u, v вектора скорости жидкости в двумерном случае [1, 2]:
n
n
n
n
+
+ q3 uni−1,j + q4 vi−1,j
+ q5 uni,j+1 + q6 vi,j+1
+ q7 uni,j−1 + q8 vi,j−1
uni,j = q1 uni+1,j + q2 vi+1,j
n−1
n
n
n
+ dτ f1i,j
− eτ f2i,j
+ dun−1
+q10 uni+1,j−1 + q9 vi−1,j+1
i,j − evi,j ,
n
vi,j
=
n
n
+ q2 uni,j+1
+ q6 uni+1,j + q7 vi−1,j
+ q8 uni−1,j + q1 vi,j+1
n−1
n
n
n
+q10 vi−1,j+1
+ q9 uni+1,j−1 + dτ f2i,j
− eτ f1i,j
+ dvi,j
n
q5 vi+1,j
c К. К. Шакенов, 2002.
°
93
n
+ q3 vi,j−1
− eun−1
i,j ,
(3)
+
q4 uni,j−1 +
(4)
94
К. К. Шакенов
где
q1 =
q6 =
d=
c2
(a + b)c − b2
,
c 2 − b2
q2 = −
q7 =
c 1
,
− b2 τ
b 1
,
− b2 τ
c2
ab
,
− b2
ac − b2
,
c 2 − b2
bc − (a + b)b
,
c 2 − b2
e=
c2
q3 =
q8 = −
(a + b)c
,
c 2 − b2
(a + b)b
,
c 2 − b2
a = ν/h2 > 0,
q4 =
bc − ab
,
c 2 − b2
q9 = −
bc
,
2
c − b2
b = 1/(εh2 ) > 0,
q5 =
c2
q10 =
ac
,
− b2
b2
,
c 2 − b2
c = 4a + 2b + 1/τ > 0.
Здесь ν — коэффициент вязкости; ε — величина возмущения; τ — шаг по временной переменной; h — шаг по пространственным переменным.
Справедлива следующая лемма.
Лемма 1. При фиксированном ν > 0 всегда можно выбрать ε > 0 и τ > 0 такими, что
выполняется условие
10
X
|qi | < 1,
(5)
i=1
причем ε можно выбрать сколь угодно малым.
Доказательство леммы можно найти в работе [2].
Обозначим через Xn для n = 0, 1, 2, . . . , N вектор
Xn = {unα , vαn }, X0 = {u0α , v0α }, α = 1, 2, . . . , L.
Здесь n — номер временного слоя; α — номер узла; L — количество узлов; X0 — известный вектор, определяемый начальными данными W0 возмущенного уравнения Навье —
Стокса.
Теперь (3), (4) запишем в матричном виде
Xn = DXn + Gn , n = 1, 2, . . . , N,
(6)
где Gn = Fn + CXn−1 , Gn = (g1n , . . . , gLn ). Матрица D имеет следующую структуру: внутреннему узлу с номером α соответствует строка dα,1 , . . . , dα,L , в которой 10 элементов
равны q1 , . . . , q10 и dα,j1 6= dα,j2 для всех α и j1 6= j2 , а остальные — нули; граничному узлу
с номером α соответствует строка dα,1 = dα,2 = . . . = dα,L = 0; все диагональные элементы
n
n
dα,α = 0. Элементы вектора Fn = {Fαn } имеют следующую структуру: Fαn = dτ f1α
− eτ f2α
,
n
n
n
если узел номер α — внутренний и уравнение — из системы (3); Fα = dτ f2α − eτ f1α , если
узел номер α — внутренний и уравнение — из системы (4); Fαn = 0, если узел номер α —
граничный. Матрица C = {ci,j } имеет следующую структуру: cα,α = d, cα+1,α = −e, если
уравнение — из (4), и cα,α = d, cα,α+1 = −e, если уравнение — из (3).
Для системы (6) применима схема Неймана — Улама при фиксированном n, n =
1, . . . , N в силу леммы (1). Систему (6) решаем последовательно, в порядке возрастания
n, n = 1, 2, . . . , N .
2. Дисперсии оценок
Пусть Λ(Mn ) есть множество траекторий цепи Маркова длины Mn при условии, что почти
все траектории конечны и χΛ(Mn ) — характеристическая функция, т. е. χΛ(Mn ) — функция
траектории, равная 1, если траектория имеет длину Mn , и 0 в противном случае.
95
ДИСПЕРСИЯ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ
Обозначим через {p, ℘} , p = (p1 , . . . , pL ) , ℘ = kpi,j kL1 , цепь Маркова, удовлетворяющую условиям:
1) pi > 0, если zi 6= 0, i = 1, 2, . . . , L , где zi — компоненты заданного вектора Z;
2) pi,j > 0, если di,j 6= 0, i, j = 1, 2, . . . , L.
1
определим на траекториях марковской цепи i0 →
Для n = 1 случайную величину βM
1
i1 → . . . → iM1 длины M1 (на множестве Λ(M1 ) ), ωim — вероятность гибели частицы.
Если ωim > 0, то положим
∞
X
1
1
β̃M1 =
,
(7)
χΛ(M1 ) βM
1
M1 =0
1
где βM
1
=
M1
P
(m)
Ql
(m)
(m)
(i0 , . . . , il )zil , Qi (i0 , . . . , im ) = qi µi (i0 , . . . , im ), Qi (i0 , i1 , . . .) =
l=0
qim µi (i0 , , im , . . .), qi0 = gi10 /pi0 , qim+1 = qim
вектор, и, если ωim = 0, то
1
β̃m
=
∞
X
dim ,im+1
, вектор g1 = F1 + CX0 — известный
pim ,im+1
(8)
Q(i0 , i1 , . . .)zim .
m=0
1
В обоих случаях предполагается, что β̃m
суммируема на Λ(M1 ) . Если для некоторого набора
(M +1)
(i0 , . . . , im ) ∈ Ωh 1
выполнено
gi10 di0 ,i1 . . . diM1 −1 ,iM1 ziM1 6= 0,
(9)
pi0 pi0 ,i1 pi1 ,i2 . . . piM1 −1 ,iM1 ωiM1 > 0.
(10)
то для него же справедливо
1
1
Известно, что несмещенность E β̃M
= (Z, X1 ) оценки β̃M
имеет место для траекто1
1
рий марковской цепи бесконечной длины. Здесь и далее E — оператор математического
(m)
ожидания. В работах [3 – 7] изучены условия, налагаемые на µi требованием несмещен∞
P
1
1
при ωim > 0 для некоторого класса интегральных
χΛ(M1 ) βM
ности оценки типа β̃M
=
1
1
M1 =0
уравнений.
1
1
Теперь пусть оценка β̃M
ε1 — смещенная, т. е. E β̃M
= Z, X1 ) + ε1 . В этом случае,
1
1
очевидно, величина невязки для n = 1 системы (6) будет пропорциональной ε1 и невязка
стремится к нулю при стремлении длины цепи к бесконечности.
Перейдем на следующий временной слой. Пусть n = 2 и gε21 = g 2 + c1 ε1 , тогда, рассуждая аналогично случаю n = 1, для оценки
2
β̃M
=
2
∞
X
M2 =0
2
,
χΛ(M2 ) βM
2
2
βM
=
2
M2
X
(m)
Ql
(i0 . . . , im )zim +
l=0
2
= (Z, X2 ) + ε2 , где ε2 = (Z,
получим E β̃M
2
M2
X
(m)
Ql
(i0 . . . , im )ε1
l=0
M1
P
m=0
Dm ε1 ). Очевидно, что при M2 → ∞ ε2
стремится к (Z, (E − D)−1 ε1 ), а последнее выражение стремится к нулю при ε1 → 0.
Аналогично
∞
X
N
N
β̃MN =
,
χL(MN ) βM
N
MN =0
96
К. К. Шакенов
M
PN
M
PN (m)
N
(i0 , . . . , im )zim +
Ql (i0 , . . . , im )εN −1 . И для этой оценки E β̃M
=
N
l=0
l=0
µ M
¶
PN m N −1
N
N
N
(Z, X ) + ε , где ε = Z,
D ε
, причем при MN → ∞ εN стремится к (Z, (E −
N
где βM
=
N
(m)
Ql
m=0
D)−1 εN −1 ), а последнее выражение стремится к нулю при εN −1 → 0.
Таким образом, εN можно рассматривать как некоторую известную функцию εN =
=(ε1 , . . . , εN −1 ), причем =(ε1 , . . . , εN −1 ) → 0 при εi → 0 для всех i = 1, . . . , N −1. Последнее
условие связано с условием Mi → ∞, i = 1, . . . , N .
¯
Mi ¯
∞
P
P
¯ (Mi ) ¯
χΛ(Mi )
Допустим, что ωim > 0 и
¯Ql zil ¯ , i = 1, . . . , N , суммируема на мноMi =0
(Mn )
жестве траекторий Λ
i
E β̃M
i
l=0
. Вычислим для всех i = 1, . . . , N
=
Mi X
∞ X
X
gii0 di0 ,i1
Mi =0 m=0 |Mi +1|
∞
X
+
½
(m)
. . . dim−1 ,im zim µi ωim +
(k)
µi pim ,im+1
X
¾
Приравнивая полученное выражение и выражение
получаем достаточное условие несмещенности
Mi X
∞ X
X
gii0 di0 ,i1
Mi =0 m=0 |Mi +1|
∞
X
−
µ
Z,
Mi
∞ P
P
m i
D g
Mi =0 m=0
¶
,
i = 1, . . . , N ,
½
(m)
. . . dim−1 ,im zim 1 − µi ωim −
(k)
µi pim ,im+1
X
(11)
. . . pik−1 ,ik ωik .
k=Mi +1 |Mk −Mi |
. . . pik−1 ,ik ωik
k=Mi +1 |Mk −Mi |
¾
= 0.
(12)
Отсюда следует “дискретный аналог” достаточного условия несмещенности, если приравнять к нулю выражение в фигурных скобках
∞
X
X
(m)
(k)
µi ωim +
µi pim ,im+1 . . . pik−1 ,ik ωik = 1, im = 0, 1, . . . , i = 1, 2, . . . , N. (13)
k=Mi +1 |Mk −Mi |
Далее предположим, что функция траектории
∞
P
Mi =0
¶2
µM ¯
Pi ¯ (Mi ) ¯¯
χΛ(Mi )
¯Ql zil ¯ , i = 1, . . . , N ,
l=0
суммируема. Тогда
∞
´2
³
X
X (gii di0 ,i1 . . . dim−1 ,im )2 zim ½³ (m) ´2
i
0
E β̃Mi =
µi
ωim zim +
p
i0 pi0 ,i1 . . . pim−1 ,im
M =0
i
+zim
|Mi +1|
∞
X
X
k=Mi +1 |Mk −Mi |
∞
X
+2
X
j=Mi +1 |Mj −Mi |
+
∞
X
´2
³
(k)
µi
pim ,im+1 . . . pik−1 ,ik ωik +
·
(j) (j)
dim ,im+1 . . . djm−1 ,jm zjm µi µj ωjm +
X
k=Mj +1 |Mk −Mj |
(k) (k)
µi µj pjm ,jm+1
. . . pkm−1 ,km
¸¾
.
(14)
97
ДИСПЕРСИЯ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ
Если обозначим через
αi =
³
(m)
µi
´2
2
∞
X
ωim zim + zim
X ³ (k) ´2
pim ,im+1 . . . pik−1 ,ik ωik +
µi
k=Mi +1 |Mk −Mi |
∞
X
X
j=Mi +1 |Mj −Mi |
+
∞
X
·
(j) (j)
dim ,im+1 . . . djm−1 ,jm zjm µi µj ωjm +
X
(k) (k)
µi µj pjm ,jm+1
k=Mj +1 |Mk −Mj |
¸
(15)
. . . pkm−1 ,km ,
то получим следующую теорему:
Теорема 1. Если оценка
i
β̃M
i
=
∞
X
i
,
χΛ(Mi ) βM
i
где
i
βM
i
Mi =0
несмещена и
=
Mi
X
(Mi )
Qi
(i0 , . . . , im )zim ,
i = 1, 2, . . . , N,
m=0
∞
X
Mi =0
!
ÃM
i ¯
¯ 2
X
¯ (Mi ) ¯
χΛ(Mi )
¯Ql zil ¯ ,
i = 1, . . . , N,
l=0
суммируема, то ее дисперсия конечна и равна
i
Dβ̃M
i
∞
X
X (gii di0 ,i1 . . . dim−1 ,im )2 zim
0
=
αi − (Z, Xi )2 ,
pi0 pi0 ,i1 . . . pim−1 ,im
M =0
i
i = 1, . . . , N.
|Mi +1|
Список литературы
[1] Темам Р. Уравнения Навье — Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981.
[2] Ермаков С. М., Шакенов К. К. О применении метода Монте-Карло к уравнениям
Навье — Стокса // Вест. ЛГУ. Сер. Математика, механика, астрономия. Л., 1986 (Деп.
в ВИНИТИ 26.06.86. 6267 – В86).
[3] Хисамутдинов А. И. “Единичный” класс оценок для вычисления по методу МонтеКарло функционалов от решения интегрального уравнения 2-го рода // Журн. вычисл.
математики и мат. физики. 1970. Т. 10, №5. C. 1269–1280.
[4] Хисамутдинов А. И. Оценки “единичного” класса с минимальной дисперсией // Вероятностные методы решения задачи математической физики: Сб. науч. тр. Новосибирск, 1971. C. 184–210.
[5] Ермаков С. М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1975.
[6] Михайлов Г. А. Оптимизация весовых методов Монте-Карло. М.: Наука, 1987.
[7] Михайлов Г. А. Весовые методы. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000.
Поступила в редакцию 27 июня 2001 г.,
в переработанном виде — 11 января 2002 г.