Лабораторная работа № 1.08

Лабораторная работа 1.08
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МЕТОДОМ
КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
И.А. Анищенко, А.Ю. Пыркин
Цель работы: Определение момента инерции вращающегося диска с горизонтальным стержнем с симметрично прикрепленными дополнительными гирями.
Задание: определить коэффициент кручения D пружины;
определить зависимость момента инерции J вращающегося диска
с горизонтальным стержнем с симметрично прикрепленными дополнительными гирями от расстояния r гирь от оси вращения;
определить зависимость момента инерции J от значения массы m
добавляемых гирь; построить графики зависимости момента
инерции J от квадрата расстояния гирь от оси вращения для двух
дополнительных гирь различной массы m.
Подготовка к выполнению лабораторной работы: изучить
основные положения теории динамики вращательного движения
твердого тела, ознакомиться с измерительной аппаратурой. Ответить на контрольные вопросы.
Библиографический список
1. Савельев И.В. Курс общей физики. - М.: АСТ, 2002, т.1, §§
2. Сивухин Д.В.общий курс физики. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006,
т.1, §§33-36,40-42
1.
2.
3.
4.
Контрольные вопросы
Что является мерой инертности при вращательном движении?
Как определить момент инерции материальной точки, системы материальных точек, твердого тела относительно оси?
От чего зависит момент инерции твердого тела массой m относительно оси вращения?
Получите формулу для расчета погрешности при определении
момента инерции J0.
5. Рассчитайте момент инерции стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его центр.
6. Чему равен момент инерции диска относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр?
7. Запишите, чему равен период крутильных колебаний диска.
8. Как зависит период крутильных колебаний от массы грузов и
расстояния, на котором они прикреплены?
9. Запишите, чему равен период колебаний физического маятника.
10. Сформулируйте теорему Штейнера.
Теоретическое введение
Момент инерции является мерой инертности тел при их
вращательном движении. Моментом инерции материальной точки относительно некоторой оси называется величина, равная
произведению массы материальной точки на квадрат её расстояния от данной оси
(1)
J  mr 2 .
Моментом инерции твердого тела относительно некоторой
оси называется величина, равная сумме произведений элементарных масс, на которые можно разбить данное тело, на квадраты их
расстояний от данной оси
J   mi ri2 .
(2)
i
Взяв элементы, на которые разбивается тело, бесконечно малыми, можно перейти от суммирования к интегрированию
(3)
J   r 2 dm.
Это позволяет вычислить моменты инерции тел правильной геометрической формы. Для тел произвольной формы момент инерции определяется опытным путем.
В данной лабораторной работе момент инерции определяется методом крутильных колебаний. Если вращающийся диск с
горизонтальным стержнем упруго соединен цилиндрической
пружиной с жесткой стойкой, момент инерции можно определить
по периоду крутильных колебаний диска с горизонтальным
стержнем относительно его положения покоя. Период крутильных колебаний вращающегося диска с горизонтальным стержнем
определяется выражением
J
(4)
T0  2 0 ,
D
где D –коэффициент кручения пружины. Из выражения (4) получаем уравнение для определения момента инерции вращающегося диска с горизонтальным стержнем
T0 2
(5)
J0  D 2 .
4
Момент инерции системы, состоящей из вращающегося
диска с горизонтальным стержнем, к которому симметрично на
расстоянии r от оси вращения, крепятся две дополнительные гири
массой m, определяется выражением
J=J0+2mr2,
(6)
где J0 – момент инерции системы без дополнительных гирь.
Период колебаний вращающегося диска с горизонтальным
стержнем и прикрепленными к стержню гирями равен
J 0  2mr 2
J
T  2
 2
.
(7)
D
D
Момент инерции системы, состоящей из вращающегося диска с
горизонтальным стержнем, к которому симметрично крепятся
две дополнительные гири, определяется из (7) выражением
T2
(8)
J D 2.
4
Решив систему уравнений (5-7), получаем формулу для определения коэффициента кручения цилиндрической пружины
2
2 2mr
(9)
D  4
,
2
2
T  T0
где m - масса одной из двух дополнительных гирь, r - расстояние
гирь от оси вращения, T0 - период колебаний вращающегося диска со стержнем без дополнительных гирь, T - период колебаний
вращающегося диска со стержнем с дополнительными гирями.
Описание аппаратуры и метода измерений
Схема установки показана на рис. 1. Пояснения к рисунку:
1 - вращающаяся система на воздушной подушке,
2 - лазерный отражательный датчик,
3 - цифровой счетчик,
4 - горизонтальный стержень,
5 - дополнительные гири, прикрепленные к горизонтальному стержню.
6 - цилиндрическая пружина,
7 – компрессор.
7
6
4
5
1
8
2
3
Рис. 1
Порядок выполнения работы
1. Отклонить вращающийся диск со стержнем (без дополнительных гирь) на 20º по шкале от нулевого положения.
2. Включить компрессор 7 красным тумблером 8 и дать колебаниям установиться, выждав 1 мин.
3. Включить в сеть цифровой счетчик 3, который измеряет период колебаний, и нажать на цифровом счетчике 3 кнопку
START, после окончания измерения нажать кнопку STOP и
кнопку RESET (сброс).
4. С дисплея цифрового счетчика 3 снять три показания периода
колебаний T0 (первое показание не учитывать) вращающегося
диска со стержнем (без дополнительных гирь). Занести показания в табл. 1.
5. Проделать пункты 1-4 для системы из вращающегося диска со
стержнем и прикрепленными симметрично к стержню двумя
гирями, массой m=50 г, установив их на расстоянии r=20 см
от оси вращения. Показания периода колебаний T системы из
вращающегося диска со стержнем и гирями занести в табл.1.
Таблица 1
N
1
2
3
Среднее значение
T 0, с
T, с
6. Проделать пункты 1-4 для системы из вращающегося диска со
стержнем и прикрепленными симметрично к стержню двумя
одинаковыми гирями. Массы гирь взять сначала m1=12,5 г,
потом m2=25 г. Расстояния, на котором крепятся гири, изменять от 2 до 20 см с шагом 2 см. Показания периодов колебаний T системы снять с дисплея цифрового счетчика 3 (первое
показание не учитывать) и занести в таблицы 2 и 3.
Таблица 2
N
1
2
3
…
m1, г
r, см
T, с
J, кг·м2
Таблица 3
N
1
2
3
…
1.
2.
3.
4.
5.
6.
m2, г
r, см
T, с
J, кг·м2
Обработка результатов измерений
Определить коэффициент кручения цилиндрической пружины
по формуле
2
2 2mr
(10)
D  4
.
2
2
T  T0
где T0, T - средние значения (из табл. 1) периодов колебаний
диска со стержнем (без дополнительных гирь) и с гирями,
m = 50 г, r = 20см.
Определить относительную погрешность по формуле
T
D
 m
r
T
E
2

2 2
2 0 ,
(11)
D

m
r
T
T0
где
Δπ=0,005
при
π=3,14;
Δm=0,5 г,
Δr=0,5 мм,
-3
ΔT = ΔT0 = 0,5  10 с
Определить абсолютную погрешность по формуле
ΔD=D·E.
(12)
Записать результат в виде D ±ΔD.
Рассчитать момент инерции вращающегося диска с горизонтальным стержнем (без дополнительных гирь) по формуле
T02
(13)
J0  D 2 ,
4
где T0 -среднее значение (из табл. 1) периода колебаний диска
со стержнем (без дополнительных гирь).
Определить относительную погрешность для J0 по формуле
J
T
 D
E 0 2

2 0 ,
(14)
J0

D
T0
Определить абсолютную погрешность по формуле
ΔJ0=J0·E.
(15)
Результат представить в виде J0 ±ΔJ0.
7. Рассчитать момент инерции системы, состоящей из вращающегося диска с горизонтальным стержнем, к которому симметрично крепятся две дополнительные гири по формуле
T2
(16)
J D 2.
4
Результаты расчетов моментов инерции, для системы из вращающегося диска со стержнем и прикрепленными симметрично к стержню двумя одинаковыми гирями, занести в таблицы 2, 3.
8. Построить графики зависимости момента инерции системы от
квадрата расстояния гирь от оси вращения (для дополнительных гирь разной массой m1 = 12,5 г, m2 = 25 г).