Практическая работа № 1 Системы координат. Видимое

Практическая работа № 1
Системы координат. Видимое движение Солнца
" Небесный свод, горящий славой звездной,
Таинственно глядит из глубины,
И мы плывем, пылающею бездной
Со всех сторон окружены."
Ф. Тютчев.
" Звезды шлют нам не только видимый
и ощутимый свет, действующий на наше
зрение; от них исходит такой же иной,
более тонкий свет, проясняющий нам ум."
Анри Пуанкаре.
Цель работы: Практическое закрепление теории астрономических координат,
знакомство со звездными картами, каталогом и умение работать с ними.
Методические указания: к выполнению практической работы следует приступить
после изучения § 10-17 [1] и стр.15-22 [2].
Исходные данные для выполнения практической работы и справочная информация
приведены в приложении №1.
Необходимые материалы:
• Циркуль, линейка, цветные стержни.
• Карта звездного неба.
• Звездный глобус.
• Подвижная карта звездного неба.
• Звездный каталог.
Содержание:
1. Нарисовать основные точки, круги и линии небесной сферы. Изобразить небесную
сферу в проекциях на плоскости небесного горизонта, небесного экватора и
небесного меридиана.
2. Сделать чертежи горизонтальной и экваториальных систем координат. Нанести на
них астрономический объект по заданным координатам своего варианта.
3. На звездной карте найти созвездие, зарисовать его и записать латинское название.
Снять с карты и записать координаты (α,δ) ярчайшей звезды созвездия. Найти эту
звезду в каталоге звезд, записать ее собственное имя, звездную величину и
спектральный класс.
4. Определить по заданным координатам (α,δ) с помощью карты звездного неба
звезду; записать название созвездия, в котором она находится на русском и
латинском языках, ее собственное имя, звездную величину и спектральный класс.
5. С помощью астрономического календаря на заданную в варианте дату выписать
экваториальные координаты Солнца (α,δ). По звездному глобусу или карте
звездного неба определить, в каком созвездии находится Солнце в данную дату.
Основные сведения из теории
Небесной сферой называется воображаемая сфера произвольного радиуса, в центре
которой находится точка наблюдения. На эту сферу проектируем положения всех
небесных тел. Расстояния на небесной сфере можно измерять только в угловых
единицах (например, в градусах). Для этого на ее поверхности наносятся основные
линии и точки, по отношению к которым производятся измерения.
Наблюдаемое суточное вращение небесной сферы ( оно происходит с востока на
запад) - кажущееся явление, отражающее действительное вращение земного шара
вокруг своей оси ( с запада на восток). Ось видимого вращения небесной сферы
называется осью мира. Она проходит через центр сферы и пересекает ее в точках P
(северный полюс мира) и P′ (южный полюс мира) (рис.1.1). Вблизи северного полюса
мира в настоящее время находится α Малой Медведицы - Полярная звезда. Ось мира
параллельна земной оси . Плоскость, перпендикулярная оси мира, проходящая через
центр сферы, пересекается с ней по большому кругу (QWQ′Е)- небесному экватору.
Плоскость небесного экватора параллельна плоскости земного экватора.
Отвесная ( вертикальная) линия ZZ′ проходит через центр небесной сферы,
пересекает ее в точках зенита (Z) и надира (Z′). Отвесная линия направлена вдоль
вектора силы тяжести. Зенит находится над головой наблюдателя. Плоскость,
проходящая через центр сферы и проведенная перпендикулярно отвесной линии, математический или истинный горизонт.
Плоскость, содержащая через отвесную линию и ось мира, называется плоскостью
небесного меридиана,которая в сечении с небесной сферой дает линию - небесный
меридиан PZSP′Z′Q′N. Пересечение горизонта с меридианом происходит в точках
Рис. 1.1.Основные линии и точки небесной сферы.
юга (S) и севера (N), а плоскости этих кругов пересекаются по полуденной линии
(NS). Отвесная линия перпендикулярна полуденной линии. Небесный экватор
пересекается с истинным горизонтом в точках востока (Е) и запада (W). Вертикальная
плоскость, перпендикулярная к плоскости меридиана и горизонта, называется
плоскостью первого вертикала и пересекается с горизонтом в точках Е и W. Большой
полукруг небесной сферы, проходящий через зенит, надир и точку, в которой в
данный момент находиться светило, называется вертикалом или кругом высоты.
Большой круг небесной сферы, проходящий через полюсы мира и наблюдаемое
светило, называется кругом склонения.
Угол наклона оси мира к горизонту равен географической широте (ϕ) места
наблюдения (т.е. высота полюса мира hp над горизонтом равна географической
широте ϕ места наблюдения, hp=ϕ).
Небесный меридиан делит сферу на два полушария (восточное и западное).
Математический горизонт SWNE делит поверхность небесной сферы на две:
• видимую для наблюдателя, с вершиной в зените Z;
• невидимую, с вершиной в надире Z′.
Небесный экватор делит небо на северное полушарие и южное.
Большой круг небесной сферы, по которому в течении года перемещается центр
Солнца называется эклиптикой (рис.1.2). Эклиптика проходит через тринадцать
созвездий, расположенных в пределах пояса шириной примерно 16°.Эклиптика
пересекается с экватором под углом ε≈230,5 в точках весеннего и осеннего
равноденствия. Точка весеннего равноденствия обозначается γ и находится в
созвездии Рыб, точка осеннего равноденствия обозначается K и находится в
созвездии Девы.
Рис.1.2. Экватор и эклиптика
При вращении небесной сферы положение эклиптики относительно горизонта
меняется, в противоположность всем остальным перечисленным линиям небесной
сферы. Положение светил на небесной сфере определяются двумя сферическими
координатами. Наиболее часто используются три системы координат:
• горизонтальная;
• первая экваториальная;
•
вторая экваториальная.
Горизонтальная система координат
Положение светила σ относительно горизонта и небесного меридианаопределяется
двумя координатами: высотой (h)
и азимутом (А), которые называются
горизонтальными. Высота светила - это дуга вертикального круга Мσ от горизонта
до светила, или центральный угол МОσ между плоскостью горизонта и направлением
на светило. Астрономический азимут светила определяет положение вертикального
круга - дуга математического горизонта SM от точки юга S (по часовой стрелке)
вдоль горизонта до его пересечения с кругом высоты, проходящим через светило, или
двугранный угол SOM между плоскоскостью небесного меридиана и плоскостью
вертикального круга, проходящего через светило. Вместо высоты h часто
употребляют зенитное расстояние z, равное 900-h, т.е. угловое расстояние светила от
зенита. Зенитное расстояние или высота и А зависят от широты места и от момента
наблюдения. Они измеряются в пределах:
-900 ≤ h ≤ +900, 00 ≤ Z ≤ 1800, 00 ≤ A≤ 3600.
Рис.1.3. Горизонтальная система координат
Первая экваториальная система координат
Склонение светила δ - дуга Мσ от небесного экватора до светила вдоль круга
склонения или центральный угол МОσ между плоскостью небесного экватора и
направлением на светило. Склонение выражается в градусах, минутах и секундах.В
северном полушарии неба склонение положительно, в южном – отрицательно.
Часовой угол t отсчитывается от точки Q пересечения экватора с меридианом по
часовой стрелке (к западу) до пересечения экватора с кругом склонения, проходящим
через светило. Часовой угол выражается в часовой мере и зависит от времени
наблюдения. Они измеряются в пределах:
0h ≤ t ≤ 24h, -900 ≤ δ ≤+900.
Данная система координат используется при построении различных систем
измерения времени.
Рис.1.4. Первая экваториальная система координат
Вторая экваториальная система координат
Склонение светила δ - та же координата, что и в первой экваториальой системе
координат. Прямое восхождение α отсчитывается от точки весеннего равноденствия
γ против хода часовой стрелки вдоль экватора до его пересечения с кругом склонения,
проходящим через светило. Оно выражается обычно в часовой мере. Исходя из того,
что 24ч=3600: 1ч=150; 1м=15’; 1с=15’’; 10=4м.
Во второй экваториальной системе координат (δ и α) положение светила не зависит
ни от суточного вращения небесной сферы, ни от места наблюдения. Они измеряются
в пределах: 0h ≤ α ≤ 24h, -900 ≤ δ ≤+900.
Рис. 5. Вторая экваториальная система координат
Данная система координат используется при составлении каталогов координат
светил.
Атлас звездного неба
Атлас звездного неба используется для изучения объектов неба и выполнения
научно-исследовательских работ по астрономии. Атлас михайлова [ 5] состоит из 20
звездных карт, каждая из которых изображает определенную область неба. На картах
атласа изображены звезды до 6.5 звездной величины. Число всех звезд свыше 8500,
т.е. больше, чем можно видеть невооруженным глазом. Кроме того, на картах
изображены наиболее интересные объекты, доступные наблюдениям в светосильный
бинокль: скопления, туманности и галактики.
Карты перекрываются краями на 50 по склонению и на 40m по прямому
восхождению.
Каждая карта содержит изображения звезд, координатную сетку, границы и
названия созвездий, изображения Млечного пути, звездных скоплений, туманностей и
галактик, а также обозначения звезд и других небесных объектов. Координатная сетка
нанесена линиями через 100 по склонению и через 1h по прямому восхождению.
Эклиптика, проходящая по зодиакальным созвездиям, нанесена черной сплошной
линией. Млечный путь изображен голубым цветом разной интенсивности. Плоскость
Млечного пути обозначена линией синего цвета. На картах даны латинские названия
созвездий. В каталоге[ 5] приведены русские и латинские названия созвездий, их
стандартные трехбуквенные сокращения с указанием номеров карт.
Подвижная карта звездного неба
Подвижная карта звездного неба – удобное пособие для решения астрономических
задач.
Она состоит из двух частей: собственно карты расположения ярких звезд (до 4.5
звездной величины ) (рис.1.6) и вспомогательного накладного круга (рис. 1.7).
Карта представляет собой проекцию небесного глобуса на плоскость, касательную
к нему в точке северного полюса мира. Она рассчитана на наблюдателя средних
широт, на ней нанесены звезды южного полушария – до δ=-450. Шкала склонений
оцифрована по двум радиусам, соответствующим прямым восхождениям 0h и 12h.
Накладной круг к карте звездного неба позволяет выделить область небосвода,
видимую в данном месте и в заданный момент времени. На нем нанесены овалы, из
которых надо выбрать соответствующий широте места наблюдений и вырезать
отверстие, позволяющее находить наблюдаемую над горизонтом часть неба простым
наложением круга на карту. Широта города Новосибирска равна 550, поэтому для
наблюдений в данной местности необходимо вырезать круг соответствующий овалу
круга ϕ=550.
Поскольку вращение небесной сферы происходит вокруг полюса мира, т.е. центра
карты и накладного круга, то достаточно лишь наложить круги, совместив дату и час
наблюдения. Тогда в вырезе появится та часть небосвода, которая в данном месте и в
данное время видна над горизонтом. Края выреза накладного круга отмечают
горизонт (на нем обозначены точки севера, юга, востока и запада). Центр выреза
соответствует точке над головой наблюдателя – зениту.
Видимое движение Солнца.
Под видимым движением небесных тел подразумевают обычно их наблюдаемое с
Земли перемещение по небесной сфере относительно системы координат,
освобожденной от суточного вращения ( например, экваториальной системы (α,δ)). В
течение года Солнце перемещается среди звезд все время с запада на восток по
эклиптике (рис.1.8). Перемещение Солнца по эклиптике неравномерное; наиболее
быстрое ( около 1°7′ в сутки) в первых числах января и наиболее медленное ( около
57′ в сутки) в первых числах июля.
22 декабря: день зимнего солнцестояния. Координаты центра Солнца - α=18h, δ =-ε≈
≈-23°,5. Солнце на максимальном удалении от небесного экватора и находится в
зените в зените на широте φ=23,5º ю.ш. (тропик Козерога). В южном полушарии
самый длинный день и самая короткая ночь. В северном полушарии - наоборот.
Полярный день и полярная ночь на широтах φ≥90º- 23,5º≥66,5º южной и северной
широты соответственно.
Пример выполнения работы
1. Задание № 1 выполняется самостоятельно.
2. а) Горизонтальная система координат.
А= 400;
Z=500
Z
Рис.1.9. Горизонтальная система координат.
б) Первая экваториальная система координат.
t= 4h = 600.
δ=+ 400;
Рис. 1.8.Карта неба на плоскости.
Главные даты годичного движения Солнца:
21 марта: день весеннего равноденствия . Координаты центра Солнца α=0h, δ=0°.
Солнце пересекает экватор в точке γ, переходя из южной полусферы в северную.
Долгота дня равна долготе ночи на всем земном шаре.
22 июня: день летнего солнцестояния. Координаты центра Солнца - α=6h, δ=ε≈+23°,5.
Солнце на максимальном удалении от небесного экватора и находится в зените в
полденьна широте φ=23,5º с.ш. (тропик Рака). В северном полушарии самый длинный
день и самая короткая ночь. В южном полушарии - наоборот. Полярный день и
полярная ночь на широтах φ≥90º- 23,5º≥66,5º северной и южной широты
соответственно.
23 сентября: день осеннего равноденствия. Координаты центра Солнца -α=12h, δ=0°.
Солнце пересекает экватор, переходя из северной полусферы в южную и находится в
зените в полдень на экваторе. Долгота дня равна долготе ночи на всем земном шаре.
Рис.1.10. Первая экваториальная система координат.
в) Вторая экваториальная система координат.
δ= - 400; α= 4h =600.
Созвездие
русское
название
латинское
название
Орион
Orion
Собственное
имя
γ Ori
Беллатрикс
Координаты
δ
α
° ′
h m
5
27
+ 6 25
Звездная
величина
mV
1,64
Спектральный
класс
Sp
B2 III
2.
Рис. 1.11. Вторая экваториальная система координат.
Используя " Астрономический календарь на 1989 год", определяются
координаты Солнца на дату 21 июня.
α=5h58m17s
δ= +23°26′29″.
Используя карту № 9 ( рис.1.13) из “ Атласа звездного неба “ Михайлова,
орпеделяем, что Солнце на дату 21 июня находится в созвездии Тельца (Taurus) .
3.Созвездие - Большой Пес.
Используется карта № 9 из “ Атласа звездного неба “ Михайлова.
Спектральный
Собственное
Звездная
Созвездие
Координаты
класс
имя
величина
русское
латинское
δ
α
Sp
название
название
m
V
° ′
h m
Canis
Б. Пес
β CMa Major
6 25 -18 00
Мирзам
1,98
B1 II-III
α
Сириус
β
Мирзам
δ
η
ε
Рис.1.12. Созвездие" Большой пес".
4. Даны координаты звезды: α =5h27m , δ = 6°25′
Используется карта № 9 ( рис.1.13) из “ Атласа звездного неба “ Михайлова.
Рис.1.13. Фрагмент карты № 9 из " Атласа звездного неба " под редакцией
Михайлова.
Приложение 1.
Исходные данные для практической работы № 1.
Контрольные вопросы.
1.
2.
3.
4.
5.
Что такое Зодиак? Перечислите названия двенадцати зодиакальных созвездий.
Где находится Полярная звезда, если набдюдатель находится : на экваторе; на
Северном полюсе; на широте города Новосибирска?
Почему в разное время года на небе появляются разные созвездия?Перечислить
созвездия летнего, зимнего, весеннего и осеннего неба.
Что такое нижняя и верхняя кульминация светила? Дайте определения
восходящим и заходящим светилам, незаходящим, невосходящим.
Чем замечательны дни равноденствий и солнцестояний?
Таблица 1.1.
созвездие
А
0
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
2
Андромеды
Близнецов
Б.Медведицы
Б. Пса
Водолея
Возничего
Волопаса
Девы
Дракона
Кассиопеи
Льва
Лебедя
Лиры
М.Медведицы
М.Пса
Ориона
Орла
Персея
Пегаса
Скорпиона
Сев. Короны
Стрельца
Скорпиона
Тельца
Ориона
Рыб
Козерога
Овна
Рака
Цефея
3
300
330
135
180
90
0
225
270
315
10
50
90
130
170
210
250
290
0
90
180
270
30
60
90
120
150
180
210
240
270
h
0
4
-10
-30
0
+45
-45
+70
-70
0
+10
+30
+60
+80
-10
-30
-60
-80
+45
-45
+30
-30
0
+45
-45
+70
-70
0
+10
+30
+60
+80
α
δ
5
18
6
0
12
3
9
15
21
18
6
0
12
3
9
15
21
5
10
15
20
12
3
9
15
21
5
10
15
20
12
6
-45
45
0
+10
+30
+60
+80
-10
-30
-60
-80
+45
0
+45
-45
+70
-70
0
+10
+30
+60
+80
+30
-30
0
+45
-45
+70
-70
0
h
0
h
α
δ
m
0
8
22
20
19
18
16
14
13
10
7
7
7
6
5
5
5
4
5
5
3
3
2
0
11
11
6
2
3
11
12
2
дата
′
9
55
40
48
35
26
13
23
06
42
37
31
43
53
13
12
33
24
22
21
05
21
09
03
01
43
18
06
02
53
18
−29
45
8
38
-26
19
-10
12
28
5
32
-16
7
45
-8
16
28
6
49
40
89
59
61
56
-16
-03
40
61
56
-3
53
40
48
41
19
27
54
13
09
21
00
39
24
57
15
25
34
18
41
46
13
06
48
26
39
05
51
54
06
05
10
1.01
1.02
1.03
1.04
1.05
1.06
1.07
1.08
1.09
1.10
1.11
1.12
15.01
15.02
15.03
15.04
15.05
15.06
15.07
15.08
15.09
15.10
15.11
15.12
7.01
7.02
7.09
7.10
7.11
7.12
Названия некоторых ярких звезд.
Таблица 1.2.
№
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
Имя звезды
2
Адара
Акраб
Алараф
Алгейба
Алголь
Алгораб
Алиот
Алкаид
Алкиба
Алнилам
Алрай
Алфард
Алфирк
Алхена
Альбирео
Альгениб
Альдерамин
Алькор
Альмак
Альтаир
Альферац
Альциона
Антарес
Арктур
Астеропа 1
Атлас
Ахернар
Беллатрикс
Бенетнаш
Бетельгейзе
Вега
Гемма
Денеб
Денебола
Дубхе
Зосма
Канопус
3
ε CMa
β Sco
β Vir
γ Leo
β Peg
δ Crv
ε UMa
η UMa
α Crv
ε Ori
γ Cep
α Hya
β Cen
γ Gem
β Cyg
γ Peg
α Cep
80 UMa
γ And
α Agl
α And
η Tau
α Sco
α Boo
21 Tau
27 Tau
α Eri
γ Ori
η UMa
α Ori
α Lyr
α CrB
α Cyg
β Leo
α UMa
δ Leo
α Car
1
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
Имя звезды
2
Капелла
Кастор
Каффа
Кохаб
Майя
Макраб
Мекаб
Менкалинан
Мерак
Меропа
Минтака
Мира
Мирак
Мирах
Мирзам
Мирфак
Мицар
Нат
Плейона
Поллукс
Полярная
Процион
Регул
Ригель
Сириус
Сиррах
Спика
Тайгета
Толиман
Тубан
Фекда
Феркад
Фомальгаут
Хамаль
Шедир
Электа
Этамин
3
α Aur
α Gem
δ UMi
β UMi
20 Tau
α Peg
α Cet
β Aur
β UMa
23 Tau
δ Ori
ο Cet
ε Boo
β And
β CMa
α Peg
ζ1 UMa
β Tau
28 Tau
β Gem
α UMi
α CMi
α Leo
β Ori
α CMa
α And
α Vir
19 Tau
α Cen
α Dra
γ UMa
γ UMi
α PsA
α Ari
α Cas
17 Dra
γ Dra
Практическая работа № 2
"Время и календарь"
1. Вычислить на момент декретного времени - Dn (по номеру варианта задания), ему
соответствующие моменты: Tn - поясного времени, m - местного среднего солнечного времени, UT всемирного (гринвичского) времени.
2. Вычислить момент s - местного звездного времени, соответствующий моментам: m - местного
среднего солнечного времени, UT - всемирного времени, вычисленным при решении задачи 1. Другие
исходные данные использовать по номеру варианта задания.
3. На основе вычисленного в задаче 3 момента s - местного звездного времени осуществить переход на
моменты: UT - всемирного времени, m - местного среднего солнечного времени, Dn - декретного времени.
В задаче использовать исходные данные по варианту задания.
4. Составить календарь (систему високосных лет) для гипотетической планеты, тропический год которой
равен n суток. Оценить погрешность календаря.
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЯ
Декретное время
Долгота
Количество суток
h m s
h m s
в году
1
10 августа
13 04 42.6
2 30 40.85
365.752
2
12 февраля
10 11 50.3
6 22 12.56
234.201
3
1 сентября
7 09 03.8
8 25 19.67
356.503
4
24 мая
4 44 28.6
5 09 45.87
300.333
5
30 октября
20 34 55.6
3 56 34.65
442.252
6
8 января
15 23 30.7
9 42 45.45
360.249
7
23 апреля
12 39 38.6
7 45 34.58
290.749
8
19 декабря
17 09 34.5
4 57 34.87
365.499
9
14 марта
9 45 23.9
5 49 28.66
400.198
10
28 июня
19 19 32.5
6 41 37.44
350.298
11
28 сентября
14 35 48.5
9 23 45.51
320.401
12
13 ноября
23 41 10.6
4 59 38.62
370.399
13
25 июля
4 27 51.6
7 52 49.54
350.601
14
29 мая
17 31 53.5
5 11 34.54
356.753
15
28 марта
10 18 26.2
6 41 44.65
334.202
16
10 июня
5 28 31.5
5 32 21.45
346.501
17
15 июля
8 12 44.4
8 12 20.56
320.331
18
13 августа
23 30 51.2
3 02 12.34
242.251
19
22 сентября
1 12 01.2
9 46 54.40
310.248
20
12 октября
13 22 47.8
6 01 22.17
390.748
21
18 ноября
16 07 22.7
4 25 03.30
351.498
22
5 декабря
17 48 23.6
7 20 17.88
450.199
23
25 декабря
21 03 54.5
2 46 33.47
360.299
24
13 января
22 37 08.4
8 50 39.41
380.402
25
23 февраля
11 24 56.7
9 37 21.33
371.398
26
8 марта
6 35 48.1
3 56 20.18
325.602
27
1 мая
10 57 23.3
5 12 01.88
442.251
28
12 июня
14 30 25.1
10 28 33.33
360.248
Вопросы к защите работы.
Знать определение всех систем времени, упоминаемых в задании. Уметь определять номер часового
пояса по заданной долготе. Чему равна разность местных времен? В какой системе времени идут часы в
России? В какой системе передаются радиосигналы точного времени?
Что такое звездные, истинные солнечные и средние солнечные сутки? На сколько отличаются звездные
сутки от средних солнечных? В чем причина различия? Что такое S0, s0, истинные и средние полдень/полночь?
Что такое (смысл) уравнение времени и для чего оно нужно?
Что такое календарь? Что такое тропический год? Юлианский и григорианский календарь. Когда должен
родиться человек, чтобы свой следующий день рождения отметить через 8 лет?
Вариант
Дата
Задание составил: доцент каф. астрономии и гравиметрии Гиенко Е.Г.
Пример выполнения работы.
Дано:
дата наблюдения d = 7 июля
декретное время Dn = 13h 16m 15s;
λ = 3h 56m 35s - долгота.
Задача 1.
Рабочие формулы:
Схема вычисления
Tn = Dn – k,
UT = Tn – n,
m = UT + λ,
где k = 1h для зимнего времени,
k = 2h для летнего времени,
n – номер часового пояса (определяется по долготе).
Элементы рабочих
формул
Dn
-k
Tn
-n
UT
+λ
m
Значения
13h 16m 15s
2
11h 16m 15s
4
7h 16m 15s
3h 56m 35s
11h 12 m 50 s
Задача 2.
Рабочие формулы:
1) s = s0 + m + mµ,
S0 = S0 - λEµ,
2) s = S + λE
S = S 0 + UT + UTµ,
S0 – звездное время в полночь на Гринвиче, выписывается на дату наблюдения из таблицы
“Звездное время” Астрономического Ежегодника, µ = 0.0027379093.
Схема вычисления
Элементы
рабочих
формул
S0
-λµ
s0
+m
+mµ
s
Значения
19h 01m 11.5 s
38.9 s
h
m
19 00 32.6s
11h 12 m 50 s
1m 50.5 s
h
6 15 m 13.1 s
Элементы
рабочих
формул
S0
+UT
+UTµ
S
+λ
s
Значения
19h 01m 11.5 s
7h 16m 15s
1m11.7 s
26 h 18 m 38 .2 s =2 h 18 m 38 .2 s
h
3 56m 35s
6 h 15 m 13.2 s
Задача 3.
Рабочие формулы:
UT = (S-S0) – (S-S0)ν ; m = (s- s0) – (s - s0)ν ; Dn = UT + (n+k) ; ν=0.0027304336.
Схема вычисления
Элементы
рабочих
формул
S
-S0
(S-S0)
-(S-S0)ν
UT
+(n+k)
Dn
Значения
2 h 18 m 38 .2 s
19h 01m 11.5 s
7h 17m 26.7 s
1m 11.7 s
7h 16m 15s
6
13h 16m 15s
Элементы
рабочих
формул
s
-s0
(s- s0)
-(s - s0)ν
m
Значения
6 h 15 m 13.1 s
19h 00m 32.6s
11h 14m 40.5s
1m 50.5 s
11h 12 m 50 s
Задача 4.
В задаче требуется дать ответ на следующие вопросы:
Количество суток (целое) в обычном году –
Количество суток в високосном году –
Система (повторяемость) високосных лет –
Погрешность календаря (за сколько лет погрешность составит величину 1 сутки) -
Дата
Янв. 0
1
2
3
4
Звездное время в полночь на Гринвиче S0 2004
h m s
6 36 02.3661
6 39 58.9192
6 43 55.4741
6 47 52.0314
6 51 48.5911
Дата
Февр.15
16
17
18
19
h m s
12 38 45.4871
12 42 42.0394
12 46 38.5889
12 50 35.1362
12 54 31.6826
Дата
Май 17
18
19
20
21
h m s
15 40 07.0031
15 44 03.5573
15 48 00.1141
15 51 56.6734
15 55 53.2345
5
6
7
8
9
6 55 45.1528
6 59 41.7161
7 03 38.2801
7 07 34.8436
7 11 31.4057
20
21
22
23
24
9 57 06.7955
10 01 03.3467
10 04 59.8951
10 08 56.4424
10 12 52.9900
6
7
8
9
10
12 58 28.2299
13 02 24.7801
13 06 21.3345
13 10 17.8932
13 14 14.4551
22
23
24
25
26
15 59 49.7968
16 03 46.3592
16 07 42.9209
16 11 39.4810
16 15 36.0389
10
11
12
13
14
7 15 27.9655
7 19 24.5226
7 23 21.0768
7 27 17.6289
7 31 14.1799
25
26
27
28
29
10 16 49.5391
10 20 46.0903
10 24 42.6440
10 28 39.2000
10 32 35.7578
11
12
13
14
15
13 18 11.0183
13 22 07.5807
13 26 04.1405
13 30 00.6968
13 33 57.2495
27
28
29
30
31
16 19 32.5942
16 23 29.1471
16 27 25.6983
16 31 22.2489
16 35 18.8008
15
16
17
18
19
7 35 10.7314
7 39 07.2852
7 43 03.8424
7 47 00.4039
7 50 56.9691
Март 1
2
3
4
5
10 36 32.3167
10 40 28.8760
10 44 25.4345
10 48 21.9913
10 52 18.5456
16
17
18
19
20
13 37 53.7991
13 41 50.3468
13 45 46.8941
13 49 43.4422
13 53 39.9923
Июнь 1
2
3
4
5
16 39 15.3557
16 43 11.9152
16 47 08.4794
16 51 05.0472
16 55 01.6160
20
21
22
23
24
7 54 53.5364
7 58 50.1034
8 02 46.6679
8 06 43.2284
8 10 39.7846
6
7
8
9
10
10 56 15.0969
11 00 11.6454
11 04 08.1920
11 08 04.7384
11 12 01.2863
21
22
23
24
25
13 57 36.5449
14 01 33.1001
14 05 29.6577
14 09 26.2170
14 13 22.7772
6
7
8
9
10
16 58 58.1831
17 02 54.7466
17 06 51.3058
17 10 47.8610
17 14 44.4135
25
26
27
28
29
8 14 36.3372
8 18 32.8877
8 22 29.4376
8 26 25.9883
8 30 22.5406
11
12
13
14
15
11 15 57.8373
11 19 54.3922
11 23 50.9509
11 27 47.5123
11 31 44.0744
26
27
28
29
30
14 17 19.3373
14 21 15.8965
14 25 12.4539
14 29 09.0089
14 33 05.5613
11
12
13
14
15
17 18 40.9648
17 22 37.5163
17 26 34.0692
17 30 30.6243
17 34 27.1819
8 34 19.0952
8 38 15.6521
8 42 12.2112
8 46 08.7719
8 50 05.3335
16
17
18
19
20
11 35 40.6354
11 39 37.1937
11 43 33.7483
11 47 30.2992
11 51 26.8472
14 37 02.1114
14 40 58.6599
14 44 55.2087
14 48 51.7595
14 52 48.3143
16
17
18
19
20
17 38 23.7419
17 42 20.3039
17 46 16.8671
17 50 13.4307
17 54 09.9937
4
5
6
7
8
8 54 01.8950
8 57 58.4554
9 01 55.0136
9 05 51.5691
9 09 48.1215
21
22
23
24
25
11 55 23.3935
11 59 19.9397
12 03 16.4871
12 07 13.0366
12 11 09.5886
6
7
8
9
10
14 56 44.8739
15 00 41.4376
15 04 38.0036
15 08 34.5695
15 12 31.1330
21
22
23
24
25
17 58 06.5552
18 02 03.1144
18 05 59.6711
18 09 56.2254
18 13 52.7776
9
10
11
12
9 13 44.6715
9 17 41.2200
9 21 37.7687
9 25 34.3191
26
27
28
29
12 15 06.1432
12 19 02.6998
12 22 59.2579
12 26 55.8166
11
12
13
14
15 16 27.6928
15 20 24.2486
15 24 20.8012
15 28 17.3515
26
27
28
29
18 17 49.3289
18 21 45.8808
18 25 42.4348
18 29 38.9926
13
14
15
9 29 30.8728
9 33 27.4303
9 37 23.9914
30
31
Апр. 1
12 30 52.3750
12 34 48.9321
12 38 45.4871
15
16
17
15 32 13.9011
15 36 10.4513
15 40 07.0031
30
Июль 1
2
18 33 35.5549
18 37 32.1214
18 41 28.6903
30
31
Февр 1
2
3
h m s
9 37 23.9914
9 41 20.5549
9 45 17.1189
9 49 13.6813
9 53 10.2405
Дата
Апр. 1
2
3
4
5
Май 1
2
3
4
5
Дата
Июль1
2
3
4
5
Звездное время в полночь на Гринвиче S0 2004
h m s
18 37 32.1214
18 41 28.6903
18 45 25.2589
18 49 21.8246
18 53 18.3858
Дата
Авг.16
17
18
19
20
h m s
21 38 53.7681
21 42 50.3201
21 46 46.8697
21 50 43.4177
21 54 39.9655
Дата
Окт. 1
2
3
4
5
h m s
0 40 15.2265
0 44 11.7789
0 48 08.3340
0 52 04.8912
0 56 01.4497
Дата
Нояб.16
17
18
19
20
h m s
3 41 36.7767
3 45 33.3423
3 49 29.9046
3 53 26.4628
3 57 23.0172
6
7
8
9
10
18 57 14.9425
19 01 11.4957
19 05 08.0469
19 09 04.5979
19 13 01.1500
21
22
23
24
25
21 58 36.5145
22 02 33.0663
22 06 29.6217
22 10 26.1810
22 14 22.7434
6
7
8
9
10
0 59 58.0087
1 03 54.5671
1 07 51.1241
1 11 47.6791
1 15 44.2315
21
22
23
24
25
4 01 19.5688
4 05 16.1192
4 09 12.6700
4 13 09.2225
4 17 05.7774
11
12
13
14
15
19 16 57.7041
19 20 54.2606
19 24 50.8195
19 28 47.3805
19 32 43.9428
26
27
28
29
30
22 18 19.3073
22 22 15.8706
22 26 12.4310
22 30 08.9873
22 34 05.5392
11
12
13
14
15
1 19 40.7814
1 23 37.3292
1 27 33.8760
1 31 30.4232
1 35 26.9726
26
27
28
29
30
4 21 02.3351
4 24 58.8955
4 28 55.4578
4 32 52.0211
4 36 48.5845
16
17
18
19
20
19 36 40.5056
19 40 37.0680
19 44 33.6289
19 48 30.1878
19 52 26.7440
31
Сент. 1
2
3
4
22 38 02.0878
22 41 58.6347
22 45 55.1817
22 49 51.7303
22 53 48.2813
16
17
18
19
20
1 39 23.5257
1 43 20.0831
1 47 16.6443
1 51 13.2077
1 55 09.7713
21
22
23
24
25
19 56 23.2975
20 00 19.8489
20 04 16.3991
20 08 12.9493
20 12 09.5011
5
6
7
8
9
22 57 44.8350
23 01 41.3910
23 05 37.9488
23 09 34.5076
23 13 31.0664
21
22
23
24
25
1 59 06.3330
2 03 02.8914
2 06 59.4459
2 10 55.9969
2 14 52.5454
6
7
8
9
10
5 00 27.9287
5 04 24.4802
5 08 21.0325
5 12 17.5871
5 16 14.1457
26
27
28
29
30
20 16 06.0560
20 20 02.6149
20 23 59.1779
20 27 55.7439
20 31 52.3108
10
11
12
13
14
23 17 27.6244
23 21 24.1807
23 25 20.7346
23 29 17.2858
23 33 13.8344
26
27
28
29
30
2 18 49.0931
2 22 45.6415
2 26 42.1920
2 30 38.7451
2 34 35.3011
11
12
13
14
15
5 20 10.7089
5 24 07.2763
5 28 03.8459
5 32 00.4151
5 35 56.9813
20 35 48.8761
20 39 45.4376
20 43 41.9944
20 47 38.5470
20 51 35.0969
15
16
17
18
19
23 37 10.3812
23 41 06.9273
23 45 03.4745
23 49 00.0241
23 52 56.5774
2 38 31.8596
2 42 28.4198
2 46 24.9807
2 50 21.5415
2 54 18.1011
16
17
18
19
20
5 39 53.5431
5 43 50.1004
5 47 46.6543
5 51 43.2064
5 55 39.7584
5
6
7
8
9
20 55 31.6458
20 59 28.1955
21 03 24.7470
21 07 21.3008
21 11 17.8571
20
21
22
23
24
23 56 53.1347
0 00 49.6952
0 04 46.2575
0 08 42.8195
0 12 39.3795
5
6
7
8
9
2 58 14.6589
3 02 11.2144
3 06 07.7675
3 10 04.3183
3 14 00.8678
21
22
23
24
25
5 59 36.3118
6 03 32.8675
6 07 29.4257
6 11 25.9865
6 15 22.5493
10
11
12
13
21 15 14.4156
21 19 10.9756
21 23 07.5363
21 27 04.0968
25
26
27
28
0 16 35.9358
0 20 32.4881
0 24 29.0369
0 28 25.5835
10
11
12
13
3 17 57.4170
3 21 53.9678
3 25 50.5219
3 29 47.0804
26
27
28
29
6 19 19.1134
6 23 15.6777
6 27 12.2412
6 31 08.8032
14
15
16
21 31 00.6561
21 34 57.2134
21 38 53.7681
29
30
Окт.1
0 32 22.1296
0 36 18.6769
0 40 15.2265
14
15
16
3 33 43.6434
3 37 40.2096
3 41 36.7767
30
31
32
6 35 05.3629
6 39 01.9200
6 42 58.4748
31
Авг. 1
2
3
4
31
Нояб. 1
2
3
4
Дек. 1
2
3
4
5
4 40 45.1471
4 44 41.7079
4 48 38.2665
4 52 34.8226
4 56 31.3765
Практическая работа №3
Движение планет. Законы Кеплера. Параллакс.
"Знакомство с фактами, по крайней мере,
не принесет вреда"
Ч.Бойс.
Цель: Освоить методику решения задач, используя законы движения планет.
Методические указания: к выполнению работы следует приступить после
изучения гл.2, 3 §63-68, гл 10 [ 1].
Исходные данные и справочная информация для выполнения практической
работы №3 приведены в приложении.
Содержание:
I. Выполнение индивидуальной работы.
1. Определить положения планет и Земли на их орбитах,
зная гелиоцентрические долготы планет l и гелиоцентрическую долготу Земли
L на дату варианта.
2. Графически определить геоцентрические долготы планет l'.
3. Графически определить фазовые углы планет Солнечной системы.
Вычислить фазы планет.
4. Определить конфигурации планет и в каких созвездиях они находятся на
дату варианта.
II. Решение задач.
Задача 1. Как часто повторяются противостояния планеты, сидерический период
которой известен.
Задача 2. Вычислить массу планеты , зная сидерический период обращения ее
спутника и расстояние спутника от планеты.
Задача 3. За какое время планета совершает полный оборот вокруг Солнца, если
известно ее расстояние от светила?
Задача 4. Определить расстояние до небесного тела, если известен его
горизонтальный параллакс.
Задача 5. Вычислить параболическую скорость на поверхности спутника, зная
его радиус и отношение массы планеты к массе спутника.
Примечание: Названия планет и спутников выдаются преподавателем, в
соответствии с вариантом.
Общие сведения из теории
Планеты движутся вокруг Солнца по эллиптическим орбитам. Вытянутость
орбит мала, и при решении многих задач планетные орбиты можно считать
круговыми и лежащими в плоскости эклиптики. Характерные взаимные
расположения планет относительно Солнца называются конфигурациями
планет. Планеты, орбиты которых расположены внутри земной орбиты
называются нижними, а планеты, орбиты которых расположены вне земной
орбиты – верхними. Конфигурации верхних и нижних планет различны и
показаны на рис. (3.1), на котором положение Земли отмечено буквой Т, а
названия конфигураций надписаны. Нижние планеты лучше всего наблюдать
вблизи элонгаций - наибольшего видимого углового удаления планеты от
Солнца. Верхние планеты лучше всего видны вблизи противостояний, когда к
Земле обращено все освещенное Солнцем полушарие планеты.
Рис. 3.1. Планетные конфигурации
Промежуток времени, в течение которого планета совершает полный оборот
вокруг Солнца по орбите, называется сидерическим (или звездным) периодом
обращения (Т), а промежуток времени между двумя одинаковыми
конфигурациями планеты – синодическим периодом (S). Планеты движутся
вокруг Солнца в одном направлении, и каждая из них через промежуток
времени, равный ее сидерическому периоду, совершает один полный оборот
вокруг Солнца.
Через промежуток времени, равный, например, сидерическому периоду Земли
(Т⊗), нижняя планета обгонит Землю, а верхняя отстанет от нее, т.е.
первоначальная конфигурация планет не восстановится. Следовательно,
синодический период не равен сидерическому. Для нижней планеты, которая
движется по орбите быстрее Земли, можно записать
1 1 1 ,
(3.1)
= −
S
T
T⊗
а для верхней, которая движется медленнее, чем Земля, 1
1 1,
=
−
S
T⊗
(3.2)
T
где Т⊗=1 год (или 365.26 суток).
Формулы (3.1) и (3.2) называются уравнениями синодического движения.
Каждая планета в течение синодического периода занимает различные
положения по отношению к Земле и Солнцу, что позволяет наблюдать у
планеты
смену фаз. Фаза
планеты измеряется отношением площади
освещенной части видимого диска ко всей его площади ( рис.3.2).
Рис.3.2. Фаза и фазовый угол планеты.
Угол между направлением с планеты на Солнце и Землю называется фазовым
углом ψ. Связь между фазой Ф и фазовым углом ψ определяется формулой
Ф = cos 2
ψ
.
(3.3)
2
Фазовый угол для нижней планеты изменяется от 0° ( верхнее соединение) до
180° (нижнее соединение) и, следовательно, ее фазы изменяются от нуля до
единицы ( рис. 3.3 ). Для верхних планет фазовый угол никогда не превышает
той максимальной величины, которая достигается в моменты квадратур ( т.е.
когда Земля видна с планеты в наибольшем удалении от Солнца). Для Марса эта
величина составляет не более 48.3°, для Юпитера - 11°. Поэтому для Марса фаза
всегда не меньше 0.84, а для других верхних планет она всегда очень близка к
единице.
Рис. 3.3 . Фазы нижних ( внутренних) планет и Луны.
Гелиоцентрической долготой называется угол l между прямой "Солнце-γ"и
направлением от Солнца к планете . Величина l отсчитывается против хода
часовой стрелки от 0°до 360°. Гелиоцентрическую долготу Земли будем
обозначать через L. Геоцентрической долготой планеты называется угол l'
между прямой "Земля - γ" и направлением от Земли к планете. Величина l'
отсчитывается от прямой "Земля - γ" против часовой стрелки. (рис.3.4 ).
Для нижних планет:
- в нижнем соединении - l - L=0°
- в верхнем соединении - l - L=180°
- в западной элонгации - l - L=90° - θ
- в восточной элонгации - l - L=270° + θ,
где θ - наибольшее видимое угловое удаление планеты от Солнца ( у Меркурия
– 280, а у Венеры – 480).
Для верхних планет:
- - в противостоянии - l - L=0°
- в соединении - l - L=180°
- в западной квадратуре - l' - L=90°
- в восточной квадратуре - l' - L=270°.
Планеты вокруг Солнца движутся по законам Кеплера.
1. Орбита каждой планеты есть эллипс, в одном из фокусов которого
находится Солнце.
2. Радиус – вектор планеты за равные промежутки времени описывает равные
площади.
3. Квадраты сидерических периодов обращения двух планет относятся как
кубы больших полуосей их орбит.
T1
2
T2
2
=
a1
3
a2
3
(3.4)
или
a1
T1
3
2
=
a2
2
T2
2
= const
(3.5)
Эти законы справедливы и для движений спутников вокруг своих планет.
Законы движения небесных светил являются следствием их взаимодействия
по закону всемирного тяготения - все тела притягиваются друг к другу с силой,
модуль которой прямо пропорционален произведению их масс и обратно
пропорционален квадрату расстояния между ними.
Закон всемирного тяготения выражается формулой:
F= f
m1 m2
,
r2
(3.6)
где m1 и m2 – массы тел; r – расстояние между их центрами; f - постоянная
3
всемирного тяготения (ее значение в системе СИ f=6,67*10-11 м /кг с2). Ньютон
вывел законы Кеплера из закона всемирного тяготения.
Под действием силы тяготения одно небесное тело может двигаться по
отношению к другому по кривой конического сечения - по окружности,
эллипсу, параболе и гиперболе. В этом заключается первый обобщенный закон
Кеплера. Для определения масс небесных тел важное значение имеет обобщение
третьего закона Кеплера на любые системы обращающихся тел.
Квадраты сидерических периодов планет (Т12 и Т22), умноженные на сумму
масс Солнца и планеты (М~+m1 и М~+m2), относятся как кубы больших
полуосей орбит планет (a13 и а23).
Т21(М~+m1 ) / Т22(М~+m2 )=a31/ a32
(3.7)
Обобщенный третий закон Кеплера применим и к другим системам, например
к движению планеты вокруг Солнца и спутника вокруг планеты.
Для этого сравнивают движение Луны вокруг Земли с движением спутника
вокруг планеты , массу которой определяют, и при этом массами спутников в
сравнении с массой центрального тела пренебрегают. Тогда масса планеты Mn
вычисляется по формуле:
Mn =
T 2 a13
⋅
⋅M ,
T12 a 3
(3.8)
где Т1 и a 1 – период и большая полуось орбиты спутника планеты.
Скорость V при движении тела массы m под действием тяготения по орбите с
большой полуосью a на расстоянии r от центрального тела находится по
формуле:
V 2 = f ( M + m )⋅(
2 1 ,
− )
r a
(3.9)
где М – масса центрального тела.
Если m значительно меньше М, то его можно принять в формуле за ноль.
Обозначим fM через µ..
При движении тела по кругу r= a , то из уравнения (3.9) следует
µ,
(3.10)
Vk =
a
где Vk – круговая скорость.
При движении тела по параболе ( a =∞) из уравнения (3.9) следует
2µ ,
(3.11)
V П = VК 2 =
a
где VП – параболическая скорость.
Скорость эллиптического движения VЭ заключена в пределах
VК<VЭ<VП
(3.12)
Горизонтальный экваториальный параллакс.
Угол ρ0, под которым со светила, при наблюдении его на горизонте, виден
называется горизонтальным
экваториальный радиус Земли R⊗,
экваториальным параллаксом светила.
Тогда расстояние до светила D
D=
R⊗
sin ρ 0
(3.13)
Для Луны в среднем ρ0=57', для Солнца в среднем ρ~=8.78".
Поскольку углы ρ0 малы, то их синусы можно заменить самими углами
206265 R⊗ ,
R⊗
(3.14)
D=
=
ρ 0 sin 1' '
ρ0
здесь параллакс ρ0 выражн в секундах дуги.
Согласно формуле (3.14), параллакс обратно пропорционален расстоянию до
светила.
При наблюдениях небесных тел Солнечной системы можно измерить угол,
под которым они видны земному наблюдателю. Зная этот угловой радиус
светила ρ и расстояние до светила D, можно вычислить линейный радиус
светила R:
(3.15)
R = D sin ρ
Учитывая формулу (3.13), получим:
sin ρ
(3.16)
R=
R⊗ .
sin ρ 0
Так как углы ρ и ρ0 малы, то
R=
ρ
R
ρ0 ⊗
(3.17)
Пример выполнения работы.
I.Определение конфигурации планет.
1.
2.
3.
4.
5.
Исходные данные приведены в таблице.
Дата
Планета
2002 г.
31 января
Меркурий
Венера
Земля
Гелиоцентрические
долготы l, град.
329.0
35.0
215.0
Таблица 3.1.
Радиус r,
а.е.
0.356
0.724
0.985
Отмечают положения планет и Земли на их орбитах, используя значения
гелиоцентрических долгот планет l и гелиоцентрической долготы Земли L
на дату варианта, произвольно проводя линию по направлению к точке
весеннего равноденствия γ (рис.3.4 ) от Солнца.
Радиусы кругов, изображающих орбиты планет необходимо строить с
учетом масштаба. За единицу масштаба рекомендуется взять расстояние
от Земли до Сонца - 1а.е.=149 600 000 км.
Определив положение Земли, проводят из данной точки прямую линию по
направлению к точке весеннего равноденствия, параллельную лини Солнцеγ, и, соединив линией положение Земли с положением планеты на орбитах,
измеряют геоцентрический угол транспортиром.
С помощью транспортира определить фазовые углы планет Солнечной
системы. Вычислить фазы планет.
5.
На основании выполненных построений и вычислений определить
конфигурации планет и в каких созвездиях они находятся на дату варианта.
6. Результаты вычислений представить в виде таблицы 3 2.
Таблица 3.2.
планета
l', град. ψ, град
Ф
созвездие
примечание
Меркурий
20.0
50.0
Рыбы
Верхнее
Венера
35.0
0.0
Водолей
соединение
Рис.3.4. Конфигурации внутренних планет Солнечной системы на 31 января
2002 г.
I.Решение задач.
Задача 1. Как часто повторяются противостояния Марса, сидерический период
которого 1.9 года?
Марс – верхняя планета. Используем формулу (3.2)
Дано:
Решение:
1
1
1
Т⊗=1 г.
=
−
S T⊗ T
1 T − T⊗
1 .9
1 .9
Т=1.9 г.
=
S =
=
≈ 2 .1 г .
S T⊗ * T
1 .9 − 1 0 .9
Найти:
S=
T⊗ * T
T − T⊗
S-?
Ответ: Противостояния Марса повторяются примерно через 2.1 года.
Задача 2. Вычислить массу Юпитера, зная, что его спутник Ио совершает
оборот вокруг планеты за 1,77 суток, а большая полуось его орбиты - 422 тыс.
км.
Для решения задачи используем формулу (3.8). Сравним обращение Ио
вокруг Юпитера с обращением Луны вокруг Земли. Период обращения Луны
Т=27,32 суток, а среднее расстояние Луны от центра Земли а=384 тыс. км.
Определим массу Юпитера по отношению к массе Земли. Массу Земли примем
за единицу. Используем уравнение (3.8).
Дано:
Задача 3. За какое время Марс, находящийся от Солнца примерно в полтора
раза дальше, чем Земля, совершает полный оборот вокруг Солнца?
Для решения задачи используем третий закон Кеплера, уравнение (3.4).
Дано:
Решение:
2
3
T1
a1
а1=1.5 а.е.
=
2
3
T⊗
a⊗
T1 =
Т⊗=1 г.
T1 =
3
T ⎛ a1 ⎞
⋅⎜ ⎟ M⊗
T12 ⎝ a ⎠
m=M⊗=1
MП =
T=27,32 сут.
MП =
3
M ⊗ ≈ 317 M ⊗
а=3,84 ·105 км
Т1=1,77 сут.
а1=4,22·105 км
Найти:
МП - ?
Ответ: Масса Юпитера составляет примерно 317 масс Земли.
a1
a⊗
1 * 1.5 1.5
= 1.5 1.5 ≈ 1.9 г.
1
1
Задача 4. Зная горизонтальный параллакс Луны и экваториальный радиус
Земли, найти расстояние от Земли до Луны.
Для решения используем формулу (3.14).
Дано:
Решение:
ρЛ=57'02"
R⊗=6378 км
(27 ,32 )2 ⋅ (4 ,22 ⋅ 10 5 )
3
(1,77 )2 ⋅ (3 ,84 ⋅ 10 5 )
3
T⊗ a1 = T ⊗ a 1
3
a⊗
a⊗
Найти:
Т1 - ?
Ответ: Полный оборот вокруг Солнца Марс совершает примерно за 1,9 года.
Решение:
2
2
а⊗=1 а.е.
D=
206265' '*R⊗
ρ0
206265' '*6378 км
D=
≈ 384400 км
3422' '
Найти:
DЛ - ?
Ответ: Расстояние от Луны до Земли примерно 384400 км.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Задача 5. Вычислить параболическую скорость на поверхности Луны R=0.27
радиуса Земли, М=1/81 массы Земли.
Используем формулу (3.11).
Дано:
Решение:
RЛ=0.27 R⊕
MЛ=1/81 M⊕
2µ
VП =
a
a = 0.27 R⊕
Найти:
µЛ = f ⋅ 1 M⊕
81
VП - ?
µЛ = 1
81
2 ⋅ 1 ⋅ 398600,5
VП =
=
81 ⋅ 6378 ⋅ 0,27
= 5,7 ≈ 2,4км / c
⋅ 398600 ,5
Ответ: Параболическая скорость на поверхности Луны примерно 2,4 км/с.
Контрольные вопросы.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Сформулируйте законы, лежащие в основе небесной механики.
Конфигурации нижних и верхних планет.
Планеты земной группы.
Планеты- гиганты.
Методы определения расстояний до тел Солнечной системы и размеров
этих небесных тел
Малые тела Солнечной системы.
Исходные данные для решения задач.
Таблица П.3.5
№
ЗАДАЧА 1
ЗАДАЧА 2,5
ЗАДАЧА 3
2
3
Планета
Меркурий
Венера
Уран
Марс
Юпитер
Сатурн
Уран
Нептун
Плутон
Меркурий
Венера
Марс
Юпитер
Сатурн
Уран
Нептун
Плутон
Уран
Марс
Юпитер
Сатурн
Уран
Нептун
Плутон
Юпитер
Уран
Венера
Марс
Юпитер
Сатурн
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Планета
Меркурий
Венера
Уран
Марс
Юпитер
Сатурн
Уран
Нептун
Плутон
Меркурий
Венера
Марс
Юпитер
Сатурн
Уран
Нептун
Плутон
Уран
Марс
Юпитер
Сатурн
Уран
Нептун
Плутон
Юпитер
Уран
Венера
Марс
Юпитер
Сатурн
Т
0.24
0.61
84.04
1.88
11.86
29.49
84.04
164.8
247.7
0.24
0.61
1.88
11.86
29.49
84.04
164.8
247.7
84.04
1.88
11.86
29.49
84.04
164.8
247.7
11.86
84.04
0.61
1.88
11.86
29.49
Планета
Земля
Марс
Юпитер
Спутник
Луна
1. Фобос
2. Деймос
1. Ио
2. Европа
3. Ганимед
4. Каллисто
5. Амальтея
6. Гималия
7. Элара
8. Пасифе
9. Синопе
10Лизистея
Нептун
Сатурн
Уран
11. Карме
1. Тритон
1. Мимас
2. Энцелад
3.Тефия
4. Диона
5. Рея
6. Титан
7.Гиперион
8. Япет
9. Феба
10. Янус
1. Ариэль
2.Умбриэль
3. Титания
4. Оберон
5. Миранда
ЗАДАЧА 4
4
ρЛ
53′ 54.″6
54 09.8
54 25.0
54 40.2
54 55.4
55 10.6
55 25.8
55 41.0
55 56.2
56 11.4
56 26.6
56 41.8
56 57.0
57 12.2
57 27.4
57 42.6
57 57.8
58 13.0
58 28.2
58 43.4
58 58.6
59 13.8
59 29.0
59 44.2
59 59.4
60 14.6
60 29.8
60 45.0
60 59.2
61 14.4
Продолжение таблю П.3.7.
Таблица П.3.6.
Основные сведения о планетах
Название
планеты, ее
обозначение
Среднее
расст. от
Солнца,
годы
Сидерический
период,
годы
Меркурий
0.39
0.24
Венера
0.72
0.61
1.00
1.00
Земля, ⊕
Марс
1.52
1.88
Юпитер
5.20
11.86
Сатурн
9.54
29.46
Уран
19.19
84.02
Нептун
30.07
164.78
Плутон
39.52
247.70
*примечания: ∂ - обозначения суток
Орбитальная
скорость,
км/ч
Средний
радиус,
км
Период
вращения
47.9
35.0
29.8
24.1
13.1
9.6
6.8
5.4
4.7
2440
6050
6371
3397
69900
58000
25400
24300
1140
58.7∂*
243.1∂
23h56m4s
24h37m22s
9h50m
10h14m
10h49m
15h48m
6.4∂
Масса, в
массах
Земли
(М⊕=
6*1024кг)
0.06
0.82
1.00
0.11
318
95.20
14.60
17.20
0.002
Таблица П.3.7.
Спутники планет
Планеты
Спутник
Среднее
расстояние
от центра
планеты,103км
Сидирический период
обращения в
сутках
Диаметр,
Масса планеты
км
Масса спутника
1
2
3
4
5
6
Земля
Марс
Луна
1. Фобос
2. Деймос
1. Ио
2. Европа
3. Ганимед
4. Каллисто
5. Амальтея
6. Гималия
7. Элара
8. Пасифе
9. Синопе
10Лизистея
11. Карме
12. Ананке
1. Мимас
2
2. Энцелад
3.Тефия
4. Диона
5. Рея
384.4
9.4
43.5
421.8
671.4
1071
1884
181
11500
11750
23500
23700
11750
22500
21000
185.7
3
238.2
294.8
377.7
527.5
27.321661
0.318910
1.262441
1.769138
3.551181
7.154553
16.689018
0.498179
250.62
259.8
738.9
755
260
696
625
0.942422
4
1.370218
1.887802
2.736916
4.517503
81.3
3474
10206
1980?
3640
3050
5270
5000
240
170
80
36
28
24
30
20
360
6
500
1400
1000
1600
Юпитер
Сатурн
1
24000
39800
12400
21000
15000000
5
8000000
870000
555000
250000
1
Уран
Нептун
Плутон
2
6. Титан
7.Гиперион
8. Япет
9. Феба
10. Янус
1. Ариэль
2.Умбриэль
3. Титания
4. Оберон
5. Миранда
1. Тритон
2. Нереида
1. Харон
3
1223
1484
3563
12950
157.5
191.8
267.3
438.7
586.6
130.1
353.6
6000
17
4
15.945452
21.276665
79.33082
550.45
0.749
2.52038
4.14418
8.70588
13.46326
1.414
5.87683
500
6.3467
5
4150
5000000
100000
700
3000000
15.9
6
5800
220
1450
240
200
800
550
1000
900
300
4400
300
1000
Практическая работа № 4 .
Земля.
“ Образованному человеку свойственно проводить
в каждой области точные исследования до таких
пределов, какие допускает природа
дела. ”
Аристотель. “ Метафизика”.
Цель: Освоить методику решения задач по определению параметров Земли.
Методические указания: К выполнению лабораторной работы следует
приступить после изучения содержания гл.3 §61,62; гл.4 из [ 1 ].
Содержание:
1. Задана точность угловых измерений. Какой максимальной ошибке в
километрах вдоль меридиана это соответствует?
2. Определить радиус Земли, если задана высота точки и понижение
горизонта.
3. Какова дальность горизонта при заданной высоте пункта наблюдения?
4. Чему равна масса Земли, если угловая скорость Луны 13,°2 в сутки, а
среднее расстояние до нее 384 400 км?
5. Вычислить плотность спутника, если известна его масса и радиус.
6. Определить период обращения искусственного спутника Земли, если
наивысшая точка его орбиты над Землей 5000+Nкм, а наинизшая -300+Nкм.
Сравните движение спутника с обращением Луны.
7. Какова линейная скорость движения точек на экваторе и пункте с широтой
50°+ N°.
8. Определить длину дуги меридиана между пунктами А и В, если в пункте А
Солнце находится в зените 21 марта и 23 сентября, а в пункте В - 22
июня,считая Землю шаром.
Общие сведения из теории.
Земля из космоса выглядит как шар, освещенный Солнцем, что служит
современным доказательством шарообразности Земли. Точный ответ о форме и
размерах Земли можно получить с помощью градусных измерений, т.е.
измерения в километрах длины дуги в 1° в разных местах на поверхности
Земли. Впервые этот способ применил греческий ученый Эратосфен в III в. до
н.э. В настоящее время размеры и форму Земли определяют с большой
точностью в геодезии методами триангуляции, трилатерации, полигонометрии
и спутниковыми методами.
Земля движется вокруг Солнца по эллипсу. В перигелии она бывает около 2
января, в афелии – около 4 июля. Доказательства движения Земли вокруг
Солнца - это явления годичного параллакса, годичной аберрации и смещение в
спектрах звезд. Смена времен года является следствием обращения Земли
вокруг Солнца и наклона оси вращения Земли к плоскости эклиптики на 66,5º.
При обращении Земли вокруг Солнца ось ее остается параллельна самой себе.
К числу доказательств вращения Земли вокруг оси относятся: суточная
аберрация, отклонение падающих тел к востоку и поворот плоскости качаний
свободного маятника к западу (опыт Фуко).
Плоскость качаний маятника Фуко поворачивается за час на угол 15 0 sinϕ.
Шарообразность Земли проявляется в увеличении расстояния (D) до линии
горизонта с повышением наблюдателя над поверхностью Земли (на h м) по
формуле
D = 3,57 h ,
(4.1)
или, с учетом рефракции в земной атмосфере,
D=3,80 h ,
(4.2)
где D выражено в км. Вместе с тем видимый горизонт понижается , делаясь
ниже астрономического на величину x, называемую понижением горизонта:
х=1′,93 h ,
(4.3)
или с учетом рефракции,
х=1′,80 h .
(4.4)
Эти величины связаны с радиусом Земли R пропорцией
х
D
.
(4.5)
=
360 0 2πR
Для определения радиуса Земли R измеряют длину дуги меридиана S между
точками,
широты которых ϕ1 и ϕ 2 определяют путем астрономических
наблюдений. Очевидно, что
ϕ1 − ϕ 2
S
=
,
(4.6)
2πR
360 D
откуда находят R.
Дугу S измеряют методом триагуляции. Из таких измерений выяснилась
сплющенность Земли у полюсов. Она характеризуется величиной “ сжатия”,
равной
a−b
,
( 4.7)
α=
a
где a и b – экваториальный и полярный радиусы небесного тела.
У Земли сжатие равно
α=1/298.
Это сжатие есть следствие вращения Земли и возникающей при этом
центробежного ускорения, выражаемого формулой
aц = ω ⋅ D 2 ,
( 4.8)
где ω - угловая скорость, D– расстояние точки от оси вращения.
Центробежное ускорение уменьшает вес тел:
Вес = m(g - aц),
(4.9)
где g – ускорение силы тяжести.
Ускорение силы тяжести g выводят путем определения периода колебания
маятника Р.
Для математического маятника
l
P = 2π
,
(4.10)
g
где l – длина маятника.
С учетом центробежного ускорения на широте ϕ
g = g 90 − ω ⋅ R 2 cos 2 ϕ ,
где g90 – ускорение силы тяжести на полюсе
(4.11)
На широте 45° на уровне моря g=980.6 см/сек2. Наблюдаемые значения g не
соответствуют указанной формуле, обнаруживая еще большее изменение с
широтой. Это происходит от изменения расстояния эллипсоидальной
поверхности Земли от ее центра.
Истинная фигура Земли отличается от эллипсоида вращения и представляет
собой геоид – уровенную поверхность поля силы тяжести, проходящую через
начало отсчета высот. Отличие геоида от эллипсоида порядка 100 метров.
Изучение фигуры и формы Земли – основная задача геодезии и гравиметрии.
Примеры решения задач.
Задача 1.Точность угловых измерений 0,″1. Какой максимальной ошибке в
длине линии вдоль меридиана это соответствует?
Дано:
R⊕=6 371 км
360° - 2 R⊕π
0,1′′ ⋅ 2 ⋅ 3,14 ⋅ 6371
= 0,003 км = 3 м
X =
m= 0,″1
0,″1 - X
360 D ⋅ 3600 ′′ / D
0,1′′ ⋅ 2 πR ⊕
Найти:
X =
360 D ⋅ 3600 ′′ / D
mкм=?
Ответ: Максимальная ошибка в длине линии соответствует 3 м.
Задача 2. Определить радиус Земли, если с горы высотой 1000 м понижение
горизонта составляет 1,°01 ( без рефракции).
Дано:
3,57 1000 ⋅ 360 D
х
D
Х=1,°01
=
R⊕ =
= 6407,5 км
360 0 2πR
3,14 ⋅ 2 ⋅1, D 01
h=1000 м
D = 3,57 h
Найти:
R⊕=?
Ответ: Радиус Земли равен 6407,5 км.
Задача 3.Какова дальность горизонта с высоты пятого этажа?
Дано:
h= 15 м
D = 3,80 h
D = 3,80 15 = 14,7 км
Найти:
D=?
Ответ: Дальность горизонта с высоты пятого этажа равна 14,7 км.
Контрольные вопросы.
1. Доказательства вращения Земли вокруг своей оси.
2. Доказательства движения Земли вокруг Солнца.
3. Прецессия и нутация земной орбиты.
4. Годичная и суточная аберрация.
5. Понятие геоида.
Практическая работа № 5 .
Приборы для астрономических наблюдений
" Радость видеть и понимать есть
самый прекрасный дар природы."
Энштейн.
Цель работы: знакомство с астрономическими приборами, определение главных
характеристик телескопов.
Методические указания: к выполнению лабораторной работы следует
приступить после изучения содержания гл.VIII § 110 из [1], гл. IV § 1-15 из [ 2] .
Содержание:
1. Показать на чертеже ход лучей в телескопе для системы данного варианта
(система: Ньютона, Шмидта, Кассегрена, Нэсмита, Максутова, Грегори).
2. Зарисовать горизонтальную и экваториальную (параллактическую)
монтировки телескопов. Показать направление главных осей монтировок.
3. Измерить диаметр объектива телескопа D и фокусное расстояние объектива
F. Записать фокусное расстояние окуляра f.
4. Вычислить основные характеристики телескопов: относительное отверстие;
геометрическую светосилу объектива ; разрешающую силу телескопа ;
увеличение телескопа.
Основные сведения из теории.
Наблюдения- основной источник информации о небесных телах, процессах и
явлениях, происходящих во Вселенной. Наибольшая часть сведений получена
благодаря исследованию света звезд. Свет, излучаемый звездами,
распространяется в форме волны. Световая волна представляет собой
электромагнитное колебание, которое переносит энергию от звезд к сетчатке
нашего глаза. Для проведения наблюдений созданы астрономические
обсерватории, которые оснащены крупными
оптическими телескопами,
представляющими
собой
сложные
и
в
значительной
степени
автоматизированные инструменты.
Оптический телескоп:
увеличивает угол зрения, под которым видны небесные тела;
•
собирает во много раз больше света, приходящего от небесного
•
светила, чем глаз наблюдателя.
Благодаря этому
телескоп дает возможность изучить мелкие детали
наблюдаемого объекта и увидеть множество слабых звезд.
В астрономии расстояние между объектами на небе измеряют углом ,
образованным лучами, идущими из точки наблюдения к объектам. Такое
расстояние называется угловым, и выражается оно в градусах и долях градуса. В
крупные телескопы удается наблюдать раздельно звезды, угловое расстояние
между которыми составляет сотые или даже тысячные доли секунды.
Существует несколько типов оптических телескопов. В телескопах –
рефракторах лучи от небесных светил собирает линза или система линз, и
используется преломление света. В телескопах- рефлекторах – вогнутое
зеркало, способное фокусировать отраженные лучи. В зеркально – линзовых
телескопах – комбинация зеркал и линз.
С помощью телескопов производятся не только визуальные и фотографические
наблюдения, но преимущественно высокоточные фотоэлектрические и
спектральные наблюдения. Из спектральных наблюдений получают сведения о
температуре, химическом составе, магнитных полях небесных тел, а также об их
движении.
Способность телескопа показывать (или регистрировать с помощью
приборов) слабые звезды называется проницающей силой, а способность
различать мелкие детали - разрешающей силой.
Разрешающая сила телескопа характеризуется предельным угловым
расстоянием между двумя звездами, которые видны в этот телескоп, не вполне
сливаясь одна с другой. Разрешающая сила характеризуется величиной
S = 11′′,6 / D ,
(5.1)
где D – диаметр объектива в сантиметрах.
Проницающая сила телескопа характеризуется предельной величиной звезд,
еще видимых в данный телескоп в совершенно ясную темную ночь: она
приближенно выражается формулой
m = 7 ,5 + 5 lg D ,
(5.2)
где D – выражено в сантиметрах.
Рассмотрим, от чего зависят эти характеристики телескопа.
Показателем качества объектива является размер изображения светящейся
точки: чем он меньше, тем лучше. Астрономы характеризуют размер
изображения величиной угла, под которым оно видно из центра объектива.
Можно теоретически оценить минимальный размер изображения светящейся
точки, которое строит объектив. Выраженный в секундах дуги, он равен
206265′′ ⋅ λ
,
(5.3)
α=
D
где λ - длина волны света, выраженная в сантиметрах, D – диаметр
объектива, выраженная в сантиметрах.
Эта величина и служит мерой разрешающей способности телескопа.
Кроме проницающей и разрешающей силы есть и другие важные
характеристики телескопа: фокусное расстояние, увеличение, поле зрения и
светосила телескопа.
Телескоп состоит из объектива и окуляра. Объектив телескопа
действительное изображение небесных светил, рассматриваемое в окуляр.
Угловой размер изображения в телескопе больше углового размера объекта
на небе. Отношение этих углов называется увеличением телескопа. Оно равно
F
К=
,
(5.4)
f
где F – фокусное расстояние объектива, а f – фокусное расстояние окуляра.
Окуляр использовать не обязательно. Можно поставить в фокусе объектива
приемник света, например, фотопластинку. И в этом случае, чем больше
фокусное расстояние объектива, тем крупнее будет изображение. Взяв два
объектива с одинаковыми диаметрами, но с разными фокусными расстояниями,
мы получим два изображения небесного тела разных размеров. Но количество
света, попавшего в каждое из них, одинаково, так что освещенность большего
изображения окажется меньше.
Объектив телескопа или астрографа (для фотографирования светил)
характеризуется его диаметром D. Отношение диаметра к фокусному
расстоянию
называет относительным отверстием или светосилой объектива
D
(5.5)
А= .
F
Если светосилы двух объективов одинаковы, то одинаковы и освещенности
изображений небесных тел.
Очень важной характеристикой телескопа является величина его поля зрения.
Одна фотография на телескопе с большим полем зрения показывает много
небесных тел. Но надо позаботиться о том, чтобы и в центре поля зрения, и на
его краю изображения звезд были резкими. Для этого строят специальные
телескопы, объектив которых состоит из линзы и зеркала. Такими телескопами
являются телескопы Шмидта и Максутова.
Пример решения задач.
Задача 1.
Какова была разрешающая и проницающая сила телескопа с объективом в
75см, находившегося в Пулковской обсерватории до ее разрушения фашистами?
Дано:
D = 75 см
S = 11′′,6 / D
m = 7 ,5 + 5 lg D
S = 11′′,6 ÷ 75 = 0 ,′′15
m = 7 ,5 + 5 lg 75 = 16 ,88
Найти:
S=?
m=?
Ответ : разрешающая сила объектива равна 0 ,′′15 ; проницающая сила 16,88
звездной величины.
Задача 2.
Если окуляр при фокусном расстоянии объектива в 160 см дает увеличение в
200 раз, то какое увеличение он даст при фокусном расстоянии объектива в 12 м?
Дано:
160 cм
= 0.8 см ;
200
К1=200
К=
F
f
f=
F1=160 см
f =
F
K
К2=
1200 см
= 1500 .
0.8 см
F2=12 м
Найти:
К2 - ?
Ответ: Окуляр дает увеличение в 1500 раз при фокусном расстоянии
объектива 12 м.
Контрольные вопросы.
1.
2.
3.
Какова роль наблюдений в астрономии?
Типы оптических телескопов.
Дать определения основным характеристикам телескопа.
Практическая работа № 6
Звезды и галактики.
"Вечное молчание этих бесконечных
пространств ужасает меня."
Б. Паскаль (1623-1662 г.)
познании
неизвестного и смысл жизни в том же."
А. и Б. Стругацкие." Понедельник начинается в субботу."
"Счастье в непрерывном
Цель: Освоить методику определения основных характаристик звезды по ее
спектральному классу и абсолютной величине.
Методические указания: к выполнению работы следует приступить после
изучения гл. 4,5 [ 3], гл. 10 [1].
Исходные данные для выполнения практической работы № 6 приведены в
приложении.
Содержание:
1.
2.
3.
Используя значения видимой и абсолютной звездных величин для своего
варианта, определить расстояние до звезды в парсеках. Выразить это
расстояние в световых годах и астрономических единицах. Найти
параллакс звезды.
Известны период обращения двойной звезды, большая полуось видимой
орбиты и параллакс. Определить сумму масс и массы звезд в
отдельности.
Определить расстояние до галактики и ее диаметр. Исходными данными
являются : скорость удаления галактики и видимый диаметр.
Общие сведения из теории
Со времен древнегреческого астронома Гиппарха (II в. до н.
э.) используется понятие «звездная величина». Считая, что
расстояния до звезд одинаковы, предполагали, что, чем звезда
ярче, тем она больше. Наиболее яркие звезды отнесли к
звездам первой величины (сокращенное обозначение 1m , от
лат. magnitude — величина), а едва различимые
невооруженным глазом — к шестой. В настоящее время
известно, что видимая звездная величина характеризует не
размеры звезды, а ее блеск, т. е. освещенность, которую
создает звезда на Земле. Освещенность -световой поток,
падающий на площадку в 1 см2 поверхности.
Шкала звездных величин сохранилась и уточнена. Блеск звезды 1m больше
блеска звезды 6m ровно в 100 раз. Следовательно, разность в 5 звездных величин
соответствует различию в блеске ровно в 100 раз.
Отношение блеска двух звезд, видимые звездные величины которых известны,
можно вычислить по формуле:
I1
= 2 ,512 (m2 − m1 )
(6.1)
I2
Светила, блеск которых превосходит блеск звезд 1m , имеют нулевые и
отрицательные звездные величины (0 m , -1m и т. д.). К ним относятся Солнце,
Луна, несколько наиболее ярких звезд и планет. Видимая звездная величина
Солнца -26,78. Шкала звездных величин продолжается и в сторону звезд, не
видимых невооруженным глазом. Есть звезды 7m, 8m и т. д. Для более точной
оценки блеска звезд используются дробные звездные величины 2,3m 7,1m 6,2m
14,5m и т. д.
Так как звезды находятся от нас на различных расстояниях, то их видимые
звездные величины ничего не говорят о светимостях (мощности излучения)
звезд. Поэтому в астрономии, кроме понятия «видимая звездная величина»,
используется понятие «абсолютная звездная величина».
Звездные величины, которые имели бы звезды, если бы они находились на
одинаковом расстоянии (D0= 10 пк), называются абсолютными звездными
величинами М.
Вся энергия, проходящая в единицу времени через замкнутую поверхность,
окружающую данный источник - светимость L. Отношение светимостей двух
звезд представим в виде формулы:
L1
= 2 ,512 (M 2 − M 1 ) ,
(6.2)
L2
Связь светимости с освещенностью от звезды можно представить в виде:
L
,
(6.3)
I=
4 πR 2
где R- радиус звезды.
С другой стороны в физике известен закон Стефана - Больцмана, согласно
которому
(6.4)
I = σT 4 ,
где σ коэффициент пропорциональности, он равен 5.67·10-8 [Вт/(м2·К4)]; Ттемпература поверхности в Кельвинах.
Используя формулы (6.3), (6.4), можно установить, что светимость звезды
пропорциональна площади поверхности фотосферы ( 4πR2) и четвертой степени
эффективной температуры ( Т4)
L = 4 πR 2 σT 4
.
(6.5)
Если в качестве одной из звезд выбрать Солнце, то
L / L~= ( 4πR2T4) / (4πR2 ~T4 ~)
или
(6.6)
L / L~=(R/R~)2·(T/T~)4 ,
где буквы без индексов относятся к любой звезде, а со
значком ~ - к Солнцу.
Для определения расстояний до звезд используется метод параллакса. Только
в качестве базиса используется не радиус Земли, а средний радиус земной
орбиты.
Угол π, под которым со звезды был бы виден средний радиус земной
орбиты а, расположенный перпендикулярно направлению на звезду,
называется годичным параллаксом звезды .
Если известна светимость L и эффективная температура звезды, то, используя
формулу (6.6), можно вычислить радиус звезды, ее объем и площадь фотосферы.
Одной из важнейших характеристик звезды является ее масса. Массу звезды в
массах Солнца можно вычислить по формуле
µ = 3.89 ⋅ 10 −0.1194 ⋅ M ,
М (звезда)
(6.12)
π
где М - абсолютная звездная величина звезды.
Определение средней плотности звезды, при известной ее
массе и размерах, возможно по формуле
ρ=
3µ
4πR 3
.
(6.13)
а
Третий закон Кеплера, уточненный Ньютоном, позволяет определить массу
визуально - двойной звезды, если известен ее параллакс. Если А- большая
полуось орбиты спутника, выраженная в а.е., Т - период обращения спутника
около главной звезды, Тз - период обращения Земли вокруг Солнца, m1 и m2 массы звезд, М~ и mз - массы Солнца иЗемли, то третий уточненный закон
Кеплера можно выразить формулой:
1/ ( TЗ 2· (М~ + mз)) = А3/ (Т2·( m1 + m2 )),
(6.14)
так как большая полуось земной орбиты равна 1 а.е.
Положив Тз=1, mз=0, а А заменим соотношением
A=
a
π
,
(6.15)
где α -большая полуось орбиты, выраженная в секундах дуги,
π — годичный параллакс звезды.
Тогда массы звезд, выраженные в массах Солнца, можно
вычислить по формуле
m1 + m 2 =
a3
3 2
π T
D
М~.
(6.16)
n
З(Земля)
Рис.6.1.Годичный параллакс.
В тех случаях, когда удается определить значение π, расстояние до звезды D
вычисляется по формуле
a
( 6.17 )
sin π
Параллакс всегда очень мал (меньше 1"). Поэтому формулу можно записать в
виде:
D=
D=
206265 ′′a
π
=
206265 ′′
π
a.e.
( 6.18 )
В звездной астрономии расстояния до далеких объектов измеряют в парсеках и световых годах, так
как не только километр, но даже астрономическая единица (а. е.) слишком мала для измерения
расстояний до звезд.
Парсек (пк) - расстояние, параллакс для которого равен 1″.
Световой год ( св. г.) - расстояние, которое свет проходит за один год, распространяясь со
скоростью 300 000 км/с.
1 пк = 206 265 а. е.=3,26 св.г.= 30,86⋅1013км.
1 св. г. = 9.46⋅1012км=63 240 а.е.=0.3 пк.
103 пк = 1 кпк (килопарсек); 106 пк = 1 Мпк (мегапарсек).
Очевидно, что расстояние до звезды в парсеках легко вычислить по формуле:
1
D=
(6.19)
π
Если известны видимая звездная величина и расстояние до звезды, абсолютную
звездную величину можно вычислить по формуле
M=m + 5 –5 lg D .
( 6.20 )
Если известны видимая звездная величина и значение годичного параллакса
звезды, формула (6.10) примет вид:
M=m + 5 +5 lg π
(6.21)
Классификация
звезд.
Звезды
чрезвычайно
неоднородный
класс
астрономических объектов. Разнообразие звезд связано с двумя причинами:
различием их масс и различием этапов эволюции, на которых они находятся в
момент наблюдения.
Звезды можно классифицировать различными способами. Чаще используется
деление звезд на спектральные классы и классы светимости.
Спектральные классы звезд определяются по особенностям звездных спектров и
непосредственно связаны с температурой их поверхности. Используемая в
настоящее время система насчитывает восемь спектральных классов и два
ответвления:
S
W O B A F G K M
R - N
которые охватывают 90% всех звезд.
Данную классификацию можно легко запомнить, воспользовавшись
выражением: " Вообразите, Один Бритый Англичанин Финики Жевал Как
Морковь. Разве Не Смешно." Интервал между двумя спектральными классами
разделяется на 10 подклассов. Спектральный класс тесно связан с цветом звезды.
Зависимость спектральных классов и показателей цвета звезд от их температур
представлено в таблице 1.
Зависимость спектральных классов и показателей цвета звезд от их температур
Таблица 1.
спектральный класс
W
O
B0
B5
A0
цвет
белый
голубой
Температура
100 000
50 000
25 000
15 000
11 000
К
A5
F0
F3
G0
G5
K0
K5
M0
M5
желтый
красный
8 700
7 600
6 600
6 000
5 520
5 120
4 400
3 600
2 700
Классы светимости связаны с истинной интенсивностью излучения звезд. В
пределах одного и того же спектрального класса (т.е. при одинаковых цвете и
температуре поверхности) у звезд могут быть очень разные физические
параметры.
Основные классы светимости:
I. Сверхгиганты.
II. Яркие гиганты.
III. Гиганты.
IV. Субгиганты.
V. Карлики главной последовательности.
VI. Субкарлики.
VII.Белые карлики.
При описании звезды класс светимости пишется справа от спектрального класса:
так, Солнце-это звезда типа G2V.
Достаточно знать спектральный класс звезды и ее абсолютную звездную
величину, чтобы определить все основные характеристики звезды: температуру,
радиус, светимость, объем, площадь фотосферы, массу и плотность.
Галактика.
В начале ХХ века было доказано, что туманные пятна, видимые в телескоп в
разных участках неба ,представляют собой галактики, каждая из которых,
подобно нашей, состоит из миллиардов звезд. Существует несколько методов
определения расстояний до галактик.
Один из методов определения основан на определении видимых и
абсолютных звездных величин цефеид, новых и сверхновых звезд, открываемых
в других галактиках. По формуле ( 6.20) можно вычислить расстояние до тех
галактик, в которых обнаружены цефеиды, новые и сверхновые звезды.
О расстояниях до удаленных галактик, в которых перечисленные объекты не
видны, судят по их видимым угловым размерам или по видимой звездной
величине. Для этого необходимо знать размеры или светимости галактик данного
типа.
В ХХ веке человечество свыклось с еще более странным фактом:
расстояния между звездными системами - галактиками, не связанными друг
с другом силами тяготения, постоянно увеличивается. И дело здесь не в
природе галактик: сама Вселенная непрерывно расширяется !
Наконец, еще один способ основан на определении величины красного
смещения.
В 1929 г. американский астроном Эдвин Хаббл подтвердил расширение
видимой части Вселенной. Он использовал при этом эффект Доплера. Линиии в
спектре движущегося источника смещаются на величину , пропорциональную
скорости его приближения или удаления. Исследовав спектры нескольких
галактик, астрономы заметили, что у большинства из них спектральные линиии
смещены в красную сторону. Смещение линий в сторону длинных волн в
спектре, который получен от далекого космического источника (галактики,
квазары), по сравнению с длинами волн тех же линий, измеренными от
неподвижного источника, называется красным смещением.
Закон, по которому скорость удаления пропорциональна расстоянию, получил
названия закона Хаббла. Если скорость невелика по сравнению со скоростью
света ( с= 300000 км/с ), она выражается простой формулой
v = H ⋅r ,
(6.22)
где v – лучевая скорость галактики, выраженная в км/с; r – расстояние до нее,
выраженное в Мпк ; Н – постоянная Хаббла.
По современным оценкам, значение Н заключено в пределах
50 км / (с ⋅ Мпк ) ⟨ H ⟨ 100 км / (с ⋅ Мпк ) .
Пример решения задач.
Задача 1. Во сколько раз звезда 3,4 звездной величины выглядит слабее, чем Сириус,
имеющий видимую звездную величину – 1.6? Чему равны абсолютные величины этих
звезд, если расстояние до обеих составляет 3 пк?
Д а н о:
m1=-1.6
m2=3.4
D=3 пк
Р е ш е н и е:
I1
= 2,512 m2 − m1 ,
I2
I1
= 2,5123, 4 +1,6 = 100
I2
A2 1
=
A 4
(m1+m2)-?
m1-?
m2-?
Р е ш е н и е:
m1 + m2 =
A3
T2
М~
A=
2″
= 40 а.е.
0 ? 05″
a″
.
p″
m1 + m2 =
m1 A2 ,
=
m2 A1
m1 1 .
=
m2 4
A=
(40)3
(100) 2
= 6,4 · М~
⎧m1 + m2 = 6.4 массы Солнца
⎨
⎩4m1 = m2 .
Отсюда 5m1=6,4 массы Солнца.
m1≈1,3 массы Солнца, m2≈5,1 массы Солнца.
M2=3,4+5-5 lg3=6
Ответ: Сумма масс двойной звезды равна 6,4 массы Солнца; m1≈1,3; m2≈5,1.
Ответ: В 100 раз Сириус ярче. M1=1, M2=6.
Задача 2. Какова светимость звезды ξ Скорпиона, если ее
видимая звездная величина 3, а расстояние до нее 7500 св.
лет?
m=3
D=7500 св. лет
Д а н о:
T=100лет
a=2″
π=0,05″
M1=-1,6+5-5lg3=1
M1=?
M2=?
М~=4,8
Задача 3. У двойной звезды период обращения 100 лет. Большая полуось видимой
орбиты a=2″, а параллакс π=0.05″. Определите сумму масс и массы звезд в отдельности,
если звезды отстоят от центра масс на расстояниях, относящихся как 1:4.
M=m+5-5lgD
I1
=?
I2
Д а н о:
L-?
Р е ш е н и е:
L=2.512 М~-M,
M=m+5-5lgD.
1 пк=3.26 св. лет
Dпк=2300 пк.
M=3+5-5lg2300=-8.8.
L=2,512 4,8-(-8,8) ≈ 3.3⋅105.