08-05-04

08-05-04. Разложение многочлена на линейные множители
1. Пусть P( x)  ax 2  bx  c — квадратный трехчлен и P ( m ) — значение этого
трехчлена при x  m , где m — данное число. Покажем, что многочлен Q( x)  P( x)  P(m)
всегда делится на x  m . Для этого сделаем следующие тождественные преобразования:
Q( x)  P( x)  P(m)  (ax 2  bx  c)  (am2  bm  c) 
 (ax 2  am2 )  (bx  bm)  (c  c)  a( x 2  m2 ) 
b ( x  m)  a ( x  m)  ( x  m )  b ( x  m ) 
 ( x  m)(a( x  m)  b)  ( x  m)(ax  am  b)
В результате многочлен Q ( x ) представлен в виде произведения двух многочленов
( x  m) и (ax  am  b) . Следовательно, Q ( x ) делится на ( x  m) без остатка.
Рассмотрим линейный многочлен P( x)  ax  b , где a  0 . Из пункта 3.1 следует, что
число x1   ba является корнем данного многочлена. Используя обозначение x1 для корня
многочлена P( x)  ax  b , получим
b

P( x)  ax  b  a  x   
a

  b 
 a  x       a( x  x1 )
  a 
В итоге приходим к следующему утверждению.
Многочлен P( x)  ax  b первой степени можно записать в виде
P( x)  a( x  x1 )
где x1 — корень этого многочлена.
2. Разложение квадратных трехчленов на множители.
Предположим, что нам известен корень x1 многочлена P( x)  ax 2  bx  c второй
степени, то есть P( x1 )  0 . Из теоремы Безу следует, что при делении P ( x ) на ( x  x1 )
получается остаток P( x1 ) , который равен нулю. Это значит, что P ( x ) делится на ( x  x1 )
без остатка.
Пример 1. Пусть P( x)  1023x 2  2100 x  1077 .
Число x1  1 является корнем этого многочлена, так как P(1)  1023  2100  1077  0 .
Следовательно, P ( x ) разлагается на множители, одним из которых является многочлен
( x  1) . Это разложение можно получить следующим способом:
1023x 2  2100 x  1077  1023 x 2  1023 x  1077 x  1077 
 1023x( x  1)  1077( x  1)  ( x  1)(1023x  1077) 
1077 

 1023( x  1)  1023( x  1)  x 

1023 

Из этого разложения видно, что корнями данного многочлена являются числа x1  1 ,
что уже было известно, и x2  1077
1023 . Следовательно, P( x)  1023( x  x1 )( x  x2 ) , где x1 и x2
— корни многочлена P ( x ) .
Пусть P( x)  4 x 2  4 x  1 .
Число x1  12 является корнем этого многочлена, так как P  12   4   12   4  12  1  0 .
2
Разделим столбиком P ( x ) на  x  12  :
4x2
4 x 2
4x2
2 x
2 x 1
2 x 1
0
1
2
4x  2
x
В результате получаем
1

P ( x)   x    (4 x  2)
2

Из этого разложения видно, что данный многочлен имеет единственный корень
x1  . Тем не менее P ( x ) разлагается в произведение числового множителя 4 и двух
1
2
одинаковых множителей вида
 x  12  .
В таком случае удобно считать, что многочлен
P ( x ) имеет два одинаковых корня x1  x2  12 . Следовательно, и в этом примере
P( x)  4( x  x1 )( x  x2 ) , где x1 и x2 — корни многочлена P ( x ) .
4. Примеры данного параграфа показывают, что если найден корень x1 квадратного
трехчлена P( x)  ax 2  bx  c , то P ( x ) делится на ( x  x1 ) без остатка. Это значит, что
P( x)  ( x  x1 )Q( x) , где Q ( x ) –линейный многочлен вида ax  p . Если через x2
обозначить корень многочлена Q ( x ) , то на основании пункта 4.2 можно записать
равенство P( x)  ( x  x1 )Q( x)  a( x  x1 )( x  x2 ) . Отсюда видно, что число x2 также
является корнем многочлена P ( x ) . Как показывают примеры, иногда выполняется
равенство x1  x2 , и в этом случае удобно считать, что многочлен P ( x ) имеет два
одинаковых корня.
В итоге приходим к следующим утверждениям.
I. Пусть квадратный трехчлен P( x)  ax 2  bx  с имеет два различных корня x1 и x2 .
Тогда
P( x)  a( x  x1 )( x  x2 )
II. Пусть квадратный трехчлен P( x)  ax 2  bx  c имеет один корень x1 . Тогда
P( x)  a ( x  x1 ) 2 
3.* Разложение кубического многочлена на множители при условии, что известен
один из корней.
Предположим, что нам известен корень x1 , многочлена P( x)  ax3  bx 2  cx  d
третьей степени (a  0) , то есть P( x1 )  0 . Из теоремы Безу следует, что при делении P ( x )
на ( x  x1 ) получается остаток P( x1 ) , который равен нулю. Это значит, что P ( x ) делится
на ( x  x1 ) без остатка, то есть P( x)  ( x  x1 )  Q( x) , где Q ( x ) — многочлен второй степени
со старшим коэффициентом, равным a . Если для многочлена Q ( x ) можно получить
разложение Q( x)  a( x  x2 )( x  x3 ) , то тогда P( x)  a( x  x1 )( x  x2 )( x  x3 ) . В этом случае
многочлен P ( x ) записывается в виде произведения численного множителя a и линейных
множителей ( x  x1 ) , ( x  x2 ) , ( x  x3 ) , где x1 , x2 , x3 – корни многочлена P ( x ) .
Пример 3. Пусть P( x)  x3  x 2  8 x  12 .
По теореме Гаусса мы можем найти, что число x1  2 является корнем многочлена
P ( x ) . После этого разделим P ( x ) на ( x  2) :
x 3  x2
 x 12
x2
3
x 2 x2
x 2  x 6
 x 2 8 x 12
 x 2 2 x
6 x 12
6 x 12
0
В результате получаем, что
P( x)  ( x  2)( x 2  x  6)
Решим квадратное уравнение x 2  x  6  0 .
Дискриминант этого уравнения D  1  4  6  52 , поэтому x2  125  3 , x3  125  2
являются корнями многочлена x 2  x  6 . Следовательно, x 2  x  6  ( x  3)( x  2) , откуда
P( x)  ( x  2)( x 2  x  6)  ( x  2)( x  3)( x  2) 
 ( x  2)2 ( x  3)
В результате данный многочлен разложен на линейные множители. Так как в этом
примере множитель ( x  2) повторяется дважды, то удобно считать, что многочлен P ( x )
имеет два одинаковых корня, равных 2, и еще один корень, равный -3.
В связи с возможным повторением некоторых корней, для многочленов вводят
понятие кратности корня. Рассматриваемый многочлен P( x)  x3  x 2  8 x  12 имеет
корень 2 кратности 2 и корень -3 кратности 1.
4.** Разложение на множители многочлена x4+16x+8.
В некоторых случаях многочлен четвертой степени, который не имеет рациональных
корней, удается разложить в произведение двух квадратных трехчленов.
Пример 4. Рассмотрим многочлен
P( x)  x 4  16 x  8
Запишем равенство
x 4  16 x  8  ( x 2  ax  b)( x 2  cx  d )
где a , b , c , d — неизвестные пока числа.
Раскрывая скобки в правой части, получаем
x 4  16 x  8 x 4  cx3  dx 2  ax 3  acx 2  adx  bx 2  bcx 
bd  x 4  (a  c) x3  (b  d  ac) x 2  (ad  bc) x  bd 
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x , приходим к равенствам:
a  c  0
b  d  ac  0
ad  bc  16
bd  8
Из первого равенства c  a , поэтому второе и третье равенства запишутся в виде:
b  d  a2
d b

16

a
Почленно складывая, получаем
2d  a 2 
16
1
16
 d  (a 2  )
a
2
a
Вычитая из первого равенства второе, получаем
16
1
16
2b  a 2   b  (a 2  )
a
2
a
Так как bd  8 , то приходим к уравнению
1  2 16   2 16 
1  4 162 
a


a


8

 a  2   8

 

2
a 
a
4
a 
Обозначим a 2  4 z . Тогда уравнение запишется в виде
1
4
16 z
2

 164 z  8 , откуда
2
z 2  4z  2 . Домножая обе части на z , получим z 3  2 z  4  0 . По теореме Гаусса
рациональные корни этого уравнения следует искать среди чисел 1 , 2 , 4 . Проверка
показывает, что z1  2 является корнем уравнения z 3  2 z  4  0 .
В результате для неизвестного числа a получаем уравнение a 2  4 z  8 . Выберем
a  2 2 . Тогда
1
16 
b   a2    4  2 2
2
a
1
16 
c  a  2 2  d   a 2    4  2 2 
2
a
Таким образом,
x 4  16 x  8  ( x 2  2 2 x  4  2 2)( x 2  2 2 x  4  2 2)
и многочлен P ( x ) разложен на два множителя второй степени.
Многочлен x 4  16 x  8 можно разложить на множители с помощью совсем простых
преобразований, если заметить что:
x 4  16 x  8  ( x 4  8x 2  16)  (8x 2  16 x  8)  ( x 2  4)2
8( x  1) 2  ( x 2  4) 2  (2 2( x  1)) 2 
 ( x 2  4  2 2( x  1)( x 2  4  2 2( x  1)
Контрольные вопросы
1. В каких случаях квадратный трехчлен делится на многочлен первой степени
xa?
2. При каком условии квадратный трехчлен разлагается на действительные
линейные множители ?
3. В каком случае квадратный трехчлен имеет два одинаковых корня ?
4. Пусть известен один из корней квадратного трехчлена. Как найти второй?
5. Пусть известен один из корней многочлена третьей степени. Как найти остальные
корни?
6. Сколько различных действительных корней может иметь многочлен третьей
степени?
7. Что называется кратностью корня для многочлена ?
Задачи и упражнения
1. Не выполняя деления выясните, делится ли:
а) многочлен x 2  x  6 на x  3 ;
б) многочлен 2 x 2  x  1 на x  2 ;
в) многочлен 5 x 2  x  4 на x 1 ;
г) многочлен 3x 2  2 x  1 на x  4 ;
д)  многочлен x3  5 x 2  x  3 на x 1 ;
е)  многочлен 4 x 3  8 x 2  1 на x  2 ;
ж)  многочлен x3  2 x 2  5 x  6 на x 2  x  2 ?
2. Найдите остаток от деления:
а) 2 x 2  3 x  6 на x  3 ;
б) 2 x 2  4 x  5 на x  4 ;
в) 5 x 2  4 x  4 на x  12 ;
г) x 2  4 x  3 на x  2 5 ;
д)  2 x3  x 2  5 x  2 на x 1 ;
е)  x 3  x 2  8 x  12 на x  2 .
3. При каких значениях параметра a возможно деление без остатка:
а) многочлена 4 x 2  ax  1 на x  12 ;
б) многочлена 3 x 2  2 x  a на x  3 ;
в) многочлена ax 2  6 x  1 на x  2 ;
г) многочлена 2 x3  ax 2  7 x  2 на x  2 ?
4. Разложите на множители квадратный трехчлен:
а) 3 x 2  2 x  7 б) ; 4 x 2  5 x  1 в) ; 2 x 2  6 x  1 ;
г) 4 x 2  4 x  1 д) ; x 2  3x  1 е) ; x 2  2 x  5 .
5. Используя группировку слагаемых и вынесение общих множителей за скобки,
разложите на множители:
а) 3 x 3  3 x б) ; 2 x 2  3x  1 ;
в) x 3  4 x 2  5 x г) ; x5  5 x 3  6 x 2 ;
д) 3 x 2  x  2 е) ; 2 x3  3x 2  2 x  3 .
6. Разложите на множители, используя формулы сокращенного умножения:
а) x3  3 x 2  3 x  1 б) ; x 4  2 x 3  2 x  1 ;
в) x3  27 г) ; 1 x 6 ;
д) x5  x 4  x3  x 2  x  1 .
7.*Разложите на множители используя теорему Гаусса:
а) x3  2 x 2  3x  1 б) ; 2 x3  x 2  5 x  2 ;
в) x 3  x 2  8 x  12 г) ; 3x3  x 2  27 x  9 .
Ответы и указания
Задача 7. Указания. Будем искать корни в виде несократимой дроби
p
q
, где q —
натуральное число, p — целое число. В силу теоремы Гаусса p является делителем
свободного члена многочлена, а q — делителем коэффициента при старшей степени
многочлена. Поэтому соответствующие числа, среди которых могут оказаться корни
многочлена, следующие:
а) 1 , 1 ;
б) 2 , 2 , 1, 1 , 12 ,  12 ;
в) 1, 1 , 2, 2 , 3, 3 . 4, 4 , 6, 6 , 12, 12 ;
г) 9, 9 , 4, 3 , 1, 1 , 13 ,  13 .