РАБОТА И МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ

Министерство образования и науки Российской Федерации
Рубцовский индустриальный институт (филиал)
ФГБОУ ВПО «Алтайский государственный технический университет
им. И.И. Ползунова»
В.В. Борисовский
РАБОТА И МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ
(теория и практика)
Методическое пособие для студентов
всех направлений
Рубцовск 2014
ББК 530.1
Борисовский В.В. Работа и механическая энергия (теория и практика):
Методическое пособие для студентов всех направлений/ Рубцовский индустриальный институт.- Рубцовск, 2014. - 30 с.
Пособие представляет собой краткую теорию раздела механики – работа
и механическая энергия. Приведены практические примеры, в основном из повседневной жизни и природы, с подсказками и подробными ответами.
Пособие предназначено для студентов технических специальностей и может быть использовано старшеклассниками и преподавателями физики.
Рассмотрено и одобрено на заседании НМС РИИ
Протокол № 1 от 20.02.14 г.
Рецензент:
к.т.н., доцент П.А. Люкшин
© Рубцовский индустриальный институт, 2014
2
Содержание
Введение
1. Работа постоянной и переменной силы
2. Кинетическая и потенциальная энергия
3. Гравитационная потенциальная энергия
4. Закон сохранения механической энергии
5. Кинетическая энергия вращающегося и катящегося твердого тела
6. Задачи и вопросы
7. Подсказки
8. Ответы и решения
3
4
5
6
8
8
9
10
16
18
Введение
Энергия (от греческого energia – действие, деятельность) – общая количественная мера движения и взаимодействия всех видов материи. Энергия не возникает из ничего и не исчезает, она может переходить из одной формы в другую. Понятие энергии связывает воедино все явления природы.
Важным принципом всех физических применений энергии является закон
сохранения энергии. Этот закон налагает строгие ограничения на возможности
преобразования и использования энергии. В механике закон сохранения энергии позволяет успешно описывать движение тел под действием различных типов взаимодействий. Во многих случаях благодаря этому закону мы можем
обойтись без применения закона Ньютона и провести простым и быстрым способом анализ движения тел.
Изменение механического движения тела и, следовательно, его механической энергии происходит в процессе механического действия на рассматриваемое тело со стороны других тел. Мерой этого действия служат соответствующие силы. Поэтому можно говорить об изменении механической энергии тела
под влиянием приложенных к нему сил. Для количественного описания такого
процесса изменения энергии тела вводят в механике понятие работы силы.
4
1. Работа постоянной и переменной силы
Сила, действующая на тело, перемещая его на некоторое расстояние, совершает работу. Количественно совершаемая силой работа равна произведению составляющей силы в направлении движения на перемещение. В
случае, если сила постоянна по величине и
направлению, а путь прямолинеен, работа А будет
определяться по формуле
,
(1)
где α – угол между направлением силы и
направлением перемещения (рис.1).
Работа – скалярная величина. Если сила и направление перемещения образуют острый угол (
), работа положительна (А>0). Если угол α - тупой (
), работа отрицательна (A<0). При
работа равна нулю.
Если тело под действием переменной
силы перемещается по криволинейной траектории из точки S1 в точку S2 (рис.2), то
весь пройденный путь разбиваем на элементарные участки dS. На участке dS силу
можно считать постоянной и направление
перемещения прямолинейным. Тогда элементарная работа на каждом малом участке
будет равна
,
(2)
а полная работа на пути S1S2 определяется интегралом
.
(3)
При произвольном изменении силы F в зависимости от пройденного пути S полную работу
можно найти графическим методом. Для этого
построим график зависимости
) (рис.3).
Элементарная работа на участке dS
будет изображена площадью полоски с основанием dS, а полная работа на пути S1S2 – площадью заштрихованной фигуры с основанием S1S2.
Из формулы (1) для работы можно определить единицу ее измерения. В СИ единица работы 1 джоуль (Дж)=1Н∙1м=1
.
Для оценки эффективности работы любого механизма необходимо учитывать не только работу, совершенную машиной, но и быстроту выполнения
работы. Величина, характеризующая скорость выполнения работы, называется
мощностью.
5
Мощность N равна отношению работы ΔА к промежутку времени Δt, за
который она совершена
.
(4)
Если машина будет работать неравномерно, то формула (4) будет определять среднюю мощность, а предел этого отношения
выражает мгновенную мощность (мощность в данный момент):
.
(5)
Подставляя
, получим для мгновенной мощности выражение
.
(6)
Единицей измерения мощности в СИ является ватт (Вт): 1Вт=
. До сих пор мощность некоторых механизмов измеряется в лошадиных
силах: 1 л.с. 736 Вт. Однако при нормальной работе лошадь развивает мощность около 400 Вт, а человек – около 100 Вт.
2. Кинетическая и потенциальная энергия
Все формы движения материи могут превращаться друг в друга в определенных количественных отношениях. В качестве единой количественной меры
различных форм движения материи и соответствующих им взаимодействий
вводится скалярная величина, называемая энергией. Энергия – универсальная
количественная мера движения и взаимодействия всех видов материи.
Мерой механического движения рассматриваемой системы, а также механического взаимодействия тел системы друг с другом и с внешними телами
является механическая энергия. Изменение механической энергии системы тел
ΔW определяется работой, совершаемой внешними силами, приложенными к
системе, ΔW=A.
Когда работа внешних сил положительна (A>0), то энергия системы возрастает. Если работу совершает система, то ее энергия убывает. Следовательно,
система может совершать работу только за счет изменения своей энергии.
Механическая энергия может быть двух видов – кинетическая и потенциальная. Кинетическая энергия является мерой механического движения и
определяется работой, которую необходимо совершить, чтобы вызвать данное
движение.
Для вычисления кинетической энергии возьмем тело массой m, на которое в течение времени Δt действует неизменная сила F. Эта сила вызовет изменение скорости от v1 до v2, и будет совершена работа A=F∙S, где S – путь, пройденный телом за время Δt в направлении действия силы. Из второго закона
Ньютона имеем
,
6
а пройденный путь за время Δt, зная среднюю скорость
, определим как
.
Подставляя полученные выражения для F и S в формулу работы, найдем,
что
.
(7)
Таким образом, кинетическая энергия тела массой m, движущегося со
скоростью v, при поступательном движении равна
.
(8)
Следовательно, работа силы F на пути S равна изменению кинетической
энергии тела, к которому эта сила приложена.
Потенциальная энергия (от латинского potentia – возможность) – это
энергия, обусловленная взаимным расположением тел или частей одного и того
же тела и характером их взаимодействия. Потенциальной энергией обладают
упруго деформированные тела, сжатые газы, тела над поверхностью Земли и
другие.
Для поднятия тела массой m, находящегося на высоте h1 над Землей, на
высоту h2 необходимо совершить работу
.
Эта работа пойдет на увеличение энергии тела относительно поверхности
Земли, то есть
.
Энергия U системы тело-Земля и является потенциальной энергией тела,
поднятого на высоту h
.
(9)
Найдем потенциальную энергию упруго деформированного тела (пружины). Сила упругости пропорциональна деформации Х:
,
где k – коэффициент упругости (жесткость), знак минус указывает на то,
что сила упругости направлена в сторону, противоположную деформации. По
третьему закону Ньютона для преодоления силы упругости необходимо приложить силу
.
Определить работу, которую необходимо совершить при изменении деформации от Х1 до Х2. Элементарная работа dA, совершаемая силой F при малой деформации dХ, равна
,
а полную работу находим интегрированием
.
Эта работа идет на увеличение энергии деформированного тела
.
7
Таким образом, потенциальная энергия упруго деформированного тела
(пружины) равна
.
(10)
3. Гравитационная потенциальная энергия
Два тела массами m1 и m2 притягиваются друг к другу с силой, определяемой законом всемирного тяготения
,
где γ – гравитационная постоянная, r – расстояние между телами. Следовательно, они обладают взаимной потенциальной гравитационной энергией
взаимодействия. Получим выражение для этой энергии.
Элементарная работа, совершаемая под действием гравитационной силы,
будет равна:
.
Следовательно, работа, совершаемая при перемещении тела m2 относительно m1 из точки r1 в точку r2, будет равна
.
Отсюда следует, что выражение для гравитационной потенциальной
энергии взаимодействия двух тел будет иметь вид
.
(11)
Знак «минус» говорит о том, что, раздвигая притягивающиеся тела, мы
совершаем положительную работу, уменьшая потенциальную энергию. Разведенные на «бесконечность» тела не взаимодействуют друг с другом, следовательно, их потенциальная энергия взаимодействия равна нулю. Отсюда следует,
что в промежуточном состоянии гравитационная потенциальная энергия взаимодействия должна быть отрицательной.
При движении спутника (космического корабля) его гравитационная потенциальная энергия равна
,
(12)
где m – масса спутника, М – масса Земли, r – радиус орбиты относительно
центра Земли.
4. Закон сохранения механической энергии
Механическая энергия характеризует движение и взаимодействие системы тел и является функцией скоростей и взаимного расположения тел. Движение определяет кинетическая энергия, а взаимное положение тел определяет
потенциальная энергия. Сумму кинетической и потенциальной энергий называют полной механической энергией E=T+U. Если в данной системе тел действуют только внутренние силы, то полная механическая энергия тел, составляющих систему, не изменится. Это закон сохранения механической энергии.
8
Кинетическая и потенциальная энергии могут переходить друг в друга, но при этом их сумма не меняется.
Для примера рассмотрим тело, падающее с высоты h
(рис.4).
Покажем, что полная энергия в любой промежуточной точке будет одной и той же. Считаем, что тело в
начальный момент покоилось, находясь на высоте h, и
имело потенциальную энергию U=mgh. Тело свободно падает и на высоте h1 имеет кинетическую энергию
и
потенциальную –U=mgh1. Полная энергия
. Скорость тела на высоте h1 равна
и кинетическая энергия
. Тогда полная
энергия
,
то есть полная энергия системы не меняется.
Механическая энергия системы может переходить в другие виды, например, в тепловую. При этом, если движение частей системы совершается под
действием только внутренних сил, оно может существовать до тех пор, пока не
исчерпан запас полной энергии всей системы.
При вращении спутника на орбите выполняется закон сохранения энергии в виде
.
(13)
5. Кинетическая энергия вращающегося и катящегося тела
Кинетическую энергию вращающегося вокруг неподвижной оси твердого
тела находим, разбивая тело на элементарные объемы, масса которых равна mi.
Линейная скорость элементарной массы mi равна
, где - угловая скорость вращающегося твердого тела, одинаковая для всех точек тела; ri - расстояние массы mi от оси вращения. Следовательно, для кинетической энергии i-й
элементарной массы получается выражение
.
Кинетическая энергия вращающегося твердого тела равна сумме энергий
его частей:
,
где
- момент инерции тела относительно оси вращения. Таким образом, кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна
.
(14)
Если тело массой m (например, цилиндр или шар), катящееся по поверхности без скольжения, совершает вращательное движение, а центр тяжести его,
через который проходит ось вращения, перемещается со скоростью V, то пол9
ная кинетическая энергия складывается из энергий поступательного и вращательного движений:
.
(15)
В качестве примера определим полную кинетическую энергию катящегося сплошного цилиндра. Учитывая, что момент инерции цилиндра
и
угловая скорость определяется через линейную скорость по формуле
формула (15) запишется в виде:
,
.
6. Задачи и вопросы
1. Тело на призме. Тяжелое тело соскальзывает без трения с треугольной
призмы, которая лежит на идеально гладкой горизонтальной поверхности. Будет ли скорость тела в конце соскальзывания одинакова, если в одном случае
призма закреплена неподвижно, а в другом свободна? Тело в обоих случаях соскальзывает с одной и той же высоты.
2. Шкив. Два шкива, находящихся на одном
уровне на некотором расстоянии друг от друга, соединены ременной передачей (рис.5). Левый шкив
является ведущим. Когда возможно передать через
эту трансмиссию мощность больше – при вращении по часовой стрелке или против?
3. Сопротивление воздуха и воды. Сопротивление воздуха при движении
автомобиля и воды при движении корабля возрастает пропорционально квадрату скорости. Во сколько раз необходимо увеличивать мощность двигателя автомобиля (корабля) для увеличения скорости в два раза?
4. Мощность насоса. Через отверстие небольшого диаметра с помощью
насоса перекачивается вода. Как должна измениться мощность насоса, чтобы
он в единицу времени стал перекачивать через то же отверстие вдвое большее
количество воды?
5. Лыжник на горке. Лыжник без палок скатывается с горки до полной
остановки. Вернуться из точки, в которой лыжник остановился, к началу спуска
он может в кресле канатной дороги или стоя на лыжах, пользуясь буксиром
подъемника. Если пренебречь трением в блоках подъемника, то каково будет
соотношение в работе подъемника при перемещении лыжника к старту в двух
случаях?
6. Равномерное перемещение. Тело равномерно поднимается вверх на
некоторое расстояние. Затем то же самое тело равномерно перемещается по горизонтальному пути на такое же расстояние. Скорость перемещения в обоих
случаях одинакова. Одинаковую ли работу нужно совершить при перемещении
вертикально и горизонтально?
10
7. Работа за равное время. Тело свободно падает с некоторой высоты.
Одинаковую ли работу совершает сила тяжести за последовательные равные
промежутки времени?
8. Центр тяжести цепочки и системы стержней. К двум гвоздям, находящимся на одинаковом
уровне, прикреплены концы цепочки длиной l и концы
двух шарнирно связанных между собой стержней, общая
длина которых тоже l (рис.6). Чей центр тяжести расположен ниже: цепочки или системы стержней?
9. Работа грузика математического маятника.
Найдите работу сил, действующих на грузик математического маятника за один
период его колебаний, если не учитывать силу сопротивления воздуха.
10. Горизонтальное перемещение груза. Груз равномерно переносят по
горизонтальной прямой. Будет ли в этом случае совершена механическая работа?
11. Работа растяжения пружины. В вагоне равномерно двигающегося
поезда стоит человек, который растягивает пружину с силой F (рис.7). Поезд
прошел путь S. Какую работу совершил
человек в системе отсчета, связанной с
Землей?
12. Работа силы трения покоя.
Может ли совершить механическую работу сила трения покоя? Если может, то в каком случае?
13. Мощность двигателя на скоростных автомобилях. На скоростных
и гоночных автомобилях ставят двигатели значительно большей мощности, чем
на обычных. Почему?
14. Движение двух тел. Двум одинаковым телам сообщили равные скорости под одним и тем же углом к горизонту. Одно тело находится после броска в свободном движении, а другое движется без трения по прямой трубе. Какое тело поднимется на большую высоту?
15. У кого больше масса. Два человека на катке решили сравнить, кто из
них больше по массе и во сколько раз. Как они могут это сделать, имея в наличии рулетку?
16. Коэффициент сопротивления движению автомобиля. Автомобиль
едет по горизонтальному прямолинейному участку шоссе. Как приближенно
определить коэффициент сопротивления движению автомобиля, пользуясь
только приборами, находящимися в салоне автомобиля?
17. Наклонная плоскость или наклонный транспортер. Для подъема
груза на некоторую высоту, например в кузов грузового автомобиля, применяется как наклонная плоскость, так и наклонный транспортер – лента, движущаяся по роликам. Какое из этих устройств имеет больший коэффициент полезного действия?
11
18. Куда расходуется мощность? Ракета с работающим двигателем «зависла» над поверхностью Земли. На что расходуется мощность ее двигателя?
19. Вертолет висит в воздухе. Легкий вертолет массой около 500 кг завис в воздухе. Длина лопастей пропеллера равна 3 м. Оцените мощность двигателя, необходимую для поддержания вертолета в воздухе.
20. От модели к реальному вертолету. Модель вертолета, изготовленная в 1/10 натуральной величины, удерживается в воздухе при помощи мотора
мощностью 30 Вт. Какой должна быть минимальная мощность двигателя вертолета, изготовленного из тех же материалов, что и модель?
21. Газ вместо жидкости. Будет ли работать гидравлический пресс, если его цилиндр заполнить не жидкостью, а газом?
22. Как опрокинуть цилиндр и куб? Цилиндр и куб из одинакового материала, одинаковой высоты и массы стоят на горизонтальной плоскости. Какое
из этих двух тел труднее опрокинуть?
23. Пассажир на эскалаторе. Изменится ли работа и мощность, затрачиваемая мотором эскалатора, если пассажир, стоящий на движущейся лестнице
эскалатора, будет сам также подниматься по эскалатору с постоянной скоростью?
24. Мячик в полете вниз и вверх. Если маленький мячик из сплошной,
очень упругой резины положить сверху на сплошной мяч побольше размером,
изготовленный из той же резины, и бросить их вместе с некоторой высоты (маленький мячик лежит на большом), то после того, как мячи ударятся о пол, маленький мячик подпрыгнет вверх, а большой останется на полу. Оцените, на
какую высоту подпрыгнет маленький мячик, если его диаметр в два раза меньше, чем большого.
25. Высота подъема теннисного мяча. На теннисный мяч с небольшой
высоты h падает кирпич и подскакивает почти на ту же высоту. На какую высоту подпрыгнет мяч?
26. Река вытекает из озера. Откуда в озерах появляется вода? Все дадут
ответ: в озеро впадают реки и ручьи. А куда девается вода из озера? У озер, из
которых не вытекает ни одной реки, вода испаряется. Если же вода из озера вытекает через реку, то такая река всегда только одна.
В Байкал втекает 336 рек, а вытекает только Ангара. В России таких озер
много: из Ладожского озера вытекает Нева, из Онежского – Свирь, из озера
Ильмень – Волхов, из Чудского – Нарва, из озера Зайсан – Иртыш. И таких
примеров на земном шаре очень много.
Почему в озеро втекает много рек, а вытекать может только одна?
27. Велосипедист и бегун. Человек, едущий на велосипеде по ровной асфальтированной дороге, перемещается значительно быстрее, чем если бы он
бежал по той же дороге. В обоих случаях работа совершается за счет энергии
мышц, но почему на велосипеде человек может перемещаться значительно
быстрее, чем при беге?
28. Энергия воздушного шара. За счет какой энергии поднимаются вверх
стратостаты и шары-зонты?
12
29. Звук камертона. Камертон издает слабый звук, если его держат в руке. Однако камертон, закрепленный на резонаторе, звучит несравненно громче.
Откуда же берется лишняя энергия?
30. Бутылка с замерзшей водой. В стеклянную бутылку полностью
наливают воду и плотно закрывают. Затем бутылку охлаждают до температуры
ниже 00 С, вода замерзает и разрывает бутылку. Откуда берется источник энергии, необходимой для разрыва?
31. Полет ночной бабочки. Наблюдая за поведением ночной бабочки,
можно обратить внимание на то, что перед тем, как взлететь, ночная бабочка
довольно долго подрагивает крылышками. Зачем?
32. Действие магнита. Маленький железный предмет подпрыгивает, если к нему поднести сверху магнит. Сколько бы мы ни проводили этот опыт, сила магнита не ослабевает и он вновь и вновь совершает работу. Не противоречит ли это закону сохранения энергии?
33. Прыжок в высоту на Луне. Известно, что на Луне сила тяжести в 6
раз меньше земной. Значит спортсмен, преодолевающий на Земле высоту 2 м,
должен был бы на Луне прыгать на высоту 12 м. Так ли это?
34. Две пружины. Две одинаковые пружинки, железная и медная, упруго
растянуты. На растяжение какой из них понадобилось бы затратить большую
работу, если один раз их растянуть на одинаковую длину, а во второй раз приложить одинаковые силы?
35. Стрельба из лука. При стрельбе из лука большое значение имеет
натяжение тетивы. Плохо стреляют и слишком туго натянутые, и слишком слабо натянутые луки. Почему? Как подобрать наиболее подходящий лук?
36. Струны на морозе. У любого струнного инструмента на морозе струны натягиваются сильнее, значит, увеличилась их упругая энергия. За счет чего
произошло это увеличение?
37. Корпус лука или тетива. Что вносит больший вклад в энергию вылетающей стрелы: корпус лука или тетива?
38. Когда энергия не меняется? Может ли кинетическая энергия движущегося тела остаться неизменной, если равнодействующая всех сил, приложенных к нему, не равна нулю?
39. Замедление нейтронов в ядерном реакторе. Ядерные силовые установки используются на атомных электростанциях, ледоколах, подводных лодках. Выделяется энергия в ядерном реакторе в результате цепной реакции деления ядер некоторых тяжелых элементов, в основном урана и плутония.
Цепная ядерная реакция происходит при делении атомных ядер тяжелых
элементов под действием тепловых нейтронов. При каждом акте деления число
нейтронов возрастает, так что может возникнуть самоподдерживающийся процесс деления. Например, при делении ядер урана под действием одного первичного нейтрона испускается в среднем 2,5 вторичных быстрых нейтронов.
Характеристикой развития цепной ядерной реакции служит коэффициент размножения нейтронов (отношение числа вторичных нейтронов к числу первичных). Самоподдерживающаяся цепная ядерная реакция возможна только в такой системе, для которой коэффициент размножения будет равен или больше
13
единицы. Правда, быстрые вторичные нейтроны реакцию деления осуществить
не могут: их необходимо замедлить до тепловых энергий ( 0,25 эВ) на веществах, которые не поглощают нейтроны.
Свинец и тяжелая вода почти не поглощают нейтроны. Почему же в
атомных реакторах для замедления быстрых нейтронов тяжелую воду используют, а свинец – нет?
40. Выполняется ли закон сохранения энергии? Согласно закону сохранения полной механической энергии, энергия, которой обладают тела, не создается и не уничтожается, а только переходит из одной формы в другую, в количественном отношении оставаясь неизменной. Однако если бросить мяч вниз с
небольшой высоты вертикально вниз, то он может подпрыгнуть выше того
уровня, с которого был брошен. Следует ли отсюда, что для данного случая закон сохранения полной механической энергии не верен?
41. Два одинаковых объема на разных уровнях. В два одинаковых сосуда
со ртутью опустили нижними концами две одинаковые трубки с шаровыми полостями, расположенными на разной высоте
(рис.8).
Трубки были заполнены разреженным воздухом одинакового давления. Когда открыли краны,
ртуть в трубках поднялась и установилась на одинаковом уровне. При этом атмосферное давление Р
в обоих случаях совершило одну и ту же работу,
равную РV (V – объем вытесненной из чашек ртути). В правой трубке основная масса ртути находится на большей высоте, чем в левой. Значит, за
счет одной и той же работы запасены различные
потенциальные энергии, что явно противоречит закону сохранения полной механической энергии.
Как объяснить это противоречие?
42. Как меняется потенциальная энергия? Потенциальная энергия тела,
поднятого над Землей, пропорциональна высоте подъема. Если же для выражения веса воспользоваться законом всемирного тяготения, то потенциальная
энергия оказывается обратно пропорциональной расстоянию между телами.
Как согласовать эти результаты?
43. Шар и диск на наклонной плоскости. С двух наклонных плоскостей,
одинаковых по высоте и по длине, скатываются диск и шар. Какое из этих тел
быстрее достигнет нижней точки плоскостей? Как будет зависеть полученный
результат от масс и диаметров диска и шара?
44. Два полых шара. Два полых шара, имеющие одинаковые массы и
одинаковые внешние радиусы, покрашены одинаковой краской. Один шар изготовлен из алюминия, другой – из меди. Как, не царапая краску, узнать, какой
шар алюминиевый, а какой медный?
45. «Прыжки» отполированных морских камешков. Соберите на берегу
моря или реки с каменистым дном несколько камешков примерно равного размера, затем бросайте их поочередно на гладкий цементный пол с небольшой
14
высоты и проследите за тем, на какую высоту будут подскакивать камешки после первого и второго ударов о пол. Логические рассуждения приводят к тому,
что после второго удара о пол тело должно подскакивать на меньшую высоту,
так как часть его кинетической энергии расходуется при ударе о пол после первого и второго ударов. Камешки же после второго удара о пол поднимаются
иногда вдове выше, чем после первого. Чем объясняется такое противоречие
закону сохранения полной механической энергии? Какие камешки нарушают
закон сохранения?
46. Равновесие вертикальной палки. Какую из палок легче удерживать
вертикально в равновесии на пальце: длинную или короткую?
47. Скорость планеты. Планета движется по эллиптической орбите, в
одном из фокусов которой расположено Солнце. В какой точке траектории скорость планеты максимальна и в какой минимальна?
48. Мощность «зависшей» ракеты. Ракета с работающим двигателем
«зависла» над поверхностью Земли. На что расходуется мощность ее двигателя?
49. Как запускать спутник? Когда расходуется больше энергии при запуске космического корабля – вдоль экватора или вдоль меридиана?
50. Изменение скорости космического корабля.
Космический корабль движется вокруг Земли З по эллиптической орбите (рис.9). Как надо изменить скорость корабля в перигее П и апогее А, чтобы он перешел на круговую орбиту?
51. Как отличаются энергии космических
станций? Космические станции движутся вокруг Земли: одна – по круговой орбите, остальные – по эллиптическим, большие оси которых равны диаметру круговой (рис.10). Массы станций одинаковы. Одинаковы
или различны энергии и моменты импульса станций?
52. Космонавт в космическом пространстве рядом с кораблем. Космонавт
вышел из космического корабля и с помощью индивидуального реактивного двигателя совершает прогулку в открытом космосе, а затем, возвращаясь, вовремя не выключил двигатель, подошел с избытком
скорости к кораблю и ударился о него ногой. Ему не должно быть больно, так как и космонавт и корабль находятся в
состоянии невесомости. Так ли это?
53. Комета из далекого космоса в Солнечной системе. Из очень далекого космоса в Солнечную систему влетает комета. Траектория кометы представляет собой ветвь гиперболы. Может ли комета при отсутствии взаимодействия
с планетами системы стать спутником Солнца?
54. Бутылка с водой и песком. Две абсолютно одинаковые бутылки заполнены одна водой, другая песком и закрыты одинаковыми пробками. Затем
15
обе бутылки одновременно начинают скатываться с наклонной плоскости без
проскальзывания. Какая из бутылок скатится быстрее? Почему?
7. Подсказки
1. При движении по закрепленной призме вся энергия идет на увеличение
скорости тела, при свободной призме часть энергии расходуется на ее движение.
2. В случае разных направлений движения ремень охватывает шкив с неодинаковым усилием.
3. Мощность, развиваемая автомобилем (кораблем), равна произведению
силы на скорость движения.
4. Работа, которую совершает насос при перекачивании воды через отверстие, затрачивается на сообщение потоку воды кинетической энергии.
5. На преодоление сил трения затрачивается работа.
6. Работа при поднятии тела на некоторую высоту идет на увеличение потенциальной энергии.
7. Тело падает с любой высоты с ускорением свободного падения.
8. При вытягивании цепочки в две прямые будет совершена работа.
9. Сила натяжения нити перпендикулярна скорости движения грузика маятника.
10. Если тело находится в покое или двигается равномерно и прямолинейно, то результирующая сила, действующая на тело, равна нулю.
11. Работа, совершаемая человеком, равна нулю.
12. Сила трения покоя может совершить механическую работу.
13. При больших скоростях значительно возрастает сопротивление воздуха.
14. Когда тело движется вверх, кинетическая энергия переходит в потенциальную.
15. При взаимодействии тела выполняются законы сохранения энергии и
импульса.
16. Пользуясь спидометром в автомобиле, можно определить скорость и
пройденный путь.
17. При одинаковых условиях движения коэффициент трения качения
меньше коэффициента трения скольжения.
18. Мощность работающего двигателя может расходоваться на потенциальную и кинетическую энергию.
19. Вертолет удерживается в воздухе силой реакции, возникающей, когда
винт отбрасывает воздушную струю.
20. Для нахождения мощности необходимо установить, как она связана с
линейными размерами модели и действующим вертолетом.
21. В отличие от газа жидкость несжимаема.
22. Необходимо совершить работу по поднятию центра тяжести.
23. Человек будет находиться на эскалаторе меньшее время.
16
24. При взаимодействии мячей во время движения вверх и вниз выполняются законы сохранения импульса и энергии.
25. У сжатого теннисного мяча кинетическая энергия переходит в потенциальную.
26. Вода вытекает через сток, расположенный на наименьшем уровне.
27. При беге центр тяжести человека перемещается вверх и вниз, при езде
на велосипеде центр тяжести остается на одном уровне.
28. Подъем шара происходит за счет потенциальной энергии воздуха.
29. Резонатор создает направленное рассеяние звука.
30. Замерзание воды и таяние льда происходит с изменением внутренней
энергии.
31. Подрагивание крыльями приводит к их разогреванию.
32. Работа притяжения предмета магнитом и работа по удалению предмета из зоны действия магнита равны.
33. Во время прыжка в высоту спортсмен поднимает центр тяжести своего тела на определенную высоту.
34. Пружинки имеют различную жесткость.
35. Запасенная упругая энергия определяется растяжением.
36. Внутренняя энергия переходит в энергию деформации.
37. Упругость тетивы больше, чем корпуса лука.
38. Необходимо рассмотреть механическую работу над телом.
39. При упругих столкновениях потери энергии больше при соизмеримых
массах взаимодействующих тел.
40. Полная механическая энергия определяется суммой кинетической и
потенциальной энергий.
41. Работа атмосферного давления расходуется не только на подъем ртути, но и на трение и тепло.
42. Противоречия нет, все зависит, относительно чего производить расчет: относительно поверхности Земли или относительно центра Земли.
43. Потенциальная энергия тела на вершине наклонной плоскости переходит в кинетическую энергию поступательного и вращательного движений,
при этом момент инерции в диске больше, чем у шара.
44. Плотность меди в 3,3 раза больше, чем у алюминия, поэтому у полого
шара из меди толщина стенки будет меньше, чем у алюминиевого.
45. Камешки не шаровой формы могут обладать кинетической энергией
вращательного движения.
46. Длинная палка в вертикальном положении отклоняется медленнее,
чем короткая.
47. По закону Кеплера радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, за
равные промежутки времени должен описывать равные площади.
48. Вылетающие из сопла ракеты газы обладают кинетической энергией.
49. Линейная скорость вращения Земли в разных точках поверхности неодинакова; самая большая на экваторе и равна нулю на полюсах.
50. Потенциальная энергия в апогее и перигее должна меняться.
51. Полная энергия равна сумме потенциальной и кинетической энергии.
17
52. При ударе необходимо учитывать массу и скорость тела, а не его вес.
53. Выполнение законов сохранения энергии и импульса не позволяет изменить характер траектории.
54. Вода в бутылке не вращается, а песок вращается вместе с бутылкой.
8. Ответы и решения
1. Когда призма свободна, скорость тела будет меньше, так как весь запас
потенциальной энергии тела расходуется на сообщение кинетической энергии и
телу, и призме. Призма начинает двигаться в сторону, противоположную
направлению движения тела, по закону сохранения импульса. Во втором случае, когда призма закреплена, вся потенциальная энергия идет на сообщение
кинетической энергии только телу.
2. Когда шкивы вращаются по часовой стрелке, ремень охватывает большую часть каждого из
шкивов, так как нижняя часть ремня прижата к шкивам вследствие того, что она натянута, а верхняя
прогибается благодаря своему весу (рис.11, а). Поэтому сила трения будет больше, и скольжение ремня по шкивам начнется при большей нагрузке на ведущий шкив, а значит, и мощность будет передаваться большая, чем при вращении против часовой
стрелки.
3. Мощность определяется силой тяги, которая в основном затрачивается на преодоление сил
сопротивления, и скоростью движения: N=Fv. При больших скоростях движения сила сопротивления пропорциональна скорости движения в квадрате, т.е.
F=kv2, где k – коэффициент пропорциональности, зависящий от лобовой площади автомобиля (корабля) и обтекаемости корпуса. Таким образом, мощность
двигателя будет пропорциональна скорости в кубе N=kv3 и для увеличения
скорости в два раза мощность необходимо увеличить в восемь раз.
4. Количество воды, протекающей через отверстие небольшого диаметра
за единицу времени, определяется площадью сечения отверстия и зависит от
скорости истечения воды. Необходимая мощность насоса для перекачивания
воды, т.е. совершенная работа за единицу времени, затрачивается на сообщение
потоку воды кинетической энергии.
Так как кинетическая энергия равна
, а масса воды, вытекающая из отверстия, зависит от скорости течения, то мощность насоса будет пропорциональна скорости истечения в кубе. Таким образом, для прокачки вдвое большего количества воды необходимо в два раза увеличить скорость истечения, а
мощность в восемь раз.
5. При скатывании с горки потенциальная энергия лыжника, которую он
имел на горке, вся расходуется на работу против сил трения. Втаскивая лыжника
на буксире, подъемник восполняет потенциальную энергию и совершает работу
18
против сил трения в таком же количестве. При перемещении лыжника в кресле
подъемника восполняется только потенциальная энергия. Следовательно, затраты энергии подъемником при буксировке будут примерно в два раза больше, чем
при подъеме в кресле.
6. При вертикальном подъеме тела и горизонтальном перемещении тела с
одинаковой равномерной скоростью на одинаковое расстояние будет совершаться одинаковая работа, но при подъеме тела еще совершается работа на
увеличение потенциальной энергии. Поэтому при горизонтальном перемещении работа будет меньше, даже при наличии трения.
7. Величина работы пропорциональна пройденному пути. При свободном
падении тело движется с ускорением, поэтому за равные промежутки времени
оно проходит разные пути и, соответственно, сила тяжести будет совершать
разную работу (чем ниже, тем больше).
8. Потянув цепочку за среднее звено, ее можно привести в такое же положение, которое занимают стержни. При этом будет совершена работа, за счет
которой центр тяжести цепочки поднимется. Значит, он лежит ниже, чем центр
тяжести стержней.
9. Работа силы натяжения нити, которая действует на грузик математического маятника, равна нулю за любой промежуток времени (эта сила всегда
перпендикулярна направлению перемещения грузика маятника). Работа силы
тяжести за период равна нулю, поскольку равно нулю изменение полной энергии.
10. Если тело перемещается равномерно по горизонтальной прямой, то в
соответствии с первым законом Ньютона результирующая сила, действующая
на тело, равна нулю. Следовательно, механическая работа при перемещении тела в этом случае также будет равна нулю.
11. Человек, стоящий в вагоне, совершает работу во время растяжения
пружины, а затем прикладывает силу F, чтобы удерживать пружину в растянутом положении. При этом даже если вагон перемещается на расстояние S, то
человек механическую работу не совершает как в системе отсчета, связанной с
землей, так и в системе отсчета, связанной с поездом.
12. Сила трения покоя может совершать механическую работу, например,
при действии на груз, стоящий на движущейся железнодорожной платформе
или в кузове двигающегося грузового автомобиля.
13. При больших скоростях значительно возрастает сила сопротивления
воздуха (см. «Сопротивление воздуха и воды»). Сила сопротивления воздуха,
как показали расчеты, пропорциональна скорости в квадрате, т.е. при увеличении скорости в два раза сила сопротивления увеличится в четыре раза, а мощность в восемь раз. Следовательно, мощность двигателя на гоночных автомобилях значительно больше, чем на обычных, так как скорость гоночных автомобилей в 2-3 раза больше обычных.
14. Тело, брошенное под углом к горизонту, при свободном полете движется по криволинейной траектории (параболе). В наивысшей точке траектории тело движется в горизонтальном направлении, т.е. обладает в этой точке
кинетической и потенциальной энергией. При движении по прямой трубе кине19
тическая энергия тела, брошенного под тем же углом, вся переходит в потенциальную энергию. Так как при движении по трубе кинетическая энергия тела
полностью переходит в потенциальную, а при свободном движении только частично, то тело, движущееся в трубе, поднимается на большую высоту.
15. Если два человека, стоящие на коньках, оттолкнутся друг от друга, то
они проедут некоторые расстояния S1 и S2 до полной остановки. Измерив эти
расстояния рулеткой, можно судить о соотношении масс этих людей. Рассмотрим, как масса связана с расстоянием S в этом случае.
После отталкивания совершают работу силы трения
и
,
где - коэффициент трения коньков о лед, g – ускорение свободного падения, m1 и m2 – массы. Работа совершается за счет кинетической энергии, поэтому
и
.
и
.
Тогда имеем следующие равенства:
Поделив их почленно, получаем
.
(1)
С другой стороны, из закона сохранения импульса имеем
или
.
(2)
Из соотношений (1) и (2) получаем
.
Поскольку расстояния S1 и S2 измерены, то отношение масс определяется
по последнему уравнению.
16. Для определения коэффициента сопротивления движению автомобиля
необходимо воспользоваться спидометром. Разгоняем автомобиль до скорости
V, которую определяем по спидометру; отключаем мотор от ведущих колес и
определяем с помощью того же спидометра расстояние S, пройденное автомобилем до полной остановки. При этом вся кинетическая энергия автомобиля,
которую он имел при скорости v, пойдет на работу сил сопротивления
,
отсюда находим коэффициент сопротивления движению:
.
Ошибка в расчете коэффициента сопротивления связана с точностью
определения пути и скорости по спидометру. Путь можно измерить с точностью до 50 м, а скорость до 2 км/ч. Пользуясь формулами теории ошибок, можно найти, что при скорости, например, 100 км/ч и пути 1000 м ошибка в определении составит
,
что не так уже и плохо.
20
17. Для подъема груза по наклонной плоскости необходимо совершить
работу по преодолению силы трения скольжения. Такой же подъем груза по
наклонной транспортерной ленте на ту же высоту происходит по преодолению
силы трения качения. Так как коэффициент трения качения меньше коэффициента трения скольжения, то подъем груза с помощью транспортера более экономичен.
18. Если ракета «зависает» над поверхностью Земли при работающем
двигателе, то его мощность затрачивается на сообщение выбрасываемым из
сопла ракеты газам кинетической энергии.
19. Когда вертолет массой М «висит» в воздухе, его сила тяжести уравновешивается силой , действующей на вертолет со стороны отбрасываемого лопастями воздуха. Если лопастями отбрасывается масса воздуха m со скоростью
v, то
,
где
- изменение импульса за промежуток времени . Следовательно,
.
Если плотность воздуха равна , то масса отбрасываемого воздуха за
время
,
где S – площадь сечения отбрасываемого воздушного потока, l – длина
лопастей пропеллера. Тогда
.
(1)
Мощность же двигателя равна кинетической энергии, приобретаемой
воздухом за единицу времени
.
(2)
Из равенства (1) находим скорость v
и
.
Принимая =1,3 кг/м3, получим:
30 кВт.
20. Вертолет удерживается в воздухе благодаря силе реакции, возникающей, когда винт отбрасывает воздушную струю (см.решение задачи 19). Обозначим через плотность воздуха, через S площадь сечения струи и через ее
скорость. За время
винтом отбрасывается вниз объем воздуха
с
массой
. Изменение импульса этого воздуха равно
.
Согласно второму закону Ньютона на отбрасываемый воздух действует
сила
.
(1)
Эта сила уравновешивает силу тяжести, действующую на вертолет,
,
21
откуда
.
Мощность же двигателя равна кинетической энергии, сообщаемой воздуху за 1 с:
,
(2)
или
.
(3)
Так как масса М вертолета пропорциональна его объему, т.е. кубу линейных размеров (L3), а площадь отбрасываемой струи – квадрату линейных размеров (L2), то из формулы (3) следует, что
.
Это означает, что отношение мощностей двигателей вертолета и модели
должно быть равно отношению их линейных размеров в степени 7/2:
.
Отсюда
.
21. В гидравлическом прессе вместо жидкости цилиндр можно заполнять
газом и пресс будет работать, но с очень малым коэффициентом полезного действия, так как большая часть совершаемой работы пойдет на сжатие самого газа.
22. Для того, чтобы опрокинуть куб вокруг ребра (например, АВ) или цилиндр, нужно повернуть их так, чтобы их диагональные плоскости ABCD и
KLMN (рис.12, а,б) заняли вертикальное положение. При этом центр тяжести
тела поднимется. Для этого необходимо
совершить работу, которая будет тем
больше, чем выше придется поднять
центр тяжести (масса одинаковая).
Так как массы куба и цилиндра
одинаковы, то при одинаковых высотах
должны быть одинаковы площади основания:
, где h – длина ребра (АЕ), d – диаметр основания цилиндра
(ЕК). Тогда
, т.е. d>h и, соответственно, диагональ МК цилиндра больше диагонали куба. Следовательно, цилиндр опрокинуть труднее, чем куб, через ребро, так как в цилиндре необходимо поднять центр тяжести на большую
высоту и совершить большую работу.
23. Если человек равномерно поднимается по лестнице движущегося эскалатора, то его среднее давление на лестницу останется таким же, как и у стоящего на лестнице эскалатора человека. Следовательно, сила, с которой мотор
22
должен тянуть лестницу, останется неизменной. Однако поднимающийся по
лестнице человек раньше достигнет вершины эскалатора, а значит, и путь,
пройденный эскалатором за все время подъема человека до верха, будет меньше, чем когда человек на лестнице стоит. Поэтому работа, затраченная мотором
на подъем движущегося человека, будет меньше, чем на подъем неподвижного.
Затрачиваемая мотором мощность останется неизменной, так как меньшая работа будет совершена за меньшее время.
24. Большой мяч имеет диаметр в два раза больше маленького мяча, а
объем и массу в восемь раз больше. Падая с некоторой высоты, оба мяча обладают потенциальной энергией, соответствующей девяти массам маленького
мячика. В момент приземления большой мяч сначала сжимается, затем, занимая первоначальное положение, сталкивается с маленьким мячиком и передает
ему свою кинетическую энергию и импульс. В результате маленький мяч получает весь запас энергии двух мячей, так как большой мяч остается на полу. Соответственно, максимальная высота, на которую он может подняться, будет в
девять раз больше той высоты, с которой он упал. Чем ближе масса меньшего
мяча к массе большого, тем на меньшую высоту он подпрыгнет после удара.
25. В тот момент, когда кирпич отрывается от мяча, скорость кирпича
равна скорости верхней точки мяча. Пусть эта скорость равна v. Далее кирпич
движется свободно, и, применив к нему закон сохранения энергии
,
(h – высота подъема кирпича), найдем, что
.
Скорость нижней точки мяча в тот момент, когда кирпич отрывается от
него, равна нулю. Поэтому скорость центра мяча равна v/2. Записав для мяча
закон сохранения энергии
,
где h1 – высота подъема мяча, найдем
.
26. Тот факт, что из озера может вытекать только одна река, легко объяснить, если посмотреть на рельеф берега и дна какого-либо озера (рис.13). Если
уровень воды находится на уровне 1-1, т.е. запас воды в озере сравнительно невелик, то стока вод из озера не происходит. Если в
озеро начинает поступать из впадающих в озеро
рек больше, чем ее испаряется с поверхности озера, - в этом случае уровень воды в нем будет постепенно повышаться. Когда уровень воды достигнет уровня наиболее глубокого из возможных
(при данном береговом рельефе) стоков, образуется река, вытекающая из озера.
На рис.13 эта река вытекает через сток В при
уровне воды в озере 2-2. Как только начался сток
воды из озера, дальнейшее повышение уровня во23
ды в нем прекращается – весь избыток поступающей в озеро воды будет уходить через функционирующий сток.
Если приток воды в озеро оказывается настолько большим, что один сток
не справляется с избытком, то в этом случае уровень воды в озере продолжает
подниматься и, возможно достигнет уровня стока С (рис.13). Тогда из озера будут вытекать две реки. Однако такая ситуация редкая, а главное – она оказывается неустойчивой; это возможно только для молодых озер (недавно образовавшихся). Со временем русло, по которому проходит большой поток и где
скорость больше, будет сильнее размываться: сток воды возрастет по этому
руслу. В результате уровень воды в озере понизится и сток по меньшей реке
сначала снизится, а потом и вовсе прекратится.
27. При беге центр тяжести человека опускается и поднимается. Подъем
центра тяжести осуществляется благодаря работе мышц человека. Сила упругости мышц должна быть равна силе тяжести человека. Так как мощность человека ограничена, то скорость перемещения центра масс и, следовательно, скорость бега мала.
При движении на велосипеде вертикальные перемещения центра тяжести
человека малы; мала и сила трения. Поэтому скорость движения может быть
большой.
28. Стратостаты и шары-зонты поднимаются вверх за счет потенциальной
энергии воздуха. При подъеме шара его потенциальная энергия увеличивается,
однако на занимаемое им место опускается воздух, плотность которого больше
средней плотности шара.
29. Резонатор создает направленное колебание воздушных масс, что приводит к усилению звука. Хотя будет слышен более сильный звук, его длительность станет меньше, так как излученная энергия в обоих случаях одинакова.
30. Работа, требуемая для разрыва стеклянной бутылки, производится за
счет внутренней энергии замерзающей воды (энергия выделяется в результате
превращения воды в лед в количестве определяемой удельной теплотой плавления льда, которая для льда имеет намного большее значение, чем для других
тел).
31. Перед тем, как взлететь, ночная бабочка подрагивает крыльями, чтобы
«разогреться», подобно спортсмену, делающему разминку перед стартом. При
этом бабочка получает запас энергии.
32. Периодическое притягивание маленького железного предмета магнитом не противоречит закону сохранения энергии. Дело в том, чтобы магнит мог
вторично притягивать предмет, его необходимо удалить, т.е. совершить работу
против силы, действующей на магнит со стороны предмета. Эта работа в точности равна той, что совершил магнит при подъеме предмета.
33. Спортсмен отталкивается от Земли в вертикальном положении, а переходит над планкой в горизонтальном. Через планку необходимо перекинуть
центр тяжести. Допустим, рост спортсмена 1,8 м, центр тяжести у него перед
прыжком находится на высоте около 0,9 м, в момент преодоления планки – на
высоте 2,1 м (если он прыгает в высоту на 2 м), то есть центр тяжести поднимается всего на 1,2 м. Затрачивая ту же энергию на Луне, спортсмен поднял бы
24
центр тяжести своего тела на высоту 1,2 м∙6=7,2 м, и, таким образом, он преодолел бы на Луне высоту 0,9 м+7,2 м=8,1 м. Это в полтора раза ниже, чем кажется с первого взгляда. Правда, здесь не учтено, что непосредственно перед
прыжком спортсмен слегка приседает, и следовательно, общий подъем центра
тяжести больше.
34. Жесткость у железа больше, чем у меди. Поэтому для растяжения
пружин одинаковых размеров на одну и ту же длину для железной пружины
нужна большая сила, чем для медной пружины. Значит, в первом случае затрачена большая работа, чем во втором.
Если растяжение производилось одинаковыми силами, то железная пружина будет растянута меньше, чем медная. Поэтому в этом случае на растяжение медной пружины будет затрачена большая работа.
35. При наибольшей силе, которую может развить стрелок из лука, лук
должен растянуться настолько, насколько это позволяет размах рук. Для более
тугого лука натяжение будет меньше размаха рук и запасенная упругая энергия
будет меньше, чем у оптимально натянутого лука. Для менее тугого лука при
натяжении, равном размаху рук, запасенная упругая энергия также будет
меньше из-за меньшей упругости лука.
36. При охлаждении струны должны стать короче (тепловое расширение
и сжатие), но так как они закреплены, то увеличится потенциальная энергия
упругой деформации за счет внутренней энергии.
37. Работа по разгону стрелы совершается за счет потенциальной энергии
упругой деформации корпуса натянутого лука и тетивы. Возникающие при деформации лука и тетивы силы упругости F равны, но тетива в хорошем луке
мало растяжима, т.е. имеет больший коэффициент упругости k. Считая, что
упругая энергия тетивы и лука зависит от F и k так же, как и в случае пружины:
, получим, что больший вклад в энергию стрелы вносит корпус лука.
38. Кинетическая энергия не будет меняться по величине при действии
силы на тело, если механическая работа силы равна нулю. А так как работа
определяется силой, перемещением и косинусом угла между силой и перемещением
, то работа равна нулю при равнодействующей силе, составляющей угол 900 с направлением перемещения тела. В этом случае скорость тела будет меняться по направлению, но не будет меняться по величине,
и кинетическая энергия будет оставаться неизменной.
39. Два шара упруго взаимодействуют друг с другом. Масса первого шара
во много раз меньше массы второго. Если большой шар находится в покое, а
малый шар, двигаясь с какой-то скоростью, сталкивается с большим шаром, то
большой шар практически останется на месте, а малый шар может поменять
направление скорости, но не ее величину. Таким образом, при упругом взаимодействии у малого шара кинетическая энергия практически теряться не будет.
Если массы взаимодействующих шаров близки друг к другу, то при
столкновении движущегося шара с покоящимся кинетическая энергия движу25
щегося шара будет передаваться второму шару тем больше, чем ближе массы
друг к другу.
А теперь перейдем к рассмотрению замедления нейтронов. Масса
нейтрона близка к массе дейтрона (тяжелого водорода), входящего в состав молекулы тяжелой воды (
), поэтому потери энергии при упругих столкновениях с дейтронами значительно больше, чем при столкновениях с тяжелыми ядрами свинца (масса ядра свинца в 207 раз тяжелее нейтрона). Поэтому для
замедления нейтронов необходимо использовать вещества, состоящие из легких атомов.
40. Мяч подпрыгивает выше того уровня, с которого был брошен, потому
что ему была сообщена начальная скорость, не равная нулю. Следовательно, и в
данном случае закон сохранения полной механической энергии справедлив.
41. Работа атмосферного давления одинакова в обоих случаях, но тратится она не только на подъем ртути, но и на трение и сообщение ртути кинетической энергии, переходящей в конечном счете в тепло.
Пусть основная масса ртути, находящаяся в сосуде, сосредоточена в полости. Кинетическая энергия этой массы определяется скоростью, с которой
ртуть втекала в полость. В полости эта скорость теряется, за счет чего кинетическая энергия превращается в тепло. В правом сосуде кинетическая энергия
будет меньше, чем в левом, так как разность давлений, определяющая скорость
втекания ртути в полость, в этом случае меньше. Следовательно, никакого противоречия между законом сохранения полной механической энергии и тем, что
в сосудах за счет одной и той же работы запасаются различные потенциальные
энергии, нет.
42. Противоречие кажущееся. Из выражения потенциальной энергии, рассчитанной по закону всемирного тяготения, после преобразований вытекает,
что для небольших высот потенциальная энергия поднятого над Землей тела
равна Ph. Выражение Ph является приближенным и справедливо только для высот
, где R – радиус земного шара (R=6400 км,
30 км).
43. Потенциальная энергия тела на вершине наклонной плоскости переходит в кинетическую энергию поступательного и вращательного движений
.
Заменяя
на , получим
,
(1)
где m – масса тела, h – высота наклонной плоскости, J – момент инерции
тела, v – линейная скорость, R – радиус диска (шара).
Момент инерции диска
подставим в уравнение (1) и получим
.
Для шара
(2)
и
.
26
(3)
Поскольку левые части равны, конечная скорость шара больше, а так как
движение равноускоренное, то он быстрее достигнет горизонтального участка.
В формулах (2) и (3) отсутствуют массы и радиусы тел, так что время скатывания от этих величин не зависит.
44. Момент инерции полого шара определяется по формуле
,
где m – масса шара, R – внешний радиус, r – внутренний. Внешний радиус у алюминиевого и медного шаров одинаковый, а так как масса шаров одинакова, то внутренний радиус у медного шара больше, потому что у меди плотность в 3,3 раза больше, чем у алюминия. Следовательно, при одинаковых
внешних радиусах и массах момент инерции полого медного шара будет больше, чем у полого алюминиевого.
Если положить оба шара рядом на шероховатой наклонной плоскости и
одновременно отпустить, то медный шар отстанет от алюминиевого, поскольку
у медного шара больше момент инерции и он будет иметь большие затраты на
энергию вращательного движения, а кинетическая энергия поступательного
движения будет меньше и, соответственно, будет меньше скорость поступательного движения.
45. Если бы камешки были шарообразной формы, то при падении на
гладкий пол высота их подскоков все время убывала бы. Но морские камешки
неровные, а поэтому при подскакивании они могут прийти во вращение. Кинетическая энергия, которую приобретает такой камешек к моменту соприкосновения с полом, можно представить составленной из двух частей: одна - способствует поднятию камня, а другая – проявляется в виде энергии вращения. Соотношение между этими энергиями зависит от следующего: если при одном подскоке часть энергии, идущая на поднятие камня, меньше, чем при другом, то,
естественно, во втором случае камень поднимется выше.
46. Для того, чтобы палка в вертикальном положении удерживалась в
равновесии, нужно в случае ее отклонения от положения равновесия, т.е. поворота на некоторый угол, успеть подвинуть палец так, чтобы она вновь оказалась
в вертикальном положении. Длинная палка будет отклоняться медленнее, чем
короткая, так как ее центр тяжести лежит выше. Значит, длинная палка будет
падать дольше, чем короткая. Поэтому длинную палку удержать в равновесии
легче, чем короткую.
47. В соответствии с законами Кеплера радиус-вектор, соединяющий
Солнце с планетой, за равные промежутки времени должен описывать равные
площади. Тогда скорость планеты будет максимальна при наибольшем сближении с Солнцем (перигелий) и минимальна – при наибольшем удалении (афелий).
48. Если ракета с работающим двигателем «зависла» над поверхностью
Земли, то при сгорании топлива из сопла ракеты вылетают газы. На сообщение
газам кинетической энергии и расходуется мощность двигателя ракеты.
49. При запуске спутника вдоль экватора в сторону вращения Земли линейная скорость суточного вращения складывается со скоростью сообщенной
27
спутнику двигателем ракеты. Естественно, при запуске вдоль меридиана (а тем
более вдоль экватора в сторону, обратную вращению Земли) потребуется
больше энергии для сообщения спутнику первой космической скорости.
50. При переходе на круговую орбиту из перигея корабль, проходя вторую половину орбиты, должен удаляться от Земли на меньшее расстояние. Поэтому его потенциальная энергия в новом апогее должна быть меньше и, следовательно, меньше должна быть и его исходная кинетическая энергия. Поэтому
для перехода на круговую орбиту корабль должен уменьшить свою скорость.
Аналогичные рассуждения приводят к тому, что для перехода на круговую орбиту из апогея корабль должен увеличить скорость.
51. Для решения задачи рассмотрим сильно вытянутую орбиту (рис.10,3).
В этом случае расстояние между фокусами эллиптической орбиты мало отличается от длины большой оси. Поэтому силу, действующую на станции вблизи
апогея, можно считать для всех сильно вытянутых орбит приблизительно одинаковой. Под действием этой силы станции движутся с одинаковым ускорением
, где R – радиус кривизны траектории, а v – скорость движения в
апогее. Чем меньше радиус кривизны, тем меньше скорость станции, а радиус
тем меньше, чем больше вытянута орбита. Поэтому скорость, а следовательно,
и кинетическая энергия в апогее стремится к нулю и станции обладают почти
исключительно потенциальной энергией.
Поскольку полная энергия станции остается постоянной, она всегда равна
сумме кинетической и потенциальной энергий на всех остальных точках орбиты. Потенциальная энергия взаимодействия Земли и станции (считаем эту энергию равно нулю в бесконечности)
,
где М – масса Земли, m – масса станции, – гравитационная постоянная,
r – расстояние от центра Земли до станции. Последнее в данном случае практически равно длине большой орбиты.
При движении по круговой орбите, радиус которой
, станция обладает потенциальной энергией
.
Кинетическая энергия определяется значением первой космической скорости. Согласно второму закону Ньютона и закону всемирного тяготения
.
Отсюда кинетическая энергия
и полная энергия
,
т.е. она имеет такое же значение, как и для эллиптической орбиты.
28
Момент импульса также удобно определять для того момента, когда
станция проходит через апогей:
.
При очень вытянутых орбитах r приблизительно одинаково, но чем более
вытянута орбита, тем меньше скорость в апогее и, соответственно, тем меньше
момент импульса.
Таким образом, для круговой и эллиптической орбит энергия станций
одинакова, а момент импульса тем меньше, чем более вытянута орбита.
52. Невесомость не имеет никакого отношения к удару, так как при ударе
необходимо учитывать массы соударяющихся тел и их скорости, а не вес тел.
Масса космонавта остается постоянной, скорость его определяется ускорением,
создаваемым силой тяги его реактивного двигателя. Удар можно считать неупругим, и тогда кинетическая энергия космонавта после удара обратится в
нуль. Она расходуется частично на нагревание ударившихся тел, частично на
их деформацию (например, в данном случае ноги). Масса корабля намного
меньше массы Земли. Поэтому при ударе о корабль заметная часть кинетической энергии космонавта будет превращена в кинетическую энергию корабля.
Корабль приобретет дополнительную скорость, и болевое ощущение космонавта будет не таким большим, как если бы он с этой скоростью упал на Землю.
53. Комета летит из бесконечности, где считаем, что потенциальная энергия относительно Солнца равна нулю и кинетическая энергия ничтожно мала.
Потенциальная энергия кометы при
подлете к Солнцу S (рис.14) равна
, где m – масса кометы, М –
масса Солнца,
– гравитационная
постоянная, r – расстояние от кометы
до Солнца. По мере приближения к
Солнцу эта энергия убывает и, соответственно, растет кинетическая
энергия, так что сумма
остается равной нулю. Кроме того, должен сохраняться и момент импульса, поскольку при центральных силах момент этих сил равен нулю. Если взять две
точки: одну – в афелии А предполагаемой замкнутой траектории, а вторую – на
таком же расстоянии от Солнца на второй ветви гиперболы, - то в этих точках
должны быть равны потенциальные энергии (из-за равенства расстояний) и,
следовательно, кинетические, а значит, и значения скоростей также равны. Но
при этом, как видно из рис.14, момент импульса в афелии должен быть больше,
чем на ветвях гиперболы, что невозможно. В то же время в симметричных точках равны между собой как кинетические, так и потенциальные энергии, а также моменты импульса.
Проведенное рассуждение справедливо для любых как замкнутых (эллипс, окружность), так и разомкнутых (парабола, гипербола) орбит небесных
29
тел, движущихся в поле одного центра притяжения. Необходимость соблюдения законов сохранения энергии и момента импульса не позволяет центральной
силе изменить характер траектории.
54. Вода в скатывающейся стеклянной бутылке практически не вращается, и ее потенциальная энергия почти целиком переходит в кинетическую энергию поступательного движения. Что же касается песка, то он вращается вместе
с бутылкой. Поэтому значительная доля потенциальной энергии песка в бутылке переходит в кинетическую энергию вращательного движения и только часть
в кинетическую энергию поступательного движения. Следовательно, скорость
поступательного движения бутылки с песком оказывается меньше, а время скатывания будет больше.
30
Борисовский Василий Васильевич
РАБОТА И МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ
(теория и практика)
Методическое пособие для студентов
всех направлений
Редактор Е.Ф. Изотова
Подписано к печати 25.02 .14. Формат 60х84/16.
Усл. печ. л. 1,9. Тираж 50 экз. Зак. 141242. Рег. № 94.
Отпечатано в РИО Рубцовского индустриального института
658207, Рубцовск, ул. Тракторная, 2/6.
31