квазипериодические орбиты в окрестности точки либрации l2

КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ
L2 СИСТЕМЫ СОЛНЦЕ-ЗЕМЛЯ И ТРАЕКТОРИИ ПЕРЕЛЁТА К НИМ
В РОССИЙСКИХ КОСМИЧЕСКИХ ПРОЕКТАХ
И.С. ИЛЬИН
РУКОВОДИТЕЛЬ Д.Ф.-М.Н .
А.Г. ТУЧИН
ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ ИМ. М.В. КЕЛДЫША РАН
19 мая 2015 г
СТРУКТУРА ДОКЛАДА
• Актуальность выбранной темы
• Краткий обзор существующих методов построения периодических и
квазипериодических орбит в окрестности точки L2 в рамках задачи трёх тел
• Построение начального приближения для траекторий перелёта с помощью
метода изолиний в рамках задачи трёх тел
• Построение траекторий перелёта в эфемеридной модели Солнечной
системы
• Поддержание квазипериодической орбиты с помощью коррекций
• Окна старта для миссий «Спектр-РГ» и «Миллиметрон»
• Коррекции на траектории перелёта, оценка затрат характеристической
скорости на коррекции поддержания квазипериодической орбиты с учётом
ошибок исполнения манёвров
• Положения, выносимые на защиту
2
КОСМИЧЕСКИЕ ТЕЛЕСКОПЫ В ОКРЕСТНОСТИ ЛИБРАЦИОННОЙ ТОЧКИ L2
Космический телескоп “Спектр-РГ”
YZ
Дата старта: запланирована на середину 2017 г
прямой перелёт на квазипериодическую орбиту
малой амплитуды в окрестности точки либрации L2
системы Солнце-Земля
Научные задачи: сканирование пространства в
рентгеновском и гамма диапазонах, исследование
возможности навигации по рентгеновским лучам
Космический телескоп “Миллиметрон”
Дата старта: запланирована на 2019-2023 г
прямой перелёт на квази гало-орбиту с большим
выходом из плоскости эклиптики в окрестности
точки либрации L2 системы Солнце-Земля
Научные задачи : сканирование пространства в
миллиметровом, субмиллиметровом и
инфракрасном диапазонах. Двенадцатиметровое
зеркало телескопа будет охлаждаться до 4К для
обеспечения уникальной чувствительности.
YZ
Космический телескоп “Gaia” ЕКА
дата старта 19.12.2013,
прямой перелёт на орбиту Лиссажу в
окрестности точки либрации L2 системы
Солнце-Земля
3
СТАЦИОНАРНЫЕ РЕШЕНИЯ И ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ В ЗАДАЧЕ ТРЁХ ТЕЛ
1. Линеаризация уравнений движения задачи трех тел в окрестности точки L2
позволяет найти собственные значения матрицы системы
x  2 y  (2a  1)x  0
y  2x  (a  1) y  0
z  az  0
xy4  xy2 (a  2)  (2a  1)(a  1)  0
z2  a  0
xy    ,  i1 , где   0, 1  0,
x  x  x 0
z  i2 , где 2  0

1 
a 3 
x0 (1  x0 )3
2. В линейном приближении точка либрации L2 является особой точкой типа
центр х центр х седло.
i1
i2

3. Теорема Ляпунова: пусть гладкая система вида x = f  x  имеет стационарное решение x = 0 и
первый интеграл H  x =xTWx+.. , матрица f x  0  имеет пару собственных чисел i ,  > 0 , а
2π
ω
периодическое решения линеаризованной системы y = f x  0  y удовлетворяют условию yTWy >0
Тогда в окрестности точки x = 0 существует двухпараметрическое семейство периодических
решений исходной системы x  t +α,c  с параметрами  и c , H  x  t +α, c   = c 2 и периодом
остальные её собственные числа не равны ki > 0 при любом целом k ; нетривиальные
T c =
2π
+O  c 2 
ω
4
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ
В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ L2
Оригинальное изображение содержится в статье Kolemen, Kasdin, Gurfil. Quasi-periodic orbits of RTBP made easy
5
МЕТОДЫ РАСЧЁТА ПЕРИОДИЧЕСКИХ И КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИХ ОРБИТ
Решение системы линеаризованных уравнений, описывающих динамику ограниченной
круговой задачи трёх тел в окрестности точки L2
 1  t
t
 t
w

C
x  A cos 1t  1   Ce  De
1
 k e
 1
Частные решения:
t
 t
y  k2 A sin 1t  1   k1 Ce  De
 1   t
w2  D 
e

k
 1
z  B cos 2t  2  ,


Метод Линдштедта-Пуанкаре
Позволяет получить аналитическую аппроксимацию решения с учётом нелинейных поправок
При расчёте аппроксимации для периодических гало-орбит накладывается связь на значения
амплитуд A и B
x  a21 A2  a22 B 2  A cos   (a23 A2  a24 B 2 ) cos 2  (a31 A3  a32 AB 2 ) cos 3
y  kA sin   (b21 A2  b22 B 2 ) sin 2  (b31 A3  b32 AB 2 ) sin 3
z  B cos   d 21 AB(cos 2  3)   n (d32 A2 B  d31 B 2 ) cos 3
  t  
  l1 A2  l2 B 2
  1   n , n  1
  a 2
n 1
  O  B2 
6
ПОСТРОЕНИЕ ТРАЕКТОРИЙ ПЕРЕЛЁТА С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА ИЗОЛИНИЙ
Траектория перелёта на выбранную периодическую
орбиту ищется на устойчивом инвариантном
многообразии задачи трех тел с помощью варианта
метода продолжения по параметру, впервые
предложенного М.Л. Лидовым. Этот метод
позволяет связать параметры периодической
орбиты
с
параметрами
геоцентрической
перелётной траектории – строятся изолинии
функции высоты перицентра от параметров
периодического решения. Метод позволяет
осуществить
одноимпульсный
переход
на
периодическую орбиту.
x ( x, y , z , x, y , z )
  rL
rL
Земля
Параметры орбиты ИСЗ: rπ , rα , i, Ω, ω, τ
L2
Параметры периодической орбиты:
A, B, C, D, φ1, φ2
Одноимпульсные траектории перелёта выделяются условием:
r  r*
При фиксированных A, B и C = 0 изолиния строится в плоскости φ1, φ2
r (1 , 2 )  r*
Оригинальное изображение (вверху слева) содержится в статье Masdemont. High-order expansions of invariant manifolds of libration point orbits
with
: applications to mission design.
7
МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ИЗОЛИНИИ
1. Поиск функции высоты перицентра f A ,B ,1,2  согласно следующему алгоритму:
• Вычисляется вектор состояния КА в инерциальной СК, полученной фиксацией осей вращающейся СК на
фиксированный момент времени в зависимости от параметров: А, B, 1и 2 .
D  rL  x1*  A cos 1
1  1 A sin 1   D
1  rL  x1*
2  k21 A cos 1  k1 D
2  k2 A sin 1  k1D
3  B cos 2
3  2 B sin 2
• Полученный вектор преобразуется в невращающуюся геоцентрическую эклиптическую СК
• По полученному вектору вычисляются элементы орбиты и в том числе расстояние перицентра
2. Поиск начальной точки изолинии – выполняется сканированием по 1 , 2
 r 1 1,2   r*    r 1,2   r*   0

Уточнение:


r

r 1m , 2  r*  
3. Поиск следующей точки изолинии – выполняется смещение на шаг s, затем координаты φ1i+1, φ2i+1
уточняются
 h, если i  1;
φ2

φ1b,
h
s
, если i  1
φ2b
2
2
         
1i
1i 1
2i
2 i 1

φ1i-1,
φ2i-1
φ1i,
φ2i
φ1i+1,
φ2i+1
1b  1i  s,
 2 b   2 i  s,
φ1
8
ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕННЫХ ИЗОЛИНИЙ
φ2
27.01.14, перелет с
гравманёвром у
Луны
A  0.14, B  0.1
φ2
Изолинии для перелета без гравитационного манёвра
у Луны, Спектр-РГ и Миллиметрон
φ2
φ1
18.12.14, перелет с
гравманёвром у Луны и
витком на орбите Земли
φ1
A  0.12, B  0.1
φ1
A
A
A
A
 0.18,  B  0.1524
 0.19,  B  0.1538
 0.20,  B  0.1552
 0.20,  B  0.8500
A 
A
rL
B 
B
rL
С 
С
rL
9
МЕТОД ИЗОЛИНИЙ ДЛЯ ТРАЕКТОРИЙ ПЕРЕЛЁТА С
ГРАВИТАЦИОННЫМ МАНЕВРОМ У ЛУНЫ
Преимущества: Гравитационный маневр у Луны позволяет выйти на более компактную орбиту
Недостатки: Перелёт возможен 1 раз в месяц, исправление ошибок исполнения
гравитационного манёвра может потребовать больших затрат характеристической скорости
1
x 10
9
X-Y
1
50
0.8
60
x 10
9
X-Y
0.8
40
70
0.6
0.6
30
80
0.4
6070
20
0.4
80
50
90
40
90
0.2
10
28010030
460
0.2
4
0
4
20
1
460
10
1
0
280 100
-0.2
-0.2
-0.4
-0.4
-0.6
150
-0.6
150
-0.8
-1
-4
-0.8
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
x 10
8
-1
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
x 10
Квазипериодическая орбита, переход на
которую осуществлен без гравитационного
манёвра у Луны
Ay = 0.8 млн км
8
Квазипериодическая орбита, переход на
которую осуществлен с гравитационным
манёвром у Луны
Ay = 0.5 млн км
Проекция орбиты на плоскость XY вращающейся СК, млн км.
10
ЧИСЛЕННАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ
В полной баллистической модели Солнечной системы, используемой для прикладных
баллистико-навигационных задачи в БЦ ИПМ движение КА описывается с помощью
численного интегрирования его уравнений движения, учитывающих возмущения, вызванные
гравитационным воздействием Солнца и планет Солнечной системы, Луны, нецентральностью
гравитационного поля Земли, силами светового давления, а также воздействием атмосферы
Земли.
r   з
r
r
3
J2000
грав
  fi  A гринв
 fатм   f рад
 fгринв
i
 r r
ri 
i
f i  i 


 r r 3 r 3 
i 
 i
3 
n
n


R
R
m
U     c n 0   Pn (sin  )      c nm cos m  s nm sin m  Pn (sin  ) 
r  n  2  r 
n2  r 

fатм   v
fрад  F

  Sб  v
g
S 2 r  rс
ae
3
m
r  rс
11
СТРУКТУРА АЛГОРИТМА РАСЧЁТА ТРАЕКТОРИЙ ПЕРЕЛЁТА НА
КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКУЮ ОРБИТУ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ L2
Параметры периодической
орбиты A, B, параметры
орбиты ИСЗ rπ , rα
Квазипериодическое
решение, полученное
в рамках задачи трёх
тел
Дата, выбор наклонения
орбиты ИСЗ
Алгоритм построения
изолиний
Выбор траекторий с минимальным
значением суммы корректирующих
импульсов
Расчёт зон видимости КА
с наземных станций и
светотеневой
обстановки на борту КА
Расчёт импульсов
коррекций
Алгоритм расчёта
начального
приближения
траектории перелёта
Краевые условия: вектор
скорости ортогонален
плоскости XZ; максимизация t
пребывания в окрестности L2
Алгоритм уточнения
вектора состояния КА в
момент перехода на
траекторию перелёта в
рамках полной
численной модели
12
РАСЧЁТ ИМПУЛЬСОВ КОРРЕКЦИЙ
Вектор импульса коррекции рассчитывается из условия максимального времени
нахождения КА в окрестности точки L2 заданного радиуса после исполнения
коррекции. Максимум времени ищется с помощью градиентного метода.
Vk 
Vmax
T
gradF

 ; k  1,..n  j 
gradF
Vmax - Наибольшее возможное
значение импульса
1 Vmax
T
Vq  q
 gradF  ; q  1,.. j 
2 gradF
k – число шагов в направлении,
минимизирующем функционал, до
входа в цикл сокращения шага
Vi   Vk   Vq
n j
q – коэффициент, контролирующий
сокращение шага – счетчик цикла
сокращения шага
j
1
FC  v x ,v y ,v z  
T
t1 T
1
FBC  v x ,v y ,v z  
T
 C t 
2
dt
i – номер корректирующего импульса
t1
   B t    r 
t1 T
2
B L
t1
FT  v x ,v y ,v z   (toutL2  tinL2 )

 C  t  dt
2
13
КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ, РАССЧИТАННЫЕ ДЛЯ МИССИЙ
«СПЕКТР-РГ» И «МИЛЛИМЕТРОН»
Z
Y
X
Суммарные затраты характеристической скорости на поддержание орбиты составляют
5 м/с для орбиты КА «Спектр-РГ» и 20 м/с для орбиты КА «Спектр-М» за 7 лет
14
КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ,
РАССЧИТАННЫЕ ДЛЯ МИССИЙ
«СПЕКТР-РГ» И «МИЛЛИМЕТРОН»
Z
X
Z
Z
X
Проекции на плоскости XY, XZ и YZ вращающейся СК с
центром в точке L2 , размерность - м
Y
15
ЭВОЛЮЦИЯ ПАРАМЕТРОВ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ ПРИ
ПЕРИОДИЧЕСКИХ КОРРЕКЦИЯХ ТРАЕКТОРИИ
A 
A
rL
B 
B
rL
С 
С
rL
Миллиметрон
Спектр-РГ
B
B
A
A
C
t , сутки
C
t , сутки
16
ЭВОЛЮЦИЯ ПАРАМЕТРОВ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ В
ОТСУТСТВИЕ КОРРЕКЦИЙ ТРАЕКТОРИИ
Спектр-РГ
Миллиметрон
A
B
C
B
A
C
17
КОРРЕКЦИИ ПОДДЕРЖАНИЯ ОРБИТЫ
КА «СПЕКТР-РГ»
18
КОРРЕКЦИИ ПОДДЕРЖАНИЯ ОРБИТЫ КА «МИЛЛИМЕТРОН»
19
КОРРЕКЦИИ ПОДДЕРЖАНИЯ ОРБИТЫ КА «МИЛЛИМЕТРОН»
20
ГИСТОГРАММА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СУММАРНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ИМПУЛЬСОВ
ПОДДЕРЖАНИЯ ОРБИТЫ ДЛЯ МИССИИ «СПЕКТР-РГ»
м/с
21
ГИСТОГРАММА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СУММАРНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ИМПУЛЬСОВ
ПОДДЕРЖАНИЯ ОРБИТЫ ДЛЯ МИССИИ «МИЛЛИМЕТРОН»
м/с
22
КАРТА РЕШЕНИЙ ДЛЯ МИССИИ «СПЕКТР-РГ»
V,м/ c
6169 решений
365 дней
23
КАРТА РЕШЕНИЙ ДЛЯ МИССИИ «МИЛЛИМЕТРОН» НА 2019 ГОД
V,м/ c
2005 решений
365 дней
24
КАРТА РЕШЕНИЙ ДЛЯ МИССИИ «МИЛЛИМЕТРОН» НА 2019-2025 ГОДЫ
904 решения
84 дня
25
ОЦЕНКА ЗАТРАТ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ СКОРОСТИ НА КОРРЕКЦИИ
МЕТОДОМ СТАТИСТИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ
Миссия
Спектр-РГ
Манёвр
Средн, м/с
Макс, м/с
Средн, м/с
Макс, м/с
1ый МКТП
2ой МКТП
3ый МКТП
4ый МКТП
32.7
11.0
1.8
1.7
49.5
37.4
6.5
14.2
22.2
3.3
0.4
1.4
43.8
13.5
1.6
3.0
Коррекции поддержания
орбиты
71.3
190.5
43.2
173.1
Суммарные затраты ΔV
118.5
298.1
70.5
235.0
Миллиметрон
V , м/c
Ошибки выведения
Ракета-носитель
Зенит-2СБ
Разгонный блок
Высота апоцентра
Высота перицентра
Аргумент перигея
Долгота восходящего узла
Фрегат-СБ
±120000 км
±12 км
±24´
±10´
Наклонение
±5´
Ошибки исполнения
По модулю
10%
По направлению
0.5°
N imp
26
ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ
Разработаны методы и алгоритмы решения следующих задач баллистического проектирования
космических миссий в окрестности точки либрации L2 системы Солнце-Земля:
•
поиск начального приближения для траектории перелёта на выбранный
квазипериодических орбит на инвариантном многообразии либрационной точки L2;
•
построение одноимпульсных траекторий перелёта на квазипериодические орбиты в
окрестности точки L2 с использованием гравитационного манёвра у Луны;
•
расчёт траекторий перелёта на квазипериодические орбиты в окрестности точки L2 с
заданными геометрическими характеристиками, с учётом возмущений от нецентральности
поля Земли, гравитационного воздействия Солнца, Луны и планет Солнечной системы, а
также давления солнечной радиации;
•
расчёт манёвров, реализующих эффективный сценарий удержания космического аппарата
на выбранной квазипериодической орбите.
класс
Предложенные методы и алгоритмы реализованы в виде программного комплекса.
•
рассчитаны множества
«Миллиметрон»;
•
установлена структура временного и энергетического распределения траекторий перехода
на квазипериодические орбиты
•
получена оценка затрат характеристической скорости на обеспечение полёта в условиях
наличия ошибок исполнения коррекций
квазипериодических
орбит
для
проектов
«Спектр-РГ»
и
27
СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ АВТОРА
•
И.С. Ильин, В.В. Сазонов, А.Г. Тучин. Гало-орбиты в окрестности точки либрации L2 системы Солнце –
Земля // Космические исследования, 2014, №3, С. 201-217.
•
И.С. Ильин, Заславский Г.С., Лавренов С.М., Сазонов В.В., Степаньянц В.А., Тучин А.Г., Тучин Д.А.,
Ярошевский В.С. Баллистическое проектирование траекторий перелёта с орбиты искусственного
спутника Земли на гало-орбиту в окрестности точки L2 системы Солнце – Земля // Космические
исследования, 2014, №6, С. 1-13.
•
Заславский Г.С., Захваткин М.В., Ильин И.С., Корянов В.В., Самотохин А.С., Сазонов В.В., Тучин А.Г.,
Тучин Д.А., Я. Баллистико-навигационное обеспечение полета космического аппарата "Спектр-Р" //
Космонавтика и ракетостроение, 2014, том 74, №1, С. 15-29.
•
Г.К. Боровин, И.С. Ильин, Г.С. Заславский, С.М. Лавренов, В.В. Сазонов, В.А. Степаньянц, А.Г. Тучин, Д.А.
Тучин, В.С. Ярошевский. Математическое моделирование движения космического аппарата в
окрестности точки L2 системы Солнце – Земля Инженерный журнал: наука и инновации. МГТУ им. Н.Э.
Баумана. 2013, №9(21)
•
G. Borovin, I. Ilin, A. Tuchin. Quasi periodic orbits in the vicinity of the Sun-Earth L2 point and their
implementation in “Spectr-RG” & “Millimetron” missions. Mathematica Montisnigri, Vol XXX, 2014.
•
Ильин И.С., Сазонов В.В., Тучин А.Г. Построение ограниченных орбит в окрестности точки либрации L2
системы Солнце – Земля // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2012. № 65. 28 с.
•
Ильин И.С., Сазонов В.В., Тучин А.Г. Траектории перелета с низкой околоземной орбиты на
многообразие ограниченных орбит в окрестности точки либрации L2 системы Солнце – Земля //
Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2012. № 66. 25 с.
•
Ильин И.С, Заславский Г.С., Лавренов С.М., Сазонов В.В., Степаньянц В.А., Тучин А.Г., Тучин Д.А.,
Ярошевский В.С. Баллистическое проектирование траекторий перелёта с орбиты искусственного
спутника Земли на гало-орбиту в окрестности точки L2 системы Солнце – Земля // Препринты ИПМ им.
М.В. Келдыша. 2013. № 6. 32 с.
•
Ильин И.С. Выбор номинальной орбиты ка "Миллиметрон" из семейства периодических орбит в
окрестности точки либрации L2 системы Солнце – Земля // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2013.
№ 46. 21 с.
28