ФГОУ ВПО ВОРОНЕЖСКИЙ ИНСТИТУТ ФСИН РОССИИ

ФГОУ ВПО ВОРОНЕЖСКИЙ ИНСТИТУТ ФСИН РОССИИ
кафедра математики и естественно-научных дисциплин
«УТВЕРЖДАЮ»
Начальник кафедры МиЕНД,
__________________ Р. В. Кузьменко
«____» _____________ 20__ г.
ПЛАН-КОНСПЕКТ (ТЕЗИСЫ ЛЕКЦИИ)
проведения занятия по дисциплине «Инженерная и компьютерная графика»
Тема № 1.3. Позиционные и метрические задачи
Вид занятия: лекция
Время: 4 часа (180 мин)
Категория обучающихся: курсанты 1-го курса (очная форма обучения)
Воронеж - 2010
Учебные и воспитательные цели: рассмотреть, какое место занимает
проекционное черчение для умения читать и разрабатывать чертежи изделий,
изучить способы проецирования, рассмотреть основные вопросы, связанные с
комплексными чертежами точки, прямой, плоскости.
Учебные вопросы
Вступительная часть
1. Задачи на взаимную принадлежность точек, прямых и
плоскостей
2. Задачи на взаимное расположение прямой и плоскости, двух
плоскостей
3. Метрические задачи. Метрические свойства прямоугольных
проекций
4. Способы преобразования комплексного чертежа Монжа
5. Многогранники и их изображение на комплексном чертеже
Монжа
Заключительная часть
Время,
мин.
5
45
30
35
30
30
5
Литература
1. Фазлулин, Э. М., Инженерная графика: учебник / Э. М. Фазлулин, В.
А. Халдинов – М., 2009.
2. Чекмарев, А. А. Инженерная графика: Учеб. для немаш. спец. вузов. /
А. А. Чекмарев. – М: Высш. шк., 2009.
2
Тема № 1.3. Позиционные и метрические задачи
Вопрос 1. Задачи на взаимную принадлежность точек, прямых и
плоскостей
Позиционными называют задачи, в которых определяется взаимное
расположение различных геометрических фигур.
К таким задачам относятся задачи на взаимопринадлежность
(построение точки на линии или поверхности, проведение линии на
поверхности или поверхности через заданные линии и другие) и задачи на
пересечение (пересечение линии с плоскостью и поверхностью, пересечение
плоскости с плоскостью и поверхностью, пересечение поверхностей).
Различают «прямые» и «обратные» позиционные задачи. В прямых
задачах необходимо построить чертежи оригиналов, расположенных
определенным образом относительно друг друга. В обратных позиционных
задачах по имеющемуся чертежу определяется взаимное расположение точек,
прямых и плоскостей относительно друг друга.
1.1 Взаимное расположение двух точек
Возможно всего два варианта расположения двух точек в пространстве:
точки совпадают или не совпадают. Если две точки совпадают, то
совпадают и все их проекции (рисунок 1,а).
Когда точки не совпадают в пространстве, то их проекции могут:
1) не совпадать на всех проекциях (рисунок 1, б);
2) не совпадать хотя бы на одной проекции (рисунки 1, в, г).
При несовпадении точек в пространстве возникает вопрос: как они
расположены относительно друг друга?
Рассматривая чертеж (рисунок 1, б), определяем, что точка А
расположена левее точки В на величину a, ближе точки В на величину b и
ниже точки В на величину c.
На рисунке 1, в и 1, г изображены, соответственно, горизонтально
конкурирующие точки C=D и фронтально конкурирующие точки E=F.
Как видно, точка C выше точки D на величину d, а точка E ближе точки
F на величину e.
3
Рисунок 1 – Взаимное расположение двух точек (продолжение)
1.2 Взаимное расположение точек и прямой
Точка может либо лежать на прямой, либо быть вне ее. Если точка
находится на прямой, то ее проекции должны лежать на одноименных
проекциях прямой (точка А на рисунке 2).
Рисунок 2
4
Если же точка находится вне прямой, то хотя бы одна из проекций точки
не будет лежать на одноименной проекции прямой (рисунок 2, точки В, С, D).
На рисунке 2 видно, что точка В находится над прямой l, т. к. она
расположена выше, чем горизонтально конкурирующая с ней и лежащая на
прямой точка, помеченная крестиком. Здесь же видно, что точка С
расположена за прямой l, поскольку она находится дальше, чем лежащая на
прямой и фронтально конкурирующая с ней точка, отмеченная крестиком. О
точке D можно сказать, что она находится ближе и ниже прямой l, т. к. она
ближе и ниже точки лежащей на прямой.
1.3 Взаимное расположение двух прямых
Две прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными
или скрещиваться.
Если две прямые пересекаются в некоторой точке К, то проекции точки
пересечения должны принадлежать проекциям прямых (рисунок 3, а). То есть
точки пересечения проекций прямых лежат на одной линии связи.
Если прямые параллельны, то одноименные проекции этих прямых
также параллельны (рисунок 3, б).
Если же прямые скрещиваются, то кажущиеся точки пересечения их
проекций таковыми не являются, что видно на рисунке 3, в.
Здесь мы имеем дело не с одной точкой (пересечения), а с двумя парами
конкурирующих точек А1=А2 и В1=В2.
Рисунок 3
Таким образом, взаимное положение двух непрофильных прямых
определяется так:
1) если проекции прямых параллельны, то прямые параллельны;
2) если точки пересечения проекций лежат на одной линии связи, то
прямые пересекаются;
5
3) если же эти точки не лежат на одной линии связи, то прямые
скрещиваются.
1.4 Взаимное расположение точки и плоскости
Точка может лежать в плоскости или быть вне ее.
Если точка лежит в плоскости общего положения, то ее проекции
должны лежать на проекциях какой-либо прямой, принадлежащей данной
плоскости.
Итак, если точка лежит на вспомогательной прямой, принадлежащей
плоскости, то она лежит в этой плоскости.
Вопрос 2. Задачи на взаимное расположение прямой и плоскости,
двух плоскостей
2.1 Взаимное расположение прямой и плоскости
Определение взаимного расположения прямой и плоскости является
одной из важнейших задач курса, поскольку она входит как вспомогательная в
решение более сложных задач на пересечение многогранников с прямой, с
плоскостью, друг с другом или другой поверхностью.
Возможны три варианта расположения прямой и плоскости
относительно друг друга: прямая может принадлежать плоскости,
пересекаться с ней или быть ей параллельной.
Из геометрии известно:
1) прямая принадлежит плоскости, если две ее точки принадлежат
плоскости (т. е. она совпадает с некоторой прямой лежащей в плоскости),
(рисунок 4, а);
2) прямая пересекается с плоскостью, если она пересекается с какойлибо прямой этой плоскости, (рисунок 4, б);
3) прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо
прямой лежащей в плоскости, (рисунок 4, в).
Рисунок 4
6
Таким образом, определение взаимного расположения прямой и
плоскости сводится, в общем случае, к определению взаимного расположения
двух прямых – данной прямой и вспомогательной прямой, принадлежащей
данной плоскости.
2.2 Взаимное расположение плоскостей
Две плоскости в пространстве могут совпадать, быть параллельными
или пересекаться.
Если плоскости Б и Д совпадают или параллельны, то соответственно
этим случаям для любой прямой l плоскости Б всегда найдется такая прямая m
плоскости Д, которая будет совпадать с прямой l (рисунок 5, а), или будет
параллельна ей (рисунок 5, б).
Если же плоскости пересекаются, то любая прямая l плоскости Б будет
пересекаться с какой-нибудь прямой m плоскости Д в некоторой точке К,
принадлежащей линии пересечения плоскостей (рисунок 5, в, прямые l1 и m1).
Рисунок 5
Может оказаться, что прямые l и m будут параллельны, при этом они
будут параллельны и линии пересечения плоскостей k (рисунок 5, в, прямые l2
и m2).
Поскольку плоскость определяется двумя прямыми (пересекающимися
или параллельными), то для определения взаимного расположения двух
плоскостей Б и Д необходимо определить взаимное расположение двух пар
прямых этих плоскостей. Обычно в качестве таких прямых выбирают
конкурирующие прямые.
Нужно отметить, что при определении взаимного расположения двух
плоскостей по двум параллельным прямым каждой плоскости не всегда
удается однозначно решить задачу – плоскости могут оказаться или
параллельными или пересекаться. Поэтому, если прямые первой пары
оказались параллельными, то вторую пару прямых следует проводить не
параллельно прямым первой пары.
7
Условие параллельности плоскостей лучше выразить так: если две
пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум
пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости
параллельны.
Это служит основным признаком для определения параллельности
плоскостей, а также для построения двух параллельных плоскостей.
Вопрос 3. Метрические задачи. Метрические свойства
Прямоугольных проекций
Задачи, в которых выясняются вопросы измерения длин отрезков и
углов, определения натуральной формы плоских фигур и другие называют
метрическими задачами.
Указанные задачи можно выполнить с помощью способа
прямоугольного треугольника.
К метрическим задачам также относятся задачи на построение
перпендикулярных прямых и плоскостей.
Часто бывает необходимо определить натуральную длину отрезка
прямой, зная длины проекций отрезка. Это можно сделать, используя
соотношения в прямоугольном треугольнике.
Пусть задан отрезок АВ прямой общего положения. Спроецируем его
ортогонально на плоскости проекций П1 и П2 . Получим горизонтальную
проекцию А1В1 и фронтальную проекцию А2В2 отрезка прямой (рисунок 6).
Выполним дополнительное построение, которое заключается в
проведении прямой через точку А параллельно горизонтальной проекции
отрезка А1В1. Точку пересечения этой прямой с проецирующей прямой ВВ1
обозначим В’.
Рассмотрим треугольник АВ’B. Это прямоугольный треугольник с
прямым углом при вершине В’(т. к. прямая ВВ1 перпендикулярна П1, а прямая
АВ’ параллельна П1). Одним катетом этого треугольника является отрезок,
равный горизонтальной проекции А1В1 (АВ’= А1В1), а другим катетом –
отрезок ВВ’, равный разности высот точек А и В (высота точки А – отрезок
АА1, высота точки В – отрезок ВВ1) – Δh=hA-hB. Гипотенуза треугольника равна
натуральной длине отрезка АВ, а угол между гипотенузой и прилежащим
катетом равен углу α наклона отрезка АВ к горизонтальной плоскости
проекций П1.
8
B**
z2
В2
П2
α
А
А1
П1
|AB|
B’’
В
β
А2
x12
Δf=fB-fA
β
В’
Δh=hB-hA
B’ x12
Y1
B2
Δh=hB-hA
А2
В1
Δf=fB-fA
A1
α
|AB|
B*
В’’
Δf=fB-fA
B1
Δh=hB-hA
Рисунок 6 – Определение натуральной длины отрезка прямой
и углов наклона прямой АВ к плоскостям: П1 –α, П2 –β
Выполним дополнительные построения на комплексном чертеже. В
точке В1 восстановим перпендикуляр к прямой А1В1 и на нём отложим отрезок
В1В*, равный отрезку В2В’ – разности высот точек А и В Δh=hA-hB.
Если сравнить между собой два треугольника – треугольник А1В1В* на
комплексном чертеже и треугольник АВ’В на наглядном изображении, то
можно увидеть, что это два прямоугольных треугольника с одинаковыми
катетами. А в этом случае они равны между собой. Поэтому гипотенуза
треугольника А1В1В* на комплексном чертеже равна натуральной длине
отрезка АВ, а угол между гипотенузой и прилегающим катетом равен углу α
наклона отрезка прямой АВ к горизонтальной плоскости проекций П1.
Аналогичные построения можно сделать и для плоскости П2. На
наглядном изображении проведём прямую АВ” параллельно фронтальной
проекции А2В2 отрезка АВ. Получившийся треугольник АВВ” также является
прямоугольным с прямым углом в точке В”. Один катет АВ” треугольника
равен по длине фронтальной проекции отрезка А2В2, а второй катет – разности
глубин точек А и В (глубина точки А – отрезок АА2, глубина точки В – отрезок
ВВ2) – Δf=fB-fA. Гипотенуза треугольника равна натуральной длине отрезка АВ,
а угол между гипотенузой и прилежащим катетом равен углу β наклона
отрезка АВ к фронтальной плоскости проекций П2.
Дополним комплексный чертеж. В точке В2 восстановим перпендикуляр
к прямой А2В2 и на нём отложим отрезок В2В**, равный отрезку В1В’’ –
разности глубин точек А и В Δf=fB-fA.
Если сравнить между собой два треугольника – треугольник А2В2В** на
комплексном чертеже и треугольник А” на наглядном изображении, то
9
можно увидеть, что это два прямоугольных треугольника с одинаковыми
катетами. В этом случае они равны между собой. И поэтому гипотенуза
треугольника А2В** на комплексном чертеже равна натуральной длине
отрезка АВ, а угол между гипотенузой и прилегающим катетом равен углу β
наклона отрезка АВ к фронтальной плоскости проекций П2.
Таким образом, натуральная величина отрезка прямой определяется
гипотенузой прямоугольного треугольника, одним катетом которого служит
какая-либо проекция этого отрезка, а другим катетом – разность
расстояний концов отрезка до выбранной плоскости проекций.
Вопрос 4. Преобразования комплексного чертежа Монжа
Решение многих геометрических задач на комплексных чертежах этих
объектов часто усложняется из-за того, что заданные геометрические объекты
расположены произвольно относительно плоскостей проекций и,
следовательно, проецируются на эти плоскости в искаженном виде. Поэтому
для более простого решения задач прибегают к преобразованию комплексного
чертежа, которое переводит интересующие нас прямые и плоские фигуры из
общего положения относительно плоскостей проекций в частное (прямые и
плоскости проецирующие и уровня).
Такое преобразование комплексного чертежа может быть осуществлено
следующими двумя основными способами:
1) способом замены плоскостей проекций, при котором оставляют
неизменным положение оригинала в пространстве, а заменяют одну или обе
плоскости проекций так, чтобы интересующие нас прямые и плоскости
оказались бы в частном положении по отношению к новой системе плоскостей
проекций;
2) способом вращения, при котором оставляют неизменной систему
плоскостей проекций, а изменяют положение оригинала в пространстве путем
его вращения вокруг одной или последовательно вокруг двух подходящим
образом выбранных осей так, чтобы интересующие нас прямые или плоскости
оказались бы в частном положении по отношению к данной системе
плоскостей проекций.
Кроме этих основных способов преобразования комплексного чертежа,
иногда при решении позиционных задач целесообразно пользоваться
способом дополнительного проецирования. В этом способе ортогональное
проецирование заменяют косоугольным или центральным проецированием
либо на одну из старых плоскостей проекций, либо на какую-нибудь новую
плоскость проекций.
Рассмотрим первый из названных способов более подробно.
Способ замены плоскостей проекций состоит в том, что одна из
основных плоскостей проекций П1, П2 или П3 заменяется новой плоскостью
проекций П4, подходящим образом расположенной относительно оригинала,
но перпендикулярной незаменяемой плоскости проекций. Так если заменяется
плоскость проекций П2, то новая плоскость П4 должна быть перпендикулярна
10
к незаменяемой плоскости П1 (рисунок 7). Если же заменяется плоскость П1,
то плоскость П4 должна быть перпендикулярна к плоскости П2 (рисунок 8).
В результате замены одной из основных плоскостей проекций на
плоскость проекций П4 мы получаем вместо старой системы плоскостей
проекций (П1, П2) новую систему (П2, П4), если заменялась плоскость П1, или
систему (П1, П4), если заменялась плоскость П2.
x24
П2
П2
П4
П4
x12
x14
П1
Рисунок 7
x12
П1
Рисунок 8
B каждой из этих систем можно произвести замену оставшейся
незаменённой плоскости. Так в системе (П1, П4) можно заменить плоскость П1
на новую плоскость П5, перпендикулярную незаменяемой плоскости П4, а в
системе (П2, П4) можно заменить плоскость П2 на плоскость П5,
перпендикулярную П4, после чего получим новые системы (П4, П5).
Последовательное введение новых плоскостей проекций П4, П5, П6, …
позволяет получить такую систему плоскостей проекций, относительно
которой данный оригинал займет удобное для решения той или иной задачи
положение. При решении большинства задач приходится вводить только одну
или две новые плоскости проекций.
Вопрос 5. Многогранники и их изображение на комплексном
чертеже Монжа
5.1 Разновидности многогранников
Многогранником
называется
тело,
ограниченное
плоскими
многоугольниками. Элементами многогранника являются вершины, ребра и
грани.
Многогранник называется выпуклым, если весь он лежит по одну
сторону от плоскости любой его грани.
Правильным называется многогранник, грани которого являются
правильным многоугольником. Всего существует пять правильных выпуклых
многогранников, которые первым исследовал и описал Платон, живший в V –
11
IV веках до н.э. Поэтому эти многогранники называют также «Платоновы
тела».
1 Тетраэдр (четырехгранник – правильная треугольная пирамида) – 4
вершины, 4 грани – треугольники.
2 Гексаэдр (шестигранник – куб) – 8 вершин, 6 граней – квадратов.
3 Октаэдр (восьмигранник) – 6 вершин, 8 граней – треугольников.
4 Икосаэдр (двадцатигранник) – 12 вершин, 20 граней – треугольников.
5 Додекаэдр (двенадцатигранник) – 20 вершин, 12 граней –
пятиугольников.
Из всего многообразия выпуклых многогранников наибольший
практический интерес представляют:
1) призмы – многогранники, у которых боковые ребра параллельны
друг другу, а боковыми гранями являются параллелограммы;
2) пирамиды – многогранники, у которых боковые ребра пересекаются
в одной точке – вершине;
3) призматоиды – многогранники, ограниченные какими-либо двумя
многоугольниками, расположенными в параллельных плоскостях и
называемыми основаниями, и треугольниками или трапециями, вершинами
которых служат вершины оснований (рисунок 12).
Рисунок 12 – Призматоид
5.2 Изображение многогранников на комплексном чертеже Монжа
На комплексном чертеже многогранник изображается проекциями
своих вершин и ребер. При этом невидимые ребра изображают штриховыми
линиями.
Для
однозначного
восприятия
чертежа
многогранника
рекомендуется проекции вершин обозначать буквами.
Рассмотрим пример. Построить комплексный чертёж пирамиды ABCD,
заданной своими вершинами (рисунок 13).
Сначала проводим сплошными основными линиями очерковые ребра
пирамиды AB, BC, CD и AD на горизонтальной и фронтальной плоскостях
проекций. Эти ребра друг друга не перекрывают. Затем соединяем сплошными
12
тонкими линиями рёбра AC и BD, которые являются скрещивающимися
прямыми и перекрывают друг друга.
Для определения видимости ребёр AC и BD на фронтальной плоскости
проекций воспользуемся фронтально конкурирующими точками 1 и 2.
Построив горизонтальные проекции этих точек, можно определить, что на П2
видимой будет точка 1, т.к. её глубина больше (она ближе к наблюдателю).
Поэтому на плоскости П2 ребро BD, на котором лежит точка 1, будет видимым
и его нужно обвести сплошной основной линией. Невидимую фронтальную
проекцию А2D2 ребра AD обводим штриховой линией.
B2
12=22
A2
32
42
x12
C2
D2
B1
21
C1
A1
11
31=41
D1
Рисунок 13 – Комплексный чертёж пирамиды
Для определения видимости ребёр AC и BD на горизонтальной
плоскости проекций воспользуемся горизонтально конкурирующими точками
3 и 4. Построив фронтальные проекции этих точек, можно определить, что на
П1 видимой будет точка 3, т.к. её высота больше (она ближе к наблюдателю).
Поэтому на плоскости П1 ребро BD, на котором лежит точка 3, будет видимым
и его нужно обвести сплошной основной линией. Невидимую горизонтальную
проекцию А1D1 ребра AD обводим штриховой линией.
Подготовил:
преподаватель кафедры МиЕНД,
канд техн. наук, доц.,
лейтенант внутренней службы
______________ С. Ю. Кобзистый
13