кривые втОрОгО ПОрядка: чертим и дОказываем

М. БАРКАН,
М Е ТО Д О Б Ъ Е Д И Н Е Н И Е
/
М А СТ Е Р С КА Я
ТЕ М А Н О М Е РА : Л А Б О РАТО Р Н О - П РА КТ И Ч Е С К И Е РА Б ОТ Ы
г. Москва
Литература
1. Бернхард А. Проективная геометрия. — М.: Парсифаль, 2003. 2. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л. Прямые и кривые. — М.: МЦНМО, 2002.
3. Джерман Р. Преподавание математики. — Киев: Наири, 2008 4. Пидоу Д.
Геометрия и искусство. — М.: Мир,
17
1979. 5. Улин Б. Цели и методы обуче-
ния математике. — М.: Народное образование, 2007.
МАТЕМАТИКА июль-август 2014
кривыевтОрОгО
ПОрядка:чертим
идОказываем
Физика, химия, биология — в средней школе множество предметов, изучение которых может быть увлекательным благодаря наглядным лабораторным работам. А что же
математика?
Эта статья об одном из способов проведения лабораторных работ
на уроках математики.
В школьной программе так называемые кривые второго порядка изучают в курсе алгебры (за исключением окружности, которую
рассматривают в курсе геометрии). Ученики даже не подозревают,
что параболу и гиперболу можно построить геометрически, притом очень изящно.
Рассмотрим окружность и точку S, лежащую внутри окружности. Построим геометрическое место точек (ГМТ), равноудаленных
от точки S и окружности.
Для этого необходимо повторить некоторые известные ученикам
из школьной программы факты:
1. Серединный перпендикуляр к отрезку — это геометрическое
место точек, равноудаленных от концов отрезка.
2. Расстояние от точки до окружности измеряется по прямой,
соединяющей эту точку с центром окружности.
Соединим точку S и центр окружности — точку О прямой. Назовем точку пересечения этой прямой с окружностью точкой V. Тогда
искомая точка (равноудаленная от окружности и S) лежит на середине отрезка SV. Все последующие точки будем строить так: выберем точку Р на окружности, соединим ее с точкой О (рис. 1). Очевидно, что искомая точка должна лежать на радиусе окружности.
То есть наша задача найти на этом радиусе такую точку, которая
была бы равноудалена как от окружности (точки Р), так и от точки
S. Для этого воспользуемся свойством серединного перпендикуляра. Соединим точки Р и S и восстановим к этому отрезку серединный перпендикуляр. Точка его пересечения с радиусом окружности и есть искомая точка X.
Для красивого рисунка необходимо сделать не менее восьми построений в каждой полуплоскости. Можно построить только одну
ветвь кривой, а вторую отобразить относительно оси симметрии
OS (рис. 2).
Программа «Живая математика» позволяет показать, как происходит построение геометрического места точек. Для этого достаточно построить точку Р по указанной технологии, выделить полученную искомую точку и «попросить» программу оставлять след
этой точки на экране. После этого мышью подхватить точку Р и менять ее местоположение на окружности. Точка Х будет описывать
эллипс и оставлять свой след на экране компьютера. Это поистине
завораживающее зрелище, вызывающее восхищение не только у
детей, но и у взрослых.
ТЕ М А Н О М Е РА : Л А Б О РАТО Р Н О - П РА КТ И Ч Е С К И Е РА Б ОТ Ы
М А СТ Е Р С КА Я
/
М Е ТО Д О Б Ъ Е Д И Н Е Н И Е
Рис. 1
Рис. 3
Рис. 2
«Свойство эллипса: сумма расстояний от
каждой точки эллипса до его фокусов — постоянна». Это свойство очень удобно изучать с помощью только что сделанного чертежа (рис. 1). Глядя на чертеж, ученики должны попробовать доказать это свойство, а также ответить на вопрос:
чему равна сумма расстояний от точки на эллипсе до фокусов. Эта задача оказывается по плечу
не только сильным ученикам, но и средним, что
является ее большим достоинством, так как решение подобной задачи, безусловно, поднимает
ученика в его собственных глазах, делает его увереннее в своих мыслительных способностях.
Для закрепления запишем условие равноудаленности точки Х:
XS = XР или XS + XO = R = const.
Так выглядит эллипс, построенный как ГМТ,
равноудаленных от окружности и точки, лежащей внутри нее.
Рассмотрим прямую d и точку S, не лежащую
на этой прямой. Построим ГМТ, равноудаленных
от прямой и точки.
Основание перпендикуляра, проведенного из
точки S к прямой, есть точка V. Первая точка,
равноудаленная от прямой и точки S, есть середина отрезка SV, как и в предыдущем случае.
Выберем на прямой d точку Р и проведем через
нее перпендикуляр к этой прямой. Искомая точка должна лежать на перпендикуляре. Соединим
точки Р и S и построим серединный перпендикуляр к отрезку РS (рис. 3).
Пересечение серединного перпендикуляра с
только что построенной прямой и есть искомая
Рис. 4
МАТЕМАТИКА июль-август 2014
точка Х. Для построения красивого чертежа необходимо построить не менее четырех точек для
каждой половины кривой; очевидно, что кривая
симметрична относительно прямой SV (рис. 4).
Построив несколько симметричных точек, ученики легко угадают, что перед ними парабола.
Составим уравнение параболы, считая расстояние от фокуса S до директрисы d равным p.
Введем систему координат так, чтобы уравнение
p
директрисы имело вид y = − , а фокус S лежал
2
бы на оси ординат. Тогда координаты фокуса
 p
S  0;  . Точка P на директрисе имеет координа 2
p

ты P  x; −  , а точка X параболы имеет коорди
2
наты X(x; y).
Условие PX = SX или PX2 = SX2 и задает параболу. Запишем последнее уравнение в координатах.
2
2
p
p


PX 2 =  y +  , SX 2 =  y −  + x 2 .


2
2
Отсюда
2ру = х2 , y =
Если принять, что a =
1 2
x .
2p
1
, то уравнение пара2p
болы выглядит как y = ax2.
В таком случае легко проделать обратную операцию, выяснить координаты фокуса и записать
уравнение директрисы по уравнению параболы.
Из равенства a =
1
следует, что
2p
p=
Рис. 5
18
1
a,
2
p 1
= a.
2 4
Рис. 6
1 
 и уравнение дирек4a 
1
трисы выглядит так: y = − . Так как любое
4a


Это значит, что S  0;
уравнение вида у = ax2 + bx + c можно привести
к виду у = a0x2 путем сдвига осей координат, то
выведенные формулы справедливы для любой
параболы.
Следующий вопрос, который хорошо бы обсудить, разглядывая проделанное построение,
это вопрос о том, чем является серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему фокус параболы с ее директрисой, для самой параболы.
Действительно ли это касательная?
Касательная в некоторой точке X кривой характеризуется тем, что она имеет с этой кривой
единственную общую точку. Все же остальные
прямые, проходящие через точку P, являются
секущими, то есть пересекают кривую еще и во
второй точке. XP = XS.
Рассмотрим две соседние с X точки А и В на
серединном перпендикуляре m (рис. 6).
Обе эти точки равноудалены от концов отрезка
SP. Отрезок перпендикуляра из точки А к прямой d короче отрезка AP, а значит, и короче отрезка AS. Следовательно, расстояния от точки А
до директрисы и фокуса не равны и она не является точкой параболы. Аналогичные рассуждения для точки В приводят к тому же результату. Следовательно, только точка X принадлежит
кривой и серединному перпендикуляру одновременно. Значит, серединный перпендикуляр является касательной к параболе.
Какая кривая получится, если строить ГМТ,
равноудаленных от окружности и точки, лежащей вне этой окружности?
Проведем построение (рис. 7). Первая точка — середина отрезка SV. Далее выберем на
окружности точку Р, проведем луч ОР. На нем
будет располагаться искомая точка. Соединим
точки Р и S и построим серединный перпендикуляр к отрезку PS. Точка Х лежит на пересече-
Рис. 7
Рис. 8
нии радиального луча с серединным перпендикуляром.
Сдвигаем точку Р вниз по окружности и строим соответствующие ей точки Х. Делаем это до
тех пор, пока не окажется, что очередная точка Рi
является точкой касания окружности и прямой
SPi. Здесь серединный перпендикуляр к отрезку
и радиальный луч оказываются параллельными, а точка Х уходит в бесконечность (рис. 8).
Продолжим движение точки Р по окружности,
проводя необходимые построения. Мы видим,
что точка Х, уйдя в бесконечность «снизу», возвращается из бесконечности «сверху» (рис. 9).
Но это не удивительно. Мы много раз видели это
на уроках алгебры, строя гиперболу.
Устремляя точку Р к центру окружности, мы
видим, как центр определяющей окружности
становится вторым фокусом. На этом закончим
построения (они и так слишком трудоемки) и отразим полученные дуги кривых относительно
горизонтальной оси SO.
Теперь вернемся к равенству XS = XP.
Для гиперболы (это прекрасно видно на чертеже) оно выливается в другое равенство (см.
рис. 8):
XO – XS = R = const.
И это свойство гиперболы можно предложить
увидеть (найти) классу самостоятельно.
Проделанная работа не заканчивается в тот
момент, когда картинки уже нарисованы, формулы записаны, на дополнительные вопросы
даны ответы и оценки поставлены. После этого
стоит рассказать ученикам о траекториях движения небесных тел и объектов, движущихся в
гравитационном поле Земли. Так, эллипс — траектория движения планет вокруг Солнца, расположенного в одном из его фокусов. Некоторые
астероиды движутся слишком быстро, чтобы
остаться на какой-либо солнечной орбите, траектория их движения — гипербола. Ну а любой
объект, брошенный в небо, описав в воздухе параболу, падает на землю.
19
Рис. 9
МАТЕМАТИКА июль-август
2014