Определение расстояния до корабля

1С:Математический конструктор 5.5
107
•
Методические указания к интерактивным моделям
Определение расстояния до корабля
Класс: 8-9
Тема: Подобные треугольники, Теоремы косинусов и синусов
Назначение: Имитация выполнения практической работы на местности, состоящей в измерении расстояния от
берега до корабля, находящегося в море
Как изучать: Под руководством учителя, самостоятельно дома
***
Модуль содержит модель для решения практической задачи на измерение расстояния до
недоступного объекта.
На чертеже изображены береговая линия, корабль, находящийся в море, и два луча с началом на
берегу, направление которых можно регулировать. Лучи символизируют возможные положения
наблюдателей на берегу.
Цель задания – определить расстояние от корабля до береговой линии (в условных единицах, с
точностью до 0,1). При этом прямое измерение считается невозможным (нельзя «залезать в море»),
но зато можно измерять любые расстояния и углы на берегу. Лучи AB и CD играют роль теодолитов –
геодезических приборов для определения направлений на удалённые объекты и измерения углов.
В дополнение к инструментам «Измерение длины» и «Измерение величины угла» в модели даны
кнопки для вычисления тригонометрических функций, выполнения арифметических действий над
измерениями и вызова калькулятора.
1С:Математический конструктор 5.5
•
Методические указания к интерактивным моделям
ЗАМЕЧАНИЕ: поскольку в реальной ситуации размеры корабля малы в сравнении с искомым
расстоянием, то будем считать корабль точкой (красная точка на чертеже около изображения
корабля).
Методические рекомендации по работе с модулем
В зависимости от выбранного способа измерения модуль можно использовать при изучении
нескольких тем школьного курса планиметрии: в 9 классе при изучении темы «Теоремы косинусов и
синусов» или в 8 классе при изучении темы «Подобие треугольников».
Модуль может использоваться непосредственно на уроке под руководством учителя или как
домашняя работа.
Урок по теме «Теоремы косинусов и синусов»
1. Покажите учащимся модель и объясните, какую реальную ситуацию она описывает. Выясните,
какие измерения можно проводить на чертеже, а какие – нет.
2. ВОПРОС: кто-нибудь стрелял из ружья в тире? Объясните, для чего служат целик и мушка,
образующие прицел. ОТВЕТ: для того, чтобы навести ствол ружья на цель, то есть, чтобы прямая,
продолжающая ствол, прошла через цель. Вот и в нашем случае точки A, B и C, D будут играть
роль прицела, с помощью которого можно более точно навести луч на интересующую нас цель –
корабль. В реальной ситуации можно расположить в точке A наблюдателя, а в точке B вбить шест.
При этом шест будет играть роль мушки: наблюдатель должен расположиться так, чтобы шест и
корабль были на одной линии с наблюдателем.
3. Попросите учащихся как можно точнее навести лучи AB и CD на корабль (точнее, на красную
точку около него). Заметим, что точность наводки увеличивается с расстоянием между точками A
и B (C и D). Кроме того, точки можно двигать не только мышью, но и клавишами со стрелками,
предварительно выделив нужную точку.
4. Обозначим красную точку, символизирующую корабль, буквой K. ВОПРОС: у нас имеется
треугольник AKC и четырёхугольник ABDC. Какие измерения в них можно провести? ОТВЕТ:
можно измерить любые попарные расстояния между точками A, B, C, D, а также угол,
образованный любой тройкой этих точек. Но это ещё не позволяет найти нужное расстояние.
5. ВОПРОС: давайте попробуем расположить точки B и D не произвольно, а на береговой линии.
Что изменилось? ОТВЕТ: теперь искомое расстояние – это высота в треугольнике BKD. А в этом
треугольнике мы можем измерить основание BD и углы при основании (точнее дополнительные к
ним). По теореме синусов можем найти BK и KD, а значит, и высоту.
6. Далее учащиеся самостоятельно проводят необходимые измерения и расчёты.
7. Перед проверкой ответа учтите, что наводка лучей на корабль в любом случае выполнена
приблизительно. Поэтому полученной вами точности может не хватить для того, чтобы ответ был
засчитан. Рекомендуем провести несколько измерений, по-разному располагая лучи, а затем взять
их среднее арифметическое. Именно так поступают и в реальных ситуациях, когда нужно
избавиться от случайной (не систематической) погрешности измерений: проводят серию
независимых измерений, а затем берут среднее. Этот метод основан на известном в теории
вероятностей законе больших чисел.
8. ВНИМАНИЕ: положение корабля разыгрывается случайно при загрузке модели, поэтому у
учеников будут получаться разные ответы. Это позволяет, в частности, запускать модель
несколько раз, получая задачи с разными исходными данными.
1С:Математический конструктор 5.5
•
Методические указания к интерактивным моделям
Урок по теме «Подобие треугольников»
1. Подготовительные пункты 1-4 аналогичны рассмотренным выше.
2. ВОПРОС: давайте попробуем расположить точки B и D не произвольно, а на береговой
линии. Что изменилось? ОТВЕТ: теперь искомое расстояние – это высота в треугольнике
BKD.
3. ВОПРОС: будут ли треугольники BKD и AKC подобны? ОТВЕТ: нет. Для этого нужно,
чтобы отрезок AC был параллелен BD, т.е. береговой линии. Но у нас нет в распоряжении
инструментов для точного построения параллельной прямой.
4. ВОПРОС: предложите какой-нибудь приближённый «практический» способ сделать AC и
BD параллельными. ОТВЕТ (возможный): измеряем углы ∠BCA и ∠CBD и делаем их
равными, двигая одну из точек – A или C.
5. Итак, получили AC || BD и при этом B и D лежат на береговой линии. Треугольники AKC
и BKD подобны. Отсюда имеем:
KB
BD
KD
.
=
=
KB + BA AC KD + DC
Измерив BA, BD, AC и DC находим отсюда KB и KD.
6. В треугольнике KBD нам известны все стороны. Нужно найти высоту, опущенную на BD.
Это можно сделать, используя, например, теорему Пифагора.
7. Далее учащиеся самостоятельно проводят необходимые измерения и расчёты.