Сборник задач по кинематике - Казанский государственный

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра теоретической механики
Сборник задач по кинематике
для подготовки к защите расчетно-графических работ
Методические указания
для студентов всех направлений подготовки
и форм обучения
Казань
2012
УДК 531.8
ББК 22.21
Г94
Сборник задач по кинематике для подготовки к защите расчетноГ94
графических работ: Методические указания для студентов всех направлений
подготовки и форм обучения / Сост.: А.В. Гумеров, Ф.Г. Шигабутдинов. Под
редакцией Ф.Г. Шигабутдинова. Казань: КГАСУ, 2012. – 28 с.
Печатается по решению Редакционно-издательского совета Казанского
государственного архитектурно-строительного университета
Методические указания предназначены для проведения практических
занятий, оперативного контроля знаний на зачетах, при приеме расчетнографических работ, при допуске к экзамену и могут быть использованы
студентами для самоконтроля. Все задачи имеют ответы.
Рецензент
Доктор
физико-математических
наук,
сопротивления материалов КГАСУ, профессор
Р.А. Каюмов
заведующий
кафедрой
УДК 531.8
ББК 22.21
 Казанский государственный
архитектурно-строительный
университет, 2012
 Гумеров А.В.,
Шигабутдинов Ф.Г., 2012
2
От авторов
Вам предлагается сборник задач, который по степенно нужно прорешать
при подготовке к сдаче очередной расчетно-графической работы. Выполнение
расчетно-графической работы по теоретической механике с последующей ее
защитой занимает очень важное место во всей системе обучения в высшей
школе. Важность этой учебной работы определяется тем, что она способствует:
закреплению теоретических знаний по предмету, приучает к самостоятельной
работе с учебными источниками, способствует выработке навыков
преодоления трудностей, возникающих при любой проектной работе, является
своеобразным учебным «отчетом» по выданному учебному заданию.
Особое место при выполнении и защите работы занимает умение решать
задачи. В задачнике включены простые задачи, позаимствованные из сборника
[3] и сборника коротких задач 4. Этот сборник используется в Российской
высшей школе уже не одно десятилетие, по нему учились и защищали свои
расчетно-графические работы многие поколения студентов. Поэтому всякие
разговоры о трудности выбранных авторами задач не соответствует
действительности. Умение решать эти задачи нужно считать минимумом, ниже
которого будущему инженеру нельзя опускаться.
Если кому-то выбранные нами задачи покажутся легкими, мы отсылаем
их к сборнику 3. В сборнике задач приведены и задачи с решениями [2]. С
этих задач и задач приведенных в других рекомендованных источниках [5,6] и
надо начинать работу.
Просмотрите решение, ознакомьтесь с теорией [1], просмотрите решение
еще раз, а затем приступайте к решению задач самостоятельно. НЕ оставляйте
не понятой ни одну задачу. Если после многократных усилий задача все же не
решается, обратитесь к преподавателю на консультации. Успехов Вам.
3
1. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
Траектория и уравнения движения точки
1.1
По заданному уравнению движения точки на произвольно выбранной
траектории построить через равные промежутки времени шесть положений
точки, определить расстояние s по траектории от начала отсчета до конечного
положения точки и пройденный ею путь  за указанный промежуток времени (s
и  – в см, t – в секундах).
1) s  5  4t  t 2 , 0  t  5 . (s = 10 см,  = 13 см)
2) s  1  2t  t 2 , 0  t  2.5 . (s = –0.25 см,  = 3.25 см)
1.2
По данным уравнениям движения точки найти уравнения ее траектории в
координатной форме и указать на рисунке направление движения.
1) x  3t  5, y  4  2t . (Полупрямая 2 x  3 y  2  0 с началом в т. (–5; 4))
2) x  2t , y  8t 2 . (Правая ветвь параболы y  2x 2 с началом в т. (0; 0))
3) x  5 sin 10t , y  3 cos10t . ( x 2 25  y 2 9  1 с началом в т. (0; 3))
1.3
По заданным уравнениям движения точки найти уравнение ее траектории,
а также указать закон движения точки по траектории, отсчитывая расстояние от
начального положения точки.
1) x  3t 2 , y  4t 2 . (Полупрямая 4 x  3 y  0 ; s  5t 2 )
2) x  3 sin t , y  3 cos t . (Окружность x 2  y 2  9 ; s  3t )
А
у
М
=t
О
В
х
1.4
Кривошип ОА вращается с постоянной
угловой скоростью   10 рад/с. Найти
уравнения движения и траекторию средней
точки М шатуна. Длина ОА = АВ = 80 см.
1) xМ  120 cos10t , yМ  40 sin 10t .
2) x 2 1202  y 2 402  1 .
у
В
М

О
А
х
1.5
Положение линейки АВ определяется углом
  0.5t . Определить проекцию скорости точки
М на ось Ох в момент времени t = 2 c, если
расстояние ВМ = 0.2 м. (– 8.41)
4
Постоянное ускорение точки
1.6
Поезд движется со скоростью 72 км/ч; при торможении он получает
замедление, равное 0.4 м/с2. Найти, за какое время до прихода поезда на
станцию и на каком от нее расстоянии должно быть начато торможение.
(50 с, 500 м)
1.7
Молот, ударив сваю, движется затем вместе с ней в течение 0.02 с до
остановки, причем свая углубляется в землю на 6 см. Определить начальную
скорость движения сваи, считая его равнозамедленным (6 м/с)
1.8
Считая посадочную скорость самолета равной 400 км/ч, определить
замедление его при посадке на пути l = 1200 м, считая, что замедление
постоянно. (5.15 м/с2)
1.9
Поезд имея, имея начальную скорость 54 км/ч, прошел 600 м в первые 30 с.
Считая движение поезда равнозамедленным, определить скорость и ускорение
поезда в конце 30-й секунды, если рассматриваемое движение поезда
происходит на закруглении радиуса R = 1 км. (v = 25 м/с, а = 0.708 м/с2)
1.10
При отходе от станции скорость поезда возрастает равномерно и достигает
величины 72 км/ч через 3 мин после отхода; путь расположен на закруглении
радиуса 800 м. Определить касательное, нормальное и полное ускорение поезда
через 2 мин после момента отхода от станции. ( а  1 / 9 м/с2, аn  2 / 9 м/с2,
a = 0.25 м/с2)
1.11
Поезд движется равнозамедленно по дуге окружности радиуса R = 800 м и
проходит путь s = 800 м, имея начальную скорость v0  54 км/ч и конечную
v  18 км/ч. Определить полное ускорение поезда в начале и в конце дуги, а
также время движения по этой дуге. ( а0  0.308 м/с2, а  0.129 м/с2, t = 80 c)
1.12
Самолет при посадке касается посадочной полосы с горизонтальной
скоростью 180 км/ч. После пробега 1000 м самолет останавливается.
Определить модуль среднего замедления самолета. (1.25)
5
1.13
Точка начинает движение из состояния покоя и движется по прямой с
постоянным ускорением а = 0.2 м/с2. Определить путь, который точка пройдет
за промежуток времени от t1 = 4 c до t2 = 10 c. (8.4)
1.14
Движение точки задано уравнением dx/dt = 0.3t2 и y = 0.2t3. Определить
ускорение в момент времени t = 7c. (9.39)
1.15
Закон изменения скорости задана уравнением v = 0.2t. Определить
криволинейную координату s точки в момент времени t = 10 c, если при t0= 0
координата s0 = 0. (10)
1.16
Задан закон движения точки в прямоугольной системе координат: x = 3t2,
y = 4t2. Определить момент времени t, когда криволинейная координата точки
s = 110 м, если при t0= 0 s0 = 0 и точка движется в положительном направлении
координаты s. (4.69)
1.17
Точка движется по окружности согласно уравнению s  t 3  2t 2  3t .
Определить криволинейную координату точки в момент времени, когда ее
касательное ускорение a  16 м/с2. (22)
1.18
Касательное ускорение точки a  0.2t . Определить момент времени t,
когда скорость v точки достигнет 10 м/с, если при t0 = 0 скорость v0 = 2 м/с.
(8.94)
1.19
Проекции скорости точки во время движения определяются
выражениями: vx  0.2t 2 , v y  3 м/с. Определить касательное ускорение в
момент времени t = 2.5 с. (0.385)
1.20
Проекции ускорения точки во время движения определяются
выражениями: a x  0.2t , a y  0.8 м/с2. Определить касательное ускорение в
момент времени t = 10 с, если при t0 = 0 скорость точки v0 = 0. (2.06)
1.21
По окружности движется точка согласно уравнению
Определить время t, когда нормальное ускорение an  0 . (6.25)
6
s  5t  0.4t 2 .
1.22
Точка движется по окружности радиуса R = 7 м согласно уравнению
s  0.7t 2 . Определить координату s точки в момент времени, когда ее
нормальное ускорение an  3 м/с2. (7.50)
1.23
Дано уравнение движения точки по криволинейной траектории:
s  0.1t 2  0.2t . Определить ее нормальное ускорение в момент времени t = 6 c.
В положении, занимаемом точкой в этот момент, радиус кривизны траектории
  0.6 м. (3.27)
1.24
По окружности, радиус которой R = 7 м, движется точка согласно
уравнению s  0.3t 2 . Определить время, когда нормальное ускорение точки
an  1.5 м/с2. (5.4)
1.25
Даны нормальное an  2.5 м/с и касательное a  1.5 м/с2 ускорения точки.
Определить полное ускорение точки (2.92)
2
1.26
Точка движется по окружности, радиус которой r = 50 м, со скоростью
v  2t . Определить модуль полного ускорения в момент времени t = 5 c. (2.83)
1.27
Ускорение точки а = 1 м/с. Векторы ускорения и скорости образуют
угол 45°. Определить скорость в км/ч, если радиус кривизны траектории
 = 300 м. (52.4)
1.28
Задано уравнение движения точки по криволинейной траектории:
s  0.2t 2  0.3t . Определить полное ускорение точки в момент времени t = 3 c,
если в этот момент радиус кривизны траектории  = 1.5 м. (1.55)
1.29
По окружности радиуса r = 1 м движется точка согласно уравнению
s  0.1t 3 . Определить полное ускорение точки в момент времени t = 2 c. (1.87)
1.30
Точка движется по окружности радиуса r = 200 м из состояния покоя с
постоянным касательным ускорением a  1 м/с2. Определить полное ускорение
точки в момент времени t = 20 c. (2.24)
7
1.31
Точка движется по окружности r = 2 м. Нормальное ускорение точки
меняется согласно закону an  2t 2 . Определить угол в градусах между
векторами скорости и полного ускорения точки в момент времени t = 1 c. (45)
1.32
Точка движется по криволинейной траектории с касательным ускорением
a  2 м/с2. Определить угол в градусах между векторами скорости и полного
ускорения точки в момент времени t = 2 с, когда радиус кривизны траектории
 = 4 м, если при t0  0 скорость точки v0  0 . (63.4)
Пример. Поезд движется равнозамедленно по закруглению радиусом
R = 1 км. В начале участка длиной 560 м поезд имеет скорость v0  36 км/ч и
ускорение а0  0.125 м/с2. Определить скорость и ускорение поезда в конце
участка.
Решение. Рассмотрим движение одной из точек поезда, например его
центра тяжести. При равнозамедленном движении точки уравнение движения
и формула скорости точки будут иметь вид
s  s0  v0t  at 2 2 ,
(1)
(2)
v  v0  at .
По условию задачи известны: s = 560 м, скорость и ускорение поезда в
начале участка v0  36 км/ч  10 м/с , а0  0.125 м/с2.
Модуль нормального ускорения точки М в начале участка
аn 0  v02 R  100 / 1000  0.1 м/с2.
Зная модуль полного ускорения точки М в начале участка а0 , определяем
модуль касательного ускорения точки а , которое при равнопеременном
движении постоянно:
a02  an20  a2 , a  a02  an20  0.1252  0.12  0.075 м/с2.
Подставляем в уравнения (1) и (2) все известные величины
560  10t  0.075t 2 2 ,  0.075t 2  20t  1120  0 , t1  186.7 , t2  80 с.
v  10  0.075t .
(3)
Значение t1  186.7 с превышает время остановки поезда t  10 / 0.075  133.3 с,
который определяется из (3) при v  0 . Поэтому берем меньший корень t2 .
v  10  0.075  t  10  0.075  80  4 м/с.
Модуль нормального и полного ускорения точки М в конце участка
аn  v 2 R  42 / 1000  0.016 м/с2.
a  an2  a2  0.0162  0.0752  0.0767 м/с2.
Ответ: v  4 м/с, а  0.0767 м/с2.
8
2. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
2.1
При равномерном вращении маховик делает 4 оборота в секунду. За
сколько секунд маховик повернется на угол   24 ? (3)
2.2
Угловая скорость тела изменяется согласно закону   8t . Определить
угол поворота тела в момент времени t = 3 c, если при t0  0 угол поворота
0  5 рад. (– 31)
2.3
Ротор электродвигателя, начав вращение равноускоренно, сделал за
первые 5 с 100 оборотов. Определить угловое ускорение ротора. (50.27)
2.4
Частота вращения за t1 = 10 c уменьшилась в 3 раза и стала равной
30 об/мин. Определить угловое ускорение вала, если он вращается
равнозамедленно. (– 0.628)
2.5
Тело вращается вокруг неподвижной оси согласно закону   4  2t 3 .
Определить угловое ускорение тела в момент времени, когда угловая скорость
  6 рад/с. (12)
2.6
Угловое ускорение тела изменяется согласно закону   3t 2 . Определить
угловую скорость тела в момент времени t = 2 с, если при t0  0 угловая
скорость 0  2 рад/с. (10)
2.7
Тело вращается вокруг неподвижной оси согласно закону   t 3  2 .
Определить угловую скорость тела в момент времени, когда угол поворота
  10 рад. (12)
2
R
1
2.8
Груз 1 поднимается с помощью лебедки,
барабан 2 которой вращается согласно закону
  5  2t 3 . Определить скорость груза 1 в
момент времени t = 2 с, если радиус барабана
R = 0.3 м. (7.2)
9
2.9
Тело вращается равнопеременно с угловым ускорением   5 рад/с2.
Определить скорости точки тела на расстоянии r = 0.2 м от оси вращения в
момент времени t = 2 с, если при t0  0 угловая скорость 0  0 . (2)
2.10
Тело вращается вокруг неподвижной оси согласно закону   2t 2 .
Определить нормальное ускорение точки тела на расстоянии r = 0.2 м от оси
вращения в момент времени t = 2 с. (12.8)
2.11
Нормальное
ускорение
точки
М
диска,
вращающегося вокруг неподвижной оси, равна 6.4 м/с2.
Определить угловую скорость  этого диска, если его
радиус R = 0.4 м. (4)
М

аn
R
а
2.12
Ускорение точки М диска, вращающегося
вокруг неподвижной оси, равно 8 м/с2.
Определить угловое ускорение этого диска,
если его радиус R = 0.4 м, а угол  = 30°. (10)
r
2.13
Колесо 1 вращается согласно закону
Определить
число
оборотов,
1  20t .
совершенных колесом 2 за время t =  с, если
радиус колес R  0.8 м, r  0.5 м. (16)
М


R
R
2
1
М

1
2
3
С

А
а
О
2.14
Зубчатое колесо 1 вращается равнопеременно с угловым ускорением  = 4 рад/с2.
Определить скорость точки М в момент
времени t = 2 c, если радиусы зубчатых колес
R1 = 0.4 м, R2 = 0.5 м, R3 = 0.6 м. Движение
начинается из состояния покоя. (3.2)
2.15
Найти закон движения стержня, если
диаметр эксцентрика D = 2r, а ось вращения О
находится от оси диска С на расстоянии
ОС = а. Диск вращается равномерно с угловой
скоростью .
10
2
R
1
2.16
Груз 1 поднимается с помощью лебедки 2.
Закон движения груза имеет вид: s  7  5t 2 ,
где s – в см. Определить угловую скорость
барабана в момент времени t = 3 c, если его
радиус R = 25 см. (1.2)
s
r
1
2.17
Какой должна быть частота вращения
(об/мин) n1 шестерни 1, чтобы тело 3 двигалось с постоянной скоростью v  90 см/с,
если числа зубьев шестерен z1  26 , z2  78 и
радиус барабана r = 10 см? (257.83)
2
3
r
R
В
А
2.18
Диск А
приводится в движение
бесконечным ремнем от диска В. При запуске
диска В его угловое ускорение равно 0.4
рад/с2. Пренебрегая скольжением, определить
через сколько времени угловая скорость диска
А будет равна 10 рад/с; R = 75 см, r = 30 см.
(10 с)
1
r
R1
R
2
3
А
2
4
5
3
1
2.19
Угловая скорость зубчатого колеса 1
изменяется по закону 1  2t 2 . Определить
ускорение груза 3 в момент времени t = 2 c,
если радиусы шестерен R1 = 1 м, R2 = 0.8 м и
радиус барабана r = 0.4 м. (4)
2.20
В механизме домкрата при вращении
зубчатого колеса 1 частотой 30 об/мин
начинают вращаться шестерни 2, 3, 4 и 5,
которые приводят в движение зубчатую рейку
А домкрата. Определить скорость рейки А,
если число зубцов шестерен: z1 = 60, z2 = 180,
z3 = 160, z4 = 240; радиус пятой шестерни
r5 = 0.25 м.
11
Пример. Вращение маховика в период пуска определяется уравнением
  1 3 t 3 , где t – в с,  – в рад. Определить модуль и направление ускорения
точки, отстоящей от оси вращения на расстоянии 50 см, в тот момент, когда ее
скорость равна 8 м/с (рис. 1).
Решение. По уравнению вращения маховика
v
находим его угловые скорость и ускорение
а
  2t .
    t 2 ,   
М
Находим момент времени t, когда скорость точки
а
аn 
М равна 8 м/с:

v  R;   v / R  8 / 0.5  16 с-1  t 2  16 , t  4 с.
Вычислим модули нормального, касательного и
полного ускорении точки М в этот момент времени:
  2  4  8 рад/с2; а  R  8  0.5  4 м/с2;
аn  2 R  162  0.5  128 м/с2; а  а2  аn2  128.06 м/с2.
Рис. 1
Направление ускорения точки определяется углом : а  аntg .
tg   2  8 162  1 32 ;   arctg (1 32)  1.8 .
Ответ: а  128.06 м/с2,   1.8 .
Пример. Ведущий шкив 1 ременной передачи, частота вращения
которого n1=60 об/мин, останавливается через 10 с. Считая вращение шкивов
перед остановкой равнозамедленным, определить число оборотов ведомого
шкива до остановки. Радиусы шкивов: r = 25 см, R = 50 см (рис. 2)
Решение. Формулы равнозамедленного вращения
  0  t ,
(1)
r
2
1
Рис. 2
R
  0   t 2 2  0t .
(2)
В нашей задаче конечная угловая скорость
равна нулю   0 , поскольку шкив 1
останавливается через 10 с, а начальная угловая
скорость 0  n  2 / 60  2 с-1.
Угловое ускорение шкива 1 определяется из формулы (1):
  0 t  2 10  0.2 с-2.
Из (2) найдем угол поворота ведущего шкива 1. По условию задачи не
дан начальный угол поворота шкива, поэтому принимаем 0  0 .
2   t 2 2  0t  0.2  100  2  10  10 .
Угол поворота ведомого шкива 2 находим из условия v  1r  2 R или
1r  2 R . Откуда
2  r 1 R  25  10 / 50  5 .
2  2N  N  2 2  5 /   2.5 об.
Ответ: ведомый диск 2 совершит 2.5 оборотов до остановки.
12
3. ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Угловая скорость и угловое ускорение плоской фигуры
3.1
Определить угловую скорость колеса,
если точка А имеет скорость v A  10 м/с, а
радиус колеса R = 0.2 м. (33.3)
0.5R
А
R
2
1
r
r
1
2
r
3
А
B
vА
vВ
y
С
О
х
3.2
Блоки 1 и 2 вращаются вокруг неподвижных осей О1 и О2 с угловыми скоростями
1  4 рад/с и 2  8 рад/с. Определить угловую скорость подвижного блока 3. Радиусы
блоков одинаковы и равны r = 10 см. (2)
3.3
Стержень АВ длиной 80 см движется в
плоскости чертежа. В некоторой момент
времени точки стержня имеют скорости
v A  0.2 м/с, vВ  0.6 м/с. Определить угловую
скорость стержня. (0.5)
3.4
Центр
колеса
катится
согласно
2
уравнениям xC  2t , yC  0.5 м. Определить
угловое ускорение  колеса. (8)
1
R
3.5
Барабан 1 вращается согласно закону
  0.3t 2 . Определить угловое ускорение блока 2,
если радиусы R = 0.1 м, r = 0.06 м. (0.5)
1
2
r
2
R
О
A

r
1
3.6
Кривошип ОА вращается согласно закону
  0.5t 2 . Определить угловое ускорение
колеса 2, если r = 0.75R. (2.33)
13
Скорость точек плоской фигуры
vА
vВ
30°
А
3.7
Стержень АВ движется в плоскости
чертежа. В некоторой момент времени
скорость точки А равна
v А  180 м/с.
Определить скорость точки В. (156)
B
vА
vВ
60°
А
B
М3
М2
М4
v0
М1
2
В
R
С
3
1
D
х
3.8
Стержень АВ длины 0.5 м движется в
плоскости чертежа. Скорость точки В равна
vВ  2 м/с. Найти модуль скорости точки А и
45° угловую скорость стержня.
( v А  2.82 м/с,  = 2.06 рад/с)
3.9
Колесо радиуса R = 0.5 м катится без
скольжения по прямолинейному участку пути;
скорость центра его постоянна и равна v0  10 м/с.
Найти скорости точек М1 , М 2 , М 3 и М 4 колеса.
Определить его угловую скорость.
3.10
Подвижный блок 1 и неподвижный блок 2
соединены нерастяжимой нитью. Груз 3 опускается
по вертикали вниз по закону x  2t 2 м. Определить
скорости точек С, D, B и Е, лежащих на ободе
подвижного блока, в момент t = 1 c, в положении,
указанном на рисунке, если R = 0.2 м. Найти также
угловую скорость блока 1.
Е
С
D
A r
R
В
О
0
Е
3.11
Кривошип ОА, вращаясь с угловой скоростью
0  2.5 рад/с вокруг оси О неподвижного колеса
радиуса R = 15 см, приводит в движение
насаженную на его конец А шестеренку радиуса
r = 5 см. Определить скорости точек А, В, С, D и Е
подвижной шестеренки, если СЕ  ВD .
14
А
3.12
Для данного положения механизма
определить скорость точки С – середины
шатуна АВ, если угловая скорость  = 1 рад/с;
длины звеньев ОА = 0.3 м; АВ = 0.5 м. (0.3)
С

В
О

В
А
О
3.13
Кривошип ОА длиной 0.5 м и шатун АВ
длиной 1.57 м в данный момент времени
находится на одной прямой. Определить
угловую скорость шатуна, если кривошип
вращается с угловой скоростью =120. (120)
В
О
3.14
30°
Определить угловую скорость шатуна АВ
кривошипно-шатунного механизма в указанном положении, если точка А имеет скорость
v A  3 м/с. Длина шатуна АВ = 1 м. (1.73)
60°

А
В
3.15
vА
30°
О
А
3.16
Определить угловую скорость шатуна АВ
кривошипно-ползунного механизма в указанном положении, если точка А имеет скорость
v A  3 м/с, а длина шатуна АВ = 3 м. (1.15)
vА
О
А
30°
В
А

3.17
Брусок АВ скользит, опираясь концами на
стену и пол. При каком угле  в градусах
скорость конца А будет в 2 раза больше
скорости конца В? (26.56)
В
В
vА
О
30°
А
Определить угловую скорость шатуна АВ
кривошипно-ползунного механизма в указанном положении, если точка А имеет скорость
v A  3 м/с, а длина шатуна АВ = 1 м. (3.46)
3.18
Определить для показанного на рисунке
положения шарнирного четырехзвенника
угловую скорость звена АВ, длина которого
0.2 м, если точка А имеет скорость 1 м/с. (5.77)
15
Ускорения точек плоской фигуры
В

А
аА

B
аА

А
А

аА
А
B
B
аА
3.20
Стержень АВ движется в плоскости.
Ускорение точки А в данный момент времени
а А  1 м/с2, угловая скорость  = 2 рад/с, угловое
ускорение  = 2 рад/с2. Определить ускорение
точки В, если длина АВ = 1 м. (5)
3.21
Тело
находится
в
плоскопараллельном
движении. Найти ускорение точки В, если ускорение
точки А равно 3 м/с2, угловая скорость  = 1 рад/с,
угловое ускорение  = 0, расстояние АВ = 0.5 м. (2.5)
3.22
Колесо катится без скольжения. Определить
ускорение точки В колеса в тот момент, когда
скорость точки А равна нулю, а ускорение а А  2
м/с2. (2.83)
3.23
Колесо радиуса R = 0.1 м катится без
скольжения. Определить ускорение точки В, если
центр колеса А перемещается с постоянной
скоростью v А  2 м/с. (40)
B
А
vА
3.19
Стержень АВ длиной 2 м находится в
плоскопараллельном движении. Найти ускорение точки В, если ускорение точки А равно 1 м/с2,
угловая скорость стержня  = 1 рад/с, угловое
ускорение  = 0. (3)
R
3.24
О

y
х
30°
А
Центр О колеса движется по закону хО  10t 2 см. К
центру колеса О колеса подвешен стержень ОА = 36см,


качающийся по закону   sin t рад. Найти
3
6
ускорение конца А стержня ОА в момент времени t =1c.
( а А  26.4 см/с2)
16
3.25
Груз К, связанный посредством нерастяжимой нити с катушкой L, опускается вертикально
вниз по закону x = t2 м. При этом катушка L катится
без скольжения по неподвижному горизонтальному
рельсу. Определить ускорения точек А, В и D,
лежащих на ободе катушки в момент времени
t = 0.5 c, если OD = 2OC = 0.2м.
( а А  20.9 м/с2, аВ  22.4 м/с2, аD  20.1 м/с2)
А
L
О
В
С
D
А
45°
K

х
О
В
45°
М
R
A
3.27
Кривошип ОА вращается согласно закону
  0.5t . Определить ускорение точки М подвижного колеса, если радиус R = 2r = 0.2 м. (0.05)
r

О
3.28
Кривошип ОА вращается c постоянной
угловой скоростью   1 рад/с. Определить
ускорение точки, являющейся мгновенным
центром скоростей подвижного колеса, если
радиус R = 0.1 м (0.2)
A
R
R
О

аВ
30°
B
30°
А
аА
аВ
аА
А
3.26
Кривошип ОА = 20 см вращается равномерно
с угловой скоростью   10 рад/с и приводит в
движение шатун АВ длины 100 см. Найти
угловую скорость и угловое ускорение шатуна, а
также ускорение ползуна В в положении
показанном на рисунке.
(   2 рад/с,   16 рад/с2, аВ  565.6 см/с2)
3.29
Стержень длиной АВ = 40 см движется в
плоскости чертежа. В некоторый момент времени
точки А и В стержня имеют ускорения а А  2 м/с2
и аВ  6 м/с2. Определить угловое ускорение
стержня. (10)
3.30
Тело находится в плоском движении. Найти
его угловую скорость, если ускорение точки А
равно 1 м/с2, ускорение точки В равно 6 м/с2,
расстояние АВ = 1 м, угол  = 60°. (2)

B
17
М3
М4
О
М2
М1
аО
О
М4
R
3.32
Колесо радиуса R = 0.5м катится без скольжения
с замедлением аО  2 м/с2, имея в данный момент
скорость vО  1 м/с. Найти ускорения концов двух
диаметров малого колеса радиуса r = 0.25 м, образующих с вертикалью углы по 45°. ( а1  2.45 м/с2,
а2  2.41 м/с2, а3  2.45 м/с2, а4  0.59 м/с2)
М2
М3
vО
М1
1
3.31
Колесо радиуса R = 0.5м катится без скольжения
по наклонному прямолинейному пути. Найти ускорение точек М1, М2, М3, М4 колеса, если в рассматриваемый момент времени: vО  1 м/с, аО  3 м/с2.
( а1  2 м/с2, а2  3.16 м/с2, а3  6.32 м/с2, а4  5.83 м/с2)
3.33

Барабан 1 вращается по закону   0.1t 2 .
Определить ускорение центра О диска 2, если
радиус R = 0.2 м. (0.02)
R
О
А
2

В
О
А
аB
B
аА
D
С
B
А
аА
аB
D
3.34
Определить
ускорение
ползуна
В
кривошипно-ползунного механизма в данном
положении, если угловая скорость кривошипа
 = 1 рад/с = const; длины звеньев ОА = 0.3 м;
АВ = 0.5 м. (0.225)
3.35
Квадрат АВСD со стороною а совершает плоское
движение в плоскости рисунка. Найти ускорения
вершин С и D, если известно, что в данный момент
ускорения двух вершин А и В одинаковы по величине
и равны 10 м/с2. (10)
3.36
Квадрат АВСD совершает плоское движение
(а = 2 см). В данный момент ускорения вершин равны:
а А  2 см/с2, аВ  4 2 см/с2. Найти угловую скорость и
угловое ускорение квадрата АВСD, а также ускорение
точки С. (   2 рад/с,   1 рад/с2, аС  6 см/с2)
С
18
Пример. Колесо радиусом R катится без скольжения по прямому рельсу.
Скорость центра колеса в рассматриваемый момент времени vC  2 м/с.
Определить скорость точек А, В, D и Е колеса, расположенных на концах
взаимно перпендикулярных диаметров (рис. 3).
а)
D
vCВ
B
Е
С
vC
vC
D
б)
vCD
vВ
B
vВ
Е
С
vC
vC
vC
vCE
A
vD
D
в)
vCА A
vC
vE
B
С

vC
Е
vE
A(Р)
Рис. 3
Решение. 1-й вариант. Примем за полюс центр колеса (рис. 3, б). Тогда
скорость, например точки В, будет определяться как
vВ  vC  vCВ ,
где vC – скорость полюса,
vCВ – вращательная скорость точки В вокруг полюса С.
Скорость полюса нам известна по условию задачи vC  2 м/с. Чтобы
найти вращательные скорости точек, нужно знать угловую скорость колеса:
  vС R . В данной задаче вращательные скорости равны
vCD  vCE  vCA  vCD  R  vC .
Находим модули скоростей точек:
2
vВ  vC2  vCB
 vC 2  2.82 м/с.
vD  vC  vCD  2vC  4 м/с.
2
vE  vC2  vCE
 vC 2  2.82 м/с.
В точке А скорость вращения vCА и скорость полюса vC равны по модулю
и противоположны по направлению: vCА  vC . Это очевидно так как колесо
катится без скольжения, поэтому скорость точки касания А колеса с рельсом
равна нулю: v А  0 .
2-й вариант. Точка А является мгновенным центром скоростей (МЦС),
т.к. v А  0 . Примем эту точку за полюс, тогда скорости всех точек колеса
определяются как вращательные скорости вокруг МЦС. Модули скоростей всех
точек найдутся по пропорциональности скоростей их расстояниям от МЦС:
v  АD
v
v
  C  D ,  vD  C
 2vC  4 м/с.
АC
АC АD
v  АB
vB    АВ  C
 vC 2  2.82 м/с, vB  vЕ  vC 2  2.82 м/с.
АC
Найденные скорости точек направлены перпендикулярно соответствующим
отрезкам в сторону вращения колеса (рис. 3, в).
19
Пример. Кривошип ОА кривошипного механизма вращается вокруг оси
О с угловой скоростью ОА  10 рад/с. Принимая OA  1 м и AB  2 м,
определить угловую скорость шатуна АВ и скорость ползунка В механизма в
трех случаях, когда   0, 30, 90 (рис. 4, а).
Решение. Зная угловую скорость ОА кривошипа и его длину можно
вычислить скорость пальца А: v А  ОА  ОА  10 м/с. Скорость пальца
кривошипа А направлена перпендикулярно ОА, а скорость ползуна В – по
прямой ОВ (рис. 4, б).
а)
в)
ОА
О
А
В

О
 АВ
vА
ОА
В
А
P
б)
г)
vА
ОА
О
А
 АВ
vА
А
В
30°
N
О
vВ
В
vВ
Рис. 4
Проводим перпендикуляры к скоростям в точках А и В. Точка
пересечения этих перпендикуляров определяет положение МЦС Р шатуна АВ.
Вычислим расстояние от точки А до Р.
ОN  OA cos 30  3 / 2 , ВN  AB 2  AN 2  4  0.25 , ОВ  ОN  NB  2.8 м.
ОР  ОB / cos 30  2  2.8 / 3  3.2 м,  АP  OР  OA  2.2 м.
Угловая скорость шатуна АВ:  АВ  v A АР  4.5 рад/с. Для определения
скорости ползуна В найдем РВ: РВ  ОB  tg 30  1.6 м. Тогда скорость ползуна
В: vВ   AB  PB  4.5  1.6  7.2 м/с.
При   0 МЦС шатуна совпадает с точкой В ( vВ  0 ) и скорости всех
точек шатуна являются вращательными вокруг точки В (рис. 4, в). Угловая
скорость шатуна  АВ  v A АВ  5 рад/с.
При   90 скорость пальца кривошипа А и ползунка В параллельны,
поэтому МЦС шатуна АВ находится в бесконечности (рис. 4, г). В этот момент
все точки шатуна АВ имеют одинаковые скорости, равные v А , а  АВ  0 .
Скорость точки В можно также найти из соотношения
vB cos(vB , BA)  v А cos(v А , BA) , т.е. vB cos   v А cos  ,
cos   BN AB  15 4 ,   arccos( 15 4)  14.5 ,   90  30  14.5  45.5 .
vB  v А cos  / cos   10  0.7 / 0.97  7.2 м/с.
20
Пример. Подвижный блок 1 и неподвижный блок 2 соединены
нерастяжимой нитью. Груз 3 опускается по вертикали вниз по закону x  2t 2 м.
Определить ускорение точек С, B и D, лежащих на ободе подвижного блока, в
момент t = 0.5 c, в положении, указанном на рисунке, если R = 0.2 м (рис. 5, а).
а)
б)
2

aO  aOD
1
аО
С
R
О
С
1
3

аОС
D
О
п
аОС
аО
п
аОВ
х
В
аО а п
ОD
В

D


аОВ
Рис. 5
Согласно теореме об ускорениях точек плоской фигуры ускорение любой
точки плоской фигуры, например точки D, определяется как

n
,
(1)
aD  aO  aOD
 aOD
где аО – ускорение полюса О, центра диска 1 (рис. 5, б);

– касательное ускорение точки D во вращении вокруг полюса О;
аOD
n
– нормальное ускорение точки D во вращении вокруг полюса О.
аOD
Найдем ускорение груза 3 и тем самым определим следующие

составляющие выражения (1): x  aO  aOD
 4 м/с.
Определим угловую скорость диска 1 чтобы найти нормальное ускорение точки
n
п
:   x 2 R  5 с-1. Тогда аOD
аOD
 2 R  25  0.2  5 м/с2.
Ускорение каждой точки определяется диагональю прямоугольника,

сторонами которого являются сумма двух векторов aO  aOD
, оказавшихся на
п
одной прямой, и третьи вектор аOD
, перпендикулярный им:

п
аD  (aO  aOD
) 2  (aOD
) 2  42  52  6.4 м/с2.
Найдем ускорение точки В. Определим угловое ускорение диска 1 чтобы

точки В во вращении вокруг полюса О:
найти касательное ускорение аOВ

  х 2 R  4 0.4  10 с-2, тогда аOB
 R  10  0.2  2 м/с2.
Ускорение полюса О: аО  R  10  0.2  2 м/с2.
п
п
п
аOB
 аOD
 аOС
 5 м/с2.
 2
п 2
аВ  (aOВ
)  (aО  aOВ
)  22  (2  5) 2  7.3 м/с2.
п
Ускорение точки С: аС  аОС
 5 м/с2.
21
4. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
Определение скорости точки
О
4.1
Кривошип ОА = 0.2 м вращается вокруг
оси О с угловой скоростью  = 2 рад/с и
приводит в движение кулису 1, движущуюся
поступательно. Найти скорость кулисы при
угле  = 30° (0.2)


1
А
4.2
По грани призмы, движущейся со
скоростью ve , скользит конец стержня АВ.
При каком угле  в градусах абсолютная
скорость точки А будет равна скорости
призмы ve . (45)
В

А
vе
4
2
А
2
1
В
D
3
60°
О
С
vА
А
3
2
4
С
В
1
О
В
M
r
v

А
4.3
По шатуну 2 шарнирного параллелограмма ОАВС скользит втулка 3. К точке D
втулки шарнирно прикреплен стержень 4. Для
данного положения механизма определить
скорость стержня 4, если скорость точки А
кривошипа 1 равна 2 м/с. (1)
4.4
На шатун 1 кривошипно-ползунного
механизма надета втулка 2. К точке С внутри
шарнирно прикреплен стержень 3. Для
данного положения механизма определить
скорость стержня 3, если длина ОА = 0.5АВ и
скорость точки А кривошипа 4 равна
v A  3 м/с. (1.73)
4.5
Тело 1, имеющее форму полуцилиндра,
скользит по горизонтальной плоскости со
скоростью v  0.2 м/с, поворачивая шарнирно
закрепленный в точке А стержень АВ.
Определить относительную скорость точки
касания М, если  = 30°. (0.173)
22
Определение абсолютной скорости и
абсолютного ускорения точки
4.6
Квадратная плита вращается вокруг оси с
угловой скоростью  = 3 рад/с. Вдоль стороны
плиты движется точка М со скоростью vr  4 м/с.
Определить абсолютную скорость точки М в
указанном на рисунке положении, если стороны
квадрата равны 6 м. (15.81)

vr
М
А
М
4.7
Конус, по образующей которого движется точка
М согласно уравнению АМ = 2t, вращается вокруг оси
по закону   4 sin 0.4t . Определить модуль переносной скорости точки М в момент времени t  2 с. (2.22)
30°
vr
4.8
Диск вращается вокруг оси Оz. По его ободу
движется точка М с постоянной относительной
скоростью vr  9 м/с. Определить переносную
скорость точки М в момент, когда ее абсолютная
скорость равна 15 м/с. (12)
vr
М
О
z

B
А

М
D
C
О

М
R
vr


4.10
Точка М движется по ободу диска, радиус которого
R = 0.1 м, согласно уравнению ОМ = 0.3t. Определить
абсолютную скорость точки М в указанном положении,
если закон вращения диска  = 0.4t. (0.342)
vr
М
А
4.9
Пластина АВСD вращается вокруг оси с угловой
скоростью  = 4t. По ее стороне ВС в направлении от
В к С движется точка М с постоянной скоростью 9
м/с. Определить модуль абсолютной скорости точки
М в момент времени t = 3 c, если длина АВ = 1 м. (15)
В
4.11
По катету треугольника, вращающегося
вокруг стороны АВ с угловой скоростью  = 4
рад/с, движется точка М с относительной
скоростью vr  2 м/с. Определить модуль
ускорения Кориолиса точки М, если  = 30°. (8)
23
С
В
М
е
О
А
у
vr
R

М
О
vr
М
v
4.15
Точка М движется с постоянной скоростью
v  2 м/с по кольцу радиуса R = 0.5 м, который вращается с постоянной угловой скоростью  = 4 с-1.
Определить модуль абсолютного ускорения точки
М в указанном положении. (16)
М
О
R

vr
М
А

В
М
А
60

О
4.13
Кольцо радиуса R = 0.5 м вращается с
постоянной угловой скоростью  = 4 рад/с в
плоскости чертежа. По кольцу перемещается точка
х М с постоянной относительной скоростью
vr  2 м/с. Определить модуль абсолютного
ускорения точки М в указанном положении. (40)
4.14
Точка М движется с относительной скоростью
vr  0.5t по хорде диска, вращающегося вокруг оси О,
перпендикулярной плоскости диска, с угловой скоростью
 = 0.5 с-1. Определить абсолютное ускорение точки М при
t = 2 с, если расстояние ОМ = 0.02 м. (1.11)

О
4.12
По стороне АВ прямоугольной пластины,
вращающейся в плоскости чертежа, движется
точка М по закону АМ  3 sin(  3)t . Определить
угловую скорость пластины е в момент времени
t = 2 c, если ускорение Кориолиса в точке М в этот
момент равно 4 м/с2. (4)
B
4.16
По стороне треугольника, вращающегося
вокруг стороны АВ с угловой скоростью =2 с-1,
движется точка М согласно закону АМ  3t 2 .
Определить модуль абсолютного ускорения
точки М в момент времени t = 2 с. (63.78)
4.17
По радиусу диска, вращающегося вокруг оси АВ
с угловой скоростью   2t рад/с в направлении от
центра диска к его ободу движется точка М по
закону ОМ  4t 2 см. Радиус ОМ составляет с осью
АВ угол 60°. Определить величину абсолютного
ускорения точки М в момент t  1 с. (35.55)
24
vr
М
R


О
z
4.18
По ободу диска радиуса R, вращающегося вокруг
своего диаметра с постоянной угловой скоростью ,
движется с постоянной по модулю относительной
скоростью vr точка М. Найти абсолютное ускорение
точки М как функцию угла , составленного радиусвектором точки с осью вращение диска.
а  v 4 R 2  4 R 2 sin 2   22v 2 (1  cos 2 )
D
А
х
В
М
с
О

4.19
Диск вращается с постоянной угловой скоростью
 вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости диска. По хорде АВ из ее середины
D движется точка М с постоянной относительной
скоростью u. Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М как функции расстояния х.
v  2 х 2  (u  c) 2 , а  2 х 2  (2u  c) 2
4.20
Шарик Р движется со скоростью 1.2 м/с от А до В
по хорде АВ диска, вращающегося вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости диска.
Найти абсолютное ускорение шарика, когда он
находится на кратчайшем расстоянии от центра диска,
равном 30 см. В этот момент угловая скорость диска
равна 3 рад/с, угловое замедление – 8 рад/с2. (10.19)
А


R
Р
О
В
30
В
C
М

О
D
А
B
C
М

О
А
4.21
Прямоугольник АВСD вращается вокруг стороны СD
с угловой скоростью    2 рад/с=const. Вдоль стороны
АВ движется точка М по закону   а sin ( 2)t м.
Определить величину абсолютного ускорения точки в
момент времени t = 1c, если DA = CB = a м. ( а2 4 2 )

D
4.22
Квадрат АВСD со стороною 2а м вращается вокруг
стороны АВ с постоянной угловой скоростью    2 .
Вдоль диагонали АС совершает гармонические колебание
точка М по закону   a cos( 2)t м. Определить величину
абсолютного ускорения точки при t = 1 c. ( а2 5 )
25
Пример. Точка М, находящаяся в начальный момент в вершине кругового
конуса, движется равномерно по образующей конуса к основанию с
относительной скоростью vr  24 см/с. Конус вращается вокруг своей оси
согласно уравнению   0.125t 2 (рис. 6, а). Определить абсолютные скорость и
ускорение точки в конце 4-й секунды, если   30 .
а)
б)
в)
О
О

О

К
М
vr

vе
аeп М
М
е
е
А
А
vr
а
у
v
е
е
х
ae  ac
vr
А
Рис. 6
Решение. Движение точки М относительно конуса вдоль его образующей
является относительным, а движение точки М вместе с конусом, вращающимся
вокруг оси ОА – переносным.
Найдем положение точки М в конце 4-й секунды:
OM  vr t  24  4  96 см; MК  ОМ sin   96  0.5  48 см.
Определим алгебраические величины переносной угловой скорости и
переносного углового ускорения при t = 4c:
  0.25 рад/с2 > 0.
е    0.25  4  1рад/с > 0; е  
Знаки е и е совпадают, следовательно, конус вращается ускоренно. Векторы
е и е направлены по оси вращения конуса вверх.
Определяем абсолютную скорость точки М.
Абсолютная скорость точки М определяется как векторная сумма двух
скоростей: v  ve  vr .
Переносная скорость vе направлена по касательной к окружности радиуса
МК, а ее модуль vе  e  MK  1  48  48 см/с. Относительная скорость vr
направлена вдоль образующей конуса, а ее модуль vr  24 см/с.
Так как составляющие скорости взаимно перпендикулярны, то (рис. 6, б)
v  ve2  vr2  482  242  53.64 см/с.
Определяем абсолютное ускорение точки М. Абсолютное ускорение
точки М при вращательном переносном движении: а  аe  аeп  аr  аrn  ac .
Определим составляющие абсолютного ускорения точки М (рис. 3, в).
26
Переносное касательное ускорение аe направлено по касательной к
окружности радиусом МК в соответствии с направлением углового ускорения, а
его модуль аe  МК  е  48  0.25  12 см/с2.
Переносное
нормальное
ускорение
аeп
направлено
к
центру
К
окружности радиусом МК, а его модуль аeп  МК  е2  48  1  48 см/с2.
Так как относительное движение точки прямолинейное и равномерное, то
n
аr  vr2 /   vr2 /   0 и аr  vr  0 .
Направление кориолисова ускорения ас определяется по правилу
Жуковского; оно совпадает с направлением аe , а его модуль
ас  2еvr sin   2  1  24  0.5  24 см/с2.
Проецируя все составляющие абсолютного ускорения на оси х и у,
получаем:
а х  ае  ас  12  24  36 см/с2; а y  аеп  48 см/с2.
а  ах2  а 2у  362  482  60 см/с2.
ЛИТЕРАТУРА
1. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. М.: Высшая школа,
2004. – 416 с.
2. Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики.
Учебник: 15-е изд., стер. – М.: КНОРУС, 2010. – 608 с.
3. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике: Учеб.
пособие. 36-е изд. исправл. – М.: Наука, 1986. – 448 с. Или С-ПетербургМосква-Краснодар: Лань, 2008. – 448с.
4. Кепе О.Э., Виба Я.А. и др. Сборник коротких задач по теоретической
механике: Учеб. пособие для втузов; Под ред. Кепе О.Э. – М.: Высш. шк., 1989.
– 368 с. Или 2-е стереотипное изд. С-Петербург, Лань, 2008. – 368с.
5. Шигабутдинов Ф.Г., Камалов А.З., Шигабутдинов А.Ф. Сборник задач
по теоретической механике. Статика. / Учебное пособие. - Казань: КГАСУ,
2004. – 180с.
6. Шигабутдинов Ф.Г., Шигабутдинов А.Ф. Краткий курс теоретической
механики. Часть 1. Статика. / Учебное пособие. - Казань: КГАСУ, 2009. – 171с.
27
Сборник задач по кинематике
для подготовки к защите расчетно-графических работ
Методические указания
для студентов всех направлений подготовки
и форм обучения
Составители: А.В. Гумеров, Ф.Г. Шигабутдинов
Редактор В.В. Попова
Редакционно-издательский отдел
Казанского государственного архитектурно-строительного университета
Подписано в печать 28.05.12
Формат 6084/16
Заказ 312
Печать ризографическая
Усл.-печ.л. 1.75
Тираж 100 экз.
Бумага офсетная №1
Учет.изд.л. 1.75
Печатно-множительный отдел КГАСУ
420043, Казань, Зеленая, 1
28