Задачи к первому этапу Всесибирской олимпиады по физике с

Задачи
к первому этапу Всесибирской олимпиады по физике
с возможными решениями и примерными баллами
(максимальный балл за одну задачу – 10)
7-й класс
1) От города А до города Б строят новую дорогу длиной 120 км. Строители не успели
доделать среднюю треть дороги, и из-за этого скорость машин на этом участке уменьшается
вдвое по сравнению с остальной дорогой. С какой скоростью едут машины на хороших
участках, если из А в Б они добираются за 2 часа?
Возможное решение: Составим уравнение, которое связывает искомую скорость с
данными задачи (L=120 км, t=2 ч)
L3 L3 L3
t (6 баллов)
2
4L
80 км / ч (2 балла за ответ в аналитической форме + 2 балла за численное значение)
3 t
Другой вариант полного решения – можно считать, что машина едет все время с постоянной
скоростью, только средний участок длиннее в два раза, т.е. равен 80 км и машина на нем
находится вдвое дольше. Значит, имея постоянную скорость , как на хорошем участке,
машина за 2 часа проехала бы 120+120/3 км, т.е. =80 км/ч.
Приведено только значение средней скорости на всем пути: +1 балл.
2) Огороднику нужно набрать две полных бака воды, не пролив ее на землю. Для этого он
кладет шланг в меньший бак, идет к крану, открывает его и возвращается назад. После
возвращения он ждет 15 секунд, пока бак заполнится, и перекладывает шланг в другой бак.
Подождав еще 2 минуты, огородник возвращается к крану и закрывает его. Чему равно
расстояние от баков до крана, если скорость, с которой ходит огородник, равна 1 м/сек, а
второй бак по объему вчетверо больше первого?
Возможное решение: Обозначим через Т время, которое огородник тратит на то, чтобы
пройти расстояние от крана до бака. Другие времена, данные в условии, t1=15 сек, t2=120 сек.
К=4 – отношение объемов баков.
Время заполнения первого бака (T+t1) (+1 балл), второго (T+t2) (+1 балл). Скорость течения
воды из шланга постоянна. Поэтому отношение времен, в течение которых вода заполняет баки,
равна отношению объемов баков
T t2
K (+4 балла)
T t1
t 2 Kt1
Решая уравнение, получаем T
=20сек (+1 балл). Искомое расстояние L= T (+1
K 1
балл) = 20 м (+2 балла).
3) При очистке реки от разлившейся нефти собрали 100 м3 загрязненной жидкости. Ее
средняя плотность оказалась равной 900 кг/м3. Сколько тонн нефти удалось собрать, если
плотность нефти равна 800 кг/м3, а плотность воды равна 1000 кг/м3?
Возможное решение: Обозначим среднюю плотность собранной жидкости СР, ее объем V,
плотность чистой воды В, плотность нефти Н, объем нефти VН, воды VВ. Поскольку вся масса
собранной жидкости равна сумме масс нефти и воды, то
В VВ
Н VН
СР V (+3 балла).
вода и нефть практически не смешиваются, т.е. VВ
относительно VН, получаем VН
V
(
В
СР
В
Н
)
VН
V (+2 балла). Решая уравнения
(+ 2 балла). Искомая масса нефти равна
МН= Н·VН (+1 балл)=40 тонн (+2 балла).
Можно составлять уравнения сразу относительно массы жидкости и компонентов.
4) По горизонтальной поверхности между двумя стенками, со скоростью V ездит тележка
длиной L. Тележка упруго ударяется о стенки, причем
величина скорости после удара остается прежней, а стук от
ударов тележки о стенки раздается N раз в секунду. Потом
L V
расстояние между стенками резко увеличивают вдвое. Сколько
ударов о стенки в секунду будет после этого?
Возможное решение: Тележка ударяется о стенки разными сторонами. Поэтому
перемещение тележки между ударами вначале равно L0-L, где L0 – исходное расстояние между
стенками. Количество ударов в секунду N, т.е. их частота, - это обратное время между двумя
последовательными ударами, т.е.
V
(+5 баллов). Отметим, что величина N имеет размерность удар/сек или, просто,
N
L0 L
1/сек, так же как и, например, скорость имеет размерность м/сек, т.е. метров в секунду.
V
Отсюда можно найти величину L0 L
(+1 балл). Если расстояние между стенками
N
сделать 2L0, то соотношение между числом ударов и другими параметрами будет таким же, т.е.
V
N
N1
( 2балла )
(+2 балла).
2 L0 L
2 N L
V
8-й класс
1) Моторная лодка плыла вверх по течению реки и встретила плот. Через час после встречи
у лодки забарахлил мотор, поэтому пришлось пристать к берегу и потратить час на починку.
Потом лодка поплыла вниз по течению с прежней скоростью относительно воды и еще через 75
минут нагнала плот. Это произошло на 13 км ниже по течению, чем место первой встречи.
Чему равны скорости течения реки и лодки относительно воды, если считать их постоянными?
Возможное решение: Обозначим скорость лодки относительно воды Л, воды относительно
берега В. Другие параметры, указанные в условии: Т1=Т2=1 ч, Т3=75 минут=1.25 ч, L=13 км.
Между первой и второй встречами прошло Т1+ Т2+Т3 часов (+1 балл). Плот за это время
проплыл расстояние L. Так как его скорость относительно берега совпадает со скоростью В
(+1 балл), то В=L/(Т1+ Т2+Т3) (+1 балл) = 4 км/ч (+1 балл).
В тот момент, когда лодка начала движение вниз по течению, между лодкой и плотом было
расстояние ( Л - В)Т1+ ВТ1+ ВТ2= ЛТ1+ ВТ2 (+2 балла). Лодка догоняла плот в течение
времени Т3, т.е.
Л Т3= ЛТ1+ ВТ2 (+2 балла)
(Смещения лодки и плота относительно берега из-за движения воды одинаковы!)
Т2
( 1 балл ) 16 км / ч (+1 балл).
Л
В
Т 3 Т1
2) Имеется система из одинаковых блоков, невесомых нитей, динамометров и грузов,
которые подвешены, как показано на рисунке. Динамометры №1 и №3 показывают по 10 Н, а
динамометр №2 показывает 25 Н. Чему равны веса грузов А и Б?
2
3
Возможное решение (приведенные примерные баллы даются
g
1
при отсутствии полного решения):
Изобразим, не обязательно в масштабе, силы, действующие
на грузы, блоки и динамометры. Если все силы изображать на
одном рисунке, то будет сложно разобраться. Поэтому следует
А
выделить определенное тело, изобразить силы, действующие
Б
именно (!) на это тело, и записать уравнение, которое
определяет условие равновесия именно этого тела (+1 балл за
каждое тело, но не более 3-х баллов). Пример изображения сил
для верхнего блока (+ участок нити, который с ним
2
3
g
1
соприкасается) приведен на рисунке ниже. Т2 – сила со стороны
T2
нити, за которую подвешен данный блок, т.е. она совпадает с
силой, действующей на динамометр №2, и равна 25 Н. МБлg –
T3
T3
сила тяжести, действующая на блок. Т3 – силы, приложенные к
нити, охватывающей блок со стороны соседних участков этой
А
нити.
Б
MБлg
Напомним, что, по определению, натяжение нити есть
величина сил, с которыми соседние участки нити действуют
друг на друга. Направление силы натяжения определяется выбором одного из двух участков
нити. Натяжение нити одинаково вдоль ее длины (считаем, что трения нет). Показания каждого
из динамометров дают величину силы, которая действует на данный динамометр (+1 балл).
Поэтому натяжение левой нити равно Т1=10 Н (+1), натяжение правой равно Т3=10 Н (+1).
Условие равновесия для выбранного блока: Т2= МБлg+Т3+Т3
Условия равновесия:
груз А: МАg =Т1+Т3=20 Н (+2 балла)
груз Б + правый блок: МБg+МБлg=2Т3
Для определения веса груза Б сначала надо определить вес блока: МБлg =Т2-2Т3=5 Н (+1
балл), т.е. МБg = 15 Н (+2 балла)
При отсутствии численных значений веса груза снимается по 2 балла за каждый груз.
3) Имеются маленькие шарики одинакового размера, но разной плотности, 1=1.2 г/см3 и
3
2=3.6 г/см . Шарики разных сортов перемешали и заполнили этой смесью сосуд объемом V=1
литр. Взвешиванием установили, что в сосуде находится M=1.8 кг шариков. Потом долили в
этот же сосуд воду до тех пор, пока вода не покрыла полностью все шарики. Какова доля
легких шариков в смеси (от общего числа), если долили V1=400 мл воды?
Возможное решение:
Искомая доля легких шариков равна отношению объема VШ1/VШ этих шариков к
суммарному объему шариков (+1 балл), который равен VШ=V-V1= 600 см3 (считаем 1 см3=1 мл)
(+2 балла). Объемы шариков связаны с полной массой шариков:
M
VШ1 , где VШ2 – объем шариков другого сорта (+3
1VШ1
2 VШ2 = 1 VШ1
2 VШ
M
2 VШ
балла). Далее можно найти объем легких шариков VШ1
=150 см3, а можно и сразу
2
отношение
VШ1
VШ
M/VШ
2
2
1
1
=0.25 (2 балла+2 балла за численное значение).
Если найдена массовая доля легких шариков
VШ1
=1/10, то ставится 5 баллов.
M
1
4) По горизонтальной поверхности между двумя стенками, со скоростью V ездит тележка.
Тележка упруго ударяется о стенки, причем величина
L0
скорости после удара остается прежней. Начальное
расстояние между стенками равно L0, а стук от ударов
V/2
тележки о стенки раздается N раз в секунду. Сразу после
V
удара о правую стенку школьник стал двигать эту стенку
влево со скоростью V/2 и остановил ее непосредственно перед
следующим ударом тележки. Сколько ударов в секунду будет
после такого перемещения стенки? Чему равна длина тележки?
Возможное решение: Тележка ударяется о стенки разными сторонами. Поэтому
перемещение тележки между ударами вначале равно L0-L, где L – длина тележки. Количество
ударов в секунду N, т.е. их частота, - это обратное время между двумя последовательными
ударами, т.е.
V
(+3 балла). Отметим, что величина N имеет размерность удар/сек или, просто,
N
L0 L
1/сек, так же как и, например, скорость имеет размерность м/сек, т.е. метров в секунду.
V
Отсюда можно найти величину L L0
(+2 балла).
N
Можно найти новое расстояние L1 между стенками: из условия равенства времени
движения, как стенки, так и тележки между двумя последовательными столкновениями
получаем, что
L0 L1 L0 L L1 L
, т.е. L1=(L0+2L)/3 (+1 балл, если
V 2
V
V
нет полного решения). Затем найти новое число ударов
V
(+1 балл)
N1
L1 L
Но проще сразу искать величину L1-L= (L0-L)/3 (+2 балла),
откуда следует, что N1=3N. (+ 2 балла).
L0-L1
L1
V/2
V
I этап (очный) Всесибирской олимпиады по физике
20 ноября 2011
РЕШЕНИЯ И КРИТЕРИИ ОЦЕНОК
Рекомендации для жюри
Каждая задача оценивается из 10 баллов. Решение участников может отличаться от
приведѐнных. Частичное решение оценивается по этапам разбалловки. Верные выводы из
неверных допущений не добавляют баллов. Неполный этап или частично правильный
оценивается частью баллов за этап. Если у участника этапы слиты в один, то оценка проводится
из суммарного балла.
9 класс
1. Брус квадратного сечения LxL (L = 0,5 м) поднимают по вертикали со
скоростью v = 2 cм/с из бака с водой (на рис. вид сбоку). Сечение бака
также квадратное, зазоры между брусом и стенками бака d = 5 мм. C какой
скоростью (в см/с) опускается уровень воды в зазоре? Изменится ли ответ,
если брус будет сдвинут к одной из стенок бака?
v
u-?
Решение
Суммарный объѐм воды неизменен. Если брус за время t поднимается на h, то снизу
добавляется объѐм hS, где S = (L + 2d)2 площадь сечения бака. Сверху же уходит вода из
зазора, объѐм которой H(S – So), где H опускание уровня воды в зазоре, а So = L2. Отсюда
получаем H = hS/(S – So), а так как h/t = v и H/t = u, то имеем u = vL2/4d(L + d) vL/4d = 50
см/с. При смещении бруса к одной из стенок форма сечения зазора изменится, но плошадь
сечения останется прежней S – So, поэтому предыдущее решение остаѐтся в силе и ответ не
изменится.
Разбалловка
Этапы решения
Указание неизменности общего объѐма воды
Нахождение добавки объѐма снизу
Нахождение убыли объѐма сверху
Связь скоростей с отношением смещений
Выражения для u и числовое значение
Объяснение независимости от сдвига в бок
k1;v1
v k -?
Решение
Соотношения
Баллы
1балл
2
hS = h(L + 2d)
2балла
H(S – So); So = L2
2балла
u/v = H/h или аналог
1балл
2
u = vL /4d(L + d) vL/4d = 50 см/с 3 балла
1балл
2. После разветвления дороги часть автомобилей сворачивает налево, а
часть направо. На левой ветви их скорость v1 = 40 км/час, а число их на 1
км дороги равно k1 = 10; на правой – скорость v2 = 50 км/час, а число их
k2;v2 на 1 км дороги равно k2 = 4. Скорость автомобилей до развилки равна v
= 75 км/час. Сколько автомобилей находится на 1 км дороги до
развилки? Автомобили движутся в указанных на рис. направлениях.
Найдѐм число автомобилей 1, свернувших налево за единицу времени. Передний
автомобиль уходит за ед. времени на расстояние v1, а 1 тогда равно числу автомобилей на
отрезке длины v1, то есть 1 = k1v1. Аналогично находим, что для автомобилей, свернувших
вправо, 2 = k2v2, а число подъезжающих за ед. времени автомобилей
= kv. Поскольку
автомобили не пропадают и не добавляются со стороны, то = v1 + v2. Тогда имеем kv = k1v1 +
k2v2, откуда k = (k1v1 + k2v2)/v = 8.
Разбалловка
Этапы решения
Соотношения
Выражение числа выезжающих (въезжающих)за 1 = k1v1; 2 = k2v2; = kv
ед. времени машин через k и v для каждого случая
Сохранение «числа автомобилей»
= v1 + v2
Нахождение k и числовое значение
k = (k1v1 + k2v2)/v = 8
Баллы
6 баллов
2балла
2 балла
3. Внутри плавающей банки лежит гайка, привязанная к ней
тонкой невесомой нитью. Объѐм погружѐнной в воду части банки
V1 = 388 мл. Когда гайку вынули из банки и опустили в воду, то
она повисла на нити, не касаясь дна водоѐма. Объѐм погружѐнной
в воду части банки стал V2 = 372 мл. После обрыва нити объѐм
погружѐнной в воду части банки уменьшился до V3 = 220 мл. Во
сколько раз плотность гайки больше плотности воды?
Решение
В первом и втором случаях объѐм вытесненной воды одинаков, ведь по закону Архимеда еѐ
вес равен суммарному весу гайки и банки. Если V объѐм гайки, то V + V2 = V1, откуда V = V1
– V2. Во первом и третьем случае масса вытесненной воды отличается на массу гайки, то
есть V = 0(V1 – V3), здесь плотность гайки, а 0 – воды. Откуда после подстановки / 0 =
(V1 – V3)/( V1 – V2) =10,5.
Возможно решение из записи условий равновесия для каждого случая (M – масса банки) V
+ M = V1 0, (
0)V + M = V2 0, M = V2 0. Откуда получается тот же ответ.
Разбалловка
Этапы решения
Соотношения
Баллы
Условия равновесия для каждого случая V + M = V1 0, (
0)V + M = V2 0, 6 баллов
M = V2 0 или аналоги
Решение уравнений
2балла
Нахождение искомого отношения
2 балла
/ 0 = (V1 – V3)/( V1 – V2) =10,5
A B
B C
tA tB
t1
tB tC
t2
4. Если тело A с температурой tA = 10o C привести в контакт с телом
o
A C B с температурой tB = 25 C, то при тепловом равновесии
устанавливается температура t1 = 20o C. Если третье тело C с
o
t1 tC температурой tC = 30 C привести в контакт с телом B с температурой
tB, то устанавливается температура t2 = 28o C. Какая температура
t-?
установится при контакте тела A с температурой t1 = 20o C и тела C с
температурой tC? Потерями тепла пренебречь.
Решение
Из уравнений теплового баланса (CA, CB, CC – теплоѐмкости тел) имеем:
CA(t1 – tA) = CB(tB – t1) и CB(t2 – tB) = CC(tC – t2), откуда CB = 2СA; CC = (3/2) CB = 3СA.
Искомая температура находится из соответствующего уравнения теплового баланса CA(t
– t1) = CC(tC – t), откуда t = (CA t1 + CCtC)/(CA + CC) = 27,5о С.
Разбалловка
Этапы решения
Соотношения
Баллы
Уравнения теплового баланса
CA(t1 – tA) =CB(tB – t1), CB(t2 – tB) =CC(tC – t2) 4 балла
Связь теплоѐмкостей
CB = 2СA; CC = (3/2) CB = 3СA
2балла
Уравнение теплового баланса
CA(t – t1) = CC(tC – t)
2балла
Нахождение искомой температуры t = (CA t1 + CCtC)/(CA + CC) = 27,5о С
2 балла
5. Сетка с квадратными ячейками спаяна из 10 медных
проволочек длины Lo и диаметра do. Какой длины L нужно взять 10
медных проволочек с диаметром d = 2do, чтобы у спаянной из них
сетки сопротивление между нижними углами осталось прежним?
(Сопротивлением в местах спайки считать пренебрежимо малым.)
A
B
Решение
При изготовлении решѐтки из новых проволочек сопротивление каждого ребра решѐтки
возрастѐт в одно и то же число раз. Тогда во столько же раз возрастѐт и сопротивление всей
решѐтки между соответственными точками. Поскольку сопротивление одного ребра R = L/S,
то при том же удельном сопротивлении
сопротивление его пропорционально L/S, S
пропорционально d2, то есть R пропорционально L/d2. Раз всѐ сопротивление остаѐтся прежним,
то неизменно и сопротивление ребра. Тогда L/d2 = Lo/do2 и окончательно L = Lo(d/do)2 = 4Lo.
Разбалловка
Этапы решения
Вывод о изменении сопротивления решѐтки в то
же число раз, что и одного ребра
Формула для сопротивления ребра
Связь сопротивления ребра с длиной и диаметром
Условие неизменности сопротивления
Нахождение искомой длины
Соотношения
Баллы
2 балла
R = L/S
R пропорционально L/d2
L/d2 = Lo/do2
L = Lo(d/do)2 = 4Lo
2 балла
2балла
2балла
2 балла
10 класс
g
1. Однородный шар радиуса R = 12 см на нити длины l = 1 см
привязан к длинной горизонтальной доске. Доску привели в
вертикальное положение. Определите во сколько раз теперь натяжение
нити больше исходного. Трения между шаром и доской нет.
Решение
Нить направлена по прямой, проходящей от точки закрепления A на доске к центру шара
O. Треугольник с вершинами AOB (B точка касания шара и доски) прямоугольный. Из теоремы
Пифагора AB2 = (R + l)2 – R2 = 25 см2. AB = h = 5 см. Условие равновесия по вертикали mg =
Th/(R + l). Так как исходно натяжение To = mg, то T/To = (R + l)/h = 2,6.
Разбалловка
Этапы решения
Указание направления нити (натяжения)
Установление геометрических соотношений
Условие равновесия по вертикали
Нахождение искомого отношения
Соотношения
h2 = (R + l)2 – R2; cos = h/(R + l)
mg = Tcos = Th/(R + l)
T/To = (R + l)/h = 2,6
Баллы
2 балла
3 балла
3 балла
2 балла
2. Два автомобиля ехали с одинаковой, но неизвестной скоростью v. Они одновременно
начали разгоняться, задний с известным ускорением a1, передний с известным ускорением a2
(a2 < a1). Какова исходная скорость v, если в момент обгона скорости автомобилей равны v1 и
v2?
Решение
Автомобили ускорялись до момента обгона одинаковое время t. Тогда v1 = v + a1t; v2 = v
+ a2t; исключая t находим v = (v2a1 – v1a2)/(a1 – a2).
Разбалловка
Этапы решения
Соотношения
Указание на равенство времени разгона до
момента обгона
Выражения для скоростей в момент обгона v1 = v + a1t; v2 = v + a2t
Нахождение исходной скорости
v = (v2a1 – v1a2)/(a1 – a2)
L
l
Баллы
3 балла
4 балла
3 балла
3. Эспандер – спортивный снаряд, состоящий из двух
ручек, соединѐнных резиновыми шнурами. Один из трѐх
резиновых шнуров эспандера оборвался. Обрывок длины l
надставили стальной проволокой до длины L целого шнура и
прикрепили к ручкам эспандера. Чтобы растянуть исправный
эспандер на размах рук требуется сила Fo. Какая сила
потребуется для такого же растяжения отремонтированного
эспандера?
Решение
(Считаем стальную проволоку нерастяжимой.) Пусть растяжение x. Тогда
относительные растяжения для целого шнура x/L, а для оборванного x/l. При одинаковых
относительных растяжениях у шнуров одинаковые натяжения (можно сравнить участки шнуров
одинаковой длины). Для оборванного шнура относительное растяжение больше в L/l раз, во
столько же раз больше и сила. То есть, если x/L вызывается силой Fo/3, то для оборванного
шнура сила будет F1 = (L/l)Fo/3.
Тогда искомая сила F = 2Fo/3 + F1 = Fo(2 + (L/l))/3.
Возможно решение с более явным использованием закона Гука, где устанавливается, как
жѐсткость оборванного шнура k` = kL/l связана с жѐсткостью k целого шнура.
Разбалловка
Этапы решения
Сравнение относительных растяжений или
жѐсткостей целого и оборванного шнуров
Нахождения отношения сил для шнуров
Нахождение искомой силы
Соотношения
x/L и x/l
или k` = kL/l
F1 = (L/l)Fo/3
F = 2Fo/3 + F1 = Fo(2 + (L/l))/3
Баллы
3 балла
4 балла
3 балла
4. Горизонтальная лента транспортѐра движется со
скоростью v = 2 м/с. Она переносит детали, которые, дойдя до
левого конца транспортѐра, сваливаются в ящик. Расстояние
между соседними деталями l = 10 см. Из-за поломки лента
транспортѐра почти мгновенно останавливается. Сколько
деталей упадѐт в ящик после остановки ленты, если коэффициент трения = 0,2, а ускорение
свободного падения g 9,8 м/с2 ?
g
v
Решение
Расстояние, которая деталь с начальной скоростью v пройдѐт до остановки, будет равно
L = v /2 g (из рассмотрения торможения с ускорением a = g или из связи кинетической
энергии и работы силы трения). Детали, исходно находящиеся ближе L от конца транспортѐра,
свалятся. Отношение L/l = v2/2 g l 10,2 даѐт число отрезков l на этом расстоянии. Таким
образом в L может войти 10 целых отрезков, что отвечает 11 деталям. При этом передняя
деталь исходно должна находиться на расстоянии x < 0,2l от края транспортѐра. Если же 0,2l < x
< l, то свалится на одну деталь меньше, то есть 10.
2
Разбалловка
Этапы решения
Вывод расстояния затормаживания
Условие, при котором детали свалятся
Нахождение отношения L/l
Нахождение наибольшего искомого числа
Нахождение наименьшего искомого числа
1
g
2
Соотношения
L = v2/2 g
L/l = v2/2 g l
11
10
10,2
Баллы
3 балла
1 балл
2 балла
2 балла
2 балла
5. Два осколка, образовавшиеся при взрыве небольшого тела,
одновременно пересекают вертикальную сетку под углами 1 и 2 к ней.
Найдите отношение v1/v2 скоростей осколков при пролѐте сетки.
Влиянием воздуха на движение осколков пренебречь.
Решение
На движение по нормали к сетке (горизонталь) вертикальное ускорение g не сказывается.
Раз осколки проходят за одно время одинаковое расстояние по горизонтали, то имеем: v1sin 1 =
v2sin 2; v1 /v2 = sin 2/sin 1.
Разбалловка
Этапы решения
Указание, что движение по горизонтали, равномерное
Одновременность пролѐта до сетки
Вывод о равенстве горизонтальных скоростей
Выражения для горизонтальных скоростей
Нахождение искомого отношения
Соотношения
v1sin 1 и v2sin 2
v1 /v2 = sin 2/sin
1
Баллы
1 балла
1 балл
2 балла
4 балла
2 балла
11 класс
V
S
h
H
1. Цилиндр сечения S соединѐн тонкой трубкой с сосудом объѐма V.
Трубка расположена на высоте H от дна цилиндра. Цилиндр закрыт
подвижным поршнем, который при температуре T располагается на h выше
трубки. Сосуд и цилиндр заполнены идеальным газом. Насколько нужно
понизить температуру, чтобы в сосуде оказалось максимальная масса газа?
Атмосферное давление неизменно, трением пренебречь.
Решение
Максимальная масса газа окажется в сосуде, когда поршень окажется на уровне трубки,
то есть спустится на h. Из уравнения состояния идеального газа в применении к исходной и
конечной ситуации выразим неизменность числа молей газа:
P(V + (H + h)S)/T = P(V + HS)/(T - T),
здесь V + (H + h)S начальный, а V + HS конечный объѐмы газа, P неизменное давление. Откуда
после сокращения на P находим:
T = ThS/(V + (H + h)S).
Разбалловка
Этапы решения
Условие максимальности массы в сосуде
Нахождение объѐмов
Вывод из уравнения состояния условия
неизменности числа молей
Нахождение искомого T
Соотношения
V + (H + h)S; V + HS
(V + (H + h)S)/T = (V + HS)/(T - T)
или любой аналог
T = ThS/(V + (H + h)S).
Баллы
2 балла
2 балл
4 балла
2 балла
2. В устройстве для подачи теннисных мячей есть два одинаковых
цилиндра, вращающихся с равной угловой скоростью. Мяч попадает
между цилиндрами и, разогнавшись, вылетает по горизонтали. Дальность
полѐта равна Lo. Из-за повреждения механизма один из цилиндров стал
Lo
вращаться вдвое медленнее. Какова теперь дальность полѐта мяча L? На
участке вылета проскальзывания между поверхностями цилиндров и мяча
нет. Влиянием воздуха на движение мяча пренебречь.
g
Решение
Скорость центра мяча v = (v1 + v2)/2, где v1 и v2 скорости на поверхности цилиндров,
равные скоростям верхней и нижней точки мяча. Время падения по вертикали с прежней
высоты не меняется, поэтому дальность пропорциональна v. После перенастройки v = (3/4)vo,
откуда L = (3/4)Lo.
Разбалловка
Этапы решения
Вывод скорости центра мяча при отсутствии проскальзывания
Указание на неизменность времени падения
Указание на пропорциональность дальности v
Нахождение отношения скоростей
Конечный результат
Соотношения
v = (v1 + v2)/2
v = (3/4)vo
L = (3/4)Lo
Баллы
3 балла
2 балл
1 балла
2 балла
2 балла
3. Пластины заряженных одинаковых плоских конденсаторов
соединены, как показано на рисунке. Масса верхнего гибкого провода
+
много меньше массы пластины. Исходно пластины закреплены.
–
Верхнюю пластину левого конденсатора отпускают. Во сколько раз
ускорение этой пластины перед столкновением еѐ с нижней отличается
от начального ускорения? Силу тяжести не учитывать, сопротивлением проводов пренебречь.
Решение
Поле в малом зазоре плоского конденсатора E = оQ/S при данном заряде пластин
площади S не зависит от зазора! Сила, действующая на пластину, F = QE/2 (взято поле другой
пластины). Важно, что она не зависит от зазора и пропорциональна q2. В процессе сближения
левых пластин на них переходит заряд с правых пластин. Ведь напряжения на конденсаторах
одинаковы, а ѐмкость левого увеличивается обратно пропорционально зазору. Непосредственно
перед столкновением весь заряд с правых пластин перейдѐт на левые. Поэтому их заряд
удвоится, а сила и ускорение возрастут в 4 раза по сравнению с начальным значением.
Разбалловка
Этапы решения
Указание на независимость поля от зазора при данном заряде
Вывод пропорциональности силы квадрату заряда
Указание на перераспределение заряда
Нахождение конечного заряда
Конечный результат
m
2m
F
Соотношения
E = оQ/S
Qкон = 2Qнач
aкон = 4aнач
Баллы
3 балла
2 балл
1 балла
2 балла
2 балла
4. По горизонтальному стержню могут без трения двигаться шайбы
масс m и 2m. Исходно они неподвижны и связаны невесомой нерастяжимой
нитью длины L, равной расстоянию между шайбами. Нить цепляют лѐгким
крюком и прикладывают к нему вертикальную силу F. Трения между крюком
и нитью нет. Какие скорости приобретут шайбы к моменту столкновения?
Решение
Так как внешних горизонтальных сил нет, то импульс по горизонтали остаѐтся нулевым,
то есть mv1 = 2mv2. При отсутствии трения работа силы F идѐт на приращение кинетической
энергии. Перемещение точки приложения силы F по вертикали равно L/2 – нить сложится вдвое
и будет вертикальна (при отсутствии трения сила F направлена по биссектрисе угла
образованного отрезками нити). Тогда FL/2 = mv122 + 2mv22/2, откуда
v2 = FL 6m ; v1 = 2 FL 6m .
Разбалловка
Этапы решения
Сохранение импульса по горизонтали
Нахождение перемещения по вертикали точки
приложения F
Идея равенства работы F кинетической энергии
Выражение этого равенства
Нахождение скоростей
N
N
N
Соотношения
mv1 = 2mv2
h = L/2
Баллы
3 балла
1 балл
FL/2 = mv122 + 2mv22/2
v2 = FL 6m ; v1 = 2 FL 6m .
2 балла
2 балла
2 балла
5. На каждом резисторе схемы выделяется одинаковая тепловая
мощность N. Указанный на рис. резистор отсоединяют. Какая
суммарная мощность будет выделяться при прежнем напряжении на
входе схемы?
Решение
В исходной схеме первые два резистора соединены параллельно, на них одинаковое
напряжение, а значит при равной мощности одинаковый ток, равный половине тока I в третьем
резисторе. Так как N = I2r, где r сопротивление третьего резистора, и N = (I/2)2R, где R
сопротивление первого или второго, то R = 4r. Общее сопротивление схемы R1 = 3r (первые два
резистора соединены параллельно, третье последовательно им. После отключения общее
сопротивление схемы R2 = R + r = 5r. Полная начальная мощность при напряжении U N1 =
U2/R1, а конечная N2 = U2/R2 = (3/5)N1 = (9/5)N.
Разбалловка
Этапы решения
Соотношение токов в исходной схеме
Нахождение соотношения сопротивлений
Нахождение сопротивления исходной схемы
Нахождение сопротивления конечной схемы
Выражение мощностей через напряжение
Конечный результат
Соотношения
I1 = I2 = I/2
R = 4r
R1 = 3r
R2 = R + r = 5r
N1 = U2/R1; N2 = U2/R2
N2 = U2/R2 = (R1/R2)N1 = (9/5)N
Баллы
1 балл
2 балла
2 балла
1 балл
2 балла
2 балла