: ГО – геометрический образ ГПЗ – главная позиционная задача

ЛЕКЦИЯ № 2
Условные обозначения, сокращения и знаки. Предмет изучения начертательной геометрии.
Геометрические образы. Метод проецирования. Виды проецирования. Образование комплексного
чертежа. Комплексные чертежи прямых линий общего и частного положения. Взаимное
расположение прямых в пространстве и изображение их на комплексном чертеже. Позиционные
свойства ортогонального параллельного проецирования. Метрические свойства ортогонального
проецирования.
Условные обозначения и сокращения.
Сокращения:
ГО – геометрический образ
ГПЗ – главная позиционная задача
КЧ – комплексный чертеж
МЗ – метрическая задача
НВ – натуральная величина
НГ – начертательная геометрия
Геометрические образы:
A, B, C, … – точки пространства;
A1, B1, C1, … – горизонтальные проекции точек A, B, C, …;
A2, B2, C2, … – фронтальные проекции точек A, B, C, …;
а, b, c, d, … – линии пространства;
а1, b1, с1, d1, … – горизонтальные проекции линий a, b, c, d, …;
а2, b2, с2, d2, … – фронтальные проекции линий a, b, c, d, …;
h – горизонталь; f – фронталь;
d (d1, d2) – прямая d задана двумя своими проекциями d1 и d2.
∆, Σ, Ω, … - поверхности в пространстве;
∆1, Σ1, Ω1, … - горизонтальные проекции поверхностей ∆, Σ, Ω, …;
∆2, Σ2, Ω2 , … - фронтальные проекции поверхностей ∆, Σ, Ω, …;
Π1 - горизонтальная плоскость проекций;
Π2 - фронтальная плоскость проекций;
α, β, γ, … - углы.
Знаки взаимного расположения геометрических образов:
∈ - принадлежность (А ∈ b – точка А принадлежит прямой b);
∉ - отсутствие принадлежности (А ∉ b – точка А не принадлежит прямой b);
⊃ - включение (b ⊃ A – прямая b включает в себя точку А или прямая b проходит
через точку А);
⊥ - перпендикулярность (a ⊥ b – прямая а перпендикулярна прямой b);
║- параллельность (a ║ b – прямая a параллельна прямой b);
× - пересечение (a × b – прямая а пересекает прямую b);
≡ - совпадение (А1 ≡ В1 – горизонтальная проекция точки А совпадает с
горизонтальной проекцией точки В).
1
Начертательная геометрия (НГ) – раздел геометрии, в котором изучаются
различные методы изображения пространственных форм (геометрических
образов) на плоскости.
Изучение НГ способствует развитию пространственного воображения.
НГ учит грамотно владеть языком чертежа, создавать и читать его.
Предметами исследования НГ являются геометрические образы (ГО).
Геометрические образы (ГО):
Точка – ГО, не имеющий измерений.
Линия – ГО, имеющий одно измерение по своей длине. При рассечении линии
получаем точку, т.е. ГО, не имеющий измерений.
Поверхность – ГО, имеющий два измерения. При рассечении поверхности
получаем линию, т.е. ГО, имеющий одно измерение.
Сущность метода проецирования:
Создание изображений ГО на плоскости выполняется методом проецирования.
Аппарат проецирования состоит из плоскости проекций и направления
проецирования, заданного проецирующими лучами.
Метод проецирования состоит в определении точки пересечения
проецирующего луча, проходящего через точку пространства, с плоскостью
проекций. Точка пересечения называется проекцией пространственной точки на
плоскости проекций.
Требования, предъявляемые к проекционному чертежу:
наглядность, простота построения изображений, удобство для чтения и нанесения
размеров, обратимость – свойство чертежа, дающее возможность однозначно
определять форму, размеры и положение ГО.
Две основные задачи НГ:
1) прямая задача - построение проекции ГО на плоскости (чертеже)
2) обратная задача - воссоздание пространственного изображения ГО по чертежу.
Виды проецирования.
Виды проецирования отличаются направлением проецирования.
1) Центральное проецирование или перспектива.
Источником проецирующих лучей является точка О - центр проецирования, через
которую проходят все проецирующие лучи (Рис.2.1).
2) Параллельное проецирование (частный случай центрального проецирования)
Центр проецирования удален в бесконечность, проецирующие лучи параллельны
между собой и направлены под углом отличным от 90º к плоскости проекций
(Рис.2.2).
3)
Ортогональное
параллельное
проецирование
(частный
случай
параллельного проецирования).
Проецирующие лучи параллельны между собой и направлены под углом 90º к
плоскости проекций (Рис.2.3).
2
Рис.2.1
Рис.2.2
Рис.2.3
Изображения, получаемые различными способами проецирования
Центральное проецирование
Параллельное косоугольное проецирование
Параллельное ортогональное проецирование
3
Обратимость чертежа
У чертежей, имеющих одну плоскость проекций, нет обратимости, т.е.
нескольким отличным друг от друга геометрическим образам могут
соответствовать одинаковые проекции и наоборот (Рис.2.4), что не дает
возможности решить обратную задачу о воссоздании ГО по чертежу. Одна
плоскость проекций дает только две координаты для точки. Для того, чтобы
чертеж стал обратимым, достаточно ввести вторую плоскость проекций, т.к.
положение точки в пространстве определяется тремя координатами.
Рис.2.4
Образование комплексного чертежа (КЧ)
Используем ортогональное параллельное проецирование для получения проекций
отрезка АВ на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций П1 и П2
(Рис.2.5).
П1 – горизонтальная плоскость проекций.
П2 – фронтальная плоскость проекций.
А1В1 – горизонтальная проекция отрезка АВ.
А2В2 – фронтальная проекция отрезка АВ.
Проекции соединены линиями связи (связи
между проекциями объекта). Все линии связи
параллельны между собой.
Рис.2.5
4
Развернем две плоскости проекций в одну (Рис.2.6, а). Две линии связи для одной
точки сольются в одну.
Чертеж стал обратимым, т.к. теперь положение объекта, заданного двумя
своими проекциями, определяется тремя координатами в двух плоскостях
проекций:
• в горизонтальной плоскости проекций П1 двумя координатами XY;
• во фронтальной плоскости проекций П2 двумя координатами XZ .
1) Линия, разделяющая плоскости проекций, не влияет на взаимное положение
точек А и В, поэтому для решения позиционных задач не будем ее использовать.
Линию пересечения плоскостей проекций будем использовать в дальнейшем для
решения задач, связанных с преобразованием комплексного чертежа.
2) Границы плоскостей проекций тоже не имеют смысла, т.к. плоскости
бесконечны.
3) Обозначения плоскостей проекций П1 и П2 тоже не нужны, т.к. у обозначений
проекций есть индексы, показывающие принадлежность проекции той или иной
плоскости проекций. Получаем комплексный чертеж отрезка АВ на Рис.2.6, б.
а)
б)
Рис.2.6
Комплексный чертеж – это чертеж, составленный из двух или более связанных
между собой ортогональных проекций геометрического образа.
Из комплексного чертежа можно извлечь информацию о взаимном положении
точек в пространстве. Например:
Точки В и С расположены выше точки А.
Точки В и С расположены ближе точки А.
Точка В выше точки С и точка В расположена над
точкой С.
Проекции точек В и С на П1 совпадают и т.к. точка С
находится под точкой В, то С является невидимой на П1
и ее обозначение включает в себя круглые скобки.
5
Комплексный чертеж прямой линии
В зависимости от своего положения по отношению к плоскостям проекций
прямые лини разделяются на прямые общего положения и прямые частного
положения.
Комплексный чертеж
Вид в пространстве
Линии общего положения
Прямая общего положения – прямая,
не параллельная и не перпендикулярная
ни одной из плоскостей проекций.
b не ⊥ и не || П1 и П2
Линии частного положения
Линии уровня – линии параллельные какой-либо плоскости проекций.
Горизонталь – прямая параллельная
горизонтальной плоскости проекций.
Натуральная
величина
горизонтали
совпадает
с
величиной
своей
горизонтальной проекции.
h || П1
Фронталь – прямая, параллельная
фронтальной
плоскости
проекций.
Натуральная
величина
фронтали
совпадает
с
величиной
своей
фронтальной проекции.
f || П2
6
Проецирующие прямые – прямые, перпендикулярные какой-либо плоскости
проекций (частный случай линий уровня)
Горизонтально проецирующая прямая
–
прямая,
перпендикулярная
горизонтальной плоскости проекций. Её
горизонтальная проекция вырождается в
точку.
Такая
прямая
является
фронталью, и ее фронтальная проекция
является натуральной величиной.
n ⊥ П1
Фронтально проецирующая прямая –
прямая, перпендикулярная фронтальной
плоскости проекций. Её фронтальная
проекция вырождается в точку.
Такая прямая является горизонталью, и
ее горизонтальная проекция является
натуральной величиной.
m ⊥ П2
7
Взаимное расположение прямых в пространстве и изображение их на
комплексном чертеже
Прямые линии могут быть параллельны друг другу, пересекаться или
скрещиваться.
Положение прямых
Параллельные прямые
Если две прямые параллельны, то и
одноименные проекции этих прямых
тоже параллельны и наоборот.
Комплексный чертеж
a || b
Пересекающиеся прямые
Если две прямые пересекаются, то и
одноименные проекции этих прямых
пересекаются
и
проекции
точки
пересечения лежат на одной линии связи.
axb=C
Скрещивающиеся прямые. Проекции
скрещивающихся прямых могут как
пересекаться, так и не пересекаться. Это
пересечение является мнимым и точки
пересечения проекций тоже являются
мнимыми и не лежат на одной линии
связи.
a скрещивается с b
8
Условия видимости на комплексном чертеже
Критерий видимости
Видимость на П1:
Из двух горизонтально конкурирующих
точек на плоскости П1 видна та из них,
которая расположена выше.
Комплексный чертеж
Например: из двух конкурирующих на
П1 точек А и В видна В, т.к. она
расположена выше, чем точка А, что
видно из фронтальных проекций на П2
Видимость на П2:
Из двух фронтально конкурирующих
точек на плоскости П2 видна та точка,
которая
расположена
ближе
к
наблюдателю, стоящему лицом к
плоскости П2,
Например: из двух конкурирующих на
П2 точек C и D видна C, т.к. она
расположена ближе, чем точка D, что
видно из горизонтальных проекций на П1
Позиционные свойства ортогонального проецирования
1) Проекция точки есть точка:
А→А1 и А→А2
2) Проекция прямой линии есть линия:
а →а1 и а →а2
3) Если точка С принадлежит линии b , то ее проекции принадлежат
одноименным проекциям линии b:
С1 ∈ b 1 и С 2 ∈ b 2
4) Проекцией точки пересечения двух прямых является точка пересечения
проекций данных прямых:
М = a x b → M1 = a1 x b1 и M2 = a2 x b2
5) Проекциями двух параллельных прямых являются две параллельные прямые:
a || b → a1 || b1 и a2 || b2
9
Метрические свойства ортогонального проецирования
1) Пропорциональное деление отрезков и их проекций
Если точка С принадлежит отрезку АВ, то отношения полученных частей
отрезка равны соответствующим отношениям между их проекциями Рис.2.7:
АС : СВ = А1С1 : С1В1 = А2С2 : С2В2
АС : АВ = А1С1 : А1В1 = А2С2 : А2В2 и т.п.
Рис.2.7
Пример.
Дано: проекции прямых AB, m, n. Построить проекции прямой d так, чтобы:
d x m, d x n, d x AB. Сколько таких прямых можно построить?
Условие.
Решение.
Решение: Можно построить множество прямых, которые удовлетворяют
условиям задачи.
Например: 1) Задать на П1 прямую d (их может быть множество): d1 x A1B1 = K1,
d1 x m1 = 11, d1 x n1 = 21
2) Построить 12 по принадлежности прямой m
3) К2 находится из условия A1K1 : K1B1 = A2K2 : K2B2
4) Построить d2, как линию, проходящую через точки K2 и 12
10
2) Теорема о проецировании прямого угла: если одна из сторон прямого угла
параллельна какой-либо плоскости проекций, а вторая сторона не
перпендикулярна другой плоскости проекций, то данный прямой угол
проецируется без искажения на ту плоскость проекций, которой параллельна
сторона угла.
Например, угол АВС является прямым Рис.2.8. Сторона АВ этого угла является
горизонталью, т.е. параллельна П1 и угол АВС проецируется на П1 в натуральную
величину.
Рис.2.8
3) Определение натуральной величины отрезка
Натуральная величина (НВ) отрезка АВ связана со своей горизонтальной
проекцией А1В1 соотношением А1В1 = АВ х cos α, где α - угол наклона отрезка
АВ к плоскости проекций П1 (Рис.2.9).
Натуральная величина отрезка АВ связана со своей горизонтальной проекцией
посредством прямоугольного треугольника (Рис.2.10), в котором один из катетов
является горизонтальной проекцией (катет А1В1), второй катет является
превышением точки В над точкой А (катет В1В), а гипотенуза такого
треугольника является натуральной величиной отрезка АВ
Натуральная величина (НВ) отрезка АВ связана со своей фронтальной
проекцией А2В2 соотношением А2В2 = АВ х cos β, где β - угол наклона отрезка АВ
к плоскости проекций П2 (Рис.2.9).
Натуральная величина отрезка АВ связана со своей фронтальной проекцией тоже
посредством прямоугольного треугольника (Рис. 2.11), в котором один из катетов
является фронтальной проекцией (катет А2В2), второй катет является
приближением точки В перед точкой А (катет В2В), а гипотенуза такого
треугольника тоже является натуральной величиной отрезка АВ.
Таким образом, нахождение натуральной величины отрезка общего положения
сводится к построению прямоугольного треугольника на комплексном чертеже
одним из вышеописанных способов.
11
Рис.2.9
Прямая задача: нахождение натуральной величины отрезка АВ на комплексном
чертеже.
Даны проекции отрезка АВ. Найти натуральную величину этого отрезка.
Рис.2.10
Рис.2.11
α - угол наклона отрезка АВ к плоскости проекций П1
β - угол наклона отрезка АВ к плоскости проекций П2
12
Обратная задача: воссоздание отрезка АВ, принадлежащего прямой линии m и
имеющего известную натуральную величину.
Даны проекции прямой m. Задать отрезок АВ ∈ m. АВ = 40 мм (Рис.2.12)
Рис.2.13
Рис.2.12
Решение: Выбрать на прямой m любую точку D (Рис.2.13) и найти натуральную
величину отрезка AD. На натуральном отрезке А1D от точки А отложить
натуральную величину отрезка АВ = 40 мм. Точку В под прямым углом вернуть
на проекцию m1. B2 построить по принадлежности.
13