Приложение 3 Законы Тициуса

1
Приложение 3. Закон Тициуса-Бонне
Долгое время в качестве рабочего инструменты при анализе планетной
системы использовалась совсем другая модель.
В 1766 году Иоганн Даниель Тициус фон Виттенберг (1729-1796) поместил
на страницах немецкого перевода книги Шарля Бонне (1720-1793) «Созерцание
природы» замечание о планетных расстояниях rn = 4 + 3 ⋅ 2 n . Причем сделал
это в очень необычной и скромной форме. Он попросту внес свое замечание в
основной текст перевода. Почему Тициус поступил именно так, остается
загадкой. Тициус был скромным человеком (он никогда не пользовался своими
титулами) и относился с большим уважением к академической иерархии, которая
была характерной чертой немецких университетов. Возможно, он следовал той
сохранившейся традиции, что знания являются общим достоянием.
Однако, рад событий привел к тому, что этот закон связывают не с именем
его автора Тициуса, а с именем Иоганна Элерта Боде (1747-1826).
После того как в 1772 г. Иоганн Элерт Боде увидел второе издание
перевода «Созерцание природы», он включил этот закон как свой собственный во
второе издание своей книги «Руководство к изучению звездного неба». Ссылка на
Тициуса появилась позже. В течение многих лет после того, как закон был
сформулирован, ему не придавали большого значения. Такова была ситуация,
когда в 1781 г. Уильям (Фридрих Вильгельм) Гершель (1738-1822) открыл
«любопытный объект…», который оказался седьмой планетой – Ураном
(название, кстати, предложил Боде). Неожиданно закон приобрел новый смысл,
так как «предсказал» новую планету, о существовании которой никто не
подозревал.
n = −∞
n=0
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
n=6
n =7
n=8
Планета
Расстояние
Меркурий
3.9
Закон
4
Кеплер
5.6
пробел
Венера
Земля
Марс
(Церера,
Паллада,
Юнона,
Веста)
Юпитер
Сатурн
(Уран)
(Нептун)
(Плутон)
7.2
10.0
15.2
(27.7)
7
10
16
28
7.9
10.0
12.6
52.0
95.5
(192.0)
(300.9)
(395.0)
52
100
196
388
722
37.7
65.4
1801 Джузеппе Пиацци
1802 Генрих Ольберс
1804 Карл Гардинг
1807 Генрих Ольберс
1781 Гершель
Немного истории.
Тихо Браге (1546-1601) перед самой смертью передал Иоганну Кеплеру
(1571-1630) данные своих многолетних наблюдений. В результате долгих трудов
Кеплер вывел законы, которые мы теперь называем «первые два закона
планетных движений». Кульминацией его работ явилось опубликование в книге
«Гармония мира» третьего закона. Использование Кеплером небесных сфер и
правильных многогранников приучило астрономов к мысли о существовании
регулярной связи между орбитами планет. Другим важным обстоятельством
явилось то, что Кеплер обратил внимание на существование как бы разрывов
между орбитами Меркурия и Венеры, а также Марса и Юпитера, где могло бы
2
находиться по одной небольшой невидимой планете. Но при такой точке зрения
можно ожидать бесчисленного множества орбит, расположенных внутри орбиты
Меркурия и простирающихся за орбитой Сатурна. Подобная картина не
импонировала Кеплеру, и он отвергал ее, прибегая к аргументу Ретика (Георг
Иоачим Лаухен 1514-1576), что священное число планет – шесть. Тем не менее
были посеяны семена мысли о том, что существуют недостающие планеты.
Исаак Ньютон (1642-1727) дал динамическое объяснение не только
планетным орбитам, но и приливам и силе тяжести, что впервые пытался сделать
Кеплер.
Ученик Христиана Вольфа (1679-1754) Иммануил Кант (1724-1804) в 1755
г. опубликовал свою теорию Вселенной в книге «Всеобщая естественная история
и теория неба», где он отмечает, что если не учитывать Меркурий и Марс в силу
их малых масс, то орбиты остальных планет имеют возрастающие
эксцентриситеты. Это, по его мнению, может указывать на существование
транссатурновой планеты, имеющей орбиту с большим эксцентриситетом,
кометного типа. Кроме того, как подчеркивает Кант, большое расстояние между
Марсом и Юпитером указывает на то, что между ними может находиться планета.
В 1761 г. Иоганн Генрих Ламберт (1728-1777) поставил следующий
вопрос: «Кто знает, нет ли недостающих планет в обширном пространстве между
Марсом и Юпитером, которые будут когда-нибудь обнаружены?»
Такая постановка вопроса явилась как бы последней порцией горючего,
усилившей работу человеческой мысли, и подготовила интеллектуальную базу
для естественного появления закона Тициуса несколько лет спустя.
Планета
a ( а.е.)
e
Ω
i
V
T
Меркурий
Венера
Земля
Марс
0.3871
0.7233
1.0000
1.5237
0.205620
0.006806
0.016738
0.093340
7 о 00 ′12′′
3 о 23′38 ′′
0 00 00
1о 51′ 00 ′′
47 о 30 ′05′′
76 о 02′59 ′′
00 00 00
49 о 01′ 04 ′′
48,89
35,00
29,77
24,22
87,97
224,70
365,26
686,98
Юпитер
Сатурн
(Уран)
(Нептун)
(Плутон)
5.2028
9.5388
19.1910
30.0707
39.5178
0.048387
0.055786
0.047129
0.008553
0.248640
1о 18 ′25′′
2 о 29 ′28 ′′
0 о 46 ′22′′
1о 46 ′35′′
17 о 18 ′48 ′′
39 о 44 ′28 ′′
113 о 02′43′′
73 о 38 ′28 ′′
131о 00 ′31′′
108 о 57 ′16 ′′
13,07
9,65
6,80
5,43
4,74
4332,59
10759,20
30685,93
60187,65
90737,20
Открытие
Урана
положило
начало
методическим
поискам
трансмарсианской планеты. Барон Францис Ксавер фон Цах (1754-1832) в 1800 г.
предложил схему деления неба на 24 зоны, в которых должны вести поиски 24
астронома. Но в январе 1801 г. перед тем, как должны были быть разосланы карты
звездного неба, один из 24 астрономов, Джузеппе Пиацци (1746-1826) , открыл
объект, получивший затем название Церера. Фон Цах сразу принял открытый
объект за новую планету.
Однако не все были готовы. Следует указать, пример, на Георга
Вильгельма Фридриха Гегеля (1770-1831). После того, как Гегель прочитал
статью фон Цаха, он опубликовал свои доцентские тезисы: «Философская
диссертация относительно планетных орбит» В ней Гегель «логически
доказывает», что число планет не может превышать семи. В частности, Гегель
подчеркивал, что «философская» прогрессия 1,2,3,4,9,16,27 не требует
3
существования новой планеты. Гегель рассматривал геометрические и
музыкальные гармонии Кеплера как более фундаментальные закономерности, чем
абстрактные и имеющие технический характер вычисления Ньютона.
Наблюдений Пиацци было недостаточно для вычисления орбиты Цереры,
и она была потеряна. Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) разработал метод
«наименьших квадратов» для определения орбиты малой планеты по трем
наблюдениям. Вооруженные этим методом фон Цах и Генрих Вильгельм Ольберс
(1758-1840) вновь «открыли» Цереру независимо друг от друга через год после ее
первого обнаружения. Но планета была очень малой, и, что еще хуже, через
несколько месяцев Ольберс открыл еще одну малую планету, названную
Палладой. Чтобы «спасти» закон Тициуса-Боде Ольберс выдвигает гипотезу, что
малые планеты являются осколками разрушившейся «большой» планеты. Таким
образом «малых» планет должно быть много Карл Людвиг Гардинг (1765-1834) в
1804 г. открыл малую планету Юнону, а Ольберс в 1807 г. – Весту
После открытия малых планет закон Тициуса-Боне приобрел авторитет.
Оставался один противоречащий пункт, который был отмечен, но не исследован.
Иоганн Фридрих Вурм (1760-1833) в 1787 г. указал, что, согласно закону,
расстояние для Меркурия должно быть равным 5.5 а.е. вместо 4 а.е., что
соответствует n = −1 . Спустя 15 лет Гаусс развивает эту проблему дальше. В
письме фон Цаху он отмечает, что если закон действительно справедлив в том
виде, в каком он дан, тогда число допустимых орбит между Меркурием и
Венерой, отвечающих показателям от n = 0 до n = −∞ должно быть
бесконечным. В противном случае необходимо объяснить особое место первой
планеты по сравнению с другими планетами.
В связи с этим вопросом следует упомянуть высказанное недавно
предположение Бейли о том, что Луна является этой отсутствующей планетой;
она имела неустойчивую орбиту и была захвачена Землей. Во всяком случае, это
предположение выглядит правдоподобным, поскольку геологические данные,
полученные экспедициями «Аполлон», указывают на раздельные происхождения
Земли и Луны.
К 20-м годам XIX столетия накапливаются данные наблюдений о
странном поведении Урана на его орбите, которые можно объяснить наличием
невидимой планеты. Фридрих Вильгельм Бессель (1784-1846) в одной из работ
высказал предположение: «Я думаю, что придет день, когда тайна Урана будет
раскрыта с помощью новой планеты, элементы орбиты которой будут найдены по
ее воздействию на Уран». Эта идея была не нова. Еще в 1758 г. Алексис Клод
Клеро (1713-1765), предсказывая возвращение в 1759 г. кометы Галлея (Эдмунд
Галлей, 1656-1742), указал, что на таких больших расстояниях планета может
оставаться невидимой, но влиять на орбиту кометы. Это высказывание поражает
своей проницательностью, так как оно было сделано еще до открытия Урана.
Наблюдения кометы Галлея в 1835 выявляют возмущения, вызываемые
неизвестной планетой.
Наконец, Иоганн Готтфрид Галле (1812-1910) по личной просьбе Урбена
Жана Жозефа Леверье (1811-1877) в первую же ночь своих наблюдений, 23
сентября 1846 г. обнаружил планету почти в том месте, которое было
предсказано. Для нас существенно то, что Джон Кауч Адамс (1819-1892) и
Леверье проводили свои вычисления, считая справедливым закон Тициуса-Боде.
Они использовали для значения большой полуоси неизвестной планеты значения
37.25 а.е. и 36,15 а.е. В 1847 г. Сирс Кук Уокер (1805-1853) обнаружил одно
«старое» наблюдение Лаланда, которое относилось к Нептуну (принятому
Лаландом за звезду). Это позволила Уокеру вычислить надежную орбиту
Нептуна, для большой полуоси орбиты Уокер получил значение 30,25 а.е., что
4
значительно меньше того, которое отвечает закону Тициуса-Боде 38,8 а.у. Закону
Тициуса-Боде нанесен сильный удар. Ситуация еще более усугубилась, когда в
1929-1930 гг. был открыт Плутон на расстоянии 39,5 а.е от Солнца вместо 77,2
а.е. Закон Тициуса-Боде перестал быть основой для дальнейших предсказаний.
Последний курьез касается «открытия» планеты «Вулкан». В 1859 г. после
анализа орбиты Меркурия Леверье пришел к выводу, что (при правильной массе
Венеры) расхождение между наблюдаемым и теоретически вычисляемым
движением перигелия Меркурия можно объяснить лишь существованием
некоторой неизвестной планеты (или даже планет) между Меркурием и Солнцем.
Вулкан был «открыт», Леверье вычислил орбиты этой планеты
r = 0,143a.e. Т = 19 сут.17 час. Леверье верил в эту планету (или планеты) до
конца своей жизни, так как он не видел другого пути, чтобы объяснить
аномальное дополнительное продвижение перигелия Меркурия на 31′′ в
столетие. Последние безуспешные поиски Вулкана проводились во время
солнечного затмения 7 марта 1970 г.
В 1787 г. Вурм указал, что расстояния всех планет в целом лучше
описываются более общей формулой rn = a + b ⋅ 2 n , n = −∞,0,1,2,..., где
a = 0,387 , b = 0,293 . Еще более важным является высказанное Вурмом
предположение, что если обсуждаемый закон имеет динамическое
происхождение, то соответствующий закон также должен иметь место для систем
спутников больших планет. Вурм нашел, что для известных тогда спутников
Юпитера и Сатурна вполне приемлемы соотношения
rn = 3,0 + 3,0 ⋅ 2 n
Юпитер, rn = 4,5 + 1,6 ⋅ 2 n
Сатурн
n = −∞,0,1,2,..., n
В 1913 г. Мэри Аделе Блэгг (1858-1944), анализируя логарифмы
расстояний между планетами, пришла к выводу, что наилучший закон расстояний
в планетной системе имеет вид геометрической прогрессии со знаменателем
1,7275, а не 2,0: rn = A(1,7275) n [B + f (α + nβ )] , где A и B - положительные
числа, а α и β - постоянные углы. f - функция с периодом 2π , принимающая
значения от 0 до + 1 . Спустя 30 лет Ричардсон выполнил аналогичный анализ и
пришел к аналогичному выводу: rn = (1,728 ) n ρ n (nθ n ) , где ρ n − функция
периода 2π .
Планеты
Меркурий
Венера
Земля
Марс
Веста
Юнона
Паллада
Церера
Юпитер
Сатурн
Уран
Нептун
Плутон
n
-2
-1
0
1
⎫
⎪
⎬2
⎪
⎭
3
4
5
6
7
Блэгг
0,387
0,723
1,000
1,524
⎫
⎪
⎬ 2,67
⎪
⎭
5,200
9,550
19,23
30,13
41,80
а
n
0,387
0,723
1,000
1,524
2,361
2,670
2,767
2,767
1
2
3
4
5,203
9,546
19,20
30,07
39,5
6
7
8
9
10
⎫
⎪
⎬5
⎪
⎭
Ричардсон
0,387
0,724
0,999
1,525
⎫
⎪
⎬ 2,869
⎪
⎭
5,193
9,505
19,21
30,30
41,83
5
Спутники
Юпитера
n
rn
V Амальтеон
( XIII ?)
Ио
Европа
Ганимед
Каллисто
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Блэгг
0,429
0,708
1,000
1,592
2,541
4,467
9,26
15,4
VI Атлас
VII Геракл
( X )Прометей
( XII )Гефест
( XI )Дедал
VIII Прозерпина
( IX )Цербер
⎫
⎬6
⎭
⎫
⎬ 27,54
⎭
⎫
⎪
⎬7
⎪
⎭
⎫
⎪
⎬ 55,46
⎪
⎭
Спутники
Сатурна
n
rn
(Янус)
Мимас
Энцелад
Тефия
Диона
Рея
Япет
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Блэгг
0,54
0,629
0,807
1,000
1,279
1,786
2,97
4,140
5,023
6,3
6,65
7,00
12,11
Феба
10
43,85
Спутники
Урана
n
rn
(Миранда)
-2
-1
0
1
2
3
Блэгг
0.64
0,77
1,000
1,393
2,286
3,055
Титан
Гиперон
Ариэль
Умбриэль
Титания
Обертон
а
n
0,429
(0,627)
1,000
1,592
2,539
4,467
rn
Ричардсон
0,4316
1
2
3
4
5
6
7
8
27,26
27,85
(27,85)
(49,8)
(53,3)
55,7
(56,2)
а
1,000
1,5912
2,5435
4,4877
⎫
⎬9
⎭
⎫
⎬ 29,139
⎭
⎫
⎪
⎬ 10
⎪
⎭
⎫
⎪
⎬ 43,676
⎪
⎭
n
rn
Ричардсон
(0,538)
0,630
0,808
1,000
1,281
1,789
1
2
3
4
5
0,38173
0,80476
1,000
1,28664
1,79108
4,149
5,034
6
7
4,14648
3,93403
12,09
8
9
10
12,1865
42,7969
n
rn
43,92
а
Ричардсон
(0,678)
1
1,000
1,394
2,293
3,058
2
3
4
5
1,000
1,38559
2,28576
3,05222
Nieto M.M. в журнале Astron. and Astrophys., 8, 105-111 (1970) ставит вопрос, не
является ли знаменатель прогрессии 1,73 аппроксимацией числа 3 или π .