Домашняя работа по алгебре за 7 класс

Реклама
Домашняя работа
по алгебре за 7 класс
к задачнику «Алгебра. 7 класс: Задачник для
общеобразоват. учреждений. — 3-е изд., доработ.»
А.Г. Мордкович и др.
-М.: «Мнемозина», 2000 г.
Часть I
учебно-практическое пособие
СОДЕРЖАНИЕ
ГЛАВА 1. Математическая модель,
математический язык................................................................4
§ 1. Числовые и алгебраические выражения ....................................... 4
§ 2. Что такое математический язык .................................................. 18
§ 3. Что такое математическая модель ............................................... 20
ГЛАВА 2. Степень
с натуральным показателем и ее свойства.........................29
§ 4. Что такое степень с натуральным показателем.......................... 29
§ 5. Таблица основных степеней......................................................... 33
§ 6. Свойства степеней с натуральными показателями .................... 37
§ 7. Умножение и деление степеней
с одинаковыми показателями.............................................................. 43
§ 8. Степень с нулевым показателем .................................................. 46
ГЛАВА 3. Одночлены. Операции над одночленами..........49
§ 9. Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена..................... 49
§ 10. Сложение и вычитание одночленов .......................................... 52
§ 11. Умножение одночленов.
Возведение одночлена в натуральную степень ................................. 62
§ 12. Деление одночлена на одночлен................................................ 68
ГЛАВА 4. Многочлены. Операции над многочленами 71
§ 13. Основные понятия....................................................................... 71
§ 14. Сложение и вычитание многочленов ........................................ 76
§ 15. Умножение многочлена на одночлен........................................ 81
§ 16. Умножение многочлена на многочлен...................................... 91
§ 17. Формулы сокращенного умножения ......................................... 98
§ 18. Деление многочлена на одночлен............................................ 111
ГЛАВА 5. Разложение многочленов на множители.........116
§ 19. Что такое разложение многочленов
на множители и зачем оно нужно..................................................... 116
§ 20. Вынесение общего множителя за скобки ............................... 119
§ 21. Способ групировки ................................................................... 123
§ 22. Разложение многочлена на множители
с помощью формул сокращенного умножения............................... 127
§ 23. Разложение многочлена на множители
с помощью комбинаций различных приемов.................................. 138
§ 24. Сокращение алгебраических дробей....................................... 143
www.5balls.ru
§ 25. Тождества .................................................................................. 156
www.5balls.ru
ГЛАВА 1. Математическая модель,
математический язык
§ 1. Числовые и алгебраические выражения
№1
а) 3,5 +4,5=8;
б) 3,5+(−4,5)= –1;
в) −3,5 +4,5=1;
г) –3,5+(−4,5)=−8.
№2
а) 3,5–4,5=−1;
б) 3,5−(−4,5)=8;
в) −3,5−4,5=−8;
г) –3,5−(−4,5)=1.
№3
а) 15+7,5=22,5;
б) 36,6−5Ошибка!=36Ошибка!−5Ошибка!=Ошибка!=
Ошибка!;
в) 13,7·3,5=Ошибка!
г) 7Ошибка!
№4
а) 1,5 · 3 = 4,5;
в) 1,5 · (−3) = −4,5;
б) −1,5 · 3 = −4,5;
г) −1,5 · (−3)=4,5.
№5
а) 1,5 : 3 = 0,5;
в) 1,5 : (−3)= −0,5;
б) −1,5 : 3 = −0,5;
г) −1,5 : (−3)=0,5.
№6
а) Ошибка!;
1) Ошибка!;
2) Ошибка!;
б) Ошибка!;
1) Ошибка!;
2) Ошибка!;
в) Ошибка!
www.5balls.ru
1) Ошибка!;
1 15 10 45 + 10 55
1
2) 15 + 3 =
+
=
=
= 18 ;
3 1
3
3
3
3
г) Ошибка!
1) Ошибка!;
2) Ошибка!;
3) 5 + 10 = 15.
№7
1
3
1
5
а) (4 + 3 ) : 113 =
1
;
15
1) Ошибка!;
2) Ошибка!;
1
3
1
5
б) 17 : (4 − 3 ) = 15 ;
1) Ошибка!;
2) Ошибка!;
в) Ошибка!;
1) Ошибка!;
2) Ошибка!;
3) Ошибка!;
г) Ошибка!;
1) Ошибка!;
2) Ошибка!;
3) Ошибка!.
№8
а) Ошибка!;
1) Ошибка!;
2) Ошибка!;
3) 3 + 3 = 6 ;
б) Ошибка!;
1) Ошибка!;
2) Ошибка!;
в) Ошибка!;
1) Ошибка!;
2) Ошибка!;
www.5balls.ru
г) Ошибка!;
1) Ошибка!;
2) Ошибка!;
3) Ошибка!.
№9
а) (0,018 + 0,982) : (8 · 0,5 – 0,8) = 0,3125;
1) 0,018 + 0,982 = 1; 2) 8 · 0,5 − 0,8 = 4 − 0,8 = 3,2; 3) 1 : 3,2 =
0,3125;
б) Ошибка!
Ошибка!;
в) (0,008 + 0,992) : (5 · 0,6 – 1,4) = 1 : (3 – 1,4) = 1: 1,6 = 0,625;
г) Ошибка!
= 135 · 3300 · 91 : 13 = 135 · 3300 · 7 = 3118500.
№ 10
а) Ошибка!;
б) Ошибка!;
1) 2,5 · 16 = 40;
1) Ошибка!;
2) Ошибка!;
2) 6 – 2,4 = 3,6;
в) (24 +5,6) · (24 – 5,6) = 544,64;
г) Ошибка!;
1) 24 + 5,6 = 29,6;
1) Ошибка!;
2) 24 – 5,6 = 18,4; 3) 29,6 · 18,4 = 544,64;
2) Ошибка!.
№ 11
а) Ошибка!;
б) Ошибка!;
1) Ошибка!;
2) 3,25 – 1,25 = 2;
в) (25 + 5,2) · (25 – 5,2) = 30,2 · 19,8 = 597,96;
г) Ошибка!;
1) Ошибка!;
2) Ошибка!.
№ 12
а) Ошибка!
б) Ошибка!
в) Ошибка!
г) Ошибка!
№ 13
а) 2 – 4,5 = –2,5;
www.5balls.ru
б) (2,3 + (–14,8)) : 5 = –12,5 : 5 = –2,5;
в)Ошибка!;
г) 6 + 2,4 – 10,9 = 8,4 – 10,9 = –2,5.
№ 14
а) Переместительный закон сложения.
б) Переместительный закон умножения.
в) Сочетательный закон сложения.
г) Распределительный закон сложения относительно умножения.
№ 15
а) Ошибка!;
1) Ошибка!; 2) Ошибка! 3) 4 + 2 = 6;
б) Ошибка!;
1) Ошибка!; 2) Ошибка!; 3)17 ·1 7 = 289.
в)
Ошибка!Ошибка!
= Ошибка!;
г) Ошибка!
4
9
1
5
= 18 − 8 =
166 41 830 − 369 461
11
−
=
=
= 10 .
9
5
45
45
15
№ 16
а) 4,16 + 2,5 + 6,04 + 3,5 = 4,16 + 6,04 + 2,5 + 3,5 = 10,2 + 6 =
16,2;
б) 7,3 + 1,6 – 0,3 – 0,6 = 7,3 – 0,3 + 1,6 – 0,6 = 7 + 1 = 8;
в) –1,06 + 0,04 – 7,04 + 2,16 = – 1,06 + 2,16 –7 = 1,1 – 7 = –5,9;
г) 18,9 – 6,8 – 5,2 – 4,1 = 12,1 – 4,1 – 5,2 = 8 – 5,2 = 2,8.
№ 17
а) 7,8 · 6,3 + 7,8 · 13,7 = 7,8 · ( 6,3 + 13,7 ) = 7,8 · 20 =15,6
б) 6,95 · 3,42 · 5,05 = 6,95 · 3,42 · ( 5 + 0,05 ) = 6,95 · ( 17,1 +
0,171 ) =
= ( 7 – 0,05 ) · 17,271 = 120,897 – 0,86355 = 120,03345;
в) 17,96 · 0,1 – 0,1 · 81,96 = 0,1 · ( 17,96 – 81,96 ) = 0,1 · (– 64 )
= – 6,4;
г) 4,03 · 27,9 – 17,9 · 4,03 = 4,03 · ( 27,9 – 17,9 ) = 4,03 · 10 =
40,3.
№ 18
а) Ошибка!
б) Ошибка!
www.5balls.ru
в) Ошибка!
г) 6
1
1
· 4,8 + 6 · 5,2 = 6,2 · (4,8 + 5,2) = 6,2 · 10 = 62.
5
5
№ 19
а) а · 60 · 60 = а · 3600 – секунд в а часах;
б) X · 24 · 60 = X · 1440 – минут в X сутках;
в) X · 1000 : 60 = X · Ошибка! – Ошибка!
г) u : 1000 · 3600 = u · 36 : 10 = u · 18 : 5 = 3,6 · u км/ч.
№ 20
а) x = –3,5; 3x = 3 · (–3,5) = –10,5; б) x = –1; 3x = 3 · (–1) = –3;
в) Ошибка!;
г) Ошибка!.
№ 21
а) y = –1; –5y = –5 · (–1) = 5;
б) y = 0; –5y = –5 · 0 = 0;
в) y = 1; –5y = –5 · 1 = –5;
г) y = 3,4; –5y = –5 · 3,4 = –17.
№ 22
а) a = 3, d = 2; 48a + 12d = 48 · 3 + 12 · 2 = 144 + 24 = 168;
б) u = 6, v = 1; u – 3uv = 6 – 3 · 6 · 1 = 6 – 18 = –12;
в) z = –8, t = –2; 8z – 11t = 8 · (–8) – 11 · (–2) = –64 + 22 = –42;
г) p = –3, q = 6; 5p – 4q = 5 · (–3) – 4 · 6 = –15 – 24 = –39.
№ 23
A
B
2A–2B
1
1
0
2
3
–2
3
2
2
Ош
Ош
Ош
Оши
Оши
Оши
1) 2 · 1 – 2 · 1 = 2 – 2 = 0;
2) 2 · 2 – 2 · 3 = 4 – 6 = –2;
3) 2 · 3 – 2 · 2 = 6 – 4 = 2;
4) Ошибка!;
5) Ошибка!;
6) 2 · (–3) – 2 · (–2) = –6 + 4 = –2;
7) 2 · (–2) – 2 · (–3) = 6 – 4 = 2;
8) 2 · (–1) – 2 · (–1) = –2 + 2 = 0.
www.5balls.ru
–3
–2
–2
–2
–3
2
–1
–1
0
№ 24
A
B
2AB–1
1
1
1
2
3
11
3
2
11
Оши
Оши
Оши
Оши
Оши
Оши
–3
–2
11
–2
–3
11
–1
–1
1
1) 2 ·1 · 1 – 1 = 2 – 1 = 1; 2) 2 · 2 · 3 – 1 = 12 – 1 = 11;
3) 2 · 3 · 2 – 1 = 12 – 1 = 11;
4) Ошибка!;
5) Ошибка!;
6) 2 · (–3) · (–2) – 1 = 12 – 1 =11;
7) 2 · (–2) · (–3) – 1 = 12 – 1 =11;
8) 2 · (–1) · (–1) – 1 = 2 – 1 =1.
№ 25
a+b = 10, c = 7.
а) a + b +2 · c = 10 + 2 · 7 = 10 + 14 = 24;
б) (a + b) : 2 – c = 10 : 2 – 7 = 5 – 7 = –2;
в) Ошибка!;
г) Ошибка!.
№ 26
а) Если a – b = 12, то b – a = –1 · (a – b) = –1 · 12 = –12;
б) Если c – d = 0, то d – c = 0.
№ 27
Ошибка! – ?
а) a = 1, b = 2; Ошибка!;
б) a = 3, b = 1; Ошибка!;
в) a = 1,4, b = 1; Ошибка! a + b =1,4 + 1 = 2,4;
г) a = –3, b = 1; Ошибка!a + b = –3 + 1 = –2.
№ 28
а) x=2, y=3; Ошибка!;
б) x=1,5, y=Ошибка!; Ошибка!;
в) x = –2, y = 0; Ошибка!
г) x = 1,3, y = –0,5; Ошибка!.
№ 29
а) x = 7, y = 4; 5x – 3y = 5 · 7 – 3 · 4 = 35 – 12 = 23;
б) x = 6,5, y = 2,1; 5x – 3y = 5 · 6,5 – 3 · 2,1 = 32,5 – 6,3 = 26,2;
в) x = Ошибка!, y = Ошибка!; 5x – 3y = 5 · Ошибка! – 3 ·
Ошибка! = 62 – 29 = 33;
www.5balls.ru
г) x = 18, y = 7,4; 5x – 3y = 5 · 18 – 3 · 7,4 = 90 – 22,2 = 67,8.
№ 30
а) a = 20, b = 12; Ошибка!Ошибка!;
б) a = 2,4, b = 0,8; Ошибка!Ошибка!;
в) a = 10,8, b=6; Ошибка!Ошибка!;
г) a = 12, b=5,6; Ошибка!Ошибка!.
№ 31
а) x = 8, y = 3; x2 + 2xy + y2 = 64 + 2 · 8 · 3 + 9 = 64 + 48 + 9 =
121;
(x+y)2 = 112 = 121;
б) x = 7,6, y = 1,4; x2 + 2xy + y2 = 57,76 + 2 · 7,6 · 1,4 + 1,96 =
= 57,76 + 21,28 +1,96 = 81; (x+y)2 = 92 = 81;
в) x = 10, y = 2,6;
x2 + 2xy + y2 = 100 + 2 · 10 ·2,6 + 6,76 =
= 100 + 52 + 6,76 = 158,76; (x+y)2 = 12,62 = 158,76;
г) x = 1,5, y = 3; x2 + 2xy + y2 = 2,25 + 2 · 1,5 · 3 + 9 =
= 2,25 + 9 + 9 = 20,25; (x+y)2 = 4,52 = 20,25.
№ 32
а) a = 13, b = 12;
a – b = 13 – 12 = 1;
Ошибка!;
б) a = 2,4, b = 2,3; a – b = 2,4 – 2,3 = 0,1;
Ошибка!;
в) a = 3,5, b = 2,5; a – b = 3,5 – 2,5 = 1;
Ошибка!;
г) a = 7,4, b = 3,6; a – b = 7,4 – 3,6 = 3,8;
Ошибка!
№ 33
а) x – любое число;
б) а – не равно нулю;
в) y – любое число;
г) b – не равно нулю.
№ 34
а) x – не равно (–3);
б) а – не равно (–2);
www.5balls.ru
в) d – не равно (–9);
г) c – не равно (–13).
№ 35
а)z – не равно 3; б) t – не равно 2; в) m – не равно 9; г) n – не
равно 6.
№ 36
а) 5x = 150; б) 6x = –54;
0,25;
x = 150 : 5; x = –54 : 6;
0,5);
x = 30;
x = –9;
в) –0,7x = 343;
г) –0,5x = –
x = 343 : –0,7;
x = –0,25 : (–
x = –490;
x = 0,5.
№ 37
а) 7x + 9 = 100;
б) 1,4x – 0,8 = 7; в) Ошибка!;
г) 17,5x – 0,5 = 34,5;
7x = 100 – 9; 1,4x = 7 + 0,8; Ошибка!;
17,5x = 34,5 + 0,5;
x = 91 : 7;
x = 7,8 : 1,4;
Ошибка!;
x = 35 : 17,5;
x = 13;
x = Ошибка!; x = 1;
x = 2.
№ 38
а) 13x + 9 = 35 + 26x;
13x – 26x = 35 – 9;
x = 26 : (–13);
x = 2;
в) 0,81x – 71 = 1,11x +1;
0,81x – 1,11x = 1 + 71;
–0,3x = 72;
x = –240;
б) Ошибка!;
Ошибка!;
Ошибка!;
x = 6;
г) Ошибка!;
Ошибка!;
Ошибка!;
y = 60.
№ 39
а) u = –1,5, v = 2,4;
(–1,5 + 2,4)2 = 0,92 = 0,81 ; –1,52 + 2,42 = 2,25 + 5,76 = 8,01 ;
б) u = 3,1, v = –0,8;
Ошибка!;
в) u = 14, v = 1,4;
(14 + 1,4)2 = 15,42 = 237,16 ; 142 + 1,42 = 196 + 1,96 = 197,96 ;
г) u = –1,2, v = –2,8;
(–1,2 + (–2,8))2 = –42 = 16 ; –1,22 + –2,82 = 1,44 + 7,84 = 9,28 .
www.5balls.ru
№ 40
а) 3x – 2 = 10;
3x = 12;
x = 12 : 3;
x = 4;
№ 41
а) 2 · 5k = 4k + 12;
10k – 4k = 12;
6k = 12;
k = 2;
б) 4y –1 = 3y + 5;
4y – 3y = 5 + 1;
y = 6.
б) p + 3 = 4 · (7p – 33);
p + 3 = 28p – 132;
p – 28p = –132 –3;
–27p = –135;
p = 5.
№ 42
а) Ошибка!;
б) Ошибка!;
в) Ошибка!;
г) (–10 + 15) : 6 = 5 : 6 =Ошибка!.
№ 43
а) Ошибка!;
б) Ошибка!;
в) (–17 + 1) : 5 = –16 : 5 = Ошибка!;
г) Ошибка!.
№ 44
а) Ошибка!;
1) Ошибка!;
2) Ошибка!;
3) Ошибка!;
4) Ошибка!;
б) Ошибка!;
1) Ошибка!;
2) Ошибка!;
3) Ошибка!;
4) 2,62 – 0,3 = 2,32;
в) Ошибка!;
1) Ошибка!;
2) Ошибка!;
3) Ошибка!;
www.5balls.ru
4) Ошибка!
г) Ошибка!;
1) Ошибка!;
2) Ошибка!;
3) Ошибка!; 4) 2,34 – 0,1 = 2,24.
№ 45
а) 18 · (182 – 122) = 18 · (324 – 144) 18 · 180 = 3240 ;
б) Ошибка!;
в) 18 + 18 : 12=18 + 1,5 = 19,5; г) 18 · 12 – 18 : 12 = 216 – 1,5 =
214,5.
№ 46
а) Ошибка!;
б) Ошибка!
= Ошибка!;
в) Ошибка!
= Ошибка!;
г) 7,2 · 6,4 – 7,2 : 6,4 = 46,08 – 1,125 = 44,955 .
№ 47
A
B
C
A2 + 2 BC + 7
A2 + 3 B 2 + C
( A + B)( B + C )
( A + B)2
B( A + B + C )
ABC
( A + 3B )CA2
A2 B 2 + 2C
–3
2
7
–2
4
–3
–1
6
5
0
3
–2
1
5
4
3
–2
1
6
0
8
Ош
Ош
Ош
Ош
Ош
Ош
Оши
–9
Ош
Ош
Ош
Ош
–1
Оши
–3
2
–5
–6
Ош
3
–42
Ош
Ош
Ош
Ош
Ош
Ош
Оши
№ 48
а) Ошибка!;
1) Ошибка!;
2) 1,05 – 1,8 = –0,75;
3) –0,75 · 0,4 = –0,3; 4) –0,3 + 0,3 = 0;
б) Ошибка! – дробь не равна нулю;
1) Ошибка!; 2) Ошибка!;
www.5balls.ru
3) Ошибка!; 4) 3 – 0,5 = 2,5;
Числитель дроби не равен нулю, значит и сама дробь не равна
нулю.
№ 49
а)
3,5 · 1,24
– дробь не имеет смысла;
3

10 + 1,6 :  · 0,4 − 0,4 
5

1) Ошибка!;
2) 0,24 – 0,4 = –0,16;
3) 1,6 : (–0,16) = 160 : (–16) = –10;
4) 10 + (–10) = 0;
Знаменатель дроби равен нулю, значит дробь не имеет смысла;
б) Ошибка! – дробь смысла не имеет;
1) Ошибка!;
2) Ошибка!;
3) Ошибка!;
4) Ошибка!;
Знаменатель дроби равен нулю, значит дробь смысла не имеет.
№ 50
а) 7 · 6 + 24 : 3 – 2 = 42 + 8 – 2 = 48 – наименьшее;
б) 7 · (6 + 24 : (3 – 2)) = 7 · (6 + 24) = 7 · 30 = 210 – наибольшее.
№ 51
а) (1 + 23 – 4) · 5 = 20 · 5 = 100;
б) 111 – 11 = 100;
в) (5 + 5 + 5 + 5) · 5 = 100; г) (1 + 23 – 4) · 5 – 6 + 7 + 8 – 9 =
100.
№ 52
1) 4 + 4 – 4 – 4 = 0;
2) 4 : 4 –4 + 4 = 1;
3) 4 : 4 + 4 : 4 =
2;
4) (4 + 4 + 4) : 4 = 3; 5) (4 – 4) · 4 + 4 = 4;
6) (4 · 4 + 4) : 4
7) (4 + 4) : 4 + 4 =6; 8) 44 : 4 – 4 = 7;
9) 4 · 4 – 4 – 4 =
=5;
8;
10) 4 + 4 + 4 : 4 = 9; 11) (44 – 4) : 4 = 10.
www.5balls.ru
§ 2. Что такое математический язык
№ 53
а) a + b; б) с – d; в) x · y; г) t : v.
№ 54
а) (z + x) : 2; б) (p – q) : 2; в) x2 ; г) y3 .
№ 55
а) x + a · b; б) y – a : b; в) a · (b + c); г) z : (x – y).
№ 56
а) (m + n ) : 3; б) (p – q) · 2; в) (x + y) · 2 · z; г) p : (a + b) : 2.
№ 57
а) (a + b)2 ; б) (x – y)3 ; в) t2 – w2 ; г) c3 + d3 .
№ 58
а) Ошибка!; б)Ошибка!; в)Ошибка!; г) Ошибка!.
№ 59
а) Сумма чисел x и 2;
б) Разность чисел c и d;
в) Произведение чисел 8 и z;
г) Частное от деления числа p на
q.
№ 60
а) Сумма квадратов чисел a и b;
б) Разность квадратов
чисел x и y;
в) Сумма кубов чисел z и t; г) Разность кубов чисел m и n.
№ 61
а) Квадрат суммы чисел s и p;
б) Квадрат разности чисел u и v;
в) Куб суммы чисел p и q;
г) Куб разности чисел f и q.
№ 62
а) Отношение суммы чисел x и y к числу 2;
б) Отношение разности чисел a и b к числу 2;
в) Отношение произведения чисел x и y к их удвоенной разности;
г) Отношение суммы чисел x и y к их произведению.
www.5balls.ru
№ 63
а) a + b = b + a;
б)ab = ba;
в) a + (b + c) = (a + b) + c;
г) a + (b – c) = (a + b) – c.
№ 64
а) Чтобы к числу прибавить сумму двух чисел, можно сначала
прибавить к нему первое слагаемое, а затем к полученной сумме
второе слагаемое.
б) Чтобы из числа вычесть сумму двух других чисел, можно
сначала вычесть первое слагаемое, а затем из полученной разности вычесть другое слагаемое.
в) При сложение любого числа а с нулюм, полусается тоже
самое число а.
г) При умножение любого числа а на еденицу, получается тоже самое число а.
№ 65
а) При умножении любого числа а на ноль получается ноль.
б) Частное от деления нуля на любое число а не равное нулю,
получается ноль.
в) При делении любого числа а на еденицу, получается тоже
самое число а.
г) При умножении любого числа а не равного нулю на частное от деления единицы на это же самое число а, получается еденица.
№ 66
а) Произведение числа 3 и квадрата суммы чисел x и y.
б) Произведение числа 2 и квадрата суммы чисел a и b.
в) Произведение числа 2 и квадрата разности чисел p и q.
г) Произведение числа 3 и квадрата разности чисел z и r.
№ 67
а) Отношение квадрата разности чисел m и n к числу 2.
б) Отношение квадрата суммы чисел t и w к числу 2.
в) Отношение куба суммы чисел a и b к числу 3.
г) Отношение квадрата разности чисел p и q к числу 4.
№ 68
а) (a + b) · c = a · c + b · c;
б) x · (y – z) = x · y – x · z;
www.5balls.ru
в) a – (b +c) = (a – b) – c;
№ 69
а) Ошибка!;
в) Ошибка!;
г) a – (b – c) = (a – b) + c
б) Ошибка!;
г) Ошибка!
№ 70
а) Ошибка!
б) Ошибка!
в) Если Ошибка!
г) Если
a c
δ χ α β
= , то = и = .
b d
β α χ δ
§ 3. Что такое математическая модель
№ 71
а) x · y = 9; б) a : b = 2; в) b = c; г) 2 · p = 3 · q.
№ 72
а) a – 18 = b; б) b + 39 = c; в) x : y = 6; г) a : b = Ошибка!.
№ 73
а) a + b = 43; б) m – n = 214; в) a + b + 6 = ab; г) p – q – 17 = p :
q.
№ 74
а) a + b = d – c; б) a – d = b + c; в) a = b + c + d; г) a + b = 2 · (c
– d).
№ 75
t – v = 3.
№ 76
3 · x = 2 · y.
№ 77
5 · b = 6 · a.
№ 78
x + 25 > 3 · x – 15.
№ 79
0,5 · a < 0,5 · a + b.
www.5balls.ru
№ 80
x – 5,8 = y + 14,2.
№ 81
x + 3,7 = 1,5 x – 5,36.
№ 82
Ошибка!.
№ 83
5a + 3b = m.
№ 84
(x + 7) · 3 – 4,7 = x.
№ 85
(x – 8) · 2 = y + 8.
№ 86
x + 4 · x + x + 50 = 470.
№ 87
c + 4,8 = 1,4 · c – 5,2.
№ 88
d + 15 = 4 · d + 3.
№ 89
Ошибка!.
№ 90
а) На чайных весах на одной чаше лежит яблоко весом x кг.,
а на другой чаше лежит апельсин весом y кг. Весы находятся в
равновесии.
б) Стоимость одного килограмма яблок – b рублей, а стоимость одного килограмма апельсинов – a рублей. Причем апельсины в два раза дороже яблок.
в) Три килограмма огурцов стоят столько же, скольео два килограмма помидоров. При этом известно что 1 кг. Огурцов стоит
с рублей, а один килограмм помидоров d рублей.
г) В первом цехе работает 6 бригад по m человек в каждой, а
во втором цече работает 11 бригад по n человек в каждой. При
этом известно что число рабочих в обоих цехах одинаково.
www.5balls.ru
№ 91
а) Первое число равно а, второе число равно b. Если из первого числа вычесть единицу, а второе оставить без изменений то
получатся два одинаковых числа.
б) В одной корзине лежит а персиков, а в другой b персиков.
Если в первую корзину положить два персика, то в корзинах персиков станет поровну
в) В первом букете z гвоздик, во втором в два раза больше.
Когда к первому букету добавили три гвоздики, число гвоздик в
обоих букетах стало поровну.
г) У Кости x марок, а у Васи y марок. Если Костя добавит в
свою коллекцию 3 марки, то у него станет марок в коллекции в
два раза меньше, чем у Васи в коллекции.
№ 92
а) В первой бригаде работает a человек, а во второй бригаде
работает b человек. Если в первую бригаду придет 7 человек, то в
обоих бригадах число человек станет равное.
б) Первый спортсмен пробежал дистанцию за a секунд, а второй спортсмен пробежал дистанцию за b секунд. При этом первый спортсмен пробежал дистанцию на 3 секунды быстрее.
в) Первое число равно а, второе число равно b. Если к первому числу прибавить 2, а ко второму 8 то получатся одинаковые результаты.
г) В первой корзине лежало а кг. Мандаринов, а во второй b
кг. Мандаринов. После того как из первой корзины взяли три кг.
мандаринов, а во вторцю добавили 1 кг., то мандаринов в корзинах станет поровну.
№ 93
а) Первое число равно а, второе число равно b. При этом известно, что первое в 4 раза больше второго.
б) Первое число равно x, второе число равно y. При этом
Ошибка!второго числа равна первому числу.
в) На стройке работало 5 бригад по d человек в каждой. После
того, как на работу пришло еще двое человек, рабочих стало с.
г) Первое число равно m, а второе число равно n. Если второе
число умножить на 3 и вычесть из него 4, то его Ошибка! часть
будет равна первому числу.
www.5balls.ru
№ 94
а) В саду 7 участков. На каждом растет по x яблонь. После того как на каждом участке посадили по одной яблоне, деревьев в
саду стало равно y.
б) Первое число равно a, второе число равно b. Удвоенная
сумма этих чисел равна 3.
в) Расстояние от пункта А до пункта B – с км., а от пункта B
до пункта С – d км. Из пункта А в пункт B выехало 3 велосипедиста, а из пункта B в С путь продолжили только два велосипедиста. В общей сложности велосипедисты проделали путь 8 км.
г) Первое число равно m, а второе число равно n. Если первое
число умножить на три, а второе на семь, то их сумма будет равнятся 12.
№ 95
Пусть x км/ч – скорость велосипедиста.
Тогда (x +18) – скорость мотоциклиста.
5 · x = (x + 18) · 2; 5 · x – 2 · x =2 · 18; 3 · x = 36;
x = 12 км/ч – скорость велосипедиста.
18 + 12 = 30 км/ч – скорость мотоциклиста.
5 · 12 = 60 км – расстояние между городами.
Ответ: 12, 30, 60.
№ 96
Пусть x квартир в первом доме.
Тогда (x + 86) квартир во втором доме.
x + x + 86 = 792; 2 · x = 706;
x = 353 – квартир в первом доме.
353 + 86 = 439 – квартир во втором доме.
Ответ: 353; 439.
№ 97
Пусть x трехкомнатных квартир в доме.
Тогда (x + 10) – двухкомнатных квартир в доме,
(x – 5) – однокомнатных квартир в доме.
x + x +10 + x – 5 = 215; 3 · x = 210;
x = 70 – трехкомнатных квартир.
70 + 10 = 80 – двухкомнатных квартир.
70 – 5 = 65 – однокомнатных квартир.
Ответ: 65.
www.5balls.ru
№ 98
Пусть x мест в малом зале.
Тогда 3 · x мест в большом зале.
3 · x + x = 460; 4 · x =460;
x = 115 – мест в малом зале.
115 · 3 = 345 – мест в большом зале.
Ответ: 345.
№ 99
Пусть x книг на второй полке.
Тогда 2 · x книг на второй полке.
2 · x + x = 48; 3 · x = 48;
x = 16 – книг на второй полке.
2 · 16 = 32 – книг на первой полке.
Ответ: 32.
№ 100
Пусть x деталей изготовил ученик за один день.
Тогда 3 · x деталей изготовил мастер за один день.
(x + 3 · x) · 2 = 312; 4 · x = 156;
x = 39 – деталей изготовляет ученик за один день.
3 · 39 = 117 – деталей изготовляет мастер за один день.
Ответ: 117, 39.
№ 101
Пусть x деталей изготовили на первом станке.
Тогда (x + 10) деталей изготовили на втором станке.
x + x +10 = 346;
2 · x = 336;
x = 168 – деталей изготовили на первом станке.
168 + 10 = 178 – деталей изготовили на втором станке.
Ответ: 168; 178.
№ 102
Пусть x тонн зерна собрали с первого участка.
Тогда 1,2 · x тонн зерна собрали со второго участка.
1,2 · x + x = 39,6;
2,2 · x = 39,6;
x = 18 тонн зерна собрали с первого участка.
1,2 · 18 = 21,6 тонн зерна собрали со второго участка.
Ответ: 18; 21,6.
www.5balls.ru
№ 103
Пусть x – это число.
Тогда имеем :
x + 23 = 7 · (x – 1);
x + 23 = 7 · x – 7;
–6 · x = –30;
x = 5;
Ответ: 5.
№ 104
Пусть x лет дочке.
Тогда (x + 25) – лет маме,
x +25 + x = 35;
2 · x = 10;
x = 5 – лет дочке;
5 + 25 = 30 – лет маме;
№ 105
Пусть x яблонь на первом участке.
Если с первого участка пересадить на второй одну яблоню, то
(x – 1) – на первом останется,
3 · (x – 1) на втором.
x – 1 + 3 · (x – 1) = 84;
4 · (x – 1) = 84;
x – 1 = 21;
x = 22 – на первом участке.
84 – 22 = 62 – на втором.
Ответ: 22; 62.
№ 106
а) a + b = 7 · a · b;
в) Ошибка!;
б) x = 3 · y + 1;
г) a = 12 · b + 5.
№ 107
а) N = 10 · a + b;
в) a · 1000 + b · 10;
б) M = 100 · a + 10 · b + c;
г) 100 · r + 7.
№ 108
Пусть t часов был в пути первый теплоход.
Тогда (t – 3) часов был в пути второй теплоход.
22 · t + 26 · (t – 3) = 306;
48 · t = 306 + 78;
www.5balls.ru
t = 384 : 48;
t = 8 часов был в пути первый теплоход.
8 – 3 = 5 часов был в пути второй теплоход.
Ответ: 8; 5.
№ 109
Пусть x книг на первой полке.
Тогда 2 · x – книг на первой полке.
2 · x – 5 – книг на третей полке.
x + 2 · x + 2 · x – 5 =75;
5 · x = 80;
x = 16 – книг на второй полке.
2 · 16 = 32 – книг на первой полке.
32 – 5 = 27 – книг на третей полке.
Ответ: 36; 18; 31.
№ 110
Пусть x – рабочих во втором цехе.
Тогда 1,5 · x – рабочих в первом цехе.
1,5 · x + 110 – рабочих в третем цехе.
x + 1,5 · x + 1,5 · x + 110 = 310;
4 · x = 200;
x = 50 – рабочих во втором цехе.
1,5 · 50 = 75 – рабочих в первом цехе.
75 + 110 = 185 – рабочих в третем цехе.
Ответ: 75; 50; 185.
№ 111
Пусть x см. – AB.
Тогда 2 · x см. – BC.
(x + 4) см. – AC.
x + 2 · x + x + 4 = 44;
4 · x = 40;
x = 10 см. – АB.
2 · 10 = 20 см. – BC.
10 + 4 = 14 см. – АС.
Ответ: 10; 20; 14.
№ 112
Пусть x учеников учится в старших классах.
Тогда 3 · x учеников учится в начальных классах.
6 · x учеников учится в средних классах.
www.5balls.ru
x + 3 · x + 6 · x = 900;
10 · x = 900;
x = 90 – учеников учится в старших классах.
3 · 90 = 270 – учеников учится в начальных классах.
6 · 90 = 540 – учеников учится в средних классах.
Ответ: 270; 540; 90.
№ 113
Пусть x учеников всего.
Тогда Ошибка! – учеников изучает математику.
Ошибка!.
Ошибка!.
Ошибка!;
Ошибка!;
Ошибка!;
Ошибка!; x = 28 – учеников всего.
Ответ: 28.
№ 114
Пусть x – дней отработали.
Тогда (30 – x) – дней не работали.
48 · x = 12 · ( 30 – x);
48 · x + 12 · x = 12 · 30;
60 · x = 360;
x = 6 дней отработали.
Ответ: 6.
№ 115
Пусть x – учеников всего.
Если придет Ошибка! учеников, то
x + x + Ошибка!= 100;
2 · x + Ошибка!;
Ошибка!;
11 · x = 396;
x = 36 – учеников всего.
Ответ: 36.
№ 116
Пусть x – мужчин; 4 алтына = 12 коп.; 120 гривен = 1200 коп.
Тогда (120 – x) – женщин; 3 алтына = 9 коп.
12 · x + (120 – x) · 9 = 1200;
www.5balls.ru
12 · x + 1080 – 9 · x = 1200;
3 · x = 1200 – 1080;
x = 40 – мужчин.
120 – 40 = 80 – женщин.
Ответ: 40; 80.
www.5balls.ru
ГЛАВА 2. Степень с натуральным
показателем и ее свойства
§ 4. Что такое степень с натуральным показателем
)5.
№ 117
а) 3 · 3 · 3 · 3 = 34;
б) 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 = 76;
в) 0,5 · 0,5 = ( 0,5 )2;
г) 8,4 · 8,4 · 8,4 · 8,4 · 8,4 = ( 8,4
№ 118
а) x8; б) y5; в) z6; г) q3.
№ 119
 2
 3
4

7
8
2
а) (–4)5; б)  −  ; в) (–2,5)3; г)  − 5  .

№ 120
а) (– c )4; б) (– d )3; в) (– r )5; г) (– s )6.
№ 121
а) ( ab )4; б) ( pq )3; в) ( mn )5; г) ( xy )6.
№ 122
а) ( c – d )3; б) ( z + t )2; в) ( p – q )4; г) ( x + y )6.
№ 123
 1
 2
2
1
9
3
а) 135 · 53; б) 0,72 ·  −  ; в) (– 0,45 )2 · 73; г)   · 0,12.
№ 124
3
5
2

1
3
3
а) 53 · 73; б) (– 0,3 )3 ·   ; в) ( 7,95 )2 · 133; г)  − 2  · ( 17,8

2
).
№ 125
а) x · x · x · x · x · x · x · x;
в) (– y )3 · (– y )3 · (– y )3 · (– y )3;
б) (– 2a ) · (– 2a ) · (– 2a ) · (– 2a ); г) ( 3b )2 · ( 3b )2 · ( 3b )2.
www.5balls.ru
№ 126
а) 4pq · 4pq;
 a
 b
2
 a
 b
в) (z – x) · (z – x) · (z – x);
2
б)  −  ·  −  ;
г) Ошибка! · Ошибка! ·
Ошибка! · Ошибка! · Ошибка!.
№ 127
а) 2; б) 4; в) 32; г) 16.
№ 128
а) 27; б) 0; в) –8; г) 1.
№ 129
а) 25; б) –5; в) –125; г) –3125.
№ 130
а) 1; б) 81; в) Ошибка!; г) Ошибка!.
№ 131
а) 35 = 405;
3
4
б) (– 0,5)4 = 0,0625;
3
 1
 7
в)   = Ошибка!;
2
8
7
2
г) 1  =   = Ошибка!.
№ 132
а) 9 см2; б) 49 см2; в) 2,25 см2; г) Ошибка! см2.
№ 133
а) 2197 м3; б) 64 м3; в) 0,216 м3; г) Ошибка! м3.
№ 134
1
2
3
1
5
4
а) (– 3)5 = – 405; б)   Ошибка!; в) (–0,4)2 = 0,16; г)   =
Ошибка!.
№ 135
а) 171 = 17; б) 115 = 1; в) 321 = 32; г) 072 = 0.
№ 136
а) – 72 = – 49;
в) (– 0,5)3 = – 0,125;
б) (– 1)4 = 1;
г) – 82 = – 64.
www.5balls.ru
№ 137
 1
 4
3

 2
 3
2
3
 = Ошибка!;
 10 
а)  −  = Ошибка!;
б)  −
3
в) −  −  = Ошибка!;
г) – (– 0,1)4 = – 0,0001.
№ 138
в) 81 · 71 = 8 · 7 = 56;
а) 3 · (– 4)2 = 3 · 16 = 48;
5
б) (– 2) · 3 = – 32 · 3 = – 96; г) (– 0,5)2 · (– 2)2 = 0,25 · 4 = 1.
№ 139
 2
 3
а) Ошибка!2 · Ошибка! = Ошибка!; б) 34 ·  − 
3
= 81 ·
Ошибка! = 3 · (– 8) = – 24;
3
5
2
в) 1 : Ошибка!3 = 1 : Ошибка! = – 27; г)   · Ошибка!
№ 140
а) Ошибка!;
б) Ошибка!;
в) Ошибка!;
г) Ошибка!.
№ 141
 1
 5
2
2
 11 
 = Ошибка!;
5
а)  2  = 

1
3
3
3
 10 
 = Ошибка!;
 3
б)  − 3  =  −


2
3
4
 5
 3
4
в)  − 1  =  −  = Ошибка!;

 1
 4
2
2
 21 
 = Ошибка!.
 4
г)  5  = 
№ 142
а) 29; б) 1845; в) (– 5)17; г) (– 9)12.
№ 143
а) x7; б) ( ab )45; в) ( z – y )105; г) ( r + s )31.
www.5balls.ru
№ 144
а) 6 m; б) (– 7) n; в) a r; г) b m.
№ 145
а) ( xy ) n; б) (– cd ) m; в) ( m – n ) r; г) ( t + v ) n.
№ 146
а) c r · d n; б) (– a) n · b r; в) ( a – b ) m · ( x – z ); г) ( p – q ) 2 · ( x –
m
y) .
№ 147
Пусть S – площадь одной стороны.
Тогда 6 · S – полная поверхность.
S = 7 · 7 = 49 см2;
6 · 49 = 294 см2 – полная поверхность.
Ответ: 294 см2.
№ 148
Пусть S – площадь пола,
P – площадь одной стены, S = 9 = 3 · 3.
Так как пол квадратный, то сторона квадрата равна трем.
P = 3 · 3 = 9 м2;
9 · 4 = 36 м2 – потребуется обоев.
Ответ: 36 м2.
№ 149
Пусть S – площадь пола.
S = 4 · 4 = 16 м2;
16 · 200 = 3200 г. = 3,2 кг. – потребуется краски.
Ответ: 3,2 килограмма.
№ 150
Пусть S – площадь стороны куба, V – объем куба.
S = 40 · 40 =1600 см2 = 0,16 м2;
V = 1600 · 40 = 64000 см3 = 0,064 м3;
Ответ: 0,064 м3.
№ 151
а) 3 · 24 + 2 · 34 = 3 · 16 + 2 · 81 = 48 + 162 = 210;
б) 7 · 32 + 3 · 72 = 7 · 9 + 3 · 49 = 63 + 147 = 210;
в) 5 · 33 + 3 · 52 = 5 · 27 + 3 · 25 = 135 + 75 = 210;
г) 7 · 52 + 5 · 72 = 7 · 25 + 5 · 49 = 175 + 245 = 420.
www.5balls.ru
№ 152
а) 7 · 103 – 8 · 102 = 7 · 1000 – 8 · 100 = 7000 – 800 = 6200;
б) 92 · 3 + 100 · (0,1)2 = 81 · 3 + 100 · 0,01 = 243 + 1 = 244.
№ 153
1
9
2
а)   · 27+(0,1)4 · 5000 = Ошибка!;
1
8
2
б) 100 : 52 –   · 128 = 100 : 25 – Ошибка!.
№ 154
 2
 3
3
 2
 3
3
8
3
3
5
3
3
а)  2  – 1  =   –   = Ошибка!;

1
4
4


2
1

 = −
16



б)  − 1  +  2
4
2
5
 33 
 –   = Ошибка!.
4
 16 
№ 155
а) 228 = 2 · 114 = 2 · 2 · 57 = 2 · 2 · 3 · 19 = 22 · 3 · 19;
б) 432 = 2 · 216 = 2 · 2 · 108 = 2 · 2 · 2 · 54 = 24 · 27 = 24 · 33;
в) 600 = 2 · 300 = 2 · 2 · 150 = 23 · 75 = 23 · 5 · 15 = 23 · 52 ·3;
г) 752 = 2 · 376 = 2 · 2 · 188 = 2 · 2 · 2 · 94 = 24 · 47.
№ 156
а) 3969 = 3 · 1323 = 3 · 3 ·441 = 3 · 3 · 3 ·147 = 34 ·49 = 34 · 72;
б) 64800 = 2 · 32400 = 2 · 2 · 16200 = 23 · 8100 = 23 · 90 · 90 =
= 23 · 9 ·10 · 9 · 10 = 23 · 32 · 5 · 2 · 32 · 5 · 2 = 25 · 34 · 52;
в) 21600 = 2 · 10800 = 2 · 2 · 5400 = 2 · 2 · 2 · 2700 = 2 3 · 27 ·
100 =
= 23 · 3 · 3 · 3 · 10 · 10 = 23 · 33 · 2 · 5 · 2 · 5 = 25 · 33 · 52;
г) 17640 = 2 · 8820 = 2 · 2 · 4410 = 2 · 2 · 2 · 2205 = 23 · 5 · 441 =
= 23 · 5 · 3 · 147 = 23 · 5 · 3 · 3 · 49 = 23 · 5 · 32 · 72.
№ 157
а) 22 · 23 и 22 + 3;
1) 22 · 23 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25;
2) 22 + 3 = 25.
Ответ: числа равны.
в) 71 · 72 и 71 + 2;
71 · 72 = 7 · 7 · 7 = 73;
71 + 2 = 73.
б) 32 · 31 и 32 + 1;
1) 32 · 31 = 3 · 3 · 3 = 33;
2) 32 + 1 = 33.
Ответ: числа равны.
г) 41 · 43 и 41 + 3;
1) 41 · 43 = 4 · 4 · 4 · 4 = 44;
2) 41 + 3 = 44.
www.5balls.ru
Ответ: числа равны.
Ответ: числа равны.
§ 5. Таблица основных степеней
№ 158
N
3n
5n
7n
1
3
5
7
2
9
25
49
3
27
125
343
4
81
625
2401
5
243
3125
16807
6
729
15625
11764
9
№ 159
а) 16 = 42; б)
2
4 2
25  5 
2
=   ; в) 0,81 = (0,9) ; г)
= 
49  7 
64  8 
2
2
.
№ 160
а) 125 = 53; б)
3
3
1 1
343  7 
3
=   ; в) – 0,216 = (– 0,6) ; г)
= −  .
64  4 
512  8 
№ 161
а) 1; б) 1; в) – 1; г) 1.
№ 162
а) 0; б) 0; в) – 1; г) 0.
№ 163
а) (– 1)10 + 012 + 145 = 1 + 0 + 1 = 2;
б) (– 1)6 + (– 1)7 – 08 = 1 – 1 – 0 = 0;
в) 012 + 141 + (– 1)11 = 0 + 1 – 1 = 0;
г) 0502 – 114 + 113 + (– 1)2 = 0 – 1 + 1 + 1 = 1.
№ 164
а) (– 1)4 + (– 1)3 + (– 1)2 + (– 1) = 1 – 1 + 1 – 1 = 0;
б) (– 1)7 + 18 + 015 + 119 + (– 1)4 = –1 + 1 + 0 + 1 + 1 = 2;
в) (– 1)2 – (– 1)3 – (– 1)4 – (– 1)5 = 1 – (– 1) – 1 – (– 1) = 2;
г) (– 1)12 + 01 – 124 + 03 – (–1)5 = 1 + 0 – 1 + 0 + 1 = 1.
№ 165
а) 103 = 1000; б) 104 = 10000; в) 105 = 100000; г) 107 =
10000000.
№ 166
а) 1000000000 = 109; б) 10 = 101; в) 1000000 = 106; г) 10 n.
www.5balls.ru
№ 167
 1
 4
2
а) (– 2)5 = –32; б) (– 3)4 = 81; в) (– 0,5)3 = – 0,125; г)  −  =
Ошибка!.
№ 168
а) (– 2,5)2 + 1,52 = 6,25 + 2,25 = 8,5;
 2
 3
4
2
9
2
б)  −  –   = Ошибка!;
в) (– 0,5)3 + (– 0,4)2 = –0,125 + 0,16 = 0,035;
 1
 6
2
 1
 3
3
г)  −  –  −  = Ошибка!.
№ 169
а) a2 ≥ 0; б) – a2 ≤ 0; в) (x + 5)2 ≥ 0; г) –3 · (x – 7)2 ≤ 0.
№ 170
а) x2 + y2 ≥ 0;
в) 5 · (a2 + b2) ≥ 0;
б) (a + 51)2 + (b2 – 13)2 ≥ 0;
г) –94 · (x + y)2 ≤ 0.
№ 171
а) 2 r = 512;
r=9
Ответ: 9
в) 7 m = 343;
m=3
Ответ: 3
б) 5 m = 625;
m=4
Ответ: 4
г) 3 r = 729
r=6
Ответ: 6
№ 172
а) 3 · 104 + 4 · 104 + 7 · 103 + 2 · 102 + 8 · 10 + 4 =
= 30000 + 40000 + 7000 +200 + 80 + 4 = 77284;
б) 8 · 106 + 9 · 103 + 5 = 8000000 + 9000 + 5 = 8009005;
в) 1 · 104 + 1 · 102 + 1 = 10000 + 100 + 1 = 10101;
г) 3 · 105 + 5 · 103 + 4 · 102 + 8 = 300000 + 5000 + 400 + 8 =
305408.
№ 173
а) 17285 = 10000 + 7000 + 200 + 80 + 5 =
= 1 · 104 + 7 · 103 + 2 · 102 + 8 · 10 + 5;
б) 213149 = 200000 + 10000 + 3000 + 100 + 40 + 9 =
= 2 · 105 + 1 · 104 + 3 · 103 + 1 · 102 + 4 · 10 + 9;
в) 1495643 = 1000000 + 400000 + 90000 + 5000 + 600 + 40 + 3
=
www.5balls.ru
= 1 · 106 + 4 · 105 + 9 · 104 + 5 · 103 + 6 · 102 + 4 · 10 + 3;
г) 75003400 = 70000000 + 5000000 + 3000 + 400 =
= 7 · 107 + 5 · 106 + 3 · 103 + 4 · 102.
№ 174
а) При а = 1, а2 = 12 = 1, (– а)2 = (– 1)2 = 1, – а2 = – 12 = – 1.
При а = – 1, а2 = (– 1)2 = 1, (– а)2 = 12 = 1, – а2 = – (– 1)2 = – 1.
При а = 0, а2 = 02 = 0, (– а)2 = (– 0)2 = 0, – а2 = – 02 = 0.
При а = 10, а2 = 102 = 100, (– а)2 = (– 10)2 = 100.
– а2 = – 102 = – 100.
б) При b = 1, b4 = 14 = 1, (– b)5 = (– 1)5 = – 1, – b5 = – 15 = – 1.
При b = 0, b4 = 04 = 0, (– b)5 = (– 0)5 = 0, – b5 = – 05 = 0.
При b = –1, b4 = (– 1)4 = 1, (– b)5 = 15 = 1, – b5 = – (– 1)5 = 1.
При b = 10, b4 = 104 = 10000, (– b)5 = (– 10)5 = – 100000.
– b5 = – 105 = – 100000.
в) c2 + (– c)3 + c4.
При c = 1, 12 + (– 1)3 + 14 = 1 – 1 + 1 = 1.
При c = 0, 02 + (– 0)3 + 04 = 0 + 0 + 0 = 0.
При c = 10, 102 + (– 10)3 + 104 = 100 – 1000 + 10000 = 9100.
При c = –1, (– 1)2 + 13 + (– 1)4 = 1 + 1 + 1 = 3.
г) d4 – d2 + d + 1.
При d = –1, (– 1)4 – (– 1)2 + (– 1) + 1= 1 – 1 – 1 + 1 = 0.
При d = 0, 04 – 02 + 0 + 1= 0 – 0 + 0 + 1 = 1.
При d = 1, 14 – 12 + 1 + 1= 1 – 1 + 1 + 1 = 2.
При d = 10, 104 – 102 + 10 + 1= 10000 – 100 + 10 + 1 = 9911.
№ 175
а) Ошибка!;
б) Ошибка!;
в) Ошибка!;
г) Ошибка!.
№ 176
а) 322 > 0;
б) (– 54)2 > 0;
в) 32 и 23;
г)   и   ;
1) 32 = 9; 2) 23 = 8.
1)   = Ошибка!; 2)   =
1
3
3
1
3
3
Ошибка!.
www.5balls.ru
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
3
3
Ответ: 32 > 23.
Ответ:   >   .
№ 177
а) (– 17,2)2 > (– 17,2)3;
в) (– 0,3)3 < (– 0,3)2;
 3
 5
4
3
5
4
 1
 5
б)  −  =   ;
2
1
5
4
г)  −  >   .
№ 178
1
7
а) (– 7)3 < (– 0,4)3 < ( )3 < (– 1,5)2;
1
3
3
7
2
в) (− )3 < (0,8)3 < (– 1,1)2 < (– 1,5)2;
3
3
2
г) (− )3 < (0,3)2 < (− ) 2 2 < (– 1,2)2.
4
5
б) (−1 )3 < (− )3 < (– 1,8)2 < (– 2,1)2;
№ 179
а) 2 n = 1024; 3 r =81;
n =10;
n + r = 10 + 4 = 14.
Ответ: 14.
№ 180
а) 22x = 128;
256;
2x = 7;
x = 3,5.
Ответ: 3,5.
б) 7 n = 49; 5 r = 625.
r = 4; n = 2; r = 4;
n + r = 2 + 4 = 6.
Ответ: 6.
б) 3 x – 3 = 243;
в) 5 x : 2 = 125;
г) 2
2 – 3x
x – 3 = 5;
x = 8.
Ответ: 8.
x : 2 = 3;
x = 6.
Ответ: 6.
2 – 3x = 8;
x = –2.
Ответ: –2.
§ 6. Свойства степеней с натуральными показателями
№ 181
а) x2 · x3 = x5; б) y6 · y4 = y10; в) z5 · z12 = z17; г) t10 · t24 = t34.
№ 182
а) a5 · a = a6; б)b · b6 = b7; в)c7 · c = c8; г)d n · d = d n+1.
www.5balls.ru
=
n15.
r67;
№ 183
а) s3 · s5 · s8 = s3 + 5+ 8 = s16;
б) r14 · r12 · r51 = r14 + 12 + 51 = r67.
13
8
13 + 8 + 1
22
=m ;
г) n4 · n · n10 = n4 + 1 + 10 =
в) m · m · m = m
№ 184
а) u15 · u23 · u · u7 = u15 + 23 + 1 + 7 = u46; б) r4 · r12 · r51 = r4 + 12 +51 =
в) v3 · v9 · v4 · v = v3 + 9 + 4 + 1 = v17; г) q13 · q8 · q7 · q21 = q13 + 8 + 7 + 21
=q .
49
№ 185
а) ( a – b )3 · ( a – b )2 = ( a – b )3 + 2 = ( a – b )5;
б) ( c + d )7 · ( c + d )8 = ( c + d )7 + 8 = ( c + d )15;
в) ( q + r )15 · ( q + r )8 = ( q + r )15 + 8 = ( q + r )23;
г) ( m – n )5 · ( m – n )4 = ( m – n )5 + 4 = ( m – n )9.
№ 186
а) ( ax )5 · ( ax )7 · ( ax ) = ( ax )5 + 7 + 1 = ( ax )13;
б) ( cd )8 · ( cd )8 · ( cd ) = ( cd )8 + 8 + 1 = ( cd )17;
в) ( cd )8 · ( cd )8 · ( cd ) = ( cd )8 + 8 + 1 = ( cd )17;
г) (– pq)13 · (– pq) · ( pq ) = (– pq)13 + 1 · ( pq ) = ( pq )15.
№ 187
а) x7 · x18;
в) x24 · x;
б) x9 · x16;
г) x · x24.
№ 188
б) ∗ · r14 = r10;
а) r3 · ∗ = r11;
r43;
г) ∗ · r21 · r11 = r40;
11 – 3 = 8; 10 – 14 = –4; 43 – 13 – 18 = 12;
r3 · r8 = r11; r –4 · r14 = r10; r13 · r12 · r18 = r43;
в) r13 · ∗ · r18 =
40 – 21 – 11 = 8;
r8 · r21 · r11 = r40.
№ 189
а) r12 · ∗ · r3 · ∗ = r26;
26 – 12 – 3 = 11;
11 = 5 + 6;
r12 · r5 · r3 · r6 = r26;
б) r44 · ∗ · r · ∗ = r51;
51 – 44 – 1 = 6;
6 = 3 + 3;
r44 · r3 · r · r3 = r51;
в) ∗ · r7 · ∗ · r9 · r13 = r48;
48 – 7 – 9 – 13 = 19;
19 = 9 + 10;
r9 · r7 · r10 · r9 · r13 = r48;
г) r · r14 · ∗ · r20 · ∗ = r72;
72 – 1 – 14 – 20 = 37;
37 = 17 + 20;
r · r14 · r17 · r20 · r20 = r72.
www.5balls.ru
№ 190
а) 25 · 24 = 25 + 4 = 29 = 512;
б) 33 · 32 = 33 + 2 = 35 = 243;
в) 72 · 7 = 72 + 1 = 73 = 343;
г) 9 · 92 = 91 + 2 = 93 = 729.
№ 191
б) 32 · 8 = 25 · 23 = 25 + 3 = 28;
а) 4 · 2 = 22 · 2 = 22 + 1 = 23;
6
9
6+9
15
=2 ;
г) 16 · 32 = 24 · 25 = 24 + 5
в) 64 · 512 = 2 · 2 = 2
9
=2 .
№ 192
а) 5 · 25 = 5 · 52 = 51 + 2 = 53; б) 53 · 625 = 53 · 54 = 53 + 4 = 57;
в) 54 · 125 = 54 · 53 = 54 + 3 = 57;г) 59 · 3125 = 59 · 55 = 59 + 5 = 514.
№ 193
а) a = (– 13)9 · (– 13)8;
9 + 8 = 17 – нечетное.
Ответ: отрицательное.
в) а = (– 28)2 · (– 28)6;
2 + 6 = 8 – четное.
Ответ: положительное.
№ 194
а) x · 73 = 75;
x = 7 5 : 7 3;
x = 72;
x = 49.
Ответ: 49.
б) 122 · x = 123;
x = 123 : 122;
x = 121;
x =12.
Ответ: 12.
№ 195
а) x7 : x4 = x7 – 4 = x3;
в) z13 : z = z13 – 1 = z12;
б) a = (– 17)17 · (– 17)71;
17 + 71 = 88 – четное.
Ответ: положительное.
г) а = (– 43)41 · (– 43)14;
41 + 14 = 55 – нечетное.
Ответ: отрицательное.
в) 46 · x = 48;
x = 48 : 46;
x = 42;
x =16.
Ответ: 16.
г) x · 56 = 59;
x = 59 : 56;
x = 53;
x = 125.
Ответ: 125.
б) y16 : y12 = y16 – 12 = y4;
г) m28 : m27 = m28 – 27 = m1 = m.
№ 196
б) b45 : b15 : b29 = b45 – 15 –
а) a12 : a10 : a = a12 – 10 – 1 = a1 = a;
1
29
= b = b;
в) c3 : c : c = c3 – 1 – 1 = c1 = c; г) d43 : d14 : d5 = d43 – 14 – 5 = d24.
№ 197
а) (a – b)3 : (a – b)2 = (a – b)3 –2 = (a – b)1 = (a – b);
б) (z + r)13 : (z + r)8 : (z + r)3 = (z + r)13 – 8 – 3 = (z + r)2;
www.5balls.ru
в) (c + d)8 : (c + d)5 = (c + d)8 – 5 = (c + d)3;
г) (m – n)42 : (m – n)12 : (m – n)29 = (m – n)42 – 12 – 29 = (m – n)1 = (m
– n).
№ 198
а) 1013 : 108 = 1013 – 8 = 105 = 100000; б) 1217 : 1216 = 1217 – 16 =
12;
в) (– 324)3 : (– 324)2 = (– 324)3 – 2 = –324;
г) 0,75127 : 0,75126 = 0,75127 – 26 = 0,751;
№ 199
а) Ошибка! = 73 = 343;
б) Ошибка! = 0,62 = 0,36;
в) Ошибка! = (– 0,2)4 = 0,0016;
г)
 1
1 
 3
4
 1
1 
 3
3
1
 1
 3
= 1 
=
Ошибка!.
№ 200
18
 1
 3
а) 1 

 1
 3
= 1 
6
1
7
1
7
б)  − 2 

18−17
17
 1
 3
: 1 

: − 2 

4
=Ошибка!;

1
7
6− 4
= − 2 

 15 

 7
= −
2
= Ошибка! =
Ошибка!;
 2
 9
23

15
7
8
г)  − 1 

 2
 9
21
 2
 9
: 3 
в)  3 

14
7
8
: −1 

№ 201
а) x5 : x2 = x3;
в) x49 : x36 = x13;
23− 21
= 3 

15−14
7
8
= −1 

2
 29 
 = Ошибка!;
 9 
= 

1
7
8
=  − 1  = Ошибка!.

б) x18 : x7 = x11;
г) x104 : x5 = x99.
№ 202
а) x52 : x10 : x2 = x52 – 10 – 2 = x40;
б) r44 · r20 · r : r14 = r44 + 20 + 1 – 14 = r51;
в) x45 : x30 : x15 · x = x45 – 30 – 15 + 1 = x;
г) x100 : x26 : x = x100 – 26 – 1 = x73.
www.5balls.ru
№ 203
а) 128 n : 12856 = 12842;
n – 56 = 42;
n = 98;
Ответ: 98.
б) 2163 : 216 n = 216;
3 – n =1;
n = 2;
Ответ: 2.
в) 395 n : 395 = 3959;
n – 1 = 9;
n = 10;
Ответ: 10.
г) 5484 : 548 n = 5483;
4 – n = 3;
n = 1;
Ответ: 1.
№ 204
а) x : 25 = 23;
x = 2 3 · 2 5;
x = 28;
x = 256.
Ответ: 256.
б) 36 : x = 34;
x = 36 : 34;
x = 32;
x = 9.
Ответ: 9.
в) 78 : x = 74;
x = 7 8 : 74
x = 7 4;
x = 2401.
Ответ: 2401.
г) x : 52 = 5;
x = 5 · 52;
x = 53;
x = 125.
Ответ: 125.
№ 205
а) Ошибка! = 73 + 12 – 14 = 71 = 7;
б) Ошибка! = 1015 + 7 – 19 = 103 = 1000;
в) Ошибка! = 151 + 13 – 12 = 152 = 225;
г) Ошибка!.
№ 206
а) Ошибка!;
б) Ошибка!;
в) Ошибка!;
3
2
5
1 1
1
  · 
 
4
1
3  3
3
1

=   =  =
.
г)
1
1
3
81
 
3
3
№ 207
а) Ошибка!;
в) Ошибка!;
б) Ошибка!;
г) Ошибка!.
№ 208
а) ( x3 )2 = x3 · 2 = x6;
в) ( x7 )12 = x7 · 12 = x84;
б) ( x5 )6 = x5 · 6 = x30;
г) ( x10 )13 = x10 · 13 = x130.
www.5balls.ru
№ 209
а) ( 28 )5; б) ( 210 )4; в) ( 220 )2; г) ( 24 )10.
№ 210
а) ( m6 )3; б) ( m16 )3; в) ( a18 )3; г) ( b7 )3.
№ 211
а) ( 73 )2 = 73 · 2 = 76 = 117649; б) ( 33 )2 = 33 · 2 = 36 = 729;
в) ( 42 )3 = 42 · 3 = 46 = 4096; г) ( 22 )5 = 22 · 5 = 210 = 1024.
№ 212
а) ( a6 )5 = a6 · 5 = a30;
б) ( b2 )7 = b2 · 7 = b14;
в) ( z4 )3 = z4 · 3 = z12;
г) ( p12 )2 = p12 · 2 = p24.
№ 213
а) ( a3 )6 · a4 = a3 · 6 + 4 = a22;
в) c6 · ( c2 )3 = c6 + 2 · 3 = c12;
б) b5 · ( b3 )4 = b5 + 3 · 4 = b17;
г) ( d8 )4 · d23 = d8 · 4 + 23 = d55.
№ 214
а) Ошибка!;
б) Ошибка!;
в) Ошибка!;
г) Ошибка!.
№ 215
а) y3; б) y6; в) y10; г) y20.
№ 216
а) ( x5 )4 · ( x6 )7 = x5 · 4 + 6 · 7 = x20 + 42 = x62;
б) ( y8 )2 · ( y12 )3 = y8 · 2 + 12 · 3 = y16 + 36 = y52;
в) ( z13 )3 · ( z5 )9 = z13 · 3 + 5 · 9 = y39 + 45 = y84;
г) ( t25 )2 · ( t10 )4 = t25 · 2 + 10 · 4 = y50 + 40 = y90.
№ 217
а) ( z5 )6 : z7 = z5 · 6 – 7 = z30 – 7 = z23; б) ( p3 )4 : p10 = p3 · 4 – 10 = p12 – 10
2
=p ;
в) ( u14 )3 : u20 = u14 · 3 – 20 = u42 – 20 = z22;
г) ( q8 )6 : q70 = q8 · 6 – 70 = q48 – 70 = q– 22.
www.5balls.ru
№ 218
а) Ошибка!;
б) Ошибка!;
в) Ошибка!;
г) Ошибка!.
№ 219
а) ( x3 )n = x 3n; б) ( yn )5 = y5n; в) (– a4 )2n = a8n; г) (– b3 )6n = b18n.
№ 220
а) Ошибка!;
б) Ошибка!;
в) Ошибка!;
г) Ошибка!.
§ 7. Умножение и деление степеней
с одинаковыми показателями
№ 221
а) (2a)4 = 24 · a4;
в) ( 6n )3 = 63 · n3;
б) ( 3b )5 = 35 · b5;
г) ( 8n )2 = 82 · n2.
№ 222
а) (– 2p)3 = (– 2)3 · p3;
2
2
б) (– 5q)4 = (– 5)4 · q4;
г) (– 3d)5 = (– 3)5 · d5.
2
в) (– 7c) = (– 7) · c ;
№ 223
а) ( mn )6 = m6 · n6;
б) ( ab )4 = a4 · b4;
в) ( pq )3 = p3 · q3;
г) ( cd )10 = c10 · d10.
№ 224
а) (– ac )17 = (– a)17 · c17;
в) (– rs )3 = (– r)3 · s3;
б) (– am )8 = (– a)8 · m8;
г) (– xy )12 = (– x)12 · y12.
№ 225
а) ( xy3 )2 = x2 · y6;
3
6 18
54
б) ( a2bc3 )4 = a8 · b4 · c12;
18
108
в) ( p cd ) = p · c · d ;
г) ( u5v4t7 )8 = u40 · v32 · t56.
№ 226
а) ( 3p2r8 )5 = 35 · p10 · r40;
в) ( 10a2b5 )4 = 104 · a8 · b20;
б) ( 6a5bx3 )3 = 63 · a15 · b3 · x9;
г) ( 4r5q8p9 )2 = 42 · r10 · q16 · p18.
№ 227
а) 36a2 = (6a)2;
б) 49b2 = (7b)2;
www.5balls.ru
г) 64d2 = (8d)2.
в) 81c2 = (9c)2;
№ 228
а) a2 · b2 · c2 = (abc)2;
в) m5 · n5 · s5 = (mns)5;
б) x3 · y3 · z3 = (xyz)3;
г) p12 · q12 · r12 = (pqr)2.
№ 229
а) 16 · x4 · y4 · z4 = (2xyz)4;
б) 125 · c3 · d3 · z3 = (5cdz)3;
в) 81 · m2 · p2 · q2 = (9mpq)2;
г) 32 · r5 · s5 · q5 = (2rsq)5.
№ 230
а) a2 · b10 = (ab5)2;
2
4
24
б) x8 · y12 = (x4y6)2;
г) p8 · q10 · z30 = ( p4q5z15 )2.
2 12 2
в) x · y · z = (xy z ) ;
№ 231
а) x4 · y6 = (x2y3)2;
в) 81 · c8 · d16 · f28 = ( 9c4d8f14 )2;
б) 16 · q18 · r34 = (4q9r17 )2;
г) 121 · m12 · n16 · r54 = ( 11m6n8r27 )2.
№ 232
а) 23 · 53 = 2 · 2 · 2 · 5 · 5 · 5 = (2 · 5) · (2 · 5) · (2 · 5) = 103 = 1000;
7
7
7
7
2
2 3
2 3
7
7
б)   · 1,5 =   ·   =  ·  = 1 = 1 ;
3
3
2
3 2
в) 0,66 · 56 = (0,6 · 5)6 = 36 = 729;
3
г)
3
3
3
3
3
 35 · 6 · 2 
 35 · 12 
1
 35   6   2 
1
 = 
 =   =
  ·   ·   = 
24
7
5
24
·
7
·
5
24
·
35
2
8
 
     




.
№ 233
12
а)
a
 
b
=
a12
b12
17
; б)
c
 
d 
=
c17
d 17
4
; в)
a4
 a
−  = 4
b
 b
;г)
5
 c5 
 c
 −  = − 5  .
d 
 d
 
№ 234
2
6
а)
26 · a 6
64a 6
 2a 
  = 6 6 =
3 ·b
729b6
 3b 
в)
c5
c5
 c 

 = 5 5 =
2 ·d
32d 5
 2d 
;
б)
 7x 
7 2 · x 2 49 x 2
  =
=
82 · y 2 64 y 2
 8y 
г)
33 · m3
27 m3
 3m 
−
 =− 3 3 =−
5 ·n
125n3
 5n 
б)
10
 25 
  = 2 = 1024 = 1 399 ;
 52 
625
625
54
 
5
;
3
;
№ 235
2
а)
10
 35 
  = 3 = 59049
 72 
2401
74
 
2
;
www.5balls.ru
.
4
в)
8
8
 − b2 

 =b = b
 8 
84 4096


2
;
г)
6
 ( −3)3 

 = 3 = 729
 (−7) 2 
7 4 2401


№ 236
8
38
а)
3
= 
8
5
5
в)
m3  m 
= 
8 2
;
7
= 
9
11
 11 
г)
c4  c 
= 
16  2 
3
;
79
б)
9
;
4
.
№ 237
а) b3x3=(bx)3; б) 25a4=(5a2)2; в) 32x10y5 = (2x2y)5; г) 16a8b12 = ( 2a2b3 )4.
№ 238
а) 85 · 0,1255 = (8 · 0,125)5 = 15 = 1;
б) 46 · 0,256 = (4 · 0,25)6 = 16 = 1;
в) 54 · 0,44 = (5 · 0,4)4 = 24 = 16;
г) 1,257 · 87 = (1,25 · 8)7 = 107 = 10000000.
№ 239
3
3
3
3
а)
 5   7 
125
17
 5  7
5
=4
 −  ·  −  =   −  ·  −   =   =
7
3
3
27
27


 7  3






б)
 7
− 
 8
в)
 5   12 
 5 12 
  ·   =  ·  = 26 = 64 ;
6
5
   
6 5 
г)
 3 8
 3 8
  ·   =  ·  = 24 = 16 .
 4 3
 4 3
10
10
 8
· − 
 7
6
4
10
 7   8 
=   −  ·  −  
 8   7 
6
4
№ 240
а) Ошибка!;
в) Ошибка!;
№ 241
а) Ошибка!;
в) Ошибка!;
= 110 = 1 ;
6
4
б) Ошибка!;
г) Ошибка!.
б) Ошибка!;
г) Ошибка!.
№ 242
а) Ошибка!;
б) Ошибка!;
www.5balls.ru
;
.
в) Ошибка!;
г) Ошибка!.
№ 243
а) Ошибка! = 5;
Ошибка!;
Ошибка!;
Ошибка!;
б) Ошибка! = 104;
Ошибка!;
Ошибка!;
Ошибка!;
x = 5.
Ответ: x = 5.
x = 104.
Ответ: x = 104.
в) Ошибка!;
г) Ошибка!.
Ошибка!;
Ошибка!;
Ошибка!; x = 1347.
Ошибка!;
Ошибка!;
Ошибка! ; x = 349.
Ответ: x = 1347.
Ответ: x = 349.
§ 8. Степень с нулевым показателем
№ 244
R
Найдите
2
 
3
а) R = 3;
2
 
3
2
 
3
R
б) R = 0;
2
 
3
R
в) R = 1;
2
 
3
R
г) R = 5;
.
R
3
=
2
 
3
=
2
  =1;
3
=
 2
 
3
=
2
 
3
= Ошибка!;
0
1
= Ошибка!;
5
= Ошибка!;.
№ 245
а) a = 1; a5 = 15 = 1 ;
в) a = – 2; a5 = (– 2)5 = – 32 ;
б) a = 0; a5 = 05 = 0 ;
г) a = 10; a5 = 105 = 100000 .
№ 246
2
а)
1
1
  < 
3
3
0
;
Ошибка!;
www.5balls.ru
2
б)
1
 1
−  <  
4
4


0
;
Ошибка!;
в) (– 2)3 < (– 2)0 ;
– 8 < 1;
г) 50 < 54 .
1 < 625.
№ 247
0
3
3
  > − 
4
4
а) - 23 < – 20 ;
б)
–8 < – 1;
Ошибка!;
2
2
;
в)
1
−   < (−2)0 ;
2
г) – 55 < – 50 .
Ошибка!;
– 3125 < –
1.
№ 248
а) 35 + 44 + 80 = 243 + 256 + 1 = 500;
2
3
0
б)
4 1
32 + 9 41
2 1 7
=
  +   ·  = + · 1 =
9 8
72
72
3 2 8
;
в) 30 · 25 – 152 = 1 · 32 – 225 = – 193;
г) (1,5)3 + 44 + 150 =3,375 + 256 + 1 = 260,375.
№ 249
а) a12 · a5 : a17 = a12 + 5 – 17 = a0 = 1;
б) c9 : (c5 · c4) = c9 – (5 + 4) = c0 = 1;
в) b13 : b5 : b8 = b13 – 5 – 8 = b0 = 1;
г) d15 · d4 : d19 = d15 + 4 – 19 = d0 = 1.
№ 250
а) (a – b)10 · (a – b) : (a – b)11 = (a – b)10 + 1 – 11 = (a – b)0 = 1;
5
3
8
5 + 3 −8
0
б)
 p
 p  p  p
  ·  :  =  
2 2 2
2
4
3
2
 p
=   = 1;
2
3
в) (r + l) : (r + l) · (r + l) : (r + l) = (r +
г) (–pq)14 · (–pq)13 : (–pq)27 = (–pq)14 + 13 – 27 = (–pq)0 = 1.
l)4 – 3 + 2 – 3 = (r + l)0 =1;
№ 251
2
0
2
2
0
 5   25   5 
5  5 
5
 :  −  ·   =   :  −    · 1 = −  = −1 ;
2  4  2
 2    2  
2
а) 
б)
3
5
1  1 1 1
  · −  :   =  
3  9 3 3
3
3+ 2 − 5
0
  1  2   1 5
1
1
· −    :   = − 
= −  = 1 ;
 3  3
3
3


в) 1,54 : (– 1,5)3 · (– 1,5)2 : 1,5 = 1,53 : (– 1,5) = – 1,52 = – 2,25;
www.5balls.ru
2
г)
0
3
2
2
 8   2   16 
2 2
  :   ·   =   :   ·1 =
27
3
81
3
3
3
     
   
.
№ 252
а) Ошибка!
Ошибка!;
б) Ошибка!;
в) Ошибка! – (120)3 –
 1
1 
 2
2
+ 43 · 0,1 = Ошибка! – 13 –
3
 
2
2
+ 64 · 0.1 =
= 0,75 – 1 – Ошибка!+ 6,4 =5,4 – 1,5 = 3,9;
г) ((– 8)0)5 – 62 · Ошибка! – 52 · 0,2 = 15 – 36 : 6 – 25 · 0,2 = 1 – 6 – 5 = – 10.
www.5balls.ru
ГЛАВА 3. Одночлены. Операции над одночленами
§ 9. Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена
№ 253
а) 3xy – одночлен;
б) Ошибка!a2bc3 – одночлен;
3 – коэффициент;
xy – буквенная часть;
в) – 0,3c5d9 – одночлен;
– 0,3 – коэффициент;
c5d9 – буквенная часть;
Ошибка! – коэффициент;
a2bc3 – буквенная часть;
г) (– 2)3u nz nw n – одночлен;
(– 2)3 – коэффициент;
u nz nw n – буквенная часть.
№ 254
а) 0 – одночлен;
0 – коэффициент.
в) – 0,6 – одночлен;
– 0,6 – коэффициент.
б) y – одночлен;
y – буквенная часть;
г) z n – одночлен;
z n – буквенная часть.
№ 255
а) x – y – не одночлен;
б) Ошибка! – не одночлен;
в) 2(c2 + d2) – не одночлен;
г) Ошибка! – не одночлен.
№ 256
а) Ошибка! – не одночлен;
г) Ошибка! – не одночлен;
в) Ошибка! – одночлен;
Ошибка! – коэффициент;
б) – 12m3n2 – одночлен;
– 12 – коэффициент;
m3n2 – буквенная часть;
cd – буквенная часть.
№ 257
а) 6a2b3, 0,5ab8; б) a8b9, a3b4;
в) 3ab, 3a10b; г) 6a2b, 10a2b.
№ 258
а) 4pq3, 20pq3, 0,1pq3; б) 3p2q, 3p8q4, 3pq10.
№ 259
а) при x = 0 7x3 = 7 · 03 =0;
при x = 1 7x3 = 7 · 13 =7; при x = – 1 7x3 = 7 · (– 1)3 = – 7;
б) при y = 2 9y2 = 9 · 22 = 36;
при y = – 2 9y2 = 9 · (– 2)2 = 36; при y = 10 9y2 = 9 · 102 = 900;
в) c = 15, d = – 2; 0,04cd2 = 0,04 · 15 · (– 2)2 = 0,6 · 4 = 2,4;
г) p = 1, q = 2; Ошибка!pq3 = Ошибка! · 1 · 23 = Ошибка! · 8 = 3.
№ 260
а) 3m4 · m = 3m5;
3 – коэффициент;
m5 – буквенная часть;
б) 5x · 10y2 = 50xy2;
www.5balls.ru
4.
50 – коэффициент;
xy2 – буквенная часть;
в) 42y5 · y8 · y12 = 42y25;
42 – коэффициент;
y25 – буквенная часть;
г) – 7z3 · 4t8 = – 28z3t8;
28 – коэффициент;
z3t8 – буквенная часть.
№ 261
а) 7a · 3b · 4c = 84abc;
84 – коэффициент;
abc – буквенная часть;
б) 15q · 2p2 · 4r5 = 120qp2r5;
120 – коэффициент;
qp2r5 – буквенная часть;
в) 8u4 · 4v3 · (– 2w5) = – 64u4v3w5;
– 64 – коэффициент;
u4v3w5 – буквенная часть;
г) Ошибка!c12 · 2d18 · s10 = – c12d18s10;
– 1 – коэффициент;
c12d18s10 – буквенная часть.
№ 262
а) a2b10cd2; a = 0,2, b = – 1, c = 15, d = – 2;
a2b10cd2 = 0,22 · (– 1)10 · 15 · (– 2)2 = 0,04 · 1 · 15 · 4 = 2,4;
б) Ошибка!s3t4r6; s = 1, t = 2, r = – 1;
Ошибка!s3t4r6 = Ошибка!· 13 · 24 · (– 1)6 = Ошибка! · 16 · 1 = Ошибка!.
№ 263
4.
а) 13a · 2b · 4b · 8a = 104a2 · 8b2 = 832a2b2;
832 – коэффициент,
a2b2 – буквенная часть.
б) 52 · pq2 · (– 4)2 · qpq = 25 · 16 · p2 q4 = 400 p2 q4;
400 – коэффициент,
p2q4 – буквенная часть;
в) 43c3d6 · (– 5)2cd2c4d = 64 · 25 · c8d9 = 1600c8d9;
1600 – коэффициент, c8d9 – буквенная часть;
г) 24x9y8 · (– 2)2(– x)4(– y)3 = – 16 · 4 · x13y11 = – 64x13y11;
64 – коэффициент, x13y11 – буквенная часть.
№ 264
а) 0,45a2bc5 · Ошибка!a7b6c = Ошибка!a9b7c6 = 0,5a9b7c6;
0,5 – коэффициент, a5b7c6 – буквенная часть,
б) 0,4b3x4y · Ошибка!bx3y7 = Ошибка!b4x7y8 = Ошибка!b4x7y8;
Ошибка! – коэффициент, b4x7y8 – буквенная часть;
в) – 6p4n3Ошибка!= 2p6n5;
2 – коэффициент, p6n5 – буквенная часть;
г) – 3a2b4Ошибка!= Ошибка!a5b8;
Ошибка! – коэффициент, a5b8 – буквенная часть.
№ 265
а) 17x ny8z3 · 2xy5z4 = 34x n + 1y13z7;
34 – коэффициент, x n + 1y13z7 – буквенная часть;
б) 12p3q2r10Ошибка!= p4q8r15;
1 – коэффициент, p4q8r15 – буквенная часть;
в) – 2x3c5d3Ошибка!= – 2x4c11d4;
www.5balls.ru
4.
2 – коэффициент, x4c11d4 – буквенная часть;
г) – 99a ms nt nОшибка!= 3am + ns n + r t n + m;
3 – коэффициент, am + n sn + r tn + m – буквенная часть.
№ 266
а) 1. 3ab · 4a2 = 12a3b;
2. 2,5b 2 · 5a3 = 12,5a3b2;
3. 1,2a2 · 5b = 6a2b;
4. 7a2b · 12ab = 84a3b.
У 2-го и 4-го одинаковая буквенная часть.
б) 1. 8pq · 3p2 = 24p3q;
2. 1,4p2 · 15pq = 21p3q;
3. 0,7 · 12p3 = 8,4p3;
4. 4,3p23q = 12,9p2q.
У 1-го и 2-го одинаковая буквенная часть.
в) 1. 0,125st2 · 8t2 = st4;
2. 0,25t4 · 4s = st4;
3. 2,5t · 8st5 = 20st6;
4. 0,2st · 14t3 = 2,8st4.
У 1-го, 2-го и 4-го одинаковая буквенная часть.
г) 1. 15mn3 · 2m2 = 30m3n3;
2. 4m3 · 3n2 = 12m3n2;
3. 7,8n3 · 5m2 = 39n3m2;
4. 2m2n · 6,4n2 = 12,8m2n3.
У 3-го и 4-го одинаковая буквенная часть.
§ 10. Сложение и вычитание одночленов
№ 267
б) 19x2 и 35x2 подобные;
г) mn и 5mn подобные.
а) 3a и 4a подобные;
в) 3y3 и 3y3 подобные;
№ 268
а) 3a2b3c и 4a2b3c подобные;
б) Ошибка!x3y4z и Ошибка!x3y4z подобные;
в) –0,2m2n4p8 и –0,38m2n4p8 подобные;
г) Ошибка!r3s2t5 и Ошибка!r3s2t5 подобные.
№ 269
а) 7a2 и 3a3 не подобные;
б) 6x2 и 15x5 не подобные;
в) 17,8c3d6 и 3,01c12d 4 не подобные;
г) Ошибка!y2z и Ошибка!yz2 не подобные.
№ 270
а) 1,7x2y6 и 5,1x2y6;
б) 10,8a2b2c9 и 3,6a2b2c9;
в) c3d12z5 и 3c3d12z5;
г) Ошибка!m2n8p14 и m2n8p14.
№ 271
а) 3x2y; 7x2y; 0,25x2y подобные;
б) 12a2b2; 5a2b2; 2,04a2b2 подобные;
в) 9c5d12; 0,1c5d12; c5d12 подобные;
www.5balls.ru
г) Ошибка!m11n15; Ошибка!m11n15 подобные.
№ 272
а) m · m2 · m3 · 8 · m =8m7;
б)
Ошибка!m
· m3 · m5 =
Ошибка!m ;
9
г) Ошибка!m13 · m7 · 0,5 = m20.
в) 36m3 · m · 2 · m · 0,1 · m4 = 7,2m9;
Одночлены под пунктами б) и в) подобны.
№ 273
а) 3x + 5x = 8x;
б) 6y + 7y = 13y;
в) 3p + 5p + p = 9p;
г) 7q + 9q + 4q = 20q.
№ 274
а) 1,2c + 1,2c = 2,4 c;
в) 3,5d + 8,4d = 11,9d;
б) Ошибка!m;
г) Ошибка!.
№ 275
а) 13x2 + 20x2 = 33x2;
в) 2,1z3 + 3,05z3 = 5,15z3;
б) Ошибка!;
г) Ошибка!.
№ 276
а) 1,7d4 – 0,7d4 = d4;
б) 7p8 – 3p8 – 2p8 = 2p8;
в) m4 – m4 = 0;
г) 2x8 – x8 = x8.
№ 277
а) 20y – 12y – y – 2y = 5y;
в) 30x2 – 15x2 – 7x2 =8x2;
б) Ошибка!;
г)Ошибка!.
№ 278
а) 5x2y + 6x2y = 11x2y;
в) 3,5d + 8,4d = 11,9d;
б) Ошибка!c3d + Ошибка!c3d = c3d;
г)
Ошибка!m3n4
Ошибка!m n = Ошибка!m n .
3 4
3 4
№ 279
а) 5a2b3 + 8a2b3 = 13a2b3;
б) – 12x3 – 12x3 = – 24x3;
в) 7,4pq – 3,4pq = 4pq;
г) 1,2m2n + 0,5m2n = 1,7m2n.
№ 280
а) – 18a5b7 – (– 18a5b7) = 0;
б) – 12x3yz – (– 36x3yz) = 24x3yz;
в) – 7,2st4 + 6st4 = – 1,2t4;
г) 13xyz – (– 5,3xyz) = 18,3xyz.
№ 281
а) 1. 4cd2 + 2cd2 = 6cd2;
3. 10cd2 – 4cd2 = 6cd2;
б) 1. 50x3y2 – x3y2 = 49x3y2;
3. 40 x3y2 + 9 x3y2 = 49 x3y2;
2. cd2 + 5cd2 = 6cd2;
4. –5cd2 + 11cd2 = 6cd2;
2. –11 x3y2 + 60 x3y2 = 49 x3y2;
4. 33 x3y2 + 16 x3y2 = 49 x3y2.
www.5balls.ru
+
№ 282
а) 5x · 2y + 3x · 6y + 2x · 7y = 10xy + 18xy + 14xy = 42xy;
б) 3y2x + 6x · 3y · 2y + 2yxy = 3y2x + 36y2x + 2y2x = 41y2x;
в) – 11ab + a · 8 · b + 5ab = 2ab;
г) ab2 + 9abb + 3bab + abb = ab2 + 9ab2 + 3ab2 + ab2 = 14ab2.
№ 283
а) 3a2b + 7a · 9ba + 10b · 3a2 · (–1) = 3a2b + 63a2b – 30a2b = 36a2b;
б) x2y2 · 7 + 19x · 2xyy – 9x · 3yxy = 7x2y2 + 38x2y2 – 27x2y2 = 18x2y2;
в) az3 + 7az3 – 6z · 2az2 – 5az3 = 8az3 – 12az3 – 5az3 = – 9az3;
г) m8n4 + 2m3 · 3m5n4 – 7m8n4 = – 6m8n4 + 6m8n4 = 0.
№ 284
а) 5x + 4x = 9;
9x = 9;
x = 1.
Ответ: x = 1.
x
x
x
в) 19 – 3 + 4 = 80;
0
б) 11x – 4x = 14;
7x = 14;
x = 2.
Ответ: x = 2.
г) 20x – 13x – 12x = 6;
20x = 8 ;
5x = 6;
x = 4.
x = Ошибка!.
Ответ: x = 4.
Ответ: x = Ошибка!.
№ 285
а) Ошибка!;
Ошибка!
Ошибка!
x=–1
Ответ: x = – 1.
б) Ошибка!;
Ошибка!;
Ошибка!;
x = 1.
Ответ: x = 1.
в) Ошибка!;
Ошибка!;
Ошибка!.
Ответ: x = 10.
г) Ошибка!;
Ошибка!;
x = 24 .
Ответ x = 24.
№ 286
а) 0,71x – 13 = 10 – 0,29x;
в) Ошибка!;
0,71x + 0,29x = 10 + 13;
Ошибка!;
Ошибка!;
x = 23.
www.5balls.ru
Ответ: 23.
x = 1,68.
Ответ: 1,68.
б) Ошибка!;
г) Ошибка!;
Ошибка!;
Ошибка! ; x = 27.
Ошибка!;
Ошибка!; x = 2,64.
Ответ: 27.
Ответ: 2,64.
№ 287
а) 1,2 + Ошибка! = Ошибка!;
Ошибка!;
Ошибка!;
x = 18.
Ответ: x = 18.
б) Ошибка!;
Ошибка!;
Ошибка!;
x = 27.
Ответ: 27.
в) Ошибка!;
Ошибка!;
Ошибка!;
x = 1,68.
Ответ: 1,68.
г) Ошибка!;
Ошибка!;
Ошибка!;
x = 2,64.
Ответ: 2,64.
№ 288
Пусть x – страниц в книге;
Ошибка!x + 240 = x;
Ошибка!;
x = 400 – страниц в книге.
Отвтет : 400.
№ 289
Пусть x м. – длина дистанции;
Ошибка! · x + 3125 = x; Ошибка!;
x = 5000 м. – длина дистанции.
Ответ: 5000 м.
№ 290
3,2 · Ошибка!;
3,2 – 2 = 1,2 – льняного шоита.
Ответ: 1,2 т.
www.5balls.ru
№ 291
Пусть х т. – масса одного мотора.
Тогда Ошибка!;
Ошибка!;
Ошибка!;
Ошибка!;
x = 14 т. – масса первого мотора;
Ошибка!.
Ответ: 14; 38.
№ 292
Пусть x – первое число.
Тогда Ошибка!
Ошибка!;
Ошибка!;
Ошибка!;
x = 120 – первое число;
Ошибка!;
Ошибка!.
Ответ: 120; 64; 312.
№ 293
Пусть х – неизвестное число;
Ошибка!;
Ошибка!; х = 42.
Ответ: 42.
№ 294
Пусть х – неизвестное число;
Ошибка!;
Ошибка!;
Ошибка!;
Ошибка!;
х = 60 – это неизвестное число.
Ответ: 60.
№ 295
Пусть х – второе число.
Тогда 2,5 · х – первое число;
2,5 + 1,5 = х + 8,4;
1,5 · х = 6,9;
х = 4,6 – второе число;
2,5 · 4,6 = 11,5 – первое число.
Ответ: 4,6; 11,5.
№ 296
Пусть х – второе число.
www.5balls.ru
Тогда 1,5 · х – первое число;
2 · 1,5 · х = Ошибка!;
Ошибка!;
Ошибка!;
х = 9 – второе число;
1,5 · 9 = 13,5 – первое число.
Ответ: 9; 13,5
№ 297
2 3 2
2 3 4
2 3 2
2 3 2 = 102b2c3d2 + 54 b2c3d2;
а) 42b c d + 54b c d + 48b c d + 12b c d
8m2c3d2
б) 1,
2 3 4
2 3 2
2 3 2 = 102b2c3d2 + 54 b2c3d2
+ 54b c d + 48b c d + 12b c d
.
№ 298
2 2 n +
а) Ошибка!a b c
Ошибка! a2b2cn + Ошибка!a2b2cn = Ошибка!
2 2 n+
2 2 n+
2 2 n=
a b c Ошибка!a b c Ошибка! a b c
=
a2b2cn
;
Ошибка!
n n n+
n n n + 0,01 n n n +
n n n = 3,1 n n n +
б) 3,09x y z Ошибка! x y z
x y z Ошибка! x y z
x y z
+ 0,1 n n n + 0,05 n n n = 3,25 n n n.
x y z
x y z
x y z
№ 299
3
3
3
3
3
3
3
а) – 1,4a – (– 0,09a ) + (– 1,5a ) + 2a = – 1,31a + 0,5a = – 0,81a ;
4
4
4
4
4
4
б) 3,9x + (– 2,7x ) – (– 0,8x ) + (– 2x ) = 1,2x – 1,2x = 0.
№ 300
а) – Ошибка! + Ошибка!– Ошибка!– Ошибка! = – Ошибка! –
Ошибка! + Ошибка! – Ошибка! = – Ошибка!c;
б) – Ошибка!– Ошибка!– Ошибка!+ Ошибка!= – Ошибка!+
Ошибка!– Ошибка!– Ошибка!= Ошибка!.
№ 301
а) 3x · 2y + 5x · 2y + 6x · 2y = 6xy + 10xy + 12xy = 28xy;
б)
2
2
1,2a b
+ 8,8a b =
8a2b
+
3,2aba
2
2
+
6,8aab
+
8,8baa
=
2
1,2a b
+
2
3,2a b
+
2
6,8a b
+
+ 12a b = 20a b;
Ошибка!xy2x + Ошибка!xyxy + Ошибка!xy2x = Ошибка!x2y2 +
Ошибка!x2y2 + Ошибка!x2y2 = x2y2;
3 8
2 5 3
7 2
г) 1Ошибка!mn r + Ошибка!n r nr m + Ошибка!mr n nr = Ошибка!
3 8
3 8
mn r + Ошибка!mn r +
3 8
3 8..
+ Ошибка!mn r = 2Ошибка!mn r
в)
№ 302
2
2
2
2
2
а) 12a b – 3aba – 4baa = 12a b – 3a b – 4a b = 5a b;
3 2
2
3 2
3 2
3 2
3 2
б) 31c d – 12cdc d – 3cdccd = 31c d – 12c d – 3c d = 16c d ;
2 3
2 2
3 3
4 3
4 4
4 4
в) 21xyx y x – 8x y xyxy – 2xy x y – 3x y y = 21x y – 8x y –
www.5balls.ru
4 4
4 4
n n
n–1 n
4 4
– 2x y – 3x y = 8x y ;
г) 5z q – 3z
q z–q
n–1
zqz
n–1
n n
n n
n n
n n
=5z q – 3z q – z q = z q .
№ 303
а) Ошибка!abca + Ошибка!b(– a)ca – Ошибка!acba + Ошибка!(– b)aca
=
Ошибка!a2bc – Ошибка!a2bc – Ошибка!a2bc – Ошибка!a2bc = –
Ошибка!a2bc;
2
б) 3nmr · 4n – Ошибка!nm · Ошибка!· nr + Ошибка!n m · Ошибка!r =
=
2
2
2
2
= 12n mr – n mr – n mr = 10n mr.
№ 304
2 4
2 4
2 4
2 4
2 4
2 4
2 4
(16x y – 13x y ) + (23x y + 10x y ) = 3x y + 33x y = 36x y .
№ 305
3 4
3 2
3 2
3 2
(43a b + (– 27a b )) + (34a b – 20a b ) =
3 4
3 2
3 2
3 4
3 2
= 43a b – 27a b + 14a b = 43a b – 13a b .
№ 306
4
4
4
4
(2,38n p + (– 1,48n p)) + (4,72n p – (– 1,28n p)) =
4
4
4
= 0,9n p + 6n p = 6,9n p.
№ 307
3 4
3 4
3 4
3 4
(2,57r n – (– 1,43r n )) – ( – 8,39r n + 5,39r n ) =
3 4
3 4
3 4
= 4r n – (– 3r n ) = 7r n .
№ 308
2 4
2 4 + 5 2 4 + 7 2 4 + 10 2 4;
а) 25a b = 3a b
3 9
a b
3 9
3 9
б) 43x y = 50x y – 7x y ;
8 10
в) 79c d
8 10
= 85 c d
n n n
a b
8 10
– 10c d
n n n
a b
8 10
+ 4c d ;
n n n
n n n
n n n
г) 99p q z = 100p q z + 10p q z – 15p q z + 4p q z .
№ 309
Пусть x кг – апельсинов; 3x кг – бананов.
Ошибка!= Ошибка!x + 70; Ошибка!x – Ошибка!x = 70;
Ошибка!x = 70; x = 84 кг – апельсинов;
3 ·84 = 256 – бананов.
Ответ: 84; 256.
№ 310
Пусть x км – длина пути, тогда Ошибка!x км – в первый день,
Ошибка!(x – Ошибка!x) км – во второй день.
Ошибка!x + Ошибка!(x – Ошибка!x) + 25 = x;
Ошибка!x + Ошибка!(x – Ошибка!x) – x = – 25;
www.5balls.ru
Ошибка!x + Ошибка!x – Ошибка!x = – 25;
– Ошибка!x = – 25; x = 55.
Ответ: 55 км.
№ 311
Пусть x – количество кирпича в начале дня,
тогда Ошибка!x – отправили на первую стройку,
Ошибка!(x – Ошибка!x) – на вторую стройку.
Пусть y – остаток кирпича на складе, тогда Ошибка!y =120, y = 160.
Ошибка!x + Ошибка!(x – Ошибка!x) + 120 = x – 160;
Ошибка!x + Ошибка!x + 280 = x;
Ошибка!x – Ошибка!x – Ошибка!x = 280;
Ошибка!x = 280; x = 600.
Ответ: 600.
№ 312
Пусть x – некоторое число.
(x – 0,15x) + 0,1(x – 0,15x) + 13 = x;
0,85x + 0,085x + 13 = x;
x – 0,85x – 0,085x = 13;
0,065x = 13;
x = 200.
Ответ: 200.
№ 313
Пусть x – задуманное число.
(x + 0,12) – 0,24(x + 0,12x) + 186 = x;
1,12x – 0,24 · 1,12x + 186 = x;
Ошибка!x – Ошибка!· Ошибка!x + 186 = x;
Ошибка!x – Ошибка!x + 186 = x;
Ошибка!x – Ошибка!x = 186;
Ошибка!x = 186;
x = 1250.
Ответ: 1250.
№ 314
Пусть x – учеников 7-х классов;
0,3(Ошибка!x + Ошибка!x) = 21;
0,3 · Ошибка!x = 21;
0,25x = 21;
x = 84.
Ответ: 84.
§ 11. Умножение одночленов.
Возведение одночлена в натуральную степень
№ 315
а) 2x · 3y = 6xy
б) 7a · 5b = 35ab;
www.5balls.ru
в) 31c · 3d = 93cd;
г) 15z · 3t = 45zt.
№ 316
а) 7a · 2b · 3c = 42abc;
2
2
2
2
3
2 2 3
б) 10x · 2y · 3z = 60x y z ;
в) 10m · 5n · 2q = 100mnq;
3
2 2 3
г) 17p · 2q · 0,5s = 17p q s .
№ 317
2
2
3
7
а) 7x · 5x · 6x = 210x ;
2
3
4
2 3 4
б) Ошибка!a · Ошибка!b · Ошибка!c = Ошибка!a b c ;
2 3 8
3 4 9
в) 71x y z · 2xyz = 142x y z ;
2 23
3
3 54
г) 54c d f · cd f = 54c d f .
№ 318
а) – 5a2b · (– 6ab2) = 30a3b3;
2
3 2
б) 41c d · (–4cd) = 164c d ;
3
2 2
5 3
в) – 17x y · (– 2x y ) = 34x y ;
2 2 3
2
3n4p4.
г) – 13m n p · (– 2mn p) = 26m
№ 319
2
3 3
5 4
а) 0,2c d · 5,4c d = 1,08c d ;
2 3
3 4;
б) 2Ошибка!m p · 5Ошибка!mp = 12m p
3
2
5
в) – b · 0,5b = – 0,5b ;
2
2
г) 8x · (– Ошибка!y) = – Ошибка!x y.
№ 320
2 3
2
3 5 2
а) 0,6x y z · 0,8xy z = 0,48x y z ;
2
3
3 4
б) 6Ошибка!n q · 7Ошибка!nq = 46n q ;
3
4
7
в) 0,75d · (– d ) = – 0,75d ;
2
2
3 3
г) – Ошибка!x y · Ошибка!xy = – Ошибка!x y .
№ 321
3 4
8
4 12
а) 5,1p q · (– 2pq ) = – 10,2p q ;
3
4
7
б) – 27z · ( Ошибка!z ) = – 1,62z ;
3
2
2 3 4
в) – 7,81abc · 2ab c = – 15,62a b c ;
2
2 3
3 5
г) Ошибка!xy · (– 0,1x y ) = 0,075x y .
№ 322
2 2
4 2
а) (3a c) = 3a c ;
24
б) (– Ошибка!xy ) = Ошибка!
3 4
12 4;
x4y8
;
в) (– 0,2c d) = 0,0016c d
5
5 5 5
г) (– Ошибка!abc) = – Ошибка!a b c .
www.5balls.ru
№ 323
3 30
а) (– 6x y ) = 1;
24
4 8
б) (– Ошибка!xy ) = Ошибка!x y ;
2 45
10 20
в) (– 10x y ) = – 100000x y ;
3 24
4 12 8
г) – (– 2ax y ) = – 16a x y .
№ 324
2 3 8
2 7
а) 56x y z = 28xy z · 2xyz;
2 3 4
2
2 3
б) 102m n p = 51m np · 2n p ;
9 14 43
в) 0,21c d f
5 3 40
= 0,3c d f
7 9 12
г) Ошибка!r s t
4 11 3
· 0,7c d f ;
3 84
4 8
= Ошибка!r s t · 2r st .
№ 325
3 4
3 5
а) – 6x y · 4x y ;
4 5
3
б) 2xy · (– 3x y ) · 4xy ;
2
2 3
4
в) x y · (– x y ) · (2xy) · 12xy ;
3
3
2
2
г) 24xy · x y · (– y ) · xy · xy .
№ 326
а) 3b · 3b2 = 9b3;
2 4
3
5 5
б) 8a b · (– a b) = – 8a b ;
3 4
4 5
7 9
в) – 4a b · (– 4a b ) = 16a b ;
8 12
г) – 17a b
9 13
· (– 2ab) = 34a b .
№ 327
3 62
6 12
а) (6x y ) = 36x y ;
34
4 12
б) (– 2ab ) = 16a b ;
3 5
15 5
в) (– m n) = – m n ;
2
33
6 3 9
г) (– 3a bc ) = – 27a b c .
№ 328
4
22
а) 81a = (9a ) ;
6
32
б) 36b = (6b ) ;
в) 144c
12
4
62
= (12c ) ;
22
г) 169d = (13d ) .
№ 329
6
23
9
33
а) 0,008b = (0,2b ) ;
б) 0,027b = (0,3b ) ;
в) 0,001y
24
83
= (0,1y ) ;
6
23
г) – Ошибка!a = (– Ошибка!a ) .
www.5balls.ru
№ 330
3
2
3
2
а) 20a · (5a) = 20a · 25a = 500a
5
34
2
6
5
12
6
12
б) – 0,4x · (2x ) = – 0,4x · 16x
6
5;
в) (– c3) · 12c = c · 12c = 12c ;
23
3
17
= – 6,4x ;
3 6
3
6 7
г) (4ac ) · (0,5a c) = 64a c · (0,5a c) = 32a c .
№ 331
6 34
2
24 12
а) (3x y ) · (– Ошибка!xy ) = 81x y
2 33
42
· (– Ошибка!xy
6 9
2)
25 14
=–x y ;
8
14 9
24 4
26 7.
б) ( Ошибка!x y ) · (– 9x ) = Ошибка!x y · 81x = 24x y ;
22
3
4
3
7
в) (3a ) · (– 6a ) = 9a · (– 6a ) = – 54a ;
2 3
6 4
2 3
г) ( Ошибка!x y ) · (2x y) = Ошибка!x y · 16x y = 2x y
№ 332
6
7
а) (0,2b ) · 5b = b ;
7
40
7
б) Ошибка!p · (– 1Ошибка!p ) = Ошибка!p ;
32
6
6
6
12
в) (– c ) · 12c = c · 12c = 12c ;
23
5
6
5
г) (3Ошибка!a ) · 81a = Ошибка!a · 81 · a =3000a
11
№ 333
2 2
2 3
2
4 4 6
а) Ошибка!a b c · 5ab c · Ошибка!ac = Ошибка!· 5 · Ошибка!a b c
4 4 6
=a b c ;
б) Ошибка!x5y4z3 · (– 8xy3z) = – x6y7z4;
в) 3,5xz3 · (– 3Ошибка!x2z) · (– 5xz) = – 3,5 · 3,5 · (– 5)x4z5 = 61,25x4z5;
3
2
2 2
4 7
4 7
г) 2cd · (– Ошибка!cd ) · (–2c d ) = 2 · Ошибка!· (–2)c d = 2c d .
№ 334
2
2
4 4
а) ab · (– a b) ·(– ab ) = a b ;
2
2 2
5 4
б) x y · xy · (– x y ) = – x y ;
2 5
8 4
11 10
в) mn · (– m n ) · (– m n ) = m n ;
3 4
2 2
6 7
г) (– p q ) · (– pq) · (– 2p q ) = – 2p q .
№ 335
3 2
4 3
а) 1Ошибка!cd · (– Ошибка!c d ) = – c d ;
2 3 7
7 8
б) – Ошибка!a b c · (– 1Ошибка!ab c )
3 10 15
a3b10c15;
a b c = Ошибка!
3
4
=
Ошибка!
·
Ошибка!
7
в) 0,75d · (–d ) = – 0,75d ;
2 3 6
3 4 7
3 4 7..
г) – 14xyz · (– 2Ошибка!x y z ) = 14 · Ошибка!x y z = 39Ошибка!x y z
№ 336
3 44
12 16
а) (0,2a b ) = 0,0016a b ;
2 5 83
б) (1Ошибка!x y z )
Ошибка!x
6 15 24;
= (
Ошибка!x2y5z8)3
y z
www.5balls.ru
=
Ошибка!x6y15z24
= 1
8 7 62
16 14 12
в) ( – 0,3b c d ) = 0,09b c d ;
3 3 30
г) (– Ошибка!a x y ) = 1.
№ 337
2 3 92
4 6 18
а) (– 0,5a b c ) = 0,25a b c ;
2 5 8
2 5 8
б) (1Ошибка!x y z ) = 1Ошибка!x y z ;
8 5 98
64 40 72
в) (– 2a b c ) = 256a b c ;
г) (– Ошибка!
x2y3z8)3= –
Ошибка!x6y9z24.
№ 338
2 3 50
а) (–a b c ) = 1;
2 2 84
б) (– 1Ошибка!p q z )
Ошибка!p
= (–
8 8 32
q z ;
3 2 92
Ошибка!p2q2z8)4
Ошибка!p8q8z32
=
= 1
6 4 18;
в) (– 1,6m n p ) = 2,56m n p
9 15 12 2
г) (– 2Ошибка!r s t ) = (–
Ошибка!r
18 30 24
Ошибка!r9s15t12)2 = Ошибка!r18s30t24 = 6
s t .
№ 339
3 4 6
3 5 9
а) 9a b c ;
б) 12a b c ;
в) 5xy z ;
г)4xy z .
3 9
3 6
№ 340
3 49
3 5 9
а) 6c b f ;
2 10 100
в) 2p q r
б) 12a b c ;
9 54 324
;
г) 4a b c
.
№ 341
а) нет; б) нет; в) нет; г) нет.
№ 342
а) нет; б) нет; в) нет; г) нет.
№ 343
2 2
23
4 2
3 6
7 8
а) (10a y) · (3ay ) = 100a y · 27a y = 2700a y ;
33
52
3 9
б) (– Ошибка!xy ) · (4y ) = – Ошибка!x y · 16y
6 23
2 4
18 6
64
6 4
8 4
в) – (3x y ) · (– x y) = – 27x y · x y = – 27x y ;
4 24
г) (– 5ab ) · (0,3a b) = 25a b
10
26 10
24 4
3 19
= – 2x y ;
28 28
· 0.0081a b = 0,2025a b .
№ 344
3 42
7
6 8
7
6 15
а) (– 4a b ) · 0,25b = 16a b · 0,25b = 4a b ;
40
5
5
5
б) (– Ошибка!pq ) · (– 27pq ) = 1 · (– 27pq ) = – 27pq ;
2
2
3 4
4 2 2
3 4
5 5 6
в) (0,4a bc) · (– 1,5ab c ) = 0,16a b c · (– 1,5ab c ) = – 0,24a b c ;
г) (
16 4..
4 3
Ошибка!m
4
n) · (–32m n) =
12 3
Ошибка!m
m n
www.5balls.ru
4
n · (– 32m n) = –
Ошибка!
№ 345
3 2 2
6 4 2
7 5 3
а) (– 4,5a b y) · (– 2aby) = 20,25a b y · (– 2aby) = – 40,5a b y ;
3 3
2
3 9 3
2
5 10 3
б) (– 3bc d) · (– Ошибка!b cx) = – 27b c d · (– Ошибка!b cx) = b c d x;
3 2 2
3 4
6 4 2
3 4
7 7 6;
в) (– 0,8p x z) · (– 2,5px z ) = 0,64p x z · (– 2,5px z ) = –1,6p x z
23
7
г) (– 3Ошибка!a ) · 81a = (–
13
Ошибка!a2)3 · 81a7 = – Ошибка!a6 · 81a7 =
– 3000a .
№ 346
3 22
а) (– 6a x ) · (–
12 10
Ошибка!a2x2)3 = 36a6x4 · (– Ошибка!a6x6) = – 1Ошибка!
a x ;
3 25
б) (– 4m n )
· (–
22 38;
Ошибка!mn4)7
15 10
= – 1024m n
· (–
Ошибка!m7n28)
=
Ошибка!m n
2 42
5 32
4 8
10 6
14 14
в) (– Ошибка!a c ) · (– 3a c ) = Ошибка!a c · 9a c = Ошибка!a c ;
7 42
6 0
14 8
г) (– Ошибка!a b ) · (– Ошибка!a b) = Ошибка!a b · 1 = 2
Ошибка!a14b8.
№ 347
2
3
3 2 5
а) (2bc) · (ac) = 4a b c ;
3
2 2
3 4 2
б) (– 3p) · (x y) = – 27p x y ;
4
3 3
4 13 3
422
13 5 4
в) (2cd) · (d n) = 16c d n ;
5
г) (bn) · (9b t ) = 81b n t .
§ 12. Деление одночлена на одночлен
№ 348
3
2
а) a : a = a;
б) y
20
8
:y
18
3
2
=y ;
5
в) x : x = x ;
г) z
54
:z
50
4
=z .
№ 349
а) Ошибка!x : 3 = Ошибка!x;
=
y;
б) Ошибка!y : Ошибка! Ошибка!
в) Ошибка!a : Ошибка!= – Ошибка!a;
г) – Ошибка!b : Ошибка!= 1Ошибка!b.
№ 350
а) – 8x : (– 4x) = 2;
б) 3c : c = 3;
в) 7a : (– a) = – 7;
г) – 9b : (– b) = 9.
www.5balls.ru
№ 351
3
2
а) 6x : x = 6x;
2
2
б) – 27y : (– 9y ) = 3;
8
8
в) – 15z : z = – 15;
4
3
г) – 90p : (– 5p) = 18p .
№ 352
а) – 19a : (– 19a) = 1;
б) – 45b : (– 15b) = 3;
в) – 100cd : 20cd = – 5;
г) 18dy : 6dy = 3.
№ 353
а) 16abc : 8a = 2bc;
б) 24pqr : ( – 4pq) = – 6r;
в) – 42cdm : 12c = – 3,5dm;
г) – 99xyz : (– 9x) = 11yz.
№ 354
а) 4,8axy : 1,6xy = 3a;
б) (– 8,8abc) : 1,1b = – 8ac;
в) – 0,81pqs : 0,009pq = – 90s;
г) 6,4xz : (–1,3z) = – 4Ошибка!x.
№ 355
а) 18a
12
б) 24b
10
4
8
7 4
2 3
5
: 6a = 3a ;
в) 12a y : 6a y = 2a y;
: 6b
г) 6b x : 3b x = 2b x.
10
5 3
= 4;
№ 356
3 2 6
2
5
а) 44a b c : 11a bc = 4abc;
4 4 2
4 3
б) 198x y z : 2x y z = 99yz;
8 9 4
2 7
8 4 17
6 2 15
6 2 3;
в) 144m n r : 12m n r = 12m n r
г) 258p q r
: 3p q r
2 2 2
= 86p q r .
№ 357
а) некорректно;
б) корректно;
в) некорректно;
г) корректно.
№ 358
а) нет; б) да; в) да; г) нет.
№ 359
5 6 7
2 4
3 2 6
а) 30x y z : 6x y z = 5x y z ;
8 11 31
б) 75a b c
11 6 16
в) p m q
3 4 10
: 5a b c
3 2 7
5 7 21
= 15a b c ;
8 4 9
:p m q =p m q ;
www.5balls.ru
3 2
2
2 3 10
г) d n z
5
2 5
: dnz = dn z .
№ 360
2 23
2
6 6
2 2
4 4
а) (5a b ) : (5ab) = 125a b : 25a b = 5a b ;
3 34
4 32
10 14
0
12 12
б) (10x y ) : (2x y ) = 10000x y
10 14
в) ( 49z t ) : (7zt) = 49z t
2 3 4
8 12 4
8 6
4 6
: 4x y = 2500x y ;
10 14
: 1 = 49z t ;
7 11 3
г) (– x y z) : xyz = x y z : xyz = x y z .
№ 361
2 2
2
8 8
2 2
6 6
а) (2m n )4 : (4mn) = 16m n : 16m n = m n ;
3 4
0
3 4
3 4
б) 55p q : (5pq) = 55p q : 1 = 55p q ;
2 3 45
6
10 15 20
в) (– x y z ) : (– xyz) = x y z
3 3
2
3 9 3
6 6 6
4 9 14
:x y z =x y z ;
2 2
3 7
г) (– 5ac d) : (5cd) = – 125a c d : 25c d = – 5a c d.
№ 362
4
а) Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!cy ;
б) Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= 3ab;
9 5
в) Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!x c ;
3 3..
г) Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= 6Ошибка!a b
www.5balls.ru
ГЛАВА 4. Многочлены.
Операции над многочленами
§ 13. Основные понятия
№ 366
а) 3a + 4b – многочлен;
б) 5x2 – 3y2 – многочлен;
в) 5(5x2 – 12y2) – многочлен;
г) (a +1)(b – 2) – многочлен.
№ 367
а) 5x2 – 6x2 + Ошибка! – не многочлен;
б) Ошибка! – не многочлен;
в) Ошибка!+ 12z2 – Ошибка! – многочлен;
г) 0,3p2 + 13p – 1 – многочлен.
№ 368
а) 3x2 + 5y + Ошибка! – не многочлен;
б)Ошибка!– Ошибка!+ Ошибка!+ Ошибка! – многочлен;
в) 9x3 – 4y2 – 5 – многочлен;
г) Ошибка!+ Ошибка!+ Ошибка!– Ошибка! – многочлен.
№ 369
а) 5a + 8a2 – 2,5ab;
б) 5a – 4ab + 8a2 – 2,5ab;
в) 5a – 4ab + 8a2; 12a – 2,5ab – a2;
г) 5a – 4ab + Ошибка!.
№ 370
а) 0,5x2 + 12xy + 4xy2; б) 0,5x2y – xy2 – 3xy2;
в) 0,5x2y – xy2 + 12xy; –3x2y – 0,2xy + 4xy2
г) 12xy – 3x2y + Ошибка! – 0,2xy.
№ 371
а) 5x2–3x2 – x3 = 2x2 – x3;
в) 7y3 + y3 + 12y3 = 20y3;
Ошибка!dn = Ошибка!dn.
б) 1,2c5 + 2,8c5 – 4c5;
г) Ошибка!dn – Ошибка!dn +
№ 372
а) 5x2 – 3xy – 2xy = 5x2 – 5xy;
б) 7a2b – 5a2b + ab2 + 2ab2 = 2a2b + 3ab2;
в) 3t2 – 5t2 – 11t – 3t2 + 5t + 11 = –5t2 – 6t + 11;
71
www.5balls.ru
г) z3 + 2z2 + z3 – 4z – z2 = 2z3 + z2 – 4z.
№ 373
а) 4b2 + a2 + 6ab – 11b2 – 6ab = –7b2 + a2;
б) 3a2x + 3ax2 5a3 – 3ax2 – 8a2x – 10a3 = –5a2x – 5a3;
в) 9x3 – 8xy – 6y2 – 9x3 – xy = – 9xy – 6y2;
г) m4 – 3m3n + n2m2 – m2n2 = m4 – 3m3n.
№ 374
а) m · m · m · m – n · n · n = m4 – n3;
б) pq · pq – qp · qp = (pq)2 – (qp)2 = (qp)2 – (qp)2 = 0;
в) 3s · 2r + 2rs + 4r · 8s = 6rs + 2rs + 32rs = 40rs;
г) 12m · 2n – 3m · 4n – 7m · 8n = 24mn – 12mn – 56mn = –44mn.
№ 375
а) 4p3 · 2p + 3p2 · 4p + 2p2 · 2p2 – 2p3 · 4 = 8p4 + 12p3 + 4p4 – 8p3 =
= 12p4 + 4p3;
б) y · 2y – 3y – y2 – 5 + 2y · y – y · 5 + y · 7y2 =
= 2y2 – 3y – y2 – 5 + 2y2 – 5y + 7y3 = 7y3 + 3y2 – 8y – 5;
в) x · Ошибка!x + Ошибка!x + 0,8x – x · Ошибка!x – x = Ошибка!x2
+ Ошибка!x + Ошибка!x – Ошибка!x2 – x =
= Ошибка!x2+ Ошибка!x;
г) 5/6a · a 1/3a – 0,6a · a + a · 0,1a = Ошибка!a2 + Ошибка!a 0,6a2 +
0,1a2 =
= Ошибка!a + Ошибка!a2.
№ 376
а) 2x · 4y – 3x · 2y – 0,2x · 5y + y · 5x – 5xy + 8xy =
= 8xy – 6xy – xy + 5xy – 5xy + 8xy = 9xy;
б) x · p · x · x – p · 3px – p · 4x3 + 7p · x · p =
= x3 · p – 3p2 · x – 4x3 · p + 7p2 · x = 4p2 · x – 3x3 · p;
в) 7x · a · x + a · 2a · x + x · 9x · a – 8a · x · a =
= 7x2 · a + 2a2x + 9x2a – 8a2x = 10x2a – 6a2x;
г) 15r3s – s · r · s · r2 – 3s · r · r · r + 2r2 · s · r = 15r3s – 5r3s + 2r3s = 9r3s.
№ 377
а) 15p + 18p2 + 4 – 12p + 3p2 – p4 = –p4 + 21p2 + 3p + 4;
б) 1,4x2 – 4,1x3 + x – 3,1 + x + 1,3x3 = –2,8x3 + 1,4x2 + 2x – 3,1;
в) Ошибка!a + Ошибка!a2 – Ошибка!a2 + Ошибка! – Ошибка!a =
– Ошибка!a2 – Ошибка!a + Ошибка!;
г) 0,2y4 – 3,5y – 1,2y4 – 1 + 3,5y = – y4 – 1.
72
www.5balls.ru
№ 378
а) a3b + a2b – 3ab + 2a2b + 2ab2 = a3b + 3a2b + 2ab2 – 3ab;
при а = – 1; b = 2; (– 1) 3 · 2 + 3 · (– 1) 2 · 2 + 2 · 1 · 22 – 3 · (– 1) · 2 =
= – 2 + 6 + 8 + 6 = 18;
б) Ошибка!x – Ошибка!y3 + 0,3x – x + Ошибка!y2 = – 0,2x +
Ошибка!y2;
при x = 5; y = Ошибка!; – 0,2 · 5 + Ошибка! · Ошибка! = – 1 +
Ошибка! = – Ошибка!;
в) m4 – 3m3n + m2n2 – m3n – 4m2n2 = m4 – 4m3n – 3m2n2;
при m = – Ошибка!; y = Ошибка!; Ошибка! – 4 · Ошибка! ·
Ошибка! – 3 · Ошибка!· Ошибка!;
г) 6p2q – 5pq2 + 5p3 + 2pq2 – 8p3 – 3p2q = 3p2q – 3pq2 – 3p3.
№ 379
а) x3 + 2x2 + 7x + 8x – x3 – x2 – x2 = 15x;
15x = 1; x = Ошибка!.
Ответ: Ошибка!.
б) 0,5y3 + 2,7y2 + 3,5y + 6,5y – 0,5y3 – 2y2 – 0,7y2 = 10y;
10y = 1; y = Ошибка!.
Ответ: Ошибка!.
в) 3z4 – z2 + 4z + z + z2 – 2z4 – z4 + 8 = 5z + 8;
5z + 8 = 1; 5z = – 7; z = – Ошибка!;
z = –1Ошибка!.
Ответ: – 1,4
г) 6p3 – p2 + 4p3 + p2 – 10p3 – 3p + 19 = – 3p + 19;
–3p + 19 = 1;
3p = 18;
p = 6.
Ответ: 6.
№ 380
3a + 11; a = 5x + 4;
11 + 3(5x + 4) = 11 + 15x +12 = 15x + 23.
№ 381
14 – 8a; a = 3x2 – 4x + 2;
14 – 8(3x2 – 4x + 2) = 14 – 24x2 + 32x – 16 = – 24x2 + 32x – 2.
№ 382
а) c · Ошибка!c – 0,1c5 – c3 + c · c2 · 2c2 – c · Ошибка!c + c · c · c =
= Ошибка!c2 – 0,1c5 – c3 + 2c5 – Ошибка!c2 + c3 = 2c5 – 0,1c5 +
Ошибка!c2 – Ошибка!c2 =
73
www.5balls.ru
= 1,9c5 + Ошибка!c2;
б) Ошибка!m · m – m · Ошибка!m · m + 0,5m + m · m · 1/8m – 1/3m2 +
Ошибка!m =
= Ошибка!m2 – Ошибка!m3 + 0,5m + Ошибка!m3 + Ошибка!m =
= Ошибка!m3 – Ошибка!m3 – Ошибка!m3 + Ошибка!m3 +
Ошибка!m2 + m = – Ошибка!m3 +
1 2
m + m;
9
в) aba + aa – a · 2ab + bab – 2ba · 2b – 6a · 2b2 – aa=
= a2b + a2 – 2a2b + ab2 – 4b2a – 12ab2 – a2 = – a2b – 15ab2;
г) y · 2yy – y · 5xy + x· 3xy – xy · 6y + x · 12xy – y3=
= 2y3 – 5xy2 + 3x2y – 6xy2 + 12x2y – y3 = y3 – 11xy2 + 15x2y.
№ 383
а) 12m · 0,2 m3 + 3,5m · 2m – 27 + 4,5m2 · 0,2m – 15m =
= 2,4m4 + 7m2 – 27 + 0,9m3 – 15m = 2,4m4 + 0,9m3 + 7m2 – 15m – 27;
б) 3,6r · 5r2 – 0,4r2 · 7r + 1,4r3 – 10r2 · 2r + 15r · 0,5r2 =
= 18r4 – 2,8r3 + 1,4r3 – 20r3 +7,5r3 = 18r4 – 13,r3;
в) 9a3 · 0,3a – 12a · 0,4a2 + 7a · 0,2a3 + 1,7a2 · (– 3a) – 13a · 0,5a =
= 2,7a4 – 4,8a3 + 1,4a4 – 5,1a3 – 6,5a2 = 1,3a4 – 9,9a3 – 6,5a2;
г) 0,5b · 4b2 – 5b · 0,3b – 3b2 · (–0,2b) + 14b2 · 0,5 – 25b · 0,3b2 = 2b3 –
– 1,5b2 + 0,6b3 + 7b2 – 7,5b3 = – 4,9b3 + 5,5b2.
№ 384
а) 5a – 13 + 8a – 7a + 25 + (– 6a) = 12;
б) 7b – 15 + 10a – 2a + 13 – 8a = 7b – 2;
в) 12a – 23 + 2a – 3a + b + (– 11a) = b – 23;
г) 8a2 – 7a2 – 4 + (– a2) = – 4.
№ 385
а) a2 + 2a2 – b2 – 3c + (– 3a2) = – b2 – 3c;
б) 3ax2 – 5x3 +4a2 + 8x2a2 – 5 + 11a2 + (– 15a2 = 3ax2 – 5x3 + 8x2a – 5;
в) 2x2 + 3ax – 9a2 + 8x2 – 5ax + 8a2 + a2 = 10x2 – 2ax;
г) 2y2 – 5ay + a2 + 7y2 + 3ay – 5a2 + 4a2 = 9y2 – 2ay.
№ 386
а) 7x + 4y – 11; y = 3x2 – 12x + 5;
7x + 4(3x2 – 12x + 5) – 11 = 7x + 12x2 – 48x + 20 – 11 = 12x2 – 41x + 9;
б) 13a + 6b – 7; b = 4 – a2 + 3a;
13a + 6(4 – a2 + 3a) – 7 = 13a + 24 – 6a2 + 18a – 7 = – 6a2 + 31a + 17.
№ 387
Пусть x = 3a +12; y = 13 – a; z = 5 +4a;
а) x + y + z = 3a + 12 +13 – a + 5 + 4a = 6a + 30;
74
www.5balls.ru
б) x – y + z = 3a + 12 – 13 + a + 5 + 4a = 8a + 4;
в) y – x + z = 13 – a – 3a – 12 + 5 + 4a = 6;
г) z – x – y = 5 +4a – 3a – 12 – 13 + a = 2a – 20.
№ 388
Пусть a = 3x2 + 4x + 8; b = 1,2 – 2x2 – 7x; c = 12,5x2 – 3,5x + 21,8;
а) a + b + c = 3x2 + 4x + 8 + 1,2 – 2x2 – 7x + 12,5x2 – 3,5x + 21,8 =
= 13,5x2 – 6,5x + 31;
б) a – b + c = 3x2 + 4x + 8 – 1,2 + 2x2 + 7x + 12,5x2 – 3,5x + 21,8 =
= 17,5x2 + 7,5x + 28,6;
в) b – a – c = 1,2 – 2x2 – 7x – 3x2 – 4x – 8 – 12,5x2 + 3,5x – 21,8 =
= – 17,5x2 – 7,5x – 28,6;
г) c– b – a =12,x2 – 3,5x + 21,8 – 1,2 + 2x2 + 7x – 3x2 – 4x – 8 =
= 11,5x2 – 0,5x + 12,6.
№ 389
Пусть R = 5a3 + 4a2b + 8ab2 – 24b3, L = 7a3 – 13a2b – 4ab2 + 17b3,
m = –12a3 + 9a2b – 4ab2 + 15b3;
а) R + L + m = 5a3 + 4a2b + 8ab2 – 24b3 + 7a3 – 13a2b – 4ab2 + 17b3 +
+ (– 12a3) + 9a2b – 4ab2 + 15b3 = 8b3;
б) L + R – m = 7a3 – 13a2b – 4ab2 + 17b3 + 5a3 + 4a2b +8ab2 – 24b3 +
+ 12a3 – 9a2b + 4ab2 – 15b3 = 24a3 – 18a2b + 8ab2 – 22b3;
в) m – L – r = – 12a3 + 9a2b – 4ab2 + 15b3 – 7a3 +
+ 13a2b + 4ab2 – 17b3 – 5a3 – 4a2b – 8ab2 + 24b3 =
= – 24a3 + 18a2b – 8ab2 +22b3;
г) L – R + m = 7a3 – 13a2b – 4ab2 + 17b3 – 5a3 – 4a2b – 8ab2 + 24b3 –
– 12a3 + 9a2b – 4ab2 + 15b3 = – 10a3 – 8a2b – 16ab2 + 56b3.
§ 14. Сложение и вычитание многочленов
№ 390
Найдите P(a) = P1(a) + P2(a), если
а) P1(a) = 2a + 5; P2(a) = 3a – 7;
P(a) = 2a + 5 + 3a – 7 = 5a – 2;
б) P1(a) = 7 – 2a; P2(a) = – 1 – 5a;
P(a) = 7 – 2a – 1 – 5a = – 7a + 6;
в) P1(a) = 3a – 4; P2(a) = 11 – 3a;
P(a) = 3a – 4 + 11 – 3a = 7;
г) P1(a) = – 4 – 3a; P2(a) = 7 – 8a;
P(a) = – 4 – 3a + 7 – 8a = 11a + 3.
№ 391
Найдите P(x) = P1(x) + P2(x), если :
75
www.5balls.ru
а) P1(x) = 2x3 + 5; P2(x) = 3x3 + 7;
P(x) = 2x3 + 5 + 3x3 + 7 = 5x3 + 12;
б) P1(x) = 6x2 – 4; P2(x) = 5x2 – 10;
P(x) = 6x2 – 4 + 5x2 – 10 = 11x2 – 14;
в) P1(x) = 4x5 +2x + 1; P2(x) = x5 + x – 2;
P(x) = 4x5 +2x + 1 + x5 + x – 2 = 5x5 + 3x – 1;
г) P1(x) = x11 + x6 – 3; P2(x) = 2x11 + 3x6 + 1;
P(x) = x11 + x6 – 3 + 2x11 + 3x6 + 1 = 3x11 + 4x6 – 2.
№ 392
Найдите P(a,b) = P1(a,b) +P2(a,b)
а) P1(a,b) = a + 3b; P2(a,b) = 3a – 3b;
P(a,b) = a + 3b + 3a – 3b = 4a;
б) P1(a,b) = a2 – 5ab – 3b2; P2(a,b) = a2 + b2;
P(a,b) = a2 – 5ab – 3b2 + a2 + b2 = 2a2 – 5ab – 2b2;
в) P1(a,b) = 8a3 + 3a2b – 5ab2 + b3; P2(a,b) = 18a3 – 3a2b – 5ab2 + 2b3;
P(a,b) = 8a3 + 3a2b – 5ab2 + b3 + 18a3 – 3a2b – 5ab2 + 2b3 =
= 26a3 – 10a2b +3b3;
г) P1(a,b) = 10a4 – 7a3b – a2b2 + 6; P2(a,b) =
= 17a4 – 10a3b + a2b2 + 3;
P(a,b) =10a4 – 7a3b – a2b2 + 6 + 17a4 – 10a3b + a2b2 + 3 = 27a4 –
– 17a3b + 9.
№ 393
Найдите P(y) = P1(y) – P2(y), если:
а) P1(y) = 2y2 + 8y – 11; P2(y) = 3y3 – 6y + 3;
P(y) = 2y2 + 8y – 11 – 3y3 + 6y – 3 = – 3y3 + 2y2 + 14y – 14;
б) P1(y) = 4y4 + 4y2 – 13; P2(y) = 4y4 – 4y2 + 13;
P(y) = 4y4 + 4y2 – 13 – 4y4 + 4y2 – 13 = 8y2 – 26;
в) P1(y) = y3 – y + 7; P2(y) = y3 + 5y +11;
P(y) = y3 – y + 7 – y3 – 5y – 11 = – 6y – 4;
г) P1(y) = 15 – 7y2; P2(y) = y3 – y2 – 15;
P(y) = 15 – 7y2 – y3 + y2 + 15 = – y3 – 6y2 + 30.
№ 394
Найдите P(c,d) = P1(c,d) – P2(c,d), если:
а) P1(c,d) = 3c2 + d; P2(c,d) = 2c2 – 3d;
P(c,d) = 3c2 + d – 2c2 + 3d = c2 + 4d;
б) P1(c,d) = 5c4 + 3c2d – d3; P2(c,d) = 2c2 – 3c2d + d2;
P(c,d) = 5c4 + 3c2d – d3 – 2c2 + 3c2d – d2 = 5c4 + 6c2d – d3 – d2 – 2c2;
в) P1(c,d) = 12c2d – 3cd2 + 4; P2(c,d) = 6c2d – 5cd2 + 2c;
P(c,d) = 12c2d – 3cd2 + 4 – 6c2d + 5cd2 – 2c = 6c2d + 2cd2 – 2c + 4;
г) P1(c,d) = c2 + 2cd + d2; P2(c,d) = 5c2 – 6cd – 7d2;
76
www.5balls.ru
P(c,d) = c2 + 2cd + d2 – 5c2 + 6cd + 7d2 = – 4c2 + 8cd + 8d2.
№ 395
а) (5x – 3) + (7x – 4) = 8 – (15 – 11x);
5x – 3 + 7x – 4 = 8 – 15 + 11x;
12x – 11x = – 7 + 7; x = 0.
Ответ: 0.
б) (4x + 3) – (10x + 11) = 7 + (13 – 4x);
4x + 3 – 10x – 11 = 7 + 13 – 4x;
4x – 10x + 4x = 20 + 11 – 3;
– 2x = 28;
x = – 14.
Ответ: –14.
в) (7 –10x) – (8 – 8x) + (10x +6) = – 8;
7 – 10x – 8 + 8x + 10x + 6 = – 8;
8x = – 8 – 6 + 8 – 7;
x = – Ошибка!;
x = – 1Ошибка!.
Ответ: – 1Ошибка!.
г) (2x + 3) + ( 3x + 4) + (5x + 5 ) = 12 – 7x;
2x + 3 + 3x + 4 + 5x + 5 = 12 – 7x;
10x + 7x = 12 – 12;
17x = 0;
x = 0.
Ответ: 0.
№ 396
а) Ошибка!y – Ошибка!= 0,55;
Ошибка!y – Ошибка!y + 1,25 = 0,55;
– Ошибка!y = 0,55 – 1,25;
– Ошибка!y = – 0,7;
y = 8,4.
Ответ: 8,4.
б) Ошибка!x – Ошибка!= – 0,4;
Ошибка!x – Ошибка!x + 2,4 = – 0,4;
Ошибка!x = – 0,4 – 2,4;
Ошибка!x = – 2,8;
x = – 67,2.
Ответ: – 67,2.
в) Ошибка!x – (0,25x – 3) = 1,2;
0,75x – 0,25x + 3 = 1,2;
0,5x = – 1,8;
77
www.5balls.ru
x = – 3,6.
Ответ: – 3,6.
г) Ошибка!x – (2,5x – 3) = 1,8;
0,5x – 2,5x +3 = 1,8;
– 2x = – 1,2;
x = 0,6.
Ответ: 0,6.
№ 397
а) x – 1; б) (x – 0,5) + (x – 1) + (x – 1,5) = 3x –3;
в) x + x – 0,5 = 2x – 0,5; г) x + (x – 0,5) + (x – 1) + (x – 1,5) = 4x – 3.
№ 398
P1(a) = 2a3 + 3a3 – a + 1; P2(a) = 4a4 + 6a3 – 2a2 + 2a;
P3(a) = 2a5 + 3a4 – a3 + a2;
а) P1(a) + P2(a) + P3(a) = 2a3 + 3a3 – a + 1 + 4a4 + 6a3 – 2a2 + 2a +
+ 2a5 + 3a4 – a3 + a2 = 7a3 + 2a2 + a + 1 + 7a4 + 2a5;
б) P1(a) – P2(a) + P3(a) = 2a3 + 3a3 – a + 1 – 4a4 – 6a3 + 2a2 – 2a +
+ 2a5 + 3a4 – a3 + a2 = 2a5 – a4 – 5a3 + 6a2 – 3a + 1;
в) P1(a) + P2(a) – P3(a) = 2a3 + 3a3 – a + 1 + 4a4 + 6a3 – 2a2 + 2a –
– 2a5 – 3a4 + a3 – a2 = – 2a5 – 3a4 + a3 – a2;
г) P1(a) – P2(a) – P3(a) = 2a3 + 3a3 – a + 1 – 4a4 – 6a3 + 2a2 – 2a – 2a5 –
– 3a4 + a3 – a2 = – 2a5 – 7a4 – 3a3 + 4a2 – 3a + 1.
№ 399
P1(x,y) = 27x3 – 27x2y + 9xy2 – y3; P2(x,y) = 20x3 – 15x2y + 4xy2 – 3y3;
P3(x,y) = 10x3 + 12x2y – 5xy2 + y2;
а) P(x,y) = P1(x,y) + P2(x,y) + P3(x,y) = 27x3 – 27x2y + 9xy2 – y3 +
+ 20x3 – 15x2y + 4xy2 – 3y3 + 10x3 + 12x2y – 5xy2 + y2 =
= 67x3 – 30x2y + 8xy2 – 4y3 + y2;
б) P(x,y) = P1(x,y) – P2(x,y) + P3(x,y) = 27x3 – 27x2y + 9xy2 – y3 –
– 20x3 + 15x2y – 4xy2 + 3y3 + 10x3 + 12x2y – 5xy2 + y2 =
= 17x3 + 10x2y + 2y3 + y2;
в) P(x,y) = P1(x,y) + P2(x,y) – P3(x,y) = 27x3 – 27x2y + 9xy2 – y3 +
+ 20x3 – 15x2y + 4xy2 – 3y3 – 10x3 – 12x2y + 5xy2 – y2 =
= 37x3 – 44x2y + 18xy2 – 4y3 – y2;
г) P(x,y) = P1(x,y) – P2(x,y) – P3(x,y) = 27x3 – 27x2y + 9xy2 – y3 –
– 20x3 + 15x2y – 4xy2 + 3y3 – 10x3 – 12x2y + 5xy2 – y2 =
= – 3x3 – 24x2y + 10xy2 + 2y3 – y2.
№ 400
а) 2x2 – (2x2 – 5x) – (4x – 2) = 5;
2x2 – 2x2 + 5x – 4x + 2 = 5;
78
www.5balls.ru
x = 5 – 2; x = 3.
Ответ: 3.
б) 3y3 – (3y3 – 6y) – (3y + 4) = 2;
3y3 – 3y3 + 6y – 3y – 4 = 2;
3y = 6;
y =2.
Ответ: 2.
в) (x2 – 7x – 11) – (5x2 – 13x – 18) = 16 – 4x2;
x2 – 7x – 11 – 5x2 + 13x + 18 = 16 – 4x2;
x2 – 5x2 + 4x2 – 7x + 13x = 16 – 18 +11;
6x = 9;
x = 1,5.
Ответ: 1,5.
г) (y2 – 5y – 19) – (5y2 – 6y – 9) = 26 – 4y – 4y2;
y2 – 5y – 19 – 5y2 + 6y + 9 = 26 – 4y – 4y2;
y2 – 5y2 + 4y2 – 5y + 6y + 4y = 26 – 9 + 19;
5y = 36;
y =7,2.
Ответ: 7,2.
№ 401
Второй столбец
4x + 1
0
– 4mn
– 2c2d – 3cd2 + 8
а) 9x + 7 – 5x – 6 = 4x + 1;
б) a3 + 2a2b + b3 – a3 – 2a2b – b3 = 0;
в) m2 – 2mn + n2 – m2 – 2mn – n2 = – 4mn;
г) 0 – 2c2d – 3cd2 + 8 = – 2c2d – 3cd2 + 8.
№ 402
а) 6a2 – (2 – (1,56a – (a2 + 0,36a)) + (5,5a2 + 1,2a – 1)) =
= 6a2 – (2 – 1,56a + a2 + 0,36a + 5,5a2 + 1,2a – 1) =
= 6a2 – a2 – 5,5a2 + 1,56a – 0,36a – 1,2a – 2 + 1 = 0,5a2 – 1;
б) (a2 + 2x2) – (5a2 – 1,2ax + (2,8x2 – (1,5a2 – 0,5ax + 1,8x2))) =
= a2 + 2x2 – (5a2 – 1,2ax + (2,8x2 – 1,5a2 + 0,5ax – 1,8x2)) =
= a2 + 2x2 – (5a2 – 1,2ax + 2,8x2 – 1,5a2 + 0,5ax – 1,8x2) =
= a2 + 2x2 – 5a2 + 1,2ax – 2,8x2 + 1,5a2 – 0,5ax + 1,8x2 =
= a2 – 5a2 +1,5a2 + 2x2 – 2,8x2 + 1,8x2 + 1,2ax – 0,5ax =
= – 2,5a2 + x2 + 0,7ax;
в) 12,5x2 + y2 – (8x2 – 5y2 – ( – 10x2 + (5,5x2 – 6y2))) =
= 12,5x2 + y2 – (8x2 – 5y2 – ( – 10x2 + 5,5x2 – 6y2)) =
= 12,5x2 + y2 – (8x2 – 5y2 + 10x2 – 5,5x2 + 6y2) =
= 12,5x2 + y2 – 8x2 + 5y2 – 10x2 + 5,5x2 – 6y2 =
= 12,5x2 – 8x2 – 10x2 + 5,5x2 + y2 + 5y2 – 6y2 = 0;
79
www.5balls.ru
г) (y3 + 3z2) – (y3 – 6az + (2y3 – (3z2 + 4az – 1,2y3))) =
= y3 + 3z2 – (y3 – 6az + (2y3 – 3z2 – 4az + 1,2y3)) =
= y3 + 3z2 – (y3 – 6az + 2y3 – 3z2 – 4az + 1,2y3) =
= y3 + 3z2 – y3 + 6az – 2y3 + 3z2 + 4az – 1,2y3 =
= y3 – y3 – 2y3 – 1,2y3 +3z2 + 3z2 +6az + 4az =
= – 3,2y3 + 6z2 + 10az.
§ 15. Умножение многочлена на одночлен
№ 403
а) 2x(x2 + 5x + 3) = 2x3 10x2 + 6x;
б) – 2xy(x2 + 2xy – y2) = – 2x3y – 4x2y2 + 2xy3;
в) 3y(y3 – 3y – 4) = 3y4 – 9y2 – 12y;
г) – 5mn(m3 + 3m2n – n3) = – 5m4n – 15m3n2 + 5mn4.
№ 404
а) x2y2 (x + y) = x3y2 + x2y3;
б) – c3d4 (c2 – d3) = – c5d4 + c3d7;
в) – p5q8 (p3 + 3pq – q4) = – p8q8 – 3p6q9 + p5q12;
г) r7s12 (r10 + 2rs – s5) = r17s12 + 2r8s13 – r7s17.
№ 405
а) 3x(x + y) – 3x2 = 3x2 + 3xy – 3x2 = 3xy;
б) 7a(a – b) – 7a2 = 7a2 – 7ab – 7a2 = – 7ab;
в) 5c(c2 – d2) – 5c3 = 5c3 – 5cd2 – 5c3 = – 5cd2;
г) 10m( m5 + n6) – 10m6 + 10mn6 – 10m6 = 10mn6.
№ 406
а) 3x(x – 5) – 5x(x + 3) = 3x2 – 15x – 5x2 – 15x = – 2x2 – 30x;
б) 2y(x – y) + y(3y – 2x) = 2xy – 2y2 + 3y2 – 2xy = y2;
в) 2a(a –b) + 2b(a + b) = 2a2 – 2ab + 2ab +2b2 = 2a2 + 2b2;
г) 3p(8c + 1) – 8c(3p – 5) = 24pc + 3p – 24pc + 40c = 3p + 40c.
№ 407
а) 5x(2x – 3) – 2,5x(4x – 2) = 10x2 – 15x – 10x2 + 5x = – 10x;
При x = – 0,01; – 10x = – 10 · (– 0,01) = 0,1.
Ответ: 0,1.
б) 5a(a2 – 4a) – 4a(a3 – 5a) = 5a3 – 20a2 – 4a3 + 20a2 = a3;
При a = – 3; a3 = (– 3) 3 = – 27.
Ответ: – 27.
в) 12(2 – p) + 29p – 9(p + 1) = 24 – 12p + 29p – 9p – 9 = 8p + 15;
При p = Ошибка!; 8p + 15 = 8 · Ошибка!+ 15 = 17.
Ответ: 17.
80
www.5balls.ru
г) 3(3d – 1) + 7(2d + 1) = 9d – 3 + 14d + 7 = 23d + 4;
При d = 2Ошибка!; 23d + 4 = 23 · Ошибка! + 4 = 54.
Ответ: 54.
№ 408
а) 3(x – 1) – 2(3 – 7x) = 2(x –2);
3x – 3 – 6 + 14x = 2x – 4;
17x – 2x = – 4 + 9;
15x = 5;
x = Ошибка!.
Ответ: Ошибка!.
б) 10(1 – 2x) = 5(2x – 3) – 3(11x – 5);
10 – 20x = 10x – 15 – 33x + 15;
– 20 – 10x + 33x = – 10;
3x = – 10;
x = – 3Ошибка!.
Ответ: – 3Ошибка!.
в) 2(x + 3) – 3(2 – 7x) = 2(x – 2);
2x + 6 – 6 +14x = 2x – 4;
16x – 2x = – 4;
14x = – 4;
x = – Ошибка!.
Ответ: – Ошибка!
г) 5(3x – 2) = 3(x +1) – 2(x +2);
15x – 10 = 3x + 3 – 2x – 4;
15x – x = 3 –4 + 10;
14x = 9;
x = Ошибка!.
Ответ: Ошибка!
№ 409
а) Ошибка!= 1;
2x + 1 = 1;
2x = 4;
x = 2.
Ответ: =2.
б) Ошибка!= Ошибка!;
11 – 3x = 2;
3x = 9;
x = 3.
Ответ: 3.
в) Ошибка!= Ошибка!;
81
www.5balls.ru
3x + 7 = 6x + 4;
– 3x = – 3;
x = 1.
Ответ: 1.
г) Ошибка! = 5x + Ошибка!;
7x – 3 = 30x + 3;
23x = – 6;
x = – Ошибка!.
Ответ: – Ошибка!.
№ 410
а) Ошибка! + Ошибка! = 2;
7(2x + 1) + 5(3x + 1) = 70;
14x + 7 + 15x + 5 = 70;
29x = 58;
x = 2.
Ответ: 2.
б) Ошибка! – Ошибка! = 2;
10(8x – 3) – 7(3x + 1) = 140;
80x – 30 – 21x – 7 =140;
59x = 177;
x = 3.
Ответ: 3.
в) 2x – Ошибка! = Ошибка!;
2x · 3 = 2x + 3 + x – 6;
6x = 3x – 3;
3x = – 3;
x = – 1.
Ответ: – 1.
г) Ошибка! – Ошибка! = 2.
7(x+14) – 5(6x + 1) =70;
7x + 98 – 30x – 5 =70;
– 23x = – 23;
x = 1.
Ответ: 1.
№ 411
а) 2x2 – x(2x – 5) – 2(2x – 1) – 5 = 0;
2x2 – 2x2 + 5x – 4x + 4 – 5 = 0;
x = 5 – 4; x = 1.
Ответ: 1.
б) 6x(x + 2) – 0,5(12x2 – 7x) – 31 = 0;
6x2 + 12x – 6x2 + 3,5x – 31 = 0;
15,5x = 31;
x = 2.
Ответ: 2.
в) 12x(x – 8) – 4x(3x – 5) = 10 – 26x;
12x2 – 96x – 12x2 + 20x = 10 – 26x;
–76x + 26x = 10 – 26x;
–50x = 10;
x = – Ошибка!.
Ответ: – 1,2.
г) 8(x2 – 5) – 5x(x + 8) = 3x2 – 11x + 18;
8x2 – 40 – 5x2 – 40x = 3x2 – 11x + 18;
82
www.5balls.ru
8x2 – 5x2 – 3x2 – 40x + 11x = 19 + 40;
–29x = 58;
x = –2.
Ответ: – 2.
№ 412
Пусть t ч. – время затраченное первым велосипедистом.
Тогда (t – 0,5) ч. – время затраченное вторым велосипедистом.
12t = 14(t – 0,5);
12t = 14t – 7; 2t = 7;
t = 3,5 ч.
Значит расстояние между пунктами А и В равно 3,5 · 12 = 42 км.
Ответ: 42 км.
№ 413
Пусть V Ошибка! – скорость лодки.
Тогда (V + 3) Ошибка! – скорость лодки по течению;
(V – 3) Ошибка! – скорость лодки против течения;
6 · (v + 3) + 4(v – 3) = 126;
6v + 18 + 4v – 12 = 126;
10v + 6 = 126; 10v = 120;
V = 12 Ошибка! – скорость лодки.
Ответ: 12 Ошибка!.
№ 414
Пусть t ч. – время затраченное на обратный путь.
Тогда (t + 1) ч. – затраченно на обратный путь.
10(t + 1) = 15t;
10t + 10 = 15t;
5t = 10;
t = 2 ч.
Значит расстояние равно 2 · 15 = 30 км.
Ответ: 30 км.
№ 415
Пусть V Ошибка! – скорость катера.
Тогда (V + 2) Ошибка! – скорость катера по течению;
(V – 2) Ошибка! – скорость катера против течения;
4(V + 2) + 3(V – 2) = 93;
4v + 8 + 3v – 6 = 93;
7v + 2 = 93;
7v = 91;
v = 13 Ошибка!.
83
www.5balls.ru
Ответ: 13 Ошибка!
№ 416
а) 14a · Ошибка! + 25a2 · Ошибка! = 2a · (a + 2) + 5a2 · (4 – 3a) =
= 2a2 + 4a + 20a2 – 15a3 = – 15a3 + 22a2 + 4a;
б) 24b3 · Ошибка! + 26b2 · Ошибка! =
= 4b3 (b3 + b – 1) + 2b2 (b3 – 3b2 + 4) =
= 4b6 + 4b4 – 4b3 + 2b5 – 6b4 + 8b2 = 4b6 + 2b5 – 2b4 – 4b3 + 8b2;
в) 3r2 · Ошибка! + 5r · Ошибка! = 30r2 (5r2 – 4) + 10r(7r3 – 3r) =
= 150r4 – 120r2 + 70r4 – 30r2 = 220r4 – 150r2;
г) 8a · Ошибка! – 9a2 · Ошибка! =
= 20a(13a3 – 12a2 + 5) – 30a2 (4a2 + 12a – 1) = 260a4 – 240a3 + 100a –
– 120a4 – 360a3 + 30a2 = 140a4 – 600a3 + 30a2 + 100a.
№ 417
а) 18a2 · Ошибка! – 2a · Ошибка! + a4 – 3a3 + a2 =
= 2a2 (a2 – 3a + 1) – 5a(a3 – 3a2 + a) + a4 – 3a3 + a2 = 2a4 – 6a3 + 2a2 –
– 5a4 + 15a3 – 5a2 + a4 – 3a3 + a2 = – 2a4 + 6a3 – 2a2;
б) 12x · Ошибка! – 27y · Ошибка! – y(y + 1) = 2x(x +y) – 3y(2x – y) –
y2 – y =
= 2x2 + 2xy – 6xy + 3y2 – y2 – y = 2x2 + 2y – 4xy – y;
в) 33c3 · Ошибка! – 10c · Ошибка! + c4 – 3c =
= 3c3 (c+1) – 2c(c3 – 5c2 + c) + c4 – 3c =
= 3c4 + 3c3 – 2c4 + 10c3 – 2c2 + c4 – 3c = 2c4 + 13c3 – 3c;
г) 28p2 · Ошибка! – 3p · Ошибка! + 2p4 + 10p3 – 2p2 =
= 40p2 (p2 + 5p – 1) – 30p(p3 + 0,5p2 – p) + 2p4 + 10p3 – 2p2 =
= 40p4 + 200p3 – 40p2 – 30p4 – 15p3 + 30p2 + 2p4 + 10p3 – 2p2 =
= 12p4 + 195p3 – 12p2.
№ 418
a = 3x2 + 4x – 8, b = 2x2 – 7x + 12, c = 5x2 + 3x – 27;
а) 2(3x2 + 4x – 8) + 3(5x2 + 3x – 27) + 4(2x2 – 7x + 12) =
= 6x2 + 8x – 16 + 15x2 + 9x – 81 + 8x2 – 28x + 48 = 29x2 – 11x – 49;
б) 7x(3x2 + 4x – 8) – 12x + 15x(5x2 + 3x – 27) – 13 =
= 21x3 + 28x2 – 56x – 12x + 75x3 + 45x2 – 405x – 13 =
= 96x3 + 73x2 – 473x – 13;
в) 72x(3x2 + 4x – 8) – 4(2x2 – 7x + 12) + 3x(5x2 + 3x – 27) + 4 =
= 216x3 + 288x2 – 576x – 8x2 + 28x – 48 +15x3 + 9x2 – 81x + 4 =
= 31x3 + 289x2 – 629x – 44;
г) 0,1x2 (3x2 + 4x – 8) + 0,5x(5x2 + 3x – 27) – 0,6x3 (2x2 – 7x + 12) – 17=
= 0,3x4 + 0,4x3 – 0,8x2 + 2,5x3 + 1,5x2 – 13,5x – 1,2x5 + 4,2x4 – 7,2x3 –
– 17 = – 1,2x5 + 4,5x4 – 4,3x3 + 0,7x2 – 13,5x – 17.
84
www.5balls.ru
№ 419
x = 3a2 + 4, y =12a – 13, z = a2 – a + 1,
r = 5a3, L = 12a2, m = 4a
а) 2(3a2 + 4) + 5a3 (12a – 13) – 12a2 (a2 – a + 1) =
= 6a2 + 8 + 60a4 – 65a3 – 12a4 + 12a3 – 12a2 = 48a4 – 53a3 – 60a2 + 8;
б) 12a2 (3a2 + 4) – 3 · 4a(12a – 13) = 36a4 + 48a2 – 144a2 + 156a =
= 36a4 – 96a2 + 156a;
в) 5a3 (3a2 + 4) + 12a2 (12a – 13) – 4a(a2 – a + 1) = 15a5 + 20a3 +
+ 144a3 – 156a2 – 4a3 + 4a2 – 4a = 15a5 + 160a3 – 152a2 – 4a;
г) 4a(3a2 + 4) – 12a2 (a2 – a + 1) + 4 · 5a3 (3a2 + 4) – 14 =
= 12a3 + 16a – 12a4 + 12a3 – 12a2 + 60a5 + 80a3 – 14 =
= 60a5 – 12a4 + 104a3 + 16a – 14.
№ 420
x(3 + 2) – x2 (x + 3) + (x3 2x + 9) = 3x2 + 2x – x3 – 3x2 + x3 – 2x + 9 = 9.
Тождественно равно 9.
№ 421
2
3
6x(x – 3) – 9( x 2 – 2x +4) = 6x2 – 18x – 6x2 + 18x – 36 = – 36.
Тождественно равно – 36.
№ 422
а)Ошибка! + Ошибка! + Ошибка!= x – 1;
2(2x – 3) + 7x – 13 +3(5 – 2x) = 6(x –1);
4x – 6 + 7x – 13 + 15 – 6x = 6x – 6;
5x – 6x = – 6 + 4;
x = – 2; x = 2.
Ответ: 2.
б) Ошибка! + Ошибка! + Ошибка! = 4 – x;
4(x – 2) + 5(2x – 5) + 4x – 1 = 20(4 – x);
4x – 8 + 10x – 25 + 4x – 1 = 80 – 20x;
20x + 4x + 10x + 4x = 80 + 8 + 25 + 1;
38x = 114; x = 3.
Ответ: 3.
в) Ошибка! + Ошибка! + Ошибка!= 3x – 2;
2(5x – 4) + 3x – 2 + 6x – 3 = 18x – 12;
10x + 3x + 6x – 18x = – 12 + 3 + 2 + 8; x = 1.
Ответ: =1.
г) x2 – 5x + 3 – Ошибка! = Ошибка!;
3(x2 – 5x + 3) – (3x2 – 5x – 7) = 1;
3x2 – 15x + 9 – 3x2 + 5x + 7 = 1;
85
www.5balls.ru
–10x = 1 – 7 – 9; –10x = – 15;
x =1Ошибка!.
Ответ: 1Ошибка!
№ 423
а) 2x + x(3 – (x + 1)) = x(2 – x) + 12;
2x + 3x – x2 – x = 2x – x2 + 12;
4x = 2x – x2 + 12;
2x = 12;
x = 6.
Ответ: 6.
б) x(2x + 3) – 5(x2 – 3x) = 3x(7 – x);
2x2 + 3x – 5x2 + 15x = 21x – 3x2;
18x = 21x – 3x2 + 5x2 – 2x2;
–3x = 0;
x = 0.
Ответ: 0.
в) x(4x + 11) – 7(x2 – 5x) = – 3x(x + 3);
4x2 + 11x – 7x2 + 35x = – 3x2 – 9x;
4x2 – 7x2 + 3x2 + 11x + 35x + 9x = 0;
55x = 0;
x = 0.
Ответ: 0.
г) x(12 – x) – 5 = 4x – x(10 – (3 – x)) ;
12x – x2 – 5 = 4x – 10x + 3x – x2;
12x – 4x + 10x – 3x = 5;
15x = 5;
x = Ошибка!.
Ответ: Ошибка!.
№ 424
Пусть t ч. – время затраченное пешеходом.
Тогда (t – 0,25) ч. – время затраченное велосипедистом.
4t + 12(t – 0,25) = 17;
4t + 12t – 3 = 17;
16t = 20;
t = 1Ошибка! ч.
1Ошибка! · 4 = 5 км – прошел пешеход.
(1Ошибка! – Ошибка!) · 12 = 12 км – проехал велосипедист.
Ответ: 5; 12.
№ 425
Пусть х км – прошел в первый день.
86
www.5balls.ru
Тогда (х – 5) км – во второй день; Ошибка!(х + (х – 5)) – в третий
день.
Ошибка!(2x – 5) + x + x – 5 = 110; 2x – 5 + Ошибка!(2x – 5) = 110;
Ошибка!(2x – 5) = 110;
2x – 5 = 77;
2x = 82;
x = 41 км – в первый день; 41 – 5 = 36 км – во второй день;
Ошибка!(2 · 41 – 5) = 33 км – в третий день.
Ответ: 41; 36; 33.
№ 426
Пусть х Ошибка! – скорость первого самолета.
Тогда 1,5х Ошибка! – скорость второго самолета.
0,5x + 0,5 · 1,5x = 2400 – 1400; 1,25x = 1000;
x = 800 Ошибка! – скорость первого самолета.
1,5 · 800 = 1200 Ошибка! – скорость второго самолета.
Ответ: 800 Ошибка!; 1200 Ошибка!.
№ 427
Пусть х Ошибка! – скорсть велосипедиста.
Тогда 4х Ошибка! – скорость автомобиля.
Ошибка!x + Ошибка! · 4x = 30 – 10; 2x = 20;
x = 10 Ошибка! – скорость велосипедиста.
4 · 10 = 40 Ошибка! – скорость автомобиля.
Ответ: 10 Ошибка!.
№ 428
Пусть х га – убрал за день первый фермер.
Тогда (х – 2,5) га – убрал за день второй фермер.
8x = 10(x – 2,5) + 2;
8x = 10x – 25 + 2;
2x = 23;
x = 11Ошибка! га – убрал первый фермер за день.
11Ошибка! – 2Ошибка! = 9 га – убрал за день второй фермер.
Ответ: 11Ошибка! га; 9 га.
№ 429
Пусть х деталей изготовил ученик за 2 часа.
Тогда (х + 8) деталей изготовил мастер.
6x + 8(x + 8) = 232;
6x + 8x + 64 = 232;
14x = 168;
x = 12 – деталей изготовил ученик.
87
www.5balls.ru
Ответ: 12 деталей.
№ 430
Пусть х жителей в первом поселке.
Тогда 2х жителей живет во втором поселке.
(2х – 400) жителей живет в третем поселке.
x + 2x + (2x – 400) = 6000;
5x = 6400;
x = 1280 – жителей в первом поселке.
2 · 1280 = 2560 – жителей во втором поселке.
2560 – 400 = 2160 – жителей в третьем поселке.
Ответ: 1280; 2560; 2160.
№ 431
Пусть х рабочих – во втором цехе.
Тогда 1,5х рабочих в первом цехе.
(х – 200) рабочих в третем цехе.
1,5x + x – 200 = 800;
2,5x = 1000;
x = 400 – рабочих во вторм цехе.
Ответ: 400 рабочих.
№ 432
Пусть х деталей изготовил третий цех.
Тогда 3х деталей изготовил вторй цех.
(3х + х) деталей изготовил первый цех.
x + 3x + 3x + x =2648; 8x = 2648;
x = 331 деталей изготовил третий цех.
3 · 331 = 993 детали изготовил второй цех.
4 · 331 = 1324 детали изготовил первый цех.
Ответ: 1324; 993; 331.
№ 433
Пусть V = (Vв – Vп) Ошибка! – разность скорости велосипедиста и
пешехода.
Тогда Ошибка!V = 10 – 2;
V = 10 Ошибка! – разность между скоростями.
2 · 10 = 20 км. – расстояние между ними.
Ответ: 20 км.
№ 434
Пусть V = (Vв – Vп) Ошибка! – разность скорости велосипедиста и
пешехода.
88
www.5balls.ru
Тогда Ошибка!V = 7 – 1;
Ошибка!V = 6;
V = 8 Ошибка! – разность скоростей.
1,5 · 8 = 12 км.
Ответ: 12 км.
§ 16. Умножение многочлена на многочлен
№ 435
а) (x +1)(x + 2) = x(x + 1) + 2(x+1) = x2 + x + 2x + 1 = x2 + 3x + 1;
б) (a – 3)(a + 8) = a(a + 8) – 3(a + 8) = a2 + 8a – 3a – 24 = a2 + 5a – 24;
в) (b + 10)(b – 4) = b(b – 4) + 10(b – 4) = b2 – 4b + 10b – 40 =
= b2 + 6b – 40;
г) (y – 5)(y – 9) = y(y – 5) – 9(y – 5) = y2 – 5y – 9y + 45 = y2 – 14y + 45.
№ 436
а) (x – 5)(9 – x) = 9(x – 5) – x(x – 5) = 9x – 45 – x2 + 5x =
= –x2 + 14x – 45;
б) (y – 10)(–y – 6) = –y(y – 10) – 6(y – 10) = –y2 + 10y – 6y + 60 =
= – y2 + 4y – 60;
в) (b + 10)(b – 4) = b(b – 4) + 10(b – 4) = b2 – 4b + 10b – 40 =
= b2 + 6b – 40;
г) (–7 – b)(a – 4) = a( –7 – b) – 4( –7 – b) = –7a – ab + 28 + 4b.
№ 437
а) (2a + 4)(5a + 6) = 2a(5a + 6) + 4(5a + 6) = 10a2 +32a + 24;
б) (7b – 3)(8b + 4) = 7b(8b + 4) – 3(8b + 4) = 56b2 + 4b – 12;
в) (8c + 12)(3c – 1) = 8c(3c – 1) + 12(3c – 1) = 24c2 + 28c + 12;
г) (15d + 27)(–5d – 9) = –75d2 – 135d – 135d – 243 =
= –75d2 – 270d – 243.
№ 438
а) (m2 + n)(m + n) = m2 (m + n) + n(m + n) = m3 + m2n + mn + n;
б) (2x2 – 1)(x + 3) = 2x2 (x + 3) – (x + 3) = 2x3 + 6x2 – x + 3;
в) (3y2 + 5)(y – 6) = 3y2 (y – 6) + 5(y – 6) = 3y3 + 5y – 18y2 – 30;
г) (7c2 – 1)(c – 3) = 7c2 (c – 3) – (c – 3) = 7c3 – 21c2 – c + 3.
№ 439
а) (3a + 5)(3a – 6) + 30 = 9a2 + 15a – 18a – 30 + 30 = 9a2 – 3a;
б) (8 – y)(8 + y) – (y2 + 4) = 64 – y2 –y2 – 4 = 60 – 2y2;
в) x(x – 3) + (x + 1)(x + 4) = x2 – 3x + x2 + 5x + 4 = 2x2 + 2x + 4;
г) (c + 2)c – (c + 3)(c – 3) = c2 + 2c – c2 + 9 = 2c + 9.
89
www.5balls.ru
№ 440
а) 0,3a(4a2 – 3)(2a2 + 5 = 0,3a(8a4 – 6a2 + 20a2 – 15) =
= 0,3(8a4 + 14a2 – 15) = 2,4a4 + 4,2a2 – 4,5;
б) 1,5x(3x2 – 5)(2x2 + 3) = 1,5x(6x4 – x2 – 15 = 9x5 – 1,5x3 – 22,5x;
в) 3p(2p + 4) · 2p(2p – 3) = 6p2 (4p2 + 2p – 12) = 24p4 + 12p3 – 72p2;
г) –0,5y(4 – 2y2)(y2 + 3) = –0,5y(4y2 – 2y4 + 12 – 6y2) = y3 + y5 – 6y.
№ 441
а) (3m3 + 5)(3m2 – 10) = 3m3 (3m2 – 10) + 5(3m2 – 10) =
=9m5 + 15m2 – 30m3 – 50;
б) (4n5 – 1)(2n3 + 3) = 4n5 (2n3 + 3) – (2n3 + 3) = 8n8 – 2n3 + 12n5 – 3;
в) (5k4 + 2)(6k2 – 1) = 5k4 (6k2 – 1) + 2(6k2 – 1) = 30k6 + 12k2 – 5k4 – 2;
г) (6p8 – 4)(2p2 + 5) = 6p8(2p2 + 5) – 4(2p2 + 5) = 12p10 – 8p2 + 30p8 –20.
№ 442
а) (a + 2)(a2 – a – 3) = a3 + 2a2 – a2 – 2a – 3a – 6 =
= a3 + a2 – 5a – 6;
б) (5b – 1)(b2 – 5b + 1) 5b3 – b2 – 25b2 + 5b + 5b – 1 =
= 5b3 – 26b2 + 10b – 1;
в) (m – n + 1)(m + n) = m2 + mn – mn – n2 + m + n =
= m2 – n2 + m + n;
г) (c – 2d)(c + 2d – 1) = (c – 2d)(c + 2d) – c + 2d =
= c2 – 4d2 – c + 2d.
№ 443
а) (x2 – xy + y2)(x + y) =x(x2 – xy + y2) + y(x2 – xy + y2) =
= x3 – x2y + y2x + yx2 – x2y + y3 = x3 + y3;
б) (n2 + np + p2)(n – p) = n(n2 + np + p2) – p(n2 + np + p2) =
= n3 + n2p + np2 – pn2 – np2 – p3 = n3 – p3;
в) (a + x)(a2 + ax + x2) = a(a2 + ax + x2) + x(a2 + ax + x2) =
= a3 + a2x + ax2 + xa2 + ax2 + x3 = a3 + x3 + 2ax2 + 2a2x;
г) (c2 + cd + d2)(c – d) = c(c2 + cd + d2) – d(c2 + cd + d2) =
= c3 + c2d + cd2 – dc2 – d2c – d3 = c3 – d3.
№ 444
а) (2a+ 3b)(4a2 – 6ab + 9b2) = 2a(4a2 – 6ab + 9b2) +
+ 3b(4a2 – 6ab + b2) = 8a3 – 12a2b + 18ab2 + 12a2b – 18ab2 + 27b2 =
= 8a3 + 27b3;
б) (5x + 2y)(25x2 + 10xy + 4y2) =
= 5x(25x2 + 10xy + 4y2) + 2y(25x2 + 10xy + 4y2) =
= 125x3 + 50x2y + 20xy2 + 50yx2 + 20xy2 + 8y3;
90
www.5balls.ru
в) (5 – 2a + a2)(4a2 – 3a – 1) = 20a2 – 8a3 + 4a4 – 15a + 6a2 – 3a3 – 5 +
+ 2a – a2 = 4a4 – 11a3 + 25a2 – 13a – 5;
г) (m2 – m + 2)(3m2 + m – 2) = 3m4 – 3m3 + 6m2 + m3 – m2 + 2m – 2m2 +
+ 2m – 4 = 3m4 – 2m3 + 3m2 + 4m – 4.
№ 445
а) (a – 1)(a – 2) – (a – 5)(a + 3) = a2 – 3a + 2 – a2 + 2a + 15 = 17 – a =
= 17 + 8 = 27;
б) (a – 3)(a + 4) – (a + 2)(a + 5) = a2 + a – 12 – a2 – 7a – 10 =
= –6a – 24 = 1 – 24 = – 23;
в) (a – 7)(a + 4) – (a + 3)(a – 10) = a2 – 3a – 28 – a2 + 7a + 30 =
= 4a + 2 = –0,6 + 2 = 1,4;
г) (a + 2)(a + 5) – (a + 3)(a + 4) = a2 + 7a + 10 – a2 – 7a – 12 =
= 10 – 12 = –2.
№ 446
а) 12x2 – (4x – 3)(3x + 1) = –2;
12x2 – 12x2 + 5x + 3 = –2;
5x + 5 = 0;
x = – 1.
Ответ: –1.
б) (x + 1)(x + 2) – (x + 3)(x + 4) = 0;
x2 + 3x + 2 – x2 – 7x – 12 = 0;
–4x – 10 = 0;
x = – 2,5.
Ответ: – 2,5.
в) 10x2 – (2x – 3)(5x – 1) = 31;
10x2 – 10x2 + 17x – 3 = 31;
17x = 34;
x = 2.
Ответ: 2.
г) 16x2 – (4x – 1)(4x – 3) =13;
16x2 – 16x2 + 16x – 3 = 13;
16x = 16;
x = 1.
Ответ: 1.
№ 447
а) (3x + 5)(4x – 1) = (6x – 3)(2x + 7);
12x2 + 17x – 5 = 12x2 + 36x – 21;
19x = 16;
x = Ошибка!.
Ответ: Ошибка!.
91
www.5balls.ru
б) (5x – 1)(2 – x) = (x – 3)(2 – 5x);
11x – 2 – 5x2 = 17x – 6 – 5x2;
6x =4;
x = Ошибка!.
Ответ: Ошибка!.
в) (5x + 1)(2x – 3) = (10x – 3)(x + 1);
10x2 – 13x – 3 = 10x2 + 7x – 3;
20x = 0; x = 0.
Ответ: 0.
г) (7x – 1)(x + 5) = (3 + 7x)(x + 3);
7x2 + 34x – 5 = 7x2 + 24x + 9;
10x = 14; x = 1Ошибка!.
Ответ: 1Ошибка!.
№ 448
Пусть х м. – длина прямоугольника.
Тогда (х – 20) м. – его ширина.
(x – 10)(x – 20 + 6 = x(x – 20) + 12;
x2 – 10x – 20x + 200 + 6x = x2 – 20x + 12;
–4x + 200 = 12;
4x = 188; x = 47;
47 – 20 = 27 м. – ширина прямоугольника.
Ответ: 47; 27.
№ 449
Пусть х – наименьшее натуральное число из этих чисел.
Тогда (x + 1) – второе число.
(х + 2) – третее число.
(х + 3) – четвертое число.
(x + 2)(x + 3) – x(x + 1) = 58;
x2 + 5x + 6 – x2 – x = 58;
4x = 52; x = 13;
13 + 1 = 14 – второе число.
13 + 2 = 15 – третее число.
13 + 3 = 16 – третее число.
Ответ: 13; 14; 15; 16.
№ 450
Пусть х см. – длина прямоугольника.
Тогда Ошибка!см. – ширина прямоугольника.
(x + 10)(30 – x – 6) = x(30 – x) – 32;
(x + 10)(24 – x) = 30x – x2 – 32;
14x + 240 – x2 = 30x – x2 – 32;
92
www.5balls.ru
16x = 272;
x = 17 см. – длина прямоугольника.
Из того что площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину следует, что S = 17 · (30 – 17) = 17 · 13 = 221 см2.
Ответ: 221 см2.
№ 451
Пусть х – меньшее число.
Тогда (х + 1) – второе число.
(х + 2) – третее число.
x2 + 65 = (a + 1)(a +2);
x2 + 65 = x2 + 3a + 2;
3x = 63;
x = 21 – первое число.
21 + 1 = 22 – второе число.
21 + 2 = 23 – третее число.
Ответ: 21; 22; 23.
№ 452
а) a(3a2 – 4)(3a2 + 4) = (3a3 – 4a)(3a2 + 4) = 9a5 – 12a3 + 12a3 – 16a =
= 9a5 – 16a;
б) (a – 5)(a + 5)(a2 + 25) = (a2 – 5a + 5a – 25)(a2 + 25) =
= (a2 – 25)(a2 + 25) = a4 – 25a2 + 25a2 – 625 = a4 – 625;
в) (a2 + 9)(a +3)(a – 3) = (a2 + 9)(a2 – 3a + 3a – 9) = (a2 + 9)(a2 – 9) =
= a4 – 9a2 + 9a2 – 81 = a4 – 81;
г) (a2 + 16)(a – 4)(a + 4) = (a2 + 16)(a2 – 4a + 4a – 16) =
= (a2 + 16)(a2 – 16) = a4 – 16a2 + 16a2 – 256 = a4 – 256.
№ 453
а) (3,5p – 1,2k)(3,5p + 1,2k) = 12,25p2 – 4,2p + 4,2p – 1,44 =
= 12,25p2 – 1,44;
б) (1,7s + 0,3t2)(0,3t2 – 1,7s) = 0,09t4 – 0,51st2 + 0,51st2 – 2,89s2 =
= 0,09t4 – 2,89s2;
в) (2,4m2 – 0,8n2)(0,8n2 + 2,4m2) =
= 5,76m4 – 1,92m2n2 + 1,92m2n2 – 0,64n4 = 5,76m4 – 0,64n4;
г) (1,3x3 – 1,8y2)(1,8y2 + 1,3x3) =
= 1,69x6 – 2,34y2x3 + 2,34y2x3 – 3,24y4 = 1,69x6 – 3,24y4.
№ 454
а) (a2 + a – 1)(a2 – a + 1) = a4 – a3 + a2 + a3 – a2 + a – a2 + a – 1 =
= a4 – a2 + 2a – 1;
б) (m2 + 2m – 1)(m2 – 2m + 1) = m4 + 2m3 – m2 – 2m3 – 4m2 + 2m + m2 +
+ 2m – 1 = m4 – 4m2 + 4m – 1;
93
www.5balls.ru
в) (2x2 + 3x + 2)(–2x2 + 3x – 2) =
= – 4x4 – 6x3 – 4x2 + 6x3 + 9x2 + 6x – 4x2 – 6x – 4 = –4x4 + x2 – 4;
г) (b3 + 5b + 3)(– b3 – 5b + 3) = –b6 – 5b4 –3b3 – 5b4 – 25b2 – 15b +
+ 3b3 + 15b + 9 = 9 – b6 – 10b4 – 25b2.
№ 455
а) (m – 1)(m3 + m2 + m +1) =m4 – m3 + m3 – m2 + m2 – m + m – 1=m4 – 1;
б) (2 – s)(16 + 8s + 4s2 + 2s3 + s4) =
= 32 – 16s + 16s – 8s2 + 8s2 – 4s3 + 4s3 – 2s4 + 2s4 – s5 = 32 – s5;
в) (x + y)(x3 – x2y + xy2 – y3) =
= x4 + x3y – x3y – x2y2 +x2y2 + xy3 – xy3 – y4 = x4 – y4;
г) (a + 3)(81 – 27a + 9a2 – 3a3 + a4) = 81a + 243 – 27a2 – 81a + 9a3 +
+ 21a2 – 3a4 – 9a3 + a5 + 3a4 = 243 – 6a2 + a5.
№ 456
Пусть х см. – длина первого прямоугольника.
Тогда (61 – х) – ширина первого прямоугольника;
(х – 5) см. – длина второго прямоугольника;
(61 – (х – 5) см. – ширина второго прямоугольника;
(x – 5)(66 – x) – 120 = x(61 – x);
66x – 330 + 5x – x2 – 120 = 61x – x2;
9x = 450; x = 50 см.
Из того что площадь прямоугольника равна произведению его сторон следует:
50 · (61 – 50) = 50 · 11 = 550 см2 – площадь первого;
550 + 120 = 670 см2 – площадь второго прямоугольника.
Ответ: 550 см2; 670 см2.
№ 457
Пусть х см. – длина прямоугольника.
Тогда (120 – х) см. – ширина прямоугольника.
(x – 14)(130 – x) – 4 = x(120 – x);
130x – 1820 + 14x – x2 – 4 = 120x – x2; 24x = 1824;
x = 76 см. – длина прямоугольника;
120 – 76 = 44 см. – ширина прямоугольника.
Ответ: 44 см.; 76 см.
№ 458
Пусть х – первое число.
Тогда (х + 3) – второе число;
(х + 6) – третее число.
x(x + 6) + 54 = (x + 3)(x + 6);
x2 + 6x + 54 = x2 + 9x + 18; 3x = 36;
94
www.5balls.ru
x = 12 – первое число;
12 + 3 = 15 – второе число;
12 + 6 = 18 – третее число.
Ответ: 12; 15; 18.
№ 459
Пусть х – первое число.
Тогда (х + 12) – второе число;
(х + 24) – третее число.
x(x + 12) + 432 = (x + 12)(x + 24);
x2 + 12x + 432 = x2 + 36x + 288;
24x = 144;
x = 6 – первое число;
6 + 12 = 18 – второе число;
6 + 24 = 18 – третее число.
Ответ: 6; 12; 18.
№ 460
Пусть х – первое число.
Тогда (х + 3) – второе число;
(х + 8) – третее число;
(х + х + 3) – четвертое число.
x(x + 3) = (x + 8)2 – (2x + 3) – 74,2;
x2 + 3x = x2 + 8x + 8x + 64 – 2x – 3 – 74,2;
8x + 8x – 2x – 3x = –64 + 3 + 74,2; 11x = 13,2;
x = 1,2 – первое число;
1,2 + 3 = 4,2 – второе число;
1,2 + 8 = 9,2 – третее число;
2 · 1,2 + 3 = 5,4 – четвертое число.
Ответ: 1,2; 4,1; 9,2; 5,4.
§ 17. Формулы сокращенного умножения
№ 461
а) (a + x) 2 = a2 + 2ax + x2;
б) (b – y) 2 = b2 – 2by + y2;
в) (c + d) 2 = c2 + 2cd + d2;
г) (m – n) 2 = m2 – 2mn + n2.
№ 462
а) (x + 1) 2 = x2 + 2x + 1;
б) (y – 2) 2 = y2 – 4y + 4;
в) (a – 5) 2 = a2 – 10a + 25;
95
www.5balls.ru
г) (c + 8) 2 = c2 + 16c + 64.
№ 463
а) (7 – a) 2 = 49 – 14a + a2;
б) (9 + b) 2 = 81 + 18b + b2;
в) (4 + n) 2 = 16 + 8n + n2;
г) (12 – p) 2 = 144 – 24p + p2.
№ 464
а) (–x + 1) 2 = 1 – 2x + x2;
б) (–z – 3) 2 = z2 + 6z + 9;
в) (–n + 8) 2 = 64 – 16n + n2;
г) (–m – 10) 2 = m2 – 20m + 100.
№ 465
а) (2a + 1) 2 = 4a2 + 4a + 1;
б) (3c – 2) 2 = 9c2 – 12c + 4;
в) (6x – 3) 2 = 36x2 – 36x + 9;
г) (7y + 6) 2 = 49y2 + 84y + 36.
№ 466
а) (8x + 3y) 2 = 64x2 + 48xy + 9y2;
б) (6m – 4n) 2 = 36m2 – 48mn + 16n2;
в) (9p – 2q) 2 = 81p2 – 36pq + 4q2;
г) (10z + 3t) 2 = 100z2 + 60zt + 9t2.
№ 467
а) ( –3a + 5x)2 = 25x2 – 30ax + 9a2;
б) (– 6y – 2z)2 = 36y2 + 24yz +4z2;
в) (– 3m + 4n) 2 = 16n2 – 24mn + 9m2;
г) (–12z – 3t)2 =9t2 + 72tz + 144z2.
№ 468
а) (0,2x – 0,5a) 2 = 0,04x – 0,2xa + 0,25a2;
б) Ошибка! = 9n2 + Ошибка!mn + Ошибка!;
в) Ошибка! = 36a2 – 2a + Ошибка!;
г) (10c + 0,1) 2 = 100c + 2cy + 0,01y2.
№ 469
а) (x2 + 1) 2 = x4 + 2x2 + 1; б) (y2 – 6) 2 = y4 – 12y2 + 36;
в) (p2 – 10) 2 = p4 – 20p2 + 100; г) (q2 + 8) 2 = q4 + 16q2 + 64.
№ 470
а) (a2 + 3x) 2 = a4 + 6a2x + 9x2; б) (b2 – 5y) 2 = b4 – 10b2y + 25y2;
96
www.5balls.ru
в) (m2 – 6n) 2 = m4 – 12m2n + 36n2;
г) (r2 + 4s) 2 = r4 + 8r2s + 16s2.
№ 471
а) (c2 + d2) 2 = c4 + 2c2d2 + d4;
б) (m2 – n3) 2 = m4 – 2m2n3 + n6;
в) (p2 – q2) 2 = p4 – 2p2q2 + q4;
г) (z2 + t3) 2 = z4 + 2z2t3 + t6.
№ 472
а) (a3 + 3b) 2 = a4 + 6a2b + 9b2;
б) (4x2 – 3c) 2 = 16x4 – 24x2x + 9c2;
в) (5m2 + 3n2) 2 = 25m4 + 30m2n2 + 9n4;
г) (6p2 – 8q3) 2 = 36p4 – 96p2q3 + 64q6.
№ 473
а) Ошибка! = Ошибка! = Ошибка!a2 – 5ab + Ошибка!b2 =
= 5Ошибка!a2 – 5ab 1Ошибка!;
б) Ошибка!0,81x2 + 2Ошибка!xy + Ошибка!y2 =
= 0,81x2 + 2Ошибка!xy + 2Ошибка!;
в) Ошибка!1,44x2 + 10xy + Ошибка!y2 =
= 1,44x + 10xy + 17Ошибка!;
г) Ошибка!
625 2
b – 5ab + 5,29a2 =
529
= 1Ошибка!b2 – 5ab + 5,29a2.
№ 474
а) 792 = (80 – 1) 2 = 6400 – 160 + 1 = 6241;
б) 392 = (40 – 1) 2 = 1600 – 80 + 1 = 1521;
в) 592 = (60 – 1) 2 = 3600 – 120 + 1 = 3481;
г) 692 = (70 – 1) 2 = 4900 – 140 + 1 = 4761.
№ 475
а) 212 = (20 + 1) 2 = 400 + 40 + 1 = 441;
б) 312 = (30 + 1) 2 = 900 + 60 + 1 = 961;
в) 612 = (60 + 1) 2 = 3600 + 120 + 1 = 3721;
г) 912 = (90 + 1) 2 = 8100 + 180 + 1 = 8281.
№ 476
а) 422 = (40 + 2) 2 = 1600 + 160 + 4 = 1764;
б) 622 = (60 + 2) 2 = 3600 + 240 + 4 = 3844;
в) 822 = (80 + 2) 2 = 6400 + 320 + 4 = 6724;
г) 322 = (30 + 2) 2 = 900 + 120 + 4 = 1024.
97
www.5balls.ru
№ 477
а) 982 = (100 – 2) 2 = 10000 – 400 – 4 = 9596;
б) 282 = (30 – 2) 2 = 900 – 120 – 4 = 776;
в) 882 = (90 – 2) = 8100 – 360 + 4 = 7736;
г) 582 = (60 – 2) 2 = 3600 – 240 – 4 = 3356.
№ 478
а) Ошибка! = 144 + 2 + Ошибка! = 146Ошибка!;
б) Ошибка! = 49 + 4 + Ошибка! = 53Ошибка!;
в) Ошибка! = 169 + 6 + Ошибка! = 175Ошибка!;
г) Ошибка! = 49 + 3 + Ошибка! = 52Ошибка!.
№ 479
а) Ошибка! = 169 – 2 + Ошибка! = 167Ошибка!;
б) Ошибка! = 225 – 4 + Ошибка! = 221Ошибка!;
в) Ошибка! = 1600 – 2 + Ошибка! = 1598Ошибка!;
г) Ошибка! = 256 – 6 + Ошибка! = 250Ошибка!.
№ 480
а) (a – b)(a + b) = a2 – b2;
в) (m – n)(m + n) = m2 – n2;
б) (c – d)(c + d) = c2 – d2;
г) (p – q)(p + q) = p2 – q2.
№ 481
а) (x – 1)(x + 1) = x2 – 1;
б) (c – 2)(c + 2) = c2 – 4;
2
в) (10m – 4)(10m + 4) = 100m – 16; г) (8a – 1)(8a + 1) = 64a2 – 1.
№ 482
а) (3b – 1)(3b + 1) = 9b2 – 1;
б) (6x – 2)(6x + 2) = 36x2 – 4;
в) (10m – 4)(10m + 4) = 100m2 – 16;
г) (8a – 1)(8a + 1) = 64a2 – 1.
№ 483
а) (4a – b)(4a + b) = 16a2 – b2;
б) (x + 7)(7 – x) = 49 – x2;
в) (4b + 1)(4b – 1) = 16b2 – 1;
г) (5m + 2)(5m – 2) = 25m2 – 4.
№ 484
а) (3x – 5y)(3x + 5y) = 9x2 – 25y2;
б) (7a – 8b)(7a + 8b) = 49a2 – 64b2
в) (13c – 11d)(13c + 11d) = 169c2 – 121d2;
98
www.5balls.ru
г) (8m – 9n)(8m + 9n) = 64m2 – 81n2.
№ 485
а) (5x – 2y2)(5x + 2y2) = 25x2 – 4y4;
б) (2c – 3a2)(2c + 3a2 = 4c2 – 9a4;
в) (10p3 – 7q)(10p3 + 7q) = 100p6 – 49q2;
г) (8d + 6c3)(6c3 – 8d) = 36c6 – 64d2.
№ 486
а) (4x2 – 2y2)(4x2 + 2y2) = 16x4 – 4y4;
б) (10a3 + 5b2)(10a3 – 5b2) = 100a6 – 25b4;
в) (3n4 – m4)(3n4 + m4) = 9n8 – m8;
г) (10m8 + 8n8)(10m8 – 8n8) = 100m16 – 64n16.
№ 487
а) 69 · 71 = (70 – 1)(70 + 1) = 4900 – 1 = 4899;
б) 31 · 29 = (30 + 1)(30 – 1) = 900 – 1 = 8999;
в) 89 · 91 = (90 – 1)(90 + 1) = 8100 – 1 = 8099;
г) 99 · 101 = (100 – 1)(100 + 1) = 10000 – 1 = 9999.
№ 488
а) 58 · 62 = (60 – 2)(60 + 2) = 3600 – 4 = 3596;
б) 82 · 78 = (80 + 2)(80 – 2) = 6400 – 4 = 6396;
в) 42 · 38 = (40 + 2)(40 – 2) = 1600 – 4 = 1596;
г) 18 · 22 = (20 – 2)(20 + 2) = 400 – 4 = 396.
№ 489
а) 0,49 · 0,51 = (0,5 – 0,01)(0,5 + 0,01) = 0,25 – 0,0001 = 0,2499;
б) 0,78 · 0,82 = (0,8 – 0,02)(0,8 + 0,02) = 0,64 – 0,0004 = 0,6396;
в) 0,67 · 0,73 = (0,7 – 0,03)(0,7 + 0,03) = 0,49 – 0,0009 = 0,4891;
г) 1,21 · 1,19 = (1,2 + 0,01)(1,2 – 0,01) = 1,44 – 0,01 = 1,4399.
№ 490
а) 10Ошибка! · 9Ошибка! = Ошибка! = Ошибка! – Ошибка! =
= 100 – Ошибка! + Ошибка! – Ошибка! = 100 – Ошибка! –
Ошибка! = 100 – Ошибка! =
= 100 – 1Ошибка! = 98Ошибка! = 98Ошибка!;
б) 10Ошибка! · 9Ошибка! = Ошибка! = 81 – Ошибка! = 80
Ошибка!;
в) 99Ошибка! · 100Ошибка! = Ошибка! = 10000 – Ошибка! = 9999
Ошибка!;
г) 7Ошибка! · 8,2 = 7Ошибка! · 8Ошибка! = Ошибка! = 64 –
Ошибка! = 63Ошибка! = 63,96.
99
www.5balls.ru
№ 491
а) (x – 1)(x2 + x + 1) = x3 – 1;
б) (x – 2)(x2 + 2x + 4) = x3 – 8;
в) (x + 3)(x2 – 3x + 9) = x3 – 27;
г) (x + 4)(x2 – 4x + 16) = x3 – 64.
№ 492
а) (5m + 3n)(25m2 – 15mn + 9n2) = 125m3 + 27n3;
б) (2a – 3x)(4a2 + 6ax + 9x2) = 8a3 – 27x3;
в) (4x – 5y)(16x2 + 20xy + 25y2) = 64x3 – 125y3;
г) (3x + 5y)(9x2 – 15xy + 25y2) = 27x3 + 125y3.
№ 493
а) 3(x – y) 2 = 3x2 – 6xy + 3y2;
б) b(1 +2b) 2 = b(1 + 4b + 4b2 = b + 4b2 + 4b3;
в) –6(5m – n) 2 = –6(25m2 – 10mn + n2) = – 150m2 + 60mn – 6n2;
г) –c(3a + c) 2 = –c(9a2 + 6ac + c2) = –9a2c – 6ac2 – c3.
№ 494
а) a2 + (3a – b) 2 = a2 + 9a2 – 6ab + b2 = 10a2 – 6ab + b2;
б) 9p2 – (q – 3p) 2 = 9p2 – q2 + 6qp – p2 = 8p2 + 6qp – q2;
в) (5c + 7d) 2 – 70cd = 25c2 + 70cd + 49d2 – 70cd = 25c2 + 49d2;
г) (8m – n) 2 – 64m2 = 64m2 – 16mn + n2 – 65m2 = n2 – 16mn.
№ 495
а) (a – 4) 2 + a(a + 8) = a2 – 8a + 16 + a2 + 8a = 2a2 + 16;
б) (x – 7)x + (x +3) 2 = x2 – 7x + x2 + 6x + 9 = 2x2 – x + 9;
в) (y – 5) 2 – (y – 2) = y2 – 10y + 25 – y + 2 = y2 – 11y + 27;
г) b(b +4) – (b + 2) 2 = b2 + 4b – b2 – 4b – 4 = –4.
№ 496
а) (3a – b)(3a + b) + b2 = 9a2 – b2 + b2 = 9a2;
б) 9x2 – (y +4x)(y – 4x) = 9x2 – y2 + 16x2 = 25x2 – y2;
в) (5c – 6d)(5c + 6d) – 25c2 = 25c2 – 36d2 – 25c2 = – 36d2;
г) (7m – 10n)(7m + 10n) – 100n2 = 49m2 – 100n2 – 100n2 =
= 49m2 – 200n2.
№ 497
а) 2(a – 2)(a + 2) = 2(a2 – 4) = 2a2 – 8;
б) x(x + 4)(x – 4) = x(x2 – 16) = x3 – 16x;
в) 5c(c + 3)(c – 3) = 5c(c2 – 9) = 5c3 – 45c;
г) 7d2 (d – 1)(d + 1) = 7d2 (d2 – 1) = 7d4 – 7d2.
100
www.5balls.ru
№ 498
а) (a – c)(a + c) – (a – 2c) 2 = a2 – c2 – a2 + 4ac – 4c2 = –5c2 + 4ac;
б) (x – 4)(x + 4) – (x + 8)(x – 8) = x2 – 16 – x2 + 64 = 48;
в) (3b – 1)(3b + 1) – (b – 5)(b + 5) = 9b2 – 1 – b2 + 25 = 8b2 + 24;
г) (m + 3n) 2 + (m + 3n)(m – 3n) = m2 + 6mn + 9n2 + m2 – 9n2 =
= 2m2 + 6mn.
№ 499
а) (b – 5)(b + 5)(b2 + 5) = (b2 – 25)(b2 + 25) = b4 – 625;
б) (3 – y)(3 + y)(9 + y2) = (9 – y2)(9 + y2) = 81 – y4;
в) (a – 2)(a + 2)(a2 – 4) = (a2 – 4)(a2 + 4) = a4 – 16;
г) (c2 – 1)(c2 + 1)(c4 + 1) = (c4 – 1)(c4 + 1) = c8.
№ 500
(2a – b)(2a + b) + (b – c)(b + c) + (c – 2a)(c + 2a) =
= 4a2 – b2 + b2 – c2 + c2 – 4a2 = 0.
№ 501
а) (a + 3) 2 – (a – 2)(a + 2) = a2 + 6a + 9 – a2 + 4 = 6a + 13 =
= –3,5 · 6 + 13 = –8;
б) (x – 3) 2 – (x +3)(x – 3) = x2 – 6x + 9 – x2 + 9 = 18 – 6x =
= 18 + 0,1 · 6 = 18,6;
в) (m + 3) 2 – (m – 9)(m + 9) = m2 + 6m + 9 – m2 + 81 = 6m + 100 =
= 100 – 3 = 97;
г) (c + 2) 2 – (c +4)(c – 4) = c2 +4c + 4 – c2 + 16 = 4c + 20 = 1 +20 = 21.
№ 502
а) (5a – 10) 2 – (3a – 8) 2 + 132a = 25a2 – 100a + 100 – 9a2 + 48a – 64 +
+ 132a = 16a2 + 80a + 36 = 16a2 + 48a + 36 + 32a = (4a + 6) 2 + 32a =
= 182 – 192 = 324 – 192 = 132;
б) (3p – 8) 2 + (4p + 6) 2 + 100p = 9p2 – 48p + 64 + 16p2 + 48p + 36 +
+ 100p = 25p2 + 100p + 100 = (5p + 10) 2 = 0;
в) (5b – 3) 2 + (12b – 4) 2 – 4b = 25b2 – 30b + 9 + 144b2 – 96b + 16 –
– 4b = 169b2 – 130b + 25 = (13b – ) 2 = 182 = 324;
г) (13 – 5m) 2 – (12 – 4m) 2 + 4m = 169 – 130m + 25m2 – 144 + 96m –
– 16m2 + 4m = 9m2 – 30m + 25 = (3m – 5) 2 = 72 = 49.
№ 503
а) 8x(1 + 2x – (4x + 3)(4x – 3) = 2x;
8x + 16x2 – 16x2 + 9 = 2x;
6x = – 9;
x = –Ошибка!.
Ответ: – Ошибка!.
101
www.5balls.ru
б) x – 3x(1 – 12x) = 11 – (5 – 6x)(5 + 6x);
x – 3x + 36x2 = 11 – 25 + 36x2;
–2x = –14;
x = 7.
Ответ: 7.
в) (6x – 1)(6x + 1) – 4x(9x + 2) = – 1;
36x2 – 1 – 36x2 – 8x = –1;
–8x = 0;
x = 0.
Ответ: 0.
г) (8 – 9x)x = –40 + (6 – 3x)(6 + 3x) ;
8x – 9x2 = – 40 + 36 – 9x2;
8x = –4;
x = – Ошибка!.
Ответ: – Ошибка!.
№ 504
а) (x – 6) 2 – x(x + 8) =2;
x2 – 12x + 36 – x2 – 8x = 2;
20x = 34;
x = 1Ошибка!.
Ответ: 1,7.
б) 9x(x + 6) – (3x + 1) 2 = 1;
9x2 + 54x – 9x2 – 6x – 1 = 1;
48x = 2;
x = Ошибка!.
Ответ: Ошибка!.
в) x(x – 1) – (x – 5) 2;
x2 – x – x2 + 10x – 25 = 0;
9x = 25;
x = Ошибка!.
Ответ: 2Ошибка!.
г) 16x(2 – x) + (4x – 5) 2 = 1;
32x – 16x2 + 16x2 – 40x + 25 = 1;
–8x = –24;
x = 3.
Ответ: 3.
№ 505
а) 9x2 – 1 – (3x – 2) 2 = 0;
9x2 – 1 – 9x2 + 12x – 4 = 0;
12x = 5;
102
www.5balls.ru
x = Ошибка!.
Ответ: Ошибка!.
б) x + (5x +2) 2 = 25(1+ x2);
x + 25x2 + 20x + 4 = 25 + 25x2;
21x = 21;
x = 1.
Ответ: 1.
в) (2x – 3) 2 – 2x(4 + 2x) = 11;
4x2 – 12x + 9 – 8x – 4x2 = 11;
–20x = 2;
x = – Ошибка!.
Ответ: –0,1.
г) (4x – 3)(3 + 4x) – 2x(8x – 1) = 0;
16x2 – 9 – 16x2 = 2x = 0;
2x = 9;
x = Ошибка!.
Ответ: 4,5.
№ 506
а) (x – 1)(x +1) = 2(x – 3) 2 – x2;
x2 – 1 = 2x2 – 24x + 18 – x2;
24x = 19 30x = –71;
x = Ошибка!.
Ответ: Ошибка!.
б) 3(x +5) 2 – 4x2 = (2 – x)(2 + x);
3x2 + 30x + 75 – 4x2 = 4 – x2;
x = – Ошибка!.
Ответ: – 2Ошибка!.
в) (2x + 3) 2 – 4(x – 1)(x + 1) = 49;
4x2 + 12x + 9 – 4x2 + 4 = 49;
12x = 26;
x = Ошибка!.
Ответ: 2Ошибка!.
г) (3x + 1) 2 – (3x – 2)(2 + 3x) = 17;
9x2 + 6x + 1 – 9x2 + 4 = 17;
6x = 12;
x = 2.
Ответ: 2.
№ 507
а) (10x2 – 4xy3) 2 = 100x4 – 80x3y3 + 16x2y6;
б) (8p3 + 5p2q) 2 = 64p6 + 80p5 + 25p4q2;
103
www.5balls.ru
в) (0,6b3 – 5b2c4) 2 = 0,36b6 – 6b5c4 + 25b4c8;
г) (3z7 + 0,5z3t) 2 = 9z14 + 3z10t + 0,25z6t2.
№ 508
а) 20x3z + 0,03z2) 2 = 400x6z2 + 1,2x3z3 + 0,0009z4;
б) Ошибка!= Ошибка!n6 + 3mn516m2n4;
в) (0,15r4n3 – 10n4) 2 = 0,625r8n6 – 3r4n7 + 100n8;
г) Ошибка!= 36a4 – 4a3b + Ошибка!a2b2.
№ 509
а) (xn – 23)(xn + 23) = x2n – 26;
б) (a2n + bn)(a2n – bn) = a4n – b2n;
в) (cn – d3n)(cn + d3n) = c2n – d6n);
г) (an + 1 – bn – 1)(an + 1 + bn – 1) = a2n + 2 – b2n – 2.
№ 510
а) (3x2 – 2)(9x4 + 6x2 + 4) = 27x6 – 8;
б) (5x2 + 3)(25x4 – 15x2 + 9) = 152x6 + 27;
в) (8b2 + 3)(64b4 – 24b2 + 9) = 512b6 + 27;
г) (7a2 – 1)(49a4 + 7a2 + 1) = 343a3 – 1.
№ 511
а) (x – 2) 2 (x + 2) 2 = (x2 – 4) 2 = x4 – 8x2 + 4;
б) (y – 4) 2 (y + 4) = (y2 – 4) (y – 4) = y3 – 4y – 4y2 + 16;
в) (m – 6) 2 (m + 6) 2 = (m2 – 36) = m4 – 72m2 + 1296;
г) (n – 7) 2 (7 + n) = (n2 – 7)(n – 7) = n3 – 7n – 7n2 + 49.
№ 512
а) (x – y)(x + y)(x2 + y2) = (x2 – y2)(x2 + y2) = x4 – y4; б) (3a – b)(3a + b);
б) (9a2 + b2) = (9a2 – b2)(9a2 + b2) = 81a4 – b4;
в) (p3 + q)(p3 – q)(p6 + q2) = (p6 – q2)(p6 + q2) = p12 – q4;
г) (s4 + r4)(s – r)(s + r)(s2 + r2) = (s4 – r4)(s4 + r4) = s8 – r8.
№ 513
а) (3x2 + 4) 2 + (3x2 – 4) 2 – 2(5 – 3x2)(5 + 3x2) = 9x4 + 24x2 + 16 +
+ 19x4 – 24x2 + 16 + 9x4 – 24x2 + 16 – 50 + 18x4 = 36x4 – 18;
б) (4a3 + 5) 2 + (4a3 – 1) 2 – 2(4a3 + 5)(4a3 – 1) =
= (4a3 + 5 – 4a3 + 1) 2 = 62 = 36;
в) p(p – 2c)(p +2c) – (p – c)(p2 + pc + c2) = p3 – p · 4c2 – p3 + c3 =
= c3 – 4pc2;
г) m(2m – 1) 2 – 2(m + 1)(m2 –m + 1) = 4m3 – 4m2 + m – 2m3 – 2 =
= 2m3 – 4m2 + m – 2.
104
www.5balls.ru
№ 514
а) (a – b)(a + b)(a2 + b2)(a4 + b4)(a8 + b8) =
= (a8 – b8)(a8 + b8) = a16 – b16;
б) x32 – (x – 1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 +1)(x8 + 1) (x16 + 1) = x32 – x32 + 1 = 1.
№ 515
а) (6a5 + ∗1) 2 = ∗2 + ∗3 + 25x2;
∗12 = 25x2, значит ∗1 = 5x;
∗2 = (6a5) 2 = 36a10;
∗3 = 6a5 · ∗1 · 2 = 6a5 · 5x · 2 = 60a5x;
б) (10m5 + ∗1) 2 = ∗2 + ∗3 + 36m4n6;
∗12 = 36m4n6, значит ∗1 = 6m2n3;
∗2 = (10m5) 2 = 100m10;
∗3 = 2 · ∗1 · 10m5 = 2 · 6m2n3 · 10m5 = 120m7n3;
в) (∗1 – 4x7) 2 = 25x4y2 – ∗2 + ∗3;
(∗1) 2 = 25x4y2, значит ∗1 = 5x2y;
∗2 = 2 · ∗1 · 4x7 = 2 · 5x2y · 4x7 = 40x9y;
∗3 = (4x7) 2 = 16x14;
г) (8a3 – ∗1) 2 = ∗2 – ∗3 + 49a8b6;
∗12 = 49a8b6, значит ∗1 = 7a4b3;
∗2 = (8a3) 2 = 64a6;
∗3 = 2 · 8a3 · ∗1 = 16a3 · 7a4b3 = 112a7b3.
№ 516
а) (∗1 + 4d4) 2 = ∗2 + 24c2d5 + ∗3;
∗3 = (4d4) 2 = 16d8;
2 · ∗1 · 4d4 = 24c2d5, значит ∗1 = 3c2d;
∗2 = (∗1) 2 = (3c2d) 2 = 9c4d2;
б) (∗1 – 8a4) 2 = 81a6b2 – ∗2 + ∗3;
(∗1) 2 = 81a6b2, значит ∗1 = 9a3b;
∗2 = 2 · ∗1 · 8a4 = 2 · 9a3b · 8a4 = 144a7b;
∗3 =(8a4) 2 = 64a8;
в) (4p2q2 + ∗1) 2 = ∗2 + ∗3 + 0,01q8;
(∗1) 2 = 0,01q8, значит ∗1 = 0,1q4;
∗2 = (4p2q2) 2 = 16p4q4;
∗3 = 2 · ∗1 · 4p2q2 = 8p2q2 · 0,1q4 = 0,8 p2q6;
г) (8q4t 3 – ∗1) 2 = ∗2 – ∗3 + 0,16t4;
(∗1) 2 = 0,16t4, значит ∗1 = 0,4t2;
∗2 = (8q4t3) 2 = 64q8t6;
∗3 = 2 · 8q4t3 · ∗1 = 16q4t3 · 0,4t2 = 6,4q4t5.
105
www.5balls.ru
№ 517
а) (5b3 – 7c) 2 = 25b6 – 70b3c + 49c2;
б) (9x – 10x2y3) 2 = 81x2 – 180x3y3 + 100x4y6;
в) (7x3 +5y2) 2 = 49x6 + 70x3y2 + 25y4;
г) (6c5 – 4d3) 2 = 36c10 – 48c5 + 16d6.
№ 518
а) (2c – 15a)(2c + 15a) = 4c2 – 225a2;
б) (9a + 11c)(9a – 11c) = 81a2 – 121c2;
в) Ошибка!Ошибка!= Ошибка!;
г) (10m3 – 0,4n2)(10m3 + 0,4n2) =100m6 – 0,16n4.
№ 519
а) (0,7x3 – 10z2)(0,7x3 +10z2) = 0,49x6 – 100z4;
б) Ошибка!Ошибка!= 49p12 – Ошибка!q4;
в) Ошибка!Ошибка!= 3Ошибка!x14 – 64y4z10;
г) (5a4 – 6x2) 2 25a8 – 60a4x2 + 36x4.
№ 520
а) 125 – (5 – 3x)(25 + 15x + 9x2) = 125 – 125 + 27x3 =
= 27x3 = – 27 · Ошибка! = – 64;
б) 25 – (2 – 3a)(4 + 6a + 9a2) = 25 – 8 + 27a3 =17 + 27a3 =
= 17 – 1 = 16;
в) 127 + (5c – 3)(25c2 + 15c + 9) = 127 + 125c – 27 = 125c + 100 =
= 100 – 125 · 1,2 = – 50;
г) 64 – (4 – 3a)(16 + 12a + 9a2) = 64 – 64 + 27a3 = – 8.
№ 521
а) (2 – 1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 +1) – 216 =
= 216 – 216 = 0;
б) 3(22 + 1)(24 + 1)(28 +1)(216 +1) – 232 =
= (22 – 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 +1)(216 +1) – 232 = 232 – 232 = 0.
№ 522
(32 + 22)(34 + 24)(38 +28)(316 + 216) =
= Ошибка!=
= Ошибка! = 0,2(332 – 232).
§ 18. Деление многочлена на одночлен
№ 523
а) (12 + 8) : 4 = 20 : 4 = 5;
б) (54d + 36) : (– 18) = – 3d – 2;
106
www.5balls.ru
в) (44y + 22) : 11 = 4y + 2;
г) (– 15y – 5y) : (– 5) = – 20y : (– 5) = 4y.
№ 524
а) (a – ab) : a = 1 – b;
б) (x – xy) : (– x) = y – 1;
в) (– m – mn) : m = – 1 – n;
г) (– c + cd) : (– c) = 1 – d.
№ 525
а) (a2 + 3ab) : a = a + 3b;
б) (m3 – m2n) : m2 = m – n;
в) ( c2 – 2cd) : c = c – 2d;
г) (p4 – p3q) : p3 = p – q.
№ 526
а) (4ab2 + 3ab) : ab = ab + 3;
б) (1,2cd3 – 0,7cd) : cd = 1,2d2 – 0,7;
в) (– 3,5m2n – 0,2mn) : mn = – 3,5m – 0,2;
г)Ошибка!: mn = – Ошибка! + Ошибка!x2.
№ 527
а) (3x2y – 4xy2) : 5xy = Ошибка!x – Ошибка!y = 0,6x – 0,8y;
б) (4x + 12y – 16) : (– 4) = – x – 3y + 4;
в) (2ab + 6a2b2 – 4b2) : (– 2b) = – a – 3a2b + 2b;
г) (– a5b3 + 3a6b2) : 4a2b2 = – 0,25a3b + 0,75a4.
№ 528
а) (18a4 – 27a3) : 9a2 – 10a3 : 5a = 2a2 – 3a – 2a2 = – 3a = 24;
б) (36x2y – 4xy2) : 4y + yx = 9x2 – xy + xy = 9x2 = Ошибка!.
№ 529
а) x, x2, 1;
б) x, 2x, 7x;
в) ab, 5ab, a2b2;
г) mn, m2n2, 5mn.
№ 530
а) нет;
б) нет;
в) (2x3y2 + 3x2y – 5x4y4) : xy = 2x2y + 3x – 5x3y3;
г) (2x3y2 + 3x2y – 5x4y4) : (– x2y) = – 2xy – 3 + 5x2y3.
107
www.5balls.ru
№ 531
а) Ошибка!= 3a3b + 15ab3;
б) Ошибка!= 3ax3 – 9a3x;
в) Ошибка!= 6n2p – 2np2 + 5np3;
г) Ошибка!= 3k3n – 4k2n2 – 5kn3.
№ 532
а) (7a2 + 10a3b) : a4 = Ошибка!= Ошибка! + 10Ошибка!;
б) (4x2 – 3x) : (– x2) = – 4 + Ошибка!;
в) (27a3 – 81b3) : 9a3b3 =Ошибка! – 9 · Ошибка!;
г) (42x3y – 63xy3 + 14xy) : 7xy = 6x2 – 9y2 + 2.
№ 533
а) kL, kL; б) pq, p2q2;
в) cd, c2d2; г) xy, x2y2.
№ 534
а) bc, b2c2, b2c, b2c3, b2c4;
в) z, m, zm, z2m, z3m;
б) xy, x2y2, xy2, x2y, x;
г) k, L, kL, kL2, kL3.
№ 535
а) xy;
в) y2, 3, 142xyz, 15x;
б) xy2z, 5z, 6xyz, 20xy;
г) 4xy2, y2z, 8, 7xyz, 2xy2z.
№ 536
а) Ошибка! = 3a2 – Ошибка! + Ошибка!b2;
∗ = 5a2 · 7ab = 35a3b2.
Ответ: Ошибка! = 3a2 – 7ab + Ошибка!b2.
б) Ошибка!= 3a2 – ∗2 + ∗3;
∗1 = 3a2 · 25ab3 = 75a3b3; ∗2 = Ошибка!= 4ab; ∗3 = Ошибка! =
Ошибка!.
Ответ:
75a 3b3 − 100a 2b 4 + 75ab 2
25ab
3
= 3а2 – 4ab +
в) Ошибка! = 7a2 – 8ax3;
∗2 = Ошибка! = 3a2x;
∗1 = ∗2 · 7a2 = 7a2 · 3a2x = 21a4x.
Ответ: Ошибка! = 7a2 – 8ax3.
г) Ошибка! = 3cd2 – ∗2;
∗1 = Ошибка! = 19c3d;
∗2 = Ошибка!= Ошибка! = 2d.
Ответ: Ошибка! = 3cd2 – 2d.
108
www.5balls.ru
3
.
b
№ 537
а) Ошибка! = ∗2 – ∗3 + 12a2x;
∗1 =Ошибка!= 6a2x;
∗2 = Ошибка!= Ошибка!x3;
∗3 = Ошибка! = Ошибка! = Ошибка!ax2;
б) Ошибка! = 3k2 – ∗3 – 14p2;
∗2 =Ошибка! =10kp3;
∗1 = 14p2 · 10kp3 = 240kp5;
∗3 = Ошибка! = Ошибка! =17,5kp;
в) Ошибка! =∗3 + 3,6cnd5 – 2c6d8;
∗2 =Ошибка!= 15c2d2;
∗1 = 2c6d8 · ∗2 = 2c6d8 · 15c2d2 = 30c8d10;
∗3 = Ошибка!= Ошибка!= 3c8d;
г) Ошибка!= 2a5x3 – 3a6x2 + 4,5an – 3x;
∗3 = Ошибка!= 14a3x4;
∗1 = ∗3 · 2a5x3 = 14a3x4 · 2a5x3 = 28a8x7;
∗2 = ∗3 · 3a6x2 = 14a3x4 · 3a6x2 42a9x6.
№ 538
а) 3a3 – 1, 2ab – частное; 10b3 – делитель;
30a4b – 12ab2 – частное; b2 делитель; б) нет; в) нет;
г) 15a4b3 – 6a2b4 – частное; 2 – делитель;
3a2 – 1,2b – частное; 10a2b3 – делитель.
№ 539
а) (6x4y3 + 8x3y) · 7xy = 42x5y4 + 56x4y2;
б) (21x2y3 + 28xy) · 2x3y = 42x5y4 + 56 x4y2;
в) (4,2x4y2 + 5,6x3) · 10xy2 = 42x5y2 + 56x4y2;
г) (10,5x2y3 + 14xy) · 4x3y = 42x5y4 + 56x4y2.
109
www.5balls.ru
ГЛАВА 5. Разложение многочленов на множители
§ 19. Что такое разложение многочленов
на множители и зачем оно нужно
№ 540
а) x(x + 2) = 0;
x = 0; x = – 2;
б) y( y – 8) = 0;
y = 0; y = 8;
в) z(z + 1,6) = 0;
z = 0; z = – 1,6;
г) t Ошибка!= 0;
t = 0; t = Ошибка!.
№ 541
а) (x + 1)(x + 4) = 0;
x = – 1; x = – 4.
Ответ: – 1; – 4.
в) (y + 2)(y – 6) = 0;
y = – 2; y = 6.
Ответ: – 2; 6.
б) (c – 12)(c + 25) = 0;
c = 12; c = – 25.
Ответ: 12; – 25.
г) (d – 7)(d + 1,4) = 0.
d = 7; d = – 1,4.
Ответ: 7; – 1,4.
№ 542
а) (2x + 3)(3x – 6) = 0;
2x + 3 = 0; 3x – 6 = 0;
2x = – 3; 3x = 6;
x = – 1,5; x = 2.
Ответ: – 1,5; 2.
в) (4a – 8)(6a – 12) = 0;
4a – 8 =0; 6a – 12 = 0;
4a = 8; 6a = 12;
a = 2; a = 2.
Ответ: 2.
б) (11b + 44)(13b + 26) = 0;
11b + 44 = 0; 13b + 26 = 0;
11b = – 44; 13b = – 26;
b = – 4; b = – 2.
Ответ: – 4; – 2.
г) (25c – 125)(54c – 108) =0;
25c – 125 = 0; 54c – 108 = 0;
25c = 125; 54c = 108;
c = 5; c = 2.
Ответ: 5; 2.
110
www.5balls.ru
№ 543
а) m(m + 1)(m + 2) = 0;
m = 0; m + 1 =0; m + 2 =0;
m = – 1; m = – 2.
Ответ: – 1; – 2.
в) p(p + 13)(p – 17) = 0;
p =0; p + 13 = 0; p – 17 = 0;
p = – 13; p = 17.
Ответ: – 13; 17.
б) n(n – 3)(n – 8) = 0;
n = 0; n – 3 =0; n – 8 =0;
n = 3; n = 8.
Ответ: 3; 8.
г) q(q – 21)(q – 105) = 0;
q = 0; q – 21 = 0; q – 105 = 0;
q = 21; q = 105.
Ответ: 21; 105.
№ 544
а) (4x + 12)(15x + 30)(17x + 34) = 0;
4x + 12 = 0; 15x + 30 = 0; 17x + 34 = 0;
4x = – 12; 15x = – 30; 17x = – 34;
x = – 3; x = – 2; x = – 2.
Ответ: – 3; – 2.
б) (9y + 18)(12y – 48)(36y – 72) = 0;
9y + 18 = 0; 12y – 48 =0; 36y – 72 = 0;
y = – 2; y = 4; y =2.
Ответ: – 2; 4; 2.
в) (23z – 46)(45z + 90)(3z + 24) = 0;
23z – 46 = 0; 45z + 90 = 0; 3z + 24 = 0;
z = 2; z = – 2; z = – 8.
Ответ: 2; – 2; – 8.
г) (4t – 1)(8t – 3)(12t – 17) = 0;
4t – 1 = 0; 8t – 3 = 0; 12t – 17 = 0;
t = Ошибка!; t = Ошибка!; t = Ошибка!= 1Ошибка!.
Ответ: Ошибка!; Ошибка!; 1Ошибка!.
№ 545
а) x2 – x = 0;
x(x – 1) =0;
x = 0; x = 1.
Ответ: 0; 1.
в) 3x2 – 7x = 0;
x(3x – 7) = 0;
x = 0; x = 2Ошибка!.
Ответ: 0; 2Ошибка!.
№ 546
а) x2 – 16 = 0;
(x – 4)(x + 4) = 0;
б) 2x2 + 4x = 0;
2x(x + 2) = 0;
x = 0; x = – 2.
Ответ: 0; – 2.
г) x2 =4x;
x(x – 4) = 0;
x = 0; x= 4.
Ответ: 0; 4.
б) y2 – 25 = 0;
y – 5)(y + 5) = 0;
111
www.5balls.ru
x = 4; x = – 4.
Ответ: 4; – 4.
в) z2 – 36 = 0;
(z – 6)(z + 6) = 0;
z = 6; z = – 6.
Ответ: 6; – 6.
y = 5; y = – 5.
Ответ: 5; – 5.
г) t2 – 100 = 0;
(t – 10)(t + 10) = 0;
t = 10; t = – 10.
Ответ: 10; – 10.
№ 547
а) 532 – 432 = (53 – 43)(53 + 43) = 10 · 96 = 960;
б) 1082 – 982 = (108 – 98)(108 + 98) = 10 · 206 = 2060;
в) Ошибка!– Ошибка!= Ошибка!Ошибка!= 1 · 11Ошибка! = 11
Ошибка!;
г) Ошибка!– Ошибка!= Ошибка!Ошибка!= 4 · 11 = 44.
№ 548
а) 0,25a2 – 9 = 0;
(0,5a – 3)(0,5 + 3) = 0;
0,5a – 3 = 0; 0,5a + 3 = 0;
a = 6; a = – 6.
Ответ: 6; – 6.
в) 4x2 – 144 = 0;
(2x – 12)(2x + 12) = 0;
2x – 12 = 0; 2x + 12 = 0;
x = 6; x = – 6.
Ответ: 6; – 6.
б) 0,04b2 – 4 = 0;
(0,2b – 2)(0,2b + 2) = 0;
0,2b – 2 = 0; 0,2b + 2 = 0;
b = 10; b = – 10.
Ответ: 10, – 10.
г) 0,25y2 – 25 = 0;
(0,5y – 5)(0,5y + 5) = 0;
0,5y – 5 = 0; 0,5y + 5 =0;
y = 10; y = – 10.
Ответ: 10; – 10.
№ 549
а) Ошибка! = Ошибка! = Ошибка! = Ошибка! = Ошибка!;
б) Ошибка! = Ошибка! = Ошибка! = Ошибка! = 77;
в) Ошибка! = Ошибка! = Ошибка! = Ошибка! = 72;
г) Ошибка! = Ошибка! = Ошибка! =Ошибка! = 150.
№ 550
а)Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= 1
Ошибка!;
б) Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!;
в) Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!=
Ошибка!= 1Ошибка!;
г) Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!
№ 551
а) Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= 0,78;
б) Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= 6,6;
112
www.5balls.ru
в) Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= 1,6;
г) Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= 4,5 · 52 = 234.
§ 20. Вынесение общего множителя за скобки
№ 552
а) 1, 2, 2m; б) x, 2x, 4x; в) a, b, ab; г) z, 2z, 7z.
№ 553
а) (3x + 3y) = 3(x + y);
б) (5a – 5b) = 5(a – b);
в) 7a + 7y = 7(a + y);
г) 8x – 8a = 8(x – a).
№ 554
а) 3x + 6y = 3(x + 2y);
б) 5a – 15b = 5(a – 3b);
в) 7a + 14y = 7(a + 2y);
г) 8x – 32a = 8(x – 4a).
№ 555
а) 8x + 28y = 4(x + 3y);
б) 15a – 25 b = 5(3a – 5b);
в) 21a + 28y = 7(3a + 4y);
г) 24x – 32a = 8(3x – 4a).
№ 556
а) 2,4x + 7,2y = 2,4(x + 3y);
б) 1,8a – 2,4b = 0,6(3a – 4b);
в) 0,01a + 0,03y = 0,01(a + 3y);
г) 1,25x – 1,75a =0,25(5x – 7a).
№ 557
а) Ошибка!x + Ошибка!y = Ошибка!(x + 4y);
б) Ошибка!a –
Ошибка!b = Ошибка!(a – Ошибка!b);
в) Ошибка!a + Ошибка!y = Ошибка!Ошибка!; г) Ошибка!x –
Ошибка!y = Ошибка!Ошибка!.
№ 558
а) 3Ошибка!x + 3Ошибка!y = Ошибка!x + Ошибка!y =Ошибка!
(16x + 17y);
б) 4Ошибка!a – 1Ошибка!b = Ошибка!a – Ошибка!b = Ошибка!
(4a – b).
113
www.5balls.ru
№ 559
а) 3b2 – 3b = 3b(b – 1);
б) a4 + 2a2 = a2(a2 + 2);
в) 4c2 – 12c5 = 4c2(1 – 3c3);
г) 8d4 – 32d2 = 8d2(d2 – 4).
№ 560
а) x3 – 3x2 – x = x(x2 – 3x – 1); в) 2m6 – 4m3 + 6m = 2m(m5 – 2m3 + 3);
б) y5 – 2y4 + y2 = y2(y3 – 2y2 + 1); г) 9p4 – 18p2 – 27p = 9p(p3 – 2p – 3).
№ 561
а) ab – a2b = ab(1 – a);
б) – p2q2 – pq = – pq(pq + 1);
в) x2y – xy2 = xy(x – y);
г) m3n2 – n3m2 = n2m2(m – n).
№ 562
а) 2z5q2 – 4z3q + 6z2q3 = 2z2q(z3q – 2z + 3q3);
б) xy3 + 5x2y2 – 3x2y = xy(y2 + 5xy – 3x);
в) 7a4b3 – 14a3b4 + 21a2b5 = 7a2b3(a2 – 2ab + 3b2);
г) 8x3y2 + 88x2y3 – 16x3y4 = 8x2y2(x + 11y – 2xy2).
№ 563
а) 15x3y2 + 10x2y – 20x2y3 = 5x2y(3xy + 2 – 4y2);
б) 12a2b4 – 36a2b + 44abc = 4ab(3ab3 – 9a + 11c);
в) 195c6p5 – 91c5p6 + 221c3p10 = 13c3p5(15c3 – 7c2p + 17p5);
г) 42a4b – 48a3b2 – 78a2b3 = 6a2b(7a2 – 8ab – 13b2).
№ 564
а) 3x(a + b) + y(a +b) = (a +b)(3x + y);
б) m(x – y) – (x – y) = (x – y)(m – 1);
в) (c + 2) – d(c + 2) = (c + 2)(1 – d);
г) 5p(r – s) + 6q(r – s) = (r – s)(5p +6q).
№ 565
а) 15c(a + b) + 8(b + a) = (15c + 8)(a + b);
б) n(2a + 1) + m(1 +2a) = (n +m)(2a + 1);
в) 4a(x + y) – 9b(y + x) = (4a – 9b)(x +y);
г) 11p(c +8d) – 9(8d + c) = (11p – 9)(8d + c).
№ 566
а) a(b – c) + 3(c – b) = (a – 3)(b – c);
б) 6(m – n) + s(n – m) = (6 – s)(m – n);
114
www.5balls.ru
в) 4(p – q) – a(q – p) = (4 + a)(p – q);
г) 7z(x – y) – 5(y – x) = (7z + 5)(x – y).
№ 567
а) (x – y)2 – a(x – y) = (x –y)(x – y –a);
б) 5(a + 3)2 – (a +3) = (a +3)(5(a +3) – 1) = (a +3)(5a + 14);
в) 8c(m + n)2 + 9d(m + n) = (m + n)(8c(m + n) + 9d) =
= (m + n)(8mc + 8cn + 8);
г) (p2 – 6) – q(p2 – 6) = (p2 – 6)(1 – q(p2 – 6)) = (p2 – 6)(1 – qp2 + 6q).
№ 568
а) x2 – 3x = 0;
x(x – 3) = 0;
x = 0;
x = 3.
Ответ: 0; 3.
б) y2 – 5y = 0;
y(y – 5) = 0;
y = 0;
y = 5.
Ответ: 0; 5.
в) a2 + 10a = 0;
a(a + 10) = 0;
a = 0; a = – 10.
Ответ: 0; – 10.
№ 569
а) 0,45p2 + 18p = 0;
Ошибка!p(p + 40) = 0;
Ошибка!p = 0; p + 40 = 0;
p =0; p = – 40.
Ответ: 0; – 40.
в) 4q2 + 3q = 0;
q(4q + 3) = 0;
q = 0; q = – Ошибка!.
Ответ: 0; – Ошибка!.
г) b2 + 20b = 0;
b(b + 20) = 0;
b = 0; b = – 20.
Ответ: 0; – 20.
б) 9m2 + 0,27m = 0;
0,27mОшибка!= 0;
0,27m = 0; Ошибка!m + 1 = 0;
m = 0; m = – 0,03.
Ответ: 0; – 0,03.
г) 7x2 + 2x = 0;
x(7x + 2) = 0;
x = 0; x = – Ошибка!.
Ответ: 0; – Ошибка!.
№ 570
а) 1542 + 154 · 46 = 154(154 + 46) = 154 · 200 = 308 · 100 = 30800;
б) 0,23 + 0,22 · 0,8 = 0,22(0,2 + 0,8) = 0,22 = 0,04;
в) 1672 – 167 · 67 = 167(167 – 67) = 167 · 100 = 16700;
г) 0,93 – 0,81 · 0,29 = 0,81 · 0,9 – 0,81 · 2,9 = 0,81(0,9 – 2,9) =
= 0,81 · (– 2) = – 1,62.
115
www.5balls.ru
№ 571
а) a(2a – b)(a + b) – 3a(a + b)2 = a(a + b)(2a – b – 3a – 3b) =
= – a(a + b)(a + 4b);
б) 5x2(3x – 8) + 10x(3x – 8)2 = 5x(3x – 8)(x + 6x – 16) =
= 5x(3x – 8)(7x – 16);
в) 4c(4c – 1) – 3(4c – 1)2 = (4c – 1)(4c – 12c + 3) =
= (4c – 1)(3 – 8c);
г) 6d2(2d – 5)2 – 12d2(2d – 5)(d + 5) =
=6d2(2d – 5)(2d – 5 – 2d – 10) = – 90d2(2d – 5).
№ 572
а) 0,7562 – 0,241 · 0,756 – 0,415 · 0,756 =
= 0,756(0,756 – 0,241 – 0,415) = 0,756 · 0,1 = 0,0756;
б) 2,49 · 1,63 – 2,12 · 1,63 + 1,632 = 1,63(2,49 – 2,12 + 1,63) =
= 1,63 · 2 = 3,26;
в) 0,252 · 2,4 + 0,25 · 2,42 – 0,25 · 2,4 · 0,65 =
= 0,25 · 2,4(0,25 + 2,4 – 0,65) = 0,25 · 2,4 · 2 = 0,5 · 2,4 = 1,2;
г) 0,16 · 6,41 · 1,25 – 0,16 · 1,252 – 0,162 · 1,25 =
= 0,16 · 1,25(6,41 – 1,25 – 0,16) = 0,16 · 1,25 · 5 = 1.
№ 573
а) 176 + 175 = 175(17 + 1) = 175 · 18; кратно 18;
б) 428 + 427 = 427(42 + 1) = 427 · 43; кратно 43;
в) 317 + 315 = 315(32 +1) = 315 · 10 = 314 · 30; кратно 30;
г) 223 + 220 = 220(23 + 1) = 220 · 9 = 217 · 8 · 9 = 217 · 72; кратно 72.
№ 574
а) 87 – 218 = 87 – 86 = 86(8 – 1) = 4 · 2 · 85 · 7; кратно 4;
б) 106 – 57 = 56 · 26 – 57 = 56(64 – 5) = 56 · 59; кратно 59;
в) 97 + 312 = 97 + 96 = 96(9 + 1) = 95 · 90; кратно 90;
г) 810 – 227 = 810 – 89 = 89 (8 – 1) = 88 · 4 · 14. кратно 14.
§ 21. Способ групировки
№ 575
а) 2x – x2 = x(2 – x); – 3ax + 2x2 = x(2x – 3a);
2ax2 – 3a2x = ax(2x – 3a); 4xy – 2x2y = 2xy(2 – x).
Ответ: 2x – x2, 4xy – 2x2y; 2x2 – 3ax, 2ax2 – 3a2x.
б) ab – 3b2 = b(a – 3b); a2 – 3ab = a(a – 3b);
5 + 10x = 5(1 + 2x); a + 2ax = a(1 + 2x).
Ответ: ab – 3b2, a2 – 3ab; 5 + 10x, a + 2ax.
в) n2 – nm = n(n – m); 6a2 – 9ab = 3a(2a – 3b);
116
www.5balls.ru
mn – n2 = n(m – n); 2ab – 3b2 = b(2a – 3b).
Ответ: 6a2 – 9ab, 2ab – 3b2.
г) 4x – 8 = 4(x – 2); x2 – 2x = x(x – 2);
–5 – 15m = – 5(m + 3); 21mn + 7n = 7n(3m + 1).
Ответ: 4x – 8, x2 – 2x.
№ 576
а) 2by – bz = b(2y – z); 4ax – az = a(4x – z);
2ay – az = a(2y – z); 4bx – bz = b(4x – z).
Ответ: 2by – bz, 2ay – az; 4ax – az, 4bx – bz.
б) 6ax – 3x = 3x(2a – 1); – 2a – 1;
3by – 3y = 3y(b – 1); c – cb = c(1 – b).
Ответ: таких двучленов нет.
в) a3 – 2a2 = a2(a – 2); 4ab – 2a2b = 2ab(2 – a);
5ac2 – 10ac = 5ac(c – 2); 3a – 6 = 3(a –2).
Ответ: a3 – 2a2, 3a – 6.
г) 3mn2 – 6m2n = 3mn(n – 2m); abn – 2abm = ab(n – 2m);
a2x3 – 9a2x = a2x(x2 – 9); 9x2 – x4 = x2(9 – x2).
Ответ: 3mn2 – 6m2n, abn – 2abm.
№ 577
а) 3a + 3 – na – n = 3(a + 1) – n(a +1) = (a + 1)(3 – n);
б) 6mx – 2m + 9x – 3 = 2m(3x – 1) + 3(3x – 1) = (2m + 3)(3x – 1);
в) ax – 3x – 4a + 12 = x(a – 3) – 4(a – 3) =(x – 4)(a – 3);
г) 2mx – 3m – 4x + 6 = m(2x – 3) – 2(2x – 3) = (m – 2)(2x – 3).
№ 578
а) 7kn – 6k +14n – 12 = k(7n – 6) + 2(7n – 6) = (k + 2)(7n – 6);
б) 5a2 – 5ax – 7a + 7x = 5a(a – x) – 7(a – x) = (5a – 7)(a – x);
в) 9m2 – 9mn – 5m + 5n = 9m(m – n) – 5(m – n) = (9m – n)(m – n);
г) 6a2 – 2ab – 3ac + bc = 2a(3a – b) – c(3a – b) = (2a – c)(3a – b).
№ 579
а) 7c2 – c – c3 + 7 = c2(7 – c) + 7 – c = (c2 +1)(7 – c);
б) x3 + 28 – 14x2 – 2x = x(x2 – 2) – 14(x2 – 2) = (x – 14)(x2 – 2);
в) 2b3 – 6 – 4b2 + 3b = 2b2(b – 2) + 3(b – 2) = (2b3 + 3)(b – 2);
г) x3 – 6 + 2x – 3x2 = x2(x – 3) + 2(x – 3) = (x2 + 2)(x – 3).
№ 580
а) 16ab2 + 5b2c + 10c3 + 32ac2 = 16a(b2 + 2c2) + 5c(b2 + 2c2) =
= (16a + 5c)(b2 + 2c2);
б) 18a2 + 27ab + 14ac + 21bc = 9a(2a + 3b) + 7c(2a + 3b) =
= (9a + 7c)(2a + 3b);
117
www.5balls.ru
в) 20n2 – 35a – 14an + 50n = 10n(2n + 5) – 7a(2n + 5) =
= (10n – 7a)(2n + 5);
г) 2x2yz – 15yz – 3xz2 + 10xy2 = xz(2xy – 3z) + 5y(2xy – 3z) =
= (xz + 5y)(2xy – 3z).
№ 581
ax – 2a – 3x + 6 = x(a – 3) – 2(a – 3) = (x – 2)(a – 3);
а) 4; б) 0; в) – 2,25; г) 0.
№ 582
2a + b + 2a2 + ab = (2a + b) + a(2a + b) = (2a + b)(a + 1);
а) (– 2 + 998)(– 1 + 1) = 0;
б) (91 – 3)(45,5 + 1) = 46,5 · 88 = 4092;
в) (2 · 7,4 + (– 2))(7,4 + 1) = 12,8 · 8,4 = 107,52;
г) Ошибка!(– 0,5 + 1) = 7Ошибка! · 0,5 = Ошибка! · Ошибка! = 3
Ошибка!.
№ 583
5ab – 7b + 5a2 – 7a = b(5a – 7) + a(5a – 7) = (a + b)(5a – 7);
а) (0,2 + 1)(1 – 7) = 1,2 · (– 6) = – 7,2;
б) (2,5 – 0,5)(12,5 – 7) = 2 · 5,5 = 11;
в) (3,7 – 3,7)(5 · 3,7 – 7) = 0;
г) ((1,4 + 11)(7 – 7) = 0.
№ 584
а) 40a3b2c + 21bc – 56ac2 – 15a2b3 = 8ac(5a2b2 – 7c) + 3b(7c – 5a2b2) =
= (8ac – 3b)(5a2b2 – 7c);
б) 16xy2 – 5y2z – 10z3 + 32xz2 = 16x(y2 + 2z2) – 5z(y2 + 2z2) =
= (16x – 5z)(y2 + 2z2);
в) 30x2 + 10c – 25cx – 12x = 5x(6x – 5c) + 2(5c – 6x) =
= (5x – 2)(6x – 5c);
г) 18x2z – 10kxy + 20k2y – 36kxz = 18xz(x – 2k) – 10ky(x – 2k) =
= (18xz – 10ky)(x – 2k) = 2(9xz – 5ky)(x – 2k).
№ 585
а) ax2 – ay – bx2 + cy + by – cx2 = a(x2 – y) – b(x2 – y) – c(x2 – y) =
= (x2 – y)(a – b – c);
б) xy2 – by2 – ax + ab + y2 – a = x(y2 – a) – b(y2 – a) + y2 – a =
= (y2 – a)(x – b + 1);
в) ax + bx + cx + ay + by + cy = (x + y)(a + b + c);
г) ab – a2b2 + a3b3 – c + abc – ca2b2 =
= ab(1 – ab +a2b2) – c(1 – ab + a2b2) = (ab – c)(1 – ab + a2b2).
118
www.5balls.ru
№ 586
21a2b – 4b – 12a + 7ab2 = 7ab(3a + b) – 4(b + 3a) = (3a + b)(7ab – 4);
а) (– 1 + 2)Ошибка!= 1 · Ошибка!= – Ошибка! = – 8Ошибка!;
б) Ошибка!(4 – 4) = 0;
в) Ошибка!Ошибка!= Ошибка!· (4 – 4) = 0;
г) (– 2 + 3) Ошибка!= 1 · (– 14 – 4) = – 18.
№ 587
а) 2,7 · 6,2 – 9,3 · 1,2 + 6,2 · 9,3 – 1,2 · 2,7 =
= 2,7(6,1 – 1,2) – 9,3(1,2 – 6,2) = (6,2 – 1,2)(2,7 + 9,3) = 12 · 5 = 60;
б) 125 · 48 – 31 · 82 – 31 · 43 – 125 · 83 = 125(48 – 83) – 31(82 + 53) =
= 125(48 – 83 – 31) = 125 · (– 66) = – 8250;
в) 14,9 · 1,25 + 0,75 · 1,1 + 14,9 · 0,75 + 1,1 · 25 =
= 14,9(1,25 + 0,75) + 1,1(25 + 0,75) = 14,9 · 2 + 1,1 · 25,72 =
= 29,8 + 28,325 = 58,125;
г) 3Ошибка!· 4Ошибка!+ 4,2 · Ошибка!+ 3Ошибка!· 2Ошибка!+
2,8 · Ошибка! = Ошибка!(2,8 + 4,2) + 3Ошибка!Ошибка!=
= 3Ошибка!· 7 + 3Ошибка!· 7 = 7 · 4 = 28.
№ 588
а) 109 · 9,17 – 5,37 · 72 – 37 · 9,17 + 1,2 · 72 =
= 9,17(109 – 37) – 72(5,37 – 1,2) = 9,17 · 72 – 72 · 4,17 = 72 · 5 = 360;
б) 19,9 · 18 – 19,9 · 16 + 30,1 · 18 – 30,1 · 16 =
= (19,9 + 30,1)(18 – 16) = 50 · 2 = 100;
в) 15,5 · 20,8 + 51,5 · 9,2 – 3,5 · 20,8 – 3,5 · 9,2 =
= 15,5(20,8 + 9,2) – 3,5(20,8 + 9,2) = 30 · 12 = 360;
г) 77,3 · 13 + 8 · 37,3 – 77,3 · 8 – 13 · 37,3 =
= 13(77,3 – 37,3) + 8(37,3 – 77,3) = 40 · 5 = 200.
№ 589
а) x2 + 6x + 8 = x2 + 2x + 4x + 8 = x(x + 2) + 4(x + 2) = (x + 4)(x + 2);
б) x2 – 8x + 15 = x2 – 3x – 5x + 15 = x(x – 3) – 5(x – 3) = (x – 5)(x – 3);
в) x2 + 3x + 2 = x2 + x + 2x + 2 = x(x + 1) + 2(x + 1) = (x + 2)(x + 1);
г) x2 – 5x + 6 = x2 – 2x – 3x + 6 = x(x – 2) – 3(x – 2) = (x – 2)(x – 3).
№ 590
а) a2 – 7a + 6 = a2 – a – 6a + 6 = a(a – 1) – 6(a – 1) = (a – 6)(a – 1);
б) b2 + 9b – 10 = b2 – b + 10b – 10 = b(b – 1) + 10(b – 1) =
= (b – 1)(b + 10);
в) y2 – 10y + 24 = y2 – 4y – 6y + 24 = y(y – 4) – 6(y – 4) = (y – 6)(y – 4);
г) z2 – 18z – 40 = z2 + 2z – 20z – 40 = z(z + 2) – 20(z + 2) =
= (z – 20)(z + 2).
119
www.5balls.ru
№ 591
а) a2 + 8ab – 9b2 = a2 + ab – 9ab – 9b2 = a(a + b) – 9b(a + b)=
= (a – 9b)(a + b);
б) a2 + 16ab + 55b2 = a2 + 5ab + 11ab + 55b2 =
= a(a + 5b) + 11b(a + 5b) = (a +11b)(a + 5b);
в) x2 + 4xy – 12y2 = x2 – 2xy + 6xy – 12y2 =
= x(x – 2y) + 6y(x – 2y) = (x + 6y)(x – 6y);
г) x2 + 16xy + 39y2 = x2 + 13xy + 3xy + 39xy2 =
= x(x + 3y) + 13y(x + 3y) = (x + 13y)(x + 3y).
№ 592
а) x2 – 3x + 2 = 0;
x2 – x – 2x + 2 =0;
x(x – 2) – (x – 2) =0;
(x – 1)(x – 2) =0;
x = 1;
x = 2.
Ответ: 1; 2.
в) x2 – 6x + 8 =0;
x2 – 2x – 4x + 8 =0;
(x – 2)(x – 4) = 0;
x = 2;
x = 4.
Ответ: 2; 4.
б) x2 + 8x + 15 = 0;
x2 + 3x + 5x + 15 = 0;
x(x + 3) + 5(x + 3) = 0;
(x + 3)(x + 5) = 0;
x = – 3;
x = – 5.
Ответ: – 3; – 5.
г) x2 – 3x – 4 = 0;
x2 + x – 4x – 4 = 0;
(x – 4)(x + 1) = 0;
x = 4;
x = – 1.
Ответ: 4; – 1.
№ 593
а) 2x2 – 5x + 2 = 0;
2x2 – 4x – x + 2 = 0;
2x(x – 2) – (x – 2) = 0;
(2x – 1)(x – 2) = 0;
x = Ошибка!; x = 2.
Ответ: Ошибка!; 2.
в) 4x2 + 5x – 6 =0;
4x2 + 8x – 3x – 6 = 0;
4x(x + 2) – 3(x + 2) = 0;
(4x – 3)(x + 2) = 0;
x = Ошибка!; x = – 2.
Ответ: Ошибка!; – 2.
б) 3x2 + 10x + 3 = 0;
3x2 + 9x + x + 3 = 0;
3x(x + 3) + (x + 3) = 0;
(3x + 1)(x + 3) = 0;
x = – Ошибка!; x = – 3.
Ответ: – Ошибка!; – 3.
г) 3x2 – x – 2 = 0;
3x2 – 3x + 2x – 2 = 0;
3x(x – 1) + 2(x – 1) = 0;
(3x + 2)(x – 1) = 0;
x = – Ошибка!; x = 1.
Ответ: – Ошибка!; 1.
120
www.5balls.ru
§ 22. Разложение многочлена на множители
с помощью формул сокращенного умножения
№ 594
а) 4z2 = 2z · 2z = (2z)2; 9b4 = 3b2 · 3b2 = (3b2)2;
25m2 = 5m · 5m = (5m)2; 64p2 = 8p · 8p = (8p)2;
б) 16a2b4 = (4ab2)2; 81x6y4 = (9x3y2)2;
49s2t8 = (7st4)2; 25k2t10 = (5kt5)2;
в) Ошибка!p2s4t2 = Ошибка!; Ошибка!m4n12 = Ошибка!;
Ошибка!a2b12 = Ошибка!; Ошибка!x4y8z16 = Ошибка!;
г) 0,01a4b8 = (0,1a2b4)2; 0,04x6y6 = (0,2x3y3)2;
0,49k2L10 = (0,7k4L5)2; 1,21m6n4 = (1,1m3n2)2.
№ 595
а) 4 – 36a2 = 22 – (6a)2 = (2 – 6a)(2 + 6a);
б) 100 – 49b2 = 102 – (7b)2 = (10 – 7b)(10 + 7b);
в) 400 – 121c2 = 202 – (11c)2 = (20 – 11c)(20 + 11c);
г) 225 – 144d2 = 152 – (12d)2 =(15 – 12d)(15 + 12d).
№ 596
а) a2 – 9b2 = (a – 3b)(a + 3b);
б) c2 – 16d2 = (c – 4d)(c + 4d);
в) m2 – 64n2 = (m – 8n)(m + 8n);
г) p2 – 100q2 = (p – 10q)(p + 10q).
№ 597
а) 59x2 – 121a2 = (7x – 11a)(7x + 11a);
б) 64p2 – 81q2 = (8p – 9q)(8p + 9q);
в) 9m2 – 16n2 = (3m – 4n)(3m + 4n);
г) 144y2 – 81r2 = (12y – 9r)(12y + 9r).
№ 598
а) x2y2 – 1 = (xy)2 – 12 = (xy – 1)(xy + 1);
б) c2d2 – 4 = (cd)2 – 22 = (cd – 2)(cd + 2);
в) m2n2 – 25 = (mn)2 – 52 = (mn – 5)(mn + 5);
г) p2q2 – 100 = (pq)2 – 102 = (pq – 10)(pq + 10).
№ 599
а) 25 – 36p2c2 = 52 – (6pc)2 = (5 – 6pc)(5 + 6pc);
б) 100m2n2 – 81 = (10mn)2 – 92 = (10mn – 9)(10mn + 9);
в) 49x2y2 – 400 = (7xy)2 – 202 = (7xy – 20)(7xy + 20);
г) 225 – 144c2d2 = 152 – (12cd)2 = (15 – 12cd)(15 + 12cd).
121
www.5balls.ru
№ 600
а) c2d2 – m2 = (cd)2 – m2 = (cd – m)(cd + m);
б) a2x2 – 0,25p2q2 =(ax)2 – (0,5pq)2 = (ax – 0,5pq)(ax + 0,5pq);
в) 16y2z2 – 4a2n2 = (4yz)2 – (2an)2 = (4yz – 2an)(4yz + 2an);
г) x2y2 – 0,25p2q2 = (xy)2 – (0,5pq)2 = (xy – 0,5pq)(xy + 0,5pq).
№ 601
а) 144a4 – 625c2 = (12a2)2 – (25c)2 = (12a2 – 25c)(12a2 + 25c);
б) 25p10 – Ошибка!q12 = (5p5)2 – Ошибка!= Ошибка!Ошибка!;
в) 169x8 – 400y16 = (13x4 )2 – (20y8)2 = (13x4 – 20y8)(13x4 + 20y8);
г) 4b16 – Ошибка!d4 = (2b8)2 – Ошибка!= Ошибка!Ошибка!.
№ 602
а) x2 – 49 = 0;
(x – 7)(x + 7) = 0;
x – 7 = 0; x + 7 = 0;
x = 7; x = – 7.
Ответ: 7; – 7.
в) z2 – 625 = 0;
(z – 25)(z + 25) = 0;
z – 25 = 0; z + 25 = 0;
z = 25; z = – 25.
Ответ: 25; – 25.
б) y2 – 100 = 0;
(y – 10)(y + 10) = 0;
y – 10 = 0; y + 10 = 0;
y = 10; y = – 10.
Ответ: 10; – 10.
г) t2 – 1 = 0;
( t – 1)(t + 1) = 0;
t – 1 = 0; t + 1 = 0;
t = 1; t = – 1.
Ответ: 1; – 1.
№ 603
а) 4x2 – 1 = 0;
(2x – 1)(2x + 1) = 0;
2x – 1 = 0; 2x + 1 = 0;
x = Ошибка!; x = – Ошибка!.
Ответ: Ошибка!; – Ошибка!.
в) 26a2 – 25 = 0;
(6a – 5)(6a + 5) = 0;
6a = 5; 6a = – 5;
a = 1,2; a = – 1,2.
Ответ: 1,2; – 1,2.
б) 25y2 – 49 = 0;
(5y – 7)(5y + 7) = 0;
5y – 7 = 0; 5y + 7 = 0;
y = Ошибка!; y = – Ошибка!.
Ответ: Ошибка!; – Ошибка!.
г) 144z2 – 1 = 0;
(12z – 1)(12z + 1) = 0;
12z = 1; 12z = – 1;
z = Ошибка!; z = – Ошибка!.
Ответ: Ошибка!; – Ошибка!.
№ 604
а) a + b; a2 – ab + b2;
б) m2 + 2n2; m4 – 2m2n2 + 4n4
в) 2c + 3d; 2c2 – 6cd + 9d2;
г) 3p + 4q2; 9p2 – 12pq2 + 16q4.
122
www.5balls.ru
№ 605
а) k –L; k2 + kL + L2;
б) 5a2 – b2; 25a4 + 5a2b2 + b4;
в) 3p – 2m; 9p2 + 6pm + 4m2;
г) 4s – 3t2; 16s2 + 125t2 + 9t4.
№ 606
а) a3b3 = (ab)3,
x6y9 = (x2y3)3,
8m3n9 = (2mn3)3,
125k9t27 = (5k3t9)3;
б) Ошибка!p9 = Ошибка!,
Ошибка!s18 = Ошибка!;
Ошибка!m12 = Ошибка!,
Ошибка!a24 = Ошибка!
в) 0,064a3b3 = (0,4ab)3,
0,216m3n18 = (0,6mn6)3,
г) 125x3y6z9 =(5xy2z3)3,
8m6n3p12 = (2m2np4)3,
0,125x9y3 = (0,5x3y)3,
0,008p9q12 = (0,2p3q4)3;
216a12b36c24 = (6a4b12c8)3,
0,343k9L18p15 = (0,7k3L6p5)3.
№ 607
а) a3 + 8 = a3 + 23 = (a + 2)(a2 – 2a + 4);
б) b3 – 27 = b3 – 33 = (b – 3)(b2 + 3b + 9);
в) c3 – 64 = c3 – 43 = (c – 4)(c2 + 4c + 16);
г) d3 + 125 = d3 + 53 = (d + 5)(d2 – 5d + 25).
№ 608
а) 216 – m3 = 63 – m3 = (6 – m)(36 + 6m + m2);
б) 1000 + m3 = 103 + m3 = (10 + m)(100 – 10m + m2);
в) 729 + p3 = 93 + p3 = (9 + p)(81 – 9p + p2);
г) 343 – q3 = 73 – q3 = (7 – q)(49 + 7q + q2).
№ 609
а) 64a3 + 1 = (4a + 1)(16a2 – 4a + 1);
б) 27d3 – 8=(3d – 2)(9d2 + 6d + 4);
в) 512b3 – 125 = (8b – 5)(64b2 + 40b + 25);
г) 216c3 + 1000 = (6c + 10)(36c2 – 60c + 100).
№ 610
а) a3b3 – 1 = (ab – 1)(a2b2 + ab + 1);
б) 8 + c3d3 = (2 + cd)(4 – 2cd + c2d2);
в) m3n3 – 27 = (mn – 3)(m2n2 + 3mn + 9);
г) p3q3 + 64 = (pq + 64)(p2q2 – 4pq + 16).
123
www.5balls.ru
№ 611
а) a2 – 2ab + b2 = (a – b)2;
б) x2 + 2xy + y2 = (x + y)2;
в) z2 + 2zt + t2 = (z + t)2;
г) m2 – 2mn + n2 = (m – n)2.
№ 612
а) m2 + 4m + 4 = m2 + 2 · 2m + 22 = (m + 2)2;
б) a2 – 12a + 36 = a2 – 2 · 6a + 62 = (a – 6)2;
в) 1 – 2b + b2 = (1 – b)2;
г) y2 + 18y + 81 = y + 2 · 9y + 92 = (y + 9)2.
№ 613
а) p2 + 10p + 25 = p2 + 2 · 5p + 52 = (p + 5)2;
б) x2 – 14x + 49 = x2 – 2 · 7x + 72 = (x – 7)2;
в) 225 – 30y + y2 = 152 – 2 · 15y + y2 = (15 – y)2;
г) 64 + 16z + z2 = 82 + 2 · 8z + z2 = (z + 8)2.
№ 614
а) 4y2 – 12y + 9 = (2y)2 – 2 · 3 · 2y + 32 = (2y – 3)2;
б) 9p2 + 48pq + 64q2 = (3p)2 + 2 · 3p · 8q + (8q)2 = (3p + 8q)2;
в) 9m2 + 24m + 16 = (3m)2 + 2 · 4 · 3m + 42 = (3m + 4)2;
г) 9a2 – 30a + 25 = (3a)2 – 2 · 5 · 3a + 52 = (3a – 5)2.
№ 615
а) 9x2 + 24xy + 26y2 = (3x)2 + 2 · 3x · 4y + (4y)2 = (3x + 4y)2;
б) 36a2 – 84ab + 49b2 = (6a)2 – 2 · 6a · 7b + (7b)2 = (6a – 7b)2;
в) 4m2 – 28mn + 49n2 = (2m)2 – 2 · 2m · 7n + (7n)2 = (2m – 7n)2;
г) 0,25x2 + 3xy + 9y2 = (0,5x)2 + 2 · 0,5x · 3y + (3y)2.
№ 616
а) a2 – 10a + 25 = (a – 5)2 – неотрицательное;
б) 49 + 14a + a2 = (a + 7)2 – неотрицательное;
в) – a2 – 4a – 4 = – 1 · (a2 + 4a + 4) = – (a + 2)2 – неположительное;
г) – a2 – 12a – 36 = – 1 · (a2 + 12a + 36) = – (a + 6)2 – неположительное.
№ 617
а) 342 + 2 · 34 · 36 + 362 = (34 + 36)2 = 702 = 4900;
б) 272 – 2 · 27 · 13 + 132 = (27 – 13)2 = 142 = 196;
в) 982 – 2 · 98 · 8 + 82 = (98 – 8)2 = 902 = 8100;
г) 76,4 + 13,6 + 2 · 76,4 · 13,6 = (76,4 + 13,6)2 = 902 = 8100.
124
www.5balls.ru
№ 618
а) 2572 – 1432 = (257 – 143)(257 + 143) = 114 · 400 = 45600;
б) 73,62 – 26,42 = (73,6 – 26,4)(73,6 + 26,4) = 37,2 · 100 = 3720;
в) 1652 – 652 = (165 – 65)(165 + 65) = 100 · 230 = 23000;
г) 72,52 – 47,52 = (72,5 – 47,5)(72,5 + 47,5) = 25 · 120 = 3000.
№ 619
а) (x + 1)2 – 25 = (x + 1 – 5)(x + 1 + 5) = (x – 4)(x + 6);
б) (y – 2)2 – 4 = (y – 2 – 2)(y – 2 + 2) = y(y – 4);
в) (z + 10)2 – 100 = (z + 10 – 10)(z + 10 + 10) = z(z + 20);
г) (t – 7)2 – 100 = (t – 7 – 10)(t – 7 + 10)= (t – 17)(t + 3).
№ 620
а) 49 – (m – 3)2 = (7 – m + 3)(7 + m – 3) = (m + 4)(10 – m);
б) 400 – (a + 9)2 = (20 – a – 9)(20 + a + 9) = (11 – a)(29 + a);
в) 625 – (n + 12)2 = (25 – n – 12)(25 + n + 12) = (13 – n)(37 + n);
г) 121 – (b – 13)2 = (11 – b + 13)(11 + b – 13) = (24 – b)(b – 2).
№ 621
а) (a + 4)2 – (b + 2)2 = (a + 4 – b – 2)(a + 4 + b + 2) =
= (a – b + 2)(a + b + 6);
б) (x – 5)2 – (y + 8)2 = (x – 5 – y – 8)(x – 5 + y + 8) =
= (x – y – 13)(x + y +3);
в) (m + 10)2 – (n – 12)2 = (m + 10 – n + 12)(m + 10 + n – 12) =
= (m – n + 22)(m + n – 2);
г) (c – 1)2 – (d – 23)2 = (c – 1 – d + 23)(c – 1+ d – 23) =
=(c – d + 22)(c + d – 24).
№ 622
а) (3x + 1)2 – (4x + 3)2 = (3x + 1 – 4x – 3)(3x + 1 + 4x + 3) =
= – (x + 2)(7x + 4);
б) (6y – 7)2 – (9y + 4)2 = (6y – 7 – 9y – 4)(6y – 7 + 9y +4) =
= (– 3y – 11)(15y – 3);
в) (15z + 4)2 – (3z – 2)2 = (15z + 4 – 3z + 2)(15z + 4 + 3z – 2) =
= (12z + 6)(18z + 2) = 12(2z + 1)(3z + 2);
г) (3t – 9)2 – (8t – 7)2 = (13t – 9 – 8t + 7)(13t – 9 +8t – 7) =
= (5t – 2)(21t – 16).
№ 623
б) Ошибка!b2 – Ошибка!= 0;
а) Ошибка!a2 – Ошибка!= 0;
Ошибка!Ошибка!= 0;
Ошибка!Ошибка!= 0;
Ошибка!a = Ошибка!; Ошибка!a = – Ошибка!; Ошибка!b =
Ошибка!; Ошибка!b = – Ошибка!;
125
www.5balls.ru
a = Ошибка!;
b = 1Ошибка!;
a = – Ошибка!.
b = – 1Ошибка!.
Ответ: Ошибка!; – Ошибка!. Ответ: 1Ошибка!; – 1Ошибка!.
в) Ошибка!c2 – Ошибка! = 0; г) Ошибка!d2 – Ошибка! = 0;
Ошибка!Ошибка!= 0;
Ошибка!Ошибка!= 0;
Ошибка!c = Ошибка!; Ошибка!c = – Ошибка!; Ошибка!d =
Ошибка!; Ошибка!d = – Ошибка!;
c = 1Ошибка!; c = – 1Ошибка!. d = 2Ошибка!; d = – 2Ошибка!.
Ответ: 1Ошибка!; – 1Ошибка!. Ответ: 2Ошибка!; – 2Ошибка!.
№ 624
б) (4 – 11y)2 – 1= 0;
а) (2x – 5)2 – 36 =0;
(2x – 41)(2x + 31) = 0;
(3 – 11y)(5 – 11y) = 0;
2x = 41; 2x = – 31;
11y = 3; 11y = 5;
x = 20Ошибка!; x = – 15Ошибка!.
y = Ошибка!; y =
Ошибка!.
Ответ: 20Ошибка!; – 15Ошибка!.
Ответ: Ошибка!;
Ошибка!.
г) (4t – 3)2 – 25t2 = 0;
в) (5z – 3)2 – 9z2 = 0;
(2z – 3)(14z – 3) = 0;
(– t – 3)(9t – 3) = 0;
2z = 3; 14z = 3;
– t = 3; 9t = 3;
z = 1Ошибка!; z = Ошибка!.
t = – 3; t = Ошибка!.
Ответ: 1Ошибка!; Ошибка!.
Ответ: – 3; Ошибка!.
№ 625
а) (a + 1)2 – (2a + 3)2 = 0;
(– a – 2)(3a + 4) = 0;
a = – 2;
3a = – 4;
a = – 1Ошибка!.
Ответ: – 2; – 1Ошибка!.
в) (5c + 8)2 – (c – 10)2 = 0;
(4c + 18)(6c – 2) = 0;
4c = – 18;
6c = 2;
c = – 4Ошибка!;
c = 3.
Ответ: – 4Ошибка!; 3.
б) (3b – 2)2 – (b + 1)2 = 0;
(2b – 3)(4b – 1) = 0;
2b = 3;
4b = 1;
b = 1Ошибка!;
b = Ошибка!.
Ответ: 1Ошибка!; Ошибка!.
г) (7d – 13)2 – (9d – 25)2 = 0;
(– 2d + 12)(16d – 38) = 0;
2d = 12;
16d = 38;
d = 6;
d =2Ошибка!.
Ответ: 6; 2Ошибка!.
№ 626
а) Ошибка!a3 – Ошибка!b3 = Ошибка!Ошибка!;
б) Ошибка!c3 + Ошибка!d3 = Ошибка!Ошибка!;
126
www.5balls.ru
в) Ошибка!x3 – Ошибка!y3 = Ошибка!Ошибка!;
г) Ошибка!m3 + Ошибка!n3 = Ошибка!Ошибка!.
№ 627
а) a6 – 8 = (a2)3 – 23 = (a2 – 2)(a4 + 2a2 + 4);
б) 27 + b9 = 33 + (b3)3 = (3 + b3)(9 – 3b3 + b6);
в) Ошибка! – x6 = Ошибка!– (x2)3 =Ошибка!Ошибка!;
г) – Ошибка! – x6 = – Ошибка!= Ошибка!Ошибка!.
№ 628
а) x3y3 – c3 = (xy)3 – c3 = (xy – c)(x2y2 + xyc + c2);
б) a3 + m3n9 = a3 + (mn3)3 = (a + mn3)(a2 – amn3 + m2n6);
в) m6n3 – p12 = (m2n)3 – (p4)3 = (m2n – p4)(m4n2 + m2np4 + p8);
г) q3 + c15d18 = q3 + (c5d6)3 = (q + c5d6)(q2 – qc5d6 + c10d12).
№ 629
а) Ошибка!a6 – b9 = Ошибка!– (b3)3 = Ошибка!Ошибка!;
2 
3 
3
б) Ошибка!a3 + x9 =  a  + (x3)3 = Ошибка!Ошибка!;
в) Ошибка!x3 + y6 = Ошибка!+ (y2)3 = Ошибка!Ошибка!;
г) Ошибка!m3 – Ошибка!n6 = Ошибка!– Ошибка!=
= Ошибка!Ошибка!.
№ 630
а)(2с + 1)3 – 64 = (2c + 1)3 – 43 =(2c + 1 – 4)((2c + 1)2 + 4(2c + 1)+42) =
= (2c – 3)(4c2 + 4c + 1 + 8c + 4 + 16) = (2c – 3)(4c2 + 12c + 21);
б) (3p – 4)3 + 1 = (3p – 4 + 1)((3p – 4)2 – 3p + 4 + 1) =
= (3p – 3)(9p2 – 24p + 16 – 3p + 4 + 1) = 3(p – 1)(9p2 – 27p + 21) =
= 9(p – 1)(3p2 – 9p + 7);
в) 8 – (3 – k)3 = (k – 1)(4 + 6 – 2k + 9 – 6k + k2) =
= (k – 1)(k2 – 8k + 19); г) (5a + 4)3 – 27 = (5a + 1)(25a2 + 40a + 16 +
+ 15a + 12 + 9) =
= (5a + 1)(25a2 + 55a + 37).
№ 631
а) (6b + 8)3 – 125 = (6b + 8 – 5)((6b + 8)2 + 5(6b + 8) + 25) =
= 9(2b + 1)(12b2 + 42b + 43);
б) 1000 + (3q + 12)3 = (3q + 12)(100 – 10(3q + 12) + (3q + 12)2) =
= (3q + 12)(100 – 30q – 120 + 9q2 + 72q + 144) =
= 3(q + 4)(9q2 + 42q + 124);
в) 8x3 – (5x – 3)3 = (2x – 5x + 3)((2x)2 + 2x(5x – 3) + (5x – 3)2) =
= – 3(x – 1)(4x2 + 10x2 – 6x + 25x2 – 30x + 9) =
127
www.5balls.ru
= – 9(x – 1)(13x2 – 12x + 3);
г)(3x + 2y)3 + 729y3 = (3x + 2y + 9y)((3x + 2y)2 – 9y(3x + 2y) + 81y2) =
= (3x + 11y)(9x2 + 12xy + 4y3 – 27xy – 18y2 + 81y2) =
= (3x + 11y)(9x2 – 15xy + 67y2).
№ 632
а) Ошибка!a2 – 2ab + Ошибка!b2 = Ошибка!– 2ab + Ошибка!=
Ошибка!;
б) Ошибка!a6b2 + a4b4 + Ошибка!a2b6 = a2b2Ошибка!=
= a2b2Ошибка!;
в) b8 + a2b4 + Ошибка!a4 =(b4)2 + a2b4 + Ошибка!= Ошибка!;
г) 0,01x4 + y2 – 0,2x2y = (0,1x2)2 – 0,2x2y + y2 = (0,1x2 – y)2.
№ 633
а) 513 – 263 = (51 – 26)(512 + 51 · 26 + 262) =
= 25 · (512 + 51 · 26 + 262) 25 – это сомножитель, значит, выражение
делится на 25;
б) 433 + 173 = (43 + 17)(432 – 43 · 17 + 172) =
= 60(432 – 43 · 17 + 172) 60 – это сомножитель, значит, выражение
делится на 60;
в) 543 – 143 = (54 – 14)(542 – 54 · 14 + 142) =
= 40(542 – 54 · 14 + 142) 40 – это сомножитель, значит, выражение
делится на 40;
г) 383 + 373 = (38 + 37)(382 – 38 · 37 + 372) =
= 75(382 – 38 · 37 + 372) 75 – это сомножитель, значит, выражение
делится на 75.
№ 634
а) (532 + 222 – 472 – 162) : (652 – 2 · 65 · 59 + 592) =
= (532 – 472 + 222 – 162) : (65 – 59)2 =
= ((53 – 47)(53 + 47) + (22 – 16)(22 + 16)) : 62 =
= (100 · 6 + 38 · 6) : 36 = 6 · (100 + 38) : 36 = 138 : 6 = 23;
б) Ошибка!+ 59 · 41 = (59 – 41)(592 + 59 · 41 + 412) : 18 + 59 · 41 =
592 + 2 · 59 · 41 + 412 = (59 + 41)2 = 1002 = 10000;
в) (1092 – 2 · 109 · 61 + 612) : (792 + 732 – 492 – 552) =
= (109 – 61)2 : ((79 – 49)(79 + 49) + (73 – 55)(73 + 55)) =
= 482 : (30 · 128 + 18 · 128) = 482 : (128· (30 + 18)) = 48 : 128 =
Ошибка!;
г) Ошибка! – 67 · 52 = (67 + 52)(672 – 67 · 52 + 522) : 119 – 67 · 52 =
= 672 – 2 · 67 · 52 + 522 = (67 – 52)2 = 152 = 225.
128
www.5balls.ru
№ 635
а)Ошибка!: (152,52 – 27,52) = =Ошибка!:
: ((152,5–27,5)(152,5+27,5)) = (972 +2 · 97 · 53 + 532) : (125 · 180) =
= (97 + 53)2 : 22500 = 1502 : 22500 = 1;
б) (36,52 – 27,52) : Ошибка!=
= ((36,5–27,5)(36,5+27,5)) Ошибка!=
= (9 · 64) : (572 – 2 · 57 · 33 + 332) = 576 : (57 – 33)2 = 1;
в) Ошибка!: (133,52 – 58,52) =
= Ошибка!
· (133,5–58,5)(133,5+ 58,5) = (79 + 41)2 : (75 · 192) = 1202 : 14400 = 1;
г) (94,52 – 30,52) : Ошибка!=
 (69 + 29)(692 − 69 · 29 + 292 )

69 · 29  =
= (94,5 – 30,5)(94,5 + 30,5) 


98
= 64 · 125 : (69 – 29)2 = 8000 : 1600 = 5.


№ 636
а) a2 + ∗ + b2 = (a + b)2;
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2; ∗ = 2ab;
б) b2 + 20ab + ∗ = (b + 10)2;
(b + 10)2 = b2 + 20ab + 100; ∗ = 100;
в) ∗ – 56a + 49 = (4a – 7)2;
(4a – 7)2 = 16a2 – 56a + 49; ∗ = 16a;
г) ∗1 – 12c + ∗2 = (3c – 2)2;
(3c – 2)2 = 9c2 – 12c + 4; ∗1 = 9c2, ∗2 = 4.
№ 637
а) b2 – 20b + ∗1 = (∗2 – 10)2;
(∗2 – 10)2 = ∗22 – 2 · ∗2 · 10 + 100; ∗1 = 100, ∗2 = b;
б) ∗1 – 42pq + 49q2 = (3p – ∗2)2;
(3p – ∗2)2 = 9p2 – 2 · ∗2 · 3p + ∗22; ∗1 = 9p2, ∗2 = 7q;
в) 25a2 + ∗1 + Ошибка!b2 = (∗2 + Ошибка!b)2;
(∗2 + Ошибка!b)2 = ∗22 + ∗2b + Ошибка!b2; ∗2 = 5a, ∗1 = ∗2 · b = 5ab;
г) 0,01b2 + ∗1 + 100c2 = (0,1b + ∗2)2;
(0,1b + ∗2)2 = 0,01b2 – 0,2b · ∗2 + ∗22;
∗2 = 10c, ∗1 = ∗2 · 0,2b = 10c · 0,2b = 2bc.
№ 638
а) ∗1 + 56ab + 49b2 = (4a + ∗2)2;
(4a + ∗2)2 = 16a2 + 2 · ∗2 · 4a + ∗22; ∗1 = 16a2, ∗2 = 7b;
б) 225x2 – ∗1 + 64y2 = (15x – ∗2)2;
129
www.5balls.ru
(15x – ∗2)2 = 225x2 – 2 · 15x · ∗2 + ∗22;
∗2 = 8y, ∗1 = 30x · ∗2 = 30x · 8y = 240xy;
в) ∗1 + 96xy + 36y2 = (8x + ∗2)2;
(8x + ∗2)2 = 64x2 + 16x · ∗2 + ∗22; ∗1 = 64x2, ∗2 = 6y;
г) 100a2 + ∗1 + 49b2 = (10a + ∗2)2;
(10a + ∗2)2 = 100a2 + 20a · ∗2 + ∗22; ∗2 = 7b, ∗1 = 140ab.
№ 639
а) m2 + 40m + ∗1 = (∗2 + 20)2;
(∗2 + 20)2 = ∗22 + 2 · 20 · ∗2 + 400; ∗1 = 400, ∗2 = m;
б) ∗1 – 70pq + ∗2 = (7p – ∗3)2;
(7p – ∗3)2 = 49p2 – 2 · 7p · ∗3 + ∗32;
∗1 = 49p2, ∗3 = Ошибка! = 5q, ∗2 = 25q2;
в) ∗1 + 42ac + 49c2 = (∗2 + ∗3)2;
∗3 = 7c, 2 · ∗2 · ∗3 = 42ac, ∗2 = Ошибка!= 3a, ∗1 = ∗22 = 9a2;
г) 25z2 – ∗1 + ∗2 = (∗3 – 8t)2;
∗2 = (8t)2 = 64t2, ∗3 = 5z, ∗1 = 5z · 8t · 2 = 80zt.
§ 23. Разложение многочлена на множители
с помощью комбинаций различных приемов
№ 640
а) 5x2 – 5 = 5(x2 – 1) = 5(x – 1)(x + 1);
б) 10x2 – 10y2 = 10(x2 – y2) = 10(x – y)(x + y);
в) 3a2 – 12 = 3(a2 – 4) = 3(a – 2)(a + 2);
г) 9b3 – b = b(9b2 – 1) = b(3b – 1)(3b + 1).
№ 641
а) 9x2 – 81x = 9x(x – 9);
б) y3 – 100y = y(y2 – 100) = y(y – 10)(y + 10);
в) 64a – a3 = a(64 – a2) = a(8 – a)(8 + a);
г) b3 – 144b = b(b2 – 122) = b(b – 12)(b + 12).
№ 642
а) c3 – 25c = c(c2 – 25) = c(c – 5)(c + 5);
б) 50m – 2n2m = 2m(25 – n2) = 2m(5 – n)(5 + n);
в) 0,04s – sa2 = s(0,04 – a2) = s(0,2 – a)(0,2 + a);
г) Ошибка!p2q – q3 = qОшибка! = qОшибка!Ошибка!.
№ 643
а) 5a2 + 10ab + 5b2 = 5(a2 + 2ab + b2) = 5(a + b)2;
130
www.5balls.ru
б) 2x2 + 4xy + 2y2 = 2(x2 + 2xy + y2) = 2(x + y)2;
в) 3m2 + 3n2 – 6mn = 3(m2 – 2mn + n2) = 3(m – n)2;
г) 8n2 – 16n + 8 = 8(n2 – 2n + 1) = 8(n – 1)2.
№ 644
а) –3x2 + 12x – 12 = –3(x2 – 4x + 4) = –3(x – 2)2;
б) –2a2 + 20ab – 50b2 = –2(a2 – 10ab + 25b2) = –2(a – 5b)2;
в) –5p2 – 10pq – 5q2 = –5(p2 + 2pq + q2) = –5(p + q)2;
г) –12z3 – 12z2 – 3z = –3z(4z2 + 4z + 1) = –3z(2z + 1)2.
№ 645
а) a4 – 16 = (a2)2 – 42 = (a2 – 4)(a2 + 4) = (a – 2)(a + 2)(a2 + 4);
б) b4 – 81 = (b2 – 9)(b2 + 9) = (b – 3)(b + 3)(b2 + 81);
в) y8 – 1 = (y4 – 1)(y4 + 1) = (y2 – 1)(y2 + 1)(y4 + 1) =
= (y – 1)(y + 1)(y2 + 1)(y4 + 1);
г) x4 – z4 = (x2 – z2)(x2 + z2) = (x – z)(x + z)(x2 + z2).
№ 646
а) 4m3 – 4n3 = 4(m3 – n3) = 4(m – n)(m2 + mn + n2);
б) 13a3 + 13b3 = 13(a3 + b3) = 13(a + b)(a2 – ab + b2);
в) 15c3 + 15d3 = 15(c3 + d3) = 15(c + d)(c2 – cd + d2);
г) 21s3 – 21t3 = 21(s3 – t3) = 21(s – t)(s2 + st + t2).
№ 647
а) 6x5y – 24xy3 = 6xy(x4 – 4y2) = 6xy(x2 – 2y)(x2 + 2y);
б) 3a4b2 + 24ab5 = 3ab2(a3 + 8b3) = 3ab(a + 2b)(a2 – 2ab + 4b2;
в) 0,3y2 – 2,7y6 = 0,3y2(1 – 9y4) = 0,3y2(1 – 3y2)(1 + 3y2);
г) 0,1x4y – 2,7xy4 = 0,1xy(x3 – 27y3) = 0,1xy(x – 3y)(x2 + 3xy + 9y2).
№ 648
а) (m + 3)3 – 8 = (m + 3 – 2)((m + 3)2 + 2(m + 3) + 4) =
= (m + 1)(m2 + 6m + 9 + 2m + 6 + 4) = (m + 1)(m2 + 8m + 19);
б) (c – 1)3 + 27 = (c – 1 + 3)(c2 – 2c + 1 – 3c + 3 + 9) =
= (c + 2)(c2 – 5c + 12);
в) (a – 12)3 – 125 = (a – 12 – 5)(a2 – 24a + 144 + 5a – 60 + 25) =
= (a – 17)(a2 – 19a + 109);
г) (b + 4)3 + 64 = (b + 4 + 4)(b2 + 8b + 16 + 4b + 16 + 16) =
= (b + 8)(b2 + 12b + 48).
№ 649
а) (x2 + 1)2 – 4x2 = (x2 + 1 – 2x)(x2 + 1 + 2x) = (x – 1)2(x + 1)2;
б) (y2 + 2y)2 – 1 = (y2 + 2y – 1)(y2 + 2t + 1) = (y2 + 2y – 1)(y + 1)2;
в) 81 – (c2 + 6c)2 = (9 – c2 – 6c)(9 + c2 + 6c) = (9 – c2 – 6c)(c + 3)2;
131
www.5balls.ru
г) 16m2 – (m – n)2 = (4m – m + n)(4m + m – n) = (3m + n)(5m – n).
№ 650
а) (a2 + 2ab + b2) – c2 = (a + b)2 – c2 = (a + b – c)(a + b +c);
б) 16 – (x2 – 2xy + y2) = 16 – (x – y)2 = (4 – x + y)(4 + x – y);
в) 1 – m2 – 2mn – n2 = 1 – (m + n)2 = (1 – m – n)( 1 + m + n);
г) 4 – p2 – 2pq – q2 = 4 – (p + q)2 = (2 – p – q)(2 + p + q).
№ 651
а) x2 – 2xc + c2 – d2 = (x – c)2 – d2 = (x – c – d)(x – c + d);
б) a2 + 2a – b2 + 1 = (a + 1)2 – b2 = (a + 1 – b)(a + 1 + b);
в) c2 – d2 + 6c + 9 = (c + 3)2 – d2 = (c + 3 – d)(c + 3 + d);
г) r2 – s2 – 10s – 25 = r2 – (s + 5)2 = (r – s – 5)(r + s + 5).
№ 652
а) x2 + 2xy – m2 + y2 = (x + y)2 – m2 = (x = y – m)(x = y + m);
б) c2 – a2 + 2ab – b2 = c2 – (a – b)2 = (c – a + b)(c + a – b);
в) m2 – n2 – 8m + 16 = (m – 4)2 – n2 =
= (m – 4 – n)(m – 4 + n);
г) 9 – p2 + q2 – 6q = (q – 3)2 – p2 = (q – 3 – p)(q – 3 + p).
№ 653
а) x3 – x2y – xy2 + y3 = x3 + y3 – x2y – xy2 =
= (x + y)(x2 – xy + y2) – xy(x + y) = (x + y)(x2 – xy + y2 – xy) =
= (x + y)(x2 – 2xy + y2) = (x + y)(x – y)2;
б) a3 + a2b – ab2 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) + ab(a – b) =
= (a – b)(a2 + 2ab + b2) = (a – b)(a + b)2;
в) c2 + 2c – d2 + 2d =c2 – d2 + 2 (c + d) = (c – d)(c + d) + 2 (c + d) =
= (c+d)(c – d + 2);
г) m2 – 2n – m – 4n2 = m2 – 4n2 – (2n + m) =
= (m – 2n)(m + 2n) – (2n + m) = (2n + m)(m – 2n – 1).
№ 654
а) x2(x – 3) – 2x(x – 3) + (x – 3) = (x – 3)(x2 – 2x + 1) = (x – 3)(x – 1)2;
б) (1 – a)2 – 4a(1 – a)2 + 4a(1 – a)2 = (1 – a)2(1 – 4a + 4a) = (1 – a)2.
№ 655
а) a3 + 8b3 + a2 – 2ab + 4b2 = (a + 2b)(a2 – 2ab + 4b2) + a2 – 2ab + 4b2 =
= (a + 2b + 1)(a2 – 2ab + 4b2);
б) 8c3 – d3 + 4c2 + 2cd + d2 = (2c – d)(4c2 + 2cd + d2) + 4c2 + 2cd + d2 =
= (2c – d + 1)(4c2 + 2cd + d2).
132
www.5balls.ru
№ 656
а) x3 + 8y3 + x2 + 4xy + 4y2 = (x + 2y)(x2 – 2xy + 4y2 ) + (x + 2y)2 =
= (x + 2y)(x2 – 2xy + 4y2 + x + 2y);
б) 8p3 – q3 + 4p2 – 4pq + q2 = (2p – q)(4p2 + 2pq + q2) + (2p – q)2 =
= (2p – q)(q2 + 2pq + 4p2 + 2p – q).
№ 657
а) a3 – a2 – 2a + 8 = a3 + 8 – a(a + 2) = (a + 2)(a2 – 2a + 4) – a(a + 2) =
= (a + 2)(a2 – 2a + 4 – a) = (a + 2)(a2 – 3a + 4);
б) b3 – 6b2 – 6b + 1 = b3 + 1 – 6b(b + 1) =
= (b + 1)(b2 – b + 1) – 6b(b + 1) = (b + 1)(b2 – b + 1 – 6b) =
= (b + 1)(b2 – 7b + 1).
№ 658
а) x2 – 10x + 24 = x2 – 10x + 25 – 1 = (x – 5)2 – 1 = (x – 6)(x – 4);
б) y2 – 14y + 40 = y2 – 14y + 49 – 9 = (y – 7)2 – 9 = (y – 10)(y – 4);
в) b4 + 4b2 – 5 = b4 + 4b2 + 4 – 9 = (b2 + 2)2 – 9 =
= (b2 + 2 – 3)(b2 + 2 + 3) = (b2 – 1)(b2 + 5) =
= (b – 1)(b + 1)(b2 + 5);
г) a2 – 6a + 5 = a2 – 6a + 9 – 4 = (a – 3)2 – 4 = (a – 5)(a – 1).
№ 659
а) 4a2 – 12ab + 5b2 = 4a2 – 12ab + 9b2 – 4b2 = (2a – 3b)2 – 4b2 =
= (2a – 5b)(2a – b);
б) 9c2 – 24cd + 7d2 = 9c2 – 24cd + 16d2 – 9d2 = (3c – 4d)2 – 9d2 =
= (3c – 7d)(3c – d);
в) 25a2 – 20ab – 12b2 = 25a2 – 20ab + 4b2 – 16b2 = (5a + 2b)2 – 16b2 =
= (5a – 2b)(5a + 6b);
г) 9m2 – 30mk + 16k2 = 9m2 – 30mk + 25k2 – 9k2 = (3m – 5k2) – 9k2 =
= (3m – 8k)(3m – 2k).
№ 660
а) a2 + 7a + 10 = a2 + 5a + 2a + 10 = a(a + 5) + 2(a + 5) = (a + 2)(a + 5);
б) x4 + 7x2 + 12 = x4 + 3x2 + 4x2 + 12 = x2(x2 + 3) + 4(x2 + 3) =
= (x2 + 4)(x2 + 3);
в) b2 – 3b – 4 = b2 – 1 – 3b – 3 = (b – 1)(b + 1) – 3(b + 1) = (b – 4)(b + 1)
г) y4 – 5y2 + 4 = y4 – 4y2 – y2 + 4 = y2(y2 – 4) – y2 – 4 =
= (y2 – 1)(y2 – 4) = (y – 1)(y + 1)(y – 2)(y + 2).
№ 661
а) x2 + 5xy + 6y2 = x2 + 2xy + 3xy + 6y2 = x(x + 2y) + 3y(x + 2y) =
= (x + 3y)(x + 2y);
б) 4m2 – 5mn + n2 = 4m2 – 4mn – mn + n2 = 4m(m – n) + n(n – m) =
133
www.5balls.ru
= (m – n)(4m – n);
в) p2 – pq – 2q2 = p2 + pq – 2q2 – 2pq = p(p + q) – 2q(p + q) =
= (p + q)(p – 2q);
г) a2 + 7ab + 6b2 = a2 + ab + 6ab + 6b2 = a(a + b) + 6b(a + b) =
= (a + b)(a + 6b).
№ 662
а) x3 – x = 0;
x(x2 – 1) = 0;
x(x – 1)(x +1) = 0;
x = 0, x = 1, x = –1.
Ответ: 0; 1; –1.
в) c3 + c2 = 0;
c2(c + 1) = 0;
c = 0, c = –1.
Ответ: 0; –1.
б) 16y – y3 = 0;
y(16 – y2) = 0;
y(4 – y)(4 + y) = 0;
y = 0, y = 4, y = –4.
Ответ: 0; 4; –4.
г) d3 + d = 0;
d(d2 + 1) = 0;
d = 0, d2 + 1 ≠ 0 не при каких d.
Ответ: 0.
№ 663
а) x3 + x2 – 4x – 4 = 0;
x2(x + 1) – 4(x + 1) = 0;
(x2 – 4)(x + 1) = 0;
(x – 2)(x + 2)(x + 1) = 0;
x = 2, x = –2, x = –1.
Ответ: 2; –2; –1.
в) 9z + 9 – z3 – z2 = 0;
9(z + 1) – z2(z + 1) = 0;
(9 – z2)(z + 1) = 0;
(3 – z)(3 + z)(z + 1) = 0;
z = 3, z = –3, z = –1.
Ответ: 3; –3; –1.
б) y3 + 2y2 – 4y – 8 = 0;
y2(y + 2) – 4(y + 2);
(y2 – 4)(y + 2) = 0;
(y – 2)(y + 2)2 = 0;
y = 2, y = – 2.
Ответ: 2; –2.
г) p3 – p2 – 4p + 4 = 0;
p2(p – 1) – 4(p – 1) = 0;
(p2 – 4)(p – 1) = 0;
(p – 2)(p + 2)(p – 1) = 0;
p = 2, p = –2, p = 1.
Ответ: 2; –2; 1.
№ 664
x1 + x2 = 7; x1 · x2 = 2;
а) x1x22 + x12x2 = x1x2(x1 + x2) = 2 · 7 = 14;
б) (x1 = x2)2 = 72 = 49;
в) x12 + x22 = x12 + x22 + 2x1x2 – 2x1x2 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 =
= 49 – 4 = 45;
г) (x13 + x23) = (x1 + x2)(x12 – x1x2 + x22) =
= (x1 + x2)((x1 + x2)2 – 3x1x2) = 7(49 – 6) = 7 · 43 = 301.
№ 665
x1 + x2 = 5; x1 · x2 = –3
а) x14 + x24 = x14 + 2x12x22 + x14 – 2x12x22 = (x12 + x22)2 – 2x12x22 =
134
www.5balls.ru
= ((x1 + x2)2 – 2x1x2)2 – 2x12x22 = (25 + 6)2 – 18 = 312 – 18 =
= 961 – 18 = 943;
б) (x1 – x2)2 = x12 – 2x1x2 + x22 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 25 + 12 = 37;
в) x13x22 + x12x23 = x12x22(x1 + x2) = 9 · 5 = 45;
г) x12x24 + x14x22 = x12x22(x12 + x22) =
= x12x22(x12 + 2x1x2 + x22 – 2x1x2) = x12x22((x1 + x2)2 – 2x1x2) =
= 9 · (25 + 6) = 279.
§ 24. Сокращение алгебраических дробей
№ 666
а) 3a2b3, 12a3b2 : НОД = 3a2b2;
в) 6x2y, 9y5 : НОД = 3y;
б) 15b12c2, 25b3c4 : НОД = 5b3c2;
г) p5q2, 12p2q5 : НОД = p2q2.
№ 667
а) Ошибка! = y; б) Ошибка! = – Ошибка!; в) Ошибка! = –
Ошибка!; г) Ошибка! = n15.
№ 668
а) Ошибка! =
z8
z1
·
t4
t3
· Ошибка! = z7· t · w19;
б) Ошибка! = Ошибка! · Ошибка! · Ошибка! = – Ошибка!;
в) Ошибка! = – Ошибка! · Ошибка!· Ошибка!= – Ошибка!;
г) Ошибка! = Ошибка! · Ошибка! · Ошибка! = Ошибка!.
№ 669
а) Ошибка! = Ошибка! · b = Ошибка!;
б) Ошибка! = Ошибка! · Ошибка! = – Ошибка!;
в) Ошибка! = Ошибка! · Ошибка! = – Ошибка!;
г) Ошибка! = Ошибка! · Ошибка! = Ошибка! = Ошибка! =
Ошибка!.
№ 670
а) Ошибка! = Ошибка! · Ошибка! · Ошибка! = Ошибка!;
б) Ошибка! = Ошибка! · Ошибка! = Ошибка! · Ошибка! =
Ошибка!c;
в) Ошибка! = Ошибка! · ab · Ошибка! = Ошибка! · ab = Ошибка!;
г) Ошибка! = Ошибка! · Ошибка! · Ошибка! = Ошибка! ·
Ошибка! = Ошибка!.
135
www.5balls.ru
№ 671
а)
5( x − y )
5 x− y
1
=− ⋅
=− ;
15( y − x)
15 x − y
3
б) Ошибка!;
в) Ошибка!;
г) Ошибка!.
№ 672
а) Ошибка!;
б) Ошибка!;
в) Ошибка!;
г) Ошибка!.
№ 673
а) Ошибка!;
б) Ошибка!;
в) Ошибка!;
г) Ошибка!.
№ 674
а) Ошибка!;
б) Ошибка!;
в) Ошибка!;
г) Ошибка!.
№ 675
а) Ошибка! = Ошибка! = Ошибка! · Ошибка! = Ошибка!;
б) Ошибка!;
в)
3m − 6n
3(m − 2n) 3 m − 2n 1
1
= · ( −1) = − ;
=
= ·
12n − 6m 6(n − 2m) 6 2n − m 2
2
г) Ошибка!.
№ 676
а) Ошибка!;
б) Ошибка!; в) Ошибка!;
г) Ошибка!.
№ 677
а) Ошибка!;
б) Ошибка!;
в) Ошибка!;
г) Ошибка!.
136
www.5balls.ru
№ 678
а) Ошибка!;
б) Ошибка!;
в) Ошибка!;
г) Ошибка!.
№ 679
а) Ошибка!;
б) Ошибка!;
в) Ошибка!
= 5y + 1;
г)
4t 2 − 2t + 1
3
8t + 1
=
4t 2 − 2t + 1
2
(2t + 1)(4t − 2t + 1)
=
1
4t 2 − 2t + 1
1
.
· 2
=
2t + 1 4t − 2t + 1 2t + 1
№ 680
а) Ошибка!;
б) Ошибка!;
в) Ошибка!;
г) Ошибка!.
№ 681
а) Ошибка!;
б) Ошибка!; в) Ошибка!;
г) Ошибка!.
№ 682
а) Ошибка!;
б) Ошибка!;
в) Ошибка!;
г) Ошибка!.
№ 683
а) Ошибка!;
б) Ошибка!;
в) Ошибка!;
г) Ошибка!.
№ 684
а) Ошибка!;
б) Ошибка!;
в) Ошибка!;
г) Ошибка!.
137
www.5balls.ru
№ 685
а) Ошибка!;
б) Ошибка!;
в) Ошибка!;
г) Ошибка!.
№ 686
а) Ошибка!;
б) Ошибка!;
в) Ошибка!;
г) Ошибка!.
№ 687
а) Ошибка!;
б) Ошибка!;
в) Ошибка!;
г) Ошибка!.
№ 688
а) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!; б) Ошибка! = Ошибка!=
Ошибка!;
в) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!;
г) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!.
№ 689
а) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!;
б) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!;
в) Ошибка! = Ошибка!= Ошибка!;
г) Ошибка!= Ошибка! = – Ошибка!.
№ 690
а) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!=
= – Ошибка!;
б)Ошибка! = Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!;
в) Ошибка! = Ошибка!= x 3 – y3;
г) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!.
№ 691
а) Ошибка!= Ошибка! = – Ошибка!= Ошибка! = 36;
б) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!= Ошибка! = 30;
в) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка! = Ошибка! = 8;
г) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!= 0.
138
www.5balls.ru
№ 692
а) Ошибка!= Ошибка!= x + 6 = 108;
б) Ошибка!= Ошибка!= y – 7 = – 11;
в) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!= Ошибка! = 1Ошибка!;
г) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка! = Ошибка!= – 9.
№ 693
а) Ошибка!= Ошибка! = – Ошибка! = – Ошибка! = – 1;
б) Ошибка!= Ошибка! = – Ошибка!= –Ошибка!= 2;
в) Ошибка!= Ошибка! = – Ошибка! = Ошибка! = Ошибка! = 1,25;
г) Ошибка!= Ошибка! = – Ошибка! = – Ошибка! = – 1,875.
№ 694
а) Ошибка!= Ошибка!= a + 3 = 18;
б) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!= Ошибка!= – Ошибка!;
в) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка! = Ошибка!= 2Ошибка!;
г) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!= Ошибка! = 1.
№ 695
а) Ошибка!= Ошибка!;
б) Ошибка! = Ошибка!;
в) Ошибка! = Ошибка!;
г) Ошибка! = Ошибка!.
№ 696
а) Ошибка!= Ошибка! = – Ошибка!;
б) Ошибка! = Ошибка!= Ошибка!;
в) Ошибка! = Ошибка!= – Ошибка!;
г) Ошибка! = Ошибка!= Ошибка!.
№ 697
а) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!=
= Ошибка!;
б) Ошибка! = Ошибка!= Ошибка! =
= Ошибка!;
в) Ошибка! = Ошибка!= Ошибка! =
= Ошибка!;
г) Ошибка!= Ошибка! =
= Ошибка!= Ошибка!.
№ 698
а) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!=
= Ошибка!;
139
www.5balls.ru
б) Ошибка! = Ошибка!= Ошибка! =
= Ошибка!;
в) Ошибка! = Ошибка!= Ошибка! =
= Ошибка!;
г) Ошибка! = Ошибка! =
= Ошибка! = Ошибка!.
№ 699
а) Ошибка!= Ошибка! =
= Ошибка!= Ошибка!;
б) Ошибка! = Ошибка!=
= Ошибка! = Ошибка!;
в) Ошибка! = Ошибка!=
= Ошибка! = Ошибка!;
г) Ошибка! = Ошибка!=
= Ошибка! = Ошибка!.
№ 700
а) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!=
= Ошибка!;
б) Ошибка! =
= Ошибка! =
= Ошибка! = Ошибка!;
в) Ошибка! = Ошибка!=
= Ошибка! = Ошибка!;
г) Ошибка!= Ошибка! =
= Ошибка! = Ошибка!.
№ 701
а) Ошибка!= Ошибка! =
= Ошибка! = Ошибка!;
б) Ошибка! = Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!;
в) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!=
= Ошибка!= x – y;
г) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка! = Ошибка!.
№ 702
а) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!=
= Ошибка!;
б) Ошибка!= Ошибка! =
= Ошибка!= Ошибка!;
в) Ошибка! = Ошибка!= Ошибка! =
= Ошибка!;
140
www.5balls.ru
г) Ошибка!= Ошибка!=
= Ошибка!= Ошибка!.
№ 703
а)Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!= Ошибка!= Ошибка! =
Ошибка!;
б) Ошибка! = Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!;
в) Ошибка! = Ошибка!= Ошибка!= Ошибка! = 10;
г) Ошибка! = Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= 94,5.
№ 704
а) Ошибка!= Ошибка!=
= 47 + 33= 80;
б) Ошибка!= Ошибка! =
= 23 – 11=12;
в) Ошибка!= Ошибка! =
= 27 – 13=14;
г) Ошибка!= Ошибка!= 87 + 43=130.
№ 705
а) Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!;
б) Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!=
= Ошибка!= 1,5;
в) Ошибка! = Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= 25;
г) Ошибка!= Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!= Ошибка!=
= 0,15.
№ 706
а) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!= Ошибка!= – 4;
б) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!=
= Ошибка!= Ошибка!;
в) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!= Ошибка!: Ошибка!=
Ошибка! = 1,125;
г) Ошибка!= Ошибка! =Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= 2.
§ 25. Тождества
№ 707
а) да;
б) да;
в) да;
г) да.
141
www.5balls.ru
№ 708
а) да;
б) да;
в) да;
г) да.
№ 709
а) да; б) да; в) да; г) да.
№ 710
а) переместительный закон сложения;
б) сочетательный закон сложения;
в) переместительный закон умножения;
г) распределительный закон сложения относительно умножения.
№ 711
а) переместительный и сочетательный законы умножения;
б) если из числа а вычесть это же число то в результате получится 0;
в) переместительные законы сложения и умножения;
г) 1. сочетательный закон умножения,
2. распределительный закон сложения относительно умножения.
№ 712
а) x – y = – y + x = – (y – x);
б) (m – n)2 = m2 – 2mn + n2 = n2 – 2mn + m2 = (n – m)2;
в) 2a – 3b = – 3b + 2a = – (3b – 2a);
г) (3c – 4d)2 = 9c2 – 24cd + 16d2 = 16d2 – 24cd + 9c2 = (4d – 3c)2.
№ 713
а) 10a – (– (5a + 20)) = 10a – (– 5(a + 4)) = 10a + 5(a + 4) =
= 5(2a + a + 4) = 5(3a + 4);
б) – (– 7x) – (6 + 5x) = 7x – 6 – 5x = 2x – 6 = 2(x – 3);
в) 12y – (25 – (6y – 11)) = 12y – (25 – 6y + 11)= 12y – 36 + 6y =
= 18y – 36 = 18(y – 2);
г) 36 – (– (9c – 15)) = 36 – (– 9c + 15) = 36 + 9c – 15 =
= 21 + 9c = 3(3c + 7).
№ 714
а) a2 + 7a + 10 = a2 + 5a + 2a + 10 = a(a + 5) + 2(a + 5) =
= (a + 5)(a + 2) = (a + 2)(a + 5);
б) x2 – 9x + 20 = x2 – 4x – 5x + 20 = x(x – 4) – 5(x – 4) = (x – 4)(x – 5);
в) (b – 8)(b + 3) = b(b + 3) – 8(b + 3) = b2 + 3b – 8b + 24 =
= b2 – 5b + 24;
142
www.5balls.ru
г) (c – 4)(c + 7) = c(c + 7) – 4(c + 7) = c2 + 7c – 4c – 28 = c2 + 3c – 28.
№ 715
а) (a – 4)(a + 2) + 4 = a2 – 4a + 2a – 8 + 4 = a2 – 2a – 4 =
= a2 – 2a – 3 – 1= a2 + a – 3a – 3 – 1 = a(a + 1) – 3(a + 1) – 1 =
= (a – 3)(a + 1) – 1;
б) 16 – (x + 3)(x + 2) = 4 + 12 – x2 – 5x – 6 = 4 – x2 – 5x + 6 =
= 4 – (x2 + 5x – 6) = 4 – (x2 – x + 6x – 6) =
= 4 – (x(x – 1) + 6(x – 1)) = 4 – (x – 1)(x + 6) = 4 – (6 + x)(x – 1);
в) (y – 3)(y + 7) – 13 = y2 – 3y + 7y – 21 – 11 – 2 =
= (y2 + 4y – 32) – 2 = (y2 + 8y – 4y – 32) – 2 =
= y(y + 8) – 4(y + 8) – 2 = (y + 8)(y – 4) – 2;
г) (z – 11)(z + 10) + 10 = z2 – z – 110 + 10 = (z2 – z – 20) – 80 =
= z2 – 5z + 4z – 20 – 80 = z(z – 5) + 4(z – 5) – 80 =
= (z – 5)(z + 4) – 80.
№ 716
а) (a + b)2 + (a – b)2 = a2 + 2ab + b2 + a2 – 2ab + b2 = 2(a2 + b2);
б) (a + b)2 – (a – b)2 = a2 + 2ab + b2 – a2 + 2ab – b2 = 4ab;
в) a2 + b2 = a2 + b2 + 2ab – 2ab = (a + b)2 – 2ab;
г) (a + b)2 – 2b(a + b) = a2 + 2ab + b2 – 2ba – 2b2 = a2 – b2.
№ 717
2x – 1 + 3x + 1 – 5x = 5x – 5x = 5x – 3x – 2x = 5x – 3x – 1 – 2x + 1 =
= 5x – (3x + 1) – (2x – 1).
№ 718
а) Ошибка!= Ошибка! = x2 + 2x,
видно, что равенство превращается в тождество при x2 – 2x не равном нулю, т. е., при x ≠ 0 и x ≠ 2;
б) Ошибка! = Ошибка!;
Ошибка! = Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!,
видно, что равенство превращается в тождество при
6x5 – 12x4 не равном нулю, т. е., при x ≠ 0 и x ≠ 2;
в) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка! =
= Ошибка!= Ошибка!;
Видно, что равенство превращается в тождество при 4a4– 36a2 не
равном нулю, т. е., при a ≠ 0, a ≠ 3.
При a = –3 равенство будет тождеством так как при преобразование
левой части мы числитель и знаменатель не сокрашали на (a + 3).
г) Ошибка! = Ошибка!;
Ошибка! = Ошибка!= Ошибка!,
Видно, что равенство равенство превращается в тождество при
143
www.5balls.ru
2a3b3 – 6a2b3 не равном нулю, т. е., при a ≠ 0, b ≠ 0, a ≠ 3.
№ 719
а) (x +y)(x – y) + (y + a)(y – a) =
= x2 – y2 + y2 – a2 = x2 – a2;
б) (a – b)(a + b) – (a – c)(a + c) – (c – b)(c + b) =
= a2 – b2 – a2 + c2 – c2 + b2 = 0;
в) (x + a)(x + b) = x2 + ax + bx + ab = x2 + (a + b)x + ab;
г) (m – a)(m – b) = m2 – am – bm + ab =
= m2 –x (a + b)m + ab.
№ 720
а) a + b = 9, доказать (a + 1)(b + 1) – (a – 1)(b – 1) = 18;
(a + 1)(b + 1) – (a – 1)(b – 1) = ab + b + a + 1 – ab + b + a – 1 =
= 2(a + b) = 18.
№ 721
(b + c – 2a)(c – b) + (c + a – 2b)(a – c) – (a + b – 2c)(a – b) =
= (c + b)(c – b) – 2a(c – b) + (a + c)(a – c) – 2b(a – c) – (a + b)(a – b) +
+ 2c(a – b) = c2 – b2 – 2ac + 2ab + a2 – c2 – 2ab + 2bc – a2 +
+ b2 + 2ac – 2bc = – 2ac + 2ab – 2ab + 2bc + 2ac – 2bc = 0.
№ 722
а) (2a – b)(2a + b) + (b – c)(b + c) + (c – 2a)(c + 2a) =
= 4a2 – b2 + b2 – c2 + c2 – 4a2 = 0;
б) (3x + y)2 – (3x – y)2 = (3x + y – 3x + y)(3x + y + 3x – y) =
= 2y · 6x = 12xy = 9x2y2 + 6xy + 1 – 9x2y2 + 6xy – 1 =
= (3xy + 1)2 – (3xy – 1)2;
в) (x – 3y)(x + 3y) + (3y – c)(3y + c) + (c – x)(c + x) =
= x2 – 9y2 + 9y2 – c2 + c2 – x2 = 0;
г) (a – b)(a + b)((a – b)2 + (a + b)2) = (a2 – b2)(2a2 + 2b2) = 2(a4 – b4).
№ 723
а) (a – 1)3 – 4(a – 1) = (a – 1)((a – 1)2 – 4) = (a – 1)(a – 1 – 2) =
= (a – 1)(a – 3)(a + 1);
б) (x2 + 1)2 – 4x2 = (x2 – 2x + 1)(x2 + 2x + 1) = (x – 1)2(x + 1)2;
в) (a + 1)2 – (a + 1) = (a + 1)(a + 1 – 1) = a(a + 1);
г) 4b2c2 – (b2 + c2 – a2)2 = (2bc – b2 – c2 + a2)(2bc + b2 + c2 – a2) =
= (a2 – (b – c)2)((b + c)2 – a2)=(a – b + c)(a + b – c)(b + c – a)(a + b + c).
144
www.5balls.ru
Домашняя работа
по алгебре
за 7 класс
к задачнику «Алгебра. 7 класс: Задачник для
общеобразоват. учреждений. — 3-е изд., доработ.»
А.Г. Мордкович и др. М.: «Мнемозина», 2000 г.
Часть II
учебно-практическое
пособие
2
www.5balls.ru
СОДЕРЖАНИЕ
ГЛАВА 6. Линейная функция..................................................4
§ 26. Координатная прямая.................................................................... 4
§ 27. Координатная плоскость............................................................. 14
§ 28. Линейное уравнение с двумя переменными и его график...... 33
§ 29. Линейная функция и ее график .................................................. 47
§ 30. Прямая пропорциональность и ее график ................................. 73
§ 31. Взаимное расположение графиков линейных функций............. 83
ГЛАВА 7. Функция y = x2 ........................................................86
§ 32. Функция y = x2 и ее график ......................................................... 86
§ 33. Графическое решение уравнений .............................................. 96
§ 34. Что означает в математике запись y = f(x)............................... 103
ГЛАВА 8. Системы двух
линейных уравнений с двумя переменными ...................117
§ 35. Основные понятия ..................................................................... 117
§ 36. Метод подстановки ................................................................... 128
§ 37. Метод алгебраического сложения ........................................... 138
§ 38. Системы двух линейных уравнений с двумя
перемеными как математические модели реальных ситуаций ...... 149
3
www.5balls.ru
ГЛАВА 6. Линейная функция
§ 26. Координатная прямая
№ 724
а)
C
B
D
A
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
б)
N O
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
R
в)
E
3 4
1 2
1 2
L
6
3 4
5
6
7
2 3
X
5
6
7
X
Z
3 4
K
1
7
M
S
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
5
P
Q
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
г)
1 2
X
F
4
5
6
7 8
9
X
№ 725
а) 2; 4; 8,5; 2; б) 6,5; 5; 2,5; 7,5; в) 7; 1,5; 13; 6; г) 9,5; 3,5; 2,5; 1,5.
№ 726
а) 8; б) 4; в) 4; г) 1.
№ 727
a) C > D;
б)
D
C
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
№ 728
а) X < Y;
б)
1
2 3
4
X
5
6
7 8
9
X
6
7 8
9
X
Y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
1
2 3
4
4
www.5balls.ru
5
№ 729
а) B < A < C;
б)
B
A
C
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
1
2 3
4
5
6
7 8
9
X
№ 730
а)
3
X
Открытый луч с началом в точке 3; х > 3;
б)
-5
X
Открытый луч с концом в точке –5; х < –5;
в)
-2
X
Открытый луч с началом в точке –2; х > –2;
г)
0
X
Открытый луч с концом в точке 0; х < 0.
№ 731
а)
1
X
Луч с началом в точке 1; х > 1;
б)
4
X
-2
X
Луч с концом в точке 4; х < 4;
в)
Луч с концом в точке –2; х < –2;
г)
-1
X
Луч с началом в точке –14 х > –1.
5
www.5balls.ru
№ 732
а)
5
3
X
Интервал с началом в точке 3 и концом в точке 5; 3 < х < 5;
б)
-5
1
X
Отрезок с началом в точке –5 и концом в точке 1; –5 ≤ х ≤ 1;
в)
6
4
X
Отрезок с началом в точке 4 и концом в точке 6;
4 ≤ Х ≤ 6;
г)
0
1
X
Интервал с началом в точке 0 и концом в точке 1;
0 < Х < 1.
№ 733
а)
6
8
X
Полуинтервал с началом в точке 6 и концом в точке 8.
(Точка 8 не включается);
6 ≤ Х < 8;
б)
-2
4
X
Полунтервал с началом в точке –2 и концом в точке 4;
–2 < Х ≤ 4;
в)
-3
–1
X
Полуинтервал с началом в точке –3 и концом в точке –1;
(Точка –1 не включается) –3 ≤ Х < –1;
г)
5
7
X
Полунтервал с началом в точке 5 и концом в точке 7;
5 < Х ≤ 7.
6
www.5balls.ru
№ 734
а) Открытый луч с началом в точке 5; (5, +∞), x > 5;
б) Открытый луч с концом в точке –7; (–∞, –7), х < –7;
в) Открытый луч с началом в точке –3; (–3, +∞), x > – 3;
г) Открытый луч с концом в точке 4. (–∞, 4), x < 4.
№ 735
а) Луч с началом в точке 2; [2, +∞), а ≥ 2;
б) Луч с концом в точке –1; (–∞, –1], а ≤ –1;
в) Луч с началом в точке –8; [–8, +∞), а ≥ –8;
г) Луч с концом в точке 4. (–∞, 4], а ≤ 4.
№ 736
а) Интервал с началом в точке 3 и концом в точке 5;
(3, 5), 3 < y < 5;
б) Отрезок с началом в точке 3 и концом в точке 5;
[3, 5], 3 ≤ y ≤ 5;
в) Интервал с началом в точке –1 и концом в точке 0;
(–1, 0), –1 < y < 0;
г) Отрезок с началом в точке 9 и концом в точке 10;
[9, 10], 9 ≤ y ≤ 10.
№ 737
а) Полунтервал с началом в точке 0 и концом в точке 1;
(точка 1 не включается) [0, 1), 0 < p ≤ 1;
б) Полунтервал с началом в точке –7 и концом в точке 6;
(–7, 6], –7 < p ≤ 6;
в) Полунтервал с началом в точке –1 и концом в точке 1;
(точка 1 не включается) [–1, 1), –1 < p ≤ 1;
г) Полунтервал с началом в точке 3 и концом в точке 5;
(3, 5], 3 < p ≤ 5.
№ 738
а) (5, +∞);
5
X
х > 5;
б) [1, +∞);
1
X
х ≥ 1;
7
www.5balls.ru
в) (1, 3);
1
3
X
1 < Х < 3;
г) [6, 10);
6
10
X
6 < Х ≤ 10.
№ 739
а) [–2, 0];
–2
0
X
7
X
–5 ≤ Х ≤ 1;
б) (–∞, 7);
х < 7;
в) [4, 9);
4
9
X
4 ≤ Х < 9;
г) (–∞, 12];
12
X
х ≤ 12.
№ 740
а) Открытый луч с началом в точке 3;
(3, +∞);
3
X
б) Луч с началом в точке 3;
[3, + ∞);
3
8
www.5balls.ru
X
в) Открытый луч с концом в точке 3;
(–∞, 3);
3
X
г) Луч с концом в точке 3;
( –∞, 3].
3
X
№ 741
а) Интервал с началом в точке 2 и концом в точке 4;
(2, 4);
2
4
X
б) Полуинтервал с началом в точке 3 и концом в точке 5;
(точка 5 не включается); [3, 5);
3
5
X
в) Отрезок с началом в точке 0 и концом в точке 7;
[0, 7];
0
7
X
г) Полуинтервал с началом в точке 5 и концом в точке 8;
(5, 8].
5
8
X
№ 742
а) Луч с началом в точке 2;
[2, + ∞);
2
X
б) Интервал с началом в точке –2 и концом в точке –5;
(–2, –5);
–2
–5
X
9
www.5balls.ru
в) Открытый луч с концом в точке 0;
(–∞, 0);
0
X
г) Полуинтервал с началом в точке 4 и концом в точке 8;
(точка 5 не включается); [4, 8).
4
8
X
№ 743
а) Отрезок с началом в точке 1 и концом в точке 3;
[1, 3];
1
3
X
б) Полуинтервал с началом в точке 6 и концом в точке 7;
(6, 7];
6
7
X
в) Луч с концом в точке 1;
( –∞, 1];
1
X
г) Интервал с началом в точке –6 и концом в точке –2;
(–6, –2).
–6
–2
№ 744
а) да; б) нет; в) да; г) нет.
№ 745
а) нет; б) нет; в) да; г) да.
№ 746
а) да; б) да; в) нет; г) да.
№ 747
а) да; б) да; в) да; г) нет.
10
www.5balls.ru
X
№ 748
а) да; б) да; в) да; г) нет.
№ 749
а) нет; б) да; в) нет; г) нет.
№ 750
а) 4; 3,5; 3; б) –1; в) – 10; г) 4; 3,5; 3.
№ 751
а) 5. б) 5; 7; 9; 12. в) 0; 5; 7; –8; –2; 9; 12. г) 7; 9.
№ 752
а) –5,5; –4,5; –3,5; 1,5; 2,5; 3,5; б) –5,4; –4,4; –3,4; 1,4; 2,4; 3,4;
в) –2,2; –2,1; –1,2; 1,1; 1,2; 1; 3; г) –9,1; –9,2; –9,3; 2,1; 2,2; 2,3.
№ 753
а) нет; б) нет; в) да; г) да.
№ 754
а) 3; б) 1; в) 6; г) 9.
№ 755
а) 1; б) 0; в) 0; г) 4.
№ 756
а) –11; б) нет; в) 7; г) 8,2.
№ 757
а) 5; б) 1; в) 10; г) 6.
№ 758
Да приналежит. Эти числа : 4,99; 4,999.
№ 759
а) Задание определено не корректно, потомучто нет наименьшего
целого числа принадлежащего промежутку (–∞, 4];
б) Задание определено не корректно, потомучто нет целого числа
принадлежащего промежутку (5, 6).
№ 760
а) r = Ошибка! = 2, a = 7 – r = 7 – 2 = 5;
б) r = Ошибка! = 4, a = 4 – r = 4 – 4 = 0;
в) r = Ошибка! = 4, a = 10 – r = 10 – 4 = 6;
г) r = Ошибка! = Ошибка! = 3, a = –1 – r = –1 – 3 = –4.
11
www.5balls.ru
№ 761
а) r = Ошибка! = Ошибка! = 1,5, a = 5 – 1,5 = 3,5;
б) r = Ошибка! = Ошибка! = 0,02, a = 2,02 – 0,02 = 2;
в) r = Ошибка! = Ошибка! = –4,5, a = –11 + (4,5) = –6,5;
г) r = Ошибка!: 2 = Ошибка! : 2 = Ошибка!, a = Ошибка! –
Ошибка! = Ошибка! = 2.
№ 762
а)
–А
–B
B
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
1 2
3 4
A
5
6
7
X
7
X
7
X
7
X
б)
А
B
-B
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
1 2
3 4
-A
5
6
в)
-А
B
-B
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
1 2
3 4
A
5
6
г)
B
A,-A
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
B
1 2
3 4
5
6
№ 763
Таких точек имееися две С и D.
Их координаты можно вычислить как: С = – 4 + 7 = 3;
D = – 4 – 7 = –11.
№ 764
Данную задачу можно разбить на два случая:
Случай 1: Точки N и L находятся по разные стороны от точки M;
a)
N
M
L
б)
12
www.5balls.ru
L
M
N
LN = ML + MN = ML + 2ML = 3ML, значит,
3ML = 10,5;
ML = 3,5; MN = 2 · 3,5 = 7;
а) L = M + ML = 1,5 + 3,5 = 5; N = M – MN = 1,5 – 7 = –5,5;
б) L = M – ML = 1,5 – 3,5 = –2; N = M + MN = 1,5 + 7 = 8,5.
Случай 2. Точки N и L располагаются по одну сторону от точки M;
a)
M
L
N
N
L
M
б)
LN = MN – ML = 2ML – ML = ML, значит ML = 10,5;
MN = 2 · ML = 2 · 10,5 = 21;
а) L = M + ML = 1,5 + 10,5 = 12, N = M + MN = 1,5 + 21 = 22,5;
б) L = M – ML = 1,5 – 10,5 = – 9, N = M – MN = 1,5 – 21 = –19,5.
Итого получается что задача имеет четыре решения.
№ 765
Данную задачу можно разбить на два случая:
Случай 1: Точки P и M находятся по разные стороны от точки K;
a)
P
K
M
б)
M
K
P
PM = MK + KP = MK + 3MK = 4MK, значит,
4MK = 8;
MK = 2, значит KP = 3 · 2 = 6;
а) M = K + MK = –1 + 2 = 1;
P = K – PK = –1 – 6 = –7;
б) M = K – MK = –1 – 2 = –3; P = K + KP = –1 + 6 = 5.
Случай 2. Точки M и P располагаются по одну сторону от точки K;
a)
K
M
P
б)
P
M
K
13
www.5balls.ru
PM = PK – KM = 3MK – MK = 2MK;
2MK = 8, значит MK = 4; PK = 3 · MK = 4 · 3 = 12;
а) M = K + MK = –1 + 4 = 3;
P = K + KP = –1 + 12 = 11;
б) M = K – MK = –1 – 4 = –5;
P = K – KP = –1 – 12 = –13.
Итого получается что задача имеет четыре решения.
§ 27. Координатная плоскость
№ 766
а) x = 2, y = 4; б) x = – 3, y =6; в) x =12, y = – 4; г) x = – 3, y = – 0,5.
№ 767
а) M – в первом, P – в четвертом, N – во втором, Q – в третьем;
б) X – в третьем, K – в первом, Y – во втором, L – в четвертом;
в) A – во втором, C – в четвертом, B – в первом, D – в четвертом;
г) R – в четвертом, E – во втором, S – в третьем, F – в первом.
№ 768
а) 6; б) – 2; в) – 8; г) – 9.
№ 769
а) 1; б) 4; в) 2; г) 3.
№ 770
а) 1; б) 4; в) 2; г) 3.
№ 771
а) 3; б) 2; в) 3; г) 2.
№ 772
а) A(1,1), B(– 2,4), C(6,6), D(– 2, – 2);
б) M(2,5), N(4,– 2), Q(– 5,– 3), R(– 2,– 5);
в) X(2,– 3), Y(– 5,6), E(2,1), F(– 5,1);
г) S(7,2), K(– 5,– 1), P(– 2,– 2), S(7,2).
№ 773
а) A(2,0), S(0,2), K(– 1,0);
в) P(– 5,0), Q(0,– 6), S(0,2);
б) D(0,– 2), N(0,4), B(3,0);
г) R(7,0), M(0, –4), L( –3,0).
№ 774
а) A1(4, 5), A2(4, 2), A3(4, –1), A4(4, –4);
б) B1(2, 5), B2(2, 1), B3(2, 0), B4(2, –3);
14
www.5balls.ru
в) C1(–2, 5), C2(–2, 3), C3(–2, 0), C4(–2, –3);
г) D1(–4, 7), D2(–4, 4), D3(–4, –1), D4(–4, –4).
№ 775
а) N1(–3, 5), N2(0, 5), N3(3, 5), N4(7, 5);
б) M1(–4, 2), M2(–4, 2), N3(2, 2), N4(6, 2);
в) K1(–3, 0), K2(–1, 0), K3(3, 0), K4(5, 0);
г) L1(–5, –4), L2(–2, –4), L3(2, –4), L4(6, –4).
№ 776
а) x = 3;
Y
1
0
1
X
1
X
б) y = 3;
Y
1
0
в) y = 1;
15
www.5balls.ru
Y
1
0
1
X
1
X
г) x = 8.
Y
1
0
№ 777
а) x = –2;
Y
1
0
1
б) x = – 4;
16
www.5balls.ru
X
Y
1
0
1
X
в) y = –5;
Y
1
0
1
X
г) x = –1.
Y
1
0
1
X
№ 778
17
www.5balls.ru
а) x = 0,5;
Y
1
0
1
X
1
X
б) y = –1,5;
Y
1
0
в) y = 3,5;
Y
1
0
1
г) x = – 6,5.
18
www.5balls.ru
X
Y
1
0
1
X
№ 779
а) ордината; б) абцисcа.
№ 780
а) на прямой х = 5;
в) на прямой х = 9;
б) на прямой х = – 7;
г) на прямой х = – 1.
№ 781
а) на прямой y = – 3;
б) на прямой y = – 12;
в) на прямой y = 8;
г) на прямой y = 4.
№ 782
D(б)
Y
A(a)
2
0
1
С(в)
X
D(г)
№ 783
19
www.5balls.ru
Y
M
L
2
0
1
X
S
R
№ 784
Y
1 P
0
1
E
X
F
№ 785
а)
Y
A
B
2
0
1
б)
20
www.5balls.ru
X
Y
C
2
0
1
X
B
в)
Y
1
0
N
1
X
M
г)
Y
1
0
1
Q
X
P
№ 786
21
www.5balls.ru
а)
Y
L
K
1
0
1
X
б)
Y
E
1
0
1
X
M
в)
Y
1
0
1
г)
22
www.5balls.ru
X
Y
X
2
0
1
X
1
X
Y
№ 787
а)
Y
C
B
2
0
A
б)
Y
K
2
0
M
1
X
N
в)
23
www.5balls.ru
Y
P
1
0
1
X
E
D
г)
Y
S
2
0
1
L
X
P
№ 788
а)
Y
F
E
1
0
G
1
H
б)
24
www.5balls.ru
X
Y
E
F
1
0
1
H
X
G
в)
F
Y
G
1
E
0
1
X
H
г)
Y
F
0
E
G
1
1
H
X
№ 789
25
www.5balls.ru
а) (– 1, 4); (–3, –4); (3, 4); (5, –4);
б) (–2, 0); (4, 0); (0, 4); (0, –4);
в) (–1, 8); (–3, 0); (3, 8); (5, 0);
г) (–4, 4); (–6, –4); (0, 4); (2, –4).
№ 790
Y
B
C
2
3
1
A
0
1
D
X
1
Координаты вершин третего квадрата: (–4, 0); (–2, 0); (–2, –2); (–4, –2)
№ 791
а) x2 = 4; x2 – 4 = 0; (x –2)(x + 2) = 0;
x = 2 или x = –2, значит, графиком уравнения
являются прямые x = 2 и х = – 2;
б) y2 = 4; y2 – 4 = 0; (y –2)(y + 2) = 0
y = 2 или y = –2, значит графиком уравнения
являются прямые y = 2 и y = – 2;
в) x2 – 5x = 0; x(x – 5) = 0;
x = 0 или x = 5, значит графиком уравнения x2 –
являются прямые x = 0 и х = 5;
г) y2 + 2y = 0; y(y + 2) = 0;
y = 0 или y = –2, значит графиком уравнения y2 +
являются прямые y = 0 и y = –2.
x2 = 4
y2 = 4
5x = 0
2y = 0
№ 792
а) (0, 0); (0, 6); (–2, 6); (0, 11); (2, 11); (2, 0);
б) (0, 2); (–2, 2); (–2, 4); (–1, 5); (3, 5); (4, 4); (4, 1); (3, 0);
(4, –1); (4, –4); (3, –5); (–1, –5); (–2, –4); (–2, –2); (0, –2);
(0, –3); (2, –3); (2, –1); (1, 0); (2, 1); (2, 3); (0, 3);
в) (–4, 0); (–4, 6); (2, 6); (2, 4); (–2, 4); (–2, 2); (1, 2); (2, 1);
(2, –4); (1, –5); (–3, –5); (–4, –4); (–4, –2); (–2, –2); (–2, –3); (0, –3); (0, 0);
г) (–1, 1); (–1, 3); (1, 3); (1, 1); (–1, –1); (1, –1); (1, –4);
(–1, –4); (–2, 0); (–3, 1); (–3, 4); (–2, 5); (2, 5); (3, 4); (3, 1);
(2, 0); (3, –1); (3, –5); (2, –6); (–2, –6); (–3, – 5); (–3, –1).
№ 793
26
www.5balls.ru
Y
C
L
B
1
0
A
K
1
X
F
T
E
L(–3, 0)
K(3, 0)
№ 794
A(3, 1); B(3, –4), значит сторона квадрата a = 1 – (–4) = 5.
Квадрат ABCD может располагаться следующим образом :
1) Вершины С и D справа от отрезка AB, тогда
С(3 + 5, –4), следовательно, C(8, –4);
D(3 + 5, 1), следовательно, D(8, 1).
2) Вершины С и D слева от отрезка AB, тогда
С(3 – 5, –4), следовательно, C(–2, –4);
D(3 – 5, 1), следовательно, D(–2, 1).
Других случаев расположения вершин быть не может, потому что
вершины квадрата нумеруются по часовой или против часовой
стрелки. Задача имеет два решения.
№ 795
B(2, 2); D(–2, –2) или B(–2, –2); D(2, 2).
Так как вершины А и С являются противоположными, другого
расположения вершин B и D быть не может, следовательно задача
имеет два решения.
№ 796
Из того что АВ паралельна оси оординат следует, что абцисса точки
В равна абциссе точки А.
Из того что начало координат лежит внутри квадрата следует, что
начало координат лежит внутри квадрата и оордината и оордината
точки А положительна следует, что B(–2, 3 – 6), т.е. В(–2, –3);
С(–2 + 6, –3); С(4, –3); D(–2 + 6, 3); D(4, 3).
27
www.5balls.ru
№ 797
(4, 4); (4, –4); (–4, 4); (–4, –4).
№ 798
а)
б)
Y
Y
1
1
0
0
1
1
X
X
№ 799
а)
Y
1
0
1
28
www.5balls.ru
X
б)
Y
1
0
1
X
№ 800
а)
Y
2
0
2
X
29
www.5balls.ru
б)
Y
1
0
1
30
www.5balls.ru
X
№ 801
а)
Y
1
0
1
X
1
X
б)
Y
1
0
31
www.5balls.ru
№ 802
а) xy + 2 – 2y – x = 0; y(x – 2) + 2 – x = 0;
(y – 2)(x – 2) = 0; y = 2 или x = 2;
Y
1
0
1
X
1
X
1
X
б) xy2 = 4x; xy2 – 4x = 0;
x(y2 – 4) = 0; x(y – 2)(y + 2) = 0;
x = 0 или y = 2 или y = –2;
Y
1
0
в) yx2 + 9y; y(x2 + 9); y = 0;
Y
1
0
32
www.5balls.ru
г) 4 + xy + 2(x + y) = 0;
4 + x(y + 2) + 2y = 0;
2(y + 2) + x(y + 2) = 0;
(x + 2)(y + 2) = 0;
x = –2 или y = –2.
Y
1
0
1
X
§ 28. Линейное уравнение
с двумя переменными и его график
№ 803
а) да; б) да; в) да; г) да.
№ 804
а) Данное уравнение не является линейным уравнением с двумя
переменными, потомучто задействована только одна переменная;
б) Данное уравнение не является линейным уравнением с двумя
переменными, потомучто задействована только одна переменная;
в) Данное уравнение не является линейным уравнением с двумя
переменными, потомучто в нем есть одночлен второй степени;
г) Данное уравнение не является линейным уравнением с двумя
переменными, потомучто в нем есть одночлен второй степени.
№ 805
а) нет; б) да; в) нет; г) нет.
№ 806
а) да; б) нет; в) нет; г) да.
№ 807
а) (6; 2); (0; 20); (4; 8); б) (2, 0); (2,5; 2,5).
33
www.5balls.ru
№ 808
а)Ошибка!; (3; –1);
б) (8, –12);
в) (2, –1); (5, 20);
г) (–18, –4); (9, –1).
№ 809
а) В одной корзине х яблок, а в другой y яблок. Если их высыпать на
стол и взять со стола 10 яблок, то на столе будет пусто.
б) В магазине есть в продаже x курток. Если один покупатель купит
y курток, а затем придет другой и купит еще 3 куртки, то в магазине
курток не останется.
в) В раздевалке находится х спортсменов. Если y спортсменов уйдут
домой, а 8 спортсменов в душ, то раздевалка опустеет.
г) На фирме x управляющих и y служащих. Если с фирмы уйдут 12
человек, то на фирме никого работать не останется.
№ 810
M: 5 + 14 – 7 = 0 – неверно, значит точка М не принадлежит графику
уравнения x + 2y – 7 = 0;
N: 0 + 7 – 7 = 0 – верно, значит точка N принадлежит графику
уравнения x + 2y – 7 = 0;
K: 7 + 0 – 7 = 0 – верно, значит точка K не принадлежит графику
уравнения x + 2y – 7 = 0;
L: 2 + 6 – 7 = 0 – неверно, значит точка L не принадлежит графику
уравнения x + 2y – 7 = 0.
№ 811
2Ошибка! + 5Ошибка! – 8 = 8 – 8 = 0 – верно, значит, точка
Ошибка!
является решением уравнения x + y – 8 = 0;
x + y – 8 = 0;
y = 8 – x.
Можно взять следующие решения : (1, 7); (2, 6); (3, 5).
№ 812
а) x + y – 5 = 0, y = 5 – x;
б) x – y = 0, y = x;
в) 2x + y – 7 = 0, y = 7 – 2x;
г) x + 3y + 7 = 0, y = – Ошибка!.
№ 813
а) 3x + 2y – 6 = 0;
34
б) 5x – 7y – 14 = 0;
www.5balls.ru
2y – 6 = 0;
y = 3.
Ответ: 3.
в) 15x – 25y – 75 = 0;
25y = –75;
y = –3.
Ответ: – 3.
7y = –14;
y = –2.
Ответ: –2.
г) 81x – 15y – 225 = 0;
15y = –225;
y = – 15.
Ответ: – 15.
№ 814
а) 8x + 6y – 11 = 0;
8 + 6y – 11 = 0;
6y = 3;
y = Ошибка!.
Ответ: Ошибка!
в) 19x – 11y – 24 = 0;
57 – 11y – 24 = 0;
11y = 33;
y = 3.
Ответ: 3.
б) 11x + 13y – 16 = 0;
55 + 13y – 16 = 0;
13y = –39.
y = – 3.
Ответ: –3
г) 3x + 2y + 30 = 0;
–24 + 2y + 30 = 0;
2y = –6;
y = – 3.
Ответ: –3.
№ 815
а) 6x + 2y – 1 = 0;
–0,6 + 2y – 1 = 0;
2y = 1,6;
y = 0,8.
Ответ: 0,8.
в) 3x + 5y – 10 = 0;
1,5 + 5y – 10 = 0;
5y = 8,5;
y = 1,7.
Ответ: 1,7.
№ 816
а) 6x + 12y – 42 = 0;
6x – 42 = 0;
x = 7.
Ответ: 7.
в) 8x – 35y = 96;
8x = 96;
x = 12.
Ответ: 12.
б) 7x – y – 4 = 0;
–15 – y – 4 = 0;
y = – 19.
Ответ: – 19.
г) 9x – 2y – 3 = 0;
74 – 2y – 3 = 0;
2y = 71;
y = Ошибка!.
Ответ: 30,5.
б) 17x – 5y + 85 = 0;
17x + 85 = 0;
x = –5.
Ответ: –5.
г) 16x + 54y = 64;
16x = 64;
x = 4.
Ответ: 4.
№ 817
35
www.5balls.ru
а) 4x + 7y – 12 = 0;
4x – 28 – 12 = 0
4x = 40
x = 10
Ответ: 10
в) 5x – 3y – 11 = 0;
5x – 9 – 11 = 0
5x = 20
x=4
Ответ: 4
б) 23x – 9y + 5 = 0;
23x + 18 + 5 = 0
23x = – 23
x = –1
Ответ: –1
г) 2x + 4y + 9 = 0.
2x + 13 = 0
2x = –13
x = –6,5
Ответ: –6,5
№ 818
а) 6x + 3y – 2 = 0;
6x + 10 – 2 = 0;
6x = – 8;
x = – Ошибка!.
Ответ: –1Ошибка!.
в) 4x – 2y + 11 = 0;
4x + 3 + 11 = 0;
4x = – 14;
x = – Ошибка!.
Ответ: –3,5.
б) 3,5x – 5y – 1 = 0;
3,5x – 2,5 – 1 = 0;
3,5x = 3,5;
x = 1.
Ответ: 1.
г) 8x + 5y – 3 = 0;
8x + 22 – 3 = 0;
8x = – 19;
x = – Ошибка!.
Ответ: –2Ошибка!.
№ 819
а) 21 – 3y – 12 = 0;
3y = 9;
y = 3.
Ответ: 3.
б) 11x + 42 – 31 = 0;
11x = – 11;
x = – 1.
Ответ: – 1.
№ 820
а) x + y – 4 = 0;
y = 4 – x;
X
Y
0
4
4
0
б) 2x – y + 5 = 0;
y = 2x – 5;
X
Y
0
–5
36
www.5balls.ru
2
–1
5
4
3
2
1
y
8
4
x
-8
0
-5 -4 -3 -2 -1
-1
-2
-3
-4
-5
в) x + 2y – 3=0;
y = Ошибка!;
г) –x – y + 6 = 0;
y = 6 – x.
-8
0
-4
4
8
-4
X
Y
1
1
3
0
X
Y
3
3
x
1 2 3 4 5
6
0
6
y
3
y
2
y
3
1
x
x
-3
-2
-1 0
-1
1
2
3
-6
-3
-3
X
Y
0
5
3
0
3
6
-3
-2
№ 821
а) 5x + 3y – 15 = 0;
y = Ошибка!;
0
-6
б) 7x – 4y + 28 = 0;
y = Ошибка!;
X
Y
0
7
–4
0
37
www.5balls.ru
5
4
3
2
1
0
-5 -4 -3 -2 -1
-1
-2
-3
-4
-5
y
7
–3
0
1 2 3 4 5
-4
0
-2
2
4
-7
-14
г) 8x – 3y – 24 = 0;
y = Ошибка!.
0
–6
6
x
x
в) 6x + 3y + 18 = 0;
2x + y + 6 = 0;
y = –6 – 2x;
X
Y
y
14
X
Y
3
0
0
–8
y
8
y
4
3
x
x
-6
-3
0
3
6
-6
-3
0
-3
-4
-6
-8
№ 822
а) 7t + 9s + 63 = 0;
s = Ошибка!;
t –9 0
s
0 –7
б) 3t – 4s – 12 = 0;
s = Ошибка!;
t
4
0
s
0 –3
38
www.5balls.ru
3
6
14
s
6
s
3
7
t
-18
-9
0
9
18
t
-8
-4
0
-7
-3
-14
-6
в) 5t – 2s = 10;
s = Ошибка!;
t
2
0
s
0
5
10
4
г) 4t + 9s + 36 = 0;
s =Ошибка!.
t –9 0
s
0 –4
s
8
s
4
5
t
t
-4
-2
0
8
2
4
-18
-9
0
-5
-4
-10
-8
9
18
№ 823
а) 30 – 22 = 8 и 60 + 14 = 74, т.е. прямые пересекаются;
б) –12 + 14 = 2 и –4 + 10 = 6, т.е. прямые пересекаются.
№ 824
а) x – y = – 1 и 2x + y = 4; y = x + 1 и y = 4 – 2x.
Чтобы найти точку пересечения этих прямых приравняем y.
x + 1 = 4 – 2x;
x = 1; y = x + 1 = 2.
39
www.5balls.ru
Ответ: (1; 2)
б) 4x + 3y = 6 и 2x + y = 4;
y = Ошибка! и y = 4 – 2x.
Чтобы найти точку пересечения этих прямых приравняем y.
Ошибка! = 4 – 2x; 6 – 4x = 12 – 6x;
x = 3; y = 4 – 2 · 3 = – 2.
Ответ: (3; –2).
№ 825
а) 3a + 8b = 24;
3a = 24 – 8b;
a = Ошибка!;
в) 12m – 3n = 48;
4m – n = 16;
m =Ошибка!;
3a + 8b = 24;
8b = 24 – 3a;
b = Ошибка!;
12m – 3n = 48;
4m – n = 16;
n = 4m – 16;
№ 826
а) 3t – 2z + 6 = 0; 3t – 2z + 6 = 0;
3t = 2z – 6;
2z = 3t + 6;
t =Ошибка!;
z =Ошибка!;
в) 11u + 2v + 22 = 0;
11u = – 22 – 2v;
u = – Ошибка!;
г) 25r – 4w – 100 = 0;
25r = 4w + 100;
r =Ошибка!;
б) 6с + 5d = 30;
6c = 30 – 5d;
c =Ошибка!;
г) 7x – 8y = 56;
7x = 56 + 8y;
x =Ошибка!;
6с + 5d = 30;
5d = 30 – 6c;
d = Ошибка!;
7x – 8y = 56;
8y = 7x – 56;
y = Ошибка!.
б) 7s + 9t – 63 = 0; 7s + 9t – 63 = 0;
7s = 63 – 9t;
9t = 63 – 7s;
s =Ошибка!;
t = Ошибка!;
11u + 2v + 22 = 0;
2v = – 22 – 11u;
v = – Ошибка!;
25r – 4w – 100 = 0;
4w = 25r – 100;
w = Ошибка!.
№ 827
а) x + 3y – 20 = 0; x = 20 – 3y.
Для того чтобы пара чисел состояла из двух одинаковых чисел,
нужно чтобы x = y:
x = 20 – 3x; x = 5; y = x = 5.
Ответ: (5; 5).
б) Пусть х = 2y, тогда уравнение примет вид 2y + 3y – 20 = 0;
5y = 20; y = 4; x = 2y = 2 · 4 = 8.
Ответ: (8; 4).
№ 828
ax+5y–40=0.
а) (3;2) Подставим эти значения в исходное уравнение:
a ⋅ 3 + 5 ⋅ 2 – 40 = 0. Получаем ур-е, относительно a:
3a=30; a=3.
Ответ: а = 3.
40
www.5balls.ru
б) (9;–1) Подставим эти значения в исходное уравнение:
a ⋅ 9 + 5 ⋅ (–1) – 40 = 0. Получаем ур-е, относительно a:
9a=45; a=5.
Ответ: a = 5.
в) Ошибка! Подставим эти значения в исходное уравнение:
a ⋅ Ошибка!+ 5 ⋅ 0 · 40 = 0.
Получаем ур-е, относительно a:
Ошибка! = 40; a=120.
Ответ: a = 120.
г) (–2; 2,4) Подставим эти значения в исходное уравнение:
a ⋅ (–2) + 5 ⋅ 2,4 – 40=0.
Получаем ур-е, относительно a:
–2a = 28; a = –14.
Ответ: a = –14.
№ 829
а) b – 35 = 0;
b = 35;
в) 2 + 11b – 35;
11b = 33;
b = 3;
б) 18 + 8,5y – 35 = 0;
8,5b = 17;
b = 2;
г) – 30 – 13b – 35 = 0;
13b = – 65;
b = –5.
№ 830
а) 16 – 3 – c = 0; c = 13;
б) 25 – 13 – c = 0; c = 12;
в) 1 – 2 – c = 0; c = –1;
г) –c = 0. c = 0.
№ 831
а) 12 – 2m = 0;
m = 6;
в) 12m – 12m = 0;
0 = 0;
При любом m
б) 2m + 2 – 12m = 0;
– 10m = – 2;
m = Ошибка!;
г) –m + 13 – 12m = 0;
13m = 13;
m = 1.
№ 832
Пусть х – первое число.
Тогда (5 – х) – второе число.
x – (5 – x) = 1; x – 5 + x = 1;
x = 3 – первое число; 5 – 3 = 2 – второе число.
Ответ: 3; 2.
41
www.5balls.ru
№ 833
Пусть х – первое число.
Тогда (7 – х) – второе число.
2x + 7 – x = 8;
x = 1 – первое число; 7 – 1 = 6 – второе число.
Ответ: 1; 6.
№ 834
Пусть х – первое число.
Тогда (х – 1) – второе число.
x + 3(x – 1) = 9; 4x = 12;
x = 3 – первое число; 3 – 1 = 2 – второе число.
Ответ: 3; 2.
№ 835
Пусть х – вычитаемое.
Тогда 4х – уменьшаемое.
4x – x = 3;
x = 1 – вычитаемое;
4 · 1 = 4 – уменьшаемое.
Ответ: 1; 4.
№ 836
Пусть х – девочек учавствовало в турнире.
Тогда 1,5х – мальчиков учавствовало в турнире.
1,5x + x = 10;
x = 4 – девочек учавствовало в турнире;
1,5 · 4 = 6 – мальчиков учавствовало в турнире.
Ответ: 4; 6.
№ 837
Пусть х – лет сестре.
Тогда (х + 2) – лет брату.
х + х + 2 = 14;
2x = 12;
x = 6 – лет сестре;
6 + 2 = 8 – лет брату.
Ответ: 6; 8.
№ 838
Пусть х – синиц сидело на ветке.
Тогда 2х – воробьев сидело на ветке.
х + 2х = 9;
42
www.5balls.ru
x = 3 – синиц сидело на ветке;
2 · 3 = 6 – воробьев сидело на ветке.
Ответ: 3; 6.
№ 839
Пусть х – мальчиков учится в седьмых классах.
Тогда 1,3х – девочек учится в седьмых классах.
1,3x – x = 12; 0,3x = 12;
x = 40 – мальчиков учится в седьмых классах.
Найдем сколько учеников учится в седьмых классах:
1,3х + х = 2,3х = 2,3 · 40 = 92 – ученика учится в седьмых классах.
Ответ: 92.
№ 840
Пусть х – человек занимается в историческом кружке.
Тогда (х + 7) – человек занимается в математическом кружке.
x + x + 7 = 35;
2x = 28;
x = 14 – человек занимается в историческом кружке;
14 + 7 = 21 – человек занимается в математическом кружке.
Ответ: 14; 21.
№ 841
Пусть х – первое число.
Тогда 4х – второе число.
x + 4x = 52,5; 5x = 52,5;
x = 10,5 – первое число;
4 · 10,5 = 42 – второе число.
Ответ: 10,5; 42.
№ 842
Пусть х – первое число.
Тогда Ошибка! – второе число.
Ошибка!x – x = 3,9; Ошибка!x = 3,9; x = 0,3 · 87;
x = 26,1 – первое число;
26,1 · Ошибка! = 30 – второе число.
Ответ: 26,1; 30.
№ 843
Пусть х – первое число. Тогда Ошибка!х – второе число.
x + Ошибка!x = 112; Ошибка!x = 112;
x = 62 – первое число;
62 · Ошибка!= 50 – второе число.
43
www.5balls.ru
Ответ: 50; 62.
№ 844
а) Подставим данную пару в уравнение и решим его относительно p
p2 – 6p + 8 = 0
p2 – 2p – 4p + 8 = 0
(p – 4)(p – 2) = 0
p = 4 или p = 2
Ответ: при p = 2 или при p = 4
б) Подставим данную пару в уравнение и решим его относительно p
–p2 + 2p + 8 = 0
–p2 – 2p + 4p + 8 = 0
(4 – p)(p + 2) = 0
p = 4 или p = – 2
Ответ: при p = –2 или при p = 4
№ 845
а) x2 – y2 = 0. (x – y)(x + y) = 0;
x = y или x = –y;
8
б) x2 = 4y2; (x – 2y)(x + 2y) = 0;
y = Ошибка!или y = – Ошибка!;
y
8
y
4
4
x
x
-8
-4
0
4
8
-8
-4
2;
-8
4
8
-4
-4
2
0
-8
2
2
в) y = 9x (y – 3x)(y + 3x) = 0;
г) 16x – 25y =0; (4x – 5y)(5y +
4x)=0;
y = 3x или y = – 3x;
y = Ошибка!x или y = – Ошибка!x.
44
www.5balls.ru
6
y
y
8
4
3
x
x
-6
0
-3
3
6
-10
0
-5
-3
-4
-6
-8
№ 846
а) x2 – 6xy + 8y2 = 0;
x2 – 6xy + 9y2 – y2;
(x – 3y)2 – y2;
(x – 4y)(x – 2y) = 0;
y = Ошибка!x или y = –
Ошибка!x;
5
10
y
4
2
x
-16
0
-8
8
16
-2
б) 2x2 + 5xy + 2y2 = 0;
x2 + 2,5xy + y2 = 0;
x2 + 2,5xy + 1,5625y2
– 0,5625y2 = 0;
(x + 1,25y)2 – (0,75y)2 = 0;
(x + 0,5y)(x + 2y) = 0;
y = – 2x;
y = – Ошибка!x;
-4
4
y
–
2
x
-4
-2
0
2
4
-2
-4
2
4
2
в) x + xy – 2y ;
x2 + xy + 0,25y2 – 2,25y2;
(x + 0,5y)2 – (1,5y)2;
(x – y)(x + 2y) = 0;
y = x;
или y = – Ошибка!;
y
2
x
-4
-2
0
-2
-4
www.5balls.ru
2
4
45
г) 3x2 – 10xy + 3y2;
4x2 – 8xy + 4y2 – x2 – y2 – 2xy =
= 0;
(2x – 2y)2 – (x + y)2 = 0;
(x – 3y)(3x – y) = 0;
y = Ошибка!x;
или y = 3x.
3
y
2
1
x
-3
-2
-1 0
-1
-2
-3
46
www.5balls.ru
1
2
3
§ 29. Линейная функция и ее график
№ 847
а) k = 2, m = 3; б) k = 1, m = −6; в) k = 19, m = −15; г) k = −1, m = 11.
№ 848
а) k = 0,7, m = 9,1;
в) k = −0,7, m = 9,1;
б) k = −5,7, m = −3,5;
г) k = 1,4, m = −2,5.
№ 849
а) k = Ошибка!, m = Ошибка!; б) k = − Ошибка!, m = − Ошибка!;
в) k = Ошибка!, m = − Ошибка!;г) k = −1, m = Ошибка!.
№ 850
а) k = Ошибка!, m = − Ошибка!;б) k = 2, m = Ошибка!;
в) k = Ошибка!, m = − Ошибка!;г) k = Ошибка!, m = Ошибка!.
№ 851
а) k = − Ошибка!, m = Ошибка!;б) k = Ошибка!, m = 2;
в) k = Ошибка!, m = Ошибка!; г) k = −2, m = 2.
№ 852
а) y = − Ошибка!x + 3;
k = − Ошибка!, m = 3;
в) y = − Ошибка!x + 3;
k = − Ошибка!, m = 3;
б) y = Ошибка!x − 5;
k = Ошибка!, m = − 5;
г) y = − Ошибка!x + 7;
k = − Ошибка!, m = 7.
№ 853
а) y = − 12x + 17;
k = −12, m = 17;
в) y = − 36x + 40;
k = −36, m = 40;
б) y = − 19x + 5;
k = −19, m = 5;
г) y = − 15x + 53;
k = − 15, m = 53.
№ 854
а) y = x − 9; k = 1, m = −9;
б) y = 7x + 11; k = 7, m = 11;
в) y = x + 15; k = 1, m = 15;
г) y = 35x − 8. k = 35, m = −8.
№ 855
а) y = − Ошибка!x; k = − Ошибка!, m = 0;
б) y = Ошибка!x − Ошибка!; k = Ошибка!, m = − Ошибка!;
в) y = Ошибка!x; k = Ошибка!, m = 0;
г) y = − Ошибка!x + 19. k = − Ошибка!, m = 19.
47
www.5balls.ru
№ 856
а) y = 5 · 1 + 6 = 11;
в) y = 12 · 3 + 1 = 37;
б) y = 7 · 0 − 8 = − 8;
г) y = 9 · 2 − 7 = 11.
№ 857
а) y = 2 · 3 + 1 = 7;
в) y = 2 · (−2) + 1 = −3;
б) y = 2 · 4,5 + 1 = 10;
г) y = 2 · (−3,8) + 1 = −6,6.
№ 858
а) y = 0,5 · 6 − 4 = −1;
б) y = 0,5 · 3,2 − 4 = 2,4;
в) y = 0,5 · (−7) − 4 = −7,5;
г) y = 0,5 · (−8,9) − 4 = −8,45.
№ 859
а) 5x − 3,5 = 13,5; 5x = 17; x = 3,4;
б) 5x − 3,5 = 0; 5x = 3,5; x = 0,7;
в) 5x − 3,5 = −3,5; 5x = 0; x = 0;
г) 5x − 3,5 = − 6,5. 5x = − 3; x = − Ошибка!.
№ 860
а) 4,3x + 2,8 = 24,3; 4,3x = 21,5; x = 5;
б) 4,3x + 2,8 = 13,55; 4,3x = 10,75; x = 2,5;
в) 4,3x + 2,8 = 4,52; 4,3x = 1,72; x = 0,4;
г) 4,3x + 2,8 = − 1,07. 4,3x = − 3,87; x = −0,9.
№ 861
а) y = 5x + 6;
x
y
0
6
б) y = 2x − 1;
−2
−4
x
y
48
www.5balls.ru
0
−1
4
7
Y
8
8
6
6
4
4
2
-8 -6
-4
2
4
6
8
-4
-6
-8
-8
−2
2
x
y
0
−4
Y
8
6
6
4
4
2
4
6
8
-2 0
-2
2
4
6
8
2
2
Y
2
X
-8 -6
-4
X
-2 0
-2
-4
-4
-6
-6
-8
-8
№ 862
а) y = x + 2;
x
y
2
г) y = 3x − 4;
0
6
-4
-4
-6
8
-8 -6
-8 -6
X
-2 0
-2
-4
в) y = 2x + 6;
x
y
2
X
-2 0
-2
Y
2
4
6
8
б) y = x − 3;
0
2
2
4
x
y
0
−3
3
0
49
www.5balls.ru
8
Y
8
6
6
4
4
2
-8 -6
-4
-2 0
-2
4
6
8
-8 -6
-4
-6
-6
-8
-8
2
4
6
8
2
4
6
8
г) y = x − 1.
0
5
−2
3
8
X
y
2
1
8
6
6
4
4
-2 0
-2
-4
0
−1
Y
2
-8 -6
-4
X
-2 0
-2
-4
в) y = x + 5;
x
y
2
X
2
Y
2
X
2
4
6
8
Y
-8 -6
-4
-2 0
-2
-4
-4
-6
-6
-8
-8
X
№ 863
а) y = 4x − 6;
X
y
1
−2
б) y = 5x + 7;
3
6
X
y
50
www.5balls.ru
0
7
−2
3
8
Y
21
6
Y
14
4
7
2
-8 -6
-4
X
X
-2 0
-2
2
4
6
8
-8 -6
-2 0
-4
2
4
6
8
-7
-4
-14
-6
-8
-21
в) y = 3x − 3;
X
y
г) y = 2x + 1.
0
−3
9
2
3
X
Y
0
1
Y
−2
−3
4
Y
6
2
3
X
-9
-6
0
-3
3
6
9
X
-4
0
-2
2
4
-3
-2
-6
-9
-4
№ 864
а) y = −x + 2;
X
Y
0
2
б) y = −x − 3;
2
0
X
Y
0
−3
2
−5
51
www.5balls.ru
4
Y
9
Y
6
2
3
X
X
-4
0
-2
2
4
-9
-6
0
-3
3
6
9
-3
-2
-6
-4
-9
в) y = −x + 1;
X
0
Y
1
г) y = −x − 8.
X
0
Y
1
−2
3
4
Y
16
−2
−3
Y
12
8
2
4
X
-4
0
-2
2
4
-16 -12 -8
-4 0
-4
X
4
-8
-2
-12
-16
-4
№ 865
а) y = −3x + 2;
X
Y
0
2
б) y = −4x + 1;
2
−4
X
Y
52
www.5balls.ru
0
1
−1
5
8
12 16
Y
8
6
6
4
4
2
-8 -6
-4
2
4
6
8
-8 -6
-4
X
-2 0
-2
-4
-4
-6
-6
-8
-8
в) y = −7x + 3;
X
Y
2
X
-2 0
-2
Y
8
2
4
6
8
г) y = −5x + 2.
0
3
1
−4
8
X
Y
0
2
2
−8
Y
12
6
Y
8
4
4
2
-8 -6
-4
-2 0
-2
X
X
2
4
6
8
-12
-8
-4
0
4
8
12
-4
-4
-8
-6
-8
-12
№ 866
а) y = 0,4x + 2;
X
Y
0
2
б) y = 3,5x − 1;
5
4
X
Y
0
−1
2
6
53
www.5balls.ru
5
4
Y
4
3
2
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 0
-1
X
1 2 3
4 5
X
-6
-4
-2
0
2
4
6
-2
-2
-3
-4
-4
-5
-6
в) y = 0,2x − 4;
X
Y
Y
6
г) y = 2,5x + 5.
0
−4
10
−2
6
X
Y
0
5
−2
0
Y
Y
15
4
10
2
5
X
-15
-10
-5
0
5
0
−3
15
-6
-4
-2
-2
-5
-4
-10
-6
-15
№ 867
а) y = −2,5x − 3;
X
Y
10
X
0
2
б) y = −0,5x + 1;
−2
2
X
Y
54
www.5balls.ru
0
1
−4
3
4
6
Y
3
Y
3
2
2
1
1
X
-6
-4
0
-2
2
4
X
6
-6
-2
-1
-1
-2
-2
-3
-3
в) y = −1,5x + 8;
X
Y
-4
0
2
4
6
г) y = −3,5x − 2.
2
5
4
2
6
X
Y
0
−2
−2
5
Y
6
4
Y
4
2
2
X
-6
-4
-2
0
2
4
6
X
-6
-4
-2
0
-2
-2
-4
-4
-6
-6
№ 868
а) S = 1,5t + 0,5;
T
1
3
2
4
6
б) S = −3,5t + 4,5;
T
1
3
55
www.5balls.ru
S
2
6
6
S
1
s
−6
6
s
4
4
2
2
t
t
-6
-4
-2
0
2
4
-6
6
-4
0
-2
-2
-2
-4
-4
-6
-6
в) S = −4,5t − 2,5;
T
−1
1
S
2
−7
8
2
4
6
г) S = 2,5t − 3,5.
T
1
3
S
−1
4
s
6
6
s
4
4
2
2
t
t
-3
-2
-1
0
-2
1
2
3
-3
-2
-1
0
1
2
-2
-4
-4
-6
-8
№ 869
а) S = Ошибка!t − 1;
T
0
3
-6
б) S = − Ошибка!t + 1;
T
0
6
56
www.5balls.ru
3
S
−1
1
S
1
s
3
−2
s
3
2
2
1
1
t
t
-3
-2
0
-1
1
2
-6
3
-4
0
-2
-1
-1
-2
-2
-3
-3
в) S = Ошибка!t − 2;
T
0
4
S
−2
0
3
2
4
6
г) S = − Ошибка!t + 1.
T
0
3
S
1
−1
s
3
2
s
2
1
1
t
-6
-4
-2
0
2
4
6
3
1
-4
-2
0
-1
-1
-2
-2
-3
-3
№ 870
а) u = Ошибка!z + Ошибка!;
Z
u
t
-6
−1
0
2
4
6
б) y = Ошибка!x − Ошибка!;
X
Y
1
0
4
1
57
www.5balls.ru
3
u
4
Y
3
2
2
1
1
X
z
-6
-4
0
-2
2
4
6
-4 -3
-2
-1
-1 0
-1
1
2
3
4
-2
-2
-3
-3
-4
в) b = Ошибка!a + Ошибка!;
A
1
−2
B
2
−3
4
b
4
3
3
2
2
1
-4 -3
-2
г) S = Ошибка!t + Ошибка!.
T
2
7
S
1
2,5
-1 0
-1
1
a
1
2
3
4
s
-8 -6
-4
-2 0
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
t
2
4
6
8
№ 871
Для того чтобы найти точку пересечения графика функций аналитически, приравняем ординаты функций
а) x + 4 = 2x;
б) −x = 3x − 4;
x = 4; y = 4 + 4 = 8.
x = 1; y = 3 − 4 = −1.
Ответ: (4; 8).
Ответ: (1; −1).
в) −2x + 3 = 2x − 5;
г) 3x + 2 = −0,5x − 5;
58
www.5balls.ru
4x = 8;
x = 2; y = 4 − 5 = −1.
Ответ: (2; −1).
3,5x = 7;
x = 2; y = 3 · 2 + 2 = 8.
Ответ: (2; 8).
№ 872
y
8
y = x +4;
а) С осью ОX :
6
х + 4 = 0, х = − 4; (−4; 0).
4
С осью ОY :
2
y = 4 + 0 = 4, y = 4; (0; 4).
x
б) При x = −2, y = −2 + 4 = 2.
0
-8 -6 -4 -2
2 4 6 8
При x = −1, y = −1 + 4 = 3.
-2
При x = 0, y = 0 + 4 = 4.
-4
При x = 1, y = 1 + 4 = 5.
в) x + 4 = 4; x + 4 = 1;
-6
x = − 3;
x = 0;
-8
x + 4 = −2;
x + 4 = 7;
x = − 6;
x = 3.
г) Функция возрастает, т.к. коэффициент при переменной х больше
нуля.
№ 873
y = −4x + 8;
а)С осью ОY: y = 8 + 0 = 8; (0; 8).
С осью ОХ:
−4х + 8 = 0, х = 2; (2; 0).
б) При x = 0, y = 0 + 8 = 8.
При x = 1, y = −4 + 8 = 4.
-8 -6
При x = 2, y = −8 + 8 = 0.
При x = 3, y = −12 + 8 = −4.
в) −4x + 8 = 0; x = 2;
−4x + 8 = 4; x = 1;
−4x + 8 = 8; x = 0.
г) Функция убывает, т.к. коэффициент при переменной х меньше нуля.
y
8
6
4
2
-4
x
-2 0
-2
2
4
6
8
-4
-6
-8
№ 874
y = 2x − 1;
8
y
6
а) 2x − 1 = 0; y = 0 · 2 − 1;
x = Ошибка!; y = − 1;
(0,5; 0);
(0; − 1).
4
2
-8 -6
-4
-2 0
-2
-4
-6
-8
www.5balls.ru
x
2
4
6
8
59
б)
При
x
=
−3,
y
=
2
·
(−3)
−
1
=
= −7.
При
x
=
−1,
y
=
2
·
(−1)
−
1
=
= −3.
При x = 2, y = 2 · 2 − 1 = 3.
При x = Ошибка!, y = 2 · Ошибка! − 1 = 0.
в) 2x − 1 = 5;
2x − 1 = −1;
2x − 1 = 7;
x = 3;
x = 0;
x = 4.
г) Функция возрастает, т.к. коэффициент при переменной х больше
нуля.
№ 875
y = − 0,5x + 2;
а) −0,5x + 2 = 0;
y = −0,5 · 0 + 2 = 2;
x = 4; (4, 0);
(0, 2).
б) При x = −2, y = −0,5 · (−2) + 2 = 3.
При x = 4, y = −0,5 · 4 + 2 = 0.
При x = −6, y = −0,5 · (−6) + 2 = 5.
в) −0,5x + 2 = 1; x = 2;
−0,5x + 2 = 0; x = 4; −0,5x + 2 = 2; x = 0.
г) Функция убывает, т.к. коэффициент при переменной х меньше
нуля.
8
y
6
4
2
-8 -6
-4
-2 0
-2
x
2
4
6
8
-4
-6
-8
№ 876
y = −3x + 6;
а) x < 2 ( x = 0, x = −2, x = 1);
y > 0;
б) x = 2;
в) x < 2;
г) x > 2.
8
y
6
4
2
-8 -6
-4
60
-2 0
-2
-4
-6
-8
www.5balls.ru
x
2
4
6
8
№ 877
y = 2x − 6;
а) x < 3 ( x = 2, x = 1, x = 0);
y < 0;
б) x = 3;
в) x > 3;
г) x < 3.
8
y
6
4
2
-8 -6
-4
x
-2 0
-2
2
4
6
8
-4
-6
-8
№ 878
y = 3x − 6;
а) x > 2;
б) x ≤ 2;
в) x < 2;
г) x ≥ 2.
8
y
6
4
2
-8 -6
-4
-2 0
-2
x
2
4
6
8
-4
-6
-8
№ 879
y = 4x + 4;
а) x > −1;
б) x ≤ −1;
в) x < −1;
г) x ≥ −1.
4
y
3
2
1
-4 -3
-2
-1 0
-1
-2
-3
-4
www.5balls.ru
x
1
2
3
4
61
№ 880
y = −x − 2;
а) x < −2;
б) x ≥ −2;
в) x > −2;
г) x ≤ −2.
4
y
3
2
1
-4 -3
-2
x
-1 0
-1
1
2
3
4
-2
-3
-4
№ 881
y = −2x + 4;
а) x < 2;
б) x ≥ 2;
в) x > 2;
г) x ≤ 2.
4
3
2
1
-4 -3
-2
-1 0
-1
-2
-3
№ 882
y = 2x + 3; а) [0, 1];
y
-4
б) [−2, 2];
62
www.5balls.ru
x
1
2
3
4
8
y
8
6
6
4
4
2
-8 -6
-4
-2 0
-2
4
6
-8 -6
8
-4
-4
-6
-6
-8
-8
г) [−1, 1].
16
y
8
12
6
8
4
4
4
8
12 16
2
4
6
8
y
2
x
-4 0
-4
x
-2 0
-2
-4
в) [1, 3];
-16 -12 -8
2
x
2
y
-8 -6
x
-2 0
-2
-4
-8
-4
-12
-6
-16
-8
2
4
6
8
№ 883
б) (−2, ∞);
y = 2x + 3; а) (−∞, 1);
8
y
8
6
6
4
4
2
-8 -6
-4
-2 0
-2
2
x
2
4
6
8
-8 -6
-4
-2 0
-2
-4
-4
-6
-6
-8
в) (−∞, −2);
y
x
2
4
6
8
-8
г) (0, ∞).
63
www.5balls.ru
y
8
6
6
4
4
2
-8 -6
-4
2
x
-2 0
-2
y
8
2
4
6
8
-8 -6
-4
-4
-4
-6
-6
-8
-8
№ 884
y = 2x + 3;
а) (−∞, 1];
x
-2 0
-2
2
4
6
8
б) [−2, ∞);
10
Y
4
Y
2
5
X
X
-10
-5
0
5
10
-4
0
-2
-5
-2
-10
-4
г) [0, ∞).
в) (−∞, −2];
4
Y
4
2
4
Y
2
2
X
X
-4
-2
0
2
4
-4
-2
0
-2
-2
-4
-4
64
www.5balls.ru
2
4
№ 885
y = 2x + 3;
а) (−2, 0);
б) (−2, −1);
4
Y
4
2
Y
2
X
-4
-2
0
2
4
X
-4
-2
-2
г) (−1, 3).
6
Y
8
4
2
2
X
-2 0
-2
2
4
6
-8 -6
-4
4
6
8
-8
№ 886
y = −3x + 1; а) [1, 2);
б) (−2, 1];
Y
8
Y
6
4
4
2
2
X
-4
x
2
-6
-6
-2 0
-2
-2 0
-2
-4
-4
6
y
6
4
-6
4
-4
в) (−1, 1);
-4
2
-2
-4
-6
0
2
4
6
-8 -6 -4 -2 0
-2
-4
-4
-6
-6
-8
X
2
4
6 8
65
www.5balls.ru
в) [0, 1);
г) (−1, 0].
4
Y
6
3
4
2
2
1
-4 -3 -2 -1 0
-1
X
X
1 2
-6
3 4
-4
-2 0
-2
-2
4
6
-6
-4
№ 887
y = −3x + 1;
а) (−∞, 0];
б) (2, ∞);
6
Y
6
4
4
2
2
-2 0
-2
2
4
Y
X
X
-4
2
-4
-3
-6
Y
-6
6
-4
-2 0
-2
2
4
6
-4
-4
-6
-6
в) (−∞, 0);
г) [1, +∞).
6
Y
6
4
Y
4
2
2
X
-6
-4
-2 0
-2
2
4
6
X
-6
-4
-2 0
-2
-4
-4
-6
-6
66
www.5balls.ru
2
4
6
№ 888
y = −3x + 1; а) [0, 2];
6
б) (1, 3);
Y
8
6
4
4
2
2
X
-6
-4
-2 0
-2
2
4
6
2
4
6 8
-4
-6
-8
-6
в) [−1, 1);
.г) (−2, 1].
6
8
Y
4
2
2
X
-2 0
-2
Y
6
4
-4
X
-8 -6 -4 -2 0
-2
-4
-6
Y
2
4
6
-8 -6 -4 -2 0
-2
X
2
4
6 8
-4
-4
-6
-6
-8
№ 889
Линейная функция монотонна, значит, для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения, нужно вычислить значения функции на концах отрезка.
а) −2 + 3 = 1, −1 + 3 = 2.
Ответ: 1 − наименьшее; 2 − наибольшее.
б) −(−1) + 5 = 6, −4 + 5 = 1.
Ответ: 1 − наименьшее; 6 − наибольшее.
в) −3 + 3 = 0, −1 + 3 = 2.
Ответ: 0 − наименьшее; 2 − наибольшее.
г) −2 + 5 = 3, −5 + 5 = 0.
Ответ: 0 − наименьшее; 3 − наибольшее.
67
www.5balls.ru
№ 890
Линейная функция монотонна, значит для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения, нужно вычислить значения функции на концах отрезка.
а) 4 · (−1) − 1 = −5, 4 · 2 − 1 = 7.
Ответ: −5 − наименьшее; 7 − наибольшее.
б) −2 · 0 + 5 = 5, −2 · 4 + 5 = −3.
Ответ: −3 − наименьшее; 5 − наибольшее.
в) 3 · (−1) − 2 = −5, 3 · 1 − 2 = 1.
Ответ: −5 − наименьшее; 1 − наибольшее.
г) −5 · 0 + 7 = 7, −5 · 2 + 7 = −3.
Ответ: −3 − наименьшее; 7 − наибольшее.
№ 891
y = 3x − 9;
а) (3; 0), (0; −9);
б) x < 3;
в) x > 3;
г) −6; −3.
12
Y
9
6
3
-12 -9 -6 -3 0
-3
X
3
6
9 12
-6
-9
-12
№ 892
y = −2x + 6;
а) (3; 0), (0; 6);
б) [4, 5];
в) x < 3;
г) −2; 8.
12
Y
9
6
3
-12 -9 -6 -3 0
-3
-6
-9
-12
68
www.5balls.ru
X
3
6
9 12
№ 893
y = x + 5;
а) (−5; 0), (0; 5);
б) x < −5;
в) [0, 1];
г) 1; 6.
15
Y
10
5
X
-15 -10 -5 0
-5
5
10 15
-10
-15
№ 894
y = −3x + 6;
а) (2; 0), (0; 6);
б) [3, 8];
в) x < 2;
г) 0; 3.
6
Y
4
2
X
-6
-4
-2 0
-2
2
4
6
-4
-6
№ 895
а) y = 7,5x + 45;
б) y = 2,6x − 7,8;
7,5x + 45 = 0;
y = 7,5 · 0 + 45; 2,6x − 7,8 = 0; y = 2,6 · 0 − 7,8;
x = −6;
y = 45;
x = 3;
y = −7,8.
Ответ: (−6; 0), (0; 45).
Ответ: (3, 0), (0; −7,8).
в) y = 3,4x − 27,2;
г) y = 18,1x + 36,2;
3,4x − 27,2 = 0; y =3,4 · 0 − 27,2; 18,1x + 36,2 = 0; y = 18,1 · 0 +36,2;
x = 8;
y = −27,2;
x = 3;
y = 36,2.
Ответ: (8; 0), (0; −27,2).
Ответ: (3, 0), (0; 36,2).
69
www.5balls.ru
№ 896
Для того, чтобы выяснить проходит ли график функции через данную точку, нужно подставить значения абциссы и ординаты точки
в уравнение и посмотреть обращается ли уравнение в верное равенство. y = 3,2x − 5;
а) 3,2 · 3 − 5 = 4,6 − верно, значит, проходит;
б) 3,2 · 1,2 − 5 = 0 − неверно, значит, не проходит;
в) 3,2 · 7,5 − 5 = 4 − неверно, значит, не проходит;
г) 3,2 · 2,2 − 5= 2,04 − верно, значит, проходит.
№ 896
а) Заданный промежуток является интервалом, следовательно, наибольшего и наименьшего значений не существует.
б) Функция убывает, значит наибольшее значение в начале промежутка, а наименьшее в конце. Но в конце промежутка стоит знак
+∞, следовательно наименьего значения не существует.
Наибольшее = −0,5 · (−2) + 1 = 2.
в) Функция возрастает, значит наименьшее значение в начале промежутка, а наибольшее в конце.
Наибольшее = 2,5 · 1 − 4 = −1,5, 2,5 · 2 − 4 = 1.
г) Функция возрастает, значит наименьшее значение в начале промежутка, а наибольшее в конце.
Но в начале промежутка стоит знак −∞, следовательно наименьего
значения не существует.
Наибольшее = 2,5 · 0 − 4 = − 4.
№ 898
а) Функция возрастает, значит наименьшее значение в начале промежутка, а наибольшее в конце.
Наибольшее = Ошибка! · (−4) + 2 = 1, Ошибка! · 4 + 2 = 3.
б) Функция возрастает, значит наименьшее значение в начале промежутка, а наибольшее в конце. Но в конце промежутка стоит знак
+∞, следовательно наибольшего значения не существует.
Наименьшее = Ошибка! · 0 + 2 = 2.
в) Функция убывает, значит, наибольшее значение в начале промежутка, а наименьшее в конце. Но в начале промежутка стоит знак
−∞, следовательно наимболшего значения не существует.
Наименьшее = −1/3 · 6 − 1 = −3.
г) Заданный промежуток является интервалом, следовательно наибольшего и наименьшего значений не существует.
70
www.5balls.ru
№ 899
а) x = 3x − 12; 2x = 12; x = 6. Ответ: (6; 6).
б) x = 5x + 4; 4x = −4; x = − 1. Ответ: (−1; −1).
№ 900
а) −x = 2x + 9; 3x = −9; x = −3. Ответ: (−3; 3).
б) −x = −3x + 8; 2x = 8; x = 4. Ответ: (4; −4).
№ 901
а) 2x = x + 15; x = 15; y = 2 · 15 = 30. Ответ: (15; 30).
б) y = 6y − 35; y = 7; x = 3 · 7 = 21. Ответ: (21; 7).
№ 902
y = −5x + m;
а) −5 · 1 + m = 2; m = 7;
б) −5 · 0,5 + m = 4; m = 6,5;
в) −5 · (−7) + m = 8; m = −27;
г) −5 · 1,2 + m = −3. m = 3.
№ 903
y = kx + 4;
а) 3k + 4 = 5; k = Ошибка!;
б) Ошибка!k + 4 = 1; k = −6;
в) −6k + 4 = −8; k = 2;
г) Ошибка!k + 4 = −8. k = −36.
№ 904
Так как функция
y = 2x − 3 возрастает,
А = 2 · 2 − 3 = 1.
Так как функция
y = 0,5x − 4 возрастает,
B = 2 · 0,5 − 4 = −3.
Следовательно, A > B.
6
Y
4
2
-6
-4
-2 0
-2
A
2
X
4
6
B
-4
-6
№ 905
Из того что функция y = x − 4 возрастает следует,
что С = 0 − 4 = −4.
71
www.5balls.ru
Из того что функция y = 4 − x убывает следует,
что D = 4 − 1 = 3.
Следовательно, D > C.
6
4
Y
D
2
X
-6
-4
-2 0
-2
2
4
6
-4 C
-6
№ 906
y = kx + m.
а) Из того что линейная функция проходит через первый и третий
координатные углы следует, что она возрастает, т. е. k > 0.
Но еще извстно что функция проходит через втоорой координатный
угол.
Откуда следует, что m > 0.
б) Из того что линейная функция проходит через второй и четвертый координатные углы следует, что она убывает, т. е. k < 0.
Но еще извстно что функция проходит через первый координатный
угол.
Откуда следует, что m > 0.
в) Из того что линейная функция проходит через первый и третий
координатные углы следует, что она возрастает, т. е. k > 0 .
Но еще извстно что функция проходит через четвертый координатный угол. Откуда следует, что m < 0.
г) Из того что линейная функция проходит через второй и четвертый координатные углы следует, что она убывает, т. е. k < 0.
Но еще извстно что функция проходит через третий координатный
угол.
Откуда следует, что m < 0.
№ 907
y = kx + m.
72
www.5balls.ru
а) Видно, что если мы подставим любое x > 0, то получим, что y > 0,
следовательно, график функции проходит через первый координатный угол. Если же мы подставим любое x < 0, то получим, что y < 0,
следовательно, график проходит через третий координатный угол.
График не проходит через второй и четвертый координатные углы,
(не учитывая точку (0; 0) ) потомучто m = 0.
Ответ: график функции проходит через 1 и 3 координатные углы.
б) Видно, что если мы подставим любое x > 0, то получим, что y < 0,
следовательно, график функции проходит через первый координатный угол. Если же мы подставим любое x < 0, то получим, что y > 0,
следовательно график проходит через третий координатный угол.
График не проходит через второй и четвертый координатные углы
(не учитывая точку (0; 0) ) потому, что m = 0.
Ответ: график функции проходит через 2 и 4 координатные углы.
№ 908
y = p2 − 2px;
а) p2 − 2p = 3;
p2 − 2p − 3 = 0;
p2 + p − 3p − 3 = 0;
p(p + 1) − 3(p + 1) = 0;
p = 3 или p = −1;
в) p2 = −4;
Но квадрат числа не может
равнятся отрицательному
числу, значит не при каких p.
б) p2 = 9;
p2 − 9 = 0;
(p − 3)(p + 3) = 0;
p = 3 или p = −3;
г) p2 + 4p = 5;
p2 + 4p − 5 = 0;
p2 + p − 5p = 0;
p(p + 1) − 5(p + 1) = 0;
p = 5 или p = −1.
§ 30. Прямая пропорциональность и ее график
№ 909
а) да; б) да; в) да; г) да.
№ 910
а) да; б) да; в) да;
г) нет, потомучто прямая пропорциональность задается уравнением
вида y = kx, где k − произвольное число.
№ 911
а) 1; б) −8; в) 15; г) −1.
№ 912
а) 0,1; б) −7,5; в) −6,06; г) 5,4.
73
www.5balls.ru
№ 913
а) Ошибка!; б) − Ошибка!; в) − Ошибка!; г) Ошибка!.
№ 914
а) y = 5x;
x
y
0
0
1
5
6
Y
4
2
X
-6
-4
-2 0
-2
2
4
6
-4
-6
б) y = −4x;
x
y
0
0
2
−8
6
Y
4
2
X
-6
-4
-2 0
-2
2
-4
-6
в) y = −2x;
x
0
y
0
3
−6
74
www.5balls.ru
4
6
6
Y
4
2
X
-6
-4
-2 0
-2
2
4
6
-4
-6
г) y = 6x.
x
y
0
0
−1
−6
6
Y
4
2
X
-6
-4
-2 0
-2
2
4
6
-4
-6
№ 915
а) y = 2x;
6
Y
4
2
X
-6
-4
-2 0
-2
2
4
6
-4
-6
б) y = −3x;
75
www.5balls.ru
6
Y
4
2
X
-6
-4
-2 0
-2
2
4
6
-4
-6
в) y = −6x;
6
Y
4
2
X
-6
-4
-2 0
-2
2
4
6
-4
-6
г) y = x.
6
Y
4
2
X
-6
-4
-2 0
-2
2
-4
-6
76
www.5balls.ru
4
6
№ 916
а) S = 0,5t;
б) S = −1,2t;
s
6
s
6
4
4
2
2
t
-6
-4
-2 0
-2
2
4
t
6
-6
-4
-2 0
-2
-4
-4
-6
-6
в) S = Ошибка!t;
6
2
4
6
г) S = −Ошибка!.
6
s
s
4
4
2
2
t
t
-6
-4
-2 0
-2
2
4
6
-6
-4
-2 0
-2
-4
-4
-6
-6
2
4
6
№ 917
а) 3k = 12;
k = 4, функция возрастает;
б) 5k = 25;
k = 5, функция возрастает;
в) −9k = 45;
k = −5, функция убывает;
г) −11k = −99;
k = 9, функция возрастает.
77
www.5balls.ru
№ 918
а) y = kx; 2k = 8;
k = 4; y = 4x;
6
б) y = kx; −16k = 32;
k = −2; y = −2x;
Y
6
y
4
4
2
2
x
X
-6
-4
-2 0
-2
2
4
-6
6
-4
-2 0
-2
-4
-4
-6
-6
в) y = kx; 3k = −18;
k = −6; y = −6x;
6
2
4
6
г) y = kx; 6k = 9;
k = Ошибка!; y = Ошибка!x.
y
6
y
4
4
2
2
x
x
-6
-4
-2 0
-2
2
4
6
-6
-4
-2 0
-2
-4
-4
-6
-6
№ 919
B(1; 4).
а) y = 2x; 4 ≠ 2 · 1, значит, не проходит;
б) y = −2x; 4 ≠ −2 · 1, значит, не проходит;
в) y = 4x; 4 = 4 · 1, значит, проходит;
г) y = −4x; 4 ≠ −4 · 1, значит, не проходит.
№ 920
S = kt.
а) 5k = 7; k = Ошибка! = 1,4; S = 1,4t;
б) 2k = 8; k = 4; s = 4t;
в) 3k = −9; k = −3; s = −3t;
78
www.5balls.ru
2
4
6
г) −4k = 12. k = −3; s = −3t.
№ 921
A(0; 0) y = −2x; 0 = −2 · 0, значит принадлежит;
B(2; −4) y = −2x; −4 = −2 · 2, значит принадлежит;
C(5; 3) y = −2x; 3 ≠ −2 · 5, значит не принадлежит;
D(−4; 8) y = −2x; 8 = −2 · (−4), значит принадлежит.
№ 922
а) y = 4,5x.
Внутри первого и третьего.
9
б) y = Ошибка!x.
Внутри первого и третьего.
y
8
6
6
4
3
x
-9
-6
-3 0
-3
3
6
9
2
2
4
6 8
-4
-6
-9
-8
в) y = −2,5x.
Внутри второго и четвертого.
0
-5 -4 -3 -2 -1
-1
-2
-3
-4
-5
x
-8 -6 -4 -2 0
-2
-6
5
4
3
2
1
y
г) y = − Ошибка!x.
Внутри второго и четвертого.
12
y
y
6
x
x
1 2 3 4 5
-12
-6
0
6
12
-6
-12
79
www.5balls.ru
№ 923
y = 0,4x;
а) 0; 2; 4; −2;
б) 0; 5; 10; −5;
в) y > 0;
г) y < 0.
5
4
3
2
1
0
-5 -4 -3 -2 -1
-1
-2
-3
-4
-5
№ 924
y = −2,5x;
а) 0; −5; 5;
б) 0; 2; −2;
в) y ≥ 0;
г) y ≤ 0.
5
4
3
2
1
0
-5 -4 -3 -2 -1
-1
-2
-3
-4
-5
y
x
1 2 3 4 5
y
x
1 2 3 4 5
№ 925
а) Функция возрастает, следовательно, наименьшее значение будет
в начале промежутка, а наибольшее в конце.
Ответ: 0; 3.
б) Функция возрастает, следовательно, наименьшее значение будет
в начале промежутка, а наибольшее в конце. Но в конце промежутка
стоит знак +∞, значит наибольшего значения не существует.
Ответ: 3 − наименьшее.
в) Функция возрастает, следовательно, наименьшее значение будет
в начале промежутка, а наибольшее в конце. Но в начале промежутка стоит знак −∞, значит наименьшего значения не существует.
Ответ: −3 − наибольшее.
г) Функция возрастает, следовательно, наименьшее значение будет в
начале промежутка, а наибольшее в конце.
Ответ: −3; 3.
80
www.5balls.ru
№ 926
а) Функция убывает, следовательно, наименьшее значение будет в
конце промежутка, а наибольшее в начале. Но промежуток является
полуинтервалом (конец промежутка в промежуток не включается),
следовательно, наименьшего значения не существует.
Ответ: 4 − наибольшее.
б) Функция убывает, следовательно, наименьшее значение будет в
конце промежутка, а наибольшее в начале. Но в конце промежутка
стоит знак +∞, значит, наименьшего значения не существует.
Ответ: 0 − наибольшее.
в) Функция убывает, следовательно, наименьшее значение будет в
конце промежутка, а наибольшее в начале. Но в начале промежутка
стоит знак −∞, значит, наибольшего значения не существует.
Ответ: −2 − наименьшее.
г) Функция убывает, следовательно, наименьшее значение будет в
конце промежутка, а наибольшее в начале. Но промежуток является
полуинтервалом (начало промежутка в промежуток не включается),
следовательно, наибольшего значения не существует.
Ответ: 0 − наименьшее.
№ 927
а) y = 2x; б) y = −x; в) y = Ошибка!x; г) y = −3x.
№ 928
Из того, что функция возрастает, следует что знак углового коэфициента линейной функции − «+». А из того что функция убывает,
следует, что знак углового коэфициента линейной функции − «−»;
а) положителен; б) положителен;
в) отрицателен; г) отрицателен.
№ 929
а) k > 0, m > 0; б) k > 0, m < 0; в) k < 0, m > 0; г) k < 0, m < 0.
№ 930
а) Функция возрастает, следовательно, наименьшее значение будет
в начале промежутка, а наибольшее в конце.
Ответ: 0; 2.
б) Функция возрастает, следовательно, наименьшее значение будет
в начале промежутка, а наибольшее в конце. Но в конце промежутка
стоит знак +∞, значит, наибольшего значения не существует.
Ответ: −2 − наименьшее.
81
www.5balls.ru
в) Функция возрастает, следовательно, наименьшее значение будет
в начале промежутка, а наибольшее в конце. Но в начале промежутка стоит знак −∞, значит, наименьшего значения не существует.
Ответ: 0 − наибольшее.
г) Заданный промежуток является интервалом, следовательно, наибольшего и наименьшего значений не существует.
№ 931
а) Функция убывает, следовательно, наименьшее значение будет в
конце промежутка, а наибольшее в начале.
Ответ: −3; 3.
б) Заданный промежуток является интервалом, следовательно, наибольшего и наименьшего значений не существует.
в) Функция убывает, следовательно, наименьшее значение будет в
конце промежутка, а наибольшее в начале. Но в конце промежутка
стоит знак +∞, значит наименьшего значения не существует.
Ответ: 3 − наибольшее.
г) Функция убывает, следовательно, наименьшее значение будет в
конце промежутка, а наибольшее в начале. Но промежуток является
полуинтервалом (начало промежутка в промежуток не включается),
следовательно, наибольшего значения не существует.
Ответ: −3 − наименьшее.
№ 932
12
y
y=x+3
6
x
-12
-6
0
6
-6
12
y = -3x
y = 3x
-12
№ 933
а) Задание не корректно, так как прямые паралельны и значит не пересекаются;
б) 3x = 2x − 1; x = −1, y = 3 · (−1) = −3. Ответ: (−1; −3).
в) Задание не корректно, так как прямые паралельны и значит не пересекаются;
г) x + 3 = 4; x = 1, y = 4. Ответ: (1; 4).
82
www.5balls.ru
№ 934
а) y = x + 3; б) y = 2x − 1; в) y = 2 − x; г) y = −Ошибка!x − 2.
№ 935
а) y = Ошибка!x + 2; б) y = −2x − 4; в) Ошибка!x − 4; г) 1,5x + 2.
§ 31. Взаимное расположение графиков линейных функций
№ 936
Если угловые коэфициенты прямых совпадают, то прямые паралельны, если же их уравнения полностью совпадают, то прямые тоже совпадают. В остальных случаях они пересекаются;
а) паралельны; б) пересекаются; в) совпадают; г) пересекаются.
№ 937
Если угловые коэфициенты прямых совпадают, то прямые паралельны, если же их уравнения полностью совпадают, то прямые тоже совпадают.
В остальных случаях они пересекаются;
а) совпадают;
б) пересекаются;
в) паралельны;
г) пересекаются.
№ 938
Если угловые коэфициенты прямых совпадают, то прямые паралельны, если же их уравнения полностью совпадают, то прямые тоже совпадают.
В остальных случаях они пересекаются;
а) паралельны;
б) паралельны;
в) совпадают;
г) паралельны.
№ 939
а) y = 8x + 12 и y = 8x − 3;
в) y = −7x + 6 и y = 12 − 7x;
б) y = 6x + 5 и y = 6x + 7;
г) y = 4x − 1 и y = 4x + 11.
№ 940
а) y = 3x + 5 и y = 3x + 7;
в) y = 45x − 9 и y = 45x + 7;
б) y = −6x − 3 и y = −6x + 1;
г) y = 1,3x + 21 и y = 1,3x − 11.
83
www.5balls.ru
№ 941
а) y = 6x + 1 и y = 5x − 3;
в) y = 7x + 8 и y = 3x − 4;
б) y = −6x + 5 и y = 9x − 1;
г) y = 2x − 15 и y = 3x + 2.
№ 942
а) y = 2x + 5 и y = 2x −(−5);
в) y = 2x − 6 и y = 3x − 7;
б) y = 2x − 1 и y = 3x + 3;
г) y = 2x + 17 и y = 3x + 9.
№ 943
а) Задание определено не корректно, потомучто какой бы мы число
не поставили вместо звездочки, уравнения прямых не будут идентичны.
б) y = 5x + 8 и y = 5x + 8.
в) y = 6x − 3 и y = 6x − 3.
г) Задание определено не корректно, потомучто какой бы мы число
не поставили вместо звездочки, уравнения прямых не будут идентичны.
№ 944
а) Задание определено не корректно, потомучто какой бы мы число
не поставили вместо звездочки, уравнения прямых не будут идентичны.
б) y = 4,5x − 2 и y = 4,5x − 2;
в) y = 0,35x − 3 и y = 0,35x − 3;
г) y = 2x + 5 и y = 2x + 5.
№ 945
а) 2x + 3 = 3x + 2; x = 1, y = 2 · 1 + 3 = 5. Ответ: (1; 5).
б) Задание не корректно, потому что прямые паралельны.
в) 7x + 4 = −x + 4; x = 0, y = 7 · 0 + 4 = 4. Ответ: (0; 4).
г) Задание не корректно, потому что прямые паралельны.
№ 946
а) Прямые совпадают, следовательно, точек пересечения бесконечно
много.
Укажем одну из них (0; 17);
б) −3x + 4 = 2x − 1; 5x = 5; x = 1, y = 2 · 1 − 1 = 1.
Ответ: (1; 1).
в) Прямые совпадают, следовательно, точек пересечения бесконечно много.
Укажем одну из них (0; −8);
г) −5x + 3 = x − 3; 6x = 6; x = 1, = 1 − 3 = −2.
Ответ: (1; −2).
84
www.5balls.ru
№ 947
а) Задание не корректно, потомучто прямые паралельны.
б) Прямые совпадают, следовательно точек пересечения
бесконечно много. Укажем одну из них (0; 4).
в) Задание не корректно, потомучто прямые паралельны.
г) 79x = 75x; x = 0, y = 79 · 0 = 0.
Ответ: (0; 0).
№ 948
k1 = k2 = 1; m1 = 2; m2 = 0.
№ 949
k1 = k2 = 1; m1 = 2; m2 = 0.
№ 950
a1 = 2; a2 = 3; b1 = 5; b2 = 5;
2x + 5 = 3x + 5; x = 0, y = 5;
(0; 5) − точка пересечения.
№ 951
Из того что прямая y = ax + b проходит через начало координат следует, что b = 0. Значит, уравнение прямой имеет вид : y = ax.
Прямая y = ax проходит через третий координатный угол (она там
пересекается с прямой y = kx + m). Из этого следует, что a > 0.
Прямая y = kx + m проходит через третий координатный угол значит
либо (k > 0) либо (k < 0 и m < 0). Но второй случай не подходит, потому что во втором случае прямая y = kx + m проходит через второй
координатный угол.
Итак k > 0. Если m ≥ 0 то прямая проходит через второй координатный угол (если учитывать, что точка (0; 0) принадлежит второму
координатному углу). Значит, m < 0.
Ответ: a > 0; b = 0; k > 0; m < 0
№ 952
Прямая y = kx + m не проходит через третий координатный угол
значит k < 0 и m > 0 (считается что точка (0; 0) не принадлежит не
одному из координатных углов). Рассмотрим прямую y = ax + b.
1.Случай a ≤ 0, тогда для того чтобы эта прямая проходила через
первый координатный угол, необходимо чтобы b было больше 0.
2.Случай a > 0. Прямая всегда проходит через первый координатный угол. Но она также должна проходить через третий координатный угол, что выполнимо только при b > 0.
Ответ: k < 0; m > 0; a − может иметь любое значение; b > 0.
85
www.5balls.ru
ГЛАВА 7. Функция y = x2
§ 32. Функция y = x
2 и ее график
№ 953
а) y =x2 = 12 = 1; б) y = 32 = 9; в) y = 22 = 4; г) y = 02 = 0.
№ 954
а) y = (− 2) 2 = 4; б) y = (− 1,5) 2; в) y = (− 3) 2; г) y = (− 0,5) 2 = 0,25.
№ 955
2
2
2
а)
49
4
 1
7
y = 2  =   =
=5 ;
9
9
3
 3
в)
1
169
9

 13 
y = − 3  = −  =
= 10
4
16
16
 4

2
1
4

 7
y = − 2  = −  = 5
3
9
 3

г)
9
 1
 13 
y =  3  =   = 10
16
 4
 3
2
2
;
2
б)
№ 956
а) x2 = 4;
б) x2 = 9;
x2 − 4 = 0;
x2 − 9 = 0;
(x − 2)(x + 2) = 0;
(x − 3)(x + 3) = 0;
x = 2; x = − 2;
x = 3; x = − 3;
в) x2 = 1;
г) x2 = 16;
x2 − 1 = 0;
x2 − 16 = 0;
(x − 1)(x + 1) = 0;
(x − 4)(x + 4)= 0;
x = 1; x = − 1;
x = 4; x =− 4.
№ 957
а) x2 = 0,25;
б) x2 = 6,25;
x2 − 0,25 = 0;
x2 − 6,25 = 0;
(x − 0,5)(x + 0,5) = 0;
(x − 2,5)(x + 2,5) = 0;
x = 0,5; x = − 0,5;
x = 2,5; x = − 2,5;
в) x2 = 2,25;
г) x2 = 0;
x2 − 2,25 = 0;
x = 0.
(x − 1,5)(x + 1,5) = 0;
x = 1,5; x = − 1,5;
№ 958
а) 2; − 2;б) 1; − 1;в) 0; 3;г)4; 5.
№ 959
а) 2; 1;б) − 1; 0;в) 0,2; − 0,2;
г) таких значений нет, потому что квадрат числа всегда ≥ 0.
86
www.5balls.ru
2
.
;
№ 960
а) 22 = 4, значит, принадлежит; б) 32 = 9, значит не принадлежит;
в) 42 = 8, значит, не принадлежит; г) (− 3) 2 = 9 значит принадлежит.
№ 961
а) (0,5) 2 = 0,25, значит, принадлежит;
б) (1,2) 2 = 1,44, значит, не принадлежит;
в) (1,5) 2 = 2,25 значит, не принадлежит;
г) (− 2,5) 2 = 6,25 значит, принадлежит.
№ 962
Точка принадлежит графику функции, если ее координаты x и y удовлетворяют уравнению функции.
Тогда непосредственной проверкой легко убедиться, что:
а) да; б) да; в) да; г) нет.
№ 963
6
y = x2;
y
0
1
−1
2
−2
x
0
1
1
4
4
Y
5
4
3
а) при x = 0;
2
б) при −∞<x<0 и при 0<x<+∞;
1
в) ни при каких x.
-3
-2
-1 0
-1
X
1
2
3
-2
№ 964
а) наибольшее 1;
б) наибольшее 9;
наименьшее 0;
наименьшее 0;
[− 1;1];
[− 3;2];
в) наибольшее не существует;
г) наибольшее 9;
наименьшее 0;
наименьшее 0;
(− 2;1];
[− 1;3].
№ 965
а) наибольшее не существует;
б) наибольшее 9
наименьшее 0;
наименьшее 0;
[− 2;3);
[− 3;0];
в) наибольшее 9;
г) наибольшее не существует;
наименьшее 0;
наименьшее 0;
[− 2;3];
(− 3;2).
87
www.5balls.ru
№ 966
а) наибольшее 4;
б) наибольшее 9;
наименьшее 0;
наименьшее (− 1);
(− 2;2];
[− 3;− 1];
в) наибольшее не существует;
г) наибольшее не существует;
наименьшее 0;
наименьшее 0;
(− 2;3);
(− 1;3).
№ 967
а) наибольшее 9;
б) наибольшее 9;
наименьшее не существует;
наименьшее не существует;
[− 3;−2);
( 2;3];
в) наибольшее 9;
г) наибольшее 9;
наименьшее не существует;
наименьшее не существует;
(0;3);
[− 3;− 1).
№ 968
Во всех пунктах, на отрезках функция возврастает, значит наибольшее значение и наименьшее получаем
на концах отрезка;
а) наибольшее 4;
б) наибольшее 22 = 4;
наименьшее 1;
наименьшее 02 = 0;
в) наибольшее 12 = 1;
г) наибольшее 32 = 9;
наименьшее 02 = 0;
наименьшее 22 = 4.
№ 969
а) наибольшее (− 1) 2 = 1;
б) наибольшее (− 2) 2 = 4;
наименьшее 02= 0;
наименьшее (− 1) 2 = 1;
в) наибольшее (− 2) 2 = 4;
г) наибольшее (− 3) 2 = 9;
наименьшее 02 = 0;
наименьшее (− 1) 2 = 1.
№ 970
В каждом из этих пунктов промежуткам принадлежит число 0. А как известно все зачения функции y =
x2 больше либо равны нулю, причем в нуле функция имеет значение 0, т. е. для всех пунктов
наименьшим значением будет число 0. Установим только наибольшие значения.
а) 12 = 1; б) 32 = 9; в) (− 3) 2 = 9; г) 32 = 9.
№ 971
В каждом из этих пунктов промежуткам принадлежит число 0. А как известно все зачения функции y =
x2 больше либо равны нулю, причем в нуле функция имеет значение 0, т. е. для всех пунктов
наименьшим значением будет число 0.
№ 972
а) 0;
б)12 = 1;
88
www.5balls.ru
в) 22 = 4;
г) 32 = 9.
№ 973
а) 0;
б) 0;
в) 0;
г) 0.
№ 974
а) x2 = 1;
б) x2 = 0;
в) x2 = 4;
г) x2 = − 3;
x2 − 1 = 0;
x = 0;
x2 − 4 = 0;
решений нет;
x = 1; x = − 1;
(1;1), (− 1;1);
x = 2; x = − 2;
(0;0);
точек пересечения
(2;4), (− 2;4);
нет.
№ 975
а) x2 = 2x;
б) x2 = − 3x;
в) x2 = x;
г) x2 = − x;
x2 − 2x = 0;
x2 + 3x = 0;
x2 − x = 0;
x2 + x = 0;
x(x − 2) = 0;
x(x + 3) = 0;
x(x − 1) = 0;
x(x + 1) = 0;
x = 0; x = 2;
x = 0; x = − 3;
x = 0; x = 1;
x = 0; x = − 1.
№ 976
а) x2 = x + 2;
б) x2 = x − 3;
x2 − x − 2 = 0;
x2 − x + 3;
1
3
+2 =0;
4
4
x2 + x − 2x − 2 = 0;
x2 − x +
x(x + 1) − 2(x + 1) = 0;
1
3

 x −  = −2
2
4

(x + 1)(x − 2) =0;
решений нет, значит, нет точек
x = 2; x = − 1;
пересечения;
2
;
(2;4), (− 1;1);
в) x2 = − x + 2;
г) x2 = x − 5;
x2 + x − 2 = 0;
x2 − x + 5 = 0;
1
3
+4 =0;
4
4
x2 − x + 2x − 2 = 0;
x2 − x +
x(x − 1) + 2(x − 1) = 0;
1
3

 x −  = −4
2
4


(x − 1)(x + 2) =0;
решений нет, значит, нет точек
x = − 2; x = 1;
пересечения.
2
;
(− 2;4), (1;1);
№ 977
а) x2 = 2x + 3;
б) x2 = −
Ошибка!− 5;
89
www.5balls.ru
5
x+5 = 0 ;
3
5
25
9
x2 + x +
+4
= 0;
3
36
36
x2 +
x2 − 2x − 3 = 0;
x2 + x − 3x − 3 = 0;
2
(x + 1)(x − 3) = 0;
5
9

 x +  = −4 ;
6
36


x = 3; x = − 1;
решений нет, значит, нет точек
(3;9), (− 1;1);
пересечения;
в) x2 = 3 − 2x;
г)
x2 =
5
x −5;
3
5
x2 − x + 5 = 0 ;
3
5
25
9
2
x − x+
= −4
3
36
36
x2 + 2x − 3 = 0;
x2 − x + 3x − 3 = 0;
;
2
x(x − 1) + 3(x − 1) = 0;
5
9

 x −  = −4 ;
6
36


(x − 1)(x + 3) =0;
решений нет, значит, нет точек
x = − 3; x = 1;
пересечения.
(1;1), (− 3;9);
№ 978
а) (1;3);
б) (− 2;2);
Y
Y
8
8
6
6
4
4
2
2
X
-4
-2
0
2
4
X
-4
90
www.5balls.ru
-2
0
2
4
в) (0;2);
г) (− 2;− 1).
Y
Y
8
8
6
6
4
4
2
2
X
-4
-2
0
2
X
-4
4
-2
0
2
4
№ 979
а) (0;+ ∞);
б) (− 1;+ ∞);
Y
Y
8
8
6
6
4
4
2
2
X
X
-4
-2
0
2
-4
4
в) (− ∞;− 0,5);
0
-2
2
4
г) (− ∞;0).
Y
Y
8
8
6
6
4
4
2
2
X
-4
-2
0
2
4
X
-4
-2
0
2
4
91
www.5balls.ru
№ 980
а) (− ∞;1];
б) (− ∞;− 2];
Y
Y
8
8
6
6
4
4
2
2
X
-4
0
-2
2
X
-4
4
в) [2;+ ∞);
-2
0
2
4
г) [1;+ ∞).
Y
Y
8
8
6
6
4
4
2
2
X
X
-4
-2
0
2
-4
4
0
-2
2
4
№ 981
а) [0,1);
б) [0;2);
Y
Y
8
8
6
6
4
4
2
2
X
X
-4
-2
0
2
4
-4
92
www.5balls.ru
-2
0
2
4
в) (0;3];
г) (0;2,5].
Y
Y
8
8
6
6
4
4
2
2
X
-4
-2
0
2
4
X
-4
0
-2
2
4
2
4
№ 982
а) (− 1;3];
б) (− 1;1];
Y
Y
8
8
6
6
4
4
2
2
X
-4
-2
0
2
X
-4
4
в) [− 1;0);
0
-2
г) [− 1;2).
Y
Y
8
8
6
6
4
4
2
2
X
-4
-2
0
2
4
X
-4
-2
0
2
4
93
www.5balls.ru
№ 983
а) наибольшее 22 = 4;
б) наибольшее не существует;
наименьшее 0;
наименьшее 0;
в) наибольшее (− 2,5) 2 = 6,25;
г) наибольшее не существует;
наименьшее 0;
наименьшее 0.
№ 984
а) наибольшее не существует;
б) наибольшее не существует;
наименьшее 0,52 = 0,25;
наименьшее 0;
в) наибольшее не существует;
г) наибольшее не существует;
наименьшее 0;
наименьшее 0.
№ 985
Везде в этих пунктах в промежутках есть − ∞, значит наибольшего
значения не существует. Найдем наименьшее значение:
 1
 5
2
а) 0; б) 0; в) 0; г)  −  =
1
.
25
Y
№ 986
A = 0;
B = (− 3) 2 = 9,
значит, B > A.
B
8
6
4
2
X
-4
№ 987
C = 22 = 4,
D = − 2 + 3 = 1,
следовательно, C > D.
0
-2
A
2
4
Y
y = x2
8
6
4
C
2
D
-4
y = 2x + 3
94
www.5balls.ru
-2
X
0
2
4
№ 988
M = 32 = 9, N = − 1, значит M > N.
y = x2
Y
M
8
6
4
y=x
2
X
-4
0
-2
2
4
N
№ 989
y = x2; L = (− 1)2 = 1, N =12 = 1, следовательно L = N.
Y
8
6
4
L
-4
-2
2
N
0
X
2
4
2
4
№ 990
y = x2, P = 0, Q = 0; значит P = Q.
Y
8
6
4
2
-4
-2
0
Q
@
P
X
95
www.5balls.ru
№ 991
y = x2;
Y
y = x2
y = x + 2;
8
A = 22 = 4,
6
B = 3 + 2 = 5.
B
4
A
2
y=x+2
X
-4
0
-2
2
4
№ 992
A = (− 3) 2 = 9, B = − 1 · 3 = − 3; значит, A > B.
№ 993
y = x2. Среди особых промежутков есть значение 0. 02 = 0.
Оно и будет наименьшим, значит R = S.
№ 994
а) x2 = 2x − 1;
x2 − 2x + 1 = 0;
(x − 1) 2 = 0;
x = 1; y = 1.
Ответ: (1;1).
б) x2 = 4x − 4;
x2 − 4x + 4 = 0;
(x − 2) 2 = 0;
x = 2; y = 4.
Ответ: (2;4).
в) x2 = − 2x − 1;
x2 + 2x + 1 = 0;
(x + 1) 2 = 0;
x = − 1; y = 1.
Ответ: (− 1;1).
г) x2 = − 4x − 4;
x2 + 4x + 4 = 0;
(x + 2) 2 = 0;
x = − 2; y = 4.
Ответ: (− 2;4).
§ 33. Графическое решение уравнений
№ 995
а)
в)
Y
Y
y = –x
4
y=x+3
4
2
y = 3x – 4
2
X
-4
-2
0
2
4
X
-4
-2
0
-2
-2
-4
-4
y = 2x + 1
Ответ: (2;5).
Ответ: (1;− 1)
96
www.5balls.ru
2
4
б)
г)
y=9
Y
Y
10
8
8
6
6
y = –x
4
4
2
-9
-6
X
0
-3
2
X
3
-2
-4
-2
0
2
Ответ: (− 9;9).
Ответ: (− 2;4); (0;0).
№ 996
а) x2 = 1.
б) x2 = 4.
Y
8
y = x2
y=x
Y
2
8
6
6
y=4
4
4
2
y=1
4
2
X
-4
-2
0
2
4
-4
Ответ: x = 1, x = − 1.
в) x2 = 0.
-2
2
4
Ответ: x = 2, x = − 2.
г) x2 = − 1.
Y
y = x2
X
0
Y
y = x2
8
8
6
6
4
4
y=0
2
2
X
-4
-2
0
2
4
X
-4
-2
0
2
4
y = –1
Ответ: x = 0.
Ответ: решений нет.
97
www.5balls.ru
№ 997
а) x2 = 2x.
б) x2 = − 3x.
Y
y = x2
Y
8
8
6
6
y = 2x
4
y = x2
4
2
2
X
-4
-2
0
2
4
X
-4
0
-2
2
4
y = –3x
Ответ: x = 0, x = 2.
в) x2 = − 3x.
Ответ: x = 0, x = 3.
г) x2 = 3x.
Y
8
Y
y = x2
y = x2
8
6
6
4
4
2
2
X
-4
-2
0
2
y = –3x
4
X
-4
0
-2
2
y = 3x
Ответ: x = 0, x = 2.
Ответ: x = 0, x = − 3.
№ 998
а) x2 = x + 6.
б) x2 = − x + 2.
y = x2
Y
8
y=x+6
8
y = –x + 2
6
6
4
4
4
Y
y = x2
2
2
X
X
-4
-2
0
Ответ: x = − 2, x = 3.
2
4
-4
-2
0
Ответ: x = − 2, x = 1
98
www.5balls.ru
2
.
4
в) x2 = x + 2.
y=x
г) x2 = 3x.
Y
2
Y
y = x2
8
8
y=x+2
6
6
4
4
2
y = 3x
2
X
-4
0
-2
2
X
4
-4
0
-2
2
Ответ: x = − 1, x = 2.
Ответ: x = 0, x = 3.
№ 999
а) x2 = 2x + 3.
б) x2 = − 3x − 2.
y=x
Y
2
8
8
6
6
y = –3x– 2
4
Y
y = x2
4
2
2
y = 2x + 3
-4
4
X
X
0
-2
2
Ответ: x = − 1, x = 3.
в) x2 = − 2x + 3.
Y
-4
4
0
-2
4
Ответ: x = − 2, x = − 1.
г) x2 = 3x − 2.
Y
y = x2
y=x
8
2
8
6
6
4
4
2
2
y = 3x – 2
2
y = –2x+ 3
X
X
-4
-2
0
Ответ: x = − 3, x = 1.
2
4
-4
-2
0
2
4
Ответ: x = 1, x = 2.
99
www.5balls.ru
№ 1000
а) x = − x + 4;
2x = 4; x = 2;
y = − 2 + 4 = 2.
Ответ: (2;2).
б) x = x2;
x2 − x = 0;
x = 0, y = 0; x = 1 y = 1.
Ответ: (0;0),(1;1).
№ 1001
а) 3x = 2x − 4;
x = − 4;
y = 3 · (− 4) = − 12.
Ответ: (− 4;− 12).
б) − x = x2;
x2 + x = 0;
x = 0, y = 0; x = − 1, y = 1.
Ответ: (− 1;1).
№ 1002
а) x2 + 2x − 3; x2 = − 2x + 3.
б) x2 − 4x = − 3; x2 = 4x − 3.
Y
y=x
8
Y
y = x2
2
8
6
6
4
4
y = –2x + 3
2
2
X
-4
0
-2
2
4
X
-4
-2
0
2
4
y = 4x – 3
Ответ: x = − 3, x = 1.
2
Ответ: x = 1, x = 3.
2
г) x2 − x = 6; x2 = x + 6.
в) x + 4x + 3; x = − 4x − 3.
y = –4x – 3
Y
Y
y = x2
8
8
y = x2
6
6
y=x+6
4
4
2
2
X
X
-4
-2
0
Ответ: x = − 3, x = − 1.
2
4
-4
-2
0
2
Ответ: x = − 2, x = 3.
100
www.5balls.ru
4
№ 1003
а) x2 + x + 2 = 0; x2 = − x − 2.
4
3
2
1
-3
-2
y=x
2
y = x2
X
-1 -10
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
1
2
-3
-2
3
y = –x – 2
2
1
2
3
Y
4
3
2
1
X
1
X
Ответ: решений нет.
г) x2 + x+ 8 = 0; x2 = − x − 8.
Y
-1 -10
Y
4
3
2
1
-3 -2 -1 -10
-2
-3
y = x – 4 -4
-5
-6
-7
-8
Ответ: решений нет.
в) x2 − x + 6 = 0; x2 = x − 6.
4
3
2
1
б) x2 − x + 4 = 0; x2 = x − 4.
Y
3
-3
-2
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
X
-1 -10
1
2
3
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
Ответ: решений нет.
Ответ: решений нет.
№ 1004
а) x2 − 2x + 1 = 0; x2 = 2x − 1.
в) x2 + 2x + 1 = 0; x2 = − 2x − 1.
8
8
6
6
4
4
Y
y=x
Y
y = x2
2
y = 2x – 1
2
y = –2x – 1
2
X
X
-4
-2
Ответ: x = 1.
0
2
4
-4
-2
0
2
4
Ответ: x = − 1.
101
www.5balls.ru
б) x2 + 4x + 4 = 0; x2 = − 4x − 4.
4
3
2
1
-3
-2
г) x2 − 4x + 4 = 0; x2 = 4x − 4.
Y
4
3
2
1
X
-1 -10
1
2
3
-3
-2
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
Ответ: x = − 2.
№ 1005
а) x2 = 1,5x − 6.
-2
-3
-2
2
3
б) x2 = Ошибка!x − 5.
Y
y = x2
4
3
2
1
-1-10
4
3
2
1
y = x2
X
-1 -10
1
2
-3
3
-2
4
3
2
1
X
-2
-3
-4
y = –1,5x – 6 -5
-6
-7
-8
Ответ: решений нет.
X
1
y=
2
3
5
x–5
3
Ответ: решений нет.
г) x2 = − Ошибка!x − 5.
Y
1
Y
-1 -10
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
y = –1,5x – 6
Ответ: решений нет.
в) x2 = − 1,5x − 6.
y=x
1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
2
X
-1 -10
Ответ: x = 2.
4
3
2
1
-3
Y
2
3
-3
y=–
-2
5
3
-1-10
Y
y = x2
X
1
2
-2
-3
-4
x – 5-5
-6
-7
-8
Ответ: решений нет.
102
www.5balls.ru
3
§ 34. Что означает в математике запись y = f(x)
№ 1006
а) 0; б) − 16; в) 8; г) 4.
№ 1007
а) 8a; б) − 8a; в) 16a; г) − 32a.
№ 1008
а) 8(b + 2) = 8b + 16;
в) 8(b − 8) = 8b − 64;
б) 8(b − 1) = 8b − 8;
г) 8(b + 7) = 8b + 56.
№ 1009
а) 5 · Ошибка!+ 6 = 5,25 + 6 = 11,25;
б) 5 · (− 3) + 6 = − 9;
в) 5 · 0,5 + 6 = 2,5 + 6 = 8,5;
г) 5 · 6Ошибка!+ 6 = 5 · 6,4 + 6 = 32
+ 6=38.
№ 1010
а) 5a + 6; б) 15a + 6; в) − 35a + 6; г) − 25a + 6.
№ 1011
а) 5(a + 1) + 6 = 5a + 11;
в) 5(a − 1) + 6 = 5a + 1;
б) 5(a − 3) + 6 + 1 = 5a − 8;
г) 5(a + 4) + 6 − 2 = 5a + 24.
№ 1012
а) 2; б) − 3a + 2; в) − 3 + 2 = − 1; г) − 3 · 2a + 2 + 4 = − 6a + 6.
№ 1013
а) − 3 · 8 + 2 + 8 = − 14;
в) − 3x + 2 − 2 = − 3x;
б) (− 3x + 2) 2 = 9x2 − 12x + 4;
г) (− 3x + 2 − 2) 2 = 9x2.
№ 1014
а) −3 · (− x) + 2 = 3x + 2;
в) − 3 · (− 8x) + 2 = 24x + 2;
б) − 3 · 2x + 2 = − 6x + 2;
г) − 3 · 4x + 2 = − 12x + 2.
№ 1015
а) 1,6(x + 2) + 3,5 = 1,6x + 3,2 + 3,5 = 1,6x + 6,7;
б) 1,6(x − 5) + 3,5 = 1,6x − 8 + 3,5 = 1,6x − 4,5;
в) 1,6(x + 9) + 3,5 = 1,6x + 14,4 + 3,5 = 1,6x + 17,9;
г) 1,6(x − 6) + 3,5 = 1,6x − 9,6 + 3,5 = 1,6x − 6,1.
№ 1016
а) 3,7x − 5,2;
б) 3,7x2 − 5,2;
в) − 3,7 · 2x3 − 5,2 = − 7,4x3 − 5,2;
г) 3,7x − 5,2 + 5,2 = 3,7x.
103
www.5balls.ru
№ 1017
а) 4; б) 9a2; в) 9; г) Ошибка!a2.
№ 1018
а) x2;
в) (5 − x) 2 = x2 − 10x + 25;
б) (x + 2) 2 = x2 + 4x + 4;
г) (2x + 3) 2 − 9 = 4x2 + 12x.
№ 1019
а) (x2) 2 = x4;
в) (x3) 2 = x6;
б) (x2 − 2) 2 = x4 − 4x2 + 4;
г) (x3 + x) 2 = x6 + 2x4 + x2.
№ 1020
а) (x6) 2 = x12; б) (− x6) 2 = x12; в) (3x5) 2 = 9x10; г) (− 3x5) 2 = 9x10.
№ 1021
а) − 2+ 5=3; б) − 2· (− 3) + 5=11; в) 3 · (− 4) − 2= − 14; г) − 2 · 0 + 5= 5.
№ 1022
а) − 5 + 5,7 = 0,7; б) − 20 + 5,7 = − 14,3; в) − 5; г) − 5.
№ 1023

x2
f(x)= 
 − 4x + 7
x < −4 ,5
;
x ≥ 4 ,5
а) f(− 5) = (− 5) 2 = 25;
в) f(3) = − 4 · 3 + 7 = − 5;
б) f(− 4) = − 4 · (− 4) + 7 = 23;
г) f(− 4,5) = − 4 · (− 4,5) + 7 = 25.
№ 1024
−4 ≤ x ≤ 0
 −2
;
4
7
0 < x <1
x
−
+

а) y = 
8
7
6
5
4
3
2
1
-2 -10
-2
y = –2 -3
-4
x2
б) y = 
9
Y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
y = –4х + 7
X
2
−2≤ x ≤3
.
3< x≤5
4
-4
104
www.5balls.ru
-2 -10
Y
y=9
y = х2
X
2
4
№ 1025
x2
x
2
x
−3 ≤ x ≤ 0
;
0<x≤4
а) y = 
x
б) y = 
Y
y = х2
9
8
7
6
5
4
3
2
1
8
6
4
y=х
2
X
0
-2
2
4
−2 ≤ x ≤ 0
.
x>0
Y
y = х2
X
-4
-2 -10
-2
y=х
2
4
№ 1026
− 4 ≤ x ≤ −1
 1
;
2
+
3
−1 < x ≤ 1
x

− 5 ≤ x ≤ −2
 0
.
+
2
−2< x ≤ 2
x

а) y = 
6
Y
6
y = 2х + 3
5
5
4
4
3
3
1
-2
Y
y=х+2
2
2
y=1
-4
б) y = 
X
0
-1
2
-4
4
1
y=0
-2
X
0
-1
2
4
№ 1027
 x + 3 − 2 ≤ x ≤ −1
;
2
−1 < x ≤ 2
 x
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-4
-2 -10
 x2
− 3 ≤ x ≤ −2
2 x + 8
−2 < x ≤ 0
б) y = 
а) y = 
Y
.
Y
8
6
4
2
X
X
2
4
-4
-2
0
2
4
105
www.5balls.ru
№ 1028
а) − 3 ≤ x ≤ 4 (из условия);
б) y = 9 − наибольшее значение (из графика);
y = 0 − наименьшее значение (из графика);
в) − 3 ≤ x ≤ 0 промежуток убывания (из графика);
0 < x ≤ 4 промежуток возврастания (из графика);
г) точек разрыва нет.
№ 1029
а) − 2 ≤ x ≤ 2 (из условия);
б) y = 4 − наибольшее значение (из графика);
y = 0 − наименьшее значение (из графика);
в) − 1 ≤ x ≤ 0 промежуток убывания (из графика);
− 2 < x ≤ − 1, 0 ≤ x ≤2 промежутки возврастания (из графика);
г) x = − 1 точка разрыва (из графика).
№ 1030
 x2 − 4 ≤ x ≤ 1
;
f(x)= 
2 x 1 < x ≤ 5
а) f(− 4) = (− 4)2 = 16;
б) f(1) = 12 = 1;
в) f(− 4,5) не корректно;
т.к. x = − 4,5;
не пренадлежит области определения;
г) f(4,9) = 2 · 4,9 = 9,8.
№ 1031
а) нет т.к. 12 ≠ 2 · 1;
б) нет т.к. при − 1 ≤ x < 0 y = f(x) задана неоднозначно.
№ 1032
а) f(− 3) = − (− 3) + 3,4 = 3 + 3,4 = 6,4;
б) f(− 2) = − 2 · (− 2) + 5 = 4 + 5 = 9;
в) f(3) = − 2 · 3 + 5 = − 6 + 5 = − 1;
г) f(4) = 42 = 16.
№ 1033
а) f(− 5,4) = 1,5 · (− 5,4) + 2,9 = − 8,1 + 2,9 = − 5,2;
б) f(− 3,5) = (− 3,5)2 = 12,25;
в) f(3,5) = 3,52 = 12,25;
г) f(5,5) = − 7,4 + 3,2 · 5,5 = − 7,4 + 17,6 = 10,2.
106
www.5balls.ru
№ 1034
 5 x<0
;
− 2 x ≥ 0
а) y = 
5
5
y
4
4
3
3
2
2
1
-5 -4
-3 -2
-1 0
-1
y
1
x
1
2
3
4
-5 -4
5
-3 -2
x
-1 0
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5
1
2
3
4
5
1 x > 0
.
4 x ≤ 0
б) y = 
3
− 7
в) y = 
x≤0
x>0
3
;
y
6
5
2
1
-5 -4
-3 -2
-1 0
-1
4
x
1
2
3
4
3
5
2
1
-2
-3
-4
y
-5 -4
-3 -2
-1 0
-1
-5
-2
-6
-3
-7
-4
x
1
2
3
4
5
6 x≥0
.
− 1 x < 0
г) y = 
107
www.5balls.ru
№ 1035
x2

а) y =  x
x2

− 2 ≤ x ≤ −1
−1 < x ≤ 1
− 1 − 4 ≤ x ≤ −1

−1 < x ≤ 1
 x2
1< x ≤ 3

б) y = 2 x
;
1< x ≤ 2
Y
.
Y
8
8
6
6
4
4
2
2
X
-4
-2
0
2
4
X
-4
0
-2
2
4
№ 1036
 x + 2 − 4 ≤ x ≤ −1

а) y =  0
−1 < x ≤ 1
 x2
1< x ≤ 3

 x
− 6 ≤ x ≤ −2
 2
 2
−2 < x ≤1
б) y =  x
3 − 2 x
1< x ≤ 5


y
4
;
Y
8
2
x
6
-6
X
-2
-2
0
2
-4
2
-4
-4
-2
4
0
.
2
4
-6
-8
№ 1037
а) область определения − ∞ < x < + ∞; наименьшее y = 0;
наибольшее отсутствует; функция является непрерывной;
значение функции равно нулю при x = 0;
значение функции больше нуля при x ≠ 0;
значение функции меньше нуля не существует;
возврастает при x > 0; убывает при x < 0;
108
www.5balls.ru
4
6
б) область определения от − ∞ < x < + ∞;
наименьшее отсутствует; наибольшее y = 2;
функция является непрерывной;
значение функции равно нулю при x = 0;
значение функции больше нуля при x > 0;
значение функции меньше нуля при x < 0;
возврастает при − ∞ < x < 1;
в) область определения − ∞ < x < + ∞;
наименьшее отсутствует; наибольшее y = 2;
функция является непрерывной;
значение функции равно нулю при x = 0;
значение функции больше нуля при x < 0;
значение функции меньше нуля при x > 0;
убывает при − 2 < x < ∞;
г) область определения − ∞ < x < + ∞;
наименьшее y = 2; наибольшее отсутствует;
функция является непрерывной;
значение функции равно нулю не существует;
значение функции больше нуля на всей числовой оси;
значение функции меньше нуля не существует;
возврастает при 2 < x < ∞.
№ 1038
а) область определения − ∞ < x < + ∞; наименьшее отсутствует;
наибольшее отсутствует; функция является непрерывной;
значение функции равно нулю при x = 0;
значение функции больше нуля при x < 0;
значение функции меньше нуля при x > 0;
убывает на всей числовой оси;
б) область определения − 1 < x < + ∞; наименьшее y = 0;
наибольшее y = 4; функция является непрерывной;
значение функции равно нулю при x = 0;
значение функции больше нуля при − 1 < x < 0 и 0 < x < + ∞;
значение функции меньше нуля отсутствует;
возврастает при 0 < x < 2; убывает при − 1 < x < 0;
в) область определения − 5 ≤ x ≤ 2;
наименьшее y = 0; наибольшее y = 4;
функция является непрерывной;
значение функции равно нулю при x = 0;
значение функции больше нуля при 0 < x ≤ 2 и − 5 ≤ x < 0;
значение функции меньше нуля не существует;
возврастает при 0 < x < 2; убывает при − 1 < x < 0;
109
www.5balls.ru
г) область определения − 2 < x < 5;
наименьшее y = 0; наибольшее отсутствует;
функция является непрерывной;
значение функции равно нулю при x = 0;
значение функции больше нуля при 0 < x < 5 и − 2 < x < 0;
значение функции меньше нуля не существует;
возврастает при 0 < x < 5; убывает при − 2 < x < 0.
№ 1039
а) область определения от − ∞ < x < + ∞; наименьшее y = 0;
наибольшее отсутствует; функция является непрерывной;
значение функции равно нулю при x = 0;
значение функции больше нуля при x ≠ 0;
значение функции меньше нуля не существует;
возврастает при 0 < x ≤ 2; убывает при − ∞ < x < 0;
б) область определения − 4 ≤ x ≤ 2; наименьшее y = − 2;
наибольшее y = 4; функция является непрерывной;
значение функции равно нулю при x = 0;
значение функции больше нуля при 0 < x ≤ 2;
значение функции меньше нуля при − 4 ≤ x < 0;
возврастает при − 2 < x < 2;
в) область определения − ∞ < x < + ∞; наименьшее y = 0;
наибольшее отсутствует; функция является непрерывной;
значение функции равно нулю при x = 0;
значение функции больше нуля при x ≠ 0;
значение функции меньше нуля не существует;
возврастает при 0 < x < 1; убывает при − ∞ < x < 0;
г) область определения − 5 < x < 2; наименьшее y = 0;
наибольшее отсутствует; функция является непрерывной;
значение функции равно нулю при x = 0;
значение функции больше нуля при x ≠ 0;
значение функции меньше нуля не существует;
возврастает при 0 < x < 2; убывает при − 1 < x < 0.
№ 1040
а) область определения от − ∞ < x < + ∞;
наименьшее y = 0; наибольшее отсутствует;
функция является непрерывной;
значение функции равно нулю при x = 0;
значение функции больше нуля при x ≠ 0;
значение функции меньше нуля не существует;
возврастает при x > 0; убывает при x < 0;
110
www.5balls.ru
б) область определения − 4 < x < ∞; наименьшее y = 0; наибольшее
отсутствует; функция не является непрерывной, точка разрыва x = 1;
значение функции равно нулю при x = 0;
значение функции больше нуля при − 4 < x < 0 и 0 < x < ∞;
значение функции меньше нуля не существует;
возврастает при 0 < x < ∞; убывает при − 4 < x < 0;
в) область определения − ∞ < x < 1 и 1 < x < ∞; наименьшее y = 0;
наибольшее отсутствует; функция является непрерывной;
значение функции равно нулю при x = 0;
значение функции больше нуля при − ∞ < x < 1 и 1 < x < ∞;
значение функции меньше нуля не существует;
возврастает при 0 < x < 1 и 1 < x < ∞; убывает при x < 0;
г) область определения − ∞ < x < − 1, − 1 < x < 2 и 2 < x < ∞;
наименьшее y = 0; наибольшее отсутствует;
функция является непрерывной;
значение функции равно нулю при x = 0;
значение функции больше нуля при на всей области определения
кроме точки x = 0;
значение функции меньше нуля не существует;
возврастает при 0 < x < 2 и 2 < x < ∞;
убывает при − ∞ < x < − 1 и − 1 < x < 0.
№ 1041
x>0
;
x<0
б) y = 
 2 − ∞ < x < −2
;
− x − 2 ≤ x < ∞
г) y = 
 x
− x
а) y = 
2 x − ∞ < x < 2
;
2≤x<∞
2
2 − ∞ < x < 2
.
x 2 ≤ x < ∞
в) y = 
№ 1042
 x2
x2
−∞ < x < 0
;
− x 0 ≤ x < ∞
а) y = 
1
2
x
в) y = 
− 5 ≤ x < −1
−1 ≤ x ≤ 2
б) y = 
4
x2
г) y = 
;
x
−1 < x < 2
;
2≤x<∞
−2 < x <1
.
1≤ x < 5
№ 1043
x2

а) y =  x
2

−∞ < x < 0
0≤ x<2
2≤ x<∞
;
 −2

− 4 ≤ x < −2
−2 ≤ x <1
3 x − 2
1≤ x ≤ 2

б) y =  x
;
111
www.5balls.ru
− x − ∞ < x < 0

0 ≤ x <1
3
1≤ x < ∞

в) y =  3x
− 5 < x < −1
−1 ≤ x < 0
 3

г) y = − 3 x
;
 x2

.
0≤x<2
№ 1044
x2
а) y = 
x
− x − 4 < x < −1

−1 ≤ x < 1
 2x
1≤ x < ∞

−∞ < x <1
;
1≤ x < ∞
б) y =  x 2
− 2 x − ∞ < x < 0

0 ≤ x <1
в) y =  3 x
 3x
1< x < ∞

x2

г) y =  x 2
x2

;
− ∞ < x < −1
−1 < x < 2
2<x<∞
№ 1045
x2
f(x)= 
0
−2≤ x ≤ 0
0< x≤3
;
а) f(− 2) = (−2)2 = 4,
f(0) = 02 = 0, f(2) = 0,
f(− 1) = (− 1)2 = 1,
f(3) = 0;
б)
6
Y
5
4
3
2
1
-3
-2
-1 0
-1
X
1
2
3
-2
в) область определения − 4 < x < 3;
наименьшее y = 0; наибольшее y = 4;
функция является непрерывной;
значение функции равно нулю при 0 < x ≤ 3;
значение функции больше нуля при − 2 ≤ x < 0;
значение функции меньше нуля не существует;
убывает при − 2 < x < 0.
112
www.5balls.ru
;
.
№ 1046
 x2 − 2 ≤ x ≤ 0

f ( x ) = 4 x 0 < x ≤ 1
4
1< x < 3

;
а) f(− 1)=(− 1)2 = 1, f(2) = 4, f(1) = 4 · 1 = 4, f(1,5) = 4, f(− 2) = (−2)2 =4;
б)
6
Y
5
4
3
2
1
-3
X
-1 0
-1
-2
1
2
3
-2
в) область определения − 2 ≤ x < 3; наименьшее y = 0; наибольшее
y = 4; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при − 2 < x < 3; значение функции меньше нуля не существует; возврастает при 0 < x < 1;
убывает при − 2 < x < 0.
№ 1047
− 1 − 3 ≤ x ≤ −1

f ( x ) =  x2 − 1 < x ≤ 1
x
1< x ≤ 6

;
а) f(− 2) = − 1, f(4) = 4, f(− 1) = − 1, f(1) = 12 = 1, f(5) = 5;
б)
y
6
4
2
x
-3 -2 -1 0
1
2
3
4
5
6
113
www.5balls.ru
в) область определения − 3 ≤ x ≤ 6;
наименьшее y = 0; наибольшее y = 6;
функция не является непрерывной, точка разрыва x = − 1;
значение функции равно нулю при x = 0;
значение функции больше нуля при − 1 < x < 0, 0 < x ≤ 6;
значение функции меньше нуля при − 3 ≤ x ≤ − 1;
возврастает при 0 < x < 1; убывает при − 2 < x < 0.
№ 1048
− 3 ≤ x ≤ −1
 1

f ( x ) =  x2
−1 < x ≤ 2
2 x + 2
2<x<4

;
а) f(− 3) = 1,
f(2) = 22 = 4,
f(0) = 02 = 0,
f(− 1) = 1,
2
1
1 1
f =  = ;
2
2
4
   
б)
10
9
8
7
6
y
5
4
3
2
1
-3 -2 -1 0
x
1 2
3 4 5
в) область определения − 3 ≤ x < 4;
наименьшее y = 0;
наибольшее y = 10;
функция не является непрерывной;
точка разрыва x = 2;
значение функции равно нулю при x = 0;
значение функции больше нуля при − 3 ≤ x < 0, 0 < x < 4;
значение функции меньше нуля при отсутствует;
возврастает при 0 < x < 2, 2 < x < 4;
убывает при − 1 < x < 0.
114
www.5balls.ru
№ 1049
а) y =
2x2
= 2x ;
x
y
y
4
4
2
2
x
-5 -4 -3 -2 -1 0
1
x
-5 -4 -3 -2 -1 0
2 3 4 5
-2
-2
-4
-4
б) y = −
1
2 3 4 5
x2
= −x .
x
№ 1050
а) y =
x2 − 9
= x+3 ;
x−3
y
y
4
4
2
2
x
-5 -4 -3 -2 -1 0
1
2 3 4 5
x
-5 -4 -3 -2 -1 0
-2
-2
-4
-4
б) y =
1 2 3
4 5
x2 − 4
= x−2.
x+2
115
www.5balls.ru
№ 1051
а) y =
x3 + 3x 2
= x2 ;
x+3
б) y =
x3 − x 2
= x2 .
x −1
Y
6
8
5
4
6
3
4
2
1
2
X
-4
-2
Y
0
2
-3
-2
4
-1
X
0
-1
1
2
3
-2
№ 1052
а) y =
x4 − x2
= x2 ;
(x − 1)(x + 1)
6
б) y =
Y
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
-3
-2
x4 − 4 x2
= x2 .
(x − 2)(x + 2)
-1 0
-1
1
X
1
2
3
Y
-3
-2
-2
-1 0
-1
-2
116
www.5balls.ru
X
1
2
3
ГЛАВА 8. Системы двух линейных
уравнений с двумя переменными
§ 35. Основные понятия
№ 1053
(1;1)
а) 7x + 3y = 10; 7 · 1 + 3 · 1 = 10; является;
б) 6x – 2y = 4; 6 · 1 – 2 · 1 = 4; является;
в) 6x + 8y = 1; 6 · 1+ 8 · 1 = 14; не является;
г) 15x – 2y = 3. 15 · 1 · 2 · 1 =3. является.
№ 1054
3x – 2y = 5; (1;– 1), (3;2), (5;5).
№ 1055
а) 2x + y = 9; б) x + 3y = 0; в) 2x – 6y = – 2; г) 3x + 4y = 8.
№ 1056
x + y =15; (1;14), (2;13), (3;12), (4;11), (5;10), (6;9), (7;8),
(8;7), (9;6), (10;5), (11;4), (12;3), (13;2), (14;1).
№ 1057
4 x − 7 y = 30 4 ⋅ 60 − 7 ⋅ 30 = 30
.

4 x − 5 y = 90 4 ⋅ 60 − 5 ⋅ 30 = 90
а) 
Данная пара чисел (60;30) является решением системы.
3 x + 5 y = 330 3 ⋅ 60 + 5 ⋅ 30 = 330
.

6 x − 8 y = 110 6 ⋅ 60 − 8 ⋅ 30 ≠ 110
б) 
Данная пара чисел (60;30) не является решением системы.
№ 1058
2 x + 11 y = 15
;

10 x − 11y = 9
2 ⋅ 20 + 11 ⋅ 18 ≠ 15
10 ⋅ 20 − 11 ⋅ 18 ≠ 9
а) (20;18); 
;
не является решением системы;
2 ⋅ 2 + 11 ⋅ 1 = 15
;
10 ⋅ 2 − 11 ⋅ 1 = 9
б) (2;1); 
является решением системы;
117
www.5balls.ru
2 ⋅ 1 + 11 ⋅ 2 ≠ 15
;
10 ⋅ 1 − 11 ⋅ 2 ≠ 9
в) (1;2); 
не является решением системы;
2 ⋅ 3 + 11 ⋅ ( −1 ) ≠ 15
;
10 ⋅ 3 − 11 ⋅ ( −1 ) ≠ 9
г) (3;– 1); 
не является решением системы.
№ 1059
4 x − 3 y = 7
;

5 x + 2 y = 26
4 ⋅ 1 − 3 ⋅ 2 ≠ 7
;
5 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 ≠ 26
а) (1;2); 
не является решением системы;
4 ⋅ 4 − 3 ⋅ 3 = 7
;
5 ⋅ 4 + 2 ⋅ 3 = 26
б) (4;3); 
является решением системы;
в)(– 2;– 5);
4 ⋅ ( −2 ) − 3 ⋅ ( −5 ) = 7
;

5 ⋅ ( −2 ) + 2 ⋅ ( −5 ) ≠ 26
не является решением системы;
г) (0;1);
4 ⋅ 0 − 3 ⋅ 1 ≠ 7
;

5 ⋅ 0 + 2 ⋅ 1 ≠ 26
не является решением системы.
№ 1060
(12;15);
 x + y = 27
12 + 15 = 27
27 = 27
;


2 x − 4 y = −36 2 ⋅ 12 − 4 ⋅ 15 = −36 − 36 = −36
2 x − y = 9 2 ⋅ 12 − 15 = 9 9 = 9
б) 
.


4 y = 5 x
4 ⋅ 15 = 5 ⋅ 12 60 = 60
а) 
№ 1061
x – y = 2; x + y =8;
а) (10;8);
б) (6;2);
в) (5;3);
г) (100;100).
118
www.5balls.ru
№ 1062
x = y
y = x
.

3
x
−
y
=
4

 y = 3x − 4
−3x + y = 0  y = 3 x
.

4 x − y = 3  y = 4 x − 3
а) 
в) 
Y
12
Y
5
4
3
2
1
-4
9
6
3
X
X
-2 -10
-2
-3
-4
-5
2
-6
4
-4
-2
0
4
6
-6
Ответ: (2;2).
Ответ: (3;9).
 y = 5x
;
3x + y = 0
x − 4 y = 0
;
x + y = 5
г) 
б) 
x

y =
.
4

y = 5 − x

 y = 5x
.

 y = −3x
6
Y
4
3
4
2
2
-4 -3 -2 -1 0
-2
Y
5
6
1
X
1
2
3
4
-3 -2 -1 0
-1
X
1
2 3 4
5
6
-2
-4
-3
-6
Ответ: (0;0).
2
-3
Ответ: (4;1).
119
www.5balls.ru
№ 1063
x − y = 1
;
x + 3 y = 9
а) 
y = x −1

x.

y = 3 − 3

Y
6
5
4
3
2
1
X
0
-1
-2
-3
-4
-3
3
6
Ответ: (3;2).
3 x − 2 y = 12
в) 
 x + 2 y = −4
3

 y = 2 x − 6
.

y = − x − 2

2
4
Y
2
-6
-4
-2
0
X
2
-2
-4
-6
-8
Ответ: (2;– 3).
120
www.5balls.ru
4
6
2 x + y = 1
;
2 x + y = 3
в) 
 y = 1 − 2x
.

 y = 3 − 2x
4
Y
3
2
1
-4
-3
-2 -1 0
-1
X
1
2
3
4
-2
-3
-4
Ответ: решений нет,
т.к. прямые не пересекаются.
x − 3y = 2
г) 
2 x − 6 y = 4
x 2

 y = 3 − 3
.

y = x − 2

3 3
4
Y
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 0
-1
X
1 2 3 4 5
-2
-3
-4
Ответ: решений бесконечно много,
т. к. прямые совпадают.
121
www.5balls.ru
№ 1064
 x + y = −5
;
3x − y = −7
x − 2 y = 1
;
y − x = 1
б) 
а) 
x 1

y = −
2 2.

y = x +1

 y = −5 − x
.

 y = 3x + 7
Y
4
8
3
6
2
4
1
2
-6
-4
-2
Y
X
0
-2
-4
2
X
0
-2
-1
2
4
-2
-4
-3
-6
-4
Ответ: (– 3;– 2).
Ответ: (– 3;2).
№ 1065
x − 2 y = 7
;
3 x + 2 y = 5
 x + y = −2
;
2 x − y = −4
б) 
а) 
x − 2 y = 7
.

3x + 2 y = 5
4
 y = −2 − x
.

 y = 2x + 4
Y
5
3
4
2
3
1
-2
0
-1
-2
2
X
2
4
6
1
8
-4
-2
0
-1
-3
-2
-4
-3
Ответ: (– 3;2).
Y
Ответ: (– 2;0).
122
www.5balls.ru
X
2
№ 1066
x 8

 y = 3 − 3
.

 y = 2 x − 10

3
3
x − 3y = 8
а) 
2 x − 3 y = 10
Y
X
1 2 3
4 5
6 7
X
-2 -10
-2
-3
-4
-5
-3
-6
Ответ: (2;– 2).
№ 1067
а) (0;6);
Y
5
4
3
2
1
3
-3 -2 -1 0
 y = 3x − 4

2
10 .

y = − 3 x + 3

3 x − y = 4
2 x + 3 y = 10
б) 
2
4
6
Ответ: (2;2).
б) (– 3;– 4);
в) (– 1;2);
г) (5;– 7).
5 x − 3 y = −18 2 x − 4 y = 10 3 x + 4 y = 5 2 x + y = 3
.




7 x + 2 y = 12  x + 5 y = −23 6 x − y = −8 10 x + 5 y = 15
№ 1068
5 x − 2 y = 6
а) 
7 x + 2 y = 12
5
4
3
2
1
-4
-2 -10
-2
-3
-4
-5
5

 y = 2 x − 3
.

y = − 7 x + 3
2

Y
6
5
4
3
2
1
X
2
Ответ: (1;– Ошибка!).
4
7
1

 y = 3 x + 3
.

 y = 4 x + 17
5
5

7 x − 3 y = −1
б) 
4 x − 5 y = −17
6
-4
-2 -10
-2
-3
-4
Y
X
2
4
Ответ: (2;5).
123
www.5balls.ru
№ 1069
x + y = 8
;
x − y = 4
2 x + y = 1
;
2 x − y = 7
а) 
б) 
y = 8 − x
.

y = x − 4
 y = 1 − 2x
.

 y = 2x − 7
Y
8
Y
4
2
X
X
-4
0
4
-6
8
-4
0
-2
2
4
6
-2
-4
-4
-6
-8
Ответ: (6;2).
Ответ: (2,– 3).
 x − y = 15
;
3x + y = 5
4 x + 3 y = 6
;
2 x + y = 4
в) 
г) 
4

y = 2 − x
3 .

 y = 4 − 2x

 y = x − 15
.

 y = −3x + 5
6
Y
4
10
2
Y
5
X
X
-4
-2
0
2
4
6
-10
-5
0
-5
-2
-10
-4
-15
-20
Ответ: (3;– 2).
124
Ответ: (5;– 10).
www.5balls.ru
5
10
15
20
№ 1070
6
4

 y = 5 x − 5
.

y = 6 x − 1

5
2
6 x − 5 y = 4
а) 
12 x − 10 y = 5
1
y = x −1
x − y = 1

2.

−
=
3
x
3
y
2

y = x − 3

б) 
Y
Y
1.5
1
0.5
X
0
-1
1
-1.5
X
-0.5 0
-0.5
-1
0.5
1
1.5
-1
-1
-1.5
Ответ: решений нет,
т.к. прямые паралельны.
8 x + 7 y = 2
в) 
16 x + 14 y = 3
0.4
Ответ: решений нет,
т.к. прямые паралельны.
8
2

 y = − 7 x + 7
.

y = − 8 + 3
7 16

2 x + 3 y = 12
г) 
4 x + 6 y = 0
6
Y
2

 y = − 3 x + 4
.

y = − 2 x
3

Y
4
2
0.2
X
-2
X
0
0.2
Ответ: решений нет,
т.к. прямые паралельны.
0
2
4
6
-2
0.4
-4
Ответ: решений нет,
т.к. прямые паралельны.
125
www.5balls.ru
№ 1071
x + y = 0
y = −x
;

5
x
+
5
y
=
0

y = −x
а) 
уравнения равны следовательно система имеет бесконечно много
решений;
1

 y = x − 2
;

y = x − 1
2

8 x − 8 y = 4
б) 
2 x − 2 y = 1
уравнения равны следовательно система имеет бесконечно много
решений;
12 x + 12 y = 24  y = 2 − x
;

x + y = 2
y = 2 − x
в) 
уравнения равны следовательно система имеет бесконечно много
решений;
3 x − y = 5
 y = 3x − 5
;

12
x
−
4
y
=
20

 y = 3x − 5
г) 
уравнения равны следовательно система имеет бесконечно много
решений.
№ 1072
3

y = x − 4
;
2
y = x − 4

а) 3x – 2y = 8 
5
1

y = x +
4
4;
y = x

б) – 5x + 4y = 1 
3
2

y = − x −
7
7;
 y = 2x + 1

в) – 3x – 7y = 2 
5
3

y = − x +
6
2.
y = x + 6

г) 5x + 6y = 9 
№ 1073
16 x + 2 y = 10
3 x − 2 y = 1
7 x + 8 y = 4
x − y = 3
; б) 
; в) 
; г) 
.
8
x
+
y
=
5
6
x
−
4
y
=
2
14
x
+
16
y
=
8



5 x − 5 y = 15
а) 
126
www.5balls.ru
№ 1074
7 x − 5 y = 3
6 x + 11y = 8
; б) 
;
7
x
−
5
y
=
1

12 x + 22 y = 8
а) 
45 x − 31 y = 13
54 x − 23 y = 40
; г) 
.
45 x − 31 y = 2
54 x − 23 y = 19
в) 
№ 1075
ax + 8y = 20;
а) (2;1) 2a + 8 · 1 = 20;
2a = 12;
a = 6;
б) (– 3;– 2) – 3a + 8 · (– 2) = 20;
– 3a = 36;
a = – 12.
№ 1076
 x + ay = 35
5 + 6a = 35
6a = 30 a = 5
;



bx + 2 y = 27 5b + 6 ⋅ 2 = 27 5b = 15 b = 3
а) 
ax − 3 y = 7 10a − 3 ⋅ 5 = 7 10a = 22
a = 2 ,2
.



5
x
+
by
=
26
5
⋅
10
−
3
b
=
26
−
3
b
=
−
24



b = 8
б) 
№ 1077
4
11

 y = − 3 x + 3
.

y = − 5 x + 6

2
ax + 3 y = 11 5a + 3 ⋅ (− 3) = 11 4 x + 3 y = 11


5 x + 2 y = 12 5a = 20; a = 4 5 x + 2 y = 12
6
Y
4
2
X
-3 -2 -1 0
1
2
3
4
5
6
-2
Ответ: (2;1).
127
www.5balls.ru
§ 36. Метод подстановки
№ 1078
а) 2x + 4y = 4, y = 1 – Ошибка!; б) x + 6y = 9, y = Ошибка!–
Ошибка!;
в) 3a + b = 12, b = 12 – 3a;
г) c + 8d = 15, c = 15 – 8d.
№ 1079
а) 6x + y = 18, y = 18 – 6x;
б) 4a + 5b = 20, a = 5 – Ошибка!b;
в) 18m – 12n = 3, m = Ошибка!n + Ошибка!;
г) 45p – 9q = 4, q =
5p – Ошибка!.
№ 1080
а) 3s – 2t = 8, t = Ошибка!s – 4; б) 7z + 4q = 11, z = Ошибка!–
Ошибка!q;
в) 9r – 13s = 17, r = Ошибка!s + Ошибка!;
г) 5u + 7v = 21, v =
3 – Ошибка!u.
№ 1081
 y = 3x − 1
;
2 x + 3 y = 8
y = 1 − 7x
;
4 x − y = 4
а) 
б) 
2x + 3 · (3x – 1) = 8;
2x + 9x – 3 = 8;
11x = 11; x = 1;
y = 3 · 1 – 1 = 2.
Ответ: (1;2).
4x – (1 – 7x) = 4;
4x – 1 + 7x = 4;
11x = 5; x = Ошибка!;
y = 1 – 7 · Ошибка! = – 2Ошибка!.
Ответ: (Ошибка!; – 2Ошибка!).
y = 3 − x
;
x + 2 y = 3
y = x −1
;
5 x + 2 y = 16
в) 
г) 
x + 2 · (3 – x) = 3;
x + 6 – 2x = 3;
–x = – 3;
x = 3;
y = 3 – 3 = 0.
Ответ: (3;0).
5x + 2 · (x – 1) = 16;
5x + 2x – 2 = 16;
7x = 18;
x = Ошибка!= 2Ошибка!;
y = 2Ошибка!– 1 = 1Ошибка!.
Ответ: (2Ошибка!; 1Ошибка!).
№ 1082
x = y + 2
;
3 x − 2 y = 9
x = 2 y − 8
;
 x − 3 y = −8
а) 
б) 
3 · (y + 2) – 2y = 9;
3y + 6 – 2y = 9;
y = 3;
2y – 8 – 3y = – 8;
– y = 0;
y = 0;
128
www.5balls.ru
x = 3 + 2 = 5.
Ответ: (5;3).
x = 2 · 0 – 8 = – 8.
Ответ: (– 8;0).
x = 2 y − 3
;
3 x + 2 y = 7
x = y + 8
;
x − 3y = 4
в) 
г) 
3 · (2y – 3) + 2y = 7;
6y – 9 + 2y = 7;
y = 2;
x = 2 · 2 – 3 = 1.
Ответ: (1;2).
y + 8 – 3y = 4;
– 2y = – 4;
y = 2;
x = 2 + 8 = 10.
Ответ: (10;2).
№ 1083
x = 4 y
;
 x + 5 y = 99
 y = 6x
 y = −4 x
; в) 
;
4
x
+
y
=
150

 x − y = 10
а) 
б) 
4y + 5y = 99;
9y = 99;
y = 11;
x = 44.
Ответ: (44;11).
4x + 6x = 150;
10x = 150;
x = 15;
y = 90.
Ответ: (15;90).
x – (– 4x) = 10;
5x = 10;
x = 2;
y = – 8.
Ответ: (2;– 8).
 x = −5 y
;
 x − 4 y = −18
г) 
– 5y – 4y = – 18;
– 9y = – 18;
y = 2;
x = – 10.
Ответ: (– 10;2).
№ 1084
 x = 10 y
;
2 x + 3 y = 46
 y = 1,5 x
;
2 y + 5 x = 64
а) 
б) 
2 · 10y + 3y = 46;
20y + 3y = 46;
23y = 46;
y = 2; x = 20.
Ответ: (20;2).
2 · 1,5x + 5x = 64;
3x + 5x = 64;
8x = 64;
x = 8; y = 12.
Ответ: (8;12).
 y = −2,5 x
;
5 x + 4 y = 75
 x = −0 ,5 y
;
− 6 x − 2 y = 9
в) 
г) 
5x + 4 · (– 2,5x) = 75;
5x – 10x = 75
x = – 15; y = 37,5;
Ответ: (– 15;37,5).
– 6 · (– 0,5y) – 2y = 9;
3y – 2y = 9;
y = 9; x = – 4,5.
Ответ: (– 4,5;9).
№ 1085
5 x − 3 y = 14
;
2 x + y = 10
x − 2 y = 5
;
2 x + y = 9
а) 
б) 
y = 10 – 2x;
5x – 3 · (10 – 2x) = 14;
5x – 30 + 6x = 14;
x = 5 + 2y;
2 · (5 + 2y) + y = 9;
10 + 4y + y = 9;
129
www.5balls.ru
11x = 44;
x = 4;
y = 10 – 2 · 4 = 2.
Ответ: (4;2).
 x + 5 y = 35
;
3 x + 2 y = 27
5y = – 1;
y = – 0,2;
x = 5 + 2 · (– 0,2) = 4,6.
Ответ: (4,6;– 0,2).
x + 3 y = 2
;
2 x + 3 y = 7
в) 
г) 
x = 35 – 5y;
3 · (35 – 5y) + 2y = 27;
105 – 15y + 2y = 27;
13y = 78;
y = 6;
x = 35 – 5 · 6 = 5.
Ответ: (5;6).
x = 2 – 3y;
2 · (2 – 3y) + 3y = 7;
4 – 6y + 3y = 7;
3y = – 3;
y = – 1;
x = 2 – 3 · (– 1) = 5.
Ответ: (5;– 1).
№ 1086
2 x − y = 2
;
а) 
3 x − 2 y = 3
y = 2x – 2;
3x – 2 · (2x – 2) = 3;
3x – 4x + 4 = 3;
–x = – 1;
x = 1;
y = 2 · 1 – 2 = 0.
Ответ: (1;0).
5 y − x = 6
;
3 x − 4 y = 4
3 x + 4 y = 55
;
7 x − y = 56
б) 
y = 7x – 56;
3x + 4 · (7x – 56) = 55;
3x + 28x – 224 = 55;
31x = 279;
x = 9;
y = 7 – 9 – 56 = 7.
Ответ: (9;7).
4 y − x = 11
;
6 y − 2 x = 13
в) 
г) 
x = 5y – 6;
3 · (5y – 6) – 4y = 4;
15y – 18 – 4y = 4;
11y = 22;
y = 2;
x = 5 · 2 – 6 = 4.
Ответ: (4;2).
x = 4y – 11;
6y – 2 · (4y – 11) = 13;
6y – 8y + 22 = 13;
– 2y = – 9;
y = – 4,5;
x = 4 · 4,5 – 11 = 7.
Ответ: (7;– 4,5).
№ 1087
4 x − 3 y = 12
;
3 x + 4 y = −24
5 x + 2 y = 20
;
2 x − 5 y = 10
а) 
б) 
x = 3 + 0,75y;
3 · (3 + 0,75y) + 4y = – 24;
9 + 2,25y + 4y = – 24;
x = 5 + 2,5y;
5 · (5 + 2,5y) + 2y = 20;
25 + 12,5y + 2y = 20;
130
www.5balls.ru
6,25y = – 33;
y = – 5,28;
x = 3 + 0,75 · (– 5,28) = – 0,96.
Ответ: (– 0,96;– 5,28).
2 x − 3 y = 12
;
3 x + 2 y = 6
в) 
14,5y = – 5;
y = – Ошибка!;
x = 5 + 2,5 · Ошибка!= 4Ошибка!.
Ответ: Ошибка!.
5 x − 3 y = 5
;
2 x + 7 y = 4
г) 
x = 6 + 1,5y;
x = 1 + 0,6y;
3 · (6 + 1,5y) + 2y = 6;
2 · (1 + 0,6y) + 7y = 4;
18 + 4,5y + 2y = 6;
2 + 1,2y + 7y = 4;
6,5y = – 12;
8,2y = 2;
y = – 1Ошибка!;
y = Ошибка!;
x = 6 + 1,5 · Ошибка! = 3Ошибка!.
x = 1 + Ошибка!·
Ошибка!= 1Ошибка!.
Ответ: Ошибка!.
Ответ: Ошибка!.
№ 1088
4 x − 5 y = 1
;
2 x − 3 y = 2
4 x − 3 y = 7
;
5 x + 2 y = 26
а) 
в) 
x = 1 + 1,5y;
4 · (1 + 1,5y) – 5y = 1;
4 + 6y – 5y = 1;
y = – 3;
x = 1 + 1,5 · (– 3) = – 3,5.
Ответ: (– 3,5;– 3).
y = 13 – 2,5x;
4x – 3 · (13 – 2,5x) = 7;
4x – 39 + 7,5x = 7;
x = 4;
y = 13 – 2,5 · 4 = 3.
Ответ: (4;3).
3 x + 4 y = 0
2 x + 3 y = 1
3 x − 5 y = 0
8 y − 3x = −13
б) 
г) 
y = – 0,75x;
2x + 3 · (– 0,75x) = 1;
2x – 2,25x = 1;
0,25x = – 1;
x = – 4;
y = – 0,75 · (– 4) = 3.
Ошибка!.
Ответ: (– 4;3).
y = 0,6x;
8 · 0,6x – 3x = – 13;
4,8x – 3x = – 13;
1,8x = – 13;
x = – 7Ошибка!;
y = – Ошибка!· Ошибка!= – 4
Ответ: Ошибка!.
131
www.5balls.ru
№ 1089
4 x − 7 y = 33
;
2 x + 5 y = 25
5 y − 6 x = 2
;
8 x − 3 y = 1
а) 
в) 
y = 5 – 0,4x;
4x – 7 · (5 – 0,4x) = 33;
4x – 35 + 2,8x = 33;
6,8x = 68;
x = 10;
y = 5 – 0,4 · 10 = 1.
Ошибка!.
Ответ: (10;1).
x = – Ошибка!+ Ошибка!y;
8 · Ошибка!– 3y = 1;
Ошибка!y – Ошибка!– 3y = 1;
Ошибка!y = Ошибка!;
y = 1;
x = – Ошибка!+ Ошибка!=
5 x − 2 y = 48
;
2 x + 3 y = 23
Ответ: (0,5;1).
4 x − 3 y = −1
;
10 x − 4 y = 1
б) 
г) 
y = 2,5x – 24;
2x + 3 · (2,5x – 24) = 23;
2x + 7,5x – 72 = 23;
9,5x = 95;
x = 10;
y = 2,5 · 10 – 24 = 1.
Ответ: (10;1).
x = 0,75y – 0,25;
10 · (0,75y – 0,25) – 4y = 1;
7,5y – 2,5 – 4y = 1;
3,5y = 3,5;
y = 1;
x = 0,75 · 1 – 0,25 = 0,5.
Ответ: (0,5;1).
№ 1090
6 x + 5 y = 1
;
2 x − 3 y = 33
5 x + 6 y = 4
;
3 x + 5 y = 1
а) 
б) 
y = Ошибка!x – 11;
6x + 5 · Ошибка!= 1;
6x + Ошибка!x – 55 = 1;
Ошибка!x = 56;
x = 6;
y = Ошибка!· 6 – 11 = – 7.
Ответ: (6;– 7).
y = Ошибка!– Ошибка!x;
3x + 5 · Ошибка!= 1;
3x + Ошибка!– Ошибка!x = 1;
– Ошибка!x = – Ошибка!;
x = 2;
y = Ошибка!– Ошибка!· 2 = – 1.
Ответ: (2;– 1).
4 x − 5 y = −2
;
3 x + 3 y = −13
3 x − 7 y = 1
;
2 x + 3 y = 16
в) 
г) 
y = 0,8x + 0,4;
3x + 2 · (0,8x + 0,4) = – 13;
3x + 1,6x + 0,8 = – 13;
4,6x = – 13,8;
x = – 1,5y + 8;
3 · (8 – 1,5y) – 7y = 1;
24 – 4,5y – 7y = 1;
– 11,5 = – 23;
132
www.5balls.ru
x = – 3;
y = 0,8 · (– 3) + 0,4 = – 2.
Ответ: (– 3;– 2).
№ 1091
4(x − y ) = −2
;
а) 
3 x + 2 y = 5 − 2(x + y )
4(x − y ) = −2

3 x + 2 y = 5 − 2 x − 2 y
4(x − y ) = −2

5 x = 4 y = 5
y = 2;
x = – 1,5 · 2 + 8 = 5.
Ответ: (5;2).
2(x + y ) = 8
14 − 3(x − y ) = 5 y − x
б) 
x + y = 4

14 − 3 x + 3 y = 5 y − x
x = 4 − y

2 y + 2 x = 14
x = 1 – 0,8y;
x = 4 – y;
2(1 – 0,8y – y) = – 1;
y + 4 – y = 7;
–1,8y = – 1,5;
4 ≠7.
y = Ошибка!; x = 1 – 0,8 · Ошибка!= Ошибка!.
1 5
3 6
Ответ: ( ; ) .
3(x + y ) = 6
;
6 − 5(x − y ) = 8 x − 2 y
Ответ: система решений не имеет.
5(x − y ) = 10
;
3 x − 7 y = 20 − (x + y )
в) 
г) 
x + y = 6

6 − 5 x + 5 y = 8 x − 2 y
x = 6 − y

13 x − 7 y = 6
x − y = 2

3 x − 7 y = 20 − x − y
x = y + 2

4 x − 6 y = 20
13 · (2 – y) – 7y = 6;
26 – 13y – 7y = 6;
20y = – 20;
y = – 1; x = 2 – (– 1) = 3.
Ответ: (3;– 1).
2(y + 2) – 3y = 10;
2y + 4 – 3y = 10;
– y = 6;
y = – 6; x = – 6 + 2 = 4.
Ответ: (4;– 6).
№ 1092
2 − 3x = 2(1 − y )
;
а) 
4(x + y ) = x − 1,5
2 − 3 x = 2 − 2 y

4 x + 4 y − x = −1,5
 y = 1,5 x

3x + 4 y = −1,5
3x + 4 · 1,5x = – 1,5;
3x + 6x = – 1,5;
9x = – 1,5;
133
www.5balls.ru
x = – Ошибка!; y = – 1,5 · Ошибка!= – Ошибка!.
Ответ: Ошибка!.
6 x + 3 = 8 x − 3(2 y − 4)
;
2(2 x − 3 y ) − 4 x = 2 y − 8
б) 
6 x + 3 = 8 x − 6 y + 12

4 x − 6 y − 4 x = 2 y − 8
6 y − 2 x = 9

8 y = 8
y = 1;
6 · 1 – 2x = 9;
2x = – 3;
x = – 1,5.
Ответ: (– 1,5;1).
2 x − 3(2 y + 1) = 15
;
3(x + y ) + 3 y = 2 y − 2
4 y + 20 = 2(3x − 4 y ) − 4
;
16 − (5 x + 2 y ) = 3 x − 2 y
в) 
г) 
2 x − 6 y − 3 = 15

3 x + 3 y + 3 y − 2 y = −2
2 x − 6 y = 18

3 x + 4 y = −2
4 y + 20 = 6 x − 8 y − 4

16 − 5 x − 2 y = 3 x − 2 y
12 y − 6 x = −24

8 x = 16
x = 3y + 9;
3(3y + 9) + 4y = – 2;
9y + 27 + 4y = – 2;
13y = – 29;
y = – 2Ошибка!;
x = – 3 · Ошибка!+ 9 = 2Ошибка!.
Ответ: Ошибка!.
№ 1093
x = 2;
12y – 6 · 2 = – 24;
12y = – 12;
y = – 1.
Ответ: (2; – 1).
x y
 + =3
а)  2x 3y 8
 + =
 3 2 3
б)  3 + 2 = 5
3 x + 2 y = 18

2 x + 3 y = 16
2 x + 3 y = 30

5 x − 11y = 1
x= 6 – Ошибка!y;
2 · Ошибка!+ 3y = 16;
12 – Ошибка!y + 3y = 16;
Ошибка!y = 4;
134
x = 15 – 1,5y;
5(15 – 1,5y) – 11y = 1;
75 – 7,5y – 11y = 1;
–18,5y = – 74;
x
y
5 x − 11y = 1

www.5balls.ru
y = 2,4;
y = 4;
x = 6 – Ошибка!· Ошибка!=4,4. x = 15 – 1,5 · 4 = 9.
Ответ: (4,4; 2,4).
Ответ: (9, 4).
x y
 − = −4
в)  3 2
;
 x + y = −2
 2 4
г)  x
2 x − 3 y = −24
;

2 x + y = −8
4 x + 7 y = 1
;

6 x + 5 y = −15
y = – 8 – 2x;
y = – 3 – Ошибка!x;
2x – 3(– 8 – 2x) = – 24;
4x + 7  − 3 − x  = 1;
2x + 24 + 6x = – 24;
8x = – 48;
x = – 6;
y = – 8 – 2 · (– 6) = 4.
Ответ: (– 6; 4).
4x – 21 – 8,4x = 1;
– 4,4x = 22;
x = – 5;
y = – 3 – 1,2 · (– 5) = 3.
Ответ: (– 5; 3).
4 x + 7 y = 1

y
1 ;
5 + 6 = − 2



6 
5 
№ 1094
6 y − 5 x = 1
а)  x − 1 y + 1
 3 + 2 = 10

б) 
 x + 2 y 3x − y
+
=5
5
3
2 x − 3 y = −1

6 y − 5 x = 1
;

2 x − 2 + 3 y + 3 = 60
3 x + 6 y + 15 x − 5 y = 75
;

2 x − 3 y = −1
6 y − 5 x = 1
;

2 x + 3 y = 59
18 x + y = 75
;

2 x − 3 y = −1
y = Ошибка!+ Ошибка!x;
y = 75 – 18x;
2x + 3Ошибка!= 59;
2x – 3(75 – 18x) = – 1;
2x + 0,5 + 2,5x = 59;
2x – 225 + 54x = – 1;
4,5x = 58,5;
56x = 224;
x = 13;
x = 4;
y =Ошибка!+ Ошибка!· 13 = 11.y = 75 – 18 · 4 = 3.
Ответ: (13; 11).
Ответ: (4; 3).
135
www.5balls.ru
 3x + 2 y x − 3 y
+
=3

;
5
6
2 x + 7 y + 43 = 0

7 x − 10 y = 5

 3 −
4

в) 
г)  4 x + 1 5 x − 3 y
18 x + 12 y + 5 x − 15 y = 90

2 x + 7 y + 43 = 0
23 x − 3 y = 90

2 x + 7 y + 43 = 0
7 x − 10 y = 5

16 x + 4 − 15 x + 9 y = 36
7 x − 10 y = 5

 x + 9 y = 32
y = Ошибка!x – 30;
x = 32 – 9y;
 23

2x + 7  x − 30  + 43 = 0;
3


7(32 – 9y) – 10y = 5;
2x + Ошибка!x – 210 + 43 = 0;
Ошибка!x = 167;
x = 3;
y = Ошибка!· 3 – 30 = – 7.
Ответ: (3; – 7).
224 – 63y – 10y = 5;
– 73y = – 219;
y = 3;
x = 32 – 9 · 3 = 5.
Ответ: (5; 3).
=3
;
№ 1095
 5x + 9 y 2x + 3 y
=
 3
2
а)  x − 3 y 2 x − 3 y

=
 2
3
 2x − y 2x + y
+
=3
 6
9
б)  x + y x − y

−
=4
 3
4
10 x + 18 y = 6 x + 9 y

3 x − 9 y = 4 x − 6 y
4 x + 9 y = 0

x + 3 y = 0
6 x − 3 y + 4 x + 2 y = 54

4 x + 4 y − 3x + 3 y = 48
10 x − y = 54

 x + 7 y = 48
x = – 3y;
4 · (– 3y) + 9y = 0;
–3y = 0;
y = 0;
x = 0.
Ответ: (0; 0).
x = 48 – 7y;
10 · (48 – 7y) – y = 54;
480 – 70y – y = 54;
– 71y = – 426;
y = 6;
x = 48 – 7 · 6 = 6.
Ответ: (6; 6).
x+ y x− y
+
=5

6
в)  8
 x + y + x − y = 10
 4
3
 x + 3 − 5 y 3x − 4 y + 3
=

2
3
г) 
6
3
x
y
12
x
y
+
−
−

=

3
4
136
www.5balls.ru
3 x + 9 − 15 y = 6 x − 8 y + 6

24 + 12 x − 4 y = 36 x − 3 y
3 x + 7 y = 3

24 x + y = 24
3 x + 3 y + 4 x − 4 y = 120

3 x + 3 y + 4 x − 4 y = 120
7 x − y = 120

7 x − y = 120
уравнения равны.
Ответ: система имеет
бесконечно много решений.
y = 24 – 24x;
3x + 7(24 – 24x) = 3;
3x + 168 – 168x = 3;
–165x = – 165x; x = 1; y = 0.
Ответ: (1; 0).
§ 37. Метод алгебраического сложения
№ 1096
а)  x + y = 5
б)  x + y = 9
2x = 12;
x = 6;
6 + y = 5;
y = – 1.
Ответ: (6; – 1).
в) 2 x + y = 11
2x = 12;
x = 6;
6 + y = 9;
y = 3.
Ответ: (6; 3).
г) 3 x − y = 4
5x = 20;
x = 4;
2 · 4 + y = 11;
y = 3.
Ответ: (4; 3).
6x = 12;
x = 2;
3 · 2 – y = 4;
y = 2.
Ответ: (2; 2).
№ 1097
а) 2 x + 11y = 15
в)  x − 6 y = 17
12x = 24; x = 2;
2 · 2 + 11y = 15;
11y = 11; y = 1.
Ответ: (2; 1).
6x = 30; x = 5;
5 – 6y = 17;
– 6y = 12; y = – 2.
Ответ: (5; – 2).

x − y = 7

3 x − y = 8

10 x − 11y = 9
9 x + 13 y = 9
;
29 x − 13 y = 3

x − y = 3

3 x + y = 8

5 x + 6 y = 13
6 x − y = 19
42 x − 7 y = 133
;

5 x + 7 y = 25 5 x + 7 y = 25
б) 
г) 
38x = 12; x =Ошибка!;
9 · Ошибка!+ 13y = 9;
47x = 158; x = 3Ошибка!;
6 · Ошибка!– y = 19;
137
www.5balls.ru
13y = Ошибка!; y = Ошибка!.
.
Ответ: Ошибка!.
y = 6 · Ошибка!– 19; y = 1Ошибка!
Ответ: Ошибка!.
№ 1098
а) 4 x − 7 y = 30
4 x − 5 y = 90
в) −5 x + 7 y = 6
2y = 60; y = 30;
4x – 5 · 30 = 90;
4x = 240; x = 60.
Ответ: (60; 30).
7x = 70; x = 10;
2 · 10 + 7y = 76;
7y = 56; y = 8.
Ответ: (10; 8).
2 x + 7 y = 76
7 x − 6 y = 32
7 x + 5 y = 230
−2 x + 4 y = −11
4 x + 4 y = 1
б) 
г) 
11y = 198; y = 18
7x – 6 · 18 = 32
7x = 140; x = 20
Ответ: (20; 18).
6x = 12; x = 2;
– 2 · 2 + 4y = – 11;
4y = – 7; y = – 1Ошибка!.
Ответ: Ошибка!.
№ 1099
а)  x − 3 y = 5
3 x − 9 y = 15

3
x
+
2
y
=
4

3 x + 2 y = 4
11y = – 11; y = – 1;
3x + 9 = 15; 3x = 6; x = 2.
Ответ: (2; – 1).
3 x − 5 y = 14 3 x − 5 y = 14
;

x + 2 y = 1
3 x + 6 y = 3
б) 
11y = – 11; y = – 1;
3x + 5 = 14; 3x = 9; x = 3.
Ответ: (3; – 1).
в) 3x + y = 1
9 x + 3 y = 3

2
x
−
3
y
=
−
14

2 x − 3 y = −14
11x = – 11; x = – 1;
– 2 – 3y = – 14; 3y = 12; y = 4.
Ответ: (– 1; 4).
5 x + y = 24 15 x + 3 y = 72
;

7 x + 3 y = 24 7 x + 3 y = 24
г) 
8x = 48; x = 6;
42 + 3y = 24; 3y = 18; y = 6.
Ответ: (6; 6).
138
www.5balls.ru
№ 1100
а) 40 x + 3 y = −10 40 x + 3 y = −10
20 x − 7 y = −4 40 x − 14 y = −8
17y = – 2; y = – Ошибка!;
20x + Ошибка!= – 4; x = – Ошибка!.
Ответ: Ошибка!.
5 x + 2 y = 1 15 x + 6 y = 3
;

15 x + 3 y = 3 15 x + 3 y = 3
б) 
3y = 0; y = 0;
5x = 1; x = 0,2.
Ответ: (0,2; 0).
в) 3x + 8 y = 13 15 x + 40 y = 65
5 x − 18 y = 5 15 x − 54 y = 15
94y = 50; y = Ошибка!;
5x – 18 · Ошибка!= 5; x = 3Ошибка!.
Ответ: Ошибка!.
6 x + 5 y = 1 6 x + 5 y = 1

6 x − 9 y = 33 6 x − 9 y = 99
г) 
14y = − 98; y = − 7;
2x − 3 · (− 7) = 33; 2x = 12; x = 6.
Ответ: (6; –7).
№ 1101
а) 4 x − 5 y = −2 8 x − 10 y = −4
3 x + 2 y = −13 15 x + 10 y = −65
23x = − 69;
x = − 3;
−12 − 15y = − 2;
5y = − 10;
y = −2.
Ответ: (− 3; − 2).
9 x + 8 y = −50
45 x + 40 y = −250
;

5 x = 36 y = −12 45 x + 324 y = −108
б) 
284y = 142;
y = 0,5;
9x + 8 · 0,5 = − 50;
x = − 6.
Ответ: (− 6; 0,5).
139
www.5balls.ru
в) 3x − 7 y = −32
2 x − 3 y = −3
6 x − 14 y = −64

6 x − 9 y = −9
5y = 55;
y = 11;
2x − 3 · 11 = − 3;
2x = 30;
x = 15.
Ответ: (15; 11).
3 y − 4 x = −6
5 x − 9 y = −10
г) 
9 y − 12 x = −18
;

5 x − 9 y = −10
− 7x = − 28;
x = 4;
3y = 10;
1
3
y= 3 .
1
3
Ответ: (4; 3 ).
№ 1102
а) 4 x + 5 y = 1 20 x + 25 y = 5
5 x + 7 y = 5 20 x + 28 y = 20
3y = 15;
y = 5;
4x + 5 · 5 = 1;
4x = − 24;
x = − 6.
Ответ: (− 6; 5).
3x − 5 y = 25
;
4 x + 3 y = 43
б) 
9 x − 15 y = 75
;

20 x + 15 y = 215
29x = 290;
x = 10;
3 · 10 − 5y = 25;
140
www.5balls.ru
5y = 5;
y = 1.
Ответ: (10; 1).
в) 7 x − 5 y = 5
5 x + 3 y = 43
21x − 15 y = 15

25 x + 15 y = 215
46x = 230;
x = 5;
7 · 5 − 5y = 5;
5y = 30;
y = 6.
Ответ: (5; 6).
4 x − 3 y = 12
16 x − 12 y = 48

3
x
+
4
y
=
−
66

9 x + 12 y = −198
г) 
25x = − 150;
x = − 6;
4 · ( − 6) − 3y = 12;
3y = − 36;
y = − 12.
Ответ: (− 6; − 12).
№ 1103
а) −3x + 7 y = 46 −12 x + 28 y = 184
4 x − 3 y = 12
12 x − 9 y = 36
19y = 220;
y = 11
11
;
19
4x − 3 · 11
x= 9
11
= 12;
19
7
.
38
7
11
; 11 ).
38
19
−3x + 4 y = 24
б) 
5 x + 3 y = −15
Ответ: ( 9
141
www.5balls.ru
−15 x + 20 y = 120
;

15 x + 9 y = −45
29y = 75;
y=
75
;
29
300
= 24;
29
396
3x = −
;
29
132
x=−
.
29
132 75
Ответ: (−
;
).
29 29
5 x + 2 y = 20 25 x + 10 y = 100


2 x − 5 y = 10 4 x − 10 y = 20
−3x + 4 ·
в)
29x = 120; x = 4
4
29
4
+ 2y = 20
29
10
y=−
29
4
10
Ответ: x = 4 ; y = − .
29
29
5 x − 3 y = 15
г) 
2 x + 7 y = 47
10 x − 6 y = 30

10 x + 35 y = 235
5· 4
41y = 205;
y = 5;
5x − 3 · 5 = 15;
5x = 30;
x = 6.
Ответ: (6; 5).
142
www.5balls.ru
№ 1104
1
1
 x − y = 1 6 x − 4 y = 12
2
3


а)
6 x − 5 y = 3 6 x − 5 y = 3

y = 9;
6x − 5 · 9 = 3;
6x = 48;
x = 8.
1
1
x− y = 4
 4
3

в)  4 x − 3 y = 7
 5
9
x − 3 y = 36
 4

 4 x − 3y = 7
 5
Ошибка!x − Ошибка!x = 29;
Ошибка!x =20;
x = 20;
Ошибка!· 20 − Ошибка!y = 4;
Ошибка!y = 1; y = 3.
Ответ: (20; 3).
Ответ: (8; 9).
1
1
1
1
 x + y = 5,1
 x + y = −1 4 x + 5 y = −20
5
г)  3
б)  5
4

2 x − 3 y = −54 4 x + 6 y = −108
3 x − 2y = 8

 5
11y = 88;
y = 8;
2x − 3 · 8 = − 54;
2x = − 30;
x = − 15.
Ответ: (− 15; 8).
10
x + 2 y = 51
 3

3 x − 2y = 8
 5
Ошибка!x + Ошибка!x = 59;
x = 15;
Ошибка!· 15 + Ошибка!y = 5,1;
Ошибка!y = 0,1;
y = 0,5.
Ответ: (15; 0,5).
№ 1105
1
 y +1
 3 x − 4 = 2 2( y + 1 ) = 3x − 4
а) 

 5 x + y = 1 5 x + y = 3 x + 11
 3 x + 11
2 y − 3x = −6
2 y − 3 x = −6


2
+
=
11
x
y

4 x + 2 y = 22
7x = 28;
x = 4;
2y − 3 · 4 = − 6;
2y = 6;
y = 3.
Ответ: (4; 3).
143
www.5balls.ru
 3x + 10 1
 y + 1 = 12 36 x + 120 = y + 1

б) 

25 x + 5 y = 36 x + 8 y
 5x + y = 4
 9 x + 2 y 5
36 x − y = −119 108 x − 3 y = −357


11x + 3 y = 0
11x + 3 y = 0
119x = − 357; x = − 3;
11 · (−3) + 3y =0;
3y = 33; y = 11.
Ответ: (− 3; 11).
№ 1106
а) A(2;3), B(− 1;4);
y = ax + b;
3 = 2a + b 3 = 2a + b
;


4 = − a + b 8 = −2a + 2b
3b = 11;
b = Ошибка!;
2a + Ошибка!= 3;
a = − Ошибка!;
1
11
y = − x+ ;
3
3
б) C(− 6;7), D(4;3);
y = ax + b;
7 = −6a + b
;

3 = 4a + b
10a = − 4;
a = − Ошибка!;
 2
 5
4 ·  −  + b = 3;
b = 4Ошибка!;
y = − 0,4x + 4,6;
в) M(− 3;− 1), N(2;5);
y = ax + b;
г) P(6;2), Q(− 1;−3);
y = ax + b;
−1 = −3a + b
;

5 = 2a + b
2 = 6a + b
;

− 1 = −3a + b
5a = 6;
a = 1Ошибка!;
Ошибка!+ b = 5;
9a = 3;
a = Ошибка!;
− 3 · Ошибка!+ b = − 1;
144
www.5balls.ru
b = 2Ошибка!;
y = 1,2x + 2,6;
b = 0;
y = Ошибка!x.
№ 1107
а) A(5;0);
B(0;2);
y = ax + b;
б) C(− 6;0) ;
D(0;4) ;
y = ax + b;
0 = 5a + b
;

2 = b
0 = −6a + b
;

4 = b
b = 2;
5a = − 2;
a = − 0,4;
y = − 0,4x + 2;
в) E(7;0), F(0;− 1) ;
y = ax + b;
b = − 1;
6a = 4;
a = Ошибка!;
y = Ошибка!x + 4;
г) L(− 2;0), K(0;− 4) ;
y = ax + b;
0 = 7 a + b
;

− 1 = b
0 = −2a + b
;

− 4 = b
b = − 1;
7a = 1;
a = Ошибка!;
y = Ошибка!x − 1;
b = − 4;
2a = − 4;
a = − 2;
y = − 2x − 4.
№ 1108
а) A(0;5), B(− 3;0) ;
y = ax + b;
б) A(0;4), B(2;0) ;
y = ax + b;
b = 5
;

− 3a + b = 0
b = 4
;

2a + b = 0
3a = 5;
a = Ошибка!;
y = Ошибка!x + 5;
в) A(0;3), B(4;0) ;
y = ax + b;
2a = − 4;
a = − 2;
y = − 2x + 4;
г)A(0;− 3), B(1;0) ;
y = ax + b;
b = 3
;

4a + b = 0
b = −3
;

a + b = 0
4a = − 3; a = − Ошибка!;
y = − Ошибка!x + 3;
a = 3;
y = 3x − 3.
№ 1109
а) A1(0;4), B1( −1;0) ;
y = ax + b;
A2(0;− 4), B1( −1;0) ;
y = ax + b;
145
www.5balls.ru
b = 4
;

− a + b = 0
a = 4;
y = 4x + 4;
 y = 4x + 4
.
 y = −4 x − 4
b = −4
;

− a + b = 0
a = − 4;
y = − 4x − 4.
Ответ: 
б) A1(0;7), B1( 2;3);
y = ax + b;
A2(0;2), B1( 2;3) ;
y = ax + b;
b = 7
;

2a + b = 3
b = 2
;

2a + b = 3
2a = − 4; a = − 2;
y = − 2x + 7;
 y = −2 x + 7
.
 y = 0 ,5 x + 2
2a = 1; a = 0,5;
y = 0,5x + 2.
Ответ: 
в) A1(0;1), B1(− 2;4) ;
y = ax + b;
A2(0;4), B1(− 2;4) ;
y = ax + b;
b = 1
;

− 2 a + b = 4
b = 4
;

− 2 a + b = 4
−2a = 3; a = − 1,5;
y = − 1,5x + 1;
− 2a = 0; a = 0;
y = 4.
 y = −1,5 x + 1
.
y = 4
Ответ: 
г) A1(0;3), B1(− 3;− 2) ;
y = ax + b;
b = 3
;

− 3a + b = −2
−3a = − 5; a = Ошибка!;
y = Ошибка!x + 3;
A2(0;− 1), B2( 3;0) ;
y = ax + b;
b = −1
;

3a + b = 0
3a = 1; a = Ошибка!;
y = Ошибка!x − 1.
146
www.5balls.ru
5

 y = 3 x + 3
Ответ: 
y = 1 x −1

3
§ 38. Системы двух линейных уравнений
с двумя перемеными как математические модели
реальных ситуаций
№ 1110
v км/ч – скорость лодки; u км/ч – скорость течения;
(v – u) км/ч – скорость лодки против течения;
(v + u) км/ч – скорость лодки по течения;
(v − u )⋅ 4 = 80 v + u = 20
; 2v = 36; v = 18 км/ч.


(v + u )⋅ 5 = 80 v − u = 16
Ответ: 18 км/ч.
№ 1111
v км/ч – скорость лоезда на первом перегоне;
u км/ч – скорость лоезда на втором перегоне;
2v + 3u = 330 2v + 3u = 330
; 5u = 350;


u − v = 10
2u − 2v = 20
u = 70 км/ч – скорость лоезда на втором перегоне;
70 – 10 = 60 км/ч – скорость лоезда на первом перегоне.
Ответ: 60 км/ч; 70км/ч.
№ 1112
v км/ч – скорость первого пешехода;
u км/ч – скорость второго пешехода;
4(v + u ) = 38 − 2 u + v = 9

7v − 7u = 7
; 2v = 10;

v − u = 1
v = 5 км/ч – скорость первого пешехода;
u = 4 км/ч – скорость второго пешехода.
Ответ: 5 км/ч; 4 км/ч.
№ 1113
v км/ч – скорость первого пешехода;
u км/ч – скорость второго пешехода;
147
www.5balls.ru
 1
5u + 5v = 45
3 (v + u ) = 30 u + v = 9
; 4v = 15;
 3


5
9
60
u
+
v
=
5u + 9v = 60
4,5v + 2 ,5u = 30 

v = 3,75 км/ч – скорость первого пешехода;
u = 9 – 3,75 = 5,25 км/ч – скорость второго пешехода.
Ответ: 3,75 км/ч; 5,25 км/ч.
№ 1114
v км/ч – скорость течения реки;
t ч – время прохождения;
(15 + v )t = 34 15t + vt = 34
;


(15 − v )t = 26 15t − vt = 26
30t = 60;
t = 2 ч – время прохождения;
(15 + v) = 34;
2v = 4; v = 2 км/ч – скорость течения реки.
Ответ: 2 км/ч.
№ 1115
v км/ч – скорость автобуса;
u км/ч – скорость автомобиля;
120 180
=

u
 v
u − v = 20

2u = 3v
2u − 3v = 0
;


20
u
−
v
=

2u − 2v = 40
v = 40 км/ч – скорость автобуса.
Ответ: 40 км/ч.
№ 1116
x – одно число;
y – другое число;
 x + y = 77
 x + y = 77
10 x + 10 y = 770

; 22y = 770;
4
2


 3 x = 5 y 10 x − 12 y = 0 10 x − 12 y = 0

y = 35;
x = 77 – 35 = 42.
Ответ: 35; 42.
№ 1117
x – одно число;
y – другое число;
148
www.5balls.ru
3(x − y ) = x + y + 6 2 x − 4 y = 6 2 x − 4 y = 6
; – 2y = 12;



2(x − y ) = x + y + 9  x − 3 y = 9
2 x − 6 y = 18
y = – 6;
x = 9 + 3 · ( – 3) = – 9.
Ответ: – 9; – 6.
№ 1118
a
– искомая дробь;
b
 2a
 b − 2 = 2
2a = 2b − 4
b − a = 2
;



 a − 4 = 1 12a − 48 = 4b 3a − b = 12
 4b
12
2a = 14; a = 7;
b = a + 2; b = 9.
Ответ:
7
.
9
№ 1119
a
– искомая дробь;
b
a +1 1
 b + 1 = 2 2a + 2 = b + 1 b − 2a = 1
; a = 3;



 a − 1 = 1 3a − 3 = b − 1 3a − b = 2
 b − 1 3
b = 2a + 1;
b = 2 · 3 + 1 = 7.
Ответ:
3
.
7
№ 1120
x – одно число;
y – другое число;
 x − y = 140
6 x − 6 y = 840
; y = 200;


0 ,6 x − 0,7 y = 64 6 x − 7 y = 640
x = y + 140;
x = 200 + 140 = 340.
Ответ: 340; 200.
149
www.5balls.ru
№ 1121
0 ,3a − 0 ,25b = 20 6a − 5b = 400
; 4b = 640; b = 40;


0 ,3b − 0,2a = 8
9b − 6a = 240
6a = 5 · 160 + 400;
6a = 1200; a = 200.
Ответ: 200; 160.
№ 1122
x – одно число; y – другое число;
x + y
= 32 ,5
 x + y = 65
25 x + 25 y = 1625

;
 2


0 ,3 x − 0 ,25 y = 0 ,25 30 x − 25 y = 25 30 x − 25 y = 25

55x = 1650; x = 30;
y = 65 – x; y = 35.
Ответ: 30; 35.
№ 1123
x – одно число; y – другое число;
x − y
= 14 ,9
 x − y = 29 ,8

; 0,76x = 30,4; x = 40;
 2

0 ,24 x − y = −0,6 0,24 x − y = −0 ,6

y = x – 29,8; y = 10,2.
Ответ: 40; 10,2.
№ 1124
v км/ч – скорость автомобиля;
u км/ч – скорость теплохода;
3v − 5u = 60 3v − 5u = 60
; v =60 км/ч – скорость автомобиля;


u = 0 ,4v
5u − 2v = 0
u =0,4v = 24 км/ч – скорость теплохода.
Ответ: 24 км/ч; 60 км/ч.
№ 1125
v км/ч – скорость теплохода;
u км/ч – скорость туристов;
2v км – проплыли по реке;
5u км – прошли пешком;
2v = 3 ⋅ 5u 2v − 15u = 0 2v − 15u = 0
; 13u = 52; u = 4 км/ч;



v − u = 26 v − u = 26
2v − 2u = 52
150
www.5balls.ru
v = 26 + u; v = 30 км/ч;
S км – весь путь;
S = 2v + 5u = 2 · 30 + 5 · 4 = 80 км;
T – время которое потребовалось бы на весь путь пешком;
T=
S 80
=
= 20 ч.
u
4
Ответ: 30 км/ч; 4 км/ч; 20 ч.
№ 1126
v км/ч – скорость лодки;
u км/ч – скорость течения;
(v – u) км/ч – скорость лодки против течения;
(v + u) км/ч – скорость лодки по течения;
 1
3 (v + u ) = 30 v + u = 9
;

 3
v − u = 7
4(v − u ) = 28

2v = 16; v = 8 км/ч – скорость лодки;
S км – расстояние которое пройдет лодка по озеру за 1,5 часа;
S = 1,5 · v = 1,5 · 8 = 12 км.
Ответ: 12 км.
№ 1127
v км/ч – скорость велосипедиста по шоссе;
u км/ч – скорость велосипедиста по грунтовой дороге;
0,5u км – проехал велосипедист по грунтовой дороге;
2
v км – проехал велосипедист по шоссе;
3
2

0 ,5u + v = 12 1,5u + 2v = 36
;
3


1,5v − 1,5u = 6
v − u = 4

3,5v = 42;
v = 12 км/ч.
Ответ: 12 км/ч.
№ 1128
v см/c – скорость первой точки;
u см/c – скорость второй точки;
4(v + u) = 100 – при движении в противоположном направлении;
20(v – u) = 100 – при движении в одном направлении;
151
www.5balls.ru
4(v + u ) = 100 v + u = 25
;


20(v − u ) = 100 v − u = 5
2v = 30;
v = 15 см/с;
u = 25 – v = 25 – 15 = 10 см/с.
Ответ: 15 см/с;
10 см/с.
№ 1129
x – га вспахивает за день первый тракторист;
y – га вспахивает за день второй тракторист;
8x + 11y = 678 – га вспахали вместе; 3x + 22 = 4y – из условия;
8 x + 11y = 678

3 x + 22 = 4 y
3
11
3
11
x+
y = ⋅ 38 +
4
2
4
2
11 
3
57
11
8 x + 11 x +  = 678 y =
+
2
4
2
2
33
121
y
34
=
= 678
x+
8x +
4
2
65 x 1235
=
4
2
x = 38
y=
Ответ: 38 га; 34 га.
№ 1130
x – центнеров картофеля собирала первая бригада за 1 час;
y – центнеров картофеля собирала вторая бригада за 1 час;
2x + 3y = 23 – за первый день двумя бригадами;
2 x + 3 y = 23 4 x + 6 y = 46
; 13x = 52; x = 4;

3 x − 2 y = 2 9 x − 6 y = 6
3x – 2y = 2 – из условия; 
3
x −1
2
3
y = ⋅ 4 −1 = 5
2
y=
Ответ: 4 центнера; 5 центеров.
№ 1131
x – тонн зерна перевозит первая машина за 1 рейс;
y – тонн зерна перевозит вторая машина за 1 рейс;
152
www.5balls.ru
4x + 3y = 27 − в первый день; 4y − 3x = 11 − из условия;
4 x + 3 y = 27 12 x + 9 y = 81
; 25y = 125; y = 5 т;


4 y − 3 x = 11 16 y − 12 x = 44
4
x = y − 11
3
;
4
11
x = ⋅5 −
3
3
x = 3 т. Ответ: 3 т; 5т.
№ 1132
x − деталей делает первый рабочий за день;
y − деталей делает второй рабочий за день;
8x + 15y = 162 − сделали вместе;
5x − 7y = 3 − из условия;
8 x + 15 y = 162 40 x + 75 y = 810
; 131y = 786; y = 6 − деталей за день;


5 x − 7 y = 3
40 x − 56 y = 24
7
3
x= y+
5
5
7
3
x = ⋅6 +
5
5
x = 9 − деталей изготовил первый рабочий за день;
8 · 9 = 72 − детали изготовил первый рабочий;
6 · 15 = 90 − деталей изготовил второй рабочий.
Ответ: 72; 90.
№ 1133
x − учебников по математике;
y − учебников по физике;
0,5x + 0,2y = 390 − учебников продали;
x − 0,5x = 0,5x − учебников по математике осталось;
y − 0,2y = 0,8y − учебников по физиике осталось;
0,5x = 3 · 0,8y − из условия;
0 ,5 x + 0 ,2 y = 390

0 ,5 x − 2 ,4 y = 0
2,6y = 390; y = 150;
x = 4,8y; x = 4,8 · 150; x = 720.
Ответ: 720; 150 учебников.
№ 1134
x − книг на первой полке; у − книг на второй полке;
153
www.5balls.ru
x+
y
2
− на первой полке после перестановки;
y
− на второй полке после перестановки;
2
 x + y = 110
 x + y = 110

; 2,5y = 110; y = 44;
y
y 

 x + 2 = 4 ⋅ 2  x − 1,5 y = 0

x = 110 − y; x = 110 − 44 = 66.
Ответ: 66 и 44 книги.
№ 1135
x − футбольных мячей закупили в первый год;
y − волейбольных мячей закупили в первый год;
y = 5x − из условия;
6x − футбольных мячей после закупки;
4y − волейбольных мячей после закупки;
6 x + 4 y = 52 6 x + 4 y = 52
; 26x = 52; x =2;


 y = 5x
20 x − 4 y = 0
y = 5x; y = 10; y + x = 10 + 2 = 12 − мячей закупили в первый год.
Ответ: 12 мячей.
№ 1136
x – одно число; y – другое число;
x + y
 2 = 185  x + y = 370
; 3y = 330; y = 110;

x
 = 2 + 40  x = 2 y + 40
 y
y
x = 370 − y; x = 370 − 110 = 260.
Ответ: 260; 110.
№ 1137
a − первая цифра числа; b − вторая цифра числа, то есть
a · 10 + b − искомое число;
a + b = 14
9a + 9b = 126
; 18b = 108; b= 108;


10
b
+
a
+
18
=
10
a
+
b

9b − 9a = −18
a = 14 − b; a = 14 − 6 = 8; то есть 10a + b = 8 · 10 + 6 = 86.
Ответ: 86.
№ 1138
a − первая цифра числа; b − вторая цифра числа, то есть
154
www.5balls.ru
a · 10 + b − искомое число;
a + b = 11

2
10a + b
 a − b = 24 + a − b

a + b = 11

10a + b = 24a − 14b + 2
a + b = 11
14a + 14b = 154


14a − 25b = −2 14a − 25b = −2
39b = 156; b = 4;
a = 11 − b; a = 11 − 4 = 7;
10a + b = 10 · 7 + 4 = 74.
Ответ: 74.
№ 1139
a − первая цифра числа; b − вторая цифра числа, то есть
a · 10 + b − искомое число;
3
10a + b
 a + b = 6 + a + b

5
 10a + b = 5 +
a+b+2
 a + b + 2
10a + b = 6a + 6b + 3

10a + b = 5a + 5b + 10 + 5
4a − 5b = 3 16a − 20b = 12


5a − 4b = 15 25a − 20b = 75
9a = 63; a = 7; 4 · 7 − 5b = 3; 5b = 25; b = 5; 10a + b = 10 · 7 + 5 = 75.
Ответ: 75.
№ 1140
x − деталей производительность первого фрезеровщика за день;
y − деталей производительность второго фрезеровщика за день;
(x + 0,625x) − деталей производительность первого фрезеровщика
после смены фрезы;
(y + 0,5y) − деталей производительность второго фрезеровщика
после смены фрезы;
5 x + 8 y = 280
5 x + 8 y = 280
15 x + 24 y = 840
;



(
)
4
x
+
0
,
625
x
+
y
+
0
,
5
y
=
276
6
,
5
x
+
6
y
=
276


26 x + 24 y = 1104
5
5
11x = 264; x = 24 деталей; y = 35 − x; y = 35 − · 24; y = 20 деталей
8
8
P − количество деталей если бы в первый раз работали с новой фрезой;
P = 5 · 1,625x + 8 · 1,5y = 8,125 · 24 + 12 · 20 = 195 + 240 = 435.
Ответ: 435 деталей.
№ 1141
x − тонн масса первой отливки;
155
www.5balls.ru
y − тонн масса второй отливки;
0,05x − тонн масса никеля в первой отливке;
0,1y − тонн масса никеля во второй отливке;
0,08(x + y) − тонн масса никеля в сплаве первой и второй отливке;
0 ,05 x + 01 y = 0 ,08(x + y ) 0 ,02 y − 0 ,03 x = 0 2 y − 3 x = 0
;



0 ,1 y − 0,05 x = 4
0 ,1 y − 0,05 x = 4
2 y − x = 80
2x = 80; x = 40;
y=
3
3
x; y = · 40 = 60.
2
2
Ответ: 40 тонн; 60 тонн.
№ 1142
x − тонн стали первого сорта для необходимого сплава;
y − тонн стали второго сорта для необходимого сплава;
0,05x − количество никеля в стали первого сорта;
0,1y − количество никеля в стали второго сорта;
0,3(x + y) − количество никеля в новом сплаве;
 x + y = 140
 x + y = 140
 x + y = 140
;



(
)
0
,
05
x
+
0
,
4
y
=
0
,
3
x
+
y
0
,
1
y
−
0
,
25
x
=
0


 y − 2 ,5 x = 0
3,5x = 140; x = 40;
y = 140 − 40 = 100.
Ответ: 40 тонн; 100 тонн.
№ 1143
x − кг яблок;
30x − руб. заплатили за яблоки;
y − кг груш;
38y − руб. заплатили за груши;
x + y − натуральные числа;
30x + 38y = 400 (*);
т.к. число (30 · x) всегда заканчивается нулем, то и число (38 · y)
тоже должно закнчиваться нулем;
y равное 10 и более не подходит в уравнение (*)
следовательно единствееный вариант y = 5;
30x + 38 · 5 = 400;
30x = 210;
x = 7;
x + y = 7 + 5 = 12.
Ответ: 12.
156
www.5balls.ru
№ 1144
x − км/ч скорость первого поезда;
y − км/ч скорость второго поезда;
4x + 3y = 580;
x и y кратны 10 и больше 50;
x не может быть больше 100 т.к. в этом случае y должно быть меньше 50,
поэтому перебираем число x от 50 до 100 кратное 10.
Не трудно проверить что удовлетворяют уравнению две пары
70; 100 и 100; 60.
Ответ: 70 км/ч и 100 км/ч; 100 км/ч и 60 км/ч.
№ 1145
10a + b − двузначное число;
6(10a + b) = 100a + b − из условия;
60a + 6b = 100a + b; 40a = 5b; 8a = b;
т.к. b − от 0 до 9 то a может равняться только 1;
ноль не подходит т.к. в этом случае не получится двузначное число
a = 1; b = 8.
Ответ: 18.
157
www.5balls.ru
Скачать