Радиоэлектроника и системы связи УДК 621.396.98

Радиоэлектроника и системы связи
УДК 621.396.98
ТРАССИРОВКА ПРЕЛОМЛЁННЫХ ЛУЧЕЙ
Д.В. Асотов, Б.В. Матвеев, В.Б. Авдеев, В.А. Середа
В статье рассматриваются вопросы трассировки лучей при расчёте электромагнитного поля в лучевом приближении. Решаемая задача – трассировка преломлённых лучей. Предложен алгоритм трассировки двухмерной задачи,
сводящий решение к решению уравнений четвёртой степени. Разобраны методы Кардано и Декарта-Эйлера для решения уравнений 3й и 4й степени. Получены аналитические формулы для расчёта. Приведён способ сведения трехмерной задачи к двумерной
Ключевые слова: трассировка лучей, геометрическая оптика, преломление, передача
Введение1
Решения задач распространения радиоволн актуальны как в инженерной практике, так и в научной
деятельности. Существующие программные продукты, в частности Wireless Insite [1] и FEKO [2], используют лучевые методы. Они основаны на приближениях геометрической оптике (ГО) и геометрической теории дифракции. Постулаты ГО обобщены
в [3, c. 11-14, 4].Основное преимущество ГО перед
прочими численными методами заключается в
уменьшении необходимых вычислений, а следовательно снижению затрат времени на моделирование.
В общем случае моделирование методом ГО
можно разбить на два условно независимых этапа:
трассировка лучей и расчёт параметров поля (напряжённости, мощности и т.д.) основываясь на известных траекториях. В специальной литературе основной акцент сделан на определение параметров поля, а
вопрос трассировки лучей практически не рассматривается. Однако для моделирования поля, особенно
для автоматизированного моделирования с использованием ГО [1-2], трассировка лучей необходима. Поэтому данная теория также получила развитие.
Одна из актуальных задач в данной области трассировка преломлённых лучей. В известных системах автоматизированного моделирования задача
трассировки преломленных лучей решается асимптотически. Так в программе Wireless Insite преломление
лучей в тонких слоях (в частности в стенах зданий)
не учитывается. Траекторией проходящего через стену луча – прямая линия. Необходимые поправки в
расчёты вводятся заменой коэффициента преломления. В программе FEKO закон преломления электромагнитных волн, в частности преломления лучей в
слоистом диэлектрике упрощается [5]. Аналитическое решение данной задачи приведено в работе [7].
В данной статье будет рассмотрено аналитическое
решение, альтернативное ранее опубликованному, но
Асотов Дмитрий Валериевич – ВГТУ, аспирант, e-mail:
asotov.vgtu@mail.ru, тел. (473) 243-76-65
Матвеев Борис Васильевич – ВГТУ, канд. техн. наук, доцент, тел. 8-960-138-45-61
Авдеев Владимир Борисович – ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, тел. 8-903-65-45-520
Середа Владимир Александрович – ВГТУ, студент, e-mail:
sereda.volodya2010@yandex.ru, тел. 8-920-444-64-15
целью будет получение алгоритма наиболее подходящего для автоматизированного вычисления.
Алгоритм трассировки
Задача трассировки лучей на границе раздела 2х
сред формулируется следующим образом: определить координаты точки преломления при известных
электрических и магнитных параметрах сред, координатах передающей и приёмной антенны относительно границы раздела сред. Для описания границ
будем использовать плоские поверхности. В геометрической двухмерной интерпретации задача сводится
к следующему: определить XT (или XR) при известных
X, HT, НR и коэффициенте преломления n12 (см. рис.
а).
sin Θ n 2
=
= n12 ,
sin Θ1 n1
(1)
XT
X T X R2 + H R2
RT
sin Θ
.
=
=
XR
sin Θ 1
X R X T2 + H T2
RR
(2)
Приравнивая правые части (1) и (2), избавляясь
от радикалов, приводя к общему знаменателю и производя замену XR = X – XT получаем уравнение 4 степени:
(
)
mX T4 − 2 XmX T3 + H + X 2 m X T2 −
− 2 XH T2 n122 X T + H T2 X 2n122 = 0
,
(3)
где m = n122 − 1 , H = H T2 n122 − H R2 .Кроме того,
большой интерес представляет задача трассировки
лучей при прохождении через тонкий диэлектрический слой (рис. 1б), в частности стены и другие строительные конструкции, тогда уравнение (2) преобразуется в
X T X S2 + H S2
X R X S2 + H S2
sin Θ
=
=
,
sin Θ1 X S X T2 + H T2
X S X R2 + H R2
(4)
в результате преобразований системы уравнений (1) и (4) и осуществления замены XS = X – XT – XR
и XR = XT·HR/HT получаем уравнение
mh 2 X T4 − 2 XmhX T3 + (H 1 + X 2 m )X T2 −
− H Xn hX T + H X n = 0
2
T
2
12
где h = 1 +
2
T
2
2
12
,
(5)
HR
2
, а H 1 = (H T + H R ) − H S2 .
HT
коэффициенты которого определяются по формулам
a' =
3a 2 b
− ,
16 2
(8)
b' =
3a 4 a 2 b ac
−
+
−d ,
256 16
4
(9)
2

1  a 3 ab
c ' = a' b'−  −
+ c  .
8 8
2

(10)
Для получения решения уравнения (6) достаточно найти один корень уравнения (7). Наиболее
простой способ – использовать формулу Кардано [5,
с. 47-48]:
p = b'−
a' 2
,
3
(11)
q = c'+
2a' 3 a' b'
−
,
27
3
(12)
3
2
q
 p q
Y = 3 − +   +  +
q
2
 3  2
а)
3
+3 −
.
(13)
2
q
a'
 p q
−   +  −
2
3
2
3
   
Используя данное решение, корни уравнения (6)
определяются как
Y =±
±
Yq + a'
2
±
±
a' Yq a 3 − 4ab + 8c a
−
m
−
± 2 2 16 2 Y + a' 4
q
.
(14)
Из четырёх полученных корней необходимо
выбрать один корень, удовлетворяющий физическому смыслу задачи, т.е. лежащий в пределах от 0 до X.
б)
Преломление луча
а) на границе раздела, б) 2х сред в тонком слое
Уравнения (3) и (5) отличаются лишь коэффициентами при переменной XT и имеют аналитические
решения: либо решение Феррари, либо решение Декарта-Эйлера [6, с. 48-49].В общем виде приведённое
уравнение 4й степени записывается как
Y 4 + aY 3 + bY 2 + cY + d = 0 .
(6)
Тогда решение уравнения получается из решения вспомогательного уравнения
Yq3 + a ' Yq2 + b' Yq + c' = 0 ,
(7)
Вспомогательные алгоритмы
Для сравнения уравнений (3) и (4) с уравнением
четвёртой степени в общем виде (6) приведём его коэффициенты (см. таблицу).
Чтобы свести произвольную трехмерную задачу
к изложенной выше двухмерной необходимо вычислить величины HT, HR, X (НS для второго случая) на
основе координат точек Tx (xTx, yTx, zTx) и Rx (xRx, yRx,
zRx), и коэффициентов уравнения (уравнений) плоскости (плоскостей). Уравнение плоскости удобно
представить в виде
a x ⋅ x + a y ⋅ y + az ⋅ z + d = 0 ,
(15)
r
где {a x , a y , a z } = a – единичные нормальный
вектор к рассматриваемой плоскости, d – расстояние
от плоскости до начала системы координат (с положительным или отрицательным знаком в зависимо-
сти от расположения плоскости). Координаты точек
пересечения плоскостей и перпендикуляров к ним,
опущенных из заданной точки
 x'   a x
  
 y'  =  a y
 z'   a
   z
ay
− ax
0
−1
az  
−d

 

0   a y ⋅ x − a x ⋅ y .
− a x   a z ⋅ x − a x ⋅ z 
(16)
С помощью данной формулы можно определить
координаты точек Tx’ и Rx’ (проекций точек Tx и Rx
на плоскость отражения). Расстояния между точками
Tx’ и Rx’вычисляется по формуле
X = Tx ' Rx' =
. (17)
= ( x Tx ' − x Rx ' ) 2 + ( y Tx ' − y Rx ' ) 2 + ( z Tx ' − z Rx ' ) 2
Коэффициенты приведённых уравнений в задачах трассировки преломлённых лучей
КоэффиЗадача
циент
а
Б
−2 X / h
a
−2 X
(H + X 2 m ) / m
(H 1 + X 2 m ) / mh 2
b
c
− 2 H T2 Xn122 / m
− H T2 Xn122 / mh
d
H T2 X 2n122 / m
H T2 X 2n 122 / mh 2
Та же формула позволяет вычислить HT =
= TxTx ' и HR = RxRx' . Для решения второй задачи
(см. рис. б) также необходимо вычислить HS = |d – d2|,
а точку Rx’ и расстояние HR определить для второй
r
плоскости с нормальным вектором {a 2 x , a 2 y , a 2 z } = a 2
и расстоянием d2 до начала системы координат.
Заключение
Полученное решение позволяет вычислить координаты точек преломления, следовательно, решать
задачу трассировки преломлённых лучей. Его пре-
имущество перед другими известными решениями
отсутствие векторных уравнений, которые тяжело
поддаются автоматизации.
Данный алгоритм, может быть использован
совместно с аналогичными алгоритмами [8-9] для
трассировки лучей в системах автоматизированного
моделирования процессов распространения радиоволн.
Работа выполнена при поддержке Российского
фонда фундаментальных исследований (Грант
РФФИ №13-08-97538-р-центр-а.)
Литература
1. Официальный сайт компании Remcom. {URL:
www.remcom.com}.
2. Официальный сайт программы FEKO. {URL:
www.feko.info}.
3. Боровиков В.А., Кинбер Б.Е. Геометрическая
теория дифракции. – М.: Связь, 1978 – 248 с.
4. C. Balanis. Advanced Engineering Electromagnetics. New York: Wiley, 1989.
5. Методы геометрической оптики. Учебные
материалы
компании
«Родник»
{URL:
http://www.rodnik.ru}.
6. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике
для научных работников и инженеров под ред. И.Г.
Араманович, Л.Я. Цлаф. М.: «Наука», 1970 – 720 с.
7. Панычев А.И. Дубинская И.В. Синтез лучевой траектории проникновения сигналов WLAN в
смежные помещения // Известия ЮФУ. Технические
науки. – 2013. – № 5 (142). – С. 116-122.
8. Панычев А.И. Алгоритм трехмерной трассировки радиоволн локальной беспроводной сети // Известия ЮФУ. Технические науки. – 2012. – № 11
(136). С. 31-41.
9. Авдеев В.Б. Моделирование процессов распространения радиоволн в условиях городской застройки [Текст] / В.Б. Авдеев, Д.В. Асотов, В.А.
Сладких, Б.В. Матвеев // Вестник Воронежского государственного технического университета – 2013. –
Т.9. - № 2. – С.4-7.
Воронежский государственный технический университет
REFRACTION RAYTRASING ALGORITHM
D.V. Asotov, B.V. Matveev, V.B. Avdeev, V.A. Sereda
In article ray tracing questions are considered in case of calculation of an electromagnetic field in ray approximation.
The solved task is trace of refracted beams. The algorithm of trace of the two-dimensional task, bringing together the decision
to the solution of biquadratic equations is offered. Methods Cardano and Descartes-Euler for the solution of the equations 3й
and 4й levels are sorted. Analytical formulas for calculation are received. The method of convergence of the three-dimensional
task is brought to the sorted two-dimensional task
Key words :ray tracing, geometry optic, refraction