ОДНА МОДЕЛЬНАЯ ЗАДАЧА О ПРИЛИВНОЙ ЭВОЛЮЦИИ ЗЕМЛИ И ЛУНЫ А.А.Зленко

УДК 531.35
А.А.Зленко
Московский автомобильно-дорожный институт(государственный
технический университет) г.Москва, Россия
ОДНА МОДЕЛЬНАЯ ЗАДАЧА О ПРИЛИВНОЙ ЭВОЛЮЦИИ
ЗЕМЛИ И ЛУНЫ
В работе получены уравнения, описывающие
поступательное
движение центров масс двух вязкоупругих шаров и их вращательное движение
вокруг центров масс, в поле притягивающего центра. Найдены стационарные
решения этих уравнений. Данные уравнения применены для исследования
приливной эволюция Земли и Луны.
Ранее в работах [1-8]
изучались различные модели приливных
явлений, вызывающих эволюцию вращательного и поступательного движения
планет. Один из подходов был предложен Вильке В.Г. в монографиях [8-9] для
систем с бесконечным числом степеней свободы, использующий метод
усреднения и разделения движений. В работе Вильке В.Г. и Шатиной А.В [10]
рассматривается эволюция движения двойной планеты,
состоящей из
вязкоупругого шара и материальной точки. Новизна нашей работы заключается
в том, что мы изучаем эволюцию Земли и Луны на основе модели , состоящей
из двух вязкоупругих шаров, движущихся в поле притягивающего центра.
Рассмотрим кратко нашу модель.
Масса притягивающего центра (Солнце) предполагается значительно
больше массы одного из шаров (Земля), которая, в свою очередь, значительно
больше массы другого шара (Луна). Шары предполагаются однородными и
изотропными, Их деформируемое состояние описывается классической теорией
упругости малых деформаций. В качестве модели вязких сил взята модель
Кельвина – Фойхта с диссипативным функционалом,
пропорциональным
функционалу упругих сил. Известно [3], что предельным движением центра
масс вязкоупругой планеты в центральном поле сил является окружность, а ось
вращения планеты стремится занять положение, перпендикулярное плоскости
орбиты [4]. Поэтому естественно предполагается,
возмущений
что при отсутствии
барицентр шаров движется вокруг притягивающего центра по
круговой кеплеровой орбите, а сами шары движутся по круговым кеплеровым
орбитам вокруг барицентра, а при наличии возмущений − по квазикруговым
орбитам. Также полагаем, что оси вращения шаров перпендикулярны
плоскости их орбиты. Возмущениями в данной задаче являются приливные
взаимодействия, возникающие за счет вязкоупругости шаров.
В
результате
получена
следующая
система
эволюционных
уравнений:
[
]
16 3
ω& 1 = c1ω1
k1( ω1 − ω3 ) + k2 ( ω1 − ω4 ) ,
16 3 
(
)2 (
)
(
)2 (
) ,
ω& 2 = c2ω 2
k1 m2 m ω 2 − ω 3 + k 2 m1 m ω 2 − ω4 
(1)
ω& 3 = c3 k1 ω14 (ω1 − ω3 ) + (m2 m )2 ω 24 (ω2 − ω3 ) ,


ω& 4 = c4 k 2 ω14 (ω1 − ω4 ) + (m1 m )2 ω 24 (ω2 − ω4 ) ,


где
вокруг
ω1 − угловая скорость орбитального движения барицентра шаров
притягивающего
центра,
ω 2 − угловая
скорость
шаров
вокруг
барицентра, ω3 и ω4 − угловые скорости вращения первого и второго шара
соответственно вокруг их осей; c1 ,c2 ,c3 ,c4
- коэффициенты, зависящие от
масс шаров и их радиусов, k1 ,k 2 -коэффициенты, зависящие от вязкоупругих
свойств шаров и их плотности, m1 ,m2 − массы шаров, m = m1 + m2 .
Система (1) имеет
первый интеграл (интеграл момента количества
движения) :
−1 3
−1 3
3с1−1ω1
+ 3с2−1ω 2
+ с3−1ω3 + с4−1ω4 = G0 ,
G0 - константа, находимая из начальных условий.
(2)
Показано, что система (1) имеет стационарное решение
ω1 = ω 2 = ω3 = ω 4 = ω ,
где ω находится из уравнения (2). Доказано, что для Солнца, Земли и Луны
стационарная точка является неустойчивой.
Система (1)
численно интегрировалась в MATLAB7.0.1.
Солнца, Земли и Луны
Данные
на начальный момент брались в [11], по ним
вычислялись ci (i=1-4). Значения коэффициентов k1
и k 2 находились
из
условия, что в начальный момент увеличение земных суток равно 0,0016 сек
за сто лет [11],
и что угловая скорость обращения Луны вокруг Земли равна
угловой скорости вращения Луны вокруг своей оси, и скорости их изменения
также равны. Время измерялось в единицах времени на начальный момент.
Гипотетическая картина эволюции Земли и Луны
в прошлом
представляется следующей.
4,5 млрд. лет назад расстояние Луны от Земли составляло 2,8 млн. км и
период обращения Луны вокруг Земли был 538 суток. Вращение Луны вокруг
собственной оси было обратным и очень быстрым с периодом около 7сек.
Земные сутки продолжались 20 часов и постепенно равномерно увеличивались
до текущего значения. С течением времени Луна приближалась к Земле и
период ее вращения вокруг оси увеличивался.
Около 4,45 млн. лет назад Луна приблизилась к Земле на расстояние
383916 км и после этого она начала удаляться от Земли, что и наблюдается в
настоящее время.
Около 4,4 млн. лет назад Луна изменила направление собственного
вращения вокруг оси, т.е. оно стало таким, как теперь. Длина лунных суток
начала уменьшаться
и
350000 лет назад
достигла локального минимума
27,316 час. После этого началось медленное увеличение длины лунных суток.
163000 лет назад орбитальная угловая скорость Луны практически
сравнялась с осевой скоростью вращения. Их отличие составило менее 0,01% .
Наступило явление резонанса 1:1, который сохраняется на все последующие
времена.
Гипотетическая картина эволюции Земли и Луны
в будущем
представляется следующей.
Луна будет удаляться от Земли, продолжительность лунных и земных
суток будет расти. Через 5 млрд. лет расстояние Луны от Земли составит
453000 км, период обращения Луны вокруг Земли и период вращения вокруг
оси составит 35 часов, а длина земных суток - 46 часов.
Если рассматривать эволюцию на более длительные времена, то здесь
возможна следующая ситуация.
Луна достигнет максимального расстояния от Земли 506127 км, период
вращения вокруг оси составит 41,33 суток. Затем Луна начнет приближаться к
Земле. Период вращения Земли вокруг оси будет продолжать увеличиваться и
достигнет наибольшего значения 75 суток.
Дальнейшая тенденция связана с
тем, что Луна приближается к Земле, период обращения Луны вокруг Земли,
лунные и земные сутки сближаются и имеют значение ≈2,168 суток. Луна в
этот момент находится от Земли на расстоянии 70912 км, т.е. очень близко, что
может привести к ее падению на Землю. Надо сказать, что угловая скорость
обращения барицентра Земли и Луны вокруг Солнца за этот громадный
промежуток времени очень медленно уменьшалась и ее отличие от начальной
составило менее 0,0002%.
Результаты данной работы могут быть применены для построения
более точной модели, т.е. в движении вязкоупругих шаров следует учесть
эллиптичность их орбит, произвольный наклон их осей вращения к плоскости
орбиты, а также для исследования эволюции двойных планет (Плутон-Харон).
Список использованных источников
1. Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс в
гравитационном поле. М.:МГУ, 1975, 308с.
2.
Приливы и резонансы в Солнечной системе. Сборник статей под
редакцией Жаркова В.Н. М.: Мир, 1975, 288с.
3.
Вильке
В.Г.
Движение
вязкоупругого
шара
в
центральном
ньютоновском поле сил. // ПММ, 1980, т.44, вып. №3, с. 395-402.
4. Вильке В.Г., Копылов С.А., Марков Ю.Г. Эволюция вращательного
движения вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил. // ПММ,
1985, т.49, вып. 1,с. 25-34.
5. Demin V.G., Markov Y.G., Minyaev I.S. On the motion around the centre of
mass of a viscously elastic sphere in the restricted elliptic three-body problem. //
Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 50, 231-249,1991.
6. Марков Ю.Г., Миняев И.С. Пространственный вариант задачи
« деформируемая планета – спутник » в поле притягивающего центра. // Косм.
исслед., 1994, 32, вып. 6, с. 89-98.
7. Авсюк Ю.Н. Приливная сила в случае невозмущенного (кеплерова)
движения исследуемого тела и в случае возмущенного движения. // Физика
Земли, 2001, № 11, с. 40-49.
8. Вильке В.Г. Аналитическая механика систем с бесконечным числом
степеней свободы. Ч 1,2. М.: Изд-во мехмата МГУ, 1997, Ч 1 216 с., Ч 2 160с.
9. Вильке В.Г. Теоретическая механика. М.: МГУ, 1998, 272 с.
10. Вильке В.Г., Шатина А.В. Эволюция движения двойной планеты. //
Косм. исслед., 2001, т.39, № 3, с. 316-323.
11. Куликовский П.Г. Справочник любителя астрономии. М.: Эдиториал
УРСС, 2002, 5-е издание, 688с.